هندسة 1ث ع ف 1

2 ×-1 +1×3

2 +1

2 ×5 +1×-2

2 +1

4 ×-1 - 3×3

4- 3

4 ×5 - 3×-2

4- 3

أ جـ

جـ ب

5

3

5×-3 +3 ×4

5 +3

5×5 +3 ×3

5 +3

أ جـ

جـ ب

5

3 5×-5 - 3 ×3

5- 3

5×2 - 3 ×4

5- 3

3+ س 2+ س 1س

3

3+ ص 2+ ص 1ص

3

-1 -2 +2

3

2-1+3

3

1ص 2+ م 2ص 1م

2+ م 1م

1س 2+ م 2س 1م

2+ م 1م

2+ س 1س

2

2ص+ 1ص

2

1

( 2، ص 2( ، ب = ) س 1، ص 1:ـ إذا كانت أ = ) س تقسيم قطعة مستقيمة

، جـ = ) س ، ص ( فإن 2: م 1، جـ تقسم أ ب بنسبة م

، ص = و هذا إذا كان التقسيم من الداخل س =

( -من الخارج بدل ) + ( في القانون نضع ) أما إذا كان التقسيم

: إذا كانت جـ منتصف أ ب فإن س = ،، ص = مالحظة مهمة جدا

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ( فأوجد إحداثي نقطة جـ التي تقسم أ ب 5، 1-( ، ب = ) 2-، 3: إذا كانت أ = ) 1مثال

(I من الداخل بنسبة )1: 2 (II من الخارج بنسبة )3: 4

1= 2، م 2= 1، م 5= 2، ص 2-= 1، ص 1-= 2، س 3= 1( سI) :ـالحل

نفرض إحداثي جـ ) س ، ص (

= 8/3= ،، ص = 1/3= س (= 8/3، 1/3جـ )

(IIم )3= 2، م 4= 1

= 22= ، ص = 13= س ( = 22، 13جـ ) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

؟ أوجد جـ جـ ب 5أ جـ = 3أ ب بحيث ( و كانت جـ 5، 3-( ، ب= ) 3، 4ذا كانت أ = ) إ( 2)

= جـ ب 5أ جـ = ჻ 3،، 5= 2، ص 3= 1، ص 3-= 2، س 4= 1س ჻ :ـالحل

نفرض جـ = ) س ، ص ( 3= 2،، م 5= 1م

= = 11/4= 34/8= ، ص = 3/8-س

( = 11/4، 3/8-جـ ) ــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أ ب ، جـ أ ب ( فأوجد إحداثيات نقطة جـ إذا كانت جـ 2، 5-( ، ب = ) 4، 3إذا كانت أ = ) ( 3)

ب جـ 5أ جـ = 3،

التقسيم من الخارج أ ب جـ ჻ 2= 2ص ، 4= 1، ص 5-= 2س ، 3= 1:ـ سالحل

= 3= 2، م 5= 1م

= = 1-، ص = = 11-س ( = 1-، 11-جـ ) ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

(4 ) ( = أوجد نقطة تقاطع متوسطاته ؟ 3، 2( ، جـ = ) 1-، 2-( ، ب= ) 2، 1-أ ب جـ فيه أ )

: الحل

أ ب جـ ، مـ = ) س ، ص ( نفرض أن مـ هي نقطة تقاطع متوسطات

) س ، ص (= ، ( ) ، ( =

( = 3/ 4، 3/ 1-مـ )

، ك( ـ أوجد النسبة التي تنقسم بها أ ب 3( ، جـ = )3-، 5( ، ب = ) 3، 1-إذا كانت أ = ) ( 5)

ك ؟ التقسيم ــ ثم أوجد قيمة مبينا نوع بنقطة جـ

عطية ممدوح الصعيدي 0أ

1م

2م

4

2

2×-3 +1×3

2+1

3× 2+ م 1× 1م

2+ م 1م

1م

2م

-3

1

3×-3 - 1 ×2

3- 1

1+9

2

-2 +2

2

+ س15

2

+ ص4

2 + س15

2

+ ص4

2

1س 2+ م 2س 1م

2+ م 1م

1-× 2+ م 5× 1م

2+م 1م

1ص 2+ م 2ص 1م

2+م 1م

1ص 2+ م 2ص 1م

2+ م 1م

1س 2م - 2س 1م

2م - 1م

2+س 1س

2

2+ص 1ص

2

2

2: م 1نفرض أن جـ تقسم أ ب بنسبة م 3-= 2، ص 3= 1، ص 5= 2، س 1-= 1:ـ سالحل

჻ =س 3 = 3 2م - 1م5= 2م3+ 1م

2 2م 4= 1م = =2 /1 ، التقسيم من الداخل჻ 1= 2، م 2= 1م

= = = 1 -ك #

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( 3، 2( أوجد النسبة التي يقسم بها محور السينات القطعة المستقيمة أ ب حيث أ = ) 2)

