עצוממ...169 עצוממ - ' ו קרפ: עצוממה לערקחמבו הישעתב ,עדמב...

167

ממוצע

תוכן הענינים

170------ --- ---- מישרים שטחים1שיעור

174---- ----- --- ---- מבט לממוצע2שיעור

179-- ---- ---זוגות וממוצע, קבוצות3שיעור

184 - --- -- ----- - אחד בשביל כולם4שיעור

190-- --- --- ----- מצוינים בציונים5שיעור

168

ממוצע

'פרק ו

:דרישת תוכנית הלימודים

.הצגת מושג הממוצע�

.הדגמת הממוצע בדיאגרמת עמודות�

.חישוב ממוצע של קבוצת מספרים�

.הכרת תכונות הממוצע�

.אומדן ממוצע חשבוני�

.הגדרת החציון והבדלה בינו לבין הממוצע�

:מטרות

?להכיר את הממוצע דרך פעילויות המחייבות �

.דגים את הממוצע בתאור מצבים בדיאגרמת עמודותלה�

.לדעת לחשב ממוצע חשבוני�

.להתנסות בהתאמת קבוצות מספרים שונות לממוצע נתון�

.לדעת להבחין בין מקרים שבהם הממוצע הוא משמעותי לבין מקרים שבהם הממוצע אינו משמעותי�

ואינו קטן מהמספר , ל ביותר בקבוצהאינו גדול מהמספר הגדו, להבין כי הממוצע הוא ערך ביניים�

.הקטן ביותר בקבוצה

.שווה לאחד האיברים שבקבוצה, בהכרח, להבין כי הממוצע אינו�

.להבין כי הממוצע אינו בהכרח מספר שלם�

.לחשוב על ההשפעה של הוספת נתון על הממוצע�

.לטפח יכולת להעריך ולאמוד ממוצע חשבוני�

:יםבתום שיעורים אלה על התלמיד

.לדעת לחשב ממוצע חשבוני�

.להכיר את תכונות הממוצע ולהבין את משמעותן�

.לדעת לאמוד ממוצע חשבוני�

169

ממוצע-' פרק ו

:על הממוצע

.בתעשיה ובמחקר, במדע, יום-השימוש בסטטיסטיקה נפוץ בחיי היום

, ת נתונים סטטיסטייםקימת לישכה מרכזית לסטטיסטיקה שאוספ, כמו במדינות רבות אחרות, בישראל

איכות הסביבה , רפואה, כלכלה: כמו, החלטות רבות בתחומים, כמו כן. מנתחת אותם ומדווחת לציבור

.וביטוח מתקבלות על סמך נתונים סטטיסטיים

זאת עושים לצורך הצגת נתונים . אחת המטרות בסטטיסטיקה היא להפוך את הנתונים למידע משמעותי

.קנות מתוך הנתונים וחשיבה על העתיד מתוך המידע הקייםהסקת מס, בדרך משמעותית

. הינו אחד ממדדי המרכז בעיבוד נתוניםהממוצע

כדי לחשב את הממוצע של קבוצת נתונים מחברים את כל הנתונים ומחלקים את הסכום במספר

.הנתונים

סכום הנתונים

ר הנתונים מספ

:תכונות הממוצע

I. הוא אינו גדול מהמספר הגדול ביותר . מצא בטווח הנתוניםיהממוצע הוא ערך ביניים וחייב לה

.ואינו קטן מן המספר הקטן ביותר בקבוצה, בקבוצה

II. הממוצע אינו חייב להיות שווה לאחד מהאיברים של הקבוצה .

III. הכרח מספר שלם הממוצע אינו ב.

IV. הממוצע מושפע כמעט מכל הערכים הנתונים ובעיקר מערכים קיצוניים .

V. הממוצע של קבוצת מספרים משתנה אם מוסיפים לקבוצה מספר השונה מהממוצע .

. הממוצע יקטן-אם מוסיפים ערך קטן מהממוצע

. הממוצע יגדל-אם מוסיפים ערך גדול מהממוצע

. הממוצע לא ישתנה-אם מוסיפים ערך השווה לממוצע

.אך לא בכל מקרה הממוצע הוא משמעותי, ניתן לחשב ממוצע של כל קבוצת מספרים: הערה

אך אין טעם לחשב ממוצע גבהים של , יש טעם לחשב ממוצע גבהים של תלמידים בכיתה: לדוגמה

