פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית - תחשיב הפסוקים

רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה

1

מבוא ללוגיקה מתמטית – 1פרק

מונחים בסיסיים –( הגישה הבלתי פורמלית)תחשיב הפסוקים

חוקי הלוגיקה מעניקים משמעות מדויקת -היא שפת המתמטיקה ( מתמטית)לוגיקה

הנובעת או לא , הוא אוסף של הנחות ומסקנה (מתמטי)טיעון . לטיעונים מתמטייםטיעונים מאפשרים בין היתר להבחין בין קהחוקי הלוגי .נובעת בהכרח מצירופן

טיעונים שאינם לבין ( כאלה שהמסקנה בהם נובעת מצירוף ההנחות) תקפים .(כאלה שהמסקנה בהם אינה בהכרח נובעת מצירוף ההנחות) תקפים :בשני הטיעונים הבאים, למשל, נתבונן

."הכביש רטוב, לכן. יורד גשם .אז הכביש רטוב, יורד גשםאם " .א ."הכביש אינו רטוב, לכן. לא יורד גשם. אז הכביש רטוב, אם יורד גשם. "ב

מצירוף שתי ההנחות הקודמות בהכרחנובעת " הכביש רטוב: "המסקנה) תקף' טיעון אאינה נובעת " הכביש אינו רטוב: "המסקנה) אינו תקף' טיעון ב, לעומת זאת (.לה בטיעון

.(מצירוף ההנחות הקודמות לה בטיעון בהכרח .לוגיים מדויקים-בכלים מתמטיים תקפות של טיעוניםבמהלך הקורס נוכיח

אחת מהמטרות העיקריות של קורס זה היא ללמד את הסטודנט להבין ולבנות בעצמו .לשם כך מן הראוי שיבין הלכה למעשה את חוקי הלוגיקה. טיעונים מתמטיים תקפים

ולבנות וגיקה מאפשרים לתכנן חוקי הל –במדעי המחשב גם ללוגיקה תפקיד חשוב

מתכון לפתרון בעיה חישובית בעל – אלגוריתם) לתכנן אלגוריתמים, מעגלי חומרהלכתוב תוכניות מחשב ולבדוק ולהוכיח , (כפי שיוסבר בהמשך הקורס, תכונות מסוימות .אלגוריתמים ותוכניות מחשבאת נכונותם של

.גדרות ודוגמאות לצידןבמספר ה( המתמטית)נתחיל את הדיון בלוגיקה אך לא שניהם, משפט חיווי שהוא אמיתי או שקרי – פסוק

:ותדוגמאo (פסוק. )שוקולדאני אוהב

o (פסוק. )אין תורה, אם אין קמח

o 2 3 5 (פסוק)

o לכלx חיובי מתקיים :x 1 ( .פסוק)

o (אינו פסוק)? מה השעה

o (אינו פסוק)! לך מכאן

o x 1 2 (אינו פסוק)

o x 1 (אינו פסוק)

o "(אינו פסוק." )אני משקר עכשיו

עיקר עיסוקה הוא . ביניהם( ביחסים)הלוגיקה עוסקת בפסוקים ובקשרים :הערה

עוסקת הלוגיקה אינה (. פסוקים)למשפטים ( סימבוליזציה, הצרנה)בהענקת צורה אלמנטים דקדוקיים קריטיים של לאין מבחינתה משמעות כמו גםשל משפטים נםבתוכ

.זמנים וכדומה, רבים/יחיד, (נקבה/זכר)מין : כגון, (למשל, עברית)שפה טבעית .שקולים זה לזה מבחינה לוגית" ירד גשם: "והפסוק" יורד גשם: "הפסוק, כך למשל


2

ת משמעות לוגיתובעל( חת או יותרא)קישור /ת חיבורומיל – קשר לוגי

אם ורק אם, אז...אם, לא, או, (ו)וגם : דוגמאות

פסוק נטול קשרים לוגיים – פסוק אטומי

:דוגמאותo (פסוק אטומי. )אני אוהב שוקולד

o (פסוק אטומי. )היום יום שני

o (פסוק שאינו אטומי. )עוגות גבינה וגםאני אוהב שוקולד

o (פסוק שאינו אטומי. )בהכביש רטו אז, יורד גשם אם

פסוק המכיל קשר לוגי אחד או יותר – פסוק מורכב

:(לפסוקים מורכבים) דוגמאותo עוגות גבינה וגםאני אוהב שוקולד.

o אוהב שוקולד לאאני.

o מחר יום שני אז, היום יום ראשון אם.

o היום יום שבת אבל, מחר יום שני אז, היום יום ראשון םא.

אמת :מהערכים( ורק אחד)אחד – בוליאני/קבוע לוגי(T), שקר(F)

נהוג לסמן ; (אטומי או מורכב)משתנה המייצג פסוק – בוליאני/משתנה לוגי ..., p ,q ,r ,s: באותיות משתנים לוגיים

בוליאני/הקובעת לכל פסוק קבוע לוגי( הצבה)התאמה – השמה

p :סימון T , q F (p ת ומקבל את הערך אמ- q מקבל את הערך שקר).

י השמה או "ע)הבוליאני המתאים לפסוק /הקבוע הלוגי – (של פסוק) אמתהערך (כתוצר פעולות חישוב לוגיות

:דוגמאותo הוא " היום יום חול: "של הפסוק( ביום חול)ערך האמתT.

o הוא " היום יום שבת: "של הפסוק( ביום חול)ערך האמתF.

o ערך האמת של הפסוק :p וגםq ,כאשר :p T , q F , הואF( .י הגדרת "עפ

(להלןד" וגם"הקשר

לתאר את ערך האמת של /כלי נוח המאפשר לציין – (של פסוק) טבלת אמת בכל ההשמות האפשריותנתון פסוק

;"אני אוהב שוקולד וגם עוגות גבינה: "להלן טבלת האמת של הפסוק :דוגמאאני אוהב (: "מבחינה לוגית)ורה מפורטת ומדויקת יותר נרשום את הפסוק בצ

אני אוהב : "את הפסוק האטומי p -נסמן ב; "שוקולד וגם אני אוהב עוגות גבינה ;"אני אוהב עוגות גבינה: "את הפסוק האטומי q -וב" שוקולד

:תתקבל טבלת האמת הבאה

p וגםq q p

T T T

F F T

F T F

F F F


3

קשרים לוגיים בסיסיים -תחשיב הפסוקים

(:not)קשר השלילה :סימון

p p

F T

T F

:ותדוגמא

o (.שוקולדלא נכון שאני אוהב : באופן שקול) שוקולדאוהב לאאני

o 19תר לכל היו: באופן שקול)סטודנטים נכשלו בקורס 20לפחות לא נכון ש (סטודנטים נכשלו בקורס

o 7 6 (7: באופן שקול 6)

(.פועל על פסוק אחד) קשר אונאריזהו :הערה (.פועלים על שני פסוקים) קשרים בינארייםהם דלהלןהקשרים

(:קוניונקציה, and) 'וגם'קשר ה

:סימון

qp q p

T T T

F F T

F T F F F F

אני וגם שוקולדאני אוהב : באופן שקול) ת גבינהועוג וגם שוקולדאני אוהב :דוגמא (.ת גבינהועוגאוהב

(:דיסיונקציה, or) 'או'קשר ה

:סימון

qp q p

T T T

T F T T T F

F F F

אני אוהב או שוקולדאני אוהב : באופן שקול) ת גבינהועוג או שוקולדאני אוהב :דוגמא

(.ת גבינהועוג (בעברית) או/ו=או :הערה


4

:'xor' קשרה

:סימון

qp q p

F T T

T F T T T F F F F

:ותדוגמא

o לילהעכשיו אועכשיו יום.

o שתקבל מכות אואת הבננה תאכל (ש או): "לילדה הקט" נאורה"אמא."

o שניהםאך לא , עוגות גבינה אואני אוהב שוקולד.

or:הערה xor

:(implication, אז...אם)גרירה ה קשר :סימון

qp q p

T T T F F T T T F T F F

. הכביש רטוב אז, יורד גשם אם :דוגמא

p (אם: המילה הפסוק שלאחר )ו (תנאי הגרירה)התנאי : נקרא- q ( הפסוק שלאחר

. (תוצאת הגרירה)תוצאה : נקרא( אז: המילה .Tהוא כל הפסוק( האמת של)ערך , Fכאשר התנאי הוא !שימו לב

:(equivalence, אם ורק אם)שקילות ה קשר :סימון

qp q p

T T T F F T F T F T F F

. 0 -הוא גדול מ( ם"אם) אם ורק אםמספר הוא חיובי :דוגמא

.כפי שנראה בהמשך, ,: מהקשרים ,למעשה, קשר זה מורכב :הערה

:באופן הבא, אפוא, לרישוםהפסוק שבדוגמא האחרונה ניתן .המספר הוא חיובי אז 0 -הוא גדול מ אם וגם 0 -הוא גדול מ אזמספר הוא חיובי אם


5

של תנאים מספיקות והכרחיות

p: את הפסוק q במספר אופנים( למשל, לעברית)ניתן לתרגם לשפה טבעית:

q גורר את p .א q אז, p אם .ב

p אם q .ג

p אז q אם רק .ד

q אם רק p .ה q -ל תנאי מספיקמהווה p .ו

יתקיים p -ש מספיקיתקיים q -כדי ש .ז

p -ל תנאי הכרחימהווה q .ח יתקיים q -ש הכרחייתקיים p -כדי ש .ט

.הכביש רטוב – q, יורד גשם – p: נסמן. אז הכביש רטוב, אם יורד גשם: נתבונן בפסוק

ל "נצרין את הפסוק הנ. הצרנה: ללוגיקה נקרא( עברית, למשל)תרגום משפה טבעית p: כך q.

