פרק 1א חקירת פונקציה פולינום

לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג

כתב וערך: יוסי דהן. חדו"א / חקירה א פונקציה פולינום/ א 1חלק

0

0

30833: שלישיתיחידה

א'1חלק

: ת פונקציהחקיר

פונקציה מסוג פולינום , אחד חלקי איקס , שורש

'ב1חלק

משוואת משיק


2חלק

אינטגרל : פונקציה קדומה ומציאת שטח

פונקציה של פולינום בלבד

'א3חלק

מאונך מקביל טריה אנליטית:גיאומ

'ב3חלק

מעגל גיאומטריה אנליטית:

4חלק

בעיות קיצון :


3חלק

בעיות מילוליות:

תנועה, קנייה ומכירה,

כתב וערך: יוסי דהן



1

1

א'1 פרק

פולינום מסוג חקירת פונקציה

חקירה א' : פונקציה ריבועית

.1שאלה מספר

322חקור את הפונקציה הבאה xx)x(f:בהתאם לסעיפים הבאים

נקודות קיצון מקומיות. מצא את .(א)

נקודות חיתוך עם הציריםמצא את . (ב)

גרף הפונקציהאת ט . שרט(ג)

תחומי עליה וירידהרשום . (ד)

פתרון:


נקודות חיתוך עם הציריםמצא את . )ב(

גרף הפונקציהאת . שרטט )ג(

תחומי עליה וירידהרשום . )ד(

1 : בתחום עולההפונקציה x

: בתחום יורדתהפונקציה x1

.תשובה סופית

)4,1(max)א( )0,3()0,1()3,0()ב(

)ג( ראה שרטוט

1 : עולה)ד( x יורדת : x1

נגזרת ראשונהm=0

1

220

0)('

22)('

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)4,1(

43)1(2)1()1(

32)(

2

2

f

xxxf

נגזרת שנייהmax/min

max2)('' xf

נקודת הקיצון

max)4,1(

.x –חיתוך עם ציר ה

y=0

)0,3()0,1(

2

42

)1(2

)3)(1(44)2(

320

0

32)(

2,1

2

2

x

xx

y

xxxf

.y –חיתוך עם ציר ה

x=0

)3,0(

3)0(2)0()(

0

32)(

2

2

xf

x

xxxf

חיתוך עם הציריםהנקודות

)3,0()0,1()0,3(

x ירידה x עלייה x

x 1 x תחום עלייה וירידה )קדקוד(

max)4,1(

x

y

(300) )0,1(

(003)

(4 01)



2

2

.2שאלה מספר

862חקור את הפונקציה הבאה xx)x(f:בהתאם לסעיפים הבאים





פתרון:





3 : בתחום יורדתהפונקציה x

: בתחום עולה הפונקציה x3

.תשובה סופית

)1,3(min)א( )0,4()0,2()8,0()ב(

)ג( ראה שרטוט

: עולה)ד( x3 3: יורדת x


3

620

0)('

62)('

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)1,3(

18)3(6)3()3(

86)(

2

2

f

xxxf


min2)('' xf


min)1,3(


y=0

)0,2()0,4(

2

26

)1(2

)8)(1(436)6(

860

0

86)(

2,1

2

2

x

xx

y

xxxf


x=0

)8,0(

8)0(6)0()(

0

86)(

2

2

xf

x

xxxf


)8,0()0,2()0,4(

x עלייה x ירידה x

x 3 x תחום עלייה וירידה )קדקוד(

min)1,3(

x

y

(400) (200)

(008)

(1- 03)



3

3

.3שאלה מספר

)()122(10נתונה הפונקציה הבאה: xxxf

נקודות קיצון מקומיות.מצא את . (א)

.נקודות חיתוך עם הציריםמצא את . (ב)

.. שרטוט הגרף הפונקציה(ג)

.תחומי עליה וירידהרשום את . (ד)

פתרון:




וירידה תחומי עליהרשום . )ד(



: סופית תשובה

)min)8,3 (א) )0,1()0,5()10,0( )ב(

3 יורדת )ד( x עולה x3


y=0

)0,1()0,5(

4

812

)2(2

)10)(2(4144)12(

101220

0

10122)(

2,1

2

2

x

xx

y

xxxf


x=0

)10,0(

10)0(12)0(2)(

0

10122)(

2

2

xf

x

xxxf


)10,0()0,1()0,5(

נגזרת ראשונהm=0 x=?

3

1240

0)('

124)('

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)8,3(

810)3(12)3(2)3(

10122)(

10)122()(

2

2

f

xxxf

xxxf


min4)('' xf

וןנקודת הקיצ

min)8,3(

x

(0 05-)

(8- 03-)

(0 01-)

y

(0010

)


x 3- x

תחום עלייה וירידה )קדקוד( min)8,3(



4

4

.4שאלה מספר

"טתשסקיץ מועד א' 03833מבחן בגרות

נתונה הפונקציה 2

1

2)(

2

xx

xf.

מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. .(א)

.נההנתו xf)( פונקציהשלפניך מתאים ל 04 03 02 1אחד מארבעת הגרפים .(ב)

. נמק. xf)(פונקציה קבע איזה גרף מתאים ל

פתרון:


של xf)(שלפניך מתאים לפונקציה 4, 3, 2, 1(. אחד מארבעת הגרפים )ב

. נמק. xf)(ע איזה גרף מתאים לפונקציה קב הפונקציה הנתונה

)max)0,1הגרף המתאים הוא גרף מספר אחד יש בגרף נקודת ובאחרים אין


1

10

0)('

1)('

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)0,1(

02

1)1(

2

)1()3(

2

1

2)(

2

2

f

xx

xf


max1)('' xf


max)0,1(



5

5

')(שלפניך מתאים לנגזרת 4, 3, 2, 1אחד מארבעת הגרפים .)ג( xf של הפונקציה

. נמק. xf)(קבע איזה גרף מתאים לנגזרת תונההנ

)max)0,1יש בגרף נקודת שלוש עהוא גרף מספר לגזרת הגרף המתאים

לכן הנגזרת חיובית0 בנקודת הקדקוד השיפוע הוא אפס x= 1: קיימת עלייה עד נקודת הקדקוד הסבר

3קיימת ירידה לכן הנגזרת שלילית הגרף שמתאר זאת הוא גרף מספר x= 1ולאחר הקדקוד

ובאחרים אין

')(11הנגזרת היא תפונקצייהסבר נוסף : xxf

(-1הפונקציה מתארת גרף של ישר עם שיפוע שלילי )

סופית: תשובה

)max)0,1 . (א) (ב)3גרף מספר )ג( 1 . גרף מספר

yחיתוך עם ציר x=0

)1,0(

1

1)0(

0

1)('

y

y

x

xxf

xחיתוך עם ציר y=0

)0,1(

1

10

0

1)('

x

x

y

xxf

)0,1(

)1,0(



6

6

.3שאלה מספר

)(2)2)(4(נתונה הפונקציה הבאה: xxxf





פתרון:





1 : בתחום עולההפונקציה x

: בתחוםיורדת הפונקציה x1

סופית: תשובה

)max)18,1. (א) )0,2()0,4()16,0(. )ב(

1 עולה )ד( x יורדת x1


1

440

0)('

44)('

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)18,1(

816)1(4)1(2)1(

1642)(

8242)(

)4)(2(2)(

2

2

2

f

xxxf

xxxxf

xxxf


max4)('' xf


max)18,1(


y=0

)0,2()0,4(

4

124

)2(2

)16)(2(416)4(

16420

0

1642)(

2,1

2

2

x

xx

y

xxxf


x=0

)16,0(

16)0(4)0(2)(

0

1642)(

2

2

xf

x

xxxf


)16,0()0,2()0,4(

x ירידה x עלייה x

x 1- x תחום עלייה וירידה )קדקוד(

max)18,1(

x (0 04-)

(18 01-)

(0 02)

y

(0016)



7

7

.6שאלה מספר

)(3)1(7נתונה הפונקציה הבאה: 2 xxf





פתרון:




תחומי עליה וירידהרשום . ()ד




)min)7,1( א)

.x -אין חיתוך עם ציר ה)10,0( )ב(

1 יורדת )ד( x עולה x1


1

660

0)('

66)('

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)7,1(

710)1(6)1(3)1(

1063)(

7363)(

71113)(

7)1(3)(

2

2

2

2

2

f

xxxf

xxxf

xxxxf

xxf


min6)('' xf


min)7,1(


y=0

3

846

)3(2

)10)(3(436)6(

10630

0

1063)(

2,1

2

2

x

xx

y

xxxf

xשורש במינוס אין חיתוך עם ציר


x=0

)10,0(

10)0(6)0(3)(

0

1063)(

2

2

xf

x

xxxf


)10,0(

x

(7 01)

y

(0010)


x 1 x

תחום עלייה וירידה )קדקוד( min)7,1(



8

8

פונקציה בשלישיתפולינום : חקירה ב'

.7שאלה מספר

הבאה : הפונקציה נתונה 23 62 xx)x(f :

ת.נקודות קיצון מקומיומצא את . (א)

נקודות חיתוך עם הציריםמצא את . (ב)

. שרטוט הגרף הפונקציה(ג)

התחומי עליה וירידרשום את . (ד)

פתרון:




20

1260

0)('

126)('

21

2

2

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)8,2(

8)2(6)2(2)2(

)0,0(

0)0(6)0(2)0(

62)(

23

23

23

f

f

xxxf


min1212)2(12)2(''

max1212)0(12)0(''

1212)(''

f

f

xxf


min)8,2(

max)0,0(


y=0

)0,3()0,0(

03

)3(0

620

0

62)(

21

2

23

23

xx

xx

xx

y

xxxf


x=0

)0,0(

0

)0(6)0(2

0

62)(

23

23

y

y

x

xxxf



9

9

שרטוט הגרף הפונקציה. (ג)