. משפחה שיש בה ילדים קטנים

הממוצע= הממוצע=

170

1שיעור ' פרק ו-מישרים שטחים

אינטואיטיביתחישוב הממוצע בדרך

:יעדים

.להכיר את מושג הממוצע דרך מצבים המחייבים להשוות כמויות�

.י השוואת מלבנים בדיאגרמת עמודות"להחשף למושג הממוצע ע�

.י שילוב נושאים אותנטיים"ין עילגרות את הקרנות והענ�

.לפתח יכולת לפתור שאלות מילוליות�

. את הדרך לפתרון שאלה מילוליתלפתח יכולת לכתוב תרגילים המתארים�

.לפתח אסטרטגיות שונות לפתרון שאלות�

.לחשוף את התלמידים למשימות שיש להן מרחב פתרונות פתוח�

:מיני שיעור

אביזרי השיעור זמן משוער הפעילות

דקות30 פעילות קבוצתית

בדידים , מקלות ארטיק קטנים, אבני לגו

יאגרמת המתאימים לבניית ד' וכדו3של

.מלבנים

דקות15 פעילות מורה

- כרטיסים המציגים את חלוקת הכסף ב3

. המשפחות3

.כרטיס מטבעות כדוגמת הכרטיס שבספר

.דפים גדולים וטושים

171

:על הפעילות הקבוצתית

ומומלץ להשתמש בעצמים " לעשות שיהיה שווה" בפעילות זו יוצג הממוצע כמצב המחייב :'סעיף א

. מוחשיים

המשימה עוסקת בסיטואציה המתארת חלוקת מקלות ארטיק לצורך יצירת תמונה במסגרת

שאילו , הקטנים מתלוננים. חלוקת המקלות נעשתה לפי גיל הקייטנים. שעת יצירה לקייטנים

.היו מקבלים יותר, היו מחלקים את המקלות שווה בשווה

יש להתבונן בשרטוט המייצג את חלוקת , כךלשם. התלמידים מתבקשים לדון בטענתם

כל ערמה של מקלות היא כמלבן . השרטוט הינו דיאגרמת עמודות. המקלות לפני השינוי

כלומר , י העברת מקלות מערמה לערמה יגיעו התלמידים ליישור השטח"וע, בדיאגרמה

:במהלך יישור השטח יבדקו התלמידים. למציאת הממוצע

? הוסיפולמי הורידו מקלות ולמי

?וכמה הוסיפו, הכל-כמה מקלות הורידו בסך

?לאיזה גובה הגיע המשטח הישר

?כמה מקלות קיבל כל אחד

ואילו היו מחלקים את , כי טענתו של ישי צודקת, במהלך ביצוע הפעילות יחושו התלמידים

.המקלות שווה בשווה היה מקבל יותר מקלות

כדי להציג מקרה נוסף של, מש באביזרים מוחשיים בשלב זה נדרשים התלמידים להשת:'סעיף ב

ניתן להציג זאת גם בשרטוט הדיאגרמה במקום המיועד . ( חלוקת מקלות בדיאגרמת עמודות

.י הורדת מקלות והוספתם"גם הפעם יש ליישר שטחים ע.) לכך בספר

. מספר המקלות שקיבל כל אחד בחלוקה שווה הוא הממוצע

.10 זה הממוצע הוא במקרה

לאחר שתי ההתנסויות מתבקשים התלמידים לעשות חשיבה רפלקטיבית על דרך עבודתם :'סעיף ג

עזר באביזריםיבלי לה, ולהציע דרך לחישוב מספר המקלות שיקבל כל ילד בחלוקה שווה

. מוחשיים או בשרטוט

.תלמידים לדרך חישוב הממוצעהמטרה בסעיף זה לכוון את ה

.הממוצע מתקבל מסכום המספרים המחולק במספרם

. יש לחשב את הממוצע של המספרים הנתונים בדרך שהציעו התלמידים בסעיף הקודם:'סעיף ד

. סעיף זה מיועד לקבוצות הזריזות או לתלמידים טובים:'סעיף ה

, אם ידוע, מחמשת הילדים בקבוצה הצעות שונות למספר המקלות שיש לכל אחד3יש להציע

.7שהממוצע הוא

4, 4, 8, 9, 10. א: הצעות אפשריות

3, 6, 8, 8, 10. ב

5, 6, 7, 8, 9. ג

172

:על פעילות המורה

במטרה לבדוק אם המשימה , צתיתבפעילות הקישור תוצג סיטואציה דומה לזו שנחקרה בפעילות הקבו

