1/x פרק 1א חקירת פונקציה רציונלית

לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג

כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק

0

אחד חלקי איקס חקירה א': 2 פרק

2332מועד א קיץ תשס"ז 30303מבחן בגרות .1שאלה מספר

נתונה הפונקציה x

xxf4

5)(

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ? )א(.

.x –רשום את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה )ב(.

.x –יתוך של הפונקציה עם ציר ה מצא את נקודת הח )ג(.

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. )ד(.

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )ה(

פתרון:

0xתחום ההגדרה הוא : ? . מהו תחום ההגדרה של הפונקציה(א)

0x האסימפטוטה : .x –רשום את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה .(ב)

.x –. מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה (ג)

.x –חיתוך עם ציר ה

y=0

)0,1()0,4(

2

35

)1(2

)4)(1(425)5(

450

450

/4

50

0

45)(

2,1

2,1

2

2

x

x

xx

xx

xx

x

y

xxxf



1

.. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן(ד)

:נקודות הקיצון

min)9,2(

max)1,2(


תחומי ירידה: x2 , 2 x

תחומי עליה:20 x 02 -ו x

: תשובה סופית

)9,2(min)ד( )0,4)(0,1( )ג( x= 0)ב( 0x)א( max)1,2(

ירידה תחום )ה( x2 ,2 x 20עלייה תחום x 02 -ו x

נגזרת ראשונהm=0

22

4

410

410

0)('

41)('

/4

1)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)9,2(

9)2(

4)2(5)2(

)1,2(

1)2(

4)2(5)2(

45)(

f

f

xxxf

נגזרת שנייהmax/min

(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)

max4)2(2)2(''

min4)2(2)2(''

2)(''

f

f

xxf

x ירידה x עלייה x עלייה x ירידה x x 2 x 0 x

2

x

)9,2(

)0,1(

)1,2(

)0,4(

0x

x

y



2

תשע"א 2313מועד נובמבר 03330מבחן בגרות : 2 שאלה מספר

5נתונה הפונקציה 4

xxy

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. )א(

.x –גרף הפונקציה עם ציר ה מצא את נקודות החיתוך של )ב(

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. )ג(

שרטט סקיצה של הפונקציה. )ד(


פתרון:

0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = .א( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה)

.x –מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה (ב)

. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.(ג)


max)9,2(

min)1,2(


22

4

410

40

0)('

41)('

/4

1)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)9,2(

95)2(

4)2()2(

)1,2(

15)2(

4)2()2(

54

)(

f

f

xxxf



min4)2(2)2(''

max4)2(2)2(''

2)(''

f

f

xxf


y=0

)0,1()0,4(

2

35

)1(2

)4)(1(425)5(

450

540

/54

0

0

54

)(

2,1

2,1

2

2

x

x

xx

xx

xx

x

y

xxxf



3

)ד( שרטט סקיצה של הפונקציה.


תחומי עלייה: x2 , 2 x

20 תחומי ירידה: x 02 -ו x

תשובה סופית:

x 0 )א( )ג( )0,4)(0,1( )ב( max)9,2(min)1,2( )שרטוט )ד

עליה )ה( x2 ,2 x 20ירידה x 02 -ו x

)9,2(

)0,1(

)1,2(

)0,4(

0x

x עלייה x ירידה x ירידה x עלייה x x 2 x 0 x

2

x

x

y



4

2312מועד חורף 03830מבחן בגרות : 0מספר שאלה


xx

y .

רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)

מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ) אם יש כאלה(. .(ב)

גן.מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סו .(ג)

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .(ד)

נמק ?איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה . Vלפניך ארבעה גרפים .(ה)

פתרון

0xמפטוטה =האסי 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)

x –מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה (ב)



max)10,4(

min)6,4(


44

1610

1160

0)('

116)('

/116

)('

21

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)10,4(

102)4()4(

16)4(

)6,4(

62)4()4(

16)4(

216

)(

f

f

xx

xf



min8)4(2)2(''

max8)4(2)2(''

2)(''

f

f

xxf


y=0

xx

xxx

y

xx

xf

2160

/216

0

0

216

)(

2

2

602

)1(2

)16)(1(44)2(

1620

2,1

2,1

2

x

x

xx

x -ם ציר השורש שלילי לכן אין חיתוך ע



5

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .(ד)

תחומי עלייה: x4 , 4 x

תחומי ירידה:40 x 04 -ו x

את הפונקציה הנתונה . נמק לפניך ארבעה גרפים איזה מבין הגרפים מתאר .(ה)

מתאים לפונקציה לפי נקודות הקיצון מספר גרף

: סופית תשובות

)10,4(min)6,4(max)ג( לא קיימים נקודות חיתוך עם הצירים )ב( 0x)א(

עליה תחום )ד( x44או ו x 40ירידה תחום x, 04או ו x

גרף מספר )ה(

)16,4(

)6,4( x

y

x עלייה x ירידה x ירידה x עלייה x

x 4 x 0 x

4

x

תחום עלייה וירידה )קדקודים(

0x



6

תשע"א. 2311 מועד ב קיץ 03330מבחן בגרות : 4שאלה מספר


Kxx

y (K הוא פר)מטר

.5הוא 3xשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה

.K)א( מצא את

ה. –בפונקציה וענה על הסעיפים ב 9Kהצב את הערך

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. (.ב)

