wykład 14

2011-06-13 Reinhard Kulessa 1

Wykład 1411 Procesy transportu11.1 Strumień cząstek

11.3 Uogólniony współczynnik transportu.11.2 Średnia droga swobodna

11.3.1 Przewodnictwo cieplne11.3.2 Związek przewodnictwa cieplnego z elektrycznym11.3.3 Dyfuzja11.3.4 Lepkość dynamiczna

12. Niskie temperatury

12.2 Zjawisko nadciekłości12.1 Metody pomiaru niskich temperatur

12.3 Nadprzewodnictwo


11 Procesy transportu

Ażeby móc omówić procesy transportu, należy wprowadzić pewnepojęcia. Są nimi strumień cząstek, średnia droga swobodna i przekrój czynny na zderzenie.

11.1 Strumień cząstek

Chcemy określić liczbę cząstek przechodzących przez jednostkowąpowierzchnię dA w ciągu jednostki czasu. Załóżmy, że mamy doczynienia z cząstkami podlegającymi statystyce Maxwella – Bolzmana. Zgodnie z tą statystyką część cząstek posiadającaprędkości pomiędzy v a v + dv jest równa;

dvvfevkT

m

n

dn kTmvv )(2 2/2

2

3

2

1

2

.


x

y

z

dA

v

Liczba molekuł najednostkową objętośćposiadających prędkościpomiędzy v a v + dvtest równaf(v) n dv.

Część molekuł docierających dopłaszczyzny xy z

kierunku , , jest dana przez;

4

sin

4

sin2

dd

r

rddr.

W czasie dt w powierzchnię dA uderzy następująca część molekuł:


vdndtvdA )cos(

gdzie,

v dt oznacza odległość przebytą w czasie t,dA cos oznacza część dA prostopadłą do kierunku v,dnv oznacza liczbę molekuł na jednostkę prędkości,objętości i kąta bryłowego, przy czym

4

sin)(

dddvnvfdnv

.

W wyniku tego liczba molekuł uderzających w powierzchnię dA w czasie dt jest dana przez;

4

sin)cos()(

dddtvdAdvnvf


Strumień molekuł padający na jednostkę powierzchni w czasie jednostkowym otrzymamy w wyniku całkowania ostatniego wyrażenia po wszystkich kierunkach i prędkościach.

dvddevkT

mv

n kTmvN

cossin)()2

(4

2/223

21

2

0

2

0 0

2

W wyniku całkowania otrzymuje się, że

4

vnN (11.1).

Skorzystaliśmy z faktu, że

2

0

3

2

12

aex ax

.


2

1

8

m

kTv

v oznacza średnią prędkość jonów i jest równa:

W wykonanych obliczeniach nie braliśmy pod uwagę zderzeń pomiędzy cząstkami. Uwzględnienie tych zderzeń nie zmieni jednak otrzymanego wyniku.


11.2 Średnia droga swobodna

Aby poprawnie opisać zjawiska transportu, należy uwzględnić zderzenia pomiędzy cząstkami.Chcemy obliczyć średnią odległość przebywaną przez cząsteczkę przed zderzeniem z inną.Załóżmy, że mamy szereg molekuł w spoczynku, a porusza się jedna o średnicy d mająca prędkość v.

d

v

d2 v dt


Liczba zderzeń będzie równa liczbie molekuł w objętościd2 v dt. = d2 nazywamy przekrojem czynnym.

Inaczej przekrój czynny definiujemy jako stosunek liczby zderzeń dN do liczby cząstek padających N, gęstości cząstek w tarczy n i grubości tarczy x.

xnN

dN

(11.2)

Częstość zdarzeń określamy jako liczbę zdarzeń zachodzących na jednostkę czasu.

vnDla cząsteczek o prędkości średniej, częstość zdarzeń wynosi;


vn .

Droga przebyta w czasie t, jest równa v t, a liczba zderzeń w tym czasie t = n v t.

Średnia odległość pomiędzy zderzeniami będzie więc wynosiła:

ntvn

tv

1

(11.3)

.

Uwzględniając ruch wszystkich cząstek, oraz fakt, że prędkości cząstek dane są przez rozkład Maxwella, otrzymujemy na średnią drogę swobodną wartość;

n

2

1 .


Można również policzyć, że średnia wartość odległości od płaszczyzny x-y do miejsca, w którym cząsteczki miały ostatnie zderzenie przed przejściem przez powierzchnię dA wynosi;

3

2z (11.4)

11.3 Uogólniony współczynnik transportu.

Zdefiniowane do tej pory zależności pozwolą nam opisać zjawiska transportu cząstek.Załóżmy, że mamy pole cząstek o jednorodnej gęstości n = const. W tym polu cząsteczek istnieje również gradient pewnej własności w kierunku osi z.


może oznaczać energię, pęd, stężenie cząstek, ładunek, itp..

z

x

y

Transport wielkości przez powierzchnię dA jest zależny od zmiany w kierunku z. W pobliżu powierzchni dA możemy napisać:

dzdz

dzz 00 ||

(11.5)

.

