{ 范例 13.3} 洛仑兹速度变换

(1) 根据洛仑兹坐标变换，推导 x 方向上速度变换公式。 A飞船在地面上以 0.5c 的速度运动， B 飞船在地面上以 0.8c的速度同向运动，那么 B 飞船相对于 A 飞船的速度是多少？如果 B 飞船在地面上以 0.8c 的速度相向运动，结果又如何？ (2) 根据洛仑兹坐标变换，推导 y 方向或 z 方向上速度变换公式以及合速度的变换公式。在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为 c ，而地球以速率 u 垂直于光线运动。求在地面上测量，这束星光速度的大小与方向如何？

{ 范例 13.3} 洛仑兹速度变换

[ 解析 ](1) 设 S' 系沿 S 系的 x 轴正向以速度 u 运动，一质点 P 运动时，在 S 系中的速度 x 分量为 vx = dx/dt ，对洛仑兹正变换的 x 和 t 量取微分得

在 S' 系中的速度 x 分量为 v'x = dx'/dt' ，

2 2 2 2

( )dd dd ,

1 / 1 /xu u tx u t

xu c u c

22

2 2 2 2

(1 / )dd d /d ,

1 / 1 /xuv c tt u x c

tu c u c

由此可得洛仑兹速度 x 分量的变换公式

21.

/x

xx

v uv

v u c

{ 范例 13.3} 洛仑兹速度变换[ 讨论 ]

②如果 vx = u ，则 v'x = 0 ，表示质点在 S' 系中是静止的。①如果 vx > u > 0 ，则 v'x > 0 ，表示质点在 S' 系中沿 x' 正向运动。

③如果 0 < vx < u ，则 v'x < 0 ，表示质点在 S' 系中沿 x' 负向运动。

21 /x

xx

v uv

v u c

④如果 vx 和 u 的符号相反，表示质点和 S' 系相向运动或反向运动，质点在 S' 系中速度 v'x的大小和方向由 vx 和 u 的大小和方向共同决定。⑤当 vx→±c时，则得

21 ( ) /x

c uv c

c u c

可见：质点在一个惯性参考系中以光速运动，在另一参考系中也以光速运动。这满足光速不变原理。

(1) 根据洛仑兹坐标变换，推导 x 方向上速度变换公式。 A飞船在地面上以 0.5c 的速度运动， B 飞船在地面上以 0.8c的速度同向运动，那么 B 飞船相对于 A 飞船的速度是多少？如果 B 飞船在地面上以 0.8c 的速度相向运动，结果又如何？


A 飞船在 S 系中速度为 u = 0.5c ， B 飞船在S 系中速度为 vx = 0.8c ， B 飞船在 S' 系中的速度

以地面为 S 系，以 A 飞船为 S' 系， B 飞船相对 A 飞船的速度就是 B 飞船在 S' 系中的速度。

21 /x

xx

v uv

v u c

可见：在同向运动时， B 飞船相对 A 飞船的速度大于 0.3c 。

如果 B 飞船与 A 飞船相向运动，则vx = -0.8c ，可得 B 飞船在 S' 系中的速度在相向运动时， B 飞船相对 A 飞船的速度仍然小于光速。

0.8 0.50.5

1 0.8 0.5x

c cv c

0.8 0.50.9286

1 ( 0.8) 0.5x

c cv c

|vx – u| 越大，则 |vx'| 越大，

但 |vx'| 不会超过光速。

当 u = -c 时，有 vx

' = c ，也说明相同的问题。

当 vx = -c 时，有 vx' = -c ；

当 vx = c 时，有 vx' = c 。

这是符合光速不变原理的。

当 u = c 时，有 vx' = -c ，说明

S' 系相对 S 系以光速前进时， S 系中一切物体，不管速度多大，在 S' 系中观察，都以光速后退。

(2) 根据洛仑兹坐标变换，推导 y 方向或 z 方向上速度变换公式以及总速度的变换公式。在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为 c ，而地球以速率 u 垂直于光线运动。求在地面上测量，这束星光速度的大小与方向如何？


[ 解析 ](2) 质点 P 在 S 系中速度的 y分量和 z 分量分别为 vy = dy/dt ， vz = dz/dt ，

对洛仑兹变换的 y 和 z 分量分别取微分得 dy' = dy ， dz' = dz ，

在 S' 系中速度的 y 分量和 z 分量分别为 v'y = dy'/dt' ， v'z = dz'/dt' ，

2

2 2

(1 / )dd

1 /xuv c t

tu c

可得洛仑兹速度变换的 y 分量和 z 分量的公式

21 /x

xx

v uv

v u c

2 2

2

1 /

1 /y

yx

v u cv

v u c

2 2

2

1.