( مبينا نوع التقسيم ـ ثم أوجد إحداثي نقطة التقسيم ؟ 1، 3-، ب= )

ص معلومة = صفر ( 0:ـ أي نقطة علي محور السينات تكون ) س ، الحل

،჻ = ص = صفر 1 صفر 2م3+ 1م =

12م 3 -= 1م = 1= 2، م 3= 1التقسيم من الخارج ، م

= 21/4= = س #

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( ـ 2، 9، جـ = ) ( 4، 15( ، ب = ) 2-، 1أ ب جـ د متوازي أضالع فيه أ = ) ( 1)

00 وجد إحداثي نقطة تقاطع القطرين ثم أوجد نقطة د أـ

:ـ في متوازي األضالع القطران ينصف كال منهما األخر نفرض أن م هي نقطة تقاطع القطرين الحل

مـ منتصف أ جـ ( = ) ، ( = 8،2، ( = ) مـ )

مـ منتصف ب د أيضا ჻نفرض د = ) س ، ص ( ،

(8 ،2 ) ، ( = )

8 = 15 = 12+ س = 1س

،2 = 4 = 4+ ص = 0ص

( = 0، 1إحداثيات نقطة د # )

ـــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

معادلة اخلط املستقيم :ـ


1ص -ص

1س -س

2 -ص

3 -س

1- 2

-1-3

1

4

5 -ص

0 -س

س

3

ص

4 0 -ص

4 -س

0- 4

3- 0

أ -

ب

1ص -2ص

1س -2س

3

1ص -ص

1س -س

3

1ص -ص 2

1س -س

1ص+

3 -س3

2

الشرط األساسي لمعرفة معادلة الخط المستقيم هو معرفة نقطة عليه . ثم أي شرط أخر معها

= الشرط المعطي . تكون المعادلة علي الصورة ( 1، ص 1ـ بفرض النقطة ) س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= وميله ( 1-، 3أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) : 1مثال

= = مـ ] الميل[ :ـالحل

2+9-س3= 2ص 2و هي المعادلة المطلوبة ( = صفر 11س+ 3-ص (

ــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( 1، 1-( ، ) 2، 3( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ) 2)

:ـالحل

= = =

43 -= س 8 -ص 4 ر ـــــــــ= صف 5 -س -ص

ـــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

وحدات 5و يقطع من محور الصادات جزء طوله 3( أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله 3)

س + ب حيث مـ الميل ، ب الجزء المقطوع من محور الصادات :ـ المعادلة : ص = مـ الحل

= 00المعادلة المطلوبة 5س + 3ص

أكمل =3 3( ، الميل = 5، 0: نقطة التقاطع مع محور الصادات هي ) حل أخر

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( و محور الصادات في 0، 3( أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يقطع محور السينات في النقطة ) 4)

( 4، 0النقطة )

1= + :ـ المعادلة هي الحل

أكمل المعادلة هي = ( 4، 0( ،، ) 0، 3النقطتين هما ) ჻ حل أخر

ـــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مهمة جدا مالحظات :

معامل ص[ ÷ معامل س -( الخط المستقيم الذي علي الصورة أ س + ب ص = جـ يكون ميله= ]1)

0، لمعرفة نقطة التقاطع مع ص نضع س= 0و لمعرفة نقطة التقاطع مع محور س نضع ص =

، أ ( 0السينات و ميله = صفر و يمر بالنقطة ) المستقيم الذي معادلته ص = أ يوازي محور( 2)

( 0، ( المستقيم الذي معادلته س= ب يوازي محور الصادات و ميله غير معرف و يمر بالنقطة ) ب3)

2= مـ 1أن يكون مـ 2،، ل 1شرط توازي المستقيمين ل( 4)

1-= 2مـ× 1أن يكون مـ 2، ل 1( شرط تعامد المستقيمين ل5)