סוגן.מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את (.ג)

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. (.ד)

לפניך ארבעה גרפים . איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק. (.ה(

פתרון

.K)א( מצא את

0x=האסימפטוטה 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(ב)



max)35,2(

min)37,2(


22

4

369

3690

9360

0)('

936)('

/936

)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)35,2(

351)2(9)2(

36)4(

)37,2(

371)2(9)2(

36)4(

1936

)(

f

f

xx

xf

ת שנייהנגזרmax/min


min36)2(18)2(''

max36)2(18)2(''

18)(''

f

f

xxf

פונקציה

136

)( kxx

xf

נגזרת ראשונה

5

45

)3(

365

53

36)('

2

2

k

k

k

mx

kx

xf

רמזים

5

3

m

x



7

. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.(ד)

תחומי העלייה והירידה:

עלייה: תחום x2 , 2 x

20 ירידה:תחום x 02 -ו x

לפניך ארבעה גרפים . איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק.)ה(

מתאים לפונקציה לפי נקודות הקיצון Vגרף מספר


)35,2(min)37,2(max)ג(. 0x )ב(. 9K )א(.

עלייה תחום ( ד) x2 2 אוו x 20ירידה תחום x 02 אוו x

Vגרף )ד(

)35,2(

)37,2( x

y


x 2 x 0 x

2

x


0x



8

2008 פברואר תשס"חמועד 03330 מבחן בגרות: 3שאלה מספר


4)(

x

xx f .

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. )א(.

.x –טה המאונכת לציר ה מצא את האסימפטו )ב(.

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. )ג(.

נמק. –מצא את נקודות החיתוך . אם לא –? אם כן x –האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה )ד(.

y -ה ואנך לציר x –מנקודת המקסימום של הפונקציה , העבירו אנך לציר ה )ה(

.y –וציר ה x –חשב את שטח המלבן שנוצר על ידי האנכים , ועל ידי ציר ה

האם לפונקציה (.ו)x

xx g x

4

4)()0( ? מצא את נקודות –אם כן יש נקודות קיצון

נמק. –הקיצון . אם לא

פתרון

0xתחום הגדרה = .רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה .(א)

0xהאסימפטוטה = .x –מצא את האסימפטוטה המאונכת לציר ה .(ב)



min)3,4(

max)1,4(


44

16

160

4

160

0)('

4

16)('

4/4

4

1)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)1,4(

11)4(

4

4

)4()4(

)3,4(

31)4(

4

4

)4()4(

14

4)(

f

f

x

xxf



max8)4(2)4(''

min8)4(2)4(''

2)(''

f

f

xxf



9

נמק. –מצא את נקודות החיתוך . אם לא –? אם כן x –האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה .(ד)

y -ואנך לציר ה x –מנקודת המקסימום של הפונקציה , העבירו אנך לציר ה )ה(

.y –וציר ה x –נכים , ועל ידי ציר החשב את שטח המלבן שנוצר על ידי הא

האם לפונקציה .(ה)x

xx g x

4

4)()0( ? יש נקודות קיצון

נמק. –מצא את נקודות החיתוך . אם לא –אם כן

שורש שלילי

לא קיימת נקודת קיצון בפונקציה

: סופית תשובה

x 0)א(. .)0)ב x .)ג(min)3,4(max)1,4(

אין קיצון.(. ו) Sמלבן4 (ה) (. אין נק' חיתוך)ד


2

2

2

2

4

16)('

4/4

4

1)('

x

xxg

xx

xg

יהפונקצ

y=?

x

xxg

4

4)(

16

160

160

0)('

2

2

2

x

x

x

x

xg

שורש שלילי


y=0

0

14

4)(

y

x

xxf

2

484

)1(2

)16)(1(4164

2,1

2,1

x

x

x -שורש שלילי לכן אין חיתוך עם ציר ה

1640

4160

4/14

40

2

2

xx

xx

xx

x

)1,4(

)3,4(

0x

4

8

שטח המלבן

3248

S

baS

x

y



10

תשס"ט 2332מועד אוקטובר 03330ת מבחן בגרו: 6שאלה מספר

נתונה הפונקציה )א(. x

xx f x

7

7)()0( מצא את שיעורי נקודות הקיצון וקבע את סוגן

הראה כי לפונקציה )ב(. 7

7)()0(

x

xx g x .אין נקודות קיצון נמק

:פתרון

נתונה הפונקציה.(א) x

xx f x

7

7)()0( דות הקיצון וקבע את סוגןמצא את שיעורי נקו


min)2,7(

max)2,7(

הראה כי לפונקציה .(ב)7

7)()0(

x

xx g x נקודות קיצון נמקאין.

