Zadaća 2. - rješenja

2

Zadatak 1.

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (1)

Riješite sljedeće zadatke grafičkom metodom primjenom dosad naučenih transformacija, te metodom razlikovanja slučajeva:

a) ,

b)

Zad. a) Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

3

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (2)

1. slučaj :

2. slučaj :

Zad. b)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

4

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (3)

1. slučaj : i

2. slučaj : i

3. slučaj : i

4. slučaj : i

Zad. c)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

5

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (4)

1. slučaj : i

2. slučaj : i

3. slučaj : i

4. slučaj : i

Zad. c)

Rješenje.

6

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (5)

Zad. d)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

7

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (6)

1. slučaj : i

2. slučaj : i

3. slučaj : i 4. slučaj : i

Zad. d)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

8

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (7)

1. slučaj : i 2. slučaj : i

3. slučaj : i

4. slučaj : i

Zad. d)

Rješenje.

9

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (8)

10

DISKUSIJA:

Po čemu se razlikuju funkcije čiji se graf može nacrtati grafičkom metodom

(npr. ), od funkcije čiji se graf ne može nacrtati grafičkom metodom

(npr. )?

Za razliku od prvog niza primjera funkcija, u drugom nizu se svaka funkcija sastoji od zbroja ili razlike dviju apsolutnih vrijednosti.

Što zaključujete na temelju toga?

Sve funkcije koje se sastoje od zbroja ili razlike dviju ili više apsolutnih vrijednosti ne mogu se rješavati grafičkom metodom primjenom transformacija grafa, već metodom razlikovanja slučajeva.

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (9)

11

Zadatak 2.

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (10)

Riješite navedene funkcije metodom razlikovanja slučajeva. Nakon toga nacrtajte grafove tih funkcija:

a) f(x)||

b) c)

12

Zad. a)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (11)

1. slučaj :

I) II)

2. slučaj :

13

Zad. a)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (12)

1. slučaj : 2. slučaj :

I) II)

14

Zad. a)

Rješenje.

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (13)

15

Zad. a)

Rješenje. Grafička metoda

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (14)

1. korak:

- graf funkcije

16

Zad. a)

Rješenje. Grafička metoda

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (15)

2. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

17

Zad. a)

Rješenje. Grafička metoda

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (16)

3. korak:

- translatiramo graf funkcije za 2 prema „gore” obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

18

4. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

Budući da graf funkcije ne poprima negativne vrijednosti, zrcaljenjem se graf navedene funkcije podudara s grafom funkcije .

Zad. a)

Rješenje. Grafička metoda

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (17)

19

Zad. b)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (18)

1. slučaj :

I) II)

2. slučaj :

20

Zad. b)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (19)

1. slučaj :

2. slučaj :

I) II)

.

⇒

21

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (20)

Zad. b)

Rješenje.

𝒈 (𝒙 )=¿

22

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (21)

1. korak:

- graf funkcije

Zad. b)

Rješenje. Grafička metoda.

23

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (22)

2. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

Zad. b)

Rješenje. Grafička metoda.

24

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (23)

3. korak:

- translatiramo graf funkcije za 2 prema „dolje” obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

Zad. b)

Rješenje. Grafička metoda.

25

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (24)

4. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

Zad. b)

Rješenje. Grafička metoda.

26

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (25)

4. korak:

- dobivamo rješenje zadatka, tj. graf funkcije

Zad. b)

Rješenje. Grafička metoda.

27

Zad. c)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (26)

1. slučaj :

I) II)

2. slučaj :

28

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (27)

2. slučaj :

I) II)

1. slučaj :

Zad. c)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

29

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (28)

h (𝑥 )=¿

Zad. c)

Rješenje.

30

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (29)

Zad. c)

Rješenje. Grafička metoda.

1. korak:

- graf funkcije

31

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (30)

Zad. c)

Rješenje. Grafička metoda.

2. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

32

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (31)

Zad. c)

Rješenje. Grafička metoda.

3. korak:

- translatiramo graf funkcije za 3 prema „dolje” obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

33

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (32)

Zad. c)

Rješenje. Grafička metoda.

4. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

34

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (33)

Zad. c)

Rješenje. Grafička metoda.

4. korak:

- dobivamo graf funkcije

35

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (34)

Zad. c)

Rješenje. Grafička metoda.

5. korak:

- translatiramo graf funkcije za 5 prema „dolje” duž -osi

- time dobivamo rješenje zadatka, tj. graf funkcije

36

Zad. d)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (35)

1. slučaj :

I) II)

2. slučaj :

37

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (36)

1. slučaj : 2. slučaj :

I) II)

Zad. d)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

38

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (37)

𝑞 (𝑥 )=¿

Zad. d)

Rješenje.

39

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (38)

1. korak:

- graf funkcije

Zad. d)

Rješenje. (1. način) Grafička metoda:

40

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (39)

2. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

Zad. d)

Rješenje.

41

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (40)

3. korak:

- translatiramo graf funkcije za 2 prema „dolje” obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

Zad. d)

Rješenje.

42

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (41)

4. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

Zad. d)

Rješenje.

43

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (42)

4. korak:

- dobivamo graf funkcije

Zad. d)

Rješenje.

44

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (43)

5. korak:

- budući da nam je koeficijent 5 uz apsolutnu vrijednost veći od 1, graf funkcije će biti uži od grafa funkcije

Kako ćemo to nacrtati?

Zad. d)

Rješenje.

45

Zad. d)

Rješenje. (2. način)

možemo zapisati na sljedeći način:

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (44)

46

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (45)

1. korak:

- graf funkcije

Zad. d) Rješenje.

47

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (46)

2. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

Zad. d) Rješenje.

48

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (47)

3. korak:

- translatiramo graf funkcije za 10 prema „dolje” obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

Zad. d) Rješenje.

49

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (48)

4. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

Zad. d) Rješenje.

50

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (49)

5. korak:

- dobivamo graf funkcije

Zad. d) Rješenje.

51

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (50)

6. korak:

- translatiramo graf funkcije za 3 prema „gore” duž -osi

- time dobivamo rješenje zadatka, tj. graf funkcije

Zad. d) Rješenje.

52

Zad. e)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (51)

1. slučaj :

I) II)

2. slučaj :

53

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (52)

1. slučaj : 2. slučaj :

I) II)

Zad. e)

Rješenje. Razlikujemo slučajeve:

𝑥<2

54

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (53)

𝑟 (𝑥 )=¿

Zad. e)

Rješenje.

55

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (54)

Zad. e)

Rješenje. Grafička metoda

možemo zapisati na sljedeći način:

56

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (55)

1. korak:

- graf funkcije

Zad. e) Rješenje.

57

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (56)

2. korak:

- zrcalimo graffunkcije obzirom na -os

- dobivamo graffunkcije

Zad. e) Rješenje.

58

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (57)

3. korak:

- translatiramo graf funkcije za 3 prema „dolje” obzirom na -os

- dobivamo graf funkcije

Zad. e) Rješenje.

59

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (58)

4. korak:

- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

Zad. e) Rješenje.

60

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (59)

4. korak:

- dobivamo graffunkcije

Zad. e) Rješenje.

61

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (60)

5. korak:- zrcalimo graf funkcije obzirom na -os

- dobivamo graffunkcije

Zad. e) Rješenje.

62

Graf funkcije apsolutne vrijednosti (61)

6. korak:- translatiramo graffunkcije za 5 prema „gore” obzirom na -os

- time dobivamo graffunkcije

Zad. e) Rješenje.