ب / جـ -و ميل العمودي عليه = جـ/ ب( إذا كان ميل مستقيم هو ب/ جـ فيكون ميل الموازي له = 2)

00أكمل ما يأتي: 5مثال

000000يكون ميله = 3ص = 2س + 2الخط المستقيم الذي معادلته ( 1)

0000000و ميله = 000000يوازي 3( الخط المستقيم الذي معادلته ص = 2)


-2

4

-3

2- ك

4

-3

ك

-3

ك

-2

4

2

ك4

5

1

5

1

3

2

3

2

2ص+

1س+

3

2

-2

1

1

2

3-ص

2-س

1

2

2

2 -هـ

2

2 -هـ

4

000000يقطع محور السينات في النقطة 12ص = 3 -س 2( الخط المستقيم الذي معادلته 3)

00000000000 2، ص = 0= 2( المستقيمان س+ 4)

و ميله = صفر ( يوازي محور س 2) 3-= 2/ 2-( 1) :ـ الحل

# 00 ( متعامدان 4( ) 0، 2( ) 3)


0س+ ك = 3: 2،، ل 5ص = 4س+ 2: 1( أوجد قيمة ك التي تجعل المستقيمين ل2)

I متوازيان )II متعامدان )

= 2= ،، مـ 1:ـ مـ الحل

(I شرط التوازي الميل = الميل ) = -2= 12 -ك = 2ك

(IIشرط التعامد مـ )1-= 2مـ× 1 = ×-1 =-1 4 =2-ك =2/4-ك


هـ ص = صفر متوازيان فأوجد قيمة -س5،، 1( ص = 2 -) هـ -س 2إذا كان المستقيمان (1)

2= مـ 1مـ 2// ل 1ل ჻= ، 2،، مـ = 1:ـ مـالحل

= 5 2= 10 -هـ 5 = 12هـ = 5/ 12هـ #

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

2ص= 2-س3لخط المستقيم ا( و موازيا 2 -، 1 -( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 8)

زيان ميل المستقيم المطلوب = ألنهما متوا ميل المستقيم المعطي = ჻:ـ الحل

= المعادلة 3 +4ص+ 2= 3س 31ص = 2 -س


0س+ ص = 2( و عمودي علي المستقيم 3، 2معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) ( أوجد 9)

ميل العمودي عليه ) المطلوب ( = ميل المعطي = ჻:ـ الحل

= : المعادلة هي 2 -ص2= 2 -س صفر # 4ص + 2 -س =

ــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( و يوازيان المحورين 4-، 3( أوجد معادلتي المستقيمين اللذين يمران بالنقطة ) 10)

:ـ الحل

مستقيم الموازي لمحور ص و يمر بالنقطة المعطاة هو ال 3س =

00هو المستقيم الموازي لمحور س و المار بالنقطة المعطاة 4-، ص =

000= صفـــــــــــــر لثاني ـ ميل األول = غير معرف ،، ميل ا


3- 1

2- 1

3ص+

2 -س

1+2

2-0

3

2

-2

3

3 -ص

0 -س

-2

3

2+4+3

3

5+1+0

3

5 -ص

2 -س

5- 2

2- 3

3

-1

0 +2

2

-2 +4

2

2 -ص

4 -س

2- 1

4- 3

3+س 2+س 1س

3

3+ص 2+ص 1ص

3

5

( و يوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين 3-، 2( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 11)

( فأوجد ك ؟ 3( و إذا مر هذا المستقيم بالنقطة ) ك ، 1، 1( ، ) 3، 2)

2= ( ميله = 1،1( ، ) 3، 2:ـ المستقيم المار بالنقطتين ) الحل

2= ميل المستقيم المطلوب

= : 2معادلته هي 23= ص+ 4 -س [20= 1 -ص -س ]

،჻ ، ( تقع عليه 3النقطة ) ك تحقق معادلته 20= 1 -3 -ك 2=10ك = 5كـ #

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( و عموديا علي الخط المستقيم المار بالنقطتين 3، 0أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) ( 12)

( 2-، 0) ( ، ب1، 2أ )

] ميل المستقيم المطلوب [ ميل العمودي عليه = :ـ ميل أ ب = = الحل

: المعادلة المطلوبة = 3س 2-= 2 -ص 2 +2ص = 3س #

ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

(13 ) ( 0، 3( ، جـ ) 1، 4( ، ب ) 5، 2أ ب جـ فيه أ ) مـ هي نقطة تقاطع متوسطاته فأوجد ،