Zależność ta jest ważna w odległości kilku dróg swobodnych od z = 0.

Transport w dół wielkości przez powierzchnię dA otrzymuje się przez przemnożenie strumienia cząstek (wzór 11.1) przechodzących przez powierzchnię dA, przez wartość

dA


wielkości w miejscu ostatniego zderzenia przed dA, czyli w odległości 2/3 .

dA0

2/3

2/3

3

2)(

4

1

3

2)(

4

1

00

00

dz

dvnJ

dz

dvnJ

z

z


Wypadkowy transport wielkości w kierunku dodatniej osi z jest sumą dwóch podanych strumieni;

dz

dvnJ

3

1(11.6)

Czynnik nazywamy uogólnionym współczynnikiem transportu.

vn3/1

11.3.1 Przewodnictwo cieplne

Przewodnictwo cieplne jest zdefiniowane przez relację daną przez prawo Fouriera;

zQ

Q

q TJ K

A z

J K T K grad T

(11.7)


Współczynnik K jest stałą przewodnictwa cieplnego. Druga część równania dotyczy transportu w dowolnym kierunku.

Wielkością transportowaną jest energia cząsteczek. Transport ten zachodzi zawsze w kierunku od wyższej do niższej temperatury. Pamiętamy, że cząsteczki charakteryzują się kilkoma rodzajami energii. Możemy energię cząsteczek wyrazić przez liczbę stopni swobody f.

kTf

i 2

Wtedy zgodnie z równaniem (11.6) mamy;

kTf

dz

dvn

A

qJ zQ 23

1

Z porównania ostatniego równania z równaniem (11.7) mamy;


kf

vnK23

1 .

Równanie to da się również przedstawić w następującej postaci:

00 3

1

3

1

N

cv

N

cvnK vv .

Ostatnią postać równania uzyskaliśmy w oparciu o zależność pomiędzy średnią drogą swobodną a przekrojem czynnym.

11.3.2 Związek przewodnictwa cieplnego z elektrycznym

Równanie transportu prądu elektrycznego jest dane przez prawo Ohma.


elj grad

.

W ostatnim równaniu jest potencjałem skalarnym pola elektrycznego, a el współczynnikiem przewodności elektrycznej. Podobieństwo tego wzoru z wzorem (11.7) jest widoczne natychmiast. Fakt ten został sformułowany w prawie Wiedermanna-Franza;

TLK el ,

gdzie L = 1/3 (k/e)2.

Przy transporcie ciepła należy pamiętać, że wypadkowe ciepło wpływające do elementu objętości musi być równe czasowej zmianie energii wewnętrznej. Prowadzi to do równania przewodnictwa cieplnego:


2

2

z

T

c

K

t

T

w

(11.8).

W równaniu tym oznacza gęstość, a cw ciepło właściwe ośrodka. Współczynnik K/cw określa zdolność przewodzenia ciepła.

11.3.3 Dyfuzja

Jeśli doprowadzimy np. w cylindrze do kontaktu dwóch gazów lub cieczy o różnych ciężarach cząsteczkowych, ostra granica pomiędzy tymi materiałami po jakimś czasie zaniknie. Zakładamy, że nie zachodzą ruchy konwekcyjne. Każdy ze składników będzie chciał zająć całą dostępną objętość. Koncentracja np. gazów w cylindrze będzie dana przez równanie barometryczne. ZachodząceW cylindrze zjawisko nazywamy dyfuzją i zaliczamy je do procesów transportu.


Wielkością transportowaną jest koncentracja. Jeśli przez dn/dz oznaczymy zmianę koncentracji w określonym kierunku, to

N

dnJ D D grad n

dz . (11.9)

Jest to sformułowanie prawa Ficka. Na wskutek dyfuzji istnieje wypadkowy ruch cząstek z obszaru o wyższej koncentracji do obszaru o niższej koncentracji.Współczynnik dyfuzji dla cząstek jednakowych jest dany przez;

vD3

1 .

W przypadku, gdy dyfuzja dotyczy dwóch różnych gazów lub cieczy, współczynnik dyfuzji przyjmuje postać;


22,1

2

1

2,1

1

28

3

dnm

kTD

gdzie2

212,1

21

21 ddd

mm

mmm

.

Zmianę koncentracji w określonym kierunku w czasie podaje równanie dyfuzji;

2

2

z

nD

dt

dn

. (11.10)

11.3.4 Lepkość dynamiczna

Jedną z bardzo częstych transportowanych wielkości fizycznych jest pęd. Z transportem tej wielkości związana jest lepkość.


z

u

F/A= = η du/dz

Pęd jest transportowany z obszarów o dużej prędkości do obszarów o małej prędkości, przy czym p = mu.W oparciu o równanie (11.6) mamy:

z

umvn

z

muvnJ p

3

1)(

3

1 (11.11).

WspółczynnikTarciawewnętrznego


Z drugiej strony mamy, że:

p

uJ

z

Otrzymujemy wobec tego na współczynnik lepkości wartość:

1

3nmv

Należy jeszcze zaznaczyć, że wypadkowy transport pędu jestujemny dla u/z dodatniego.

