第一章 §1 数域

按照我们的教学计划，我们先介绍数域的基本概念

Go

§1 数 域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它不

但与高等方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会用到。本章介绍多项式的基本知识。

数：自然数→整数→有理数→实数→复数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算性质

称为代数性质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也具有这样的性质，引入：

定义一 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。

有理数、实数、复数为数域，记为Q(rational number) 、 R （ real number) 、 C(complex number) 。

例 1 所有具有形式 的数（ a,b 是任意有理数），构成一个数域。 通常用 来表示这个数域。

2ba

)2(Q

证明 显然 包含 0 和 1 并且对于加减法是封闭的。现在证明它对乘除法也是封闭的。

设 于是 也不为零，而

)2(Q

)2(2)()2(

)2)(2(

Qbcadbdac

dcba

02 ba 2ba

)2(222

2

)2)(2(

)2)(2(

2

2

2222Q

ba

bcad

ba

bdac

baba

badc

ba

dc

由上两式可以得出 乘、除法也是封闭的。 例 2 所有可以表成形式

的数组成一数域，其中 n,m 为任意非负整数， 是整数。

)2(Q

mm

nn

bbb

aaa

10

10

),,1,0;,,1,0(, mjniba ji

例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减不是封闭的。

的整倍数的全体构成一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于除法不封闭。

2

重要性质：所有的数域都包含有理数作为他的一部分。

事实上，设 P 是一个数域，由定义，1+1=2 ， 2+1=3 ，…， n+1=n+1,… 全属于 P ，再由 P 对减法的封闭性， o-n=-n ，也属于 P ，因而 P 包含全体整数。任何一个有理数可以表成两个整数的商，由 P 对除法的封闭性即得上述结论。

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第二章 行列式 §1 引言 §2 排列 §3 n阶行列式 §4 n阶行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按一行（列）展开 §7 Cramer法则 §8 Laplace定理．行列式的乘法规则

§1 引言 一元一次方程： ax=b ，只要 a≠0 ，就可以解出 x=b/a 。 二元线性方程组：当二阶行列式

时，该方程组有唯一解，

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

02221

1211 aa

aa

2221

1211

221

111

2

2221

1211

222

121

1 ,

aa

aa

ba

ba

x

aa

aa

ab

ab

x

本章我们讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。在这一章中，我们将利用 n 行列式的概念，将上述结论推广到 n 元线性方程组

的情形。

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

§2 排列定义 1 由 1 ， 2 ，…， n 组成的一个有

序数组称为一个 n 级排列。 如， 2341 是一个 4 级排列， 54321 是

一个 5 级排列。 n 级排列的总数是 : n(n-1)(n-2)…21=n!12…n 称为自然排列。定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后

位置与大小顺序相反，即前面的数大于后

面的数，那么它就称为一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列 的逆序数记为

例如， 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；

逆序数为奇数的排列为奇排列。 例如 2431 是偶排列； 45321 是奇排列；

123…n 是偶排列。 我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然

数所组成的排列，一般也称为 n 级排列。

njjj 21

)( 21 njjj )53412( 8

把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换称为对换。

例如 3421 经 3 ， 1 对换就变成了 1423 。显然，如果连续施行两次相同的对换就还原了。

定理 1 对换改变排列的奇偶性。 证明 先看一个特殊情况，即对换的两个数在排列中

是相邻情形。排列 …j k… （ 1 ） 经过 j, k 对换变成 …j k… （ 2 ）

这里“…”表示那些不动的数。显然（ 1 ）与 (2) 中，不同的只是 j,k 的次序；如果（ 1 ）中 j,k 组成逆序，那么（ 2 ）的逆序数减少一个；如果（ 1 ）中 j,k 不组成逆序，那么（ 2 ）的逆序数增加一个。无论增加 1 ，还是减少 1 ，排列的逆序数的奇偶性总是变了。

在看一般情形。设排列 (3)