שורש שלילי

לא קיימת נקודת קיצון בפונקציה


)2,7(max )א(. min)2,7( .)אין נקודות קיצון שורש שלילי )ב


77

49

490

490

0)('

7

491)('

7/7

7

1)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)2,7(

2)7(

7

7

)7()7(

)2,7(

2)7(

7

7

)7()7(

7

7)(

f

f

x

xxf



min14)7(2)7(''

max14)7(2)7(''

2)(''

f

f

xxf


2

2

2

2

7

49)('

7/7

7

1)('

x

xxg

xx

xg

פונקציה

y=?

x

xxg

7

7)(

49

490

7

490

0)('

2

2

2

x

x

x

x

xg

שורש שלילי



11

"טתשס חורףמועד 30303 מבחן בגרות: 2שאלה מספר


axy

4

2 a הוא פרמטר

מקביל לישר 2x ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה2

1

4

3 xy

.a)א( מצא את הערך של

ד : –, וענה על הסעיפים ב 4aהצב

רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. . (ב)

מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. . (ג)

ה נקודות חיתוך עם הצירים ? אם כן , מהן ? אם לא נמק מדוע אין ?האם יש לפונקצי . (ד)

מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה (.ה)

פתרון


0xמפטוטה =האסי 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(ב)

נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. . מצא את שיעורי (ג)


max)5.2,4(

min)5.1,4(


44

16

160

4

160

0)('

4

16)('

4/4

4

1)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)5.2,4(

5.2)4(

4

4

2

4

)4()4(

)5.1,4(

5.1)4(

4

4

2

4

)4()4(

4

4

2

4)(

4

4

2)(

f

f

x

xxf

x

xxf



min8)4(2)4(''

max8)4(2)4(''

2)('

f

f

xxf

פונקציה

x

a

x

xxf

x

axxf

2

4)(

4

2)(


4

41

)2(4

1

4

3

4

32

4

1)('

2

2

a

a

a

mx

x

axf

רמזים

4

3

2

m

x



12

נמק. – מצא את נקודות החיתוך . אם לא –? אם כן x –האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה .(ג)

מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה (. ה)

:תחום עלייה

x4 4או ו x

:תחום ירידה

40 x 04או ו x

: ה סופיתתשוב

)5.2,4(max( ג) 0x)ב( 4a)א( min)5.1,4( (ד) לא

:( תחום עלייהה) x4 , 4 אוו x40: תחום ירידה x 04או ו x


y=0

0

4

4

2)(

y

x

xxf

2

602

)1(2

)16)(1(44)2(

2,1

2,1

x

x


1620

4/4

4

20

2

xx

xx

x

)5.2,4(

)5.1,4(


x 4 x 0 x

4

x


0x

x

y



13

2311מועד נובמבר 03330מבחן בגרות : 8שאלה מספר


xy

8

8

4

רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה )א(.

מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. . )ב(

יהסרטט סקיצה של גרף הפונקצ )ג(.

ומי העלייה והירידה של הפונקציה מצא את תח )ד(.

וישרים המקבילים x –דרך נקודות הקיצון של הפונקציה העבירו ישרים המקבילים לציר ה . )ה(

. מצא את שטח המלבן המוגבל על ידי ארבעת הישרים.y –לציר ה

פתרון

ה.רשום את תחום ההגדרה של הפונקצי .(א)

0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה =

נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. . מצא את שיעורי (ב)


max)5.2,8(

min)5.1,8(


88

64

640

8

640

0)('

8

64)('

8/8

8

1)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)5.2,8(

5.2)8(

8

8

4

8

)8()8(

)5.1,8(

5.1)8(

8

8

4

8

)8()8(

8

8

4

8)(

8

8

4)(

f

f

x

xxf

x

xxf


(לגזור את המונה כדי לקבוע סימן מספיק)

min16)8(2)8(''

max16)8(2)8(''

2)(''

f

f

xxf



14

. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה)ג(

? מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה . )ד(

הפונקציה יורדת בתחומים :

08 x ,80 x

בתחומים :עולה הפונקציה

x8 ,8 x

x –ישרים המקבילים לציר ה דרך נקודות הקיצון של הפונקציה העבירו . )ה(

על ידי ארבעת הישרים. . מצא את שטח המלבן המוגבל y –וישרים המקבילים לציר ה


)5.1,8(max)5.2,8(min)ב( 0x)א( ג( שרטוט(

עלייה תחום )ד( xאווx 8008ירידהתחום 88 xואוx

64S )ה(

שטח המלבן

64416

S

baS

)5.2,8(

)5.1,8(


x 8 x 0 x

8

x


0x

16

4

y

x



15

.2שאלה מספר


xxy

3632

רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. )א(.

מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. )ב(.

באילו תחומים הפונקציה יורדת ? )ג(.

האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים ? אם כן , מהן ? אם לא נמק מדוע אין ? )ד(.