00معادلة الخط المستقيم أ مـ

:ـالحل

჻ ( = 2، 3، ( = ) ، ( = ) مـ )

= = : معادلة المستقيم أ مـ 32ص + -= 2 -س 3+12ص= س

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

(14 ) ( = 4، 2( ، جـ = ) 2-، 0( ، ب = ) 2، 4أ ب جـ فيه أ )

( 3، 5ثم إثبت أنه يمر بالنقطة ) ، د منتصف ب جـ ــ أوجد : إحداثي نقطة د ،، معادلة أ د

:ـ الحل

჻ د منتصف ب جـ = ( 1، 3) ، ( = ) د

( 1، 3( ، د ) 2، 4المستقيم المطلوب يمر بالنقطتين أ )

= = : 1معادلته 4 -= س 2 -ص

صفر 2 -ص -المعادلة هي : س =

( نعوض بها في معادلته 3، 5ة ) ـ إلثبات أن هذا المستقيم يمر النقط

5- 3 - 2 =5 - 5 صفر =჻ النقطة تحقق المعادلة المستقيم يمر بها #

ــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

عيديعطية ممدوح الص 0أ

3ص+

3-س

2م - 1م

2م 1+ م1

2 +3

1 +2×-3

5

- 5

4 -ص

5س+

2

3 2

3

3

2

2

3 2

3

2مـ -1مـ

2مـ× 1+ مـ1

2 -أ

أ 2+ 1

2

3

2

ـ الزاوية بين مستقيمين:

: مـ = ظا هـ حيث هـ هي الزاوية التي يصنعها المستقيم مع اإلتجاه الموجب لمحور ميل المستقيم

00السينات

ت ( و يصنع مع اإلتجاه الموجب لمحور السينا 3-، 3: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) مثال

45زاوية قياسها

# 0= 2-ص -س 3= ص+ 3 -س 1= 45= ظا هـ = ظا المعادلة هي : :ـ الحل

ـــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

فإن 2ـ، م 1ـمستقيمين ميالهما م 2، ل 1: إذا كان ل تعريف

00ظا هـ = | | حيث هـ هي قياس الزاوية الحادة بينهما

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

0س + ص = 3،، 5ص = -س2قياس الزاوية بين المستقيمين أوجد : 1مثال

3-= 2، مـ 2= 1مـ :ـالحل

45هـ = 1ظا هـ = ჻ 1، ظا هـ = | | = | | =

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ،، 3س+ ص = 2أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين ( 2)

= 2،، مـ 2 -= 1مـ ჻:ـ الحل

= 8/1 | = | ظا هـ = هـsh tan ( 8/7) =848= 48و / 48


= صفر مع محور السينات 4ص + 2 -س3س الزاوية التي يصنعها المستقيم أوجد قيا (3)

= صفر 2، ميل محور السينات مـ = 1ميل المستقيم مـ:ـ الحل

| = 3/2| = ظا هـ = ) ق)> هـsh tan ( 3/2) =318 = 52و/ 52

ـــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

فأوجد قيمة أ و ه 3ص = -س2، 5ص = -( إذا كان ظل الزاوية بين المستقيمين أ س 4)

،، ظا هـ = 2 = 2= أ ،، مـ 1مـ :ـ الحل

،჻ ظا هـ = = 3 أ 4+ 2= 2 -أ

4 2 - 2-أ = 3 -أ = 8 -أ #


1

2

-1

ك 2مـ -1مـ

2مـ× 1+ مـ1

2ك+

1 -ك2

1- 4

5- 3

-3

2

4-2

3+1

1

2

-1

2

3مـ -1مـ

3مـ×1+ مـ1

-4

3

2مـ -1مـ

2مـ×1+ مـ1

4+ 1مـ3

1مـ4 -3

-1

2ص+ 1

2 -س

-1

1

4

5

ك

2

3

4

2مـ -1مـ

2مـ×1+ مـ1

3

4

3

4

2 -ك

+ ك 2

1

أوجد ك 45هي 2، س+ ك ص = 0= 1ص + 2 -تقيمين سس( إذا كانت قياس الزاوية بين الم5)