经 j,k 对换，（ 3 ）变成 （ 4 ）

kiiji s11

jiiki s11

不难看出，这样一个对换可以看为， k 经 s+1 个相邻对换将（ 3 ）变为

再将 j 一位一位地向右移动，经过 s 个相邻对换变成排列（ 4 ）。因此， j,k 对换，可以通过 2s+1 个相邻对换实现。而 2s+1 是奇数，所以，改变排列的奇偶性。

推论 在所有的 n 元排列中奇偶排列各为 n!/2 。 定理 2 任意一个 n 级排列与自然排列 12…n 都可以

经过一系列对换互换，并且，所做的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。

siikji 11

证明 我们对排列级数作数学归纳法。

1 级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对 n-1 级排列已经成立，现在来证 n 级排列的情形也成立。

设 是一个 n 级排列，如果 那么根据归纳法假设， n-1 级排列 可以经过一系列对换变成 12…n-1 ，于是这一系 列对换也就把 变成 12…n 。

njn 121 njjj

njjj 21

njjj 21

这就归结成上面的情形。

相仿地， 12…n 也可用一系列对换变成 。因为 12…n 是偶排列，根据定理 1 ，

所做对换的个数与排列 有相同的奇偶性。

njjj 21

njjj 21

如果 那么，对 做 对换，它就变成

njn njjj 21

njn , njjj n

121

§3 n 阶行列式 从这一节开始，我们总是取一固定的数

域 P 作为基础，所谈到的数都是指 p 上的数。所考虑的行列式都是数域 p 上的行列式

二阶行列式与三阶行列式定义：

211222112221

1211 aaaaaa

aa （ 1 ）

322311332112312213

322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

（ 2 ）

它们都是一些乘积的代数和，每一项是位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成。在（ 2 ）中每一项的一般形式可以写成

其中 是 1 ， 2 ， 3 的一个排列。可以看出 是偶排列，带 +号；奇排列带 -号。

（ 1 ）式也符合这个原则。

321 321 jjj aaa321 jjj

321 jjj

定义 4 n 阶行列式

等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 （ 5 ）的代数和，这里 是 12…n 的一个排列每

一项（ 5 ）都按下列规则带有符号：当

是偶排列时，（ 5 ）带正号，当 是奇排列时，带负号。

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nnjjj aaa 21 21

njjj 21

njjj 21

njjj 21

定义可写成

（ 6 ）

这里 表示对所有 n 级排列求和。

由定义立即看出， n 级行列式是由 n! 项组成的。

n

n

n

jjjnjjj

jjj

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

2121

)(

21

22221

11211

)1(

njjj 21

例 1 计算 0 0 0 1

0 0 2 024

0 3 0 0

4 0 0 0

例 2 计算上三角形行列式

为主对角线 ( 从左上角到右下角的对角线 ) 元素的乘积

nn

n

n

a

aa

aaa

0

0 222

11211

nnaaa 2211

对角形行列式

n

n

ddd

d

d

d

212

1

0

00

00

1

10

010

001

由于乘法满足交换率，所以行列式中的项可以写成

（ 11 ） 其中 是两个 n 级排列。利用排列

的性质可以证明（ 11 ）的符号等于 （ 12 ） 事实上 为了根据定义来决定（ 11 ）的符号，把

这 n 个元素从新排一下，使得它们的行指标成自然排列，即排成：

nn jijiji aaa 2211

nn jjjiii 2121 ,

)()( 2121)1( nn jjjiii

njnjj aaa 21 21 （ 13 ）

于是它的符号是 （ 14 ） 下面证明（ 12 ）与（ 14 ）是一致的。 由（ 11 ）变到（ 13 ，经一系列元素对换，每作一次对换行指标与列指标的排列 与 都同时作一次对换，所以和的奇偶性不变，即

)( 21)1( njjj

niii 21

njjj 21

)()()12(

)()(

2121

2121

)1()1(

)1(nn

nn

jjjjjjn

jjjiii

n

n

n

iiiniii

iii

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

2121

)(

21

22221

11211

)1(

行列式又可定义为

(15)

