学案 2 洛伦兹力与现代科技

考点 1 洛伦兹力

1. 洛伦兹力的大小 f=qvBsin 当 =90 时， f=qvB ，此时，电荷受到的洛伦兹力最大； 当 =0 或 180 时， f=0 ，即电荷在磁场中平行于磁场方向运动时，电荷不受洛伦兹力作用； 当 v=0 时， f=0 ，说明磁场只对运动的电荷产生力的作用。 2. 洛伦兹力与安培力的关系：洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观体现。 由安培力公式 f=BIL 推导洛伦兹力公式 f=qvB 如图所示，直导线长为 L ，电流为 I ，导体中运动电荷数为 n ，截面积为 S ，电荷的电荷量为 q ，运动速度为 v ，则 安培力 F 安 =BIL=nf 洛， 所以洛伦兹力 f 洛 =f 安 /n=BIL/n 。 因为 I=NqSv(N 为单位体积内的电荷数 ) ， 所以 f 洛 =(NqSv·LB)/n=(NSL/n)·qvB ，式中 n=NSL ，故 f 洛 =qvB 。

洛伦兹力与电场力的比较 对应力 内容项目

洛伦兹力 f 电场力 F

大小 f=qvB(v⊥B) F=qE

与速度关系 v=0 或 v∥B ， f=0 与速度的有无、方向均无关力方向与场方向的关系

一定是 f⊥B,f⊥v 与电荷电性有关

正电荷与电场方向相同，负电荷与电场方向相反

做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功，也可能不做功

力 F 为零时场的情况

f 为零， B 不一定为零 F 为零， E 一定为零

作用效果 只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小

既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向

【例 1 】一个质量 m=0.1 g 的小滑块，带有 q=5×10-4 C 的电荷量，放置在倾角 =30° 的光滑斜 面上 ( 斜面绝缘 ) ，斜面置于 B=0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图所示， 小滑块由静止开始沿斜面滑下，其斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面。 求： (1) 小滑块带何种电荷？ (2) 小滑块离开斜面的瞬时速度多大？ (3) 该斜面的长度至少多长？

【解析】 (1) 小滑块沿斜面下滑过程中，受重力 mg 、斜面支持力 N 和洛伦兹力 f 。若要小滑块离开斜面，洛伦兹力 f 方向应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带负电荷。 (2) 小滑块沿斜面下滑时，垂直斜面方向的加速度为零，有qvB+N-mgcos=0 。 当 N=0 时，小滑块开始脱离斜面，此时， qvB=mgcos ，得v=mgcos/(qB)=0.1×10-3×10×( )/( 0.5×5×10-4 )m/s= m/s 。 (3) 下滑过程中，只有重力做功，由动能定理得mgssin=(1/2)mv2 ， 斜面的长度至少应是 s=v2/(2gsin)=( )2/(2×10×0.5) m=1.2 m 。

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此题是洛伦兹力与力学知识结合的题目，考查左手定则及平衡条件的应用、洛伦兹力大小的计算及洛伦兹力不做功等知识的综合应用。

1

带电为 +q 的粒子在匀强磁场中运动 , 下列说法中正确的是 ( )A. 只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B. 如果把 +q 改为 -q ，且速度反向大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均 不变C. 洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动 方向垂直D. 粒子只受洛伦兹力作用下运动的速度、动能均不变

B

考点 2 带电粒子在匀强电场中的运动

1. 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析方法 (1) 圆心的确定 基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。 有两种方法 ① 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心 ( 如图甲所示，图中 P 为入射点， M 为出射点 ) 。 ② 已知入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心 ( 如图乙所示， P 为入射点， M 为出射点 ) 。

(2) 半径的确定和计算 利用平面几何关系，求出该圆的可能半径 ( 或圆心角 ) 。并注意以下两个重要的几何特点： ① 粒子速度的偏向角 () 等于回旋角 () ，并等于 AB 弦与切线的夹角 ( 弦切角 ) 的 2 倍 ( 如图所示 ) ，即 ==2=t ② 相对的弦切角 () 相等，与相邻的弦切角 ( ) 互补，即 + =180 。 (3) 运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为 T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为时，其运动时间可由下式表示： t=(/360)T( 或 t=/(2)T) 。