.הקבוצתית בוצעה כראוי

. המורה יציג את חלוקת הכסף למשפחות השונות:'סעיף א

ילדים4 ילדים למשפחת רימון 5 ילדים למשפחת צמח 6 למשפחת תמרי

.ח" ש120ל מתברר שכל משפחה קיבלה "בבדיקת הנתונים הנ

המורה ידון במליאה על הדרך שבה ניתן לחלק את הסכום שווה בשווה בין כל הילדים בכל

.משפחה

. אפשר להשתמש באביזרים מוחשיים להצגת דיאגרמת עמודות לכל משפחה, אם יש צורך

.ית הדיאגרמהיח לבנ" ש5רצוי להשתמש במטבעות של

:בהצגת הנתונים החדשים יתברר כך

.ח" ש20לד במשפחת תמרי יקבל כל י

.ח" ש24במשפחת צמח יקבל כל ילד

.ח" ש30במשפחת רימון יקבל כל ילד

. יש להדגים על הלוח את הדיאגרמה המתארת את החלוקה החדשה לאחת המשפחות:'סעיף ב

העמודות 4. כי דיאגרמה זו מתארת את החלוקה החדשה במשפחת רימון, התלמידים יגלו

.ח" ש30כל ילד קיבל . הילדים4 - מתאימות ל

.יש להדגים בכל קבוצה את החלוקה הראשונה של הסבא למשפחה זו

.המורה יאסוף את התוצרים מהקבוצות השונות ויבדוק את נכונותם במליאה

-כל אחד משלושת הקטנים ח" ש10

-כל אחד משני הבינוניים ח" ש25

ח" ש40 -הגדול

-כל אחד משני הקטנים ח" ש10

ח " ש30 -הבינוני -כל אחד משני הגדולים

ח" ש35

-כל אחד משני הקטנים ח" ש15

ח" ש40 -הבינוני ח" ש50 -הגדול

173

:על שיעורי הבית

רמת הפעילות פרוט הפעילות

. בשרטוט שבמשימה"ליישר שטחים"יש . א– 1משימה

. מקלות בכל עמודה5לאחר יישור השטח יתקבלו

אם , יש לקבוע כמה מקלות יהיו בכל טור. ב

מיישרים שטחים בשרטוט שמספר המקלות בעמודותיו

.6, 11, 3, 8, 12: הם

בחלק זה של המשימה יבצעו התלמידים חישוב ממוצע

.בדרך לא פורמלית

קשהכ "משימה לא כ

במשימה זו נתונים שרטוטים המתארים כמה – 2משימה

.כרזות הכין כל חבר בשתי קבוצות שונות

יישור "כדי לקבוע איזו קבוצה תנצח בתחרות יש לבצע

.הקבוצה שלה ממוצע גבוה יותר תנצח בתחרות". שטחים

כ קלה"משימה לא כ

אפשרויות למספר הגולות שיש לכל 2 יש להציע – 3משימה

אם ידוע שבחלוקה שווה יהיה , ד מבין שלושת הילדיםאח

.9לכל אחד

חשוב לבקש מהתלמידים להסביר את דרך עבודתם

.בתרגיל או בדרך מילולית, בשרטוט


174

2שיעור ' פרק ו-מבט לממוצע

חישוב הממוצע בדרך אלגוריתמית

:יעדים

.י שילוב נושאים אותנטיים"ין עילגרות את הסקרנות והענ�

.להבין את משמעות האלגוריתמים של חישוב הממוצע�

.לפתח יכולת הנמקה והצדקה�

.לפתח חשיבה יצירתית�

.לדעת לכתוב קבוצה של מספרים המתאימים לממוצע נתון�

.לחשוב על השפעת האפס בחישוב ממוצע של קבוצת מספרים�

.עות הממוצעלבצע מטלות המעידות על הבנת משמ�




.דפים וטושים דקות15 פעילות מורה

דקות10 פעילות יחידנית

175


שבמהלך העיסוק בה יכירו , הפעילות הקבוצתית שבשיעור זה מבוססת על סיטואציה מתמטית

. את הדרך לחישוב הממוצעהתלמידים

המידע על . שהתנדבו לכתוב מכתבים לילדים השוהים בבית חולים, הסיטואציה מתארת קבוצות נוער

.מספר המכתבים שכתבו מופיע בשתי רשימות

וברשימה נוספת נמצא הפרוט ' ברשימה אחת נמצא הפרוט למספר המכתבים שכתב כל חבר בקבוצה א

