第 10 章 描述统计分析

本章主要内容

一、交叉表二、变量的集中趋势三、离中趋势五、时间序列

交叉列表分析

•使用行和列的形式对比表示数据 .定义见书 P231•本产品中男性消费者的满意比率是多

少？女性消费者满意的比率是多少呢？•有多少高收入消费者对新产品很熟悉

呢？多少比较熟悉、知道一些或者不熟悉该品牌呢？

双变量的交叉表分析

市场调查或民意调查，经常利用交叉表来分析两个分类（定性）变量之间的关系，比如：性别与品牌偏好、教育程度（学历）与使用品牌、收入与是否有数码相机、性别与移动电话类型偏好、地区与移动电话类型偏好，等等。交叉表经常用于市场研究，进行市场机会、市场细分分析等。

所想购买的户型2500-3499

元

3500-4999

元5000-

7999 元8000-9999

元10000元以上

中高收入群体

一室一厅一卫 　 4.3 　 1.4

两室一厅一卫 42.9 17.4 20.0 26.0

两室两厅一卫 14.3 17.4 　 11.0

两室两厅两卫 3.6 4.3 25.0 　 5.5

三室一厅一卫 14.3 21.7 12.5 50.0 20.0 19.2

三室一厅两卫 10.7 13.0 12.5 20.0 11.0

三室两厅一卫 3.6 25.0 　 4.1

三室两厅两卫 7.1 4.3 12.5 　 8.2

四室两厅两卫 　 4.3 　 1.4

措层 　 20.0 1.4

越层 　 50.0 20.0 2.7

其他 3.6 13.0 12.5 　 　 8.2

利用 SPSS对两个定性变量进行交叉表分析

例 10-1 分析不同性别（或种族、或居住地区）的美国人对生活方面（幸福感、生活是否充满激情）的认识情况。

这个问题可以分解为 6 个小问题：（ 1 ）分析不同性别的美国人对幸福感的认识情况（ 2 ）分析不同种族的美国人对幸福感的认识情况（ 3 ）分析居住在不同地区的美国人对幸福感的认识情况（ 4 ）分析不同性别的美国人对生活是否充满激情的认识情

况（ 5 ）分析不同种族的美国人对生活是否充满激情的认识情

况（ 6 ）分析居住在不同地区的美国人对生活是否充满激情的

认识情况

利用 SPSS对两个定性变量进行交叉表分析

例 10-1 分析不同性别（或种族、或居住地区）的美国人对生活方面（幸福感、生活是否充满激情）的认识情况。

1.用 SPSS的 Crosstabs 求交叉表 菜单“ Analyze”->“Descriptive Statistics”->“Crosstabs”

2.在 Excel 中修饰交叉表并绘制百分比堆积柱形图

3.在Word 中撰写交叉表分析报告

10.1 利用 SPSS 对两个定性变量进行交叉表分析

“ 性别”与“幸福感”的交叉表

性别 非常幸福 比较幸福 不太幸福 合计

男人数 206 374 53 633

百分比 32.5% 59.1% 8.4% 100%

女人数 261 498 112 871

百分比 30.0% 57.2% 12.9% 100%

合计人数 467 872 165 1504

百分比 31.1% 58.0% 11.0% 100%

10.1 利用 SPSS对两个定性变量进行交叉表分析

男女对幸福感认识的百分比堆积柱形图

32. 5%

59. 1%

8. 4%

30. 0%

57. 2%

12. 9%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

男 女

不太幸福比较幸福非常幸福

10.1 利用 SPSS 对两个定性变量进行交叉表分析

在Word 中撰写交叉表分析报告（男女对幸福感的认识情况） 交叉表分析报告，一般包含表格、百分比堆积

柱形图和结论（建议）。 此次调查了 1517 名美国人，其中有 13 人对“幸福感”没有回答。关于不同性别的美国人对幸福感认识的交叉表和柱形图如表 XX和图 XX 所示。 此次调查的结果显示：受访者中，无论男女，认为“比较幸福”的居最多数（男 59.1% ， 女 57.2% ），认为“非常幸福”的人数居中（男 32.5% ，女 30.0% ）。此外，就相对程度来看，认为生活幸福（“比较幸福”和“非常幸福”的比例之和）的美国人中，男性比例明显超过女性 （ 91.6% 对 87.2% ），可以看出女性的幸福感低于男性，而感觉“不太幸福”的女性的比例则高于男性。说明女性更渴望生活幸福。