(15)

性质 1 行列互换，行列式不变，即

（ 16 ）

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

21

22221

11211

证明 左边按行展开 = 右边按列展开。都为

在行列式中行与列的地位是对称的，行成立的性质列也成立。下面讨论的性质都是对行来说的。

n

n

n

jjjnjjj

jjj aaa

21

21

2121

)()1(

nnnn aaa

aa

a

21

2221

11

0

00

nnaaa 2211

下三角形行列式

§4 n 阶行列式的性质

按行列式的定义计算行列式，要算 n! 项，计算需 n!(n-1) 个乘法，所以按定义计算几乎是不可能的。

事实：在行列式定义中，每一个是 n 个元素的乘积。对于第 i 行的元素

来说，每一项都含有其中一个，且只含有一个元素。因此， n! 项可分为 n 组，第一组都含有 ，第二组都含有 ，等等

inii aaa ,,, 21

1ia 2ia

即有

（ 1 ）

其中 代表含 的项在提出公因子 之后的代数和。 中不含有 i 行的元素，也就是 全与第 i 行的元素无关 性质 2 行列式某一行有公因子，可以提出去，即

ininiiii

nnnn

n

n

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

2211

21

22221

11211

ijA ija ija

ijA

inii AAA ,,, 21

证明 左边 =

= 右边 推论 行列式中一行为零，值为零。

nnnn

inii

n

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

k

aaa

kakaka

aaa

21

21

11211

21

21

11211

)( 2211

2211

ininiiii

ininiiii

AaAaAak

AkaAkaAka

性质 3

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

nn

n

aaa

ccc

aaa

aaa

bbb

aaa

aaa

cbcbcb

aaa

21

21

11211

21

21

11211

21

2211

11211

证明 左边 =

= 右边。 性质 4 如果行列式中两行相同，行列式值为

零。 证明 设

)()(

)()()(

22112211

222111

inniiinnii

innnii

AcAcAcAbAbAb

AcbAcbAcb

nnnn

knkk

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

21

11211

1

1

1 2

( )1( 1) i k n

i k n

n

j j j jj ij kj nj

j j j

a a a a

因为 ，可以证明右边出现的项全能两两相消。

同时出现的有

),,2,1( njaa kjij

nki

nkinjkjijj

jjjj aaaa 1

11

)()1(

nik

niknjkjijj

jjjj aaaa 1

11

)()1(

两项值相同，因排列

相差一个对换，所以两项符号相反。全部 n级排列可以按上述形式两两配对。所以值为零。 性质 5 如果行列式中两行成比例，值为零。 证明 由性质 4

niknki jjjjjjjj 11 ,

0

21

21

21

11211

21

21

21

11211

nnnn

inii

inii

n

nnnn

inii

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

k

aaa

kakaka

aaa

aaa

性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 证明

nnnn

knkk

inii

n

nnnn

knkk

knkk

n

nnnn

knkk

inii

n

nnnn

knkk

kninkiki

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

cacaca

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

caacaacaa

aaa

21

21

21

11211

21

21

21

11211

21

21

21

11211

21

21

2211

11211

性质 7 对换行列式两行位置，行列式反号。 证明

11 12 1 11 12 1

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

n n

i i in i k i k in kn

k k kn k k kn

n n nn n n nn

a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

11 12 1 11 12 1

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

n n

i k i k in kn k k kn

