· web viewВ основании пирамиды sabc лежит прямоугольный...

ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл.

ВАРИАНТ № 11 ВАРИАНТ № 12

1. Упростите выражение

и найдите его значение при а = 1 + i35, b

= 2i + 1.


и найдите его значение при а = 1 + i, b

= 1 – 3i29.

2. Решите уравнение 3х4 + 11х3 + 21х2 +28х + 12 = 0 и найдите сумму квадратов его комплексных корней.

2. Решите уравнение 2х4 + 7х3 + 6х2 +18х + 27 = 0 и найдите сумму модулей его комплексных корней.

3. 3. Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих

уравнению 7х – 33у = 39. Для какой из этих пар х + 2у будет

наибольшим возможным положительным трехзначным

числом?

3. Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 71х – 13у = – 28. Для какой из этих пар 3х – у будет наименьшим возможным отрицательным трехзначным числом?

4. Постройте графики зависимостей

а) ; б)

4. Постройте графики зависимостей

а) ; б)

5. х1, х2 – корни уравнения х2 – ах – 1 = 0, у1, у2, у3 – корни уравнения у3 –(а2 – 2)у2 + ау + а = 0. При каких значениях

параметра а верно равенство у1у2(у1 + у2) + у2у3(у2

+ у3) + у3у1(у3 + у1)?

______________________________________________________

_

5. х1, х2 – корни уравнения х2 – ах + 1 = 0, у1, у2, у3 – корни уравнения 2у3 – а3у2 + 2(а + 1)у – 2 = 0. При каких

значениях параметра а верно равенство

+ ?

______________________________________________________

ПКР1, 10 кл., АВИ 2004 ПКР1, 10 кл., АВИ 2004

ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл.


1. Решите неравенство . 1. Решите неравенство .

2. Саша должен приехать на вокзал, находящийся от него на расстоянии 72 км, к отправлению поезда. Выехав на скутере с постоянной скоростью, после двух часов пути он сделал остановку на 20 минут и, чтобы ликвидировать задержку, оставшийся путь проезжал со скоростью большей прежней на 12 км/ч. Какова была первоначальная скорость Саши?

2. Катер прошел по течению реки 68 км и 78 км против течения, затратив на это столько времени, сколько ему нужно, чтобы пройти 150 км по озеру. Найдите отношение собственной скорости катера к скорости течения.

3. Постройте график уравнения . 3. Постройте график уравнения .

4. Решите уравнение . 4. Решите уравнение .

5. Найдите все действительные корни уравнения .

5. Найдите все действительные корни уравнения .

6. При каких значениях параметра а все решения неравенства (а + 2)х2 – 2ах + а – 1 < 0 являются решениями неравенства

.

6. При каких значениях параметра а все решения неравенства

(а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 2 > 0 не являются решениями неравенства .


ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл.




2. К 8 кг сплава, содержащего 30 % золота, добавили кусок другого сплава, содержащего 2 кг чистого золота. После переплавки получили новый сплав, содержащий 40 % золота. Каков вес добавленного сплава?

2. К 15 л раствора, содержащего 60 % серной кислоты, добавили другого раствора, содержащего 4 л серной кислоты. В результате получили раствор, содержащий 20 % серной кислоты. Каково процентное содержание кислоты в добавленном растворе?

3. 3. Вычислите . 3. Вычислите .

4. Постройте график функции . 4. Постройте график функции .




ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл.


1. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный

треугольник ABC, у которого А = 60°, С = 90°, АС = b.

Вершина пирамиды проектируется на сторону СВ, а

плоскости CAS и SAB образуют с основанием угол

величины β. Найдите: 1) площадь основания пирамиды;

2) высоту пирамиды; 3) площадь боковой поверхности

пирамиды; 4) угол наклона боковых ребер к плоскости

основания пирамиды.

1. В основании пирамиды SABCD лежит равнобокая трапеция

ABCD, в которой боковые стороны AВ = DС = a, А = α.

