CHƯƠNG IVMÔĐUN VÀ ĐẠI SỐ

Trong chương này chung ta sẽ xét các cấu trúc đại số có một hoặc hai phép toán hai ngôi cùng với một phép nhân vô hướng, đó là môđun, không gian vectơ và đại số. Khái niệm môđun là một trong những khái niệm cơ bản của đại số hiện đại.

§ 4.1 Môđun, Môđun Con, Môđun Thương

4.1.1. Định nghĩa môđun Giả sử K là vành có đơn vị 1. Một môđun trái trên

vành K (hoặc K-môđun trái) là một nhóm Alben cộng X được trang bị phép nhân (bên trái) các phần tử của vành K với các phần tử của x, tích của phần tử α K với phần tử x X ta ký hiệu là ax X , sao cho các điều kiện sau được thoả mãn đối với mọi x,y X, α, β K:

M1. (α + β )x = αx + βy a(x + y ) = αx + αy

M2. α(βx) = (αβ)xM3. 1x = x

Ta có 0x = 0 vì 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x 0x = 0Phép nhân các phần tử của X với các phần tử của

K goi là phép nhân vô hướng.Khái niệm K-môđun phải (nhân bên phải) được

định nghĩa tương tự.Nếu K là vành giao hoán có đơn vị thì các khái

niệm K-môđun trái và K-môđun phải trùng nhau. Thật vậy nếu đặt xa = ax với a K, x X, thì mỗi K-môđun trái là K-môđun phải và ngược lại.

Nếu K chỉ là một thể tì mỗi K-môđun trái gọi là một không gian vectơ trái.Sau đây chỉ xét các K-môđun trái, nên gọi tắt là K-môđun

2. Các ví dụ về môđun1. Giả sử K là một vành có đơn vị và X là một

iđêan trái của vành K và KX X nên X là một K-môđun

Nếu X + K thì vành K là một K-môđun2. X là một nhóm Alben. Với mỗi phần tử x X, n

Z nếu n > 0 ta đặ nx = x + x + … + x, nếu n < 0 ta đặt nx = -((-n)x).

Vậy nhóm Alben X là một Z-môđun.3. Giả sử K là vành có đơn vị, S là tập khác rỗng

cho trước.Ta đặt

X = Ks = {f: S K}Tập X là một nhóm Alben cộng với phép toán f,g

X, f + g là ánh xạ từ S vào K xác định bởi:(f + g)(s) = f(s) + g(s), s S .

Phần tử 0 là ánh xạ xác định bởi: 0(s) = 0, s S.Phép nhân vô hướng các phần tử của vành K với

các phần tử của X định nghía như sau: f X, α K, αf là ánh xạ từ S vào K xác định bởi:

(α f )(s) = α f (s), s S.Dễ thấy rằng X là một K-môđun.4. Giả sử {Xi } i I là một họ các K-môđun, P là

tích trực tiếp các nhóm Aben cộng Xi, i IP = Xi = { f : I Xi : f(i) Xi, i I }.

Phép nhân các phần tử a K với các phần tử f P được định nghĩa như sau: Ánh xạ:

af : I Xi xác định bởi:(af)(j) = af(j) ( phép nhân vô hướng

trong K-môđun Xj ).Khi đó các điều kiện M1 – M3 được thoả mãn và P

là một K-môđun, gọi là tích trực tiếp của họ K-môđun {Xi} i I. Đặc biệt nếu Xi = X, i I ta luôn có K-môđun XI.

5. Giả sử K là một vành có đơn vị. Tập cá đa thức K[x] là một K-môđun đối với phép cộng đa thức và phép nhân các phần tử của vành K với các đa thức.

6. Giả sử K là một vành có đơn vị, Mn[K] là tập các ma trận vuông cấp n hệ số trên vành K. Khi đó với phép cộng ma trận:

A = (aij)nxn B = (bij)nxn: A + B = (aij + bij)nxn và phép nhân các phần tử của vành K với các ma trận: α . A = ( α α ij)nxn thì Mn[K] là một K-môđun.

3. Môđun conGiả sử X là một K-môđun. Một môđun con của K-

môđun X là một nhóm con A của nhóm Alben X ổn định với phép nhân vô hướng, tức là x A và a K ta có ax A.

Dễ thấy rằng mỗi môđun con của K-môđun X cũng là một K-môđun.

Từ định nghĩa môđun con và điều kiện cần và đủ để một tập con là một nhóm con ta có:

Tập con A ≠ của K-môđun X là một môđun con khi và chỉ khi x – y A và αx A x,y A, α ≠, hoặc một cách tương đương:

α .x + β .y A x,y A, α, β K.Ví dụ một môđun con:

1. Mỗi K-môđun X có hai môđun con hiển nhiên đó là X và môđun con tầm thường {0}.

2. Mỗi nhóm con A của nhóm Alben X là một môđun con của Z – môđun X

3. Giả sử K là một vành có đơn vị. Vành K là một K-môđun. Khi đó mỗi iđêan trái của K là một môđun con

4. Giả sử {Xi}i I là một họ K-môđun cho trước.Xét tổng trực tiếp của các nhóm Alben Xi, i

I Xi = { f : I Xi : f (j) Xi, f(j) = 0 j I,

trừ một số hữu hạn}Khi đó Xi là một môđun con của K-môđun con

của K-môđun , và gọi là tổng trực tiếp của các K-môđun Xi, i I.

Dễ thấy rằng giao một họ tuỳ ý khác rỗng các môđun con của K-môđun X là một môđun con

Giả sử S là tập con của K-môđun con của K-môđun X. Khi đó tất cả các môđun con của K-môđun X chứa S là một môđun con và là môđun con nhỏ nhất của

K-môđun X chứa tập S. Ta ký hiệu môđun con đó là <S>K.

Môđun <S>K. gọi là môđun con sinh bởi tập S. Đặc biệt nếu <S>K.= X thì S gọi là tập các phần tử sinh của K-môđun X

Nếu X = <S>K. và card S < thì X gọi là K-môđun hữu hạn sinh. Nếu X = <{a}>k thì X gọi là K-môđun xyclic

Ví dụ:Giả sử K là vành có đơn vị. Ta có K = <{1}>k.

Vậy mỗi vành K có đơn vị là một K-môđun xyclic.

Định lý 4.1:Giả sử S là một tập con khác rỗng của K-môđun X.

Khi đó ta có :

<S>K. = { i,xi,ai K, xi S, n

N}Chứng minh:

ĐẶt A = { i,xi,ai K, xi S, m

0}Dễ thấy rằng A là một môđun con của K-môđun

X. Vì mỗi x S. ta có x = 1x A vậy S A. Gải sử B là một môđun con của K chứa X tập S .Khi đó với ai K,

xi S, m N ta có ixi B. Do đó A B và A là

môđun con nhỏ nhất của K-môđun X chứa tập S. Vậy thị <S>k = A.

4. Môđun thươngGiả sử A là một môđun con của K-môđun X. Vì A

là một nhóm con của nhóm Alben X nên ta có nhốm thương

= { = x + A : x A}

Với phép toán + = .Bổ đề:

Nếu A là một môđun con của K-môđun X ta có: α , với α K, x X, trong đó α = (α u : u )

Chứng minh: Gải sử u = x + A, khi đó có a A sao cho u = x + a.

Vậy α u = α x + α a α x + A = . Do đó : α

Giả sử A là một môđun con của K-môđun X. Theo bổ đề trên ta có thể định nghĩa phép nhân các phần tử α

K với các phần tử của nhóm Alben như sau:

α =

Nhóm Alben với phép nhân vô hướng (*) là

một K-môđun .Thật vậy :

Α ( + ) = α ( ) = = = + = α + α

Vậy điều kiện M1 được thỏa mãn. Các điều kiện M2, M3 cũng được chứng minh tương tự.

K-môđun gọi là môđun thương của K-môđun X

theo môđun con A

§ 2. ĐỒNG CẤU MÔĐUN

Định nghĩa:Giả sử X, Y là các K-môđun. Một ánh xạ f: X

Y gọi là một đồng cấu (hoặc đồng cấu của môđun X vào môđun Y) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn đối với mọi x1,x2 X, α K:

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)(1)

f(α x1) = f(α x2)(2)

Dễ thấy rằng hai điều kiện (1) và (2) tương đương với điều kiện sau:

f(α x1 + β x2) = α f(x1) + β f(x2)với x1,x2 X; α , β K.

Các khái niệm K- đơn cấu, K- toàn cấu, K- đẳng cấu được định nghĩa tương tự như đồng cấu nhóm.

Định lý 4.2:Nếu ánh xạ f: X Y là một K- đồng cấu cảu K-

môđun X vào K-môđun Y thì ta có:Ảnh Im(f) = f(X) là môđun con của YNhân Ker(f) = f1 ({0}) là môđun con của X

Chứng minh:Vì f là một tổng đồng cấu nhóm nên Im(f) và

Ker(f) là các nhóm con của Y và X tương ứng. Ta cần chứng tỏ các nhóm con này ổn định đối với phép nhân vô hướngGiả sử α K, y Im(f) . Khi đó có x X sao cho f(x) = y

Ta có α y = α f(x) = f(α x) Im(f). Với x Ker(f) ta có f(α x) = α f(x) = α 0 = 0.