1= 45= ، ظا هـ = ظا 2= ،، مـ 1:ـ مـالحل

= ظا هـ 1 = 1 = ك 2× بالضرب

1 = 22= ك+ 1 -ك = 3ك #

ـــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( 2، 1-( ، جـ = ) 4، 3( ، ب = ) 1، 5أ ب جـ الذي فيه أ = ) ( أوجد قياسات زوايا 2)

:ـ الحل

[ 3[ ،، ميل أ جـ = ] مـ 2[ ،، ميل ب جـ = = ] مـ1= ]مـ ميل أب =

لحساب ق)> أ ( نحسب الزاوية بين أ ب ، أ جـ

= = = 12/15-|ظا أ | = ) 42و8ق)> أ

، بالمثل نحسب > ب ،، > جـ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

0س = 4ص+ 3( و يصنع مع الخط المستقيم 2 -، 2( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 1)

45زاوية قياسها

1= 45، ظا هـ = ظا 2= مـ ، ميل المستقيم المعطي = 1ميل المستقيم المطلوب مـ :ـالحل

= ظا هـ 1 = 1 =

3 1مـ 4 -3= 4+ 1مـ 1 1-= 1مـ 1مـ =

: معادلة الخط المستقيم هي = + صفر 12ص + 1س =


2ص = -س ، 0= 4ص + 2 -ك س إذا كانت هـ هي قياس الزاوية بين المستقيمين (8)

بحيث جتا هـ = فأوجد قيمة كـ

:ـالحل

، ظا هـ = 1= 2= ،، مـ 1مـ

= ظا هـ = =

4 2ك + 3= 8 -ك = 14ك #


3

4

0 -ص

2س+

3

4

0 -ص

2-س

0 +2

2- 1

2

1

س

2

ص

3

8

: طول العمود المرسوم من نقطة علي خط مستقيم

0( إلي الخط المستقيم أ س + ب ص + جـ = 1، ص 1طول العمود المرسوم من النقطة ) س

00في الصورة العامة البد و أن تكون معادلة الخط المستقيم = ل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 0=1-ص4س+3( إلي الخط المستقيم الذي معادلته 5،2طول العمود المرسوم من النقطة )أوجد 1مثال

:ـ الحل

وحدة طول 5و2= 5/ 22ل = =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ( و ميله 0، 2-إلي المستقيم المار بالنقطة ) ( 1، 2( أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) 2)

:ـ معادلة الخط المستقيم الحل

= صفر 2ص + 4 -س 3ص 4= 2س+ 3= هي

= وحدة طول 5/ 8= طول العمود ل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( 2-، 1( ، ب)0، 2( إلي الخط المستقيم أ ب حيث أ)1، 5أوجد طول العمود المرسوم من النقطة )( 3)

:ـ الحل

= صفر 4 -ص -س 2= : = معادلة المستقيم أ ب

= وحدة طـــــــــــــــول # ل = =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 1+ = ( أوجد طول العمود المرسوم من نقطة األصل إلي الخط المستقيم الذي معادلته 4)

0= 2 -ص2س+ 3 2ص = 2س+ 3 2× بضرب معادلة الخط المستقيم :ـ الحل

# ( 0،0نقطة األصل): ل = = وحـــــــــــــدة طــــــــــــــــــــول

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

2يساوي 0ص =4( إلي الخط المستقيم ك س + 1، 2( إذا كان طول العمود المرسوم من النقطة ) 5)

فأوجد قيمة كـ ؟ وحدة طول ـ

و التربيع 2÷، بالقسمة 4ك + 2 = ) (2 2= :ـ ل = الحل

ك2(2= ) ك+ 12+

2 ك

2= ك 12+

2 # 3ك = 12ك = 4 4ك + 4+

متوازيان ثم أوجد البعد بينهما ؟ 1ص = 2 -س 4 ، 1ص = -س2 ( إثبت أن المستقيمين 2) عطية ممدوح الصعيدي 0أ

2 -ص

2 -س

2- 3

2- 1

-1

5

1

2

1

2

3ص+

2 -س

9

المستقيمان متوازيان 2= مـ 1مـ ჻ 2= 2/ 4= 2،، مـ 2= 1مـ :ـالحل

: نحسب نقطة علي أي مستقيم منهما ثم نحسب البعد بينها و بين المستقيم األخر إليجاد البعد بينهماـ