. מתחייב כי הכביש רטוב, אם יורד גשם, י הפסוק וטבלת האמת של קשר הגרירה"עפהפסוק , בכל מקרה –יתכן שהכביש יהיה רטוב ויתכן שלא , אולם אם לא יורד גשם

תנאי ניתן לומר כי ירידת גשם היא , לפיכך. אינו שקרי( ובאז הכביש רט, אם יורד גשם)שיירד מספיק, כדי שהכביש יהיה רטוב: או במילים אחרות, להיות הכביש רטוב מספיק

.עליו גשם: או במילים אחרות, להיות הכביש רטובתנאי הכרחי ירידת גשם אינה מהווה , מצד שני

י טבלת האמת אנו "שכן עפ, עליו גשםאין זה הכרחי שיירד , כדי שהכביש יהיה רטובאז הכביש , אם יורד גשם)הפסוק , רואים שגם במקרה בו לא יורד גשם והכביש רטוב

.הוא פסוק אמת( רטוב

נדגיש את נוכחותו של . חביתה לא ניתן להכיןאז , ביצים איןאם : נתבונן עתה בפסוק :הבא( עט מסורבלוהמ)י שנרשום אותו באופן המפורט "קשר השלילה בפסוק זה ע

ניתן – q, ביצים קיימות – p: נסמן. חביתה ניתן להכיןאז לא , אם לא קיימות ביצים

: ל כך"נצרין את הפסוק הנ .חביתהלהכין p q . אם נבדוק פסוק זה אל מול

q: הפסוק p , בהמשך נקרא . )זהותנגלה כי לשני הפסוקים הללו טבלאות אמת

.(שקולים לוגיתלשני פסוקים כאלה פסוקים

q p p q q p q p

T T F F T T

T T T F F T

F F F T T F

T T T T F F

ניתן אם "ולומר " חביתה לא ניתן להכיןאז , ציםאם אין בי"המשמעות היא שלומר

. זה היינו הך מבחינת הלוגיקה" ביציםיש אז , להכין חביתה


6

בין חביתה הכרחיתישנה התניה " ביצים ישאז , חביתה ניתן להכיןאם " :י הפסוק"עפ

שכן ללא ביצים אין , שיהיו בנמצא ביצים הכרחיבאופן שכדי שתהיה חביתה ,לביציםאו , חביתה (להכנת) קיוםל הכרחיתנאי קיום ביצים הואניתן לומר כי , לפיכך .חביתה

.יהיו ביציםש הכרחי, תהיה חביתהכדי ש: במילים אחרות

כדי : או במילים אחרות, קיום חביתהל מספיקמהווה תנאי אינו קיום ביצים, מצד שניאם : "של הפסוקי טבלת האמת "שכן עפ, שיהיו ביצים מספיקאין זה , שתהיה חביתה

, יש ביצים ואין חביתהאנו רואים שגם במקרה בו , "אז יש ביצים, ניתן להכין חביתה .(בדקו) .הפסוק הוא פסוק אמת

:ניתן לסכם את ההבדל המהותי בין הכרחיות ומספיקות של תנאים בטבלה הבאה

התנאי אינו מתקיים התנאי מתקיים

לא ידוע התוצאה מתקיימת תנאי מספיק

התוצאה אינה מתקיימת לא ידוע תנאי הכרחי

מחייב תנאי הכרחיבעוד ש, התנאי מתקייםמחייב שהתוצאה תתקיים כש תנאי מספיק

.התנאי לא מתקייםשהתוצאה לא תתקיים כשהרי , (יתקיים p -יתקיים מספיק ש q -כדי ש, כלומר) q -מהווה תנאי מספיק ל pאם

אין לדעת דבר , לא קרה( התנאי) pאם . קרה (התוצאה) qגם , קרה( התנאי) pשאם

יתקיים q -כדי ש, כלומר) q -מהווה תנאי הכרחי ל pאם , לעומת זאת (.התוצאה) qלגבי pאם . לא קרה( התוצאה) qגם , לא קרה( התנאי) pהרי שאם , (יתקיים p -הכרחי ש

(.התוצאה) qאין לדעת דבר לגבי , קרה( התנאי)

:עושים שימוש לא מדויק דיו בתבניות( לרבות עברית)בשפה טבעית , לעיתים

x: כדי שיתקיים: "המשפט, למשל. מספיק (תנאי), הכרחי (תנאי) 2 מספיק שיתקיים :

x 3 "(התנאי והתוצאה) שכן הביטויים, אינו פסוק :x 2 ,x 3 יחד עם .אינם פסוקים

x: כדי שיתקיים: "שכן באומרנו, נרצה להתייחס למשפט זה כאל פסוק, זאת 2

x: מספיק שיתקיים 3 "כדי שיתקיים לכל : "אנו בעצם מתכוונים לומרx ממשי :x 2

x: ממשי xיתקיים לכל מספיק ש 3 ."שכן הביטויים, המשפט האחרון הוא כבר פסוק

x: ממשי xלכל : "(התנאי והתוצאה) 2" ," לכלx ממשי :x 3 "הם פסוקים.

ו הכרחיות של כי משפטים בשפה טבעית המדברים על מספיקות א, אפוא, נסכיםהתנאי )גם אם מרכיביהם , המכילים את קשר הגרירה יוצרנו ללוגיקה כפסוקים תנאים

.ל"כדוגמת הנ, אינם פסוקים( והתוצאה


7

":נוסחאות" כדי ש- q ש מספיקיתקיים- p יתקיים p ל תנאי מספיקמהווה- q

אם p אז q p q

x: כדי שיתקיים: למשל 2 מספיק שיתקיים :x 3 ; x 3 x 2

כדי ש- q ש הכרחייתקיים- p יתקיים p ל תנאי הכרחימהווה- q

אם q אז p p q

x: כדי שיתקיים: למשל 3 הכרחי שיתקיים :x 2 ; x 2 x 3

כדי ש- q ש מספיקיתקיים- p יתקיים כדי ש- p ש הכרחייתקיים- q יתקיים ;p ל תנאי מספיקמהווה- q q ל תנאי הכרחימהווה- p

אם רקp אזq אםq אזp

כדי ש- q ש הכרחי ומספיקיתקיים- p יתקיים p הכרחי ומספיקתנאי מהווה

q p (ם"אם)אם ורק אם q p -ל q

.2 -יהיה מספר זוגי הכרחי ומספיק שהוא יתחלק ללא שארית ב x -כדי ש: למשל


8

בתחשיב הפסוקים לוגיות בסיסיות( שקילויות)זהויות

:(מונחים נוספים)ות הגדר שני פסוקיםp ו- q השמה כלם עבור "אם (טאוטולוגית/לוגית)שקולים : נקראים

שני פסוקים , במילים אחרות. הם בעלי אותו ערך אמת, של ערכי אמת לשניהם .ם יש להם את אותה טבלת אמת"אם (לוגית)שקולים

p :סימון q

".רןראני ב: "שקול לוגית לפסוק" רןרלא נכון שאני לא ב": הפסוק: דוגמא

( p p )

פסוקp ערכו ( של פסוקיו האטומיים)השמה בכלם "אם טולוגיהוטא: נקרא .T( תמיד)

p :סימון T

) .עכשיו לא חם אועכשיו חם :דוגמא p p T )

פסוקp ( תמיד)ערכו ( של פסוקיו האטומיים)ם בכל השמה "אם סתירה: נקראF.

p :סימון F

) .עכשיו לא חם וגםעכשיו חם :דוגמא p p F )

בכל פסוק שערכו אמת )יש להבדיל בין פסוק שערכו אמת לבין טאוטולוגיה :הערה

2: הפסוק(. אטומייםהשמה של פסוקיו ה 1 שכן , כי אם פסוק אמת, אינו טאוטולוגיהכי אם מהגדרות של עולם התוכן , אמיתותו אינה נובעת מהגדרות וחוקי הלוגיקה

אם נסמן פסוק אטומי זה , במילים אחרות(. <: אודות מספרים ממשיים והיחס)המתמטי . F או Tטבלת האמת שלו תניב , p -ב

בכל פסוק שערכו שקר )יש להבדיל בין פסוק שערכו שקר לבין סתירה , באופן דומה2: הפסוק ,לכן(. השמה של פסוקיו האטומיים 1 כי אם פסוק שקר, אינו סתירה.

