x4 スカラー場の勾配平面の各点(x;y) に1 つの実数f が対応していると...
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§4 スカラー場の勾配
数理科学特論B2
2017.10.18
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スカラー場とベクトル場
2
スカラー場とベクトル場
• 各点 (x, y, z)に 1つの実数 f が対応しているとき，
スカラー場が定義されているという.
• 各点 (x, y, z)に1つのベクトルAが対応しているとき，ベクトル場が定義されているという.
• A = (Ax(x, y, z), Ay(x, y, z), Az(x, y, z))
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平面のスカラー場とベクトル場
• 平面の各点 (x, y)に 1つの実数 f が対応していると
き，スカラー場が定義されているという.
• 平面の各点 (x, y)に 1つのベクトルAが対応しているとき，ベクトル場が定義されているという.
• A = (Ax(x, y), Ay(x, y))
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n次元空間のスカラー場とベクトル場
• 各点 (x1, . . . , xn)に 1つの実数 f(x1, . . . , xn)が対
応しているとき，スカラー場が定義されているとい
う.
• 平面の各点 (x1, . . . , xn)に1つのベクトルAが対応しているとき，ベクトル場が定義されているという.
• A = (A1(x1, . . . , xn), . . . , An(x1, . . . , xn))
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具体例
• 流体 (大気, 海水など)の各点における温度
: スカラー場
• 流体の各点における流速 : ベクトル場
• 原点からの距離 r =√
x2 + y2 + z2: スカラー場
• 各点での位置ベクトル rr = (x, y, z): ベクトル場
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時間に依存する場
• 時刻 tによって変化するスカラー場，ベクトル場は，
f(x, y, z, t), A(x, y, z, t)の形で考察する．
• ここでは主に tによらないスカラー場，ベクトル場を
扱う．
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平面のスカラー場
x y
z スカラー場
(x, y) 7→ f(x, y)
⇔ z = f(x, y)
曲面グラフ
7
平面のスカラー場
x y
z 等間隔の平面
z = cで切る
⇔ 等高線
7
平面のスカラー場
xy
z
7
平面のスカラー場
x
y
z
7
平面のスカラー場
x
y
7
平面のスカラー場
x
y
12
1322
等高線群
平面のスカラー場を平面内に表示
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空間のスカラー場
• スカラー場f(x, y, z)
• f(x, y, z) = cで定まる曲面: 等位面
• 定数 cを等間隔に複数とったもの: 等位面群
スカラー場を空間内に実現可能．
9
平面のベクトル場
x
y
O
ベクトル場
A(x, y) = (−y, x)
9
平面のベクトル場
2x
y
O
ベクトル場
A(x, y) = (−y, x)
A(2, 0) = (0, 2)
9
平面のベクトル場
2
x
y
O
ベクトル場
A(x, y) = (−y, x)
A(0, 2) = (−2, 0)
9
平面のベクトル場
−1
1
x
y
O
ベクトル場
A(x, y) = (−y, x)
A(−1, 1) = (−1, −1)
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積分曲線
x
y
O
曲線rr(t) = (x(t), y(t))
常にAに接する
⇔drr
dt(t) = A(rr(t))
積分曲線とよぶ
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A = (2x,−2y)の積分曲線 (1)
x
y
O
A(x, y) = (2x,−2y)の積分曲線を求める．
12
A = (2x,−2y)の積分曲線 (2)drr
dt(t) = A(rr(t)), rr(t) = (x(t), y(t))
⇔ (x′(t), y′(t)) = (2x(t), −2y(t))
⇔
dx
dt= 2x
dy
dt= −2y
(1階連立常微分方程式)
⇔{
x(t) = C1e2t
y(t) = C2e−2t
⇔ xy = k (k: 定数)
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A = (2x,−2y)の積分曲線 (3)
x
y
O
xy = k k:定数
各点を通る積分曲線が一意に定まる．
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スカラー場の勾配
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記号
今後，偏微分記号を次のように表す：
∂x =∂
∂x, ∂y =
∂
∂y, ∂z =
∂
∂z
たとえば，∂f
∂xの代わりに∂xfで表す．
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勾配 (gradient)
スカラー場f(x, y, z)に対し
grad f = (∂xf, ∂yf, ∂zf)
で定まるベクトル場をfの勾配 (gradient)という．
※ スカラー場f −→ ベクトル場grad f
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ナブラ記号
∇ = (∂x, ∂y, ∂z)
とおくと，とおくと，形式的に
grad f = (∂xf, ∂yf, ∂zf) = ∇f
と表せる.