i i in i i in

n n nn n n nn

a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

例 1 计算 n 级行列式

解 abbb

babb

bbab

bbba

d

1)]()1([

1

1

1

1

])1([ nbabna

abb

bab

bba

bbb

bnad

例 2 一个 n 阶行列式，假设它的元素满足 （ 4 ） 我们来证明，当 n 为奇数时，此行列式为零。 证明 由（ 4 ）式得 即

因此，行列式为：

所以，当 n 为奇数时， d=-d ，即 d=0 。

njiaa jiij ,,2,1,,

niaii ,,2,1,0 iiii aa

0

0

0

0

)1(

0

0

0

0

0

0

0

0

321

32313

22312

11312

321

32313

22312

11312

321

32313

22312

11312

nnn

n

n

n

n

nnn

n

n

n

nnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

§5 行列式的计算 上三角形行列式等于它们对角线元素的乘积。

我们可以用行列式的性质，把一般的行列式变为上三角形行列式。为叙述方便，并考虑到以后的应用，我们引进矩阵的概念。

定义 5 由 s×n 个数排成的 s 行（横的）和 n 列（纵的）的表

（ 1 ）

称为一个 s×n矩阵。 例如

数 ，称为矩阵（ 1 ）的元素， i 称为元素 的行指标， j 称为列指标。一般指某个数域 P 上的矩阵。 n× n矩阵也称为 n 级方阵，一个 n 级方阵

snss

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

njsiaij ,,2,1,,,2,1,

ija

977.2

015.0

i

i

35

2

定义一个 n 级行列式

称为矩阵 A 的行列式。记作 |A| 。 定义 6 数域 p 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：

（ 1 ）以 p 中一个非零的数乘矩阵的一行；

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

（ 2 ）把矩阵的某一行的 c 倍加到另一行，这里 c 是 P 中任意一个数；

（ 3 ）互换矩阵中两行位置。 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后就变成

了另一个矩阵。 A 经过初等行变换变成 B 时，记为 A→B 。 称形如

的矩阵为阶梯形矩阵

200

540

961

,

7000

5900

3421

,

0000

5000

3420

任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵。

事实上 设

第一列元素只要有一个元素不为零，用（ 3 ），总能使第一列的第一个元素不为零，从第二行开始，每行加上第一行的适当倍数，变为

snss

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

依次类推，可以变成阶梯形矩阵。 例 计算

2 5 1 3

1 9 13 7

3 1 5 5

2 8 7 10

10782

5513

3152

71391

sns

n

n

aa

aa

aaa

JA

2

222

11211

1

0

0

2

3000

81600

1725130

71391

312

2

316)13(

2433260

2634260

1725130

71391

101700

81600

1725130

71391

不难看出，用此方法计算一个 n 阶数字行列式，需计算

3

321

3

)1()1(

)1(12)2)(1()1(3

nnn

nnn

nnnnn

次乘法。此方法可在计算机上实现。

同样可以定义初等列变换， （ 1 ）以数域 P 中一非零数乘矩阵的一列； （ 2）把矩阵的某一列的 c 倍加到另一列，这里 c

是 P 中任一数； （ 3）互换矩阵中两列的位置。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 计算行列式可同时用初等行、列变换。

§6 行列式按一行（列）展开 在 §4 我们看到， n 阶行列式有

（ 1 ）

现在我们来研究这些 是什么？三阶行列式可用二阶行列式表示为：

ininiiii

nnnn

n

n

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

2211

21

22221

11211

njiAij ,,2,1,,,

与此相仿， 也是一些带有 + 、 -号的 n-1 阶行列式。

ijA

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

nnnjn

iniji

nj

aaa

aaa

aaa

1

1

1111定义 7 在行列式

中，划去元素 所在的 i 第行与第 j 列，剩下的 元素按原来的排法构成的一个 n-1 阶行列式

ija2)1( n

(3)