Istnieje również związek pomiędzy przewodnictwem ciepła alepkością.

0

vcK

mN


Współczynniki te można powiązać z tzw. Liczbą Prandtla

Pr p vc c

K K

,

gdzie =cp/cv.

Dla gazu idealnego pod ciśnieniem 1 at liczba Prandtla wynosi 1.667, dla He – 0.69, dla O2 – 0.71.


12. Niskie temperatury

Jedną z głównych metod otrzymywania niskich temperatur jest wykorzystanie efektu Joule’a-Thomsona.Przypomnijmy, że zjawisko to polegające na ochładzaniu się gazuprzy rozprężaniu nazywamy dodatnim, zaś polegające na ogrzewaniu – ujemnym.Okazuje się, że znak zjawiska Joule’a – Thomsona zależy od tego, która z poprawek a, czy b w równaniu van der Waalsa odgrywa większa rolę.

RTbVV

ap

0

0

.

Gaz, dla którego można pominąć poprawkę b w równaniu van der


Waalsa a poprawka a odgrywa znaczącą rolę, oziębia się przy rozprężaniu.

Ażeby gazy skroplić, musimy je oziębić poniżej temperatury krytycznej, gdyż powyżej tej temperatury nie da się gazu skroplić żadnymi metodami.

Najważniejszymi metodami otrzymywania niskich temperatur są;

1. Ekspansja gazu z wykonywaniem pracy zewnętrznej,

2. Odparowanie cieczy pod zmniejszonym ciśnieniem,

3. Zjawisko Joule’a-Thomsona dla przypadku zjawiska dodatniego, czyli dla gazu ochłodzonego poniżej temperatury inwersji,

4. Efekt Peltiera, polegający na wymianie ciepłą pomiędzy dwoma różnymi metalami na wskutek przepływu prądu.


Omówmy pokrótce ten efekt;

a bJQa JQb

Je

Mamy tu do czynienia z równoczesnym transportem ciepła i ładunku.

ebQb

eaQa

JTJ

JTJ

0

eJdT

dE oznacza siłę termoelektryczną.

Wypadkowy transport ciepła wynosi:

eabQab

ebaQbQaQab

JJ

JTJJJ

)((12.1)


ab jest współczynnikiem Peltiera.

Dla złącza chromel – konstantan współczynnik Peltiera wynosi22.3 mV. Współczynnik Peltiera rośnie z temperaturą .

5. Adiabatyczne rozmagnesowanie paramagnetyka

Problem ten omówiliśmy w czasie jednego z wykładów.

6. Mieszanie ciekłego 3He i 4He.

Proces ten umożliwia osiąganie temperatur do 0.001K.

12.1 Metody pomiaru niskich temperatur

Do pomiaru temperatur poniżej 1K najczęściej stosuje się następujące metody;


a). Pomiar podatności magnetycznej,b). Pomiar zależności oporu elektrycznego od temperatury,c). Pomiar ciśnienia par 4He w równowadze z cieczą. (jest to związane ze zmniejszaniem się ciepła właściwego mieszaniny.

12.2 Zjawisko nadciekłości

Przy obniżaniu temperatury pewne ciecze wykazują bardzo charakterystyczne właściwości.Omówmy to na przykładzie ciekłego 4He. W temperaturze 2.17 K istnieje punkt przejścia, w którym zmienia się cały szereg własności tej cieczy.:

1. W temperaturze 2.17 K następuje skok pojemności cieplnej ciekłego helu, tzw. Punkt (lambda) (patrz rysunek)2. Znikanie lepkości poniżej punktu . Lepkość jest 106 razy mniejsza niż powyżej punktu .


Cp[J/Mol·K]

0 1 2 3 4

10

20

30

T[K]

3. Zjawisko pełzania ciekłego 4He po ściankach naczynia


4. Występowanie w nadciekłym He II fali podłużnej (dźwięku) wzbudzanej termicznie.

Jak wygląda diagram fazowy 3He i 4He?.

P[at]

1 2 3 4 5

25

50

75

T

He stały

Ciekły HeII

Ciekły HeI

Krzywa przejścia

Krzywa topnienia4He

1 2 3 4

40

80

120

160

T

P[at] 3He

Ciało stałeciecz


12.3 Nadprzewodnictwo

Stan nadprzewodnictwa cechuje się następującymi własnościami;

1. Skokowy zanik oporu elektrycznego w temperaturze przejścia (np. 7.19 K dla Pb). Wzbudzony w obwodzie kołowym prąd może krążyć 105 lat.

2. Zależność temperatury przejścia od pola magnetycznego,3. Zjawisko Meissnera-Ochsenfelda: zanikanie pola magnetycznego wewnątrz nadprzewodnika w

temperaturze przejścia.4. Zwiększenie nachylenia krzywej zależności entropii od temperatury poniżej temperatury przejścia (skok

pojemności cieplnej).

wykład 14

Documents