1ل ( 1،1النقطة ) 1ص = 1ص = - 2 1من المستقيم األول : نضع س =

0= 1 -ص2 -س4بعد بينها و بين المستقيم الثاني : نحسب ال

= وحدة طول # ل =

ــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

(1 ) ( = أوجد 3، 1( ، جـ = ) 2، 2( ، ب = ) 2، 3أ ب جـ فيه أ )

( معادلة ب جـ 2( طول ب جـ )1)

أ ب جـ ( مـ 4( طول العمود النازل من أ إلي ب جـ )3)

(1 -2( طو ب جـ = ) 1:ـ )لحلا2 ( +2- 3)

2 ] القاعدة [ وحدة طول =

= صفر 12 -ص 5س + = = ( معادلة ب جـ : 2)

وحدة طول ] اإلرتفاع[ = ( طول العمود النازل من أ إلي ب جـ = 3)

وحدة مربعة 8و5× × = ع = ×أ ب جـ = طول القاعدة ( مـ 4)

ـــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

( و الذي يصنع زوايا 3-، 2المار بالنقطة ) ( عن الخط المستقيم 2، 1-أوجد بعد النقطة ) ( 8)

متساوية مع محوري اإلحداثيات ؟

:ـ الحل

჻ = حيث هـ هي قياس 45المستقيم المطلوب يصنع زوايا متساوية مع محوري اإلحداثيات هـ

الزاوية بينه و بين محور السينات

1= 45ميله = ظا هـ = ظا

= : 1معادلته 3= ص + 2 -س صفر 5 -ص -س =

( عنه : ل = 2، 1-بعد النقطة ) =

= وحــــــــــــدة طــــــــــــــــــــــول # @ بعد النقطة


1 -ص

2 -س

2 -ص

1س+

2-5

-1-3

3

4

3

2

- 2

3

2 -ص

3 -س

-2

3

1+ ص

2 -س

10

ـ المعادلة العامة للخط المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين:

نقطة التي يمر بها ة نقطة التقاطع و تكون هي الف* نحل معادلتي المستقيمين المعلومين حل جبري لمعر

المستقيم المطلوب ـ ثمـ نستخدمها مع الشرط األخر المعطي و نعرف معادلة المستقيم المطلوب

ــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

1ص = -، س 5س+ ص = 2: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين 1مثال

3و ميله =

[ 1]----- 5س+ ص = 2نحل المعادلتين جبريا :ـالحل

[ بالجمع 2]----- 1ص = -س

3 = 2س = 1، من 2س = 1ص ( 1، 2المستقيم يمر بالنقطة )

= : 3معادلته 31 -= ص 2 -س 3صفر 5 -ص -س =

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

1س+ ص = ، 3ص = 2أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ (2)

( 5، 3و يمر بالنقطة )

[ 1] ------- 3ص = 2:ـ نحل المعادلتين : س+ الحل

[ بالطرح 2] ------ 1س+ ص =

= 2،، من 2ص = 1-س ( 5، 3( و يمر بـ ) 2، 1-المستقيم يمر بالنقطة )

= = : معادلته 3 +8 -ص4= 3س 30= 11ص+ 4-س

ــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

3ص = 2-س3، 1ص = 2س+ ( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين 3)

و عموديا علي المستقيم الثاني

[ 1] ----- 1ص = 2ـ نحل المعادلتين : س+ :الحل

2، ص= 3س= 12س= 4[ بالجمع 2] ------ 5ص = 2 -س3

( 2، 3المستقيم المطلوب يمر بالنقطة )

،჻ ميل المستقيم الثاني = )ميل العمودي عليه ) ميل المطلوب

: معادلته = 32س + 2-= 2 -ص 2 + صفر 12 -ص 3س =

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

و يوازي 1، س + ص= 2تقاطع المستقيمين س = أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة (4)

11ص = -س3الخط المستقيم الذي معادلته

1-ص = بالتعويض عن س 1، س+ ص = 2نحل المعادلتين : س = :ـالحل

( 1-، 2المستقيم المطلوب يمر بالنقطة )

المطلوب [ المستقيم] ميل 3ميل الموازي له = 3هو 11ص = -س3قيم : ميل المست

: 3= معادلته 31= ص+ 2 -س 3صفر # 1 -ص -س =

ـ عامة تماريـــــــن:


11

( البعد بين نقطتين)

( فأوجد طول أ ب ، ب جـ 2، 5= ) ( ، جـ 1، 1-( ، ب = ) 1، 3( إذا كان أ = ) 1)