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例題 f = x2y − sin(yz)
• ∂xf = 2xy
∂yf = x2 − z cos(yz)
∂zf = −y cos(yz)
• grad f = ∇f
= (2xy, x2 − z cos(yz), −y cos(yz))
• P(0, 1, π)のとき
(grad f)P = (0, π, 1)
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例題 ∇r
• r =√
x2 + y2 + z2, rr = (x, y, z)とする
• ∂x
√x2 + y2 + z2 =
1
2u−1
2∂xu =x
r(u = x2 + y2 + z2とおく)
• 同様に∂y =y
r, ∂z =
z
r
• ∇r =
(x
r,y
r,z
r
)=
rr
r
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合成関数とgrad
• u = u(x, y, z), f = f(u)
• ∂xf(u) = f ′(u)∂xu
合成関数の微分公式・連鎖律 (chain rule)
• 同様に∂yf(u) = f ′(u)∂yu, ∂zf(u) = f ′(u)∂zu
⇒ ∇f(u) = f ′(u)∇u
• 特にu = r =√x2 + y2 + z2のとき
∇f(r) =f ′(r)
rrr
21
例題 ∇( 1r2)
∇(
1
r2
)=
(1
r2
)′∇r
= −2
r3
rr
r
= −2rr
r4
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勾配の図形的意味
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fとgrad f
スカラー場fの勾配grad fは
1. fの等位面に垂直な方向
2. 大きさはfの方向微分係数の最大値
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等位面と勾配 (例: f = x2 − y2)
x
y
Ox
y
O
f = x2 − y2 grad f = (2x,−2y)
24
等位面と勾配 (例: f = x2 − y2)
f = x2 − y2 grad f = (2x,−2y)
x
y
O
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等位面に垂直 (1): 準備
スカラー場f(x, y, z)，曲線 rr(t) = (x(t), y(t), z(t))
連鎖律 (合成関数の微分)より
d
dtf(rr(t)) =
∂f
∂x
dx
dt+
∂f
∂y
dy
dt+
∂f
∂z
dz
dt
= (∂xf)x′(t) + (∂yf)y
′(t) + (∂zf)z′(t)
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等位面に垂直 (2): 証明
等位面f(x, y, z) = c内の曲線 rr = (x(t), y(t), z(t))
f(x(t), y(t), z(t)) = c
tで微分すると，
(∂xf)x′(t) + (∂yf)y
′(t) + (∂zf)z′(t) = 0
(∂xf, ∂yf, ∂zf) · (x′, y′, z′) = 0
(∇f) · rr′ = 0 ⇔ ∇f ⊥ rr′
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等位面に垂直 (3): 結論
等位面上の各点Pにおいて (∇f)P ⊥ rr′
rr(t)は等位面内の任意の曲線
⇒ rr′は等位面の任意の接ベクトル
⇒ (∇f)Pは等位面の法ベクトル
28
方向微分係数 (1): 定義
x
y
z
f(x, y)
e
P
x
y
O
• スカラー場f
• 直線 rr(t) = pp + tee
28
方向微分係数 (1): 定義
x
y
z
f(x, y)• スカラー場f
• 直線 rr(t) = pp + tee
d
dtf(rr(t))
∣∣∣t=0
=: ∂eef
Pにおける ee方向の方向微分係数
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方向微分係数 (2): 計算
• rr(t) = pp + tee = (px + tvx, py + tvy, pz + tvz)
∂eef =d
dtf(rr(t))
∣∣∣t=0
=d
dtf(px + tvx, py + tvy, pz + tvz)
∣∣∣t=0
= (∂xf)Pvx + (∂yf)Pvy + (∂zf)Pvz
= (∇f)P · ee
(∂eef)P = (∇f)P · ee
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方向微分係数 (3): 勾配の大きさ
• (∇f)Pと eeのなす角をθとおく
• (∂eef)P = (∇f)P·ee = |(∇f)P| |ee| cos θ ≤ |(∇f)P|
• θ = 0のとき最大値 |(∇f)P|
• Pにおいて (∂eef)Pが最大 ⇐⇒ (∇f)P // ee
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勾配の性質，まとめ
• (∇f)Pの向き
– fが最も増加する向き
– 等位面に垂直
• (∇f)Pの大きさはfの方向微分係数の最大値
• 等位面群が密なほど |∇f |は大きく,疎なほど |∇f |は小さい.
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例題 4.6
• f(x, y, z) = x2 log y − x3z2, P(3, 1, −1),
ee =(49, 8
9, 1
9
)• ∇f = (2x log y − 3x2z2, x2
y, −2x3z)
• (∇f)P = (−27, 9, 54)
• (∂eef)P = (∇f)P · ee= (−27, 9, −54) · (4
9, 8
9, 1
9) = −12+8+6 = 2
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例題 4.7
球面S : x2 + y2 + z2 = 9の点P(2, 1, −2)におけ
る単位法ベクトルを求めよ.
• Sはf = x2 + y2 + z2の等位面.
⇒ (∇f)P ⊥ S
• ∇f = (2x, 2y, 2z) ⇒ (∇f)P = (4, 2,−4)
• n = 1√36(4, 2,−4) = (2
3, 1
3, −2
3)