Vậy α x Ker(f)Giả sử A là một môđun con của K-môđun X > Khi

đó phép chiếu tự nhiên p: X xác định bởi p(x) =

là một K- toàn cấu và A = Ker(p)

Tương tự như trong trường hợp lý thuyết nhóm ta có định lý sau:

Định lý 4.3: (Đinh lý đồng cấu)Giả sử f: X Y là một K-đồng cấu của K-môđun

X vào K-môđun Y, khi đó ta có K- đẳng cấu :

Im(f)

Giả sử K là một vành giao hoán có đơn vị, X và Y là các K-môđun. Ta ký hiệu Homk(X;Y) là tập tất cả các K- đồng cấu cảu K-môđun X vào K-môđun Y. Phép cộng trong tập Homk(X;Y) và phép nhân các phần tử của vành K với các phần tử của Homk(X;Y) được định nghĩa như sau:

Với f, g Homk(X;Y), f + g là K- đòng cấu xác định bởi:

(f + g)(x) = f(x) + g(x),với x XVới f Homk(X;Y), α K, α f là K- đồng cấu

xác định bởi:(α f)(x) = α f(x)

Dễ dàng chứng minh rằng Homk(X;Y) với hai phép toán trên là một K-môđun

Nếu Y = K thì X* = Homk(X;Y) gọi là môđun đối ngẫu nhiên của môđun X, các phần tử của X* gọi là các dạng tuyến tính trên X. Nếu K là một trường thì X* gọi là không gian đối ngẫu

§ 3 MÔĐUN TỰ DOGiả sử X là một K-môđun, B là một tập con của X.

Phần tử x X gọi là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của tập B với hệ số trong K nếu phần tử x có thể biểu diễn dưới dạng

X = ixi

Trong đó xi B, i = 1…n.Theo định lý 4.1 thì môđun <B>k, môđun con sinh

bởi tập B là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử B

Độc lập tuyến tính, cơ sở:Giả sử B là tập con của K-môđun X. Tập B gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu B có một tổ hợp tuyến tính tầm thường. Tức là tồn tại các phâng tử x1, x2, ….., xm thuộc B và các hệ tử a1, a2, ….., ,am thuộc K, có ít nhất một ai 0 sao cho:

a1x1 + a2x2 + ….+ amxm = 0Tập con B của K-môđun X không phụ thuộc tuyến

tính gọi là độclập tuyến tính Theo định nghĩa ta có: tập con B của một K-

môđun X là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi đối với mọi họ các phần tử x1, x2, ….., xm thuộc B nếu: a1x1 + a2x2 + ….+ amxm = 0, a K thì ai = 0, i = 1,…,m.

Mỗi hệ sinh của K-môđun X độc lập tuyến tính gọi là cơ sỏ của X

Mỗi K-môđun có một cơ sở gọi là K-môđun tự do Từ định nghĩa ta có: Nếu B là một cơ sở của K-

môđun tự do X thì mỗi phần tử x X được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng :

x = 1x1 + 2x2 +…….+ nxn

trong đó xi B, i = 1,….,n.Giả sử K là một vành có đơn vị 1. Với mỗi tập I

cho trước ta đặt K(1) = Ki,trong đó Ki = K, với i INếu I = , ta đặt K(1) = {0}. Vậy mỗi tập I ta có K-

môđun K(1)

Bổ đề 1:Giả sử vành K ≠ {0}.có đơn vị 1 cà I là tập khác

rỗng cho trước. Khi đó K(I) là một K-môđun tự do với cơ sở {ei}i I , trong đó ánh xạ ei: I K được xác định như sau:

Eei (j) = ij =

( ij là ký hiệu Crônecke)Cơ sở {ei}i I gọi là cơ sở chính tắc của K-môđun

K(1)

Chứng minh:Tập {ei}i I là một hệ sinh của K(1). Thật vậy, vì

mỗi phần tử f K(1) tương ứng với một họ các phần tử {f(i)}i I cảu K, trong đó hầu hết f(i) = 0 chỉ trừ một số hữu hạn. theo định nghĩa phép cộng trong nhóm Alben K(1) và phép nhân vô hướng với các phần tử của vành K ta có :

F = f( i ) ei

Họ {ei}i I độc lập tuyến tính. Thật vậy, gải sử

iei = 0 , với mọi j I ta có:

j = ( iei)(j) = 0 ( j) = 0Giả sử S là một tập khác rỗng. Theo bổ đề 1 ta có

K-môđun tự do X = K(1) với cơ sở {es}s S. Nếu đồng nhất mỗi phần tử s S với phần tử es X, ta có thể xem S là một cơ sở của K-môđun tự do X và mỗi phần tử x X có biểu diễn duy nhất

x = ssTrong đó chỉ một số hữu hạn ks ≠ 0 Khi đó ta nói rằng X là một K-môđun tự do trên

tập S Dưới đây ta luôn giả thiết vành K ≠ {0} có đơn vị

1

Bổ đề 2:Giả sử X là một K-môđun và B = {bi}i Ilà một họ

các phần tử của X, khi đó các điều khẳng định sau là tương đương:

i. Tập B độc lập tuyến tính ii. Đối với mọi K-môđun Y và mọi họ

các phần tử S = {yi}i I của Y tồn tại duy nhất một K- đồng cấu f: <B>k Y sao cho f(bi) = yi, i I.

Chứng minh:(i) (ii): Mỗi phần tử x <B>k được biểu diễn duy nhất đưới dạng x = ibi trong đó chỉ có một số hữu hạn ≠ 0

Ánh xạ f: <B>k Y xác định bởi:Ff(x) = f ( ibi ) = iyi

Là K- đồng cấu duy nhất thỏa man (ii)(ii) (i): Chọn Y = K(i) và yi = ei, i I, trong đó {ei}i I là cơ sở chính tắc. Theo giả thiết của (ii) tồn tại duy nhất K- đồng cấu f: <B>k Y sao cho f(bi) = ei, i

I

Giả sử kbik = 0, bik {bi}i I , h K. Khi

đó :

0 = f( kbik) = k f (bik) = keik

Vì {ei}i I độc lập tuyến tính nên k = 0, k = 1,….,n. Vậy tập {bi}i I độc lập tuyến tính

Hai định lý quan trọng sau đây là hệ quả của bổ đề 2:

Định lý 4.4 :Giả sử X là K-môđun tự do với cơ sở S. Khi đó

mọi ánh xạ f từ tập S vào K-môđun Y bất kỳ đều có thể mở rộng duy nhất thành K- đồng cấu : X Y

Định lý 4.5:Mỗi K-môđun tự do X với cơ sở S đẳng cấu với K-

môđun tự do K(S).Tương tự như nhóm Alben tự do, ta có định lý sau:

Định lý 4.6:Mỗi K-môđun đẳng cấu với môđun thương của

một K-môđun tự do

Chứng minh:Giả sử X là một K-môđun cho trước. Ta chọn tập

B = {bi}i I là cơ sở chính tắc của K-môđun tự do K(i) Theo định lý 4.1 có thể mở rộng thành K- đồng cấu

:K(1) XDễ thấy là một K- toàn cấu. Theo định lý đồng

cấu môđun ta có: X

Theo bổ đề 1 với mỗi tập I ≠ bất kỳ ta xây dựng được K-môđun tự do K(I), có một cơ sở là {ei}i I có lực lượng bằng card I. Điều này dẫn đến hai câu hỏi sau đây:

1. Phải chăng mỗi K-môđun là tự do ? (Đẳng cấu với K(I), với I nào đó )

2. Với điều kiện nào thì các cơ sở của K-môđun tự do X có cung lực lượng ?

- Nếu K là một trường, khi đó mỗi K-môđun là một không gian vectơ trên K. Ta đã có câu trả lời khẳng định cho cả hai câu trả lời trên (giáo trình đại sô tuyến tính).

- Nếu K không phải là trường thì câu hỏi 1) có câu trả lời phủ định. Chẳng hạn với K là vành các số nguyên Z trong Z-môđun với mọi x ta có nx = 0. Vậy

trong Z-môđun không có hệ con độc lập tuyến tính, do đó nó không phải là A-môđun tự do

- Liên qua đến câu hỏi 2) ta đã có định lý 2.29 ở chương II, đối với các Z-môđun tự do. Kết quả này cũng đúng với vành K giao hoán có đơn vị và K- môđun tự do có một hệ sinh hữu hạn.

Khi tất cả các cơ sở của K-môđun tự do X có cùng lực lượng thì lực lượng đó gọi là sô chiều của môđun ký hiệu là dimKX. Vật tất cả các nhóm Alben tự do hạng n là Z-môđun n – chiều.