התחומי עליה וירידרשום את . (ד)0 עולה הפונקציה x וגם ב- x2

20 יורדת הפונקציה x

:תשובה סופית

)8,2(min)א( max)0,0( )ראה שרטוט )ג( )10,0()0,3()ב

0 עולה הפונקציה)ד( x וגם ב- x2 20 יורדת הפונקציה x

x עלייה x ירידה x לייהע x

x 2 x 0 x

תחום עלייה וירידה )קדקודים(

min)8,2( max)0,0(

x )0,0(

y

)8,2(

)0,3(



10

10

.8שאלה מספר

מועד ב' תש"ע 33803בחן בגרות מ

)(xxxx f 96נתונה הפונקציה 23

גרף הפונקציה עם הצירים. מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של .(א)

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה 0 וקבע את סוגן. .(ב)

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .(ג)

Bבנקודה y –שלה חותך את ציר ה קסימום המשיק לגרף הפונקציה בנקודת המ .(ד)

.Bמצא את השיעורים של הנקודה

פתרון:

השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.א(. מצא את )

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. .(ב)


31

6

612

)3(2

)9)(3(4144)12(

91230

0)('

9123)('

21

2,1

2,1

2

2

xx

x

x

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)0,3(

0)3(9)3(6)3()3(

)4,1(

4)1(9)1(6)1()1(

96)(

23

23

23

f

f

xxxxf


min612)3(6)3(''

max612)1(6)1(''

126)(''

f

f

xxf


min)0,3(

max)4,1(


)0,3()0,0(


y=0

)0,3()0,0(

2

06

)1(2

)9)(1(436)6(0

)96(0

960

0

96)(

3,21

2

23

23

xx

xxx

xxx

y

xxxxf


x=0

)0,0(

0)0(9)0(6)0(

0

96)(

23

23

y

x

xxxxf



11

11

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .(ג)

שלה מקסימוםהמשיק לגרף הפונקציה בנקודת ה .(ד)

Bבנקודה y –ותך את ציר ה ח

.Bמצא את השיעורים של הנקודה

4

)1(04

0)4,1(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

B( 004בנקודה ) yחותך את ציר ה( 0)השיפוע בנקודה= y= 4הוא מקסימום המשיק לנקודת ה


)0,3()0,0((א)

)min)0,3. (ב) max)4,1( (ג) 4,0( (ד). סרטוט(B

x (0 00)

(4 01)

(0 03)

y

x (0 00)

(4 01)

(0 03)

y

)4,0(B



12

12

.9שאלה מספר

xנתונה הפונקציה xx

y 223

23

.

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה 0 וקבע את סוגן. .(א)

ציה עולה0 ובאילו תחומים היא יורדת?באילו תחומים הפונק .(ב)

פתרון

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה 0 וקבע את סוגן. .)א(

באילו תחומים הפונקציה עולה, ובאילו תחומים היא יורדת? .(ב)

1 עולה הפונקציה x

-וגם ב x2



)3,2(min)א( 31 max)1,1(

61

1 עולה )ב( x וגם ב- x221 יורדת x


21

2

31

)1(2

)2)(1(41)1(

210

0)('

21)('

22

2

3

3)('

21

2,1

2,1

2

2

2

xx

x

x

xx

xf

xxxf

xxxf

פונקציה

y=?

)3

13,2(

3

13)2(2

2

)2(

3

)2()2(

)6

11,1(

6

11)1(2

2

)1(

3

)1()1(

223

)(

23

23

23

f

f

xxx

xf


min31)2(2)2(''

max31)1(2)1(''

12)(''

f

f

xxf


min)3,2(31

max)1,1(61

x

)6

11,1(

y

)3

13,2(

x עלייה x ירידה x עלייה x

x 2 x 1- x


min)3,2(3

1 max)1,1(6

1



13

13

.10אלה מספר ש

xxxyההפונקצינתונה . 523 .

מצא באילו נקודות מתאפסת הנגזרת של הפונקציה . .(א)

קבע את סוגן של הנקודות שמצאת בסעיף א ) מינימום0 מקסימום0 לא מינימום ולא מקסימום (. .(ב)

רשום שיעורי נקודה שבה הפונקציה יורדת. .(ג)

פתרון

מצא באילו נקודות מתאפסת הנגזרת של הפונקציה . .(א)

קבע את סוגן של הנקודות שמצאת בסעיף א ) מינימום0 מקסימום0 לא מינימום ולא מקסימום (. .(ב)

רשום שיעורי נקודה שבה הפונקציה יורדת. .(ג)

כל נקודה בתחום הירידה 3211 x ( 000לדוגמא)

:סופית תשובה

)3,1()6,1( )א(2713

32 )ב( min)6,1(max)3,1(

2713

32

כל נקודה בתחום הירידה )ג(3211 x ( 000לדוגמא)


3

221

2,1

2,1

2

2

11

6

82

)3(2

)5)(3(44)2(

5230

0)('

523)('

xx

x

x

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)6,1(

6)1(5)1()1()1(

)3,1(

3)1(5)1()1()1(

5)(

27

13

3

2

27

13

3

22

3

23

3

2

3

2

23

23

f

f

xxxxf


min82)1(6)1(''

max82)1(6)1(''

26)(''

3

2

3

2

f

f

xxf


min)6,1(2713

32 max)3,1(



14

14

.11שאלה מספר

)(333ההפונקצינתונה . 23 xxxxf.