频数表

频数：又称为“次数”，即分布在各组的数据个数。

频率：又称为“比重”，即各组频数与总频数的比值。

各组的频率之和 =1或 100%

频数分布和频数分布表

频数分布：又称为“次数分布”，即全部数据按其分组标志在各组内的分布状况。

频数分布表：是指按某种标志对数据进行分组后，再计算出所有类别或数据在各组中的频数和频率而形成的统计表格。

数据分组的过程，就是频数分布及频数分布表的形成过程。

描述统计分析

数据分布性质

算术平均数算术平均数

中位数中位数

众数众数

集中趋势

全距全距

方差方差

标准差标准差

离中趋势

偏态偏态

分布形态

四分位距四分位距 峰度峰度

三、集中趋势指标

算术平均数中位数众数

平均数

• 平均数是将总体中所有个体的数量标志差异抽象化，用以反映现象在一定时间、地点条件下的一般水平或代表性水平 .

• 对象：个体单位的数量差异；• 手段：将数量差异抽象化 , 即去差异；• 目的：反映各个个体现象数值的一般水平，代表

性水平

平均数

反映总体分布的集中趋势；

反映总体现象的共性特征；

是总体分布的重要数量特征值；

是现象规律性的数量表现。

平均数

总体分布的集中趋势 :--1000 发炮弹落点

212198 192

164155

121133

9894

中心点中心点

平均数

总体现象的共性特征 捷达轿车 : 1

没有奖品 :99999

集中趋势 : 没有奖品

明天下雨的可能性是 :80%

明天不下雨的可能性 :20%

集中趋势是 : 明天下雨

算术平均数

• 算术平均数是集中趋势指标中最常用的一个统计量，用于评估一个用定距或定比尺度衡量的数据均值。数据都有一定的集中趋势，大部分回答应该分布在均值附近。

观察值个数观察值

观察值的个数所有观察值之和

算术平均数

:

:

n

xn

xx

算术平均数的计算方法

加权算术平均数 单项数列计算算术平均数 组距数列计算算术平均数

一定要遵循“不重不漏”的原则。解决“不重”的问题，习惯上规定“上组限不在内”。

当一组数据悬殊较大时，为避免出现空白组或极个别极端值被遗漏，一般应采用“ ×× 以下”及“ ×× 以上”。

可以采用等距分组，也可以采用不等距分组。 对于不等距分组可用“频数密度”反映频数分布的实际

状况。组距分组掩盖了各组内的数据分布状况。“组中值”是上限和下限中间之间的中间数值，它是代表各组数据一般水平的数值。组中值 = （下限 + 上限） ÷2

组距分组注意的问题

附：开口组组中值的计算

开口组的组距和组中值的确定，一般一相邻组的组距为准，其计算公式为：

缺下限开口组（形如 :×× 以下）的组中值 = 上限 - （相邻组组距 ÷2 ） 缺上限开口组（ ×× 以上）的组中值 = 下限 + （相邻组组距 ÷2 ）

向上累计和向下累计 为了统计分析的需要，有时需要观察某一数

值以下或某一数值以上的频数之和，这就需要在分组的基础上计算出“累计频数”。

向上累计：即“由小到大累计”，亦即：从变量值小的一方向变量值大的一方累加频数。

向下累计：即“由大到小累计”，亦即：从变量值大的一方向变量值小的一方累加频数。

某班 50名学生统计学考试成绩分组

成 绩 分 组

人数 （人）

比 重（% ）

向上累计 向下累计

频 数（人）

频 率 %

频 数（人）

频率 %

60 分以下 60—70 70—80 80—90 90 分以上

2 12 25 8 3

4.0024.0050.0016.00 6.00

2 14 39 47 50

4.0028.0078.0094.00100.0

50 48 36 11 3

100.0 96.00 72.00 22.00 6.00

合 计 50 100.0 ---- ----- ---- ------

中位数

• 将总体中的各个个体数值按照大小顺序排列，居于中间位置的数值，便是中位数。

中位数

中位数

• 1. 是一种集中趋势或平均指标• 2. 位于中间位置的数值

• 如果数据为奇数项，中位数是中间位置的数值• 如果数据为偶数项，中位数是中间位置两个数值的平均

数• 是一种位置平均数

• 4. 不受总体中极值的影响

中间位置中间位置 nn 11

22

中位数

中间位置中间位置

中位数中位数

nn 1122

66 1122

3355

7777 889988 3030

..