§ 4 ĐẠI SỐ

1. Định nghĩa đại sốGiả sử k là một vành có đơn vị, giao hoán. Một đại

số trên K hoặc một K – đại số là một K – môđun X đươc trang bị một phép toán nhân; tích của hai phần tử x, y X ký hiệu là xy sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

a. Phép nhân trong X phân phối đối với phép cộng trong X:

x(y + z) = xy + xz(y + z)x = yx + zx với x,y,z X

b. Phép nhân trong X và phép nhân vô hướng các phần tử cảu vành K thỏa mãn điều kiện:

(α x)y = α (xy) , α K; x,y XPhép nhân trong K-môđun X thỏa mãn các điều

kiện a) và b) gọi là phép nhân song tuyến tính.Các điều kiện a) và b) tương đương với điều kiện;

(α s + β y)z = α (xz) + β (yz)x(α y + β z) = α (xy) + β (xz)

với mọi α, β K và x, y, z X.Nếu X là K-môđun tự do thì X gọi là đại số tự do.

Bằng cách ấn định các điều kiện: giao hoán, kết hợp, có đơn vị…..cho phép nhân,ta được các kiểu đại số: giao hoán, kết hợp, có đơn vị….Chẳng hạn K-đại số X có phép nhân thỏa mãn điều kiện xx = 0 với x X và đồng nhất thức Jacobi:

x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0 với x, y, z XVí dụ đại số:1. Mỗi vành K giao hoán có đơn vị là một K-đại số

trên chính nó. Mỗi idêan I K là một K- đại số2. Tập các đa thức K[x] là một K-đại số với phép cộng và phép nhân đa thức 3. TậpMn[K] các ma trận vuông cấp n là một K-đại

số kết hợp có đơn vị, không gioa hoán đối với phép cộng, phép nhân ma trận và phép nhân các ma trận với các phần tử vô hướng

2. Đại số con, iđêan, đại số thương

1) Giả sử X là một K-đại số. Một đại số con của K-đại số X là một môđun con A của K-môđun X ổn định đối với phép nhân, tức là nếu x,y A thì xy AVí dụ mỗi vành K giao hoán có đơn vị là một K-đại số trên chính nó. Khi đó mỗi iđêan I K là một đại số conTập các ma trận tam giác trên là một đại số con của K- đại số Mn[K]

2) Iđêan trái của K-đại số X là một đại số con A thoả mãn XA A (tức là nếu x , a A, xa A)

Tương tự, môt iđêan phải của K-đại số X là một đại số con A thoả mãn AX AMột đại số con A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của K-đại số X gọi là iđêan, ký hiệu là A X

Tương tự như trong lý thuyết vành, nếu A là một iđêan cảu K-đại số X thì trong môđun thương

= { = x + A : x A }

Ta có thể định nghĩa phép nhân như sau:

= , ,

Khi đó là một K-đại số, gọi là đại số thương

của K-đại số X theo iđêan A

3. Đồng cấu đại sốGiả sử X,Y là các K-đại số. Ta gọi là K- đồng cấu

đại số cảu K-đại số X vào K-đại số Y là một K- đồng cấu f của môđun X vào môđun Y thoả mãn:

Ff(xy) = f(x)f(y) x,y YTương tự như trong lý thuyết vành ta có:Giả sử f là môt K- đồng cấu đại số của K-đại số X

vào K-đại số Y. Khi đó ta có :* Ảnh Im(f) = f(X) là một đại số con của đại

số Y* Nhân Ker(f) = f1({0}) là một iđêan của đại

số X

* Ta có đẳng cấu đại số Im(f)

Nếu A là một iđêan của K-đại số X, khi đó phép

chiếu p: X , p(x) = là một K- đồng cấu đại số và

A = Ker(p).

4. Các đại số xác định bởi bảng nhân

1. Bảng nhân:

Mệnh đề sau đây có thể dùng để xây dựng nhiều đại số quan trọng:

Mệnh đề 4.7:Giả sử K là vành giao hoán có đơn vị, A là một K-

môđun tự do với cơ sở {ei}i I và { }ij, k Ilà một họ

các phần tử của K sao cho với i,j cố định { }k I là một

họ có giá trị hữu hạn, tức là = 0 với hầu hết k I, trừ một số hữu hạn. Khi đó ta có:

i) Trong A tồn tại duy nhất phép nhân song tuyến tính sao cho với i, j I

eiej = ek (*)

Công thức (*) gọi là bảng nhânii) Phép nhân xác định bởi (*) là kết hợp nếu và chỉ

nếu (eiej)em = ei(ejem) i,j,m I

iii) Phép nhân xác định bởi (*) là giao hoán nếu và chỉ nếu

eiej = ejei i,j IChứng minh: Giả sử x A, y A. Khi đó các

phần tử x, y có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:x = xiei, y = yjej

trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số xi, i I yi , j I khác 0.

Ta định nghĩa phép nhân trong A như sau:Xxy = ( xiei)( yjej ) =

xiyi ek

Đó là phép nhân song song tuyến tính duy nhất trong A thoả mãn (*). Với phép nhân này, A là một K-đại số. Dễ dàng kiểm tra lại rằng K-đại số A là kết hợp nếu điều kiện ii) được thoả mãn và là giao hoán nếu điều kiện iii) được thoả mãn.

2. Trường hợp số phức C:

Ta ký hiệu R là trường số thực. Khi đó R2 = R R là một R-môđun tự do với cơ sở

e1 = (1,0), e2 = (0,1)Ta xây dựng một phép nhân song song tuyến tính

trong R2 như sau:e1e1 = e1, e1e2 = e2e1 = e2; e2e2 = -e1

Ta được một R-đại số hai chiều, giao hoán, kết hợp, có đơn vị là e1 = (1,0). Đại số này chính là trường số phức C. Đơn vị ảo i = e2 = (0,1)

Ánh xạ j: R C xác định bởij(a) = (a,0)

là một R- đơn cấu đại số. Nếu đồng nhất phần tử a R với phần tử j(a) = (a,0) C, ta có 1 = (1,0) = e1. Khi đó

z C có thể viết dưới dạng: z = ae1 + be2 = a + bi, trong đó a,b R. Đó là dạng đại số của số phức.Với z = a + ib ≠ 0, khi đó :

z-1 =

Ánh xạ z = a – bi là một tự đẳng cấu của R-đại số C

3. Thể quatecniông H:

Hamintơn đã xây dựng R-đại số không giao hoán sau đây có nhiều ứng dụng trong cơ học và vật lý học:

R4 = R R R R là một R-môđun tự do với cơ sở

e = (1,0,0,0), i = (0,1,0,0),j = (0,0,1,0), k = (0,0,0,1).

Ta định nghĩa một phép nhân song tuyến tính trên R-môđun tự do R4 như sau:

x e i j ke e i j ki i -e k -jj j -k -e ik k j -i -e

Không gian vectơ R4 đươc trang bị phép toán nhân song tuyến tính xác định bởi bảng nhân trên đây là một K-đại số 4 chiều, không gian hoán, kết hợp, có phần tử đợn vị là e. R-đại số này ký hiệu là H. Các phần tử cảu đại số H đó gọi là quatecniông

Xét ánh xạ u: R H, xác định bởi u(x) = (x,0,0,0), với x R

là một R- đơn cấu đại số. Nếu ta đồng nhất x với u(x) thì R là một đại số con của R- đại số H. Khi đó mỗi quatecniông a H có thể viết dưới dạng

a = x + yi + zj + iktrong đó x, y, z, t R

Ta định nghĩa liên hợp của quatecniông a là quatecniông:

= x – yi – zj – tkDễ thấy rằng với a,b H, R ta có :

= + , = , = , = a, = 1

Vậy ánh xạ a là một tự đẳng cấu của R-đại số H.

Số thực = = gọi là chuẩn quatecniông a = x + yi + zj + tk

Với a H, a ≠ 0 ta có a = 1. Vậy mọi

quatecniông a ≠ 0 khả nghịch và a-1 = . Vậy R-đại số

H là một thểTa đã có ba thể R, C và H là các R-đại số hữu hạn

chiều. Một vấn đề được đặt ra là tìm tất cả cá thể là R-đại số hữu hạn chiều. Năm 1873, Frobeniuxơ đã cho một câu trả lời ngạc nhiên và lý thú: Ngoài ba thể R, C và H không còn thể nào khác là R-đại số hữu hạn chiều.

4. Đại số đa thức K[x]:

Giả sử K là vành giao hoán có đơn vị. Tập các đa thức K[x] với phép cộng, phép nhân đa thức là một K-đại số giao hoán, kết hợp có đơn vị. Đại số đa thức K[x] là một K-đại số tự do, với cơ sở x0 = 1, x, x2, …xn, … có bảng nhân xác định như sau:

xixj = xi+j, i,j = 0, 1, 2, ….