.מכאן ניתן להסיק כי פסוק אטומי לעולם לא יהיה טאוטולוגיה או סתירה

.לוגיות יסודיות( שקילויות)בץ זהויות מקנציג בעמוד הבא


9

לוגיות יסודיות( שקילויות)זהויות

הלוגית( השקילות)הזהות הלוגית( השקילות)שם הזהות

טאוטולוגיה בסיסית 1 p p T

סתירה בסיסית 2 p p F

p כלל הזהות 3 F p p T

p כללי השליטה 4 T T , p F F

p כלל הכפילות 5 p p p p

שלילה כפולה 6 p p

p (קומוטטיביות) כללי החילוף 7 q q p , p q q p

8

(אסוציאטיביות) כללי הקיבוץ

p q r p q r

p q r p q r

9

(דיסטריבוטיביות) לי הפילוגכל

p q r p q p r

p q r p q p r

כלל הבליעה 10 p p q p p p q

11

(D.M) מורגן-כללי דה

p q p q

p q p q

כלל הגרירה 12 p q p q

: ים הלוגייםלוגית המערבת אחד או יותר מהקשר זהותבהינתן :עקרון הדואליות

, , ואפס או יותר מהקבועים הלוגיים :T ,F , לוגית זהותהרי שניתן לקבל ממנה

,: י החלפת הקשרים"ע, אחרת י החלפת הקבועים הלוגיים"זה בזה וע :T ,F זה בזה

(.אם קיימים) :דוגמאות

p p q p p p q p , p q p q p q p q

p F p p T p , p p T p p F


10

סדר הקדימות של הקשרים הלוגיים הבסיסיים

:נהוג להגדיר את סדר הקדימות הבא בין הקשרים הלוגיים הבסיסיים

פנימית קדימות סימון שם הקשר סוגריים מהפנים לחוץ

מימין לשמאל שלילה

משמאל לימין וגם

משמאל לימין או

משמאל לימין גרירה

xor , -ו שקילות משמאל לימין

כפי שהוא מצוין , הבסיסיים סדר הקדימות של הקשרים הלוגייםיש לקרוא את :הסבר

בראש הטבלה יימצא הקשר בעל הקדימות הגבוהה –מלמעלה למטה , בטבלה זו .ביותר ובתחתיתה הקשרים בעלי הקדימות הנמוכה ביותר

כאשר אז , קדימות פנימית מתייחסת למצב בו יש מספר קשרים זהים באותו פסוק .מימין לשמאל או משמאל לימין –החישוב /להחליט מהו כוון הקריאה נדרש

:ותדוגמא

: ערך האמת של הפסוק .1 p q r s t יחושב כך : p q r s t .

p: בהשמה F , q T , r T , s F , t T ,ערך האמת שלו הוא :T( .בדקו).

: ערך האמת של הפסוק .2 p q r p q p p q r

: כךיחושב p q r p q p p q r .

p: בהשמה T , q F , r T ,ערך האמת שלו יהיה :

T F T T F T T F T

T T T T F T T T T

T T T T F T T T T T F T T

T T T T T T T T T T T T T T T


11

1' מס תרגול -תחשיב הפסוקים –שכן הוא משפט חיווי , הוא פסוק" הוא שבע רצון, למרות שגדליהו אינו רזה: "המשפט .1

שכן , הפסוק הוא פסוק מורכב. אך לא שניהם, (F)או שקר ( T)ניתן לייחס לו ערך אמת הצרנת . גדליהו שבע רצון – q, גדליהו רזה – p: נסמן. 'וגם'', לא' :יםבו הקשר" יםמסתתר"

.qp: הפסוק היא

.במשפט בהקשר זה( לוגית)אין כל משמעות " למרות: "למילה, מבחינת הלוגיקה! שימו לב

ועבור כל פסוק ציינו האם הוא פסוק אטומי או , נו אלו מהמשפטים הבאים הם פסוקיםציי .י שימוש בפסוקים אטומיים וקשרים לוגיים"כתבו כל פסוק מורכב ע. פסוק מורכב

.אז אזמין חברים, אם לא אלך לטייל ויהיה לי פנאי .א .אז לא יהיה לי פנאי ולא אזמין חברים, אם אלך לטייל .ב .כדי להצליח בקורס הכרחי ומספיק להכין את תרגילי הבית וללמוד היטב לבחינה .ג

.Cאו Bהכרחי שיתקיים אחד ורק אחד מהמאורעות Aכדי שיתקיים מאורע .ד .מעוין Mמרובע בו האלכסונים ניצבים זה לזה הוא היות Mתנאי מספיק להיות .ה

:קבעו את ערך האמת של הפסוקים הבאים .21אם .א 1 2 , 2אז 2 5 .

1אם .ב 1 3 , הוא מספר זוגי 3אז.

0 .ג 1 אינו מספר ראשוני 2אם ורק אם.

qprqp: נתון הפסוק .3 .האמת שלו ערך , מבחינת סדר קדימויות הקשרים

: יחושב כך qprqp .טבלת האמת שלו היא:

qprqp qpr qp pr p r q p

T T T F F T T T

T T T F F F T T T T T F F T F T T T T F F F F T T T T T T T T F T T T F T F T F T F F T T T F F F T F F T F F F

:ידוע כי ערך האמת של הפסוק .4 rqp את , סמך נתון זה-על, נרצה לחשב. הוא שקר

rqp:ערך האמת של הפסוק .עזר לשם כך בטבלת אמתיאפשרות אחת היא לה .

נציב את ערכי . Fת אמת לפסוק הנתון ונראה באילו שורות ערך האמת שלו הוא נכתוב טבלp ,q ,r אשר את ערך האמת שלו אנו מתבקשים למצוא, משורות אלה בכל פעם בפסוק ,

: עדיפה השיטה הבאה. שיטה זו היא מסורבלת למדי. וכך נוכל לגלות מהו ערך האמת שלו

rqp כאשר –במקרה אחד בלבד הוא פסוק שקרp הואT ו- rq הואF;

rq הואF כאשר –במקרה אחד בלבדq הואF ו- r הואF .נותר להציב את , עתה

rqp: הערכים הללו בפסוק ,ולקבל : T F F T F F T T T .

כפי שהוגדר בטבלה , דר הקדימות של הקשרים הלוגייםסי "יש לפעול עפ! שימו לב) .(בעמוד הקודם


12

.לא הכרחי ולא מספיק/הכרחי ומספיק/מספיק/הכרחי: השלימו .5

.6 -שהוא יתחלק ב_____ 12 -כדי שמספר שלם יתחלק ב .א

.3 -שהוא יתחלק ב_____ זוגי -איכדי שמספר שלם יהיה . ב

מתוכם יהיה כל טבעיש_____ זוגית -איתהיה טבעייםכדי שמכפלת . ג .זוגי-אי

שלפחות מספר אחד מתוכם _____ זוגי יהיהשלמים סכוםכדי ש . ד .יהיה זוגי

.טבעישהוא יהיה _____ כדי שמספר יהיה ראשוני . ה2x:כדי שיתקיים . ו 2 3 x _____5: שיתקייםx 5 7 3x .

14yx: כדי שיתקיים . ז _____7: שיתקייםy2x .

0x: כדי שיתקיים . ח 2 _____0: שיתקייםx .

xx: כדי שיתקיים . ט _____0: שיתקייםx .

: שיתקיים_____ qp: קייםכדי שית . י qp .

: הלוגית( שקילותה) זהותנוכיח באמצעות טבלת אמת את ה .6 rpqprqp .

rpqp rp qp rqp rq r q p

T T T T T T T T

T F T T T F T T

T T F T T T F T

F F F F F F F T F F F F T T T F

F F F F T F T F F F F F T T F F

F F F F F F F F

ל "ולכן הפסוקים הנ, זהות( המודגשות)העמודות החמישית והשמינית משמאל .שקולים


13

1' מסבית תרגיל - תחשיב הפסוקים פסוק ועבור כל פסוק ציינו האם הוא , פסוקיםציינו אלו מהמשפטים הבאים הם .1

י שימוש בפסוקים אטומיים "כתבו כל פסוק מורכב ע. פסוק מורכבאו אטומי .קשרים לוגייםו

.זוגי-הוא מספר אי 7 .א .זוגי-אינו מספר אי 9 .ב

?האם זו אמת .ג

.שוקי שמן וכן גם מוקי .ד

!גש הנה .ה

.אבל אינה רזה, ינה נמוכהסימה אמנם א .ו

.אין זו אגדה, אם תרצו .ז

x .ח 1 1

2x: ממשי xלכל .ט x. (ציינו רק אם המשפט הוא פסוק).

.כחול או צהוב –למכונית בה נהגתי היה צבע אחיד .י

.יאif p then q

else r (p ,q ,r הם פסוקים ).

.יב

if p then

if q then

if r then s

else t

(p ,q ,r ,s ,t הם פסוקים).

האחרון if -מתאים ל elseאך כל , elseישויך ifאין הכרח שלכל ! שימו לב)

.(הסמוך לו

.מנת שהנבחרת תנצח במשחק הכרחי שהיא תתאמן מסביב לשעון-על .יג

.מספיק להיות חסר כשרון" נולד לבלוט"כדי להשתתף בתוכנית .יד

.מילים 20 -קטן ביותר שלא ניתן להגדירו בפחות מה( ממשיה)מספר ה xיהי .טו

:של הפסוקים הבאים ערכי האמתקבעו את .2

1אם .א 1 3 , 2אז 2 5 .