מצא את הנקודה שעבורה .(א) 0 xf.

הראה שהנקודה שמצאת בסעיף א איננה נקודת קיצון. .(ב)

:פתרון

מצא את הנקודה שעבורה .(א) 0 xf.

הראה שהנקודה שמצאת בסעיף א איננה נקודת קיצון. .(ב)

הנגזרת השנייה אפס לכן נבדוק את השיפועים לפני ואחרי הנקודה )2,1(הנקודה החשודה היא

ניתן לראות שקיימת עליה לפני ואחרי הנקודה לכן הנקודה אינה נקודת קיצון


'')1(066 )ב( )2,1( )א( xxf


1

6

06

)3(2

)3)(3(436)6(

3630

0)('

363)('

1

2,1

2,1

2

2

x

x

x

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)2,1(

23)1(3)1(3)1()1(

333)(

23

23

f

xxxxf


06)1(6)1(''

66)(''

f

xxf

אחרי

נגזרת ראשונהx=0

3)0('

3)0(6)0(3)0('

0

363)('

2

2

xf

xf

x

xxxf

+ הפונקציה עולה3שיפוע

לפני

נגזרת ראשונהx= - 2

3)2('

3)2(6)2(3)2('

2

363)('

2

2

xf

xf

x

xxxf

+ הפונקציה עולה3שיפוע

נקודה חשודהx=0

)2,1(



15

15


ח"מועד חצב ברק תשס 33003מבחן בגרות

)()12)(4(נתונה הפונקציה . 2xxxf 0

נקציה עם הציריםמצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפו . (א) גן.מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה 0 וקבע את סו (.ב)

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.שרטט את הפונקציה במערכת צירים0 ו )ג(.

מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודת המינימום שלה. )ד(.

:פתרון

גרף הפונקציה עם הצירים. א(. מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של)

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. .ב()


3

121

2,1

2,1

2

2

11

12

142

)6(2

)8)(6(44)2(

8260

0)('

826)('

xx

x

x

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)3,1(

34)1(8)1()1(2)1(

)9,1(

94)1(8)1()1(2)1(

482)(

428)(

)4)((12()(

27

19

3

1

27

19

3

12

3

13

3

1

3

1

23

23

23

2

f

f

xxxxf

xxxxf

xxxf


max142)1(12)1(''

min142)1(12)1(''

212)(''

3

1

3

1

f

f

xxf


)4,0)(0,2)(0,2()0,(21


y=0

)0,2()0,2()0,(

22

0)4()12(0

)4)(12(0

0

)4)(12()(

2

1

322

11

2

2

2

xxx

xx

xx

y

xxxf


x=0

)4,0(

4))0(4)(1)0(2(

0

)4)(12()(

2

2

y

x

xxxf


max)3,1(2719

31

min)9,1(



16

16

שרטט את הפונקציה במערכת צירים, )ג(.

ומצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.


-וגם ב x311

עולה הפונקציה3111 x

)ד(. מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודת המינימום שלה.

( 0)השיפוע בנקודה= 9yהמשיק לנקודת המקסימום הוא

9

)1(09

0)9,1(

)( 11

y

xy

m

xxmyy


),0()0,2)(0,2)(4,0(( א) 21 (ב )max)3,1(

2719

31 min)9,1(

1 יורדת הפונקציה ( ג) x וגם ב- x3 עולה הפונקציה 11

3111 x

9y)ד(

x ירידה x עלייה x ירידה x

x 311 x 1- x


max)3,1(27

19

3

1 min)9,1(

x

)9,1(

y )

27

193,3

11(

)0,2(

)0,2(

)0,2

1(

)4,0(



17

17


ע"אתש 2010מיוחד לחיילים נובמבר מועד 33003ן בגרות מבח

)(4(נתונה הפונקציה 2

1()( 2 xxxf

y –עם ציר ה ו x –מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה )א(.

של נקודות הקיצון של הפונקציה 0 וקבע את סוגן. x –מצא את שיעורי ה )ב(.

ייה והירידה של הפונקציה.מצא את תחומי העל )ג(.

מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודת המינימום שלה. )ד(.

:פתרון

y –עם ציר ה ו x –מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה א(. )

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. .ב()


3

121

2,1

2,1

2

2

11

6

71

)3(2

)4)(3(41)1(

4130

0)('

413)('

xx

x

x

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)1,1(

1

2)1(4)1(5.0)1()1(

)5.4,1(

5.42)1(4)1(5.0)1()1(

245.0)(

24)(

)4)((()(

27

23

3

1

27

23

3

12

3

13

3

1

3

1

23

23

2

2

13

2

2

1

f

f

xxxxf

xxxxf

xxxf


max71)1(6)1(''

min71)1(6)1(''

16)(''

3

1

3

1

f

f

xxf

יםחיתוך עם הצירהנקודות

)2,0)(0,2)(0,2()0,(21


y=0

)0,2()0,2()0,(

22

0)4()(0

)4)((0

0

)4)(()(

2

1

322

11

2

2

1

2

2

1

2

2

1

xxx

xx

xx

y

xxxf


x=0

)2,0(

2)4)0)(()0((

0

)4)(()(

2

2

1

2

2

1

y

x

xxxf


max)1,1(2723

31

min)5.4,1(



18

18

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )ג(.