פתרון

0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)



max)15,6(

min)9,6(

באילו תחומים הפונקציה יורדת ? .(ג)

יורדת בתחום: הפונקציה

60 x06 ואו x


66

36

360

3610

0)('

361)('

/36

1)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

)15,6(

15)6(

363)6()6(

)9,6(

9)6(

363)6()6(

363)(

363)(

363)(

2

2

f

f

xxxf

xx

x

x

xxf

x

xxxf



min12)6(2)6(''

max12)6(2)6(''

2)(''

f

f

xxf

)15,6(

)9,6(

x עלייה x היריד x ירידה x עלייה x

x 6 x 0 x

6

x

דים(תחום עלייה וירידה )קדקו

0x

x

y



16

האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים ? אם כן , מהן ? אם לא נמק מדוע אין ? . (ד)


)ב( 0x)א( max)15,6(min)9,6(

60 תחום הירידה)ג( x 06 ואו x )לא)ד


y=0

0

363)(

2

y

x

xxxf

2

1403

)1(2

)36)(1(44)3(

2,1

2,1

x

x


3630

/363

0

2

2

xx

xx

xx



17

.0231 פברואר תשע"ג מועד 30803מבחן בגרות :13שאלה מספר

נתונה הפונקציה 2

1

8

1

2

1)(

x

xxf

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ון של הפונקציה , וקבע את סוגן.ב. מצא את נקודות הקיצ

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

. איזה מבין הגרפים יכול לתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק. ,, ,Vד. לפניך ארבעה גרפים

פתרון




max)1,2(

min)0,2(

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה


02 x ,20 x

בתחומים :עולה הפונקציה

x2 ,2 x

. איזה מבין הגרפים יכול לתאר את הפונקציה הנתונה ? ,, ,Vלפניך ארבעה גרפים ד.

נמק. 2הגרף המתאים בהתאם לנקודות הקיצון הוא גרף מספר


)0,2(min )ב( 0xתחום הגדרה = .(א) max)1,2(

עלייה: )ג( x2 2 ואו x :20ירידה x02 ואו x )גרף מספר )ד


22

4

82

280

28

280

0)('

28

28)('

28/8

1

2

1)('

8

1

4

2)('

8

1

)2(

21)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

xxf

xxf

פונקציה

y=?

)1,2(

12

1

8

)2(

)2(2

1)2(

)0,2(

02

1

8

)2(

)2(2

1)2(

2

1

82

1)(

2

1

8

1

2

1)(

f

f

x

xxf

x

xxf



min8)2(4)2(''

max8)2(4)2(''

4)(''

f

f

xxf

x עלייה

x ירידה x ירידה

x עלייה x

x 2 x 0 x

2

x



18

:11שאלה מספר


2

27

1

3

1)(

x

xxf

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

. איזה מבין הגרפים יכול לתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק. ,, ,Vד. לפניך ארבעה גרפים

פתרון


ת הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.נקודו . מצא את שיעורי (ב)


max)0,3(

min),3(94

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה


03 x ,30 x

חומים :בתעולה הפונקציה

x3 ,3 x

. איזה מבין הגרפים יכול לתאר את הפונקציה הנתונה ? ,, ,Vלפניך ארבעה גרפים ד.

נמק. 2המתאים בהתאם לנקודות הקיצון הוא גרף מספר הגרף


(min )ב( 0xתחום הגדרה = .(א)9

4,3( max)0,3(

עלייה: )ג( x3 3ואו x :30ירידה x 03ואו x )גרף מספר )ד


33

9

273

3270

327

3270

0)('

327

327)('

327/27

1

3

1)('

27

1

9

3)('

27

1

)3(

31)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

xxf

xxf

פונקציה

y=?

)0,3(

09

2

27

)3(

)3(3

1)3(

),3(

9

4

9

2

27

)3(

)3(3

1)3(

9

2

273

1)(

9

2

27

1

3

1)(

94

f

f

x

xxf

x

xxf



min18)3(6)3(''

max18)3(6)3(''

6)(''

f

f

xxf

x עלייה

x ירידה x ירידה

x עלייה x

x 3 x 0 x

3

x



19

.0231 גתשע" א קיץ מועד : 30803מבחן בגרות :12שאלה מספר


xxf1

2

12)(

)א(. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון

של הפונקציה , וקבע את סוגן על פי הציור.

משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבהישר ההעבירו )ב( 2

1x

1x משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבהישר ו העבירו

מצא את השיעורים של נקודת המפגש בין שני המשיקים

:פתרון

)א(. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן על פי הציור.


min)2,5.0(

max)2,5.0(

משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבהישר ההעבירו )ב( 2

1x משיק לגרף הפונקציה ישר העבירו ו

מצא את השיעורים של נקודת המפגש בין שני המשיקים 1x בנקודה שבה


,2(min)א( 2

1( max)2,

2

1( )2 )בy 1

2

11 xy )2,2(

ונהנגזרת ראשm=0

5.05.0

25.0

280

4

280

0)('

4

28)('

4/4

22)('

)2(

212)('

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xf

xxf

פונקציה

y=?