זוגי של מחלקים -יש מספר אי 36 -הוא מספר ראשוני אם ורק אם ל 1 .ב

.טבעיים 0: כדי שיתקיים .ג 1 2: הכרחי שיתקיים 1 3 .

0: כדי שיתקיים .ד 1 2: מספיק שיתקיים 1 3 .

0: כדי שיתקיים .ה 1 2: הכרחי ומספיק שיתקיים 1 3 .


14

טבלאות וכתבו את , כללי הקדימויותי "עפ, הוסיפו סוגריים לפסוקים הבאים .3 .שלהם האמת

prqp .א

rqrp .ב

prqp .ג

pqqp .ד

.ה p q p p p q

:של הפסוק ערך האמתאם ידוע כי .4 srqp מהו ערך האמת של . הוא שקר

srqp:הפסוק ?נמקו.

.לא הכרחי ולא מספיק/הכרחי ומספיק/מספיק/הכרחי: השלימו .5 .5 -שהוא יתחלק ב_____ 10 -כדי שמספר שלם יתחלק ב. א .4 -שהוא יתחלק ב_____ כדי שמספר שלם יהיה זוגי . ב

שמספר אחד מתוכם יהיה _____ לת שלמים תהיה זוגית כדי שמכפ. ג .זוגי

שלפחות מספר אחד מתוכם _____ כדי שמכפלת שלמים תהיה זוגית . ד .יהיה זוגי

.זוגי-שכל אחד מהשלמים יהיה אי_____ זוגי -כדי שסכום שלמים יהיה אי. ה .זוגי-שהוא יהיה אי_____ כדי שמספר יהיה ראשוני . וyx: כדי ש. ז ש_____ יהיה מספר חיובי :y x יהיה מספר שלילי.

4x:כדי שיתקיים. ח 5 13 x _____5: שיתקייםx 7 7 3x .

x: כדי שיתקיים. ט 7 _____שיתקיים :x 6 0 .

12yx: כדי שיתקיים. י _____3: שיתקייםy4x .

0x: כדי שיתקיים. יא y _____0: שיתקייםx .

: כדי שיתקיים. יב qp _____שיתקיים :p.

qp: כדי שיתקיים. יג _____שיתקיים :p.

: כדי שיתקיים. יד p q p q _____שיתקיים :p q.

:הבאות השקילויות הלוגיותאת ,טבלת אמתבאמצעות , הוכיחו .6

. א qpqp

qpqp. ב

. ג qppp

. ד p q p q q p

. ה rpqprqp

? אטומיים פסוקים n -המורכב מ, של פסוקכמה שורות מכילה טבלת אמת . א .7

.נמקו ? קיימים קשרים אונארייםכמה . ב .נמקו ? קיימים קשרים בינארייםכמה . ג


15

נחקרו במשטרה לגבי השאלה למי מביניהם יש -ביצי וגיצי , איצי -גמדים ושהשל .8

. יש מצנפת כתומה( ביצי וגיצי)איצי אמר שבדיוק לאחד מחבריו . מצנפת כתומהגיצי טען שאם איצי צודק . אז לגיצי אין כזו, ביצי אמר שאם לאיצי אין מצנפת כתומה

.אז גם ביצי צודק בדבריו, בדבריו

:הפסוקים האטומיים הבאים נסמן אתa – לאיצי יש מצנפת כתומה.

b – לביצי יש מצנפת כתומה.

c – לגיצי יש מצנפת כתומה. את טענתו של r -את טענתו של ביצי וב q -ב, את טענתו של איצי p -בנוסף נסמן ב

.גיצי .c -ו a ,b: באמצעות הפסוקים האטומיים r -ו p ,q: בטאו כל אחד מהפסוקים .א .r -ו p ,q: את טבלת האמת של כל אחד מהפסוקים כתבו .ב

האם יכול החוקר להסתייע בכך כדי . חוקר המשטרה גילה כי גיצי שיקר בדבריו .גנמקו זאת תוך ? למי מבין השלושה יש מצנפת כתומה ולמי לא בוודאותלדעת

.שימוש בתחשיב הפסוקים :ידוע כי. אט'יש גישה לצהעובדים באותו מקום עבודה חברים חמישהל .9

וטטים'אפריים או בתיה מצ.

וטטות'מצ, אך לא שתיהן, גבריאלה או דניאלה.

וטטת'אז גם גבריאלה מצ, וטטת'אם הראלה מצ.

וטטים או שאף 'או ששניהם מצ -לגבי דניאלה ואפריים מתקיים אחד מהשניים .וטט'אחד מהם אינו מצ

וטטים'אז גם הראלה ואפריים מצ, וטטת'אם בתיה מצ.

.נמקו? וטט 'ל מי מבין החמישה מצ"האם ניתן לקבוע בהסתמך על הנתונים הנ .(וטטים'אחד או יותר מבין החמישה מצ, ייתכן כי אפס)

אולם כתם דיו . בה רק תשובה אחת נכונה, גדליהו השתתף בבחינה אמריקאית .10

:נשפך על אחת מהשאלות והוא ראה רק את התשובות לאותה השאלה .תשובות הבאות נכונותכל ה (1) .אף תשובה מהבאות אינה נכונה (2) .כל התשובות דלעיל נכונות (3) .רק תשובה אחת דלעיל נכונה (4) .אף תשובה דלעיל אינה נכונה (5) .נמקו? מהי התשובה הנכונה לשאלה זו

!בהצלחה


16

חילופיות וקיבוציות של קשרים לוגיים

.קשר לוגי בינארי # יהי :הגדרות

פסוקים q -ו pם לכל "אם (קומוטטיבי)חילופי ( לוגי)הוא קשר #נאמר כי .א

p: מתקיים #q q # p( .הקשר , למשל שכן לכל , הוא קשר חילופיp ו- q פסוקים

p: מתקיים q q p ,לעיל 9לוף בטבלה שבעמוד י כללי החי"עפ).

פסוקים r -ו p ,qם לכל "אם (אסוציאטיבי) קיבוצי( לוגי)הוא קשר #נאמר כי .ב

: מתקיים p #q #r p # q #r( .הקשר , למשל שכן לכל , קיבוציהוא קשרp, q ו-

r פסוקים מתקיים : p q r p q r ,9בטבלה שבעמוד הקיבוץי כללי "עפ

.(לעיל

,)מבין הקשרים הלוגיים הבינאריים שסקרנו עד כה , , , ) , כולם למעט

.קשר הגרירה אינו חילופי ואינו קיבוצי. קשר הגרירה הם חילופיים וקיבוציים

לוגיות( שקילויות)אופני הוכחה של זהויות

באמצעות טבלת אמת –הוכחה שיטותלוגית בשתי ( שקילות)יח זהות ניתן להוכ, ככללאם קיימות )יותר ובסיסיות יסודיות, אחרותלוגיות ( שקילויות)או בהתבסס על זהויות

לעיל ניתן להוכיח באמצעות 9בעמוד את כל הזהויות הבסיסיות שבטבלה (.כאלה, וכיח זהויות אחרותניתן להשתמש בהן כדי לה, מרגע שעשינו זאת. טבלת אמת

.מורכבות יותר

: את הזהות ,למשל, נוכיח p q p q ל"השיטות הנבשתי:

:באמצעות טבלת אמת .א

p q q p q p q q p

F F F T T T T T T F F T F F F T T F

F T F T F F

(.לוגית)ולכן הפסוקים המתאימים להן שקולים , העמודות המודגשות זהות שתי

:נפשט את אגף שמאל באמצעות זהויות בסיסיות יותר מהטבלה שבעמודים .ב

: נקבל. לעיל 8-9 p q p q D.M p pp q p q p q p q

.


17

:r -ו p ,q -פסוקים 3בור מורגן גם ע-ניתן להכליל את כללי דה

p q r p q r

p q r p q r

הפסוקים שבשני אגפי זהויות אלו מוגדרים היטב לאור תכונת הקיבוציות שימו לב כי ,: של הקשרים . ל"שיטות הנהנוכיח את ההכללה הראשונה בשתי:


p q r r q p p q r p q r r q p

F F F F F T T T T F T F F F T F T T F F T F F T T F T F T T F F T F F T

F F F T F T T T F F T F T F T F T F F F T T F T T F F T T T T T F F F F

(.לוגית)ולכן הפסוקים המתאימים להן שקולים , שתי העמודות המודגשות זהות

9 מהטבלה שבעמוד יסודיות ובסיסיות יותרנפשט את אגף שמאל באמצעות זהויות .ב

: נקבל. לעיל

associativity of D.M D.M

associativity of

p q r p q r p q r p q r

p q r

(:גכללי הפילו)למשל , באותו אופן ניתן להכליל גם זהויות לוגיות בסיסיות אחרות

p q r s p q r s p q r p q s r p q s p q

r p r q s p s q r p r q s p s q

p r q r p s q s

p q r s p q r p q s r p q s p q

r p r q s p s q r p r q s p s q

p r q r p s q s

(תרגיל -נימוקי המעברים בין הפסוקים )

לוגיות באמצעות טבלת אמת או באמצעות שימוש בזהויות)הוכחה אלה שיטות שתי .משמשות גם בהוכחה כי פסוק נתון הוא טאוטולוגיה או סתירה( יסודיות ובסיסיות יותר

: וכיח כי הפסוקנ, למשל p q p יש להוכיח את , למעשה. הוא טאוטולוגיה

: הזהות p q p T .ל"נוכיח זאת בשתי השיטות הנ:


18


p q p q p q p

T T T T T T F T T F T F T T F F

:קיבלנו כי ערך האמת של הפסוק p q p הואT בכל השמה של פסוקיו

.משמע הוא טאוטולוגיה, האטומיים

בסיסיות יותר מהטבלה שבעמודיסודיות ונפשט את אגף שמאל באמצעות זהויות .ב: נקבל. לעיל 9

q p q p a b a b commutativity of

associativity of p p T

p q p p q p p q p p p q

p p q T q T

ניתן להעזר גם במשפט , מנת להוכיח כי פסוק נתון הוא טאוטולוגיה או סתירה-על :הבא

:משפט .הוא סתירה pם הפסוק "הוא טאוטולוגיה אם pפסוק .א

.טאוטולוגיההוא pם הפסוק "אם סתירההוא pפסוק .ב

qp: הפסוק .ג ם"הוא טאוטולוגיה אם: qp .