עולה הפונקציה311 x

-וגם ב x1

11יורדת הפונקציה31 x

)ד(. מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודת המינימום שלה.

( 0)השיפוע בנקודה= 5.4yהוא ינימוםדת המהמשיק לנקו

5.4

)1(05.4

0)5.4,1(

)( 11

y

xy

m

xxmyy


),0()0,2)(0,2)(2,0( )א( 21 )ב( max)1,1(min)5.4,1(

2723

31

עולה )ג( 311 x x1 11 ירידה

31 x (ד) 5.4y

x

)27

231,3

11(

y

)5.4,1(

)0,2(

)0,2( )0,2

1(

)2,0(


x 1 x 311 x


min)4,1(2

1 max)1,1(27

23

3

1



19

19


תש"ע 2010מיוחד פברואר מועד 33003 מבחן בגרות

xxxf . נתונה הפונקציה 12)( 3 .

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה 0 וקבע את סוגן. . )א(

עם הצירים.מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה .(ב)

.xf)(סרטט סקיצה של גרף הפונקציה .(ג)

ומי העלייה והירידה של הפונקציה.מצא את תח .)ד(

?xf)(עם גרף הפונקציה y= - 7כמה נקודות חיתוך יש לישר .)ה(

:פתרון

סוגן. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את .א()

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.(. ב)


22

44

1230

0)('

123)('

21

2,1

2

2

2

xx

xx

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)16,2(

16)2(12)2()2(

)16,2(

16)2(12)2()2(

12)(

3

3

3

f

f

xxxf


min12)2(6)1(''

max12)2(6)2(''

6)(''

f

f

xxf


min)16,2(

max)16,2(


)0,46.3)(0,46.3()0,0(


y=0

)0,46.3()0,46.3()0,0(

120

0)12()(0

)12(0

120

0

12)(

3,21

2

2

3

3

xx

xx

xx

xx

y

xxxf


x=0

)0,0(

0)0(12)0(

0

12)(

3

3

y

x

xxxf



20

20

.xf)((. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )ג

)ד(. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.


-וגם ב x2

22יורדת הפונקציה x

?xf)(עם גרף הפונקציה y= - 7כמה נקודות חיתוך יש לישר .)ה(

נקודותחותך את גרף הפונקציה בשלוש y= - 7הישר

ה סופית:תשוב

)16,2(max)16,2(min )א( )2 : ירידה )ב x, x2

22 : עליה x )0,46.3()0,46.3()0,0()ג( )נקודות. 3)ד( סרטוט )ה

x ירידה x עלייה x ירידה x

x 2 x 2 x


max)16,2( min)16,2(

x

)16,2( y

)16,2(

)0,46.3( )0,0( )0,46.3(

x

)16,2( y

)16,2(

7y

)0,46.3( )0,0( )0,46.3(



21

21

.13שאלה מספר תשס"ו מועד א' קיץ 33003ת מבחן בגרו

)(2)3(2נתונה הפונקציה xxxf .

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .(א)

מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .(ב)

המשיקים. מצא את משוואות .בכל אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה עובר ישר המשיק לפונקציה .(ג)

kyהישר kעבור אילו ערכי .(1ד) ?חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות

kyהישר kעבור אילו ערכי .(2)ד ?חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות

kyהישר kעבור אילו ערכי .(3ד) ?חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת

:פתרון

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. .(א)

מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .(ב)


13

12

1224

)6(2

)18)(6(4576)24(

182460

0)('

18246)('

21

2,1

2,1

2

2

xx

x

x

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)0,3(

0)3(18)3(12)3(2)3(

)8,1(

8)1(18)1(12)1(2)1(

18122)(

)933(2)(

)3(2)(

23

23

23

2

2

f

f

xxxxf

xxxxxf

xxxf


min1224)1(12)1(''

max1224)3(12)3(''

2412)(''

f

f

xxf


min)8,1(

max)0,3(


)0,3()0,0(


y=0

)0,3()0,0(

30

0)3(20

)3(20

0

)3(2)(

21

2

2

2

xx

xx

xx

y

xxxf


x=0

)0,0(

0)0()0(2

0

)3(2)(

2

2

xy

x

xxxf



22

22

המשיקים. מצא את משוואות בכל אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה עובר ישר המשיק לפונקציה. .(ג)

0y 0המשיק לנקודת המקסימום הוא 8y0המשיק לנקודת המינימום הוא

kyהישר kעבור אילו ערכי .(ד)

חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות?(.1)

חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות?.(2)

חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת? .(3)

תשובה סופית

)0,3(min)8,1(max)א( )0,0)(0,3()ב(

80)ג( yy

)08( .(1)ד yK 0( .(2)ד( yK 8(או( yK

)0( .(3)ד yK 8( או( yK

המשיק לנקודת המינימום

8

)1(08

0)8,1(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

המשיק לנקודת המקסימום

0

)3(00

0)0,3(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

x

)8,1(

y

)0,3(

)08( yK

)0( yK

)8( yK

)0( yK

)8( yK

נקודה אחת

נקודה אחת

שתי נקודות

שתי נקודות

שלוש נקודות



23

23


"עמועד חצב/ ברק תש 33803מבחן בגרות

)()2(2הציור שלפניך מתאר את גרף הפונקציה xxxf .

. Bומינימום בנקודה Aלפונקציה מקסימום בנקודה

. B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות .(א)

kyהישר kעבור אילו ערכי .(ב) נקודות?חותך את גרף הפונקציה בשלוש

kyהישר kעבור אילו ערכי .(ג) ?חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות

kyהישר kעבור אילו ערכי .(ד) ?חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת

:פתרון

. Bומינימום בנקודה Aבנקודה לפונקציה מקסימום

. B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות .(א)

kyהישר kעבור אילו ערכי .(ב) ?חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות

ky הישר kעבור אילו ערכי .(ג) ?חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות

kyהישר kעבור אילו ערכי .(ד) ?חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת

:סופית תשובות

(max( א)27

51,

3

2( A min)0,2( B

( .(ב)27

510( yK (ג). )0( yK או)

27

51( yK(ד). )

27

51( yK 0( או( yK


3

22

6

48

)3(2

)4)(3(464)8(

4830

0)('

483)('

21

2,1

2,1

2

2

xx

x

x

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)27

51,

3

2(

27

51)

3

2(4)

3

2(4)

3

2()(

)0,2(

0)2(4)2(4)2()1(

44)(

)224()(

)2()(

23

3

2

23

23

2

2

f

f

xxxxf

xxxxxf

xxxf


max48)(6)(''

min48)2(6)3(''

86)(''

3

2

3

2

f

f

xxf


min)0,2( B

max)27

51,

3

2( A

x

)0,2(

y )

27

51,

3

2(

)27

510( yK

)27

51( yK

)0( yK

)27

51( yK

)0( yK

נקודה אחת

נקודה אחת

שתי נקודות

שתי נקודות

שלוש נקודות



24

24

ה מסוג פולינום בקטע סגור.פונקציחקירת : ' גחקירה


)(39נתונה הפונקציה 23 xxxf בתחום הסגור 10:1 (101 x)

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה 0 וקבע את סוגן. .(א)

מצא את ערכי הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה. .(ב) 10:1

שרטט את הפונקציה בתחום הנתון. .(ג) 10:1

מינימום ומקסימום מוחלטים של פונקציה א מצ .(ד) 10:1

רשום את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה .(ה) 10:1

פתרון:

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. .א()

בקצות תחום ההגדרה שלה. מצא את ערכי הפונקציה .(ב)


60

)183(0

1830

0)('

183)('

21

2

2

xx

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)105,6(

1053)6(9)6()6(

)3,0(

33)0(9)0()0(

39)(

3

23

23

f

f

xxxf


min1818)6(6)6(''

max1818)0(6)0(''

186)(''

f

f

xxf


min)105,6(

max)3,0(

פונקציה

נקודות קצה התחום ההגדרה

)103,10(

1033)10(9)10()10(

)7,1(

73)1(9)1()1(

39)(

23

23

23

f

f

xxxf

קצה בתחוםת ונקוד

)7,1(

)103,10(



25

25

שרטט את הפונקציה בתחום הנתון. )ב(.

מינימום ומקסימום מוחלטים של פונקציה א מצ ג(.

) הנמוך ביותר( מינימום מוחלט( 06 - 105)

) הגבוה ביותר( ( מקסימום מוחלט010 103)

את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (.רשום)ד

106 עולה הפונקציה x 001 x



)105,6(min)א( max)3,0(

מקסימום מוחלט( 010 103) מינימום מוחלט( 06 - 105) רטוט )ג()ב( ש

106 עולה( ד) x 001 x 60 יורדת x


10 x 6 x 0 x

1


min)103,6( max)3,0(

)103,10(

maxמוחלט

x

)3,0(

maxמקומי

y

)7,1(

)105,6(

minמוחלט



26

26


3231הפונקציה xxy מוגדרת בתחום הסגור 5;0 .

מצא את שיעורי הנקודה שבה נגזרת הפונקציה מתאפסת וקבע את סוג הקיצון. .(א)

מצא את ערכי הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה. .(ב) 5;0

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הגדרתה. .(ג) 5;0

ם של פונקציהמינימום ומקסימום מוחלטי א מצ (.)ד

פתרון:

מצא את שיעורי הנקודה שבה נגזרת הפונקציה מתאפסת וקבע את סוג הקיצון. .א()

מצא את ערכי הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה. .(ב)

)49,5()1,0(

ם הגדרתה.סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחו .(ג)

מינימום ומקסימום מוחלטים של פונקציהאת נקודות ה א מצ)ד(.