)2,5.0(

2)5.0(2

1)5.0(2)5.0(

)2,5.0(

2)5.0(2

1)5.0(2)5.0(

2

12)(

1

2

12)(

f

f

xxxf

xxxf



min8)5.0(16)5.0(''

max8)5.0(16)5.0(''

16)(''

f

f

xxf

פונקציה

y=?

)5.2,1(

2

12

)1(2

1)1(2)1(

1

2

12)(

f

x

xxxf


m=?

5.1

)12(

22)('

)2(

212)('

2

2

m

xf

xxf

המשיקמשוואת

1x -ב

15.1

5.25.15.1

)1(5.15.2

5.1)5.2,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

המשיק משוואת

5.0x -ב

2

)5.0(02

0)2,5.0(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

נקודת המפגש

ין המשיקיםב

)2,2(

2

5.13

15.12

x

x

x



20

אחד חלקי איקס : חקירה ב'

מועד חורף תשס"ז 03330מבחן בגרות : 10שאלה מספר


xxf16

1)( 2

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )א(.

מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. (.)ב

שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )ג(

באילו תחומים הפונקציה עולה ובאלו תחומים היא יורדת . . )ד(

:פתרון

0xימפטוטה =האס 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)

מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. )ב(.


min)11,2(


2

8

1620

1620

0)('

162)('

/16

2)('

3

3

2

3

2

3

2

2

x

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xxf

פונקציה

y=?

)11,2(

11)2(

161)2()2(

161)(

2

2

f

xxxf



min24)2(6)2(''

6)(''

2

2

f

xxf



21

)ג( שרטט סקיצה של גרף הפונקציה

נקציה עולה באילו תחומים הפו . )ד(

ובאלו תחומים היא יורדת .

:תחום עלייה x2

20 : תחום ירידה x 0 ואו x


)11,2(min)ב( 0x)א( ט)ג( שרטו

20 ירידהתחום )ב( x 0ואו x תחום עלייה x2

)11,2(

נגזרת ראשונהm=?

18

)1(

16)1(2)1('

1

162)('

2

2

m

f

x

xxxf

הפונקציה יורדת

x עלייה x ירידה x ירידה x

x 2 x 0 x


0x

x

y



22

.14שאלה מספר


xxf2

8

1)( 2


קציה, וקבע את סוגה.מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונ )ב(.



:פתרון



צא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה.מ )ב(.


min)5.1,2(


2

8

810

4

810

0)('

4

81)('

4/2

4

1)('

3

3

2

3

2

3

2

2

x

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xxf

פונקציה

y=?

)5.1,2(

5.1)2(

2)2(

8

1)2(

2

8

1)(

2

2

f

xxxf



min12)2(3)2(''

3)(''

2

2

f

xxf



23



:תחום עלייה x002 - אוו x

2 :תחום ירידה x


)5.1,2(min)ב( 0x)א( ג( שרטוט(

עליה: תחום )ד( x002 - אוו x 2ירידה תחום x

)5.1,2(


4

12

)1(

2

4

)1()1('

1

2

4

1)('

2

2

m

f

x

x

xxf

עולההפונקציה

x עלייה x עלייה x ירידה x

x 0 x

2

x


0x

x

y



24

.13שאלה מספר


xxf2

)( 2



רף הפונקציהשרטט סקיצה של ג )ג(


:פתרון



הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. מצא את השיעורים של נקודת )ב(.


min)3,1(


1

1

220

4

220

0)('

22)('

/2

2)('

3

3

2

3

2

3

2

2

x

x

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xxf

פונקציה

y=?

)3,1(

3)1(

2)1()2(

2)(

2

2

f

xxxf



min6)1(6)2(''

6)(''

2

2

f

xxf



25


באילו תחומים הפונקציה עולה . )ד(

ובאלו תחומים היא יורדת .

10 עולה: הפונקציה x

הפונקציה יורדת: x1 , 0 x


)3,1(min )ב( 0x)א( )שרטוט )ג

ירידה תחום )ד( x1 0 ואו x 10ה ייעלתחום x

)3,1(


4

)1(

2)1(2)1('

1

22)('

2

2

m

f

x

xxxf


x עלייה x ירידה x ירידה x

x 1 x 0 x


0x

x

y



26

מועד חורף תש"ע 03330מבחן בגרות : 16שאלה מספר

22נתונה הפונקציה x

xy

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. . )א(

מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגה. . )ב(

נמק. x0הפונקציה עולה או יורדת עבור קבע אם . )ג(

Vלפניך ארבעה גרפים )ד( ,, ,

Vאיזה מבין הגרפים הוא הגרף של הפונקציה הנתונה. נמק.,,

x <0 ורמצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה הנתונה עב . )ה(

:פתרון

את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא .(א)



:ודות הקיצוןנק

max)3,1(

נמק. x > 3)ג(. קבע אם הפונקציה עולה או יורדת עבור

גדול מאפס x=1נבחר

נציב בנגזרת הראשונה


1

1

220

220

0)('

22)('

/22

)('

3

3

2

3

2

3

2

2

x

x

x

x

x

xf

x

xxf

xxx

xf

פונקציה

y=?