(.תרגיל)קלה למדי הוכחת המשפט

:האחרון שימושים למשפט/ותדוגמא

כדי להראות שהפסוק : r r משפט הי "עפ, מספיק להראות, הוא טאוטולוגיה

: כי הפסוק, ('סעיף א) האחרון r r r r זהותאבל זו , א סתירההו

(.סתירה בסיסית)ידועה

כדי להראות שהפסוק : p q p י "עפ, מספיק להראות, הוא סתירה

: כי הפסוק, ('סעיף ב) האחרוןמשפט ה p q p p q p הוא

.את זאת הוכחנו לעילאבל , טאוטולוגיה

כדי להראות שהפסוק : r s t r s r t מספיק , הוא טאוטולוגיה

: כי, ('סעיף ג)המשפט האחרון י "עפ, להראות r s t r s r t , אבל זו

: הפסוק, לכן(. 9ראו לעיל הטבלה בעמוד – אחד מכללי הפילוג)ידועה זהות

r s t r s r t הוא טאוטולוגיה.

י הגדרת הקשר "עפ, לוגיתל שקולים "של המשפט הנ' ב -ו' סעיפים א :הערה

.( בדקו. )שקילות/ם"אם


19

צורות נורמליות של פסוקים

.פסוקים אטומים כלשהם r -ו p, qיהיו :מונחים בסיסיים

פסוק אטומי – אטום ;p, q ו- r אטומים, אפוא, הם.

שלילת פסוק אטומי – נגטום ;p, q ו- r נגטומיםהם.

יטרלל (literal) – למשל; אטום או נגטום :p , p ליטרליםהם.

.ם מקורותיהם הם פסוקים אטומים שונים"אם שוניםהם שני ליטרליםנאמר ש :דוגמאות

p ו- q שמקורותיהם בהינתן, הם ליטרלים שונים– p ו- q הם פסוקים –בהתאמה

.pמקור שניהם הוא הפסוק האטומי –אינם ליטרלים שונים p -ו p .אטומים שונים

וגם"פסוקית" (conjunction clause) – של ליטרלים (קוניונקציה" )וגם"ליטרל אואו כפילות ופיעו אטום והנגטום שלוי" וגם"לא יתכן שבאותה פסוקית , לכן) שונים

(.נגטום/של אותו אטום

:דוגמאותp: הפסוקים q , p q r , p , r וגם"פסוקיות הם".

p: הפסוקים q r , p q p , p q p וגם"פסוקיות אינם".

או"פסוקית" (disjunction clause) – של ליטרלים (דיסיונקציה" )או"ליטרל או יופיעו אטום והנגטום שלו או כפילות " או"לא יתכן שבאותה פסוקית , לכן) שונים

(.נגטום/של אותו אטום

:וגמאותדp: הפסוקים q , p q r , p , r או"פסוקיות הם".

p: הפסוקים q r , p q p , p q p או"פסוקיות אינם".

DNF – של (דיסיונקציה" )או"כבודדת או " וגם"כפסוקית צורת כתיבה של פסוק "וגם"פסוקיות

:דוגמאות p q r p q r p q r , p q ,

p q q r p q r

CNF – של (קוניונקציה" )וגם"כבודדת או " או"כפסוקית צורת כתיבה של פסוק "או"פסוקיות

:דוגמאות p q r p q r p q r , p q ,

p r p q r q r


20

צורת כתיבה של פסוק כ – ורה נורמלית שלמהצ- DNF או כ- CNF , באופן

,אטומים או נגטומים)שבפסוק כל הליטרליםבצורה זו מכילה את כל פסוקיתש (אך לא שניהם

:דוגמאות

: הפסוקים p q r p q r p q r , p q r ,

p q r p q r p q r הם צורות נורמליות שלמות.

:םהפסוקי p q q r p q r , p r ,

p r p q r q r הם צורות נורמליות שאינן שלמות.

.אנו נעסוק בהמשך בעיקר בצורות נורמליות שלמות של פסוקים :הערה גם אם לא נאמר במפורש כי היא , כל אימת שנזכיר צורה נורמלית של פסוק, לכן

.נניח כי היא שלמה, שלמה

–ה נורמלית ניתן לכתיבה בצורשאינו טאוטולוגיה ואינו סתירה כל פסוק :משפטDNF אוCNF.

המאפשר "( מתכון)"אולם נציג אלגוריתם , לא נוכיח פורמלית את המשפט :הסבר .(שלמות) CNFאו בצורת DNFלייצג כל פסוק בעל טבלת אמת נתונה בצורת

3 -המורכב משרירותי P על פסוק)נדגים את האלגוריתם על טבלת האמת הבאה

: ליטרלים1 2 3p , p , p:)

P p3 p2 p1

T T T T F F T T T T F T F F F T F T T F F F T F F T F F T F F F

נבנה , Tנתבונן רק בשורות בהן ערך האמת של הפסוק הוא : DNF -עבור צורת ה

.Tהאמת של כל ליטרל בה יהיה כאשר ערך, עבור כל שורה כזו" וגם"פסוקית : ל היא"הנ Pשל הפסוק DNF -צורת ה, מכאן

1 2 3 1 2 3 1 2 3P p p p p p p p p p .

נבנה , Fנתבונן רק בשורות בהן ערך האמת של הפסוק הוא : CNF -עבור צורת ה

.Fכאשר ערך האמת של כל ליטרל בה יהיה , עבור כל שורה כזו" או"פסוקית

: ל היא"הנ pפסוק של ה CNF -צורת ה, מכאן

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P p p p p p p p p p p p p p p p

בצורה ( שאינו טאוטולוגיה ואינו סתירה)נתון שיטה להצגת פסוק , אפוא, תארנו

ניתן לעשות זאת תוך שימוש , לחילופין. באמצעות טבלת אמת( DNFאו CNF)נורמלית

.בזהויות לוגיות בסיסיות


21

: הפסוק של (CNF -ו DNF)נורמליות נמצא להלן צורות rqp ,באמצעות שלא

.כי אם תוך שימוש בזהויות לוגיות בסיסיות, טבלת אמת

DNF "(וגם"של פסוקיות " או:)"

p: הוא שימוש בכלל הזהות המרכזיהרעיון T p בסיסיתהובטאוטולוגיה :

p p T .

p q r p q r p r q r p r T q r T

p r q q q r p p

p r q p r q q r p q r p


p q r p q r p q r

CNF "(או"של פסוקיות " וגם:)"

p: הרעיון המרכזי הוא שימוש בכלל הזהות F p ובסתירה הבסיסית :p p F .

p q r p q r p q F r p q r r r

p q r p q r r p q r p q r r F F

p q r p q r r p p q q

p q r p q r r p q r p q r p q r p q

p q r p q r p q r p q r p q r p q r

p q r p

q r p q r p q r p q r

, ולהיפךשלו DNF -צורת הלשל פסוק נתון CNFמצורת ישירותנרצה לעבור , לעיתים

נבצע , DNFאו CNFנתן פסוק בצורת יבה, לשם כך. בטבלת אמת ישירוש שימ ללא

:עליו את הפעולות הבאות .נשלול אותו .א .או בהכללותיהם (D.M) מורגן-תוך שימוש בכללי דה, נפשט את הפסוק שהתקבל .ב

זה המכיל את –' בסעיף ב לפסוק שהתקבל" הפסוק המשלים"נרשום את .ג .'בסעיף ב בפסוק שהתקבלנמצאות שאינןהפסוקיות

: הפסוקשל DNF -צורת הנדגים זאת על rqp .שצורת ה, לעיל, קיבלנו- DNF

: היא שלו( השלמה) rqprqprqp .כדי לעבור לצורת ה- CNF

:את הפעולות הבאות DNF -על צורת הנבצע , שלו( השלמה)

: שלילה .א rqprqprqp

: או הכללותיהם (D.M) מורגן-כללי דהפישוט באמצעות .ב rqprqprqp

rqprqprqprqprqprqp

:לפסוק שהתקבל בסעיף הקודם" הפסוק המשלים"מציאת .ג

rqprqprqprqprqp

: של הפסוק CNF -בדקו כי התוצאה שהתקבלה היא אכן צורת ה rqp , כפי

-ל לצורת ה"של הפסוק הנ CNFותו אופן ניתן לעבור מצורת בא .שקיבלנו אותה לעילDNF שלו.


