هندسة גיאומטריה אנליטית تحليلية

نقطتين: 3درس بين البعد

التحليلية بالهندسة األساسية المصطلحات الدرسنتعرفعلى بهذا

التحليلية 1( الهندسة هي ?ما

نقطتين 2( بين البعد إيجاد

مطلقة 3( كقيمة البعد

تمرين4(

اجمال5(

اليوم بدرس

جبرية • بأدوات هندسية مسائل حل على تعمل التحليلية .الهندسة

سنة • فرنسي عالم ديكارط التحليلية 1637رنه الهندسة اساسيات .وضع

ودوال • معادالت بواسطة هندسية مصطلحات وصف يمكننا التحليلية . بالهندسة

التحليلية الهندسة عن نبذة

פרנס הלס, פורטרט של רנה דקארט,

בערך,17אמצע מאה שמן על בד )אוסף הלובר, פריס(

متعامدين • محورين من مكونة المحاور . هيئة

محور • يسمى االفقي محور , xالمحور يدعى العامودي .yالمحور

المحاور • اصل تسمى المحورين التقاء .نقطة

ارباع • ألربع المستوى تقسم المحاور .هيئة

االرقام • من مرتب زوج تصف المستوى في نقطة (.x,y )كل

المحاور هيئة

x

y

نقطة أصل المحاو

ر

األول الثاني الربع الربع

الثالث الربع الرابع الربع

لمحور • موازية قطعة على أو محور على نقطتين بين البعد إيجاد يمكن ?كيف

االتية • القطع طول جد مثال

x

y

AFEFBCAB

x

y

E

A

F

B 7

BC 3

2

AF 8

محور • على تقع التي هو xاحداثي , yالنقطة .0لها

محور على تقع التي هو yاحاثي , xالنقطة .0لها

محور • مع يتعامد مستقيم خط على تقع التي النقاط احداثي yجميع نفس .yلها

محور مع يتعامد مستقيم خط على تقع التي النقاط احداثي xجميع نفس .xلها

محور • على نقطتين بين محور xالبعد مع يتعامد مستقيم خط على xأو

احداثي طرح حاصل واحداثي xهو .االصغر xاألكبر

محور • على نقطتين بين محور yالبعد مع يتعامد مستقيم خط على yأو

احداثي طرح حاصل واحداثي yهو .yاألكبر االصغر

المحورين ! انتبه • الحد موازي مستقيم خط على تقعا النقطتين ان نعرف ان اهميه , مهم يوجد وال

. المختلفة باألرباع النقطتين لمكان

اجمال

النقطتين • بين الواصل المستقيم اضالعه ( 6 , 3- )و (2 ,-3)-الخط الذي المستطيل قطر هو

للمحورين .موازية

االخرى א- المستطيل رؤوس نقاط .جد

المستطيل ב- محيط . احسب

المستطيل ג- قطر طول .احسب

1تمرين

א, ב:البندين

(6 , 3( , )-2 ,-3) א-

هو ב- 28 المحيط

حل

بند גحل

الزاوية ABC المثلث• قائم مثلث .هو

للمستطيل • القطر طول حساب يمكن ?كيف

بند גحل

الزاوية ABC المثلث• قائم مثلث .هو

على • نحصل فيتاغوروس نظرية :حسب

المستطيل قطر 10 طول

10068 22222 BCABAC

10AC

رأيكم • نقطتين , حسب بين البعد قانون نجد ان يمكن ?)x2 , y2(B- و )A)x1 , y1كيف

2 2B)x ,y (

1 1A)x ,y (

نقطتين بين البعد

نعرف • ان نقطتين , يهمنا بين البعد نحسب .)x2 , y2(B- و )A)x1 , y1كيف

المستقيم • الخط ان فرض محور ABعلى أي يوازي .ال

النقطة • المثلث )C)x2 , y1نستعمل .ABCلبناء

المحور ACالضلع • محور BC والضلع xيوازي ,yيوازي

المثلث • ان الزاوية ABCأي قائم مثلث .هو

فيتاغوروس • نظرية .AB2 = AC2 + BC2حسب

نقطتين • أي بين البعد إيجاد قانون على :B- و Aحصلنا

دائما : مالحظة• الموجب الجذر نستعمل سالبة , بالقانون ليست قيمة هو البعد .ال

نقطتين بين قانون| البعد

2 222 22 1 2 1AC BC x x yAB y

))xx(()xx(AC 221

212

2

))yy(()yy(BC 221

212

2

2 2

2 1 2 1d x x y yبالحرف للبعد الرمز d معتاد

الكلمة ) distance )من

)y,x(C 12

2 2B)x ,y (

1 1A)x ,y (

نقطتين • أي بين البعد قانون على :B- و Aحصلنا

النقطة • اخترنا القانون الزاوية ))C)x2 , y1ببرهان قائم مثلث بناء اجل (. من

النقطة • اخترنا من Dاذا ,Cبدال

للمستطيل العليا الزاوية انها , حيث

مختلفة • نتائج على سنحصل ? هل

النقطة • احداثيات هي ?Dما

نقطتين بين نقاش| البعد

2 2B)x ,y (

1 1A)x ,y ( )y,x(C 12

D 2 2

2 1 2 1d x x y y

مصطلح • نستعمل الحاالت لألرقام "بهذه مطلقة ". قيمة

للرقم • المطلقة للقيمة نرمز ان بالرياضيات المعتاد . |x| : هكذا xمن

الرقم كان هي – موجباذا المطلقة نفسه قيمته (, 5 | = 5: | مثال) الرقم

الرقم كان هي – سالب اذا المطلقة له قيمته المضاد الموجب )الرقم | = 5: | -مثال, أي

5 .)