( 2، 1-( ، جـ ) 0، 5( ، ب ) 5، 2أ ب جـ الذي فيه أ) أوجد أطوال أضالع ( 2)

( علي إستقامة واحدة 1 -، 8( ، و ) 3، 2-( ، هـ ) 2-، 3إثبت أن النقط د ) ( 3)

( متساوي الساقين 2، 1( ، جـ ) 2، 4-) ( ، ب 2-، 1( إثبت أن المثلث الذي رؤسه أ ) 4)

( 1-، 0( ، د ) 2، 3-( ، جـ ) 5، 0( ، ب ) 2، 3( إثبت أن الشكل الذي رؤسه أ ) 5)

مربع ثم أوجد مساحة سطحه ؟

فأوجد قيمة س ؟ ( يساوي 1، 2( عن النقطة ) 5إذا كان بعد النقطة )س ، ( 2)

( فأوجد ك 3، 3( ، ب ) 2، 4( علي بعديين متساويين من النقطتين أ ) 1( إذا كانت النقطة ) ك ، 1)

( 8، 0( ، د ) 1، 1( ، جـ ) 3-، 5( ، ب ) 4، 2-إثبت أن النقط أ ) ( 8)

هي رؤس متوازي أضالع ؟

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:ـ التقسيمـ ( فأوجد إحداثي نقطة جـ إذا كانت 5، 2( ، ب = ) 1، 3( إذا كانت أ = ) 1)

(i جـ ) ، جـ ب 3أ جـ = 2أ ب

(ii جـ ) جـ ب 5أ جـ = 2أ ب بحيث

( 4، 2( ، ب = )1-، 1-أوجد إحداثي نقطة جـ التي تقع في ربع المسافة بين أ ، ب إذا كانت أ = )( 2)

( فأوجد إحداثي نقطة جـ التي تقسم أ ب 3، 2-( ، ب = ) 4، 3( إذا كانت أ = ) 3)

1: 3من الخارج بنسبة

( فأوجد النسبة التي تقسم بها نقطة 8، ك( ، جـ = ) 3، 2-( ، ب = ) 2-، 3= ) إذا كانت أ( 4)

جـ القطعة المستقيم أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة كـ

( 2، 5أ ب بحيث أ = ) أوجد النسبة التي يقسم بها محور الصادات القطعة المستقيمة( 5)

بينا نوع التقسيم و أوجد كذلك نقطة التقاطع ( م 2-، 2، ب = )

( أوجد د 4، 2-( ، جـ = ) 2، 5-( ، ب = ) 1-، 3أ ب جـ د متوازي أضالع فيه أ = ) (2)

( من الشكل المرسوم أوجد جـ ، د 1)

إذا كان أ جـ = جـ د = د ب

(8) ( = أوجد إحداثي نقطة 2، 1-( ، جـ = ) 2 -، 1( ، ب = ) 2، 3أ ب جـ فيه أ )

تقاطع متوسطاته ؟

:ـ الخط المستقيم


1

2

2ص+

1-س

س

2

ص

5

1

3

2

3

12

3( و ميله 5، 2-( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 1)

( و ميله 3، 0( اوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 2)

( 1 -، 2( ، ) 2، 4( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ) 3)

( و موازيا محور السينات 1، 3الخط المستقيم المار بالنقطة ) دلة( أوجد معا4)

ثم أوجد نقط تقاطعه مع محوري األحداثيات 12ص = 2س + 3أوجد ميل الخط المستقيم : ( 5)

( و يقطع محور الصادات في 0، 3لخط المستقيم الي يقطع محور السينات في النقطة ) ( أوجد معادلة ا2)

( 4، 0النقطة )

فأوجد قيمة ك إذا كان 0ص = -س 3: 1، ل 0= 5ص + -( س 1 -ك 2: ) 1إذا كان ل( 1)

(iل )1 2ل (ii ل )2// ل 1

9ص = 3 -س2( و يوازي الخط المستقيم 1، 1-مار بالنقطة ) أوجد معادلة الخط المستقيم ال( 8)

0= 5 -س+ ص 2( و عموديا علي المستقيم 2، 2أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالقطة ) ( 9)

( و موازيا الخط المستقيم جـ د بحيث 5، 3أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) (10)

( 0، 2( ، د = ) 3، 5جـ = )