)3,1(

3)1()1(

2)2(

2)(

2

2

f

xx

xf



max6)1(6)1(''

6)(''

2

2

f

xxf


6

6)1(2)1(

4)1('

22

)('

2

2

m

f

xx

xf

x > 3הפונקציה יורדת עבור



27

ד(. לפניך ארבעה גרפים , איזה מבין הגרפים הוא הגרף )

של הפונקציה הנתונה. נמק.

)max)3,1הגרף המתאים לנקודת קיצון

3הוא גרף מספר x > 0ולירידה עבור

x < 0 )ה(. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה הנתונה עבור

נבנה טבלה מתאימה :

01 הפונקציה יורדת: x

1הפונקציה עולה: x


)max)3,1 ב 0 xא. .גרף ד הפונקציה יורדתג .

1תחום עלייה ה. x 01תחום ירידה x ואו x0

x

y 1

x

y 2

x

y 0

x

y 4

)3,1(

x ירידה x ירידה x עלייה x

x 0 x

1

x


0x


6

6)1(2)1(

4)1('

22

)('

2

2

m

f

xx

xf

x > 3הפונקציה יורדת עבור

x

y



28

מועד חורף תשע"א 03330מבחן בגרות : 12שאלה מספר

הפונקציה נתונהx

xxf4

16)( 2 .


ם של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה.מצא את השיעורי )ב(.

1xמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה )ג(.

נמק. . 2x (2) 1x( 1) מצא אם הפונקציה עולה או יורדת בנקודות שבהם: )ד(.

:פתרון





min)12,5.0(

1x)ג(. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה


5.08

1

4320

4320

0)('

432)('

/4

32)('

3

3

2

3

2

3

2

2

xx

x

x

x

xf

x

xxf

xx

xxf

פונקציה

y=?

)12,5.0(

12)5.0(

4)5.0(16)5.0(

416)(

2

2

f

xxxf



min24)5.0(96)2(''

96)(''

2

2

f

xxf

פונקציה

y=?

)20,1(

20)1(

4)1(16)1(

416)(

2

2

f

xxxf


28

28)1(

4)1(32)1('

432)('

2

2

m

f

xxxf

משוואת משיק )ישר(

828

202828

)1(28)20(

28)20,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy



29

נמק. 2x (2 )1x( 1(. מצא אם הפונקציה עולה או יורדת בנקודות שבהם: ))ד


x 0)א(. .)ב( min)12,5.0( .)828 )ג xy

0')2(( 1)ד f 1(0( 2הפונקציה עולה )ד(' fהפונקציה יורדת

נגזרת ראשונה)ב( m=?

28

28)1(

4)1(32)1('

432)('

2

2

m

f

xxxf

1x הפונקציה יורדת ב

נגזרת ראשונה)א( m=?

63

63)2(

4)2(32)2('

432)('

2

2

m

f

xxxf

2x ב עולההפונקציה



30

אחד חלקי איקס : חקירה ג'

2332מועד חצב ברק תשס"ז 30303מבחן בגרות : 18שאלה מספר


232)(

xxxf בתחום 0xx.

, וקבע את סוגה.f( xמצא את נקודות הקיצון של ) א.

. x -עם ציר ה f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) ב.

.f( xשל הפונקציה) ציין את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה ג.

:פתרון

0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא .(א)



max)3,1(81

31

. x -עם ציר ה f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) .(ב)


3

3

32

42

222

43)('

/43

)('

43)('

)(

223)('

x

xxf

xxx

xf

x

x

xxf

x

x

xxf

פונקציה

y=?

)8

13,

3

11(

)1(

2

)1(

32)1(

232)(

2

3

1

3

13

1

2

f

xxxf



max3)(' xf

3

11

430

430

0)('

3

x

x

x

x

xf

xחיתוך עם ציר

y=0

2320

/23

20

232)(

2

2

2

2

xx

xxx

xxxf

)0,5.0()0,2(

5.024

53

)2(2

)2)(2(493

212,1

2,1

xxx

x



31

.f( xציין את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה) .(ג)

תחומי העלייה:

3110 x

: תחומי הירידה x30או 11 x

:סופית תשובה

)max)3,1( א)81

31 )ב(

)0,(

21 ,)0,2(

עלייה: תחום )ג( 3110 x , ירידה: תחום x

30או ו 11 x

)0,2(


7

)1(

4)1(3)1('

1

43)('

3

3

m

f

x

x

xxf


x ירידה x עלייה x ירידה x

x 311 x 0 x

0x

)3,1(81

31

)0,5.0(

x

y



32

2332 "טתשסא' מועד 30303מבחן בגרות :12שאלה מספר


143)(

xxxf .

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)

וקבע את סוגה. הפונקציהנקודת הקיצון של השיעורים של מצא את )ב(.