Xét K-môđun tự do: K(N) = Ki, Ki = K, i N

Ta biết rằng K(N) có cơ sở chính tắc là:e0 = (1, 0, 0, ……….)e1 = (0, 1, 0, ……….)e2 = (0, 0, 1, ……….)………………En = (0, 0, 0, ……, 0, 1, 0,….), ……..

Trong K-môđun K(N) ta định nghĩa phép nhân như sau:

eiej = ei+j

Khi đó K(N) là một K-đại số tự do. Dễ thấy rằng phép tương ứng xi với ei, xác định với một K- đẳng cấu đại số của K[x] tới K(N). Vậy ta có

K[x] K(N)

5. Đại số ma trận Mn[K]

Tập Mn[K] các ma trận vuông cấp n hệ số trên vành K giao hoán, có đơn vị là một K-đại số kết hợp có đơn vị không giao hoán đối với phép cộng. Mn[K] là một K-đại số tự do với cơ sở Eij = (are)n n’ trong đó are = 1 nếu (r, s) = (i, j) và are = 0 nếu (r, s) ≠ (i, j), ta có bảng nhân:

EirEaj =

Ta có dim Mn[K] = n2.§ 5 TÍCH TENXƠ VÀ TENXƠ

1. Dạng tuyến tính và môđun đối ngẫuDưới đây ta luôn giả thiết vành K ≠ 0, giao hoán

có đơn vị 1. Giả sử E là một K-môđun. Môđun E* =

HomK(E;K) được gọi là môđun đối ngẫu của môđun E. Mỗi phần tử của E*. gọi là một dạng tuyến tính trên E. Vậy mỗi dạng tuyến tính trên E là một ánh xạ u: E K thoả mãn:

u(x + y) = u(x) + u(y)u( x) = u(x)(1)

Phép cộng các phần tử của E* và phép nhân các phần tử của vành K với các phần tử của E* được xác định bởi công thức sau:

(u + v)(x) = u(x) + v(x),( u)(x) = u(x)(2)

Giá trị của u E* tại x E sẽ được ký hiệu là <x | u>a. Môđun đối ngẫu của môđun tự do:

Mệnh đề 4.8:Giả sử E là một K-môđun tự do với cơ sở {e1, e2,

…, en}. Khi đó E* là một K-môđun tự do với cơ sở {e1, e2, …, en}, trong đó ei, j = 1, …, n là các dạng tuyến tính được xác định bởi:

<ei | ej> = ij =

Cơ sở {e1, e2, …, en} gọi là cơ sở đối ngẫu của cơ sở {e1, e2, …, en}

Chứng minh:Theo định lý 4.4 các hệ thức <ei | ej> = ej(ei) = ij,

i,j = 1, …, n xác định n dạng tuyến tính e1, e2, …, en trên E.

Hệ {e1, e2, …, en} độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả

sử kek = 0. Theo (2) với i = 1, , n ta có:

( kek)(ei) = kek (ei) = k ik =

i = 0

Với x E, x = kek ta có :

ei(x) = kei (ek) = k ik =

Do đó với mọi u E* ta có:

u(x) = ku(ek) = (ek)ek(x) =

(ek)ek(x)

Từ đó ta có u = (ek)ek.

Do đó {e1, e2, …, en}là một hệ sinh của E*. Vậy E* là K-môđun tự do với cơ sở {e1, e2, …, en}.

b. Tính đối ngẫu giữa E và E*:Ta ký hiệu (E*)* = E**, môđun đối ngẫu của

môđun E**.Ứng với mỗi x E ta xét ánh xạ x : E* K xác

định bởi:x (u) = <x | u> = u(x).

Theo (2) x là một dạng tuyến tính trên E*. Ta có x E**. Theo (1) với mọi x, y E, K ta có:

x + y = x + y , x = x Vậy ánh xạ x x là một K-đồng cấu của môđun

E vào môđun E** và được gọi là ánh xạ chính tắc.Theo mệnh đề 4.8, nếu E là môđun tự do với cơ sở

{e1, e2, …, en} thì E* là một môđun tự do với cơ sở {e1, e2, …, en}, do đó ánh xạ chính tắc là một đẳng cấu chuyển cơ sở {e1, e2, …, en} thành cơ sở đối ngẫu của cơ sở {e1, e2, …, en}. Vậy ta có thể đồng nhất E với E**. Khi đó biểu thức <x | u> thể hiện sự đối ngẫu giữa E và E* với u E*: <x | u> = u(x). Với x E:<x | u> = x(u).

Chú ý: Khi E là một K-môđun tự do với cơ sở vô hạn {ei, i I}, ta có E K(I) và E* KI và có thể chứng minh rằng ánh xạ chính tắc từ E và E** là một đơn cấu

2. Ánh xạ song tuyến tínhGiả sử E, F và G là K-môđun

một ánh xạ : E F G được gọi là song ánh tuyến tính nếu (x, y) tuyến tính theo mỗi biến, tức là:

(x + x’, y) = (x,y) + (x’ + y)

( x, y) = (x,y)(3)

(x,y’ + y) = (x,y) + (x+y’)(x, y) = (x,y)

(4)Dễ thấy rằng tập (E2, G) các ánh xạ song

song tuyến tính từ E F vào G là một môđun con của K-môđun GE F

Ánh xạ (E2, G) gọi là đối xứng (phản đối xứng) nếu (x,y) = (y,x) ( (x,y) = - (y,x)) đối với mọi x,y E. Tập các ánh xạ song song tuyến tính đối xứng (phản đối xứng) là một môđun con của K-môđun

(E2, G).Phép nhân trong một K-đại số A là một ánh xạ

song tuyến tính từ A A vào A ; Nếu ánh xạ song tuyến tính đó đối xứng thì A là một K-đại số giáo hoán

Giả sử E là một K-môđun tự do với cơ sở {ei:i I}, F là một K-môđun tự do với cơ sở {fj: j J}. Đối với mọi x = iei , y = jfj và với mỗi (E F, G), theo (3), (4) bằng quy nạp ta có:

(x,y) = i i (ei, fi)(5)

Đẳng thức (5) chứng tỏ rằng ánh xạ song tuyến tính được xác định duy nhất bởi tập các giá trị { (ei, fi)}. Hơn nữa tập các giá trị đó có thể chọn bất kỳ. Và nếu {zij: (i,j) I J} là một họ tùy ý các phần tử cảu G, khi đó công thức:

(x,y) = i jzij

Xác định một ánh xạ song tuyến tính từ E F vào G thảo mãn (ei,fi) = zij.

a. Dạng song tuyến tính Mỗi ánh xạ song tuyến tính từ E F vào K được

gọi là một dạng song tuyến tính trên E F

Khái niệm dạng song tuyến tính liên quan chặt chẽ với khái niệm tích tenxow, có một vai trò quan trọng trong toán học và vật lý

b. Tích tenxơ của các dạng tuyến tính Giả sử E,F là các K-môđun. Tích tenxơ của các

dạng tuyến tính u E*, v F* là một ánh xạ u v từ E F vào K’ được xác định bởi:

(u v)(x,y) = u(x)v(y)(6)

Dễ thấy rằng u v là một dạng song tuyến tính trên E F

Từ công thức (5) trực tiếp suy ra mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 4.9:Gia sử E là mộe K-môđun tự do có một cơ sở hữu

hạn {ei: i I}, I = {2,….,n} và F là một K-môđun tự do với cơ sở hữu hạn {fj: j J}, J= {2,….,m}. Ký hiệu {ei: i

I} là cơ sở đối ngẫu của cơ sở {ei: i I} và {fj: j J} là cơ sở đối ngẫu của cơ sở {fj: j J}. Khi đó hệ các dạng song tuyến tính {ei fi :(i,j) I J} là một cơ sở của K-môđun (E F,G).

c. Tích tenxơ cảu hai môđun tự doGiả sử E là một K-môđun tự do với cơ sở hữu hạn

{ei: i I} và F là một K-môđun tự do với cơ sở hữu hạn {fj: j J},. Do tính chất đối ngẫu giữa E và E*, giữa F và F* ta có thể định nghĩa tích tenxơ của phần tử s E với phần tử y F xác định bởi sông thức:

(x y)(u,v) = x(u)y(v) = <x | u><y | v>(7)

Theo mệnh đề 4.9 hệ {ei fi :(i,j) I J} là một cơ sở của K-môđun (E* F*;K). Môđun này được gọi là tích tenxơ cảu E và F ký hiệu E FChú ý: Trường hợp E và F là các K-môđun tự do bất kỳ, E có cơ sở {ei: i I}, F có cơ sở {fj: j J}, thì các tích tenxơ E F được định nghĩa như một K-môđun (E* F*;K) sinh bởi họ {ei fi :(i,j) I J}

d) Tích tenxơ của hai môđun bất kỳ Cơ sở của định nghĩa tích tenxơ E F của hai K-

môđun tự do E và F trên đây là sử dụng tính chất đơn cấu cuả ánh xạ chính tắc E E** và F F**.