، ص ( فأوجد ص 1( ، جـ = ) 1، 5( ، ب = ) 3، 2جـ ب بحيث أ = ) إذا كان أ جـ ( 11)

2: 1( و كانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة 2-، 1-( ، ب = ) 4، 4-إذا كانت أ = ) ( 12)

ستقيم جـ د ( فأوجد معادلة الخط الم 3، 2، د = )


:ـ الزاوية بين مستقيمين

11، س+ ص = 0 = 5ص + -س3( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين : 1)

2ص = 3 -س 2،، 3( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين = 2)

2ص = 2 -،، س 3( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين + = 3)

أوجد ك 45هي 3ص = 2 -، س 5ص = -( إذا كانت قياس الزاوية بين المستقيمين ك س4)

هي فأوجد ب 1ص = 2، س + 1ب ص = -س2( إذا كان ظل الزاوية بين المستقيمين 5)

1ص = -س2( و يصنع مع المستقيم 3، 1-أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) (2)

زاوية ظلها يساوي

(1 ) ( = د منتصف ب جـ 3، 5( ، جـ = ) 13-، 3-( ، ب = ) 2، 3-أ ب جـ فيه أ ، )

أوجد قياس الزاوية بين أ د ، ب جـ

مع الخط المستقيم ل( إذا كان الخط المستقيم ل يصنع زاوية جيب تمامها = 8)/ 0ص = -س3:

( 2-، 1لنقطة ) لة الخط المستقيم ل إذا كان يمر بادميل الخط المستقيم ل ؟ و أوجد معا وفما ه

:ـ البعد بين نقطة و خط مستقيم

-5

12

13

0= 5ص + 3س+ 4( إلي الخط المستقيم 3، 2أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) ( 1)

( إلي الخط المستقيم المار بالنقطتين 2، 1-( أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) 2)

( 4،3( ، ب = )1،2أ = )

(1، 1لدائرة التي مركزها )ل سمما 0= 1ص + 8س+ 2كان الخط المستقيم ل : ( إذا 3)

الدائرة نصف قطر هذه فأوجد طول ـ

( و موازيا الخط 1، 0( إلي المستقيم المار بالنقطة ) 5، 1أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) ( 4)

1ص = -س3المستقيم

1ص = 5س+ 2( و عموديا علي المستقيم 2، 2-لمار بالنقطة ) ( أوجد معادلةالخط المستقيم ا5)

ثم أوجد بعد نقطة األصل عنه

متوازيان ثم أوجد البعد بينهما 5ص = 2س+2،، 0س+ ص = 3: 1إثبت أن المستقيمين ل( 2)

ه من النقطة ( أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله يساوي و طول العمود الساقط علي1)

وحدة طول 2( يساوي 1-، 2)

(8 ) ( = أوجد 2-، 1( ، جـ = ) 5، 2-( ، ب = ) 2، 3أ ب جـ فيه أ )

(i( طول ب جـ )ii( معادلة ب جـ )iii طول العمود المرسوم من أ إلي ب جـ )

(v مساحة ) أ ب جـ

0س+ ب ص+ جـ =2: 2، معادلة المستقيم ل0= 10-ص4-س3: 1ستقيم ل( إذا كان معادلة الم9)

فأوجد 2ل ( 0، 2-، أ = ) 2// ل 1و كان ل

(i ( قيمتي ب ، جـ )iiالبعد بين ل )2، ل 1 (iii معادلة المستقيم المار بـنقطة أ ) ،1عمودي علي ل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:ـ معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين

2و ميله 3ص = -، س 1( أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ ص = 1)

1س+ ص = 2، 1ص = 2 -أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س (2)

( 3، 1 -و يمر بالنقطة )

3، س+ ص = 1ص = 2الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ دلةأوجد معا( 3)

و عموديا علي المستقيم الثاني

0= 3، ص+ 4ص = -المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س ( أوجد معادلة الخط4)

00 مع اإلتجاه الموجب لمحور السينات 135و يصنع زاوية قياسها

3ص = 3-س2، 2ص = 3( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س + 5)

15ص = -س2و موازيا الخط المستقيم

و ينصف الزاوية 1، ص = 3( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقطع المستقيمين س = 2)

بين المحورين ؟

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

** أرق أمنيات للجميع بالتفوقمع **

* / عطية ممدوح الصعيدي أ

هندسة 1ث ع ف 1

Education