. x -יר העם צ f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) . )ג(

x0 עבור את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה מצא (1) .)ד(

x0 הראה כי הפונקציה עולה עבור ( 2)

:פתרון




min)1,5.0(

. x -עם ציר ה f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) .(ג)


3

3

32

42

222

24)('

/24

)('

24)('

)(

214)('

x

xxf

xxx

xf

x

x

xxf

x

x

xxf

פונקציה

y=?

)1,5.0(

)5.0(

1

)5.0(

43)5.0(

143)(

2

2

f

xxxf


(מונהכדי לקבוע סימן מספיק לגזור את ה)

min4)('' xf

5.0

240

240

0)('

3

x

x

x

x

xf


y=0

1430

/14

30

143)(

2

2

2

2

xx

xxx

xxxf

)0,1()0.3

1(

16

24

)3(2

)1)(3(416)4(

23

112,1

2,1

xxx

x



33

0xעבור של הפונקציה את תחומי העלייה והירידה ( מצא1) .)ד(

0x( הראה כי הפונקציה עולה עבור 2)

:סופית תשובה

)א(

0x .)ב(min)1,(21 .)0()ג,(

31 )0,1(

: תחום ירידה (1ד) 210 x תחום עליה : x

21

שיפוע חיובי בנגזרת הראשונה (2ד)

)0,1(


6

)1(

2)1(4)1('

1

24)('

3

3

m

f

x

x

xxf

הפונקציה עולה

x עלייה x ירידה x עלייה x

x 21 x 0 x


0x

)1,(21

)0,(31

x

y



34

:23שאלה מספר


321)(xx

xf

פונקציה.את תחום ההגדרה של ה מצא .(א)

, וקבע את סוגה.f( xמצא את נקודות הקיצון של ) .)ב(



:פתרון




max)1,3(31


ת ראשונהנגזרm=0

3

3

32

42

222

62)('

/62

)('

62)('

)(

232)('

x

xxf

xxx

xf

x

x

xxf

x

x

xxf

פונקציה

y=?

)3

11,3(

)3(

3

)3(

21)1(

321)(

23

1

2

f

xxxf



max2)('' xf

3

620

620

0)('

3

x

x

x

x

xf


y=0

3210

/32

10

321)(

2

2

2

2

xx

xxx

xxxf

)0,1()0,3(

132

42

)1(2

)3)(1(442

212,1

2,1

xxx

x



35



)ב( 0x )א(

max)1,3(31 (ג) )0,3( )0,1(

: ירידהחום ת (ד) x3 0 - אוו x 30 עליהתחום x

)0,3(


8

)1(

6)1(2)1('

1

62)('

3

3

m

f

x

x

xxf


x ירידה x עלייה x ירידה x

x 3 x 0 x


0x

)1,3(31

)0,1(

x

y



36

אחד חלקי איקס פונקציות ללא נקודות קיצון : חקירה ד'

תשע"א חורףמועד 30303מבחן בגרות : 12שאלה מספר

ונקציה היא הפ נתונהax

xf

3

1)( (a .)הוא פרמטר

בלבד 4xהפונקציה אינה מוגדרת עבור


ד : –, וענה על הסעיפים ב 12aהצב

. y –יר ההחיתוך של גרף הפונקציה עם צנקודת מצא את ( 1)(ב)

נמק. –אם כן מצא אותה, אם לא ? x –יש נקודת חיתוך עם ציר ה הפונקציה ( האם לגרף 2)

הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום שהיא מוגדרת בו. .(ג)

. לפניך שלושה גרפים (ד) ,,

איזה מבין הגרפים ? נמק xf)(הפונקציה הנתונה לגרף שהוא ה ,,

פתרון


נקודת החיתוך שלמצא את ( 1)ב.

. y –גרף הפונקציה עם ציר ה

yחיתוך עם ציר

x=0

123

1)(

xxf

)12

1,0(

12

1

12)0(3

1

y

y

פונקציה

12

012

0)4(3

4

03

3

1)(

a

a

a

x

ax

axxf

רמזים

4x



37

יש נקודת חיתוך עם הפונקציה האם לגרף ( 2ב)

נמק. –, אם לא ? אם כן מצא אותה x –ציר ה

10 לא קיים חיתוך עם ציר ה- y

הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום שהיא מוגדרת בו. .(ג)

(.0( , )2( , )1לפניך שלושה גרפים ). ד

? נמק xf)(שך הפונקציה הנתונה ( הוא גרף0( )2( )1איזה מבין הגרפים )

מספר גרף הגרף המתאים הוא

4xשל וקיימת ירידה משני צדדי האסימפטוטה y הגרף חותך את ציר ה

:תשובה סופית

( 1)ב( 12a)א( 12

1 מספר גרף )ד( הוכחה)ג( לא 2)ב( )0,

4xוקיימת ירידה משני צדדי האסימפטוטה של y הגרף חותך את ציר ה


2)123(

31)('

xxf

פונקציה

y=?

123

1)(

xxf


y=0

10

123

10

123

1)(

x

xxf

x ירידה x

4x

ירידה

x

x 4- x

רת ראשונהנגזm=?