称为元素 的余子式，记为 。ija ijM

nnjnjnn

nijijii

nijijii

njj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

1,1,1

11,11,11,1

11,11,11,1

11,11,111

下面证明 （ 4 ） 先证明（ 5 ）式

事实上，（ 5 ）式左端展开式中，第 n 行只有含 的项不为零，所以左端展开为：

ijji

ij MA )1(

111211

122221

111211

,11,12,11,1

21,22221

11,11211

1000

nnnn

n

n

nnnnnn

nn

nn

aaa

aaa

aaa

aaaa

aaaa

aaaa

1nna

显然 是 1,2,…,n-1 的排列，且

所以左端 = 右端，这就证明了（ 5 ）。 为了证明（ 4 ），在（ 1 ）中令

即得

121 njjj

)()( 121121 nn jjjnjjj

njjj

jnjjnjjj

n

n

n aaa121

121

121 1)1( ,121)(

1,01,1,1 ijinjijii aaaaa

nnjnjnjnn

nijijijii

nijijijii

njjj

ij

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

A

1,,1,1

,11,1,11,11,1

,11,1,11,11,1

11,1,11,111

00100

00100

)1(

1,,1,1

,11,1,11,11,1

,11,1,11,11,1

11,1,11,111

nnjnjnjnn

nijijijii

nijijijii

njjj

in

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

10000

0

0

0

0

)1(

1,1,1

,11,11,11,1

,11,11,11,1

11,11,111

)()(

nnjnjnn

nijijii

nijijii

njj

jnin

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

定义 8 称 为元素 的代数余子式。 定理 3 设

表示元素 的代数余子式，则下列公式成立：

ijji

ijjin MM )1()1( )(2

ijA

ijaijA

ija

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

d

21

22221

11211

（ 6 ）

（ 7 ） 证明 只证明公式（ 6 ），公式（ 7 ），由行

列式行成立的性质列也成立即得。 当 k=i 时，公式（ 6 ）由公式（ 1 ）式可

得。当 k≠i 时，由于

ik

ikdAaAaAa inknikik ,0

,2211

jl

jldAaAaAa njnljljl ,0

,2211

右端行列式两行相等，值为零。所以左端为零。即行列式中一行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和为零