2. 带电粒子在匀强磁场中和匀强电场中的运动特征 两种方式都可以使带电粒子发生偏转。 带电粒子在匀强电场中的运动是匀变速运动，其轨迹是抛物线 ( 若运动方向与电场方向不平行 ) ；带电粒子在匀强磁场中的运动是变加速运动，其轨迹是圆弧 ( 若运动方向与磁场方向不平行 ) 。 3. 由轨道半径： R=mv/(qB) ，周期： T=2m/(qB) 可知： T 与 v 、 R

无关；只与磁感应强度、荷质比有关。故有结论：荷质比相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中， T 、 f 与相同。 4. 带电粒子在有界磁场中的运动问题 (1) 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2) 当速度 v 一定时，弧长越长，轨道对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

1. 带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹具有一定的对称性，如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等，都是弦切角。在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。 2. 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的多解问题 (1) 带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 (2) 磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。 (3) 临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过 180 从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成多解。

【例 2 】如图所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B 。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度 v 射入磁场，电子束经过磁场区 后，其运动方向与原入射方向成角。设电子质量为 m ，电荷量为 e ，不计电子 之间相互作用力及所受的重力。求： (1) 电子在磁场中运动轨迹的半径 R ； (2) 电子在磁场中运动的时间 t ； (3) 圆形磁场区域的半径 r 。 【解析】 (1) 由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得

evB=mv2/R ， 解得 R=(mv)/(eB) 。 (2) 设电子做匀速圆周运动的周期为 T ，则 T=2R/v=(2m)/(eB) ，由如图所示的几何关系得圆心角 = ，所以 t=/(2)T=(m)/(eB) 。 (3) 由如图所示几何关系可知， tan(/2)=r/R ，所以 r=(mv)/(eB)tan(/2) 。

首先利用对准圆心方向入射必定沿背离圆心出射的规律，找出圆心位置；再利用几何知识及带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的相关知识求解。

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如图所示，直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30 角的同样速度 v 射入磁场 ( 电子质量为 m ，电荷量为 e) ，它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

【答案】 2mv/(eB) 4m/(3eB)

【例 3 】如图所示，匀强磁场的磁感应强度为 B ，宽度为 d ，边界为 CD 和EF 。 一电子从 CD 边界外侧以速率 v0 垂直射入匀强磁场， 入射方向与 CD 边界间夹角为 (0< <90) 。已知电 子的质量为 m ，电量为 e ，为使电子能从磁场的另 一侧 EF 射出，求电子的速率 v0 至少多大？ 【解析】当入射速率 v0 很小时，电子会在磁

场中转动一段圆弧后又从 CD 一侧射出，速率越大，轨道半径越大；轨道与边界 EF 相切时，电子恰好不能从 EF 射出，如图所示。当电子恰好射出时，由几何知识可得 r ＋ rcos ＝ d ① 又 r ＝ (mv0)/(Be) ② 解得 v0 ＝ (Bed)/[m(1+cos)]

故电子要射出磁场速率至少应为 (Bed)/[m(1+cos)]

速率 v0 增大时，电子的轨道半径也相应增大，画出粒子运动轨迹的渐变图，就能得到电子恰好射出磁场的临界条件。先画出带电粒子在磁场中的运动轨迹，再借助于轨迹进行分析，是解答此类问题的很好的方法。

【答案】

3一质量为 m ，电荷量为 q 的带负电的粒子，从 A 点射入宽度为 d 、磁感应强度为 B 的匀强磁场， MN 、 PQ 为该磁场的边界线，磁感线垂直于纸面向里，如图所示。带电粒子射入时的初速度与 PQ 成 45 角，且粒子恰好没有从 MN 射出。 ( 不计粒子所受重力 )

(1) 求该带电粒子的初速度 v0 ；(2) 求该带电粒子从 PQ 边界射出的 出射点到 A 点的距离 x 。

ddm

dqB

m

dqB)12(2)12(2)2(

)2-2()22()1(

或或

考点 3 洛伦兹力与现代技术

1. 带电粒子在复合场中运动规律的分析技巧 (1)复合场一般包括重力场、电场和磁场，本章所说的复合场指的是磁场与电场、磁场与重力场，或者是三场合一。 (2)三种场力的特点 ① 重力的大小为 mg ，方向竖直向下，重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与初、末位置的高度差有关。 ② 电场力的大小为 qE ，方向与电场强度 E 及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与初、末位置的电势差有关。 ③洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时， f=0 ；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时， f=qvB ；洛伦兹力的方向垂直于速度 v 和磁感应强度 B 所决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。