Trong trường hợp tổng quát, người ta định nghĩa tích tenxơ E F cảu hai K-môđun bất kỳ E và F như môđun thương của K-môđun tự do L = K(E F) theo môđun con M sinh bởi các phần tử có dạng:

(x+x’,y)-(x,y)-(x’,y),(ax,y)-a(x,y),x,x’ E,y F, a K

(x,y+y’)-(x,y)-(x,y’),(x,ay)-a(x,y), x E,y,y’ F, a K (8)

Ký hiệu x y = ( ) = (x,y) + M, x E, y F.Dễ thấy rằng toàn ánh chính tắc p: E F E F

= L/M, xác định bởi p(x,y) = x y là một ánh xạ song tuyến tính.

Giả sử E, F và G là các K-môđun tùy ý cho trước. Dễ dàng chứng minh được rằng:

E K E, E F F E,

(9)(E F) G E (F G)

Do đó tích tenxơ của một họ hữu hạn bất kỳ các K-môđun là hoàn toàn xác đị .

3. Ánh xạ đa tuyến tínhGiả sử E1, E2,….,Ep và G là các K-môđun.

Ánh xạ f: (E1 E= … Ep) G gọi là p-tuyến tính (hoặc đa tuyến tính, p 2) nếu f(x1,x2,…,xp) tuyến tính theo từng biến, tức là đối với mỗi i, 1 i p, xi, x’i Ei, a Ei, a K ta có:

f(x1,….,xi + x’i,….,xp) = f(x1,…,xi,…,xp) + f(x1,….,x’i,….,xp)

f(x1,…,axi,….,xp) = af(x1,…,xi,…,xp)(10)

Dễ dàng thấy rằng tập (E1 E2 …… Ep ;G) các ánh xạ p-tuyến tính từ E1 E2 …… Ep vào G là một môđun con của K-môđun GE1 E2 …… Ep, mỗi ánh

xạ (E1 E2 …… Ep ;K) được gọi là một dạng p-tuyến tính trên E1 E2 …… Ep

Ánh xạ (Ep ;G) được goi là đối xứng nếu thỏa mãn điều kiện sau đây đối với mọi i,j =1,…,p

(x1,…,xi,…,xj,…,xp) = (x1,…,xj,…,xi,…,xp) (11)

Và được gọi là phản đối xứng nếu (x1,…,xi,…,xj,…,xp) = - (x1,…,xj,…,xi,…,xp)

(12)Tích tenxơ của các dạng tuyến tính u , v ,

…., w , ký hiệu u v … w là một dạng đa tuyến tính trên E1 E2 …… Ep được xác đị bởi:

( u v … w)(x,y,…,z) = u(x)v(y)…w(z)(13)

Tương tự như trường hợp dạng song tuyến tính ta có mệnh đề sau đây là một tổng quát hóa của mệnh đề 4.9 cho trường hợp dạng đa tuyến tính

Mệnh đề 4.10:Giả sử E1 là một K-môđun tự do với cở sở hữu hạn

{ei: i I},…,Ep là K-môđun tự do với cơ sở hữu hạn {gl: l L}. Ta ký hiệu {ei: i I} là cơ sở đối ngẫu của {ei: i

I},…,{gl: l L} là cơ sở đối ngẫu của {gl: l L}. Khi đó tập các dnạg đa tuyến tính {ei … gl: (i,…,l) I

… L}là một cơ sở của K-môđun (E1 E2 ……Ep ;K)

Tương tự ta định nghĩa tích tenxơ E1 … Ep của các K-môđun E1,…Ep của các K-môđun (E*1 E*2

…… E*p ;K) Môđun E1 … Ep có cơ sở là {ei … gl: (i,…,l) I .. L}

4. Tenxơ Giả sử E là một K-môđun tự do có cơ sở hữu hạn

b={ei: i I = {1,2,…,n}}. Ta ký hiệu pE* = (Ep,K)

và qE = (E*q,K). Mỗi phần tử của pE* gọi là một

tenxơ p-lần hiệp biến trên E; Mỗi phần tử của qE gọi là một tenxơ q-lần phản biến trên E

Mỗi phần tử của ( pE*) ( qE ) được gọi là một tenxơ kiểu (p,q) trên E.

Mỗi phần tử của ( pE*) ( qE ) được gọi là một tenxơ kiểu (p,q) trên E.

Ví dụ:- Tenxơ kiểu (0,1) là một phần tử của E- Tenxơ kiểu (1,0) là một dạng tuyến tính

trên E.- Tenxơ kiểu (2,0) là một dạng song tuyến

tính trên E*.- ……

Theo các mệnh đề 4.8, 4.10 ta có:pb = {eij …. eip: (il,….ip) Ip}

(a)Là một cơ sở của pE:

pb* = {eij …. eip: (il,….ip) Ip}(b)

Là một cơ sở của pb*

Tính chất đối ngẫu giữa pE và pE* có thể biểu thị bởi dạng song tuyến tính <.|.> trên pE pE* xác định như sau:

<eij …. eip | eij …. eip> = = < eij | eip >….< eip | eip >= ….

(14)

Nếu T = ei1 … eip,

S = j1-jp eij … eip

Thì theo (5) và (13) ta có:

<T | S> = Si1,…ip

(15)Đối với T = x1 … xp S = u1 … up, trong

đó xi =

ek, i = l,…p thì theo (13) ta có :

<x1 … xp | u1 … up> =

.. …<x1 … xp | u1 … up> =<x1|

u1>…<xp|up> (16)Đẳng thức (16) chứng tỏ tính đối ngẫu giữa

pL và pE* được xác định bởi hệ thức (14) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở b của K-môđun E.

§6 ĐẠI SỐ TENXƠ

Giả sử E là một môđun trên vành K giao hoán có đơn vị 1.

Với mỗi số nguyên n 0 ta định nghĩa một K-môđun T như sau:

T0 = K, T1 = T0 E,…, Tn = Tn-1 E,…

Đặt

TK(E) = Tn

(1)TK(E) là một K-môđun. Với mỗi n 0, Tn có thể

đồng nhất với mỗi môđun con của TK(E). Khi đó tổng trực tiếp (1) là sự phân tích của K-môđun TK(E) thành tổng trực tiếp các môđun con.

Vì TK(E) là K-môđun sinh bởi 1 K và các tích tưn x1 … xn Tn của các phần tử x1,…,xn thuộc E do đó để TK(E) trở thành một K-đại số ta có thể định nghĩa một phép nhân song tuyến tính trong TK(E) như sau:1(x1 … xn) (y1 … yp) = x1 … xn y1 … y1 (2)

Dễ dàng kiểm tra lại rằng K-môđun TK(E) với phép nhân song tuyến tính xác định bởi (2) là một K-đại số kết hợp có đơn vị 1.K-đại số TK(E) gọi là đại số tenxơ trên K-môđun E.

Các phần tử của K-đại số tenxơ TK(E) có dạng x1 … xn Tn với mọ n 1 nào đó, gọi là phần tử

phân tích được của TK(E).

§7 ĐẠI SỐ NGOÀI

1. Ánh xạ đa tuyến tính thay phiênGiả sử E, G là các môđun trên vành K giao hoán có

đơn vị. Ánh xạ p-tuyến tính T từ Ep vào G gọi là thay phiên nếu trong các phần tử x1,…,xp E có hai phần tử trùng nhau, tức là x1 = xj = x, 1 i < j p thì

T(x1,….,xp) = 0(1)

Dễ thấy rằng tâp các ánh xạ p-tuyến tính thay phiên là một môđun con của K-môđun (Ep

,G) Giả sử E là K-môđun tự do có cơ sở hữu hạn {ei: i

I }, I = {1,2,…,n}. Ta ký hiệu ΛpE là tập các dạng p-tuyến tính thay phiên trên E*p . Khi đó ΛpE là một môđun con của môđun pE = (Ep

,K) . Ta sẽ khảo sát các K-môđun ΛpE và ΛpE*. Để dễ phân biệt các phần tử của

ΛpE người ta gọi là p-vectơ còn các phần tử của ΛpE* gọi là p-dạng.

Mệnh đề 4.11:Với p>1, mỗi p-vectơ của à là phản đối xứng. Nếu

vành K thỏa mãn điều kiện: nếu 2 = 0 thì = 0, thì mỗi tenxơ phản đối xứng của pE là p-vectơ.

Chứng minh:Giả sử T ΛpE, (i,j) (Sp, i<j và u1,…,up E*. Ta

ký hiệu:(u,v) = T(u1,…,ui-1,u,ui+1,…,uj-

1,v,uj+1,…,up)Theo tính chất đa tuyến tính thay phiên của T ta có

:0= (ui+uj,ui+uj)= (ui,ui)+ (uj,uj)+

(ui,uj)+ (uj,ui)0 = (ui,uj)+ (uj,ui)

Do đó (ui,uj) = - (uj,ui)Vậy T phản đối xứng.

