实例 1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量 .

二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、 Y 有关 , 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 .

实例 2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).说明

第三节 二维随机变量

定义：设 (X, Y) 是二维随机变量， (x, y)R2, 则称

F(x,y)=P{Xx, Yy}

为 (X, Y) 的分布函数，或 X 与 Y 的联合分布函数。

一、 二维随机变量的联合分布函数

00 , yx

00 ,,, yyxxyx

几何意义 :分布函数 F( ) 表示随机点 (X,Y) 落在区域

中的概率。如图阴影部分：

n 维随机变量的联合分布函数分布函数的概念可推广到 n 维随机变量的情形。

事实上，对 n 维随机变量 (X1, X2, … , Xn) ，

F(x1, x2, … , xn) ＝ P(X1 x1, X2 x2, … , Xn xn)

称为的 n 维随机变量 (X1, X2, … , Xn) 的分布函数，

或随机变量 X1, X2, … , Xn 的联合分布函数。

本节以二维随机变量为主进行研究。

对于 (x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2 ， y1<y2 ), 则

P{x1<X x2 ， y1<yy2 }

＝ F(x2, y2) － F(x1, y2)+F (x1, y1) － F (x2, y1).

(x1, y1)

(x2, y2)

(x2, y1)

(x1, y2)

分布函数 F(x, y) 具有如下性质： (p46)

0),(lim),(

yxFFyx

1),(lim),(

yxFFyx

且

0),(lim),(

yxFyFx

0),(lim),(

yxFxFy

(1) 归一性 对任意 (x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,

(2) 单调不减

对任意 y R, 当 x1<x2 时，

F(x1, y) F(x2 , y) ；

对任意 x R, 当 y1<y2 时，

F(x, y1) F(x , y2).

);y,x(F)y,x(Flim)y,0x(F 0xx

00

).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F 0yy

00

(3) 右连续 对任意 xR, yR,

(4) 矩形不等式

对于任意 (x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2 ， y1<y2

),

F(x2, y2) － F(x1, y2) － F (x2, y1) ＋ F (x1, y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数 F(x, y) 都

可以作为某个二维随机变量 (X, Y) 的分布函数。结论

2121 ; yYyxXxP 2121 , yYyxXx 随机点 (X,Y) 落在矩形域 的概率为 :

),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF （ 3·1 ）

例 3.已知二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为)]

3()][

2([),(

yarctgC

xarctgBAyxF

1) 求常数 A ， B ， C 。 2) 求P{0<X<2,0<Y<3}

解 : ( , ) [ ( )][ ] 12 2

xF A B arctg C

0)]3

(][2

[),( y

arctgCBAyF

( , ) [ ( )][ ] 02 2

xF x A B arctg C

2

1

2

ACB

16

1)0,2()3,0()3,2()0,0(}30,20{ FFFFYXP

一）二维离散型随机变量及其联合分布律

若二维随机变量 (X, Y) 只能取至多可列个值 (xi, y

j),

(i, j ＝ 1, 2, … ), 则称 (X, Y) 为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量 (X, Y) 取 (xi, yj) 的概率为pij, 则称 P{X ＝ xi, Y ＝ yj,} ＝ pij ,(i, j ＝ 1, 2, … ) 为二维离散型随机变量 (X, Y) 的分布律，或随机变量 X

与 Y 的联合分布律 . 可记为 (X, Y) ～ P{X ＝ xi, Y ＝ yj,} ＝ pij ， (i, j ＝ 1,

2, … ).

X Y y

1 y

2 … y

j …

p11 p12 ... P1j ...

p21 p22 ... P2j ...

pi1 pi2 ... Pij ...

......

... ... ...

... ... ...

联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j ＝ 1, 2, … ； (2)

1p1i 1j

ij＝

x1

x2

xi

二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下 :

例 4. 袋中有两只红球 , 三只白球 , 现不放回摸球二次 , 令

第二次摸到白球第二次摸到红球

第一次摸到白球第一次摸到红球

0

1

0

1

Y

X, 求 (X,Y) 的分布律。

XY

1 0

1 0

10

1

10

3

10

3

10

3

25

22}1,1{

P

PYXP

25

32}0,1{

PYXP

25

23}1,0{

PYXP

25

23}0,0{

P

PYXP

例 5 一个袋中有三个球 , 依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个 , 不放回袋中 , 再任取一个 , 设每次取球时 ,各球被取到的可能性相等 , 以 X, Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律 .