行i

aa

aa

aa

aa

AaAaAa

nnn

knk

knki

n

inknikik

1

1

111

2211

公式（ 6 ）的几何意义。设

那么

于是

),,(),,,(),,,( 333231323222121312111 aaaaaaaaa

),,( 13121132 AAA

0)(

0)(

)(

323133312321131

322132312221121

321131312121111

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

在计算行列式时，若某一行（列）有许多 0 元素，则可用定理 3 ，按此行（列）展开来计算行列式。 例 1 行列式

05320

04140

01320

25271

02135

5320

4140

1320

2135

2)1( 52

例 2 Vandermonde 行列式

1080

432

414

132

52

nij

ji

nn

nnn

n

n

aa

aaaa

aaaa

aaaa

d1

113

12

11

223

22

21

321

)(

1111

证明 用数学归纳法。 n=2 时， 成立。假设 n-1 阶成立， 现证明 n 阶也成立。 在 d 中，第 n 行减去 n-1 行的 倍 ， n-1 行

减去 n-2 行的 倍，依次类推，得

1221

11aa

aa

1a

1a

21

1231

13

221

12

12

312321

22

11312

0

0

0

1111

nn

nn

nnnn

nn

n

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaaaaa

d

nijji

nijjin

nn

nn

n

n

n

aa

aaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

aaaaaa

1

211312

223

22

223

22

32

11312

)(

)()())((

111

)())((

Vandermonde 行列式值为零的充分必要条件是 中，至少有两个相等。 例 3 证明

naaa ,,, 21

rrr

r

kkk

k

rrrrkr

rk

kkk

k

bb

bb

aa

aa

bbcc

bbcc

aa

aa

1

111

1

111

11

111111

1

111

00

00

证明 用数学归纳法。当 k=1 时，左端为

成立。假设 k=m-1 时成立，现在来看 k=m的情形。按行列式第一行展开，

rrr

r

rrrr

r

bb

bb

a

bbc

bbc

a

1

111

11

11

11111

11 000

||||

||])1()1([

||)1(||)1(||

)1(

)1(

111

111

1111

111

111

1111

11

1

11

1

1

1111

BA

BMaMaMa

BMaBMaBMa

BC

OMa

BC

OMa

BC

OMa

BC

OA

mmm

iii

mmm

iii

m

mm

m

i

ii

i

§7 Cramer 法则 现在我们讨论 n 阶线性方程组的问题。 定理 4 如果线性方程组

（ 1 ）

的系数矩阵

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

的行列式 那么线性方程组（ 1 ）有解，并且解唯一，

解可以通过系数表为 （ 3 ）

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

0|| Ad

d

dx

d

dx

d

dx n

n ,,, 22

11

其中

j=1,2,…n 。 定理中包含三个结论： 1 、方程组有解； 2 、

解是唯一的； 3 、解由公式（ 3 ）给出。 证明 1 、把方程（ 1 ）简写成 （ 5 ）

nnjnnjnn

njj

njj

j

aabaa

aabaa

aabaa

d

1,1,1

21,221,221

11,111,111

nibxa i

n

jjij ,,2,1,

1

首先证明（ 3 ）的确是（ 1 ）的解。把（ 3 ）代

入第 i 个方程左端为

因为

所以

n

jjij

n

j

jij da

dd

da

11

1

sj

n

ssnjnjjj AbAbAbAbd

1

2211

所以公式（ 3 ）确为方程（ 1 ）的解。

ii

n

s

n

jssjij

n

s

n

jssjij

n

j

n

sssjij

n

j

n

ssjsij

n

jjij

bbdd

bAad

bAad

bAad

Abad

dad

1

)(11

111

1 11 1

1 11 11

2 、设 是方程（ 1 ）的另一个解，于是有

（ 7 ）

为了证明

，我们将 A 中第 k 列元素的代数余子式 ，乘（ 7 ）中 n 个恒等式，有

),,,( 21 nccc

nibca i

n

jjij ,,2,1

1

d

dc kk

nkkk AAA ,,, 21

niAbcaA iki

n

jjijik ,,2,1

1

把它们加起来，即得 （ 8 ）

等式右端为 按第 k 列展开结果。（ 8 ）式左端，

上式用了定理 3 中公式（ 7 ）

n

i

n

iiki

n

jjijik AbcaA

1 11

kd

k

n

j

n

ijikij

n

i

n

jjikij

n

i

n

jjijik dccAacAacaA

1 11 11 1

)(

kj

kjdAa

n

iikij ,0

,

1

于是（ 8 ）即为

也就是

这就说明方程组最多有一组解。 1 、 2说明方程组仅有一组解，即公式

（ 3 ）。 例 解方程组

nkddc kk ,,2,1

nkd

dc kk ,,2,1

0674

522

963

852

4321

432

421

4321

xxxx

xxx

xxx

xxxx

解 系数行列式

所以方程组有唯一解

Cramer 法则只对系数行列式不为零的情况成立，行列式为零的情况将在下一章中介绍。 常数项为零的方程组称为齐次线性方程组。

27,27,108,81,27 4321 ddddd

1,1,4,3 4321 xxxx

定理 5 如果齐次线性方程组

（ 10 ）

的系数行列式 |A|≠0 ，那么它只有零解，换句话说，如果方程组（ 10 ）有非零解，那么必有 |A|=0 。

由 Cramer 法则容易证明。

0

0

0

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

例 求 在什么条件下，方程组 有非零解。 解 系数行列式为

所以，当 时，方程组有非零解。 Cramer 法则理论价值高，实际计算量很大，

一般不用此法计算线性方程组。

0

0

21

21

xx

xx

1

011

1 2

§8 Laplace 定理行列式乘法法则 定义 9 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k

行 k 列 (k≤n) 。位于这些行和列的交点上的 个元素按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式。在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n-k 级行列式称为 k 级子式 M 的余子式。记为