3

1)('

12)5(3

3)5('

5

)123(

31)('

2

2

xf

xf

x

xxf


75

1)('

12)1(3

3)1('

1

)123(

31)('

2

2

xf

xf

x

xxf



38

.2312 קיץ תשע"ב א מועד 30803מבחן בגרות : 22שאלה מספר


xxf1

)(

הפונקציה.)א(. מצא את תחום הגדרה של

. x -)ב(. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה

( הראה שלפונקציה אין נקודת קיצון.1)ג(. )

.0xוגם בתחום x0( הסבר מדוע הפונקציה עולה בתחום 2)

V)ד(. לפניך ארבעה גרפים

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק

:פתרון

את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא .(א)


. x -)ב(. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה

( הראה שלפונקציה אין נקודת קיצון.1)ג(. )

השורש במינוס לא קיימת נקודת קיצון


1

1

10

1)('

/1

1)('

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

xxxf

1)(


y=0

10

/1

0

1)(

2

x

xx

x

xxxf

)0,1()0,1(

11

1

1

21

2,1

2

xx

x

x



39

. x< 0וגם בתחום x >0( הסבר מדוע הפונקציה עולה בתחום 2)

. x< 0וגם בתחום x >0 השיפוע חיובי משני צדדי האסימפטוטה לכן הפונקציה עולה בתחום

V)ד(. לפניך ארבעה גרפים

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק

Vמספר גרף הגרף המתאים הוא

0xשל צדדי האסימפטוטהמשני עלייה וקיימת בשני מקומות xהגרף חותך את ציר ה


)שורש במינוס(( הוכחה1)ג )0,1()0,1()ב(. 0x)א(.

Vמספר גרף )ד( בתחום ההגדרה x( הנגזרת חיובית עבור כל 2)ג

0xמות וקיימת עלייה משני צדדי האסימפטוטה של בשני מקו xהגרף חותך את ציר ה

x עלייה x

0x

עלייה

x

x 0 x


2

)1(

11)1('

1

11)('

2

2

m

xf

x

xxf

פונקציה

y=?

xxxf

1)(


2

11)('

xxf


2

)1(

11)1('

1

11)('

2

2

m

xf

x

xxf



40

מועד חצב/ ברק תשע"א. 03830מבחן בגרות : 20שאלה מספר

נתונה פונקציהx

xxf

8

2)( .

.של הפונקציה . רשום את תחום ההגדרה )א(

.x –מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה )ב(.

הראה כי לפונקציה אין נקודת קיצון. )ג(.

נמק מדוע הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה. )ד(

. 2הוא Aשל הנקודה x –גרף הפונקציה . נתון כי שיעור ה נמצאת על Aהנקודה )ה(.

.Aמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה

לפניך ארבעה גרפים )ו(. ,,,V .איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק

:פתרון

את תחום ההגדרה של הפונקציה. רשום .(א)


.x –ב(. מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה )

)ג(. הראה כי לפונקציה אין נקודת קיצון.

השורש במינוס לא קיימת נקודת קיצון


61

16

160

2

16)('

2/8

2

1)('

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

xxf

xx

xf

פונקציה

y=?

x

xxf

8

2)(


y=0

160

2/8

20

8

2)(

2

x

xx

x

x

xxf

)0,4()0,4(

44

16

16

21

2,1

2

xx

x

x



41

)ד( נמק מדוע הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

השיפוע חיובי משני צדדי האסימפטוטה לכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

. 2הוא Aשל הנקודה x –נמצאת על גרף הפונקציה . נתון כי שיעור ה Aהנקודה )ה(.

.Aמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה

לפניך ארבעה גרפים )ו(. ,,,V .איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק

2מספר מתאים הוא גרף הגרף ה

0xשל משני צדדי האסימפטוטהעלייה וקיימת בשני מקומות xהגרף חותך את ציר ה


)0,4()0,4( )ב( 0x)א( 16x)ג(

85.2 )ה(כל מס' שנציב ב נגזרת הראשונה נקבל תוצאה חיובית. )ד( xy

בשני מקומות וקיימת עלייה xהגרף חותך את ציר ה גרף מספר הגרף המתאים הוא )ו(

0xמשני צדדי האסימפטוטה של

x עלייה x

0x

עלייה

x

x 0 x


2

18

)1(

8

2

1)1('

1

8

2

1)('

2

2

m

xf

x

xxf

פונקציה

y=?

x

xxf

8

2)(


2

8

2

1)('

xxf


2

18

)1(

8

2

1)1('

1

8

2

1)('

2

2

m

xf

x

xxf

פונקציה

y=?

)3,2(

3)2(

8

2

)2()2(

8

2)(

f

x

xxf


5.2

)2(

8

2

1)1('

8

2

1)('

2

2

m

f

xxf

משוואת משיק )ישר(

85.2

355.2

)2(5.2)3(

5.2)3,2(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

1/x פרק 1א חקירת פונקציה רציונלית

Education