( X, Y ) 的可能取值为 ),2,1(

,31

22

31

}2,1{ YXP ,31

21

32

}1,2{ YXP

.31

21

32

}2,2{ YXP

解 ),1,2( ).2,2(

1 2 2

故 ( X , Y ) 的分布律为

XY 21

2

1 310

3131

,31

,0 22211211 pppp

二）二维连续型随机变量及其密度函数

1 、定义 对于二维随机变量 (X, Y) ，若存在一个非负可积函数 f (x, y) ，使对 (x, y)R2 ，其分布函数

x y

,dudv)v,u(f)y,x(F

则称 (X,Y) 为二维连续型随机变量 ,f(x,y) 为 (X,Y) 的密度函数 ( 概率密度 ) ，或 X 与 Y 的联合密度函数，可记为 (X, Y) ～ f (x, y) ， (x, y)R2

2 、联合密度 f(x, y) 的性质

(1) 非负性： f (x, y)0, (x, y)R2;

(2) 归一性：

);y,x(fyx

)y,x(F2

反之，具有以上两个性质的二元函数 f(x,y) ，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。

此外， f (x, y) 还有下述性质

(3) 若 f (x, y) 在 (x, y)R2 处连续，则有

( , ) ( , ) 1.f x y dxdy F

－ －

G

dxdyyxfGYXP .),(}),{(

(4) 对于任意平面区域 G R2,

设

others

yxyxfYX

0

10,101),(~),(

求 :P{X>Y}

2

11}{

0

1

0

x

dydxYXP

求： (1) 常数 A ； (2) F(1,1) ；

(3) (X, Y) 落在三角形区域 D ： x0, y0, 2x+3y6

内的概率。

其它,0

0,0,),(~),(

)32( yxAeyxfYX

yx例 8. 设

解 (1) 由归一性

6 A 1

0

1

0

32)32( )1)(1(6)1,1()2( eedxdyeF yx

(2 3 )

0 0

( , ) 1x yf x y dxdy Ae dxdy

－ －

(3) (X, Y) 落在三角形区域 D ： x0, y0, 2X+3y6

内的概率。解 dxdyeDYXPD

yx )32(6}),{(

3

0

322

0

)32(6 dyedx

x

yx

671 e

}.{)2();,()1(

.,0

,0,0,e2),(

),()2(

XYPyxF

yxyxf

YXyx

求概率求分布函数其它

具有概率密度设二维随机变量例 9

解

y xyxyxfyxF dd),(),()1(

(2 )

0 0d 2e d , 0, 0,

0, .

y x u vv u x y

其他

.,0

.0,0),e1)(e1(),(

2

其他　 　得

yxyxF

yx

},),{(}{ GYXXY

}),{(}{ GYXPXYP

(2) 将 ( X,Y ) 看作是平面上随机点的坐标 ,

即有

XY

G

x

y

Oyxyxf

G

dd),(

yxy

yx dde20

)2(

.31

三） 两个常用的二维连续型分布 1. 二维均匀分布 若二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为

其它

，的面积

,0

),(1

),(2RDyx

Dyxf

D

G

S

SGYXP }},{(

易见，若 (X,Y) 在区域 D 上 ( 内 ) 服从均匀分布 , 对 D 内任意区域 G, 有

则称 (X, Y) 在区域 D 上 ( 内 ) 服从均匀分布。

其中， 1 、 2 为实数， 1>0 、 2>0 、 | |<1

，则称 (X, Y) 服从参数为 1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为

),,,,(~),( 22

2121 NYX

2. 二维正态分布 N(1, 2, 1, 2, )

若二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为 (P53)

,e12

1)y,x(f

])y()y)(x(

2)x(

[)1(2

1

221

22

22

21

2121

21

2

二维正态分布的图形

,},{),( yYxXPyxF },{)( xXPxF

}{ xXP },{ YxXP ),( xF )(xFX

.),( 的边缘分布函数关于XYX

: ( , ) , , ?X Y X Y已知 的分布 如何确定 的分布问题

二、 二维随机变量的边缘分布1. 边缘分布函数

称为二维随机变量 (X, Y) 关于 X 的边缘分布函数；

边缘分布实际上是高维随机变量的某个 (某些)低维分量的分布。

FX(x) ＝ F (x, +) ＝ ＝ P{Xx}lim ( , )y

F x y

FY(y) ＝ F (+, y) ＝ ＝ P{Yy} 称为二维随机变量 (X, Y) 关于 Y的边缘分布函数.