2. Tích ngoàiTích ngoài của các phần tử x1,…,xp E, ký hiệu x1

Λ…Λxp, được xác định bởix1 Λ…Λxp = x 1 … x

(p) (2)Mệnh đề 4.12:Ánh xạ hp từ Ep vào ΛpE xác định bởi:

hp(x1,…,xp) = x1Λ…Λxp

Là một ánh xạ đa tuyến tính thay phiên.

Chứng minh: Tính chất đa tuyến tính của ánh xạ h p suy ra từ

tính chất đa tuyến tính của các ánh xạ:(x1,…,xp) (x (1) … x (p)), Sp

Nếu ứng với hai chỉ số i, j ta có xi = xj thì tổng vế phải đẳng thức (2) bằng 0, vì mỗi số hạng ứng với phép

thế chẵn triệt tiêu với số hạng đồng dạng ứng với phép thế lẻ (i, j).

Ví dụ:Nếu x, y E, ta có x Λ y = x y – y x. Giá trị

của xΛ y tại (u, v) E*2 được xác định bởi(x Λ y)(u, v) = x y (u, v) – y x(u, v)

= x(u) y(v) – u(u)x(v)

Mệnh đề 4.13:Giả sử E là một môđun tự do trên vành K có đơn

vị, với cơ sở b = {eb,…,en}. Khi đó đối với p > n ta có ΛpE = 0. Giả sử 1 p n, T ΛpE ta có :

T = eip) ei1 Λ….Λeip

(3)Và hệ Λpb = {ei1 Λ…..Λ eip: 1 i1 < …..< ip n} là

một cơ sở K-môđun ΛpE

Chứng minh: Vì T ΛpE pE, theo mệnh đề 4.10 ta có :

T = (ei1,…,eip) ei1 … eip

(a)Nếu p > n thì trong dãy ei1,…,eip có hai chỉ số giống

nhau; vì T là ánh xạ đa tuyến tính thay phiên nên ta có T(ei1,…,eip) = 0, do đó T = 0. Vậy nếu p > n thì ΛpE = 0.

Bây giờ giả sử 1 p n, ta có T(ei (1),…..,ei (p)) = sgn T (ei1,…,eip)

(b)Từ (a), (b) và (2) suy ra (3).Ta còn phải chứng tỏ hệ Λpb độc lập tuyến tính.

Giả sử

ai1…ipei1 Λ….Λ eip = 0

Nếu 1 j1 < ….< jp n thì giá trị của hai vế tại (ei1,…,eip)là aj1…jp. Vậy ta có aj1…jp = 0

Mệnh đề sau đây là một áp dụng quan trọng của tích ngoài

Mệnh đề 4.14:gải sử K là vành giao hoán có đơn vị, E là một K-môđun tự do có có sở hữu hạn {e1,…en}. Khi đó tất cả các cơ sở khác của E cũng có n phần tử, do đó dim E = n.

Chứng minh:Vì n = Sup {p N: ΛpE 0}.

Hệ quả:Dim ΛpE =

3. Sự đối ngẫu giữa ΛpE và ΛpE*Tính chất đối ngẫu ΛpE và ΛpE* được thể hiện bởi

dạng song tuyến tính <.|.>^ trên ΛpE ΛpE* xác định như sau:<ei1 Λ…Λ eip | eji Λ…Λ ejp>^ = <ei1 | ej1>….<eip | ejp> = i1j1…. ipjp (4)

Đẳng thức (4) tương đương với đẳng thức:<ei1 Λ……Λeip | ei1 Λ……Λeip>^ = (ei1 …… eip) ( ej1,….ejp) (5)

Theo tính chất đa tuyến tính và đối ngẫu giữa E và E* từ (5) ta có công thức:

<x1 ….. xp | u1 … up>^ = (x1 … xp)(u1,…,up)

= (u1^…^up)(x1,….,xp)(6)

Đối với mọi x1,…,xp E và u1,…,up E*, đẳng thức (6) chứng tỏ tính chất đối ngẫu giữa ΛpE và ΛpE* định nghĩa ở đẳng thức (4) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở b của môđun E.

4. Phép toán ngoàiMột p-vectơ của ΛpE gọi là phân tích được nếu nó

có dạng x1 … xp trong đó x1,…xp E. Theo mệnh đề 4.13, tập các p-vectơ phân tích được là một hệ sinh của K-môđun ΛpE. Xét ánh xạ sau:

Với mỗi (ei1 … eip, ej1

… ejq) Λpb, cơ sở của ΛpE và (ej1

… ejq) Λqb, cơ sở của ΛqE , ta đặt(ei1

… eip,ej1 … ejq) = ei1 … eip ^ej1 … ejq (7)

Với xi = ,i = 1,2,….p

yj = ,i = 1,2,….q

Ta đặt(x1 … xp) (y1 … yq) = x1 … xp y1

… yq (8)Do tính chất đa tuyến tính của ta có :

(x1 … xp) (y1 … yq) = …. … . (eij ... eip,

ej1 … ejq)= …. … eij ... eip ej1

… ejq

= x1 … xp y1 … yq

Vậy ánh xạ song tuyến tính xác định bởi (7) là ánh xạ song tuyến tính duy nhất từ ΛpE ΛqE* vào Λp+qE thỏa mãn (8)

Ta đặtR S = (R,S),R ΛpE, S ΛqE

(9)R S gọi là tích ngoài của p-vectơ R với q-vectơ S.

Do tính chất song tuyến tính của , ta suy ra tính phân phối phải của tích ngoài

R (S + S’) = R S + R S’(R + R’) S = R S + R’ S

Và ta có (aR) S = R (aS) = a(R S), với mọi a K

Mệnh đề 4.15:Phép toán ngoài xác định bởi (9) có tính chất kết

hợp, tức là (R S) T = R (S T), đối với mọi R ΛpE , S ΛqE, T ΛpE

Chứng minh:Theo tính chất đa tuyến tính của tích ngoài, chỉ cần

xét đối với R= x1 … xp, S = y1 … yq và T = z1 …zp. Điều này suy trực tiếp từ (8)

Đại số ngoài: Giả sử E là một môđun tự do n-chiều trên vành K có đơn vị.Đặt E = 0E 1E …. nE

(10)( 0E = K)

Tập E là một K-môđun tự do 2n-chiều. Với mỗi p0 ta có thể đồng nhất ΛpE . Khi đó (10) là sự phân tích

K-môđun E thành tổng trực tiếp các môđun con.K-môđun E với phép nhân song tuyến tính (9) là

một K-đại số kết hợp có đơn vị 1 K-đại số E được gọi là đại số ngoài của môđun E.

§8 VÀNH VÀ MÔĐUN NƠTE (*)

1. Định nghĩa môđun NơteMôđun hữu hạn sinh: Mỗi K-môđun có một hệ

sinh hữu hạn gọi là K-môđun hữu hạn sinhNhận xét: Môđun con của một môđun hữu hạn

sinh có thể không phải là môđun hữu hạn sinh. Chẳng hạn Z là vành các số nguyên. Xét tập

Z = {x = (x1,x2,….),xi Z}Trong Z ta định nghĩa hai phép toán cộng và

nhân như sau:Với x = (x1, x=,…);y = (y1, y2,…)

x + y = (x1 + y1, x2 + y2,…)x.y = (x1.y1, x2.y2,…)

Dễ thấy rằng Z với hai phép toán trên là một vành giao hoán có đơn vị = (1, 1,…).

Tập Z là một Z -môđun xyclic với phần tử sinh là = (1, 1,…).

Vậy Z là một môđun hữu hạn sinh

Xét tập B Z xác định như sau:B = {x=(x1, x2,…) Z : chỉ có một số hữu hạn xi 0}

Dễ thấy rằng B là một môđun con của Z -môđun, Z -môđun B không phải là Z -môđun hữu hạn sinh 1,

2,…, k.Giả sử n là chỉ số lớn nhất của các thành phần khác không của 1, 2,…, k. Khi đó trong B sẽ có phần tử có thành phần n + 1 khác 0, phần tử này không thể là Z - tổ hợp tuyến tính của 1, 2,…, k.

Từ nhận xét trên ta đi đến khái niệm môđun Nơte:

Định nghĩa:Giả sử K là một vành có đơn vị. K-môđun M gọi là

môđun Nơte nếu mọi môđun con của M đều hữu hnạ sinh.