.. ....

数据 :10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7 顺序 :4.9 6.3 7.7 8.9 10.3 11.7 位置 :1 2 3 4 5 6

22

众数

• 总体中出现次数最多的数值是众数。

众数

众数

1.集中趋势测定指标或平均指标2.出现次数最多的数值3. 不受总体中极值的影响4. 可以没有众数，也可以有几个众数

众数

无众数数据 :10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7

一个众数数据 :6.3 4.9 8.9 6.3 4.9 4.9

一个以上的众数数据 :21 28 28 41 43 43

平均数指标Q15：请问您能接受的物业管理费用应为多少呢? （注意以人民币、按月计算）

元/月/平方米【填写具体数字】

教育程度 均值 中间值 众数 方差 全距 峰度 偏度

初中 1.15

1.00 1.00 0.49 2.00 11.8

9 3.44

高中 /技校 1.23

1.00 1.00 0.58 2.00 5.12 2.50

中专 1.48

1.00 1.00 1.04 4.00 5.31 2.33

大专 1.79

1.00 1.00 1.52 5.00 3.08 2.01

大学本科或以上 2.05

1.00 1.00 1.90 5.00 0.95 1.60

Total1.47

1.00 1.00 1.16 5.00 7.44 2.80

平均数的局限性• 一个身高 180 的不会游泳的人想涉水过河 ,已知河的平均深度为 1 米 ,此人是否过河 ?为什么 ?

• 某人想购买一台冰箱 , 现有如下信息 :

• 冰箱品牌 A B• 平均使用年限 10 10• 最多使用年限 20 12• 最少使用年限 2 8

第三节 数据的离中程度分析

全距

方差和标准差

差异性指标

• 标志变异指标是测定总体中各个个体单位标志值差异的变动范围或差异程度的指标。

集中趋势

全距 测量的是数据的分散程度，就是样本中最大值与

最小值之差。 全距直接到奇异值的影响 反映标志值的变动范围 全距计算简便，易于理解，应用普遍。 全距的计算 :全距 = 最大标志值 - 最小标志值

媒婆给村里的姑娘们说亲 ，媒婆手里有两批光棍资源，村长不放心，便问，哪一拨的人比较好，媒婆说两组都一样好，每组平均身高都是 1.75m 的标准小伙。第一组进村后，三人都是 1.75m 的标准身高，举手头足犹如仪仗队，姑娘们趋之若鹜，于是村长放心离去 。可等到第二批刚一进村，姑娘们就吓坏了 。啥情况呢？原来这第二组三人的身高分别是 2 米 35、 1 米 45、 1 米 45 ，好像托塔李天王带着土行孙兄弟俩下凡一般，村里家家门户紧闭，暗地里咒骂村长。村长因此名声扫地，村长迁怒于媒婆 ，可媒婆反驳到：“我也没说谎呀，两拨人都是一样的平均身高呀”，村长顿时哑口无言 。

精确地描述差异 --标准差 标准差 (Standard Deviation )也称均方差 , 在概率统计中最

常使用作为统计分布程度（ statistical dispersion ）上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。

是各单位标志值与其平均数的离差平方的算术平均数的平方根，它表示每个标志值与平均数的平均距离。

n

xx

2)(

一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

2

1

( )n

ii

x

N

（总体标准差，对应于 Excel的stdev函数）

2

1

( )

1

n

ii

x xs

n

（抽样标准差，即以样本标准差估计总体的标准差，对应于Excel的 stdevp函数）

如何计算标准差

标准差的应用分析 标准差在投资决策中的应用 投资是企业生产经营和发展壮大的必要手段。投资者作出投资决策时，

不仅要考虑预期回报，还必须分析比较投资风险。由于投资风险的客观存在性及其对投资收益的不利性，投资者在进行投资决策时必须而且也应该对投资风险进行分析，尽可能地测定和量化风险的大小。