lim ( , )x

F x y

定义

例 1. 已知 (X,Y) 的分布函数为

其它0

01

01

),( xyyee

yxxee

yxF yy

yx

求 FX(x) 与 FY(y) 。

解：FX(x)=F(x,)=

00

01

x

xe x

FY(y)=F(,y)=

00

01

y

yyee yy

2. 边缘分布律

若随机变量 X与 Y的联合分布律为 (X, Y) ～ P{X ＝ xi, Y ＝ yj,} ＝ pij ， i, j ＝ 1, 2, …

为 (X, Y) 关于 X 的边缘分布律；

1j

ijp则称 P{X ＝ xi} ＝ pi. ＝ ， i ＝ 1, 2, …

1i

ijpP{Y ＝ yj} ＝ p.j ＝ ， j ＝ 1, 2, …

为 (X, Y) 关于 Y 的边缘分布律。

边缘分布律自然也满足分布律的性质。

例 2.已知 (X,Y)的分布律为x\y 1 0 1 1/10 3/10

0 3/10 3/10求 X 、 Y 的边缘分布律。解：

X\Y 1 0 pi.

1 1/10 3/100 3/10 3/10

p.j

故关于 X 和 Y 的分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5

2/53/5

2/5 3/5

3. 边缘密度函数

为 (X, Y) 关于 Y 的边缘密度函数。

dyyxfxf X ),()(

dxyxfyfY ),()(

设 (X, Y) ～ f (x, y), (x, y)R2, 则称

为 (X, Y) 关于 X 的边缘密度函数；

同理，称

易知 N(1, 2, 12, 2

2, ) 的边缘密度函数 fX(x) 是 N(1,

12) 的密度函数，而 fX(x) 是 N(2, 2

2) 的密度函数，故

二维正态分布的边缘分布也是正态分布。

例 3. 设 (X,Y) 的概率密度为

others

xyxcyxf

0),(

2

（ 1 ）求常数 c;(2)求关于 X 的边缘概率密度

解 :(1) 由归一性 1

0 2

1x

x

cdydx 6 c

dyyxfxf X ),()()2(100 xorx

10)(66 2

2

xxxdyx

x

问题

三、二维随机变量的条件分布

.,

,

,,

他们都有自己的分布机变量都是随和则记此人的体重和身高和用分别从其中随机挑选一个人考虑一大群人

YXYX

.

,m6.1m5.1

分布的在这个限制下求

到取值从现在如果限制

X

Y

设随机变量 X 与 Y 的联合分布律为 (X, Y) ～ P{X ＝ xi, Y ＝ yj,} ＝ pij ， (i, j ＝ 1, 2, … ) ，X 和 Y 的边缘分布律分别为

,...2,1}{1

ippxXPj

ijii

1. 离散型随机变量的条件分布律

,...2,1}{1

jppyYPi

ijjj

为 Y ＝ yj 的条件下， X 的条件分布律 ;

,...2,1,}|{.

| jp

pyYxXPp

j

ijjiji ＝

若对固定的 j, p.j>0, 则称

同理，对固定的 i, pi. >0, 称

,...2,1,}|{.

| jp

pxXyYPP

i

ijijij ＝

为 X ＝ xi 的条件下， Y 的条件分布律 ;

例 1 在一汽车工厂中 , 一辆汽车有两道工序是由机器人完成的，其一是紧固 3 只螺栓，其二是焊接 2 处焊点 , 以 X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目 ,以 Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目 . 据积累的资料知 (X,Y) 具有分布律（见下） , 求： 1 ）在 X=1 的条件下， Y 的条件分布律； 2 ）在 Y=0 的条件下， X 的条件分布律。

Y X 0 1 2 3 P{Y=j}

0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900

1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080

2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020

P{X=i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000

)(

),()|(| yf

yxfyxf

YYX

类似可得，若对于固定的 ，则称0)(, xfx X

)(

),()|(| xf

yxfxyf

XXY

2. 连续型随机变量的条件概率密度

设二维随机变量的联合密度为 ，且关于 Y 的边缘密度为 , 若对于固定的 ，则称

),( yxf)(yfY 0)(, yfy Y

在 Y=y 条件下 X 的条件概率密度 .

在 X=x 条件下 Y 的条件概率密度 .