.'בקבוצה בלמספר המכתבים שכתב כל חבר

.התלמידים יעלו נימוקים שונים כדי להצדיק את קביעתם. יש לדון לאיזו קבוצה מגיע הפרס:'סעיף א

.יחשפו התלמידים לטיעונים שונים שאפשר להעלות בדיון על קביעת הקבוצה הזוכה' בסעיף ב:'סעיף ב

לטה ולכתוב תרגיל לדרך לנמק את ההח, בשלב זה יש לקבוע בכל קבוצה למי מגיע הפרס:'סעיף ג

יש לבדוק האם בבחירת הקבוצה הזוכה לקחו בחשבון שאחד הילדים , בנוסף. שהוצעה

.לא כתב כלל מכתבים' מקבוצה ב

, קבוצות שהחליטו לקבוע למי לתת את הפרס לפי מספר המכתבים שכתב כל אחד בממוצע:'סעיף ד

. גילו שהממוצע שווה בשתי הקבוצות

:'חישוב הממוצע של קבוצה א

10= 6

3131510811 +++++

:'חישוב הממוצע של קבוצה ב

10= 10

314101582511095 +++++++++

.ה החליטה הנהלת בית החולים לתת את הפרס לקבוצה שלישיתומאחר והתקבל ממוצע שו

כך , יש לכתוב הצעה למספר החברים שבקבוצה זו ולמספר המכתבים שכתב כל תלמיד

.10 -תקבל ממוצע גדול מיש


בשלב הראשון של פעילות הקישור תוצג סיטואציה שבמהלך הדיון עליה יבדוק המורה אם :'סעיף א

.הבינו התלמידים את הדרך לחישוב הממוצע

:המידע שלפיו יש לפעול הוא

.80היה ' מספר הצעצועים שהגיע מקבוצה א�

.60היה ' מקבוצה במספר הצעצועים שהגיע �

.'הנהלת בית החולים החליטה לתת את הפרס לקבוצה ב�

176

.לפי מידע זה יש לבדוק את האפשרויות הבאות

. יכול להיות- ילדים10' ילדים ובקבוצה ב20' בקבוצה א�

'הממוצע בקבוצה ב' הממוצע בקבוצה א: נימוק

4 = 20

80 6 =

10

60

. לא יכול להיות- ילדים20' ילדים ובקבוצה ב10' בקבוצה א�

'בקבוצה בהממוצע ' הממוצע בקבוצה א: נימוק

8 = 10

80 3 =

20

60


' הממוצע בקבוצה ב' הממוצע בקבוצה א: נימוק

10 = 8

80 10=

6

60


' הממוצע בקבוצה ב'הממוצע בקבוצה א: נימוק

5 = 16

80 4=

15

60

.חשוב לדעת כמה ילדים בכל קבוצה כי מספר זה הוא המחלק בחישוב הממוצע

בשלב זה יציג המורה במליאה את הדרך לחישוב הממוצע וידון בתכונות הממוצע לפי :'עיף בס