)49,5( הנמוך ביותר( מינימום מוחלט (

) הגבוה ביותר( מקסימום מוחלט )5,2(


)1,0(min)א( max)5,2(

)1,0()49,5()ב(

)ג( שרטוט

)49,5(0 מינימום מוחלט: )5,2(מקסימום מוחלט: )ד(


20

)36(0

360

0)('

36)('

21

2

2

xx

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)5,2(

5)2()2(31)2(

)1,0(

1)0()0(31)0(

31)(

32

32

32

f

f

xxxf


max6)2(66)2(''

min6)0(66)0(''

66)(''

f

f

xxf


min)1,0(

max)5,2(

בתחום פונקציה 5;0


)49,5(

49)5()5(31)5(

)1,0(

1)0()0(31)0(

31)(

32

32

32

f

f

xxxf

x

max מוחלט )5,2(

y

)49,5(

min מוחלט

)1,0(

min מקומי



27

27


)(4נתונה הפונקציה 23 xxxf בקטע סגור 3;1.

סת וקבע את סוג הקיצון.מצא את שיעורי הנקודה שבה נגזרת הפונקציה מתאפ .(א)

מצא את ערכי הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה. .(ב) 3;1

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הגדרתה. .(ג) 3;1

מינימום ומקסימום מוחלטים של פונקציה א מצ (.)ד

הנתונה יש בקטע xf)(האם לפונקציה .(ה) 3;1 קודת מקסימום מקומי שאינה מקסימום נ

מוחלט? נמק.

פתרון:

מצא את שיעורי הנקודה שבה נגזרת הפונקציה מתאפסת וקבע את סוג הקיצון. .א()

מצא את ערכי הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה. .(ב)

)22,3()2,1(

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הגדרתה. .(ג)

מינימום ומקסימום מוחלטים של פונקציהאת נקודות ה א מצ)ד(.

)2,1(מינימום מוחלט )הנמוך ביותר (

וה ביותר() הגב מקסימום מוחלט )22,3(

הנתונה יש בקטע xf)(האם לפונקציה .(ה) 3;1

קודת מקסימום מקומי שאינה מקסימום מוחלט? נמק.נ

)max)4,0כן נקודה היא

תשובה סופית:

)4,0(max)א( min)27

233,

3

2(

)2,1()22,3()ב(

)ג( שרטוט

)2,1(0 מינימום מוחלט: )22,3(מקסימום מוחלט: )ד(

)4,0(maxנקודה היא הכן )ה(


3

20

)23(0

230

0)('

23)('

21

2

2

xx

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)27

233,

3

2(

04)3

2()

3

2()

3

2(

)4,0(

44)0()0()0(

4)(

23

23

23

f

f

xxxf


min22)3

2(6)

3

2(''

max22)0(6)0(''

26)(''

f

f

xxf


max)4,0(

min)27

233,

3

2(

בתחום פונקציה 3;1


)22,3(

44)3()3()3(

)2,1(

24)1()1()1(

4)(

23

23

23

f

f

xxxf



28

28

חקירת פונקציה ברביעית: ' דחקירה


הפונקציה נתונה. 24

24 xxy :הבאה בהתאם לסעיפים הבאים

נקודות הקיצון של הפונקציה0 וקבע את סוגן.מצא את .(א)

יה והירידה של הפונקציה.ימצא את תחומי העל .(ב)

?2yשלה הוא y -האם יש נקודה על גרף הפונקציה ששיעור ה .(ג)

נמק מדוע לא . –שלה. אם לא x –ת שיעור ה מצא א –אם כן

פתרון: .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. (א)

שרטוט ב.

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.. )ב(

1 בתחום יורדת הפונקציה x 0 10 x

01 בתחוםעולה הפונקציה x 0 x1

?2yשלה הוא y -האם יש נקודה על גרף הפונקציה ששיעור ה ( ג)

נמק מדוע לא . – שלה. אם לא x –מצא את שיעור ה –אם כן

נמצא מתחת לנקודת המינימום של גרף הפונקציה 2yלא .

: תשובה סופית

)1(min),1(max)0,0,(min)א( 41

41 ב( שרטוט(

1)ג( יורד x 0 10 x 01 עולה x 0 x1 ג( לא(


110

)1(0

0

0)('

)('

321

2

3

3

xxx

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

),1(

4

1

2

)1(

4

)1()1(

),1(

4

1

2

)1(

4

)1()1(

)0,0(

02

)0(

4

)0()0(

24)(

41

24

41

24

24

24

f

f

f

xxxf


min21)1(3)1(''

min21)1(3)1(''

max11)0(3)0(''

13)(''

2

2

2

2

xf

xf

xf

xxf


min),1(min),1(max)0,0(41

41

x עלייה x ירידה x עלייה x ירידה x

x 1 x 0 x

1

x


x

)4

1,1(

y

)