22

קבוצות שלמות של קשרים

ניתן לכתוב pם לכל פסוק נתון "אם שלמה: קבוצת קשרים לוגיים נקראת :הגדרה

.רק באמצעות הקשרים הלוגיים שבקבוצה q( לוגית)פסוק שקול

ם כל קשר לוגי ניתן לביטוי "אם שלמהקבוצת קשרים לוגיים היא , במילים אחרות) .(באמצעות הקשרים הלוגיים שבקבוצה ובאמצעותם בלבד

:משפט , , היא קבוצה שלמה של קשרים לוגיים.

ניתן שאינו טאוטולוגיה ואינו סתירה כל פסוק : "20י המשפט בעמוד "עפ :הוכחהשאינו טאוטולוגיה ואינו פסוק מתחייב שכל" CNFאו בצורת DNFלכתיבה בצורת

,: ניתן לכתיבה באמצעות הקשריםסתירה , שכן כל צורת כתיבה שכזו , בלבד

,: מערבת רק את הקשרים , .

פסוק )ניתן להוכיח כי כל טאוטולוגיה ניתנת לפישוט לטאוטולוגיה בסיסית , בנוסףp: מהצורה p T ) פסוק מהצורה)וכי כל סתירה ניתנת לפישוט לסתירה בסיסית :

p p F )מכאן שגם כל טאוטולוגיה וכל סתירה ניתנות לכתיבה באמצעות הקשרים :

, , בלבד.

,: באמצעות הקשרים נבטא את הקשר :דוגמא , בלבד.

p q p q q p p q q p

:טענה , היא קבוצה שלמה של קשרים לוגיים.

עות באמצ : מספיק להוכיח כי ניתן לבטא את הקשר, י המשפט האחרון"עפ :הוכחה

,: הקשרים אכן. בלבד : D.Mp q p q p q .

,: באמצעות הקשרים נבטא את הקשר :דוגמא בלבד.

p q p q

(:של שפרהראשון הקשר ) nandהגדרת הקשר

qp q p

F T T T F T

T T F T F F

: ניתן לראות כי p q p q ומכאן שמו של הקשר– nand (not and.)

nandאת סדר הקדימות של הקשר ( וגם לא נהוג להגדיר)מאחר ולא הגדרנו :הערה

הרי שיש להקפיד על כתיבה בסוגריים ,שכבר הכרנו ביחס לשאר הקשרים הבינאריים .לצד קשרים לוגיים אחרים nand את הקשרפסוק מכיל הכל אימת ו


23

:טענה של קשרים לוגיים קבוצה שלמההיא.

,: מספיק להראות כי ניתן לבטא את הקשרים, י הטענה האחרונה"עפ :הוכחה

:מתקיים, ראשית. :באמצעות הקשר r s r sp p p p p

.מתקיים, כמו כן:

D.M r s r s p p pq q q

p q p q p q p q p p q q

.בלבד באמצעות הקשר הקשר נבטא את :דוגמא

p q p q a a ap q p q p q p q p q

(:של שפרשני ההקשר ) norהגדרת הקשר

p q q p

F T T F F T

F T F T F F

: ניתן לראות כי p q p q ומכאן שמו של הקשר– nor (not or.)

norאת סדר הקדימות של הקשר ( וגם לא נהוג להגדיר)מאחר ולא הגדרנו :הערה

הרי שיש להקפיד על כתיבה בסוגריים , ים שכבר הכרנוביחס לשאר הקשרים הבינארי .לצד קשרים לוגיים אחרים norכל אימת והפסוק מכיל את הקשר

:טענה של קשרים לוגיים קבוצה שלמההיא.

(תרגיל –הוכחה )

:משפט ו- בודדלוגי ת היחידות המכילות קשר הן הקבוצות השלמו.

(ללא הוכחה)


24

2' תרגול מס -תחשיב הפסוקים

: את הזהות הלוגית ,שלא באמצעות טבלת אמת ,נוכיח .1 p p q p q .

:נפשט את אגף שמאל

r s r s D.M

associativity of p p p D.Mq q q q

p p q p p q p p q p p q

p p q p p q p q p q

p q

p: ניתן היה לעצור בשלב בו קיבלנו את הפסוק, לחילופין q ,פשט את אגף ימיןל :

D.M q qp q p q p q

, זהותולכן ה, זהיםשני האגפים ולראות כי

.נכונהאכן

:שלא באמצעות טבלת אמת ,הוכיחו את הזהויות הלוגיות הבאותp .א q p q p

p .ב q p q r r

p .ג q p q q

:כי הפסוקים הבאים הם טאוטולוגיות ,שלא באמצעות טבלת אמת ,הוכיחו .2p .א p q p

.ב p q p q p q

.ג p q q r p r

:יםאת הפסוק באופן מירביפשטו .א .3

1) p q p p q p

2) p q p q p q p q

(:2' אפתרון

commutativity of generalization ofdistributivity

commutativity andassociativity of

a a F

p q p q p q p q p q p q p q p q

p q p q p q p q

p q p p q q p q p p q q

p p q p q q p p q q p q

a a adistributivity

a F Fa a F

a F a

a b a b associativity of

a a T a T T

F q p q p p p q q p q q

F p q F p q q p F p q p q q p

p q p q q p p q p q q p

T q p T


25

p: כי השליטה והפילוג בלבד, באמצעות כללי הזהותהוכיחו .ב p q p .

:כי ,שלא באמצעות טבלת אמת ,הפריכו/הוכיחו .4

.א p q r p q p r

.ב p q r p q p r

:של הפסוקים הבאים( השלמות) CNF -וה DNF -מצאו את צורות ה .5

p .א q

p .ב p q r

י האלגוריתם להצגת פסוק בצורות נורמליות שלמות מתוך טבלת "עפ :'פתרון א : נקבל, האמת שלו

DNF

CNF

p q p q p q

p q p q p q

: באמצעות הקשרים (xor )את הקשר בטאות המאפשרות לזהויות לוגי, כמובן, אלו

, , .

.בלבד באמצעות הקשר נבטא את הקשר .6

CNF D.M D.M

r s r s p p pq q q

r s r s r r r

p q p q p q p q p q p q p q

p q p q p q p p q q



.בלבד באמצעות הקשר נבטא את הקשר

DNF D.Mp p

r s r s p p pq q q

r s r s

r r r

p q p q p q p q p q p q p q

p q p q p p q p q q

p p q p q q p p q p q q

p p q p q q p p q p q q


26

.הוא קשר חילופי אך אינו קשר קיבוצי כי הקשר , ללא שימוש בטבלת אמת, נוכיח .7

p: יש להראות כי, הוא חילופי קשר זהמנת להוכיח כי -על q q p .אכן :

commutativity ofp q p q q p q p .

: יש להראות כי, אינו קיבוצי קשר זהמנת להוכיח כי -על p q r p q r .

: נפשט תחילה את אגף שמאל

D.Ms t s t s t s ts s

distributivity


p r q r

: נפשט עתה את אגף ימין

D.Ms t s t s t s ts s

distributivity


p q p r

: מספיק לשם כך לבחון את ההשמה – (לוגית)נם שקולים האגפים איהפסוקים שבשני שני p T , q T , r F .


27

2' מסבית תרגיל - תחשיב הפסוקים :שלא באמצעות טבלת אמת ,הוכיחו את הזהויות הלוגיות הבאות .1

.א p p q p q

.ב qpqpp

.ג qpqpqppp

.ד p q p q r p q p q r

לגבי כל אחד מהפסוקים דלהלן אם , טבלת אמת שלא באמצעות, והוכיחו קבעו .2

.או לא זה ולא זה סתירה, טאוטולוגיההוא

pp . א

. ב qqpp

. ג qqpp

. ד qqpp

. ה qpqp

qpqp . ו

. ז p q q p

.ח p q p r q r

:כי, שלא באמצעות טבלת אמת, הפריכו/הוכיחו .3

.א p q r p q p r

.ב p q r p q p r

.ג p q r p q p r

: כי השליטה והפילוג בלבד, באמצעות כללי הזהותהוכיחו .4 p p q p .

.P3 -ו P1 ,P2: ליטרלים 3 -המורכב מ Pנתונה טבלת האמת של פסוק מסוים .5

P P3 P2 P1

T T T T T F T T T T F T F F F T T T T F F F T F F T F F F F F F

.Pשל CNF -הו DNF -מצאו את צורת ה .א

.(פסוקים 3קשר הפועל על ) קשר טרנארי, למעשה, טבלת אמת זו מתארת .ב

?למעשה , "מבצע"מה הוא . )קשר זהאופיו של /תארו במילים את הגדרתו

(? Fמתי הוא מניב? Tמתי הוא מניב


28

p: ידוע כי מתקיים. a ,b ,c: ליטרלים 3 -פסוק המורכב מ pיהי .6 a b .