/

1 /z

zx

v u cv

v u c



洛仑兹速度逆变换公式为

如果 u << c ，则得伽利略速度变换和逆变换

2,

1 /x

xx

v uv

v u c

2 2

2

1 /,

1 /y

yx

v u cv

v u c

2 2

2

1 /

1 /z

zx

v u cv

v u c

2,

1 /x

xx

v uv

v u c

2 2

2

1 /,

1 /y

yx

v u cv

v u c

2 2

2

1 /

1 /z

zx

v u cv

v u c

v'x = vx – u ， v'y = vy ， v'z = vz ；vx = v'x + u ， vy = v'y ， vz = v'z 。

{ 范例 13.3} 洛仑兹速度变换质点合速度的平方为

利用关系 v2 = vx2 + vy

2 + vz2 ，

可得变换后的速度大小

2,

1 /x

xx

v uv

v u c

2 2

2

1 /,

1 /y

yx

v u cv

v u c

2 2

2

1 /

1 /z

zx

v u cv

v u c

2 22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1[( ) (1 ) (1 )]

(1 / )x y z x y zx

u uv v v v v u v v

v u c c c

2 2 2 2

2 2

(1 / )(1 / )1

(1 / )x

v c u cv c

v u c

设 vz = 0 ，质点在 S 系中速度大小为 v ，方向角为 θ ，则 vx = vcosθ ， vy = vsinθ ，可得

2

cos,

1 cos /x

v uv

uv c

2 2

2

sin 1 /

1 cos /y

v u cv

uv c

质点在 S' 系中速度大小为2 2 2 2

2 2

(1 / )(1 / )1 ,

(1 cos / )

v c u cv c

vu c

速度的方向角为

arctan y

x

v

v

2 2sin 1 /arctan

cos

v u c

v u

当 θ = 0 或 π/2 时，可得一些特例。



如图所示，取太阳系为 S 系，地球为 S' 系。

星光在 S' 系中的速度为

星光在 S' 系中的速度分量为

即光速是不变的。

21 /x

xx

v uv u

v u c

2 2

2

1 /

1 /y

yx

v u cv

v u c

2 2c u

2 2x yv v v c

u

O x

地球

星光

y

cS

S'x'

y'

vy'

vx' θ'

太阳

O'

在 S 系中看地球以速度 u 运动，看星光的速度为 vx = 0 ， vy = c 。

星光在 S' 系中与 y' 轴的夹角，即垂直地面的夹角为

2 2

| |arctan arctan .x

y

v u

v c u

当 θ = 0 时， S 系中的速度只有 x 分量， vy 和 vy

' 恒为零， vy' 是一个水平

面。

当 θ = 0 时，变换后的速度 v' 如同一个“方边扁觜漏斗”，当 v = u时，可得 v' = 0 ，这就是“漏斗”的“底线”。

不论 v = c ，还是 u = c ，都可得 v' = c ，这就是“漏斗”的“方边”。

当 θ = 0 时，速度方向角形成三个台阶。

当 v > u 时， θ' = 0 ， v' 与 x 轴正向相同；当 v < u 时， θ' = ±π ， v' 与 x 轴正向相反。

当 θ = π/2 时， S 系中的速度只有 y 分量， vx 为零。

在 u 一定的情况下， vy' 随

vy 直线增加；在 vy 一定的情况下， vy

' 随 u 按椭圆规律变化。

当 θ = π/2 时，变换后的速度v' 如同一个“方边尖觜漏斗”，当 v = u = 0 时，可得v’ = 0 ，这就是“漏斗”的“底”。

只要 v = c ，或 u = c ，都有 v' = c ，这就是“漏斗”的“方边”。

当 θ = π/2 时，如果 v > 0 ，随着 u 从 -c 向c 变化，速度的方向角 θ' 正方向增加；

如果 v = 0 ， θ = π/2 是没有意义的。如果 v < 0 ，表示质点做

v > 0 ， θ = -π/2 的运动，随着 u 从 -c 向 c 变化，速度的方向角 θ' 负方向增加。

{ 范例 13.3} 洛仑兹速度变换

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