(3) 带电粒子在复合场中运动的处理方法 ① 正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提 a. 带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动 ( 如速度选择器 ) 。 b. 当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。 c. 当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段组成。 ②灵活选用力学规律是解决问题的关键 a. 当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解。 b. 当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。 c. 当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。

2. 比较“磁偏转”和“电偏转” “磁偏转”和“电偏转”是分别利用磁场和电场对 ( 运动 ) 电荷施加的洛伦兹力和电场力的作用，从而控制其运动方向和轨迹。由于磁场和电场对电荷的作用具备不同的特性，这使得两种偏转也存在着区别，现在比较如下：

由上表可看出，两类运动的受力情况及处理方法差别很大，要首先进行区别分析，再根据具体情况处理。

磁偏转 电偏转

受力特征

v 垂直 B 时， f=qvB

v 不垂直于 B 时， f=qvBsin(v 与 B 的夹角为

) ， F 为变力，只改变 v 方向

无论 v 是否与 E 垂直， F 电

=qE ， F 电为恒力

运动规律

v⊥B

匀速圆周运动T=2m/(qB) ， r=mv/(qB)

v0⊥E

类平抛运动vx=v0,vy=(qE/m)t

x=v0t ， y=qEt2/(2m)

偏转情况

若没有磁场边界限制，粒子所能偏转的角度不受限制， B=t=vt/r=(qB/m)t

E<(/2) ，因做类平抛运动，在相等的时间内偏转角度往往不等

动能变化 动能不变 动能不断增大且增大得越来越

快

1. 在判断电荷所受洛伦兹力方向或电场力方向时，首先认清判断的是正电荷还是负电荷的受力方向，其次看清判断的是洛伦兹力还是电场力，方可做出正确判断。 2. 带电粒子垂直射入匀强磁场中时，带电粒子将在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动；若带电粒子的入射方向与磁场方向既不平行也不垂直，则带电粒子将在磁场中做螺旋线运动。

【例 4 】如图所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，其质量为 m ， 电荷量为＋ q ，小球可在棒上滑动。将此棒竖直放在互相垂 直，且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度为 E ， 磁感应强度为 B ，小球与棒的动摩擦因数为。求小球由静止 沿棒下滑的最大加速度和最大速度。 ( 小球电量不变 )

【解析】此类问题必须用牛顿第二定律求解。小球的受力情况如图所示，由牛顿第二定律得 竖直方向 mg-f ＝ ma 水平方向 N=qE+qvB 且 f=N 解得 a=[mg-(qE ＋ qvB)]/m 显然当 v=0 时，加速度最大， am=(mg-qE)/m=g-qE/m

当 a=0 时，速度最大， vm=mg/(qB)-E/B

(1) 带电物体在复合场中做变速直线运动时，所受的洛伦兹力的大小不断变化，而洛伦兹力的变化往往引起其他力的变化，从而导致加速度的产生。 (2) 分析带电物体在复合场中的运动问题，与力学中相关问题的分析方法完全一致，只不过须注意同时分析电场力及洛伦兹力对带电物体运动的影响。

如图所示，直角坐标系 xOy 位于竖直平面内，在水平的 x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为 B, 方向垂直 xOy 平面向里，电场线平行于 y轴。一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电的小球，从 y轴上的 A 点水平向右抛出，经 x轴上的 M 点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从 x轴上的 N 点第一次离开电场和磁场， MN 之间的距离为 L, 小球过 M 点时的速度方向与 x轴正方向夹角为。不计空气阻力，重力加速度为 g, 求：(1) 电场强度 E 的大小和方向；(2) 小球从 A 点抛出时初速度 v0 的大小 ;(3)A 点到 x轴的高度 h 。 【答案】 (1)mg/q 方向竖直向上(2)(qBL)/(2m)cot (3)(q2B2L2)/(8m2g)

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