.pשל ( השלמות) DNF -וה CNF -רשמו את צורות ה

תוך התחשבות במגבלות , של הפסוקים הבאים CNF -וה DNF -ת הומצאו את צור .7

:המצוינות לצידם

qp .א (ללא שימוש בטבלת אמת)

.ב p q p r (ללא שימוש בטבלת אמת)

. ג rqp (תוך שימוש בטבלת אמת)

: שלו CNF -נתון פסוק בצורת ה .8

rqprqprqprqprqp .

.ללא שימוש בטבלת אמת DNFתרגמו אותו לצורת

כי הקבוצה ( שהוכח בהרצאה)בהתבסס על המשפט .9 קבוצה שלמה היא ,,

:ת הקשרים הלוגיים הבאות הינן שלמותהוכיחו כי קבוצו, של קשרים לוגיים

. א , ב . ,

הוכיחו כי הקבוצה .10 קבוצה שלמה של קשרים לוגייםהיא .

:בטאו את הפסוק .11

rqqp .א באמצעות הקשרים : .בלבד ,

rqp .ב באמצעות הקשרים : .בלבד ,

בלבד (nand )פעם אחת באמצעות הקשר, בטאו כל אחד מהקשרים הבאים .12

:בלבד (nor)ופעם אחת באמצעות הקשר

. ד . ג . ב . א

. לא חילופיאך קיבוצי אשר הוא, (בינארי)קשר לוגי מצאו .13

!בהצלחה


29

כללי היסקתקפות טיעונים ו –תחשיב הפסוקים

יכולות כתיבה והבנה הקניית והנחלתזה היא של פרק העיקריות אחת ממטרות הלימוד .הוכחה מתמטיתשל

( פסוק)המבסס אמיתות של טענה או משפט טיעון תקףהיא הוכחה מתמטית (הקדמותמאו ) הנחותמ המורכבת, (פסוקים) הוא סדרה של טענות טיעון .מתמטי

.מסקנהומטיעון הוא , חרותבמילים א. ם המסקנה בו נובעת מצירוף ההנחות"אם תקףטיעון הוא

לא יתכן מצב בו צירוף ) Tגם המסקנה היא Tכל אימת וצירוף ההנחות הוא ם "תקף אם

.(Fבעוד המסקנה היא Tההנחות הוא

תבניות של – כללי היסקעושים שימוש ב נתונותמטענות מסקנהמנת להסיק -על .טיעונים תקפים

:מונחים בסיסיים

או ) הנחות: ן פרט לאחרונה נקראותאשר כול, סדרה של טענות – טיעון מסקנה: חרונה נקראתאוה (הקדמות

:צורות סימון וייצוג – דוגמאות

(.טענות)פסוקים כלשהם q -ו pיהיו

o 1) אז הכביש רטוב, אם יורד גשם.

.יורד גשם (2 .הכביש רטוב, לכן (3

o

p q

p

q

o p q , p | q

o p q p q

.אנו נייצג טיעונים בעיקר בצורת הסימון האחרונה :ההער


30

טיעון תקף: נקרא ההנחותצירוף מ נובעתטיעון בו המסקנה – תקפות של טיעון. נכונותאת גוררתבו צירוף ההנחות נכונותם "טיעון הוא תקף אם: במילים אחרות

(.Fבעוד המסקנה היא Tנחות הוא לא יתכן מצב בו צירוף הה) המסקנה

: את תקפות הטיעון, למשל, נוכיח p q p q י הגדרה זו"עפ .

:נעזר לשם כך בטבלת אמת

p q p p q q q/ p פ

T T T T F F F T F T T F F T F F

)ירוף ההנחות נשים לב כי כל אימת וצ p q p ) הואT , גם המסקנה(q ) היאT.

, כן-על, השורה הרלבנטית היחידה בטבלת האמת לבדיקת תקפות הטיעון היא (.Tרק בה צירוף ההנחות הוא )השורה הראשונה

סדרה של פסוקים – טיעון, פסוק – טענה: שימו לב להבדל בין המושגים :הערה

טיעון יכול להיות . Fהוא Tטענה מקבלת ערך אמת (.ת או יותר ומסקנההנחה אח)

.תקף( לא)תקף או בלתי

אומרים כי פסוק – (לוגית) גרירה טאוטולוגית p (לוגית) טאוטולוגית גורר גם ערך האמת של , T הוא pהאמת של הפסוק ערךם לכל השמה בה "אם, qפסוק

.Tהוא qהפסוק

p: או =| q p :סימון q

את ( לוגית)גוררות טאוטולוגית בו ההנחות צירוף ם "טיעון הוא תקף אם :מסקנה

.המסקנה

,: שימו לב להבדל בין הסימנים :הערה . הסימן : קשר -מייצג קשר לוגי

תקפות –תכונה של טיעון כי אם , אינו מייצג קשר לוגי : בעוד שהסימן, הגרירה

.המסקנה בו נובעת מצירוף ההנחות -( היותו תקף)p, במילים אחרות q בהקשר זה כלל איננו מתענייניםולכן , (ולא פסוק)הוא טיעון

p בהשמות בהן F (ם רק בהשמות בהן כי אp=T.) להבדיל ,p q הוא פסוק אשר

p השמות בהן ולכן, Fאו Tערך האמת שלו הוא F כמו כל )אותנו ותבהחלט מעניינ

(.ההשמות האפשריותשאר

,: המשפט הבא קושר בין הסימנים .

p :משפט q ם"אם :p q T .במילים :p את ( לוגית)גורר טאוטולוגיתq ם "אם

p: הפסוק q (תרגיל –הוכחה ) .הוא טאוטולוגיה.


31

תקפותם של שני הטיעונים -אי/נשתמש במשפט האחרון כדי לבדוק את תקפותם

:הבאים

1) p q p q

: מספיק להוכיח כי, ל"י המשפט הנ"עפ p q p q T . נבדוק זאת באמצעות

:טבלת אמת

p q p q p q p q p p q q q/ p פ

T F F F T T T T F T F F F T

F T F T T T F T T T T T F F

: קיבלנו כי הפסוק p q p q הטיעוןולכן , אינו טאוטולוגיה :

p q p q אינו תקף.

2) p q q r p r

: מספיק להוכיח כי, ל"י המשפט הנ"עפ p q q r p r T ( . שימו לב

.(לחשיבות השימוש בסוגריים במקרה זה, התבקשתם להוכיח טאוטולוגיה זו ('סעיף ג 2שאלה ) לעיל 24בעמוד 2' בתרגול מס

.מכאן שטיעון זה תקף. שלא באמצעות טבלת אמת יהיו - (לוגית)שקילות טאוטולוגיתp ו- q נאמר כי ;שני פסוקים כלשהם

p: נסמןזה לזה ו (לוגית)טאוטולוגית שקולים q -ו p הפסוקים q ם"אם p גורר

.pאת ( לוגית)גורר טאוטולוגית q -ו qאת ( לוגית)טאוטולוגית

p: נאמר כי, ל"בסימונים הנ q ם "אםp q וגםq p.

p :מסקנה q ם "אםp q.

.נוכיח את נכונותו של כל כוון במסקנה בנפרד :הוכחהpנתון כי :מימין לשמאל q כי ( ל"צ)וצריך להוכיחp q.

p, לעילדי ההגדרה "עפ q פירושו ש :p q וגםq p .י המשפט האחרון"עפ ,

p: משמעות הדבר היא כי q T וגםq p T .כי מתקיים, אפוא, נשים לב :

p q T q p T ולכן :p q T ( p q p q q p ) ,משמע p q

.(לעיל 18י משפט מעמוד "עפ)pנתון כי :משמאל לימין q כי ( ל"צ)וצריך להוכיחp q.

p q נובע כי לעיל 18וד י משפט מעמ"ועפ: p q T .י זהות לוגית שהוכחה "עפ

(: 'סעיף ד 6שאלה , 14עמוד )לעיל 1בתרגיל בית מספר p q p q q p ,

: מתחייב ש p q T q p T .משמעות הדבר היא כי, י המשפט האחרון"עפ :

p q וגםq p לעיל פירושו של דבר כי דולאור ההגדרהp q.


32

סמך קבוצה -על, פסוק באמצעותו ניתן להסיק, טיעון תקף יסודי – כלל היסקבהוכחה . תורת ההיסק עוסקת בפורמליזציה של הוכחות); סופית של פסוקים

שלב , ותוך שימוש בכללי היסק, מהצגה של הפסוקים הנתוניםחילים מתמטית מת (.למסקנה – מגיעים לפסוק אותו מעוניינים להוכיח, אחר שלב

:נציג להלן מספר כללי היסק נפוצים

כלל ההיסק שם כלל ההיסק

1. Modus Ponens (M.P) p q p q

2. Modus Tollens (M.T) p q q p

3. Hypothetical Syllogism (H.S) p q q r p r

4. Disjunctive Syllogism (D.S) p q p q

5. Addition p p q

6. Simplification p q p

7. Resolution p q p r q r

:הערות

, כללי היסק בינאריים: נקראים ,5למעט כלל , כל כללי ההיסק שבטבלה לעיל (1 ובהיות, כלל היסק אונארי: נקרא 5כלל .(כל אחד)הנחות שתיבהיותם מכילים

.בלבדמכיל הנחה אחת p(: בעמוד הקודם)לאור המסקנה האחרונה (2 q ם "אםp q , כל מ "לייצר"ניתן

חשוב לזכור כי כל כלל היסק הוא . בכוון אחד או יותר זהות לוגית כלל היסק :למשל. ולכן הוא מכיל הנחה אחת או יותר ומסקנה אחת, (תקף)ביסודו טיעון

: מורגן-זהות דהמתוך "לייצר"ניתן (א p q p q ההיסק יללכאת שני

: יםהבא p q p q , p q p q .

p: זהותמתוך ה "לייצר"ניתן (ב q q p בעלת השם :Contrapositive את

p: שני כללי ההיסק הבאים q q p ,q p p q .