Вершина пирамиды равноудалена от всех сторон основания

на расстояние 2а. Найдите: 1) площадь основания

пирамиды; 2) высоту пирамиды; 3) площадь боковой

поверхности пирамиды; 4) угол наклона боковых ребер к

плоскости основания пирамиды.

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1

AB = 6, AA1 = 4, BC = 6. На продолжении ребра C1D1

выбрана точка T так, что D1T : C1T = 4 : 1. Точки P и K

выбраны на ребрах DD1 и AA1 соответственно, причем

DP : DD1 = 1 : 2, A1K : KА = 3 : 1. Через точки T, P и K

проведена секущая плоскость. Постройте сечение и

найдите: 1) площадь сечения; 2) угол между секущей

плоскостью и плоскостью АВС; 3) угол между прямыми TA1

и D1B; 4) угол между прямой PB1 и плоскостью DAB.

____________________________________________________

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 6,

AA1 = 4, BC = 6. На продолжении ребра C1D1 выбрана точка

T так, что D1T : C1T = 4 : 1. Точки М и R выбраны на ребрах

DD1 и АВ соответственно, причем MD1 : DD1 = 3 : 4, ВА : ВR

= 2 : 1. Через точки M, R и T проведена секущая плоскость.

Постройте сечение и найдите: 1) площадь сечения; 2) угол

между секущей плоскостью и плоскостью АВС; 3) угол

между прямыми DB1 и RA1; 4) угол между прямой ТA и

плоскостью CBB1.

___________________________________________________


ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл.


1. Докажите, что для всех натуральных n верно, что

f1 + f2 + ... + fn = fn+2 – 1, где – числа Фибоначчи, определяемые по правилу: , .

1. Докажите, что для всех натуральных n верно, что

.

2. Вычислите:

а) ; б) .

2. Вычислите:

а) ; б) .

3. Найдите уравнение касательной к графику функции, если известно, что расстояние от точки

касания до точки А(3; 0) наименьшее.

3. Найдите уравнение касательной к графику функции , если известно, что площадь треугольника,

ограниченного этой касательной и осями координат наименьшая.

5. 4. Исследуйте функцию и постройте ее

график.

4. Исследуйте функцию и постройте ее график.

5. Найдите производную и критические точки функции

.

5. Найдите производную и критические точки функции

.


Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждение

лицей № 1511 при НИЯУ МИФИ

Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждение

лицей № 1511 при НИЯУ МИФИ



2. Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй – 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 тонн стали с содержанием никеля 25%?

2. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке 10%, во втором – 40%. После того как эти слитки сплавили, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определите массу полученного слитка.


4. Исследуйте функцию и постройте ее график. 4. Исследуйте функцию и постройте ее

график.

5.5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет на отрезке не более

одного решения.

____________________________________________________________

5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет на

отрезке не менее двух различных решений.

_____________________________________________________

ЭКР, 10 кл., АВИ 2013 ЭКР, 10 кл., АВИ 2013

ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл.


1. Вычислите . 1. Вычислите .

2. Найдите решения уравнения ,

принадлежащие промежутку .

2. Найдите решения уравнения

,

принадлежащие промежутку .


4. . Найдите а) ; б) уравнение

касательной к графику , проведенной в точке с абсциссой 1.

4. . Найдите а) ; б)

уравнение касательной к графику , проведенной в точке с абсциссой 1.

5. Постройте график функции

.

5. Постройте график функции

.

6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не 6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет решений. имеет ровно два различных решения.

ПКР7, 11 кл, АВИ 2011

ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл.

ВАРИАНТ № 83 ВАРИАНТ № 841. В основании призмы лежит

прямоугольная трапеция ABCD, у которой , АВ = а, острый угол ADC равен β. Вершина проектируется в точку С. Грани АА1D1D и AA1B1B наклонены к плоскости основания под углом γ. Найдите: 1) объем призмы; 2) величину угла между боковым ребром призмы и плоскостью основания призмы.

1. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольная трапеция ABCD, у которой , АD = а, острый угол ADC равен β. Вершина S проектируется в точку A, ребра SC и SD наклонены к плоскости основания под углом γ. Найдите: 1) объем пирамиды; 2) угол наклона плоскости SCD к плоскости основания пирамиды.

2. В основании параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. Точки М и К лежат на ребрах АА1 и DD1, соответственно, причем A1M : MA = 1 : 2, DD1 : D1K = 3 : 2. O – пересечение диагоналей ABCD. Найдите, в каком отношении разделится плоскостью МКО

1) ребро DC;

2) площадь грани ABCD;

3) объем параллелепипеда.

2. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Точки М и Р лежат на ребрах SA и SB, соответственно, причем SM : SA = 2 : 5, SP : PB = 2 : 3. Точка Т – середина отрезка SO, где точка О – пересечение диагоналей ABCD. Найдите, в каком отношении плоскость МТР разделит

1) ребро SС;

2) площадь грани SAD;

3) объем пирамиды.

3. Все ребра правильной треугольной пирамиды SKPN равны a. Ребро AB куба ABCDA1B1C1D1 (AA1 || BB1 || CC1 || DD1) принадлежит прямой SK, ребро CC1 – прямой PN. Найдите: 1) объем куба; 2) угол между прямой AD и плоскостью PKN.

3. Все ребра правильной треугольной призмы TNMT1N1M1

(TT1 || NN1 || MM1) равны a. Ребро SA правильной треугольной пирамиды SABC, у которой все ребра равны, принадлежит прямой NN1, ребро BC – прямой TM. Найдите: 1) объем пирамиды SABC; 2) угол между прямой SB и плоскостью TNM.

____________________________________________________ ___________________________________________________


ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл.


1. Вычислите интегралы

а) ; б) ; в) .

1. Вычислите интегралы

а) ; б) ; в) .

2. Найдите объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной на координатной плоскости ХОУ графиком функции , касательной к этому графику, проведенную в точке графика с абсциссой х0 = 1 и прямыми х = 0 и х = 2.

2. Найдите объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной на координатной плоскости ХОУ графиком функции , касательной к этому графику, проведенную в точке графика с абсциссой х0 = 1 и прямыми х = -3 и х = 2.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной на координатной плоскости ХОУ графиками функций и

на отрезке .

3. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости ХОУ неравенствами и

.

4. Найдите все первообразные для f(x) = x2 + x – 2, график которых имеет общие точки с четырехугольником АВСD, где А(-3; 2), В(0; 2), С(0; -1), D(-3; -1).

4. Найдите все первообразные для f(x) = 2x – 1, график которых имеет общие точки с треугольником АВС, где А(2; -2), В(-1; -2), С(-1; 1).

5. При всех значениях параметра а определите количество решений

уравнения .

5. При всех значениях параметра а определите количество

решений уравнения .

_______________________________________________________ _____________________________________________________


ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл.


1. В прямоугольном треугольнике АВС, катеты которого АС = а,

СВ = , проведена биссектриса ВК. Найдите площадь

поверхности и объём тела вращения треугольника АВС вокруг прямой, параллельной ВК и проходящей через точку С.

1. В параллелограмме АВСD диагональ АС образует со смежными сторонами параллелограмма углы 45º и 30º, а расстояние от вершины В до нее равно d. В плоскости параллелограмма АВСD через вершину С проведена прямая l, перпендикулярная этой диагонали. Найдите площадь поверхности и объём тела вращения АВСD вокруг прямой l.

2. Шар касается одного из оснований цилиндра в его центре, а поверхность шара содержит окружность второго основания. Радиус шара R, отношение высоты цилиндра к радиусу его основания равно . Найдите: а) площадь полной поверхности цилиндра; б) площадь поверхности шара, лежащей вне цилиндра; в) объём общей части цилиндра и шара.

2. Шар касается основания конуса в его центре, а поверхность шара содержит вершину конуса. Высота конуса H. Радиус основания конуса относится к радиусу шара как 2 : . Найдите: а) площадь полной поверхности конуса; б) площадь поверхности шара, лежащей вне конуса; в) объём общей части конуса и шара.