说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下

联合分布边缘分布

条件分布联合分布

其它。,0

,,,1

),( GyxAyxf

例 3 设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A 。若二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度

)( yxf YX122 yx则称 (X,Y) 在 G 上服从均匀分布 , 现设二维随机变量(X,Y) 在圆域 上服从均匀分布 , 求条件概率密度

四、 随机变量的相互独立性

1. 定义 1 称随机变量 X 与 Y 独立，如果对任意实数 a<b,c<d ，有 p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件 {a<Xb} 与事件 {c<Yd} 独立，则称随机变量 X 与 Y 独立。

定理 1 ：随机变量 X 与 Y 独立的充分必要条件是 (p90)F(x,y)=FX(x)FY(y)

定理 3.42 设 (X,Y) 是二维连续型随机变量， X 与Y 独立的充分必要条件是 f(x,y)=fX(x)fY(y)

定理 3. 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，其分布律为 Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,... ，则 X 与 Y 独立的充分必要条件是对任意 i,j ， Pi,j=Pi.Pj 。由上述定理可知，要判断两个随机变量 X 与 Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对 (X,Y) 的每一对可能取值点 , 边缘分布的乘积都等于联合分布即可。

),( YX

ijp

)1,1( )2,1( )3,1( )1,2( )2,2( )3,2(

61

91

181

31

解 的分布律改写为将 ),( YX

例 1 的分布律为已知 ),( YX

.,(2)

;)1(

的值与求相互独立与若应满足的条件与求

YX

(1) 由分布律的性质知 ,0,0 ,132

.31

0,0: 且应满足的条件是与故

XY

321

1

2

61

91

181

31

}{ ii xXPp

31

31

}{ jj yYPp 21

91

181

32

)3,2,1;2,1(, jippp jiij

特别有

2112 ppp

91

31

91

,92

又 ,31

.91

得

(2) 因为 X 与 Y 相互独立 , 所以有

0结论 : 二维正态随机变量 (X,Y) 的 X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 见 P53

EX：判断例 1 、例 2 、例 3 中的 X 与 Y 是否相互独立

例 2. 已知随机变量 (X,Y) 的分布律为X Y 1 2 0 0.15 0.15

1 a b

且知 X 与 Y 独立，求 a 、 b 的值。

例 3.甲乙约定 8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待 15分钟过时不候。求两人能见面的概率。

定义 . 设 n 维随机变量 (X1,X2,...Xn) 的分布函数为F(x1,x2,...xn), (X1,X2,...Xn) 的 k （ 1k<n) 维边缘分布函数就随之确定，如关于 (X1,X2 ）的边缘分布函数是

FX1,X2 （ x1,x2,)=F(x1,x2,,...)

若 Xk 的边缘分布函数为 FXk(xk),k=1,2,…,n,

)()....()(),...( 211 21 nXXXn xFxFxFxxF

n

2． n 维随机变量的边缘分布与独立性

则称 X1,X2,...Xn 相互独立，或称 (X1,X2,...Xn) 是独立的。

则称离散型随机变量 X1, X2, …, Xn 相互独立。

对于离散型随机变量的情形，若对任意整数

i1, i2, …, in 及实数 有

niii ,...,x,xx21

}{}{1111 nnnn iiiiiiii xX...PxXP}x,...,XxP{X

设 X1 ， X2 ，…， Xn 为 n 个连续型随机变量，若对任意的 (x1, x2, …, xn)Rn ，

f (x1, x2, …, xn) ＝ fX1(x1)fX2

(x2)…fXn(xn)

几乎处处成立，则称 X1 ， X2 ，…， Xn 相互独立。

定义 设 n 维随机变量 (X1,X2,...Xn) 的分布函数为FX(x1,x2,...xn);m 维随机变量 (Y1,Y2,…Ym) 的分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym组成的 n+m 维随机变量（ X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym) 的分布函数为 F(x1,...xn, y1,

…,ym). 如果F （ x1,x2,...xn, y1,y2,…ym).= FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym)

则称 n 维随机变量 (X1,X2,...Xn) 与 m 维随机变量 (Y1,Y2,…

Ym) 独立。定理 4 设 (X1,,X2, …, Xn ) 与 (Y1, Y2,… ， Ym ) 相互独立，则 Xi (i=1, 2, …, n)) 与 Yi (i=1, 2, …, m) 相互独立 ; 又若h, g 是连续函数，则 h(X1,,X2, …, Xn) 与 g(Y1, Y2,… ， Y

m ) 相互独立 .

二维随机变量边缘分布

边缘分布律边缘分布函数

边缘概率密度

独立性