1 、用标准差衡量风险大小。此时的标准差计算公式如下：

其中 σ 为标准差， Pi 为一系列可能性事件发生的概率， ri为可能性事件发生时的投资收益。

假设投资者要在 A 、 B 两个项目中选择一个或两个项目进行投资。估计第二年每个项目的收益率可能有四个结果，每个结果都有一个确定的概率与之对应。如下表所示，表中 r为收益率， p 为收益率实现的可能性。

表 1 A、 B 两项目的收益率分布A 项目 B 项目

r p r p

1 0.2 0.25 1.0 0.05

2 0.14 0.25 0.6 0.2

3 0.10 0.25 0.1 0.7

4 0.04 0.25 -1.0 0.05

投资项目 A、 B 的期望收益率分别为：

计算结果表明， A 项目的期望收益率小于 B项目。但从收益率的分布看， A 项目的收益率在 4 ％～ 20% 之间波动，变动范围小；而 B 项目收益率从 -100％到 +100％，变动范围大。收益率的变动大小反映了风险的大小，收益率变动大，风险就大。根据公式 (3) 计算得： σA = 5.83%，σB = 37.80% 。这就说明 B 项目的风险更大 .从数学角度看， B 项目标准差大 ,可能来源于 B 项目的各种可能收益都比较大。

两捆竹竿、第一捆每根长度分别是 10M、 10M、11M、 11M、 12M、 12M, 标准差0.8164；第二捆，每根长度1000cm、 1000cm、 1100cm、 1100cm、 1200cm、 1200cm. 标准差 75.59.

由于两组数据的平均数不同或度量单位不同的时候，消除由此带来的差异，从而进行比较 . 比如第一捆竹竿用米（M ）做单位，而第二捆用厘米（ CM)做单位，而实际两捆是一模一样的 , 两捆的标准差虽然此时失效，但是通过离散系数可以看出来，两捆是一样的，离散系数都是 0.068 。

标准差系数 标准差与平均数的比值称为离散系数 . 用公

式表示 : 标准差系数＝ σ/μ 如甲单位月平均工资 1600元，标准差为

60元，标准系数（ 60÷1600 ）为3.75% ，乙单位月平均工资为 800元，标准差为 40元，标准系数为（ 40÷800 ）为 5% ，说明甲单位工资水平高于乙单位，差异程度低于乙单位。平均工资的代表性高于乙单位。

时间数列时间数列时间数列时间数列把反映现象发展水平的统计指标数值，把反映现象发展水平的统计指标数值，按照按照时间先后顺序时间先后顺序排列起来所形成的排列起来所形成的统计数列，又称统计数列，又称动态数列。动态数列。

现象所属的现象所属的时间时间

反映现象发展水平的反映现象发展水平的指标数值指标数值构成要素构成要素

第四节 时间序列第四节 时间序列

年份 国内生产总值（亿元） 年份 国内生产总值

（亿元）

1986198719881989190019911992199319941995

4038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.4

10202.211962.514928.3

1996199719981999200020012002200320042005

16909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7

要素一：时间要素一：时间 tt 要素二：指标数值要素二：指标数值aa

发展速度发展速度发展速度发展速度 指报告期水平与基期水平的比指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的变动程度值，说明现象的变动程度

设时间数列中各设时间数列中各期发展水平为期发展水平为：： 0 1 1, , , ,n ny y y y

1 2

0 1 1

, , , n

n

yy y

y y y

环比发展速度

定基发展速度 1 2

0 0 0

, , , nyy y

y y y

（年速度）（年速度）

（总速度）（总速度）

﹪速度发展

基期水平基期水平报告期水平

速度增长

100

增长速度增长速度增长速度增长速度指增长量与基期水平的比值，指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增说明报告期水平较基期水平增长的程度 长的程度

各环比发展速度的平均数，各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均说明现象每期变动的平均程度程度