3. На сфере радиуса 2 выбраны три точки, являющиеся вершинами равностороннего треугольника со стороной 3. В этих точках сферы изнутри касаются три одинаковые сферы радиуса 1. Найдите радиус сферы, которая касается всех четырех сфер.

3. На сфере радиуса 6 выбраны четыре точки, являющиеся вершинами квадрата со стороной . В этих точках сферы изнутри касаются четыре одинаковые сферы радиуса 1. Найдите радиус сферы, которая касается всех пяти сфер.

________________________________________________________ _____________________________________________________

________________________________________________________________________________


ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл.


1. Имеются два водных раствора поваренной соли. Первый раствор массой 5 кг содержит р % соли, второй раствор массой 3 кг содержит 40 % соли. Сколько кг первого раствора нужно взять, чтобы при смешивании его с частью второго раствора получить 2 кг раствора, содержащего 2р % соли?

1. Имеются два водных раствора соляной кислоты. Первый раствор массой 4 кг содержит 30 % кислоты, второй раствор массой 6 кг содержит k % кислоты. Сколько кг второго раствора нужно взять, чтобы при смешивании его с частью

первого раствора получить 3 кг раствора, содержащего %

кислоты?

2. На плоскости (х; а) изобразите все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству

. При каких значениях параметра а решения неравенства образуют луч на числовой прямой?

2. На плоскости (х; а) изобразите все точки, координаты которых

удовлетворяют неравенству . При каких

значениях параметра а решения неравенства образуют луч на числовой прямой?

3. Решите уравнение

.

3. Решите уравнение

.

4. При каждом действительном значении параметра а укажите

количество решений уравнения .

4. При каждом действительном значении параметра а укажите

количество решений уравнения .

5. 5 5. Найдите все значения параметра а, при которых среди решений неравенства содержатся ровно девять пар целых чисел (х; у).

5. Найдите все значения параметра а, при которых среди решений неравенства содержатся ровно пять пар целых чисел (х; у).


ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл.


1. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник, в котором высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h и составляет с меньшим катетом треугольника угол величины α. Боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы величины α. Найдите: 1) объем пирамиды; 2) радиус сферы, описанной вокруг пирамиды; 3) радиус шара, вписанного в пирамиду.

1. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник, в котором медиана, проведенная на гипотенузу, равна т и составляет с меньшим катетом треугольника угол величины α. Боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы величины α. Найдите: 1) объем пирамиды; 2) радиус сферы, описанной вокруг пирамиды; 3) радиус шара, вписанного в пирамиду.

2. 2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно l, двугранный угол при ребре основания β. Одна из образующих прямого кругового цилиндра принадлежит диагонали основания пирамиды, не совпадая с ней, а окружности оснований цилиндра имеют по одной общей точке с боковыми ребрами, пересекающимися с данной диагональю. При каком радиусе основания цилиндра площадь его боковой поверхности будет максимально возможной.

2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна H, плоский угол при вершине β. Одна из образующих прямого кругового цилиндра принадлежит отрезку, соединяющему середины противоположных сторон основания пирамиды, а окружности оснований цилиндра имеют по одной общей точке с апофемами, проведенными к взятым сторонам основания. При какой высоте цилиндра его объем будет максимально возможным.

3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник АВС, у которого АС = СВ = 5, АВ

3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник АВС, у которого АС = СВ = 5,

= 8. Вершина S проектируется на плоскость основания в середину стороны АВ, SA = . Через точку С, точку М – середину ребра SB и точку L, принадлежащую ребру SA, проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения, если она имеет наименьшее возможное значение.

АВ = 6. Вершина S проектируется на плоскость основания в середину стороны АВ, SA = 5. Через точку С, точку Р – середину ребра SА и точку К, принадлежащую ребру SВ, проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения, если она имеет наименьшее возможное значение.


ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл.


1. Изобразите на комплексной плоскости множество М всех чисел, удовлетворяющих системе неравенств . Найдите: 1) число из множества М,

имеющее наименьший возможный аргумент; 2) , где М, и имеет максимально возможную действительную часть.

1. Изобразите на комплексной плоскости множество М всех чисел, удовлетворяющих системе неравенств . Найдите: 1) число из множества М,

имеющее наименьший возможный модуль; 2) , где М, и имеет максимально возможную мнимую часть.

2. 2. Найдите уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с

абсциссой, удовлетворяющей неравенству , если касательная

параллельна наклонной асимптоте графика функции .

2. Найдите уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с

абсциссой, удовлетворяющей неравенству , если касательная

параллельна наклонной асимптоте графика функции .

3. 3. Решите неравенство: . 3. Решите неравенство: .

4. Числа p и q случайным образом выбирают из отрезка . Найдите вероятность

того, что действительные корни уравнения удовлетворяют неравенству x1

2 + x22 + 6x1x2+ 4x1 + 4x2 ≥ 0.

4. Числа p и q случайным образом выбирают из отрезка . Найдите вероятность

того, что действительные корни уравнения удовлетворяют неравенству x1

2x22 + 2x1x2(х1 + х2 – 8) ≤ 8(x1

2 + x22).

5. 5.Железная дорога взяла в аренду суперкомпьютер на 800 ч работы, желая организовать его работу в одинаковые по времени смены. Затраты на одну смену продолжительностью

а ч складываются из технического обслуживания р1а у. е., зарплаты операторов р2а у. е.

5. Заводу необходимо переработать 6000 т макулатуры, разбив это количество на одинаковые части. Переработка одной партии макулатуры весом т т складывается из

стоимости измельчения р1т тыс. р., стоимости очистки р2т тыс. р. и стоимости изготовлении

и расходов на электроэнергию р3а у. е. Числа р1, р2, р3 являются последовательными

членами геометрической прогрессии, их сумма равна 111, а их произведение равно 1000. Известно, что затраты на одну смену продолжительностью 9 ч не превосходят 660 у. е. Какой продолжительностью следует определить смены, чтобы стоимость общих затрат на все время работы была минимальной? Найдите эту стоимость.

бумаги р3т тыс. р. Числа р1, р2, р3 являются последовательными членами геометрической

прогрессии, их сумма равна 28, а их произведение равно 512. При переработке партии весом 27 т затраты не превосходят 600 тыс. р. На какие части следует разделить 6000 т, чтобы стоимость общих затрат по переработке была минимальной? Найдите эту стоимость.

6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение sin3x – 2asin2x + (a2 – 4)sinх –

a2 + 2a + 3 = 0 имеет на отрезке нечетное количество различных решений.

6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 2sin3x + (4а – 5)sin2x + 2(a2 –

1)sinх – a2 – a + 2 = 0 имеет на отрезке четное количество различных решений.


ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл.


1. Найдите наибольшее значение на отрезке . 1. Найдите точку минимума функции .

2. К 8 кг сплава, содержащего 30 % золота, добавили кусок другого сплава, содержащего 2 кг чистого золота. После переплавки получили новый сплав, содержащий 40 % золота. Каков вес добавленного сплава? Ответ дайте в кг.

2. Траншея была выкопана двумя землекопами в течении 15 ч, причем первый землекоп приступил к работе на 7 ч позднее второго. Известно, что первый землекоп, работая один, может выкопать такую траншею на 5 ч быстрее, чем второй. За сколько часов может выкопать траншею второй землекоп, работая отдельно? Ответ дайте в часах.

3. а) Решите уравнение .

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие .

3. а) Решите уравнение .

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие .

4. Решите систему неравенств . 4. Решите систему неравенств .

5. При каких значениях параметра а уравнение имеет более трех различных корней.

5. При каких значениях параметра а уравнение =

имеет только одно решение.


· web viewВ основании пирамиды sabc лежит прямоугольный...

Documents