Sau đây là các đặc trưng cơ bản của môđun Nơte:

Định lý 4.16:Đối với K-môđun M, các điều khẳng định sau là

tương đương:i) M là một môđun Nơteii) Mỗi dãy tăng các môđun con của M

M1 M2 M3 ….Sao cho Mi Mi+1, đều dừng lại sau hữu hạn bước

iii) Mọi phần tử hữu hạn rỗng S các môđun con của M đều có phần tử tối đại, tức là có môđun con Mo S sao cho N S nếu Mo N thì Mo = N

Chứng minh:(i) (ii): Xét dãy bất kỳ M1 M2 M3 ….các môđun

con của K-môđun M. Theo (i) môđun con N = Mi hữu

hạn sinh. Giả sử x1, x2,….,xr là các phần tử sinh của N. Khi đó sẽ tồn tại số n sao cho x1 Mn, i = 1, 2,…., r. Vậy với p = 1, 2,….ta có :

Mn+p = M1 = N =<x1, x2,….,xn> k

Mn

Do đó ta có Mn = Mn+1 = ….,(ii) được thỏa mãn(ii) (iii): Giả sử S là một họ khác rỗng các môđun con của K-môđun M ta lấy N1 S, nếu N1 chưa phải là phần tử tối đại của S, sẽ có N2 S sao cho N2 N3. Nếu N2

chưa tối đại sẽ có Ns S sao cho N2 N3,…Ta được dãy các môđun con Ni S:

N1 N2 N3 ….Theo (ii) n sao cho Nn = Nn+1 = …=Nn+p = ….Vậy

Nn S là phần tử tối đại cần tìm.(iii) (i): Giả sử N là một môđun con bất kỳ của

K-môđun M thỏa mãn điều kện (iii). Gọi S là cả các môđun con hữu hạn sinh của K-môđun M bị chứa trong môđun con N.

S={A = a1, a2,…,ar>K, ai N, i=1,2,….r}>

Rõ ràng rằng S . Theo (iii) họ S có ít nhất một phần tử tối đại, chẳng hạn A =<{a1, a2,…,an}>k. Giả sử A N, khi đó tồn tại an+1 A . Xét môđun con A’ = <{ a1, a2,…,an+1}>K. Khi đó ta có A’ S, A A’. Điều này trái với giả thiết A là phần tử tối đại của họ S. Vậy ta có :

N = A <{a1, a2,.....,an}>k

Vậy M là K-môđun Nơte

2. Tính chất

Mệnh đề 4.17:Giả sử M là K-môđun Nơte, khi đó mọi môđun

con, môđun thương của M đều là K-môđun Nơte

Chứng minh:Vì mỗi môđun con của N là một môđun con của

M, do đó mỗi môđun con N của M là K-môđun Nơte Xét môđun thương M/N. Giả sử p: M M/N là

đồng cấu chính tắc, khi đó nếu là một môđun con của K-môđun M/N thì p-1( ) = A là một môđun con của K-môđun M

Giả sử = 2 3 … là một dãy tăng các môđun con của môđun thương M.N. Đặt Mi = p-1( ), ta được dãy tăng các môđun con của K-môđun Nơte M

M1 M2 M3 ….Theo định lý 4.16. dãy này sẽ dừng sau r bước Mr = M r+1 = …Do đó sau r bước ta có = p(Mr) =

p(Mr+1) = =......Vậy M/N là K-môđun Nơte

Mệnh đề 4.18:Giả sử N là môđun con của K-môđun M. Khi đó

nếu N và M/N là các môđun nơte thì M cũng là môđun Nơte

Chứng minh: với mõi môđun con L của môđun M ta cho tương ứng với một cặp môđun :

L N và L + N/NTa sẽ chứng tỏ rằng nếu E F là các môđun con

của M sao cho các cặp tương ứng với điều kiện chúng

trùng nhau, tức là E N = F N, = thì E

= F. Thật vậy, giả sử x F, vì , = nên nó sẽ

tồn tại các phần tử: y E, u, v N sao cho : y + u = x + v. Ta có :

x - y = u - v F N = E NVậy x = y + u – v E, ta có E = FGiả sử

E1 E2 E3 ….(1)

Là một dãy tăng các môđun con của K-môđun M. Tương ứng với dãy (1) ta có hai dãy tăng các môđun con của các K-môđun Nơte N và M/N.

E1 N E2 N E3 N ….(2)

E1 + N/N E2 + N/N E3 + N/N …. (3)

Theo định lý 4.16, các dãy (2) và (3) sẽ dừng sau một số hữu hạn bước . Theo chứng minh trên dãy (1) cũng phải dừng sau một số hữu hạn bước. Vậy M là K-môđun Nơte

Hệ quả:Nếu M1 và M2 là hia K-môđun Nơte, khi đó tích

trực tiếp M1 M2 là K-môđun Nơte

Chứng minh:Vì K-môđun M1 M2 chứa môđun con Nơte:

M’1 = {(x, 0):x M1} = M1 {0} M1

Và môđun thươngM1 M1 | M’1 M2

Là K-môđun NơteBằng quy nạp ta có: nếu Mi, i =1, 2,…,n là các K-

môđun Nơte, khi đó Mi cũng là một K-môđun Nơte

3. Vành NơteVành K có đơn vị gọi là vành Nơte nếu K là một

K-môđun Nơte, tức là mọi iđêan trái (môđun con) của K đều hữu hạn sinh.

Định lý 4.19:Nếu K là một vành Nơte và M là một K-môđun

hữu hạn sinh thì M là một K-môđun Nơte

Chứng minh:Giả sử {x=, x2,…,xn} là một hê sinh của K-

môđun . Theo hệ quả của mệnh đề 4.18 thì Kn = K K……. K là một K-môđun Nơte

Xét K-đồng cấu:f: Kn M xác định bởi f(a1, a2,…,an) = a1x1 + …+anxn

Dễ thấy rằng f là một K-toàn cấu. Ta có :Kn | Ker(f) M

Theo mệnh đề 4.17, Kn | Ker(f) là một K-môđun Nơte. Vậy M là K-môđun Nơte.

Định lý 4.20:Giả sử A là một vành Nơte và : A B là một

toàn cấu vành, khi đó B cũng là vành Nơte.Chứng minh:Giả sử

B1 B2 B3 ….(1)

Là một dãy tăng các iđêan trái của vành B. Đặt Ai = -1 (Bi), i = 1, 2,… ta được một dãy tăng các iđêan trái của vành A

A1 A2 A3 ….(2)

Do A là vành Nơte nên dãy (2) dừng sau một số hữu hạn bước. Vì là một toàn ánh nên Bi = (Ai),. Do đó dãy (1) sẽ dừng sau một số hữu hạn bước. Vậy B là một vành Nơte.

Định lý 4.21 (Định lý Hinbe):Nếu K là một vành Nơte giao hoán thì vành đa thức K[x] cũng là vành Nơte

Chứng minh:Giả sử K là một vành Nơte giao hoán, J là một

iđêan của vành đa thức K[x]. Ta sẽ chứng tỏ J hữu hạn sinh.

Với mỗi i N, N={0, 1,….} ta ký hiệu Ai là tập con của K gồm phần tử 0 và các phần tử của K là hệ số cao nhất của các đa thức bậc i thuộc J. Ai là một iđêan của K, vì nếu a,b Ai thì dễ thấy rằng a b Ai ta Ai,

r KGiả sử a Ai, khi đó tồn tại đa thức bậc i:

f(x) = aixi + …+a1x + a0 thuộc iđêan J sao cho ai =a. Khi đó a cũng là hệ số cao nhất của đa thức bậc i + 1, xf(x) J. Vậy a Ai+1. Do đó Ai Ai+1. Ta có một dãy tăng các iđêan của vành K

A0 A1 A2 …. Ai ….Vì vành K Nơte nên tồn tại r sao cho Ar = Ar+1 =…

Ta có A0 A1 …. Ar = Ar+1 =…

Giả sử a01a02…a0n0 là hệ sinh của A0

a01a02…a0n1 là hệ sinh của A1

…………………………….ar1ar2….arnr là hệ sinh của Ar

Ta chọn các đa thức fij thuộc iđêan J có hệ tử cao nhất là aij, i = 0, 1,…, r; j = 1,…,ni. Ta sẽ chứng tỏ họ { fij

là một hệ sinh của JVì A0 là các đa thức bậc 0 nên f0j = a0j, j = 1,….,n0.

Do đó ta cóA0 ( { fij ) J

Giả sử f(x) J và deg f =d. Bằng cách quy nạp theo d ta chứng minh f(x) iđêan ( { fij )

Nếu d=0 thì f A0, điều khẳmg định đúng Giả sử d > 0 và điều khẳng định đúng đối với mọi

đa thức thuộc J có bậc nhỏ hơn d. Có một trong hai trường hợp xảy ra:

Hoặc d r. giả sử f = b0 + b1x +…=bdxd

Khi đó bd Ad = Ar. Vậy có các phần tử c1,…,cnr K sao cho

bd = c1ar1+…+cnrarnr

Đặt g = f – c1xd-rfr1+…+cnrxdrfrnr

(a)Ta có g J và deg g < dHoặc d < r thì bd Ad Ar

Khi đó các phần tử c1,…,cnd K sao cho :bd = c1ad1+…+cndadnd

Đặt g=f – (c1ad1+…+cnd fdnd)(b)

Ta cũng có g J và deg g < d.Cả hai trường hợp, thie giả thiết quy nạp đa thức g

thuộc iđêan ( { fij ). từ các hệ thức (a), (b) suy ra rằng cả hai trường hợp f đều thuộc iđêan ( { fij

). Vậy { fij là một hệ sinh của JBằng cách quy nạp ta có :

Hệ quả:Nếu K là một vành Nơte giao hoán, đặc biệt nếu K

là một trường thì vành đa thức n ẩn K[x1,…,xn] cũng là vành Nơte.