ת על בסיס זהויות לוגיות יסודיות כשם שניתן להוכיח זהויות לוגיות מסוימו, כמובן

כך ניתן להוכיח תקפותם של טיעונים על סמך , (לעיל 9בעמוד כדוגמת אלו שבטבלה ) .כללי היסק

נזמין , אם לא נלך לסרט: "בדרך האחרונה את תקפות הטיעון הבא, למשל, נבדוקנית תכ משודרת. לא נזמין חברים, בנאליהתכנית ריאליטי בערוץ תשודראם . חברים

."ולכן נלך לסרט הבנאליריאליטי בערוץ

:נסמן את הפסוקים האטומיים שבטיעון זה -בשלב הראשון נבצע הצרנה p – נלך לסרט ,q – נזמין חברים ,r - הבנאליתכנית ריאליטי בערוץ משודרת

: נצרין את הטיעון ונקבל p q r q r p .


33

:בטבלת אמת ללא שימוש הוכחת תקפות הטיעון

צעד ההוכחה נימוק

1. Hypothesis (הנחה) r q

2. Hypothesis (הנחה) r

3. M.P using 1,2 q

4. Hypothesis (הנחה) p q

5. 3 q

6. M.T using 4,5 p

p שלילה כפולה .7

: גם כךזו ניתן לרשום הוכחה

r q r q , M.P p q q p , M.T p pp q r q r p q q p p

"כלל היסק בשירות מדעי המחשב" –( resolution)רזולוציה

המאפשרים לבצע אוטומטיזציה של ( ותוכנות)השנים פותחו אלגוריתמים במהלך רבים מאלגוריתמים אלה מבוססים על כלל .תהליכי ההסקה וההוכחה של משפטים

: הקודםהמופיע בתחתית טבלת כללי ההיסק בעמוד , (resolution)רזולוציה ההיסק

p q p r q r . לרזולוציה גם תפקיד חשוב בשפות תכנות המבוססות על

.פרולוגשפת כדוגמת , חוקי הלוגיקה

יש , לשם כך. טיעון על סמך רזולוציה בלבדקיימים אלגוריתמים המוכיחים תקפות של לא בהכרח ) CNFלבטא את צירוף ההנחות כמו גם את המסקנה שבטיעון בצורת

: ההנחות, למשל, כך(. שלמה p q r , p q תבוטאנה באופנים השקולים

: הבאים בהתאמה p q p r ,p q כצורות ה- CNF (הלא שלמות )שלהן.

: נוכיח על בסיס רזולוציה כי :דוגמא p q r r s p s .

: אכן

distributivity r s r s

commoutativity and resolutionassociativity of

simplification

p q r r s p r q r r s

p r q r r s p r r s q r

p s q r p s


34

3' תרגול מס -תחשיב הפסוקים : Modus Tollens (M.T) כלל ההיסק( נאותות)תקפות את , טבלת אמתבאמצעות , נוכיח .1

p q q p . מספיק להראות כי, י משפט"עפ : p q q p T .

:אכן

p q q p p q q q p q q q/ p פ

T F F T T T

T F T F F T T F F T T F

T T T T F F

: האםבאופן דומה עתהנבדוק p q p r q r . מספיק לבדוק , י משפט"עפ

: האם p q p r q r T ( .שימו לב לחשיבות השימוש בסוגריים כאן ).

:שכן, מסתבר שטיעון זה אינו תקף

(1) (2) (3) (1) (2) q r

(3)

p r

(2)

p q

(1) r q p

T T T T T T T T T F F F T F T T T F T T F T F T

T F T F F F F T T T T T T T T F

F T F T T F T F T T T T T T F F T T T T T F F F

:את תקפותם של הטיעונים הבאים באמצעות טבלת אמתהפריכו /הוכיחו

.א p q p r q r

.ב p p q q r r

:שלא באמצעות טבלת אמת, הוכיחו את תקפותם של הטיעונים הבאים .2

אם לא . נלך לשחות רק אם תזרח השמש. השמש לא זורחת והיום קריר יותר מאתמול" .א

ור נחז, לכן. נחזור הביתה עד לשקיעה, אז נצא לשיט ואם נצא לשיט, נלך לשחות ."הביתה עד לשקיעה

.ב p t r s q u t u p s q r


35

:ים הבאים הם טאוטולוגיותכי הפסוק, ללא טבלת אמת, הוכיחו .3

.א p q p r q r

.ב p q r p r s s t t

.לעיל' סעיף א 2נצרין את הטיעון שבשאלה :'פתרון ב ,נצא לשיט - s, נלך לשחות – r, קריר יותר מאתמול היום – q, השמש זורחת – p :סימון

t – נחזור הביתה עד לשקיעה pאז qאם q אז pרק אם :תזכורת

:הצרנת הטיעון p q r p r s s t t

p, י משפט"עפ. לעיל הוכחנו כי טיעון זה תקף' סעיף א 2בשאלה q (טיעון זה תקף )

pם "אם q T .לכן , p q r p r s s t t T .

ם קיימת השמה של פסוקיו האטומיים עבורה "אם, (ניתן לסיפוק) ספיקכ aנגדיר פסוק .4

: כי הפסוקכדי להוכיח ברזולוציההשתמשו . Tערך האמת שלו הוא

p q p q p q p q ספיק אינו.

(:לא בהכרח שלמה) CNFנייצג תחילה את הפסוק הנתון בצורת :הוכחה

a b a bp q p q p q p q

p q p q p q p q p q p q p q p q

כלומר , הפסוק ספיקנניח בשלילה כי . הפסוק אינו ספיקכי *נוכיח עתה על דרך השלילה נשתמש בכלל ו ,Tעבורה ערך האמת שלו הוא ( p ,q)קיימת השמה של פסוקיו האטומיים -

:נקבל. (פסוקים אחרים)לוציה כדי להסיק מתוכו מסקנות הרזו

resolution

p q p q p q p q

p q p q p q p q

q q q q q q F

והגענו ( נאותים, מוכחים)השתמשנו בכללי היסק , הפסוק ספיקיצאנו מתוך הנחה כי .הוא אינו ספיקלכן , אינה נכונה( הפסוק ספיקכי )הנחת הבסיס שלנו , משמע. לסתירה

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- :הוכחה על דרך השלילה היא שיטת הוכחה המבוססת על הרעיון הבא *

(.Tערך האמת שלו הוא )נכון pנניח כי מעוניינים להוכיח כי הפסוק qומחפשים סתירה , (Fערך האמת שלו הוא )ן אינו נכו pכי הפסוק ( בשלילה)לשם כך מניחים

q: למשל) r r F )כך שהפסוק :p q יהיה נכון( בעל ערך אמתT.) הרי , אם הצלחנו

p: ופסוק qשמצאנו פסוק סתירה q שערכוT , מצב המחייב כיp הואF (משמע ,p הוא

T) , כי הפסוק ( הנחת השלילה)בסתירה להנחהp אינו נכון(F.)

.pבכך הוכחנו את נכונותו של הפסוק


36

3' מסבית תרגיל - תחשיב הפסוקים

:באמצעות טבלת אמת הבאים כללי ההיסק (נאותות) הוכיחו את נכונות .1

. א p q p q ב . p q p r q r

שלא באמצעות טבלת אמת, הבאים תקופתם של הטיעוניםהפריכו את /הוכיחו .2 :(Resolution)וללא שימוש בכלל ההיסק רזולוציה

p .א q p

p .ב q p q

.ג p q r q p r

.ד p q p r r s q s

.ה q s p q r r s t t

להפריך את שני הסעיפים האחרונים בשאלה /כדי להוכיח רזולוציההשתמשו ב .3 (.2)הקודמת

:שלא באמצעות טבלת אמת, הוכיחו את תקפות הטיעון הבא .4

אם לא . רק אם היא מלאה במים, אקפוץ לבריכה. ואכלתי פיצה קפצתי לבריכה"שילמתי את היטל , לכן. הבריכה אינה מלאה במים, תשילמתי את היטל הבצור

."הבצורת

:כי הפסוקים הבאים הם טאוטולוגיות, שלא באמצעות טבלת אמת, הוכיחו .5

.א p q r q r p

.ב p q p r q r

:רזולוציהסמך -הסיקו על .6 p q p r q r , כי הפסוקים הבאים הם

:טאוטולוגיות

.א p q p q q

.ב p q p q

!בהצלחה

פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית - תחשיב הפסוקים

Documents