4

1,1(

)0,0(



29

29

"טתשסא' מועד 03033מבחן בגרות 21שאלה מספר

34הפונקציה . נתונה2

1)( 24 xxxf :הבאה בהתאם לסעיפים הבאים

של נקודות הקיצון של הפונקציה0 וקבע את סוגן. x –מצא את שיעורי ה .(א)

ה והירידה של הפונקציה.יימצא את תחומי העל .(ב)

בנקודת המינימום שלה. xf)(מצא ערך הפונקציה (1) .(ג)

?6yשלה הוא y -האם יש נקודה על גרף הפונקציה ששיעור ה ( 2)

. נמק מדוע לא –שלה. אם לא x –מצא את שיעור ה –אם כן

פתרון: של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. x –מצא את שיעורי ה . (א)

שרטוט .

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .)ב(



בנקודת המינימום שלה. xf)(מצא ערך הפונקציה (1) .(ג)

5y קודת המינימום שלהבנ xf)(ערך הפונקציה

? - 6שלה הוא y -האם יש נקודה על גרף הפונקציה ששיעור ה ( 2)

נמק מדוע לא . –שלה. אם לא x –מצא את שיעור ה –אם כן

נמצא מתחת לנקודת המינימום של גרף הפונקציה 6yלא .


)min)5,2(min)5,2(max)3,0 .(א)

2 ירידה .(ב) x: 20 x 02 עולה x : x2

לא .(2ג) min5y .(1ג)


220

)82(0

820

0)('

82)('

321

2

3

3

xxx

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)5,2(

53)2(4)2(2

1)2(

)5,2(

53)2(4)2(2

1)2(

)3,0(

3)0(4)0(2

1)0(

342

1)(

24

24

24

24

f

f

f

xxxf


min48)2(6)1(''

min48)2(6)1(''

max88)0(6)0(''

86)(''

2

2

2

2

xf

xf

xf

xxf


min)5,2(min)5,2(max)3,0(


x 2 x 0 x

2

x


x

)5,2(

y

)5,2(

)3,0(



30

30

ע"א.תש 2011ב קיץ מועד 03833מבחן בגרות 22שאלה מספר

24 נתונה הפונקציה . 2xxy )ראה ציור(

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. )א(.

ה תחומי עליה וירידמצא את )ב(.

דרך שתי נקודות המינימום של הפונקציה )ג(.

.x –מעבירים ישר . הישר מקביל לציר ה

מצא את משוואת הישר.

פתרון: של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. x –מצא את שיעורי ה . (א)

דה תחומי עליה וירימצא את ב(.



(. דרך שתי נקודות המינימום של הפונקציה )ג

.x –מעבירים ישר . הישר מקביל לציר ה

משוואת הישר. מצא את

1yהשיפוע בנקודות הללו הוא אפס לכן המשוואה בין הנקודות היא

1

)1(01

0)1,1(

)( 11

y

xy

m

xxmyy


)1,1(max)0,0(min)1,1(min .)א( .(א)

1 ירידה .)ב( x: 10 x 01 עולה x : x1 .)1 )גy


110

)44(0

440

0)('

44)('

321

2

3

3

xxx

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)1,1(

1)1(2)1()1(

)1,1(

1)1(2)1()1(

)0,0(

)0(2)0()0(

2)(

24

24

24

24

f

f

f

xxxf


min48)2(6)1(''

min48)2(6)1(''

max88)0(6)0(''

86)(''

2

2

2

2

xf

xf

xf

xxf


min)1,1(min)1,1(max)0,0(


x 1 x 0 x

1

x


x

)1,1(

y

)1,1(

)0,0(



31

31


הפונקציה נתונה24 162 xxy

ג. ב, בהתאם לסעיפים א, חקור את הפונקציה נקודות קיצון מקומיות.מצא את .(א)

שרטוט הגרף הפונקציה . (ב)

תחומי עליה וירידה מצא את . (ג)

פתרון:

.נקודות קיצון מקומיותמצא את .(א)

שרטוט הגרף הפונקציה . )ב(

וירידה תחומי עליהמצא את . )ג(

בתחום יורדת הפונקציה2 x 0 20 x

בתחוםעולה הפונקציה

02 x 0 x2

תשובה סופית :

)min)32,2(min)32,2(max)0,0 .(א) )שרטוט )ב

2 ירידה .)ג( x: 20 x 02 עולה x : x2


220

)328(0

3280

0)('

328)('

321

2

3

3

xxx

xx

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

)32,2(

32)2(16)2(2)2(

)32,2(

32)2(16)2(2)1(

)0,0(

)0(16)0(2)0(

162)(

24

24

24

24

f

f

f

xxxf


min1632)2(24)2(''

min1632)2(24)2(''

max3232)0(24)0(''

3224)(''

2

2

2

2

xf

xf

xf

xxf


min)32,2(min)32,2(max)0,0(


x 2 x 0 x

2

x


x

)32,2(

y

)32,2(

)0,0(

פרק 1א חקירת פונקציה פולינום

Education