Ý nghĩa hình học của định lý Hinbe:

Giả sử P là một trường, fi(x1,…,xn) P[x1,…,xn] , i I là một họ đa thức cho trước

Tập M={(a1,…,an) Pn: fi(a1,…,an) = 0, i I}

được gọi là đa tập đại số của không gian Pn xác định bởi hệ phương trình :

fi(x1,…,xn) = 0, i I(c)

Ví dụ:Mỗi mặt phẳng là một đa tạp đại số của không gian

R3 xác định bởi phương trình:ax + by + cz + d = 0

Mỗi đường thẳng là một đa tạp đại số của không gian R3 xác định bởi hệ phương trình:

ax + by + cz + d = 0a’x + b’y + c’z + d = 0

Mỗi điểm N(a, b) R2 là một đa tạp của không gian R2 xác định bởi phương trình:

x – a = 0y – b = 0

Nếu M là một đa tạp xác định bởi hệ phương trình ©. Điểm (a1,…,an) thỏa mãn hệ (1) khi và chỉ khi (a1,…,an) thỏa mãn phương trình: g(x1,…xn)= 0, đối với mọi đa thức g(x1,…xn) thuộc iđêan A = ( { fi ). của vành P[x1,…xn]. Vì vành P[x1,…xn] là vành Nơte nên iđêan A hữu hạn sinh

A = ({g1, g2,…,gm})Vậy (a1, ….,an) thỏa mãn hệ phương trình (c) khi

và chỉ khi (a1, ….,an) thỏa mãn hệ phương trình;Gk (x1,…xn) = 0,k = 1, 2, …,m

Do đó mỗi đa tập đại số có thể xác định bởi hệ hữu hạn các phương trình.

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Bài 1) Giả sử J là môt iđêan của vành K có đơn vị 1 và x là một phần tử của K-môđun X. Chứng minh rằng tập con

A = J.x = { x: J}Là một môđun con của X

Bài 2) Chứng minh rằng tập X = R1 tất cả các hàm số thực xác định trên đoạn I = [0, 1] là một R-đại số đối với các phép toán thông thường. Chứng minh rằng tập

con A cảu X gồm tất cả các hàm số liên tục là một đại số con của X.

Bài 3) Một môđun con A của môđun X trên vành K có đơn vị gọi là hạng tử trực tiếp của X nếu và chỉ nếu tồn tại một môđun con B của X sao cho nhóm Aben X là tổng trực tiếp của hai nhóm con A và B. Trong trường hợp này, B gọi là một môđun con bù của A ; nói chung B không duy nhất . Một môđun X gọi là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môđun con của X đều là một hạng tử trực tiếp. Môđun X gọi là đơn nếu và chỉ nếu các môđun con duy nhất cảu x là {0} và X. Chứng minh rằng đối với 1 K-môđun X các điều khẳng định sau là tương đương:

i) X là nửa đơn ii) X là tổng trực tiếp của một họ những môđun con đơn của Xiii) X là tổng cảu một họ những môđun con của X

Bài 4) Giả sử S là một tập con của K-đại số X ổn định đối với phép nhân của X. Chứng minh răng môđun con A của X sinh bở S là một đại số con của X cà do đó A là một đại số con của X sinh bởi S

Bài 5) Giả sử S là một tập con của K-đại số X sao cho các phần tử của S giao hoán được với nhau trong X. Chứng minh rằng đại số con A của X sinh bởi S là giao hoán.

Bài 6) Với một đồng cấu S tùy ý của K-môđun X vào K-môđun Y. Chứng minh rằng ảnh f(A) của mọi môđun con bất kỳ A của X là một môđun con của Y và ảnh ngược f1(B) cảu một môđun con B bất kỳ của Y là một môđun con của X.

Bài 7) Giả sử f là một đồng cấu cảu K-môđun đơn X vào K-môđun Y. Chứng minh rằng nếu Im f 0 thì Im f là một môđun con đơn của Y và f là một đơn cấu

Bài 8) Với một đồng cấu bất kỳ h: X Y của K-môđun X vào K-môđun Y, K là một vành giao hoán có đơn vị, chứng minh răng ánh xạ: h* Y* X* xác định bởi h*(f) = foh đối với mọi f thuộc môđun đối ngẫu Y* của Y là một K-đồng cấu, h* gọi là đối ngẫu cảu h. Chứng minh rằng ánh xạ: D: HomK(X,Y) HomK(X*,Y*) xác định bởi D(h) = h* là một K-đồng cấu.

Bài 9) Giả sử f, g là các đồng cấu của K-đại số X vào K-đại số Y sao cho f(s) = g(s) đối với mọi phần tử s cảu tập con S X. Chứng minh rằng f(x) = g(x) đối với mọi phần tử x của đại số con A của X sinh bởi tập S

Bài 10) Giả sử q là một quatecniông bất kỳ cho trước. Xét ánh xạ q: H H xác định bởi (a) = qa, với mọi a H. Chứng tỏ rằng q là một tự đồng cấu của R-không gian vectơ H , Giả sử Mq là ma trận của q đối với cơ sở {1, i, j, k}. Chứng minh ánh xạ D: q Mq là một R-đồng cấu của đại số H vào M4[R]. Xác định một cơ sở của R-không gian vectơ D(H)

Bài 11) Một K-môđun X gọi là xạ ảnh nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu f: X A của K-môđun X vào K-môđun A và mọi toàn cấu g: B A của một K-môđun B lên K-môđun A, tồn tại một đồng cấu h: X B của môđun X vào môđun B sao cho quan hệ giao hoán goh = f xảy ra trong tam giác sau:

X

h f

B g AChứng minh rằng mọi K-môđun tự do đều là xạ

ảnh. Cho một ví dụ chứng tỏ rằng một K-môđun xạ ảnh không nhất thiết là tự do

Bài 12) Với mọi tập con tùy ý S cho trước của một không gian vectơ X trên trường P, chứng minh rằng:

i)Nếu S là một tập con độc lập tuyến tính thì tồn tại một cơ sở B của X với B S

ii)Nếu S là một tập sinh của X thì tồn tại một cơ sở B của X với B S

Bài 13) Giả sử A, B, C là các môđun trên vành K giao hoán có đơn vị. Chứng minh rằng:

A K AA B B AA (B C) (A B) C

Bài 14) Giả sử E F là tích tenxơ của hia môđun E, F trên vành K giao hoán có đơn vị. Chứng minh rằng

i)Ánh xạ ((x, y)) = x y là một ánh xạ song tuyến tính từ E F vào E F

ii) Đối với mỗi ánh xạ song tuyến tính : E F G, tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính f:

E F G sao cho f. = iii) Giả sử : ExF H là một ánh xạ song

tuyến tính. Nếu đối với mọi K-môđun G, với mọi ánh xạ song tuyến tính : ExF G tồn tại duy nhất ánh xạ song tuyến tính f: H G sao cho f’o = thì tồn tại duy nhất đẳng cấu g: E F H sao cho = go và f = f’.g

Bài 15) Giả sử K là vành giao hoán có đơn vị, X, Y là các K-môđun tự do có cơ sở hữu hạn. Chứng minh rằng mọi đồng cấu môđun f: X Y đều có thể mở rộng thành đồng cấu đại số duy nhất f*: X Y thỏa mãn f*(1) = 1. Đồng cấu f* gọi là cái kéo dài của f.

Bài 16) Giả sử X là một môđun tự do có cơ sở hữu hạn trên vành K giao hoán có đơn vị. Chứng minh rằng nếu u1 … um = 0

Bài 17) Giả sử E là một K-không gian vectơ với cơ sở {e1,…,en} và f là một đẳng cấu từ

nE vào K được xác định bởi: f( e1 … en) =

i) Chứng minh rằng ánh xạ u từ n-pE pE vào K xác định bởi u(S, T) = f(S T) là dạng song tuyến tính

ii) Giả sử S n-pE và v(S): pE K xác định bởi v(S)(T) = f(S T). Chứng minh rằng ánh xạ v: S v(S) là một đẳng cấu từ n-pE lên ( pE)*

Bài 18) Giả sử E là không gian vectơ với số chiều hữu hạn trên trường K . Giả sử T pE, S qE

Chứng minh rằng T S = (-1)pqS T, nếu p lẻ ta có T T = 0. Tính T T đối với T = e= e2 +e3 e4 trong đó e1, e2, e3, e4 độc lập tuyến tính.