平均发展速度平均发展速度平均发展速度平均发展速度

平均发展速度的计算平均发展速度的计算平均发展速度的计算平均发展速度的计算

⑴ ⑴ 几何平均法（水平法）几何平均法（水平法） ⑴ ⑴ 几何平均法（水平法）几何平均法（水平法）

即有 0

n

ny y X

2

1 0 2 1 0

1 0

, ,

,n

n n n

y y X y y X y X

y y X y X y

从最初水平 y0 出发，每期按一定的平均发展速度 发展，经过 n 个时期后，达到最末水平yn ，有

GX基本要求基本要求

把握现象随时间演变的趋势和规律； 对事物的未来发展趋势作出预测； 便于更好地分解研究其他因素。

测定长期趋势的基本方法：测定长期趋势的基本方法：

②②移动平均法移动平均法 ③③ 趋势线拟合法趋势线拟合法

测定长期趋势的意义：测定长期趋势的意义：

①① 时距扩大法时距扩大法

移动平均法移动平均法移动平均法移动平均法

对时间数列的各项数值，按对时间数列的各项数值，按照一定的时间间隔进行照一定的时间间隔进行逐期移动逐期移动，计，计算出一系列算出一系列序时平均数序时平均数，形成，形成一个新一个新的时间数列。的时间数列。以此削弱不规则变动的以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。影响，显示出原数列的长期趋势。

移动平均法的移动平均法的含义含义

⒉⒉ 计算各移动平均值，并将其编制成计算各移动平均值，并将其编制成时间数列时间数列

一般应选择一般应选择奇数项奇数项进行移动平均；进行移动平均；若原数列呈若原数列呈周期变动周期变动，应选择现象的，应选择现象的变动周期变动周期作为移动的时距长度。作为移动的时距长度。

移动平均法移动平均法移动平均法移动平均法

移动平均法的步骤移动平均法的步骤：：⒈⒈ 确定移动时距确定移动时距

移动平均法移动平均法移动平均法移动平均法

奇数项移动平均奇数项移动平均 ::

1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y原数列原数列

移动平均移动平均 1 2 3

3

y y y 2 3 4

3

y y y 3 4 5

3

y y y 4 5 6

3

y y y 5 6 7

3

y y y

新数列新数列 2y 3y 4y 5y 6y

移动平均移动平均移正平均移正平均新数列新数列

1 4

4

y y 2 5

4

y y 3 6

4

y y 4 7

4

y y

3y 4y 5y

移动平均法移动平均法移动平均法移动平均法

偶数项移动平均偶数项移动平均 ::

1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y原数列原数列

某种商品零售量

0

5

10

15

20

25

30

第一年 第二年 第三年 第四年

某种商品零售量

0

5

10

15

20

25

30

第一年 第二年 第三年 第四年

原数列原数列三项移动平均三项移动平均

五项移动平均五项移动平均四项移动平均四项移动平均

季节指数季节变动是指由于自然条件和社会条件的影响，经济现象在一年内随着季节的转变而发生的周期性变动。

饮料的生产量及销售量在一年内的变化 用电量在一年之内的增减 蔬菜价格在一年内的波动 鲜花销售每年的几个旺季 每年旅客运输的高峰期……

季节指数 = 各年同季（月）平均数 / 总的季 (月 ) 平均数

一年 4 个季度的季度指数之和为 400% ，每个季度季节指数平均数为 100% 。季节变动表现为各季的季节指数围绕着100% 上下波动，表明各季销售量与全年平均数的相对关系。如某种商品第一季度的季节指数为 125% ，这表明该商品第一季度的销售量通常高于年平均数25% ，属旺季，若第三季度的季节指数为 73% ，则表明该商品第三季度的销售量通常低于年平均数 27% ，属淡季。

例 1 某地历年各季度背心的销售量如表 1 ，试预测 2001年各季度的销售量是多少？

年度 年度销售量

第一季度

第二季度

第三季度

第四季度

1996 600 180 150 120 150

1997 660 210 160 130 160

1998 700 230 170 130 170

1999 750 250 180 140 180

2000 850 300 200 150 200

2001 1000 400 220 160 220

合计 4560 1570 1080 830 1080

季节指数

求各季的季节指数,填入相应的空格中.

上一题的解答 :

第一季度的平均值 :1570/6=261.67

总的季平均值 :4560/24=190

第一季度的季节指数为 :261.67/190=1.38

年度 年度销售量

第一季度

第二季度

第三季度

第四季度

1996 600 180 150 120 150

1997 660 210 160 130 160

1998 700 230 170 130 170

1999 750 250 180 140 180

2000 850 300 200 150 200

2001 1000 400 220 160 220

合计 4560 1570 1080 830 1080

季节指数 1.38 0.95 0.73 0.95

谢谢！