从定义可以看出， M 也是 的余子式。M

M

2k

例 1 在四级行列式

中选定第 1 、 3 行，第 2 、 4 列的一个二级子式

M 的余子式

3100

1200

1210

4121

D

210

42M

010

20M

例 2 在四级行列式

中

和

是一对互余的子式。

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

D

2321

1311

aa

aaD

4442

3432

aa

aaD

定义 10 设 D 的 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别为 ，则

称为 M 的代数余子式 引理 行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数余子式 A 的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致。 证明 先讨论 M 位于 D 的左上角的情况。

kk jjjiii ,,,,,,, 2121

MA kk jjjiii )()( 2121)1(

此时 M 的代数余子式 A 为

nnknnkn

nkkkkkk

knkkkkk

nkk

aaaa

M

aaaa

aaaa

M

aaaa

D

1,1

,1,1,1,11,1

1,1

11,1111

M 的每一项都可以写为

其中 是 1,2,…,k 的一个排列；M` 中的每一项都可以写成

MMA kk )21()21()1(

k

kkaaa

21

2121

)()1(

k

21

nkk

nkknkk

kkk aaa

21

21,2,1

)]())([()1(

其中 是 的一个排列。这两项的乘积

符号为

这是因为每个 都比 大。因此这个乘积是行列式 D 中的一项，而且，符号相同。

nkk ,,,

21 nkk ,,2,1

kkaaa 21 21 nkk nkk aaa

21 ,2,1

)(

)]())([()(

2121

2121

)1(

)1(nkkk

nkkk kkk

下面证明一般情形。 M 位于 D 的第 行，第 列，做行、列交换，将 M 换到左上角，用上面的结果则可。证明略。 定理 6 (Laplace) 设在行列式 D 中任意取定了 个行。由这 k 行元素所组成的一切

k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D 。 证明 设在 D 中选定 k 行后得到的子式为 ，它们的代数余子式分别为 ，定理要求证明：

kiii ,,, 21 1 2, , , kj j j

)11( nkk

tMMM ,,, 21 tAAA ,,, 21

根据引理 中每一项都是 D 中一项，而且符号相同。而且 和 无公共项。因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就行了。

显然等式左端为 n! 项，为了计算等式右端项，先计算 t 。

因为 中有 k! 项， 中有 (n-k)! 项，所以右边共有 项。定理得证。

ttAMAMAMD 2221

iiAMiiAM )( jiAM jj

)!(!

!

knk

nCt kn

iM iA!)!(! nknkt

例 3 在行列式

中取定一、二行，得六个子式1310

3101

1210

4121

D

12

41,

11

42,

21

12

,10

41,

20

11,

10

21

654

321

MMM

MMM

根据 Laplace展开定理 计算过程见课本。由此可见，用 Laplace展开定理计算行列式一般不方便。只有特殊情况用，如

7662221 AMAMAMD

|||| BABC

OA

nn

mm

定理 7 两个 n 级行列式

的乘积等于一个 n 级行列式nnnn

n

n

nnnn

n

n

bbb

bbb

bbb

D

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

2

21

22221

11211

1 ,

nnnn

n

n

ccc

ccc

ccc

C

21

22221

11211

其中 是 中第 i 行元素分别于 的第 j列对应元素的乘积的和

证明 作一个 2n 级行列式

ijc 1D 2D

jninjijiij bababac 2211

nnn

n

nnn

n

bb

bb

aa

aa

D

1

111

1

111

10

01

00

00

由 Laplace 定理21DDD

下面证明 D=C 。对 D 作初等行变换。将 n+1行的 倍，第 n+2 行的 倍，…，第 2n 行的 倍加带第一行，得到

11a 12a na1

nnn

n

nnn

n

bb

bb

aa

cc

D

1

111

1

111

10

01

00

00

依次类推得到

nnn

n

nnn

n

bb

bb

cc

cc

D

1

111

1

111

10

01

00

00

由 Lap lace 定理

定理得证。

C

ccc

ccc

ccc

D

nnnn

nnnn

n

n

100

010

001

)1( )221()21(

21

22221

11211