لل المطلقة .0 هو 0القيمة

مطلقة قيمة

2 2

2 1 2 1d x x y y

البعد :قانون

النقطتين • بين البعد برهناه )A)1 , 7( , B)-2 , 3جد الذي القانون .باستعمال

2 تمرين

بالقانون • النقاط احداثيات :نعوص

النقطتين • بين . 5 هو B- و Aالبعد

تمرين 2حل

2 2

2 1 2 1AB x x y y

525)4()3()73()12(AB 2222

محور. على جد تبعدان xأ النقطة 5نقطتين من قياس .)A)3 , 3وحدات

المحاور B- ارمز اصل عن األبعد احداثياتها . Oللنقطة هي ?ما

محور. على جد تبعدان yب النقطة 5نقطتين من قياس .)A)3 , 3وحدات

المحاور C- ارمز اصل نقطة عن األبعد احداثياتها . Oللنقطة هي ?ما

المستقيم. على نقطة كل هل النقاط OAج من متساوية ابعاد على اجابتك ? C- و Bتقع .برهن

3تمرين

محور. على جد تبعدان xأ النقطة 5نقطتين من قياس .)A)3 , 3وحدات

. Bارمز - المحاور اصل عن األبعد ?Oللنقطة احداثياتها هي ما

حل

محور • على تقع النقطة كانت هو y-احداثي xاذا لها . 0لها (.x,0 )نرمز

احداثي • اليجاد رياضي تعبير المطلوبة xاكتب :للنقطة

على • ونحصل المعادلة جهتي :نربع

عليها • حصلنا اتي المعادلة .نحل

أ | 3تمرين بند حل

2 2x 3 0 3 5

2x 3 9 25

طرق 2 +9 = 25(x – 3)المعادلة • بعدة حلها .يمكن

الحل • طريقة ب اختيار نرى "تتعلق :مثال. المعادلة" كيف

2

2

x 6x 9 9 25 0

x 6x 7 0

)1 (i ) إيجاد قانون بمساعدة

الجذور

ii ) ) الى بالتحليل نتساعد

عوامل

القيمة 2( بمصطلح نتساعد

المطلقة

2(x 3) 16

حاصل 3( بقانون نتساعد

مربعين طرح

2(x 3) 16 0

المعادلة 1( على 2 +9 = 25(x – 3) من .x2 – 6x +7 = 0 او x2 – 6x +9 +9 = 25 نحصل

)i( الجذور إيجاد قانون بمساعدة :نحل

ان .x2 = -1 או x1 = 7 أي

)ii( عوامل الى التحليل حسب :نحل

المعادلة عوامل x2 – 6x +7 = 0 نحلل .الى

ضربهما - حاصل رقمين عن جمعهما 7نبحث : 6 وحاصل

.x2 = -1 או x1 = 7 اذا

286

12

71466 2

21

)()(

x ,

(x)(x)xx 17762

017 )x()x(

األولى الطريقة حسب حل

بمصطلح 2( المطلقة نتساعد :القيمة

المعادلة . 2 = 16(x – 3 )ينتج 2 +9 = 25(x – 3) من

المعادلة | 2 = 16(x – 3 )المعادلة x - 3 | = 4تعادل

ان ينتج .x – 3 = - 4 او x – 3 = 4: اذا

ان .x2 = -1 או x1 = 7 اي

بطريقة 2حل

مربعين 3( طرح حاصل قانون : نستعمل

االتية بالصورة المعادلة : نكتب

ينتج القانون او:حسب

ان .x2 = -1 או x1 = 7 اي

0163 2 )x(

)ba()ba(ba 22

04343 ])x[(])x[(017 )x()x(

الطريقة حسب 3حل

حل

المعادلة • جذور على .x2 = -1 או x1 = 7 : هما 2 +9 = 25(x – 3)حصلنا

أ 3تمرين بند

محور. على جد تبعدان xأ النقطة 5نقطتين من قياس .)A)3 , 3وحدات

المحاور Bارمز - اصل عن األبعد ? Oللنقطة احداثياتها . هي )B)7 , 0ما

محور .ب على تبعدان yجد النقطة 5نقطتين من قياس .)A)3 , 3وحدات

المحاور Cارمز - اصل نقطة عن األبعد ?Oللنقطة احداثياتها. هي ما

حل

.x = y = 3: متشابهان Aللنقطة y- واحداثي x - احداثي•

نقطة )• أي نختار أ البند المحور (y , 0مثل yعلى

للمعادلة • 2 +9 = 25(y – 3 )نصل

هي .y2 = -1 או y1 = 7جذورها

تمرين ب 3حل بند

المحاور • اصل عن األبعد النقطة

.C(0 , 7) هي

تمرين ب 3حل بند

محور. على جد تبعدان xأ النقطة 5نقطتين قياسمن .A(3 , 3)وحدات

المحاور Bارمز - اصل عن األبعد ?Oللنقطة احداثياتها . هي ما

محور. على جد تبعدان yب النقطة 5نقطتين قياسمن .A(3 , 3)وحدات

المحاور Cارمز - اصل نقطة عن األبعد ?Oللنقطة احداثياتها . هي ما

المستقيم. على نقطة كل هل النقاط OAج من متساوية ابعاد على -? Bتقع Cو

. اجابتك برهن

حل

المثلث • نوع ? OBCما

القطعة • هي ?OBCبالمثلث OAما

تمرين ج 3حل بند