.ההכוונה שבספר

הממוצע הגבוה אינו בהכרח לקבוצה שבה , כאשר בודקים ממוצעים של שתי קבוצות שונות

. יותר מספרים או לקבוצה שבה נמצא המספר הגדול ביותר

177

:על הפעילות היחידנית


יתקבל , יש לחשב לאיזו קבוצה בכל זוג– 3משימה

.ממוצע גדול יותר

7,10,13 1,6,15,8,5,10,4

7 : הממוצע10: הממוצע

8,4,6,5,7 20,10,2,3,5,4,12

8 : הממוצע 6: הממוצע

12,6,0,10 8,0,16

8 : הממוצע7: הממוצע

6,6,6 2,1,5,10,0,0

: הממוצע6 :הממוצע3

24

משימה המיועדת לכולם

כל אחת מקבוצות יש לחשב את הממוצע של – 4משימה

.המספרים

7 : הממוצע5,12,3,13,2

8 : הממוצע9,0,11,12

3 : הממוצע2,8,1,0,4

איברים 4יש להציע שתי אפשרויות לקבוצה של , בנוסף

.5שהממוצע שלה

:הצעות אפשריות

2,10,4,4 5,6,8,1

משימה קלה

כך שיתקבל ,ם מספרים בבלונים יש לרשו– 5משימה

.הממוצע הנתון

.30יש להגיע לסכום , 10 הבלונים שהממוצע 3 -ב




ימות יש לכוון את התלמידים לבצע שתיים מבין המש

.המוצעות


178



. יש לחשב את הממוצע של כל קבוצת מספרים – 1משימה

' בבדיקת הממוצעים שהתקבלו יגלו התלמידים שלקבוצה א

וזאת משום , סכומים שווים וממוצעים שונים' ולקבוצה ב

.שמספר האיברים בכל קבוצה שונה

משימה קלה

יש לציין ליד כל . נתונות שתי קבוצות של מספרים– 2משימה

.היגד אם הוא נכון או לא נכון

-שבה מספרים רבים יותר, הממוצע הגדול הוא לקבוצה�

.לא נכון

-שבה מופיע המספר הגדול ביותר, הממוצע הגדול הוא לקבוצה�

.לא נכון

. לא נכון-הממוצע של שתי הקבוצות שווה�

. נכון-סכום המספרים של שתי הקבוצות שווה�

וכן להציע , יש לחשב את הממוצע של כל קבוצת מספרים, בנוסף

.שתי קבוצות מספרים שונות שיש להם ממוצע שווה


– 3משימה

כך שהממוצע הגדול יהיה , יש להציע שתי קבוצות של מספרים. א

.לקבוצה שבה מעט יותר מספרים

10,15,5 -'קבוצה א: ה אפשריתהצע

3,5,10,1,2 -' קבוצה ב

כך שהממוצע הגדול יהיה , יש להציע שתי קבוצות של מספרים. ב

.לקבוצה שבה יותר מספרים

1,5 -'קבוצה א: הצעה אפשרית

5,3,2,10 -' קבוצה ב

שסכומן שווה והממוצע , ספריםיש להציע שתי קבוצות של מ. ג

.שלהן שונה

4,5,11,10,10 -'קבוצה א: הצעה אפשרית

20,0,20 -' קבוצה ב

המשימות 3 משימות מבין 2יש לכוון את התלמידים לבצע

.שניתנו לשיעורי בית


179

= ≠

3שיעור ' פרק ו-זוגות וממוצע, קבוצות

הממוצעתכונות של

:יעדים

.להצביע על הקשר שבין סכום האיברים בקבוצה ומספר האיברים שבה לבין הממוצע�

.לחשוף את התלמידים למשימה שיש לה מרחב פתרונות פתוח�

.להבין כי הממוצע אינו חייב להיות אחד מאיברי הקבוצה�

.לחשוב על השפעת האפס בחישוב הממוצע�

.וצה אינו משפיע על הממוצעלהבין כי סדר האיברים בקב�

.ת קבוצות שונות של מספרים המתאימות לממוצע נתוןילהתנסות בבני�

.ית קבוצות של מספרים שסכומם שווה והממוצע שלהן שונהילהתנסות בבנ�

.אם מוסיפים לקבוצה מספר שונה מהממוצע, להבין כי הממוצע של קבוצת מספרים משתנה�

.ות שיש בהם מספרים עשרונייםלבצע חישובי ממוצע בקבוצ�




.כרטיסי מספרים כדוגמת הכרטיס שבספר דקות10 פעילות מורה

. בידי כל קבוצה≠כרטיסי

.דפים גדולים וטושים

דקות10 פעילות יחידנית

180

6 ,2 ,10 8 ,0 ,10

2 ,2 ,20 9 ,5 ,10

1 ,0 ,2 1 ,1 ,1

13 ,11 ,9 11 ,0

8 ,7 ,0 5 ,10 ,0 14 ,1 ,0

30,50 20,60

20 ,20 0 ,40

:ל הפעילות הקבוצתיתע

.בפעילות הקבוצתית שבשיעור זה יחקרו התלמידים את תכונות הממוצע

. יש למצוא את הממוצע של כל אחת מקבוצות המספרים הנתונות:'סעיף א

.6 מספרים והממוצע 3 יש להציע אפשרויות שונות לקבוצה שבה :'סעיף ב


.8 מספרים והממוצע 3בוצה שבה יש להציע אפשרויות שונות לק


.1 מספרים והממוצע 3יש להציע אפשרויות שונות לקבוצה שבה


שכן , 9המספר השני הוא . 3 ואחד המספרים הוא 6כי הממוצע של שני מספרים הוא , ידוע:'סעיף ג

.12סכום שני המספרים צריך להיות

.ההצעה של יוני נכונה. 11 ואחד המספרים הוא 11 מספרים הוא 3כי הממוצע של , ידוע

:הצעות נוספות לקבוצת המספרים

. ואחד המספרים הוא אפס5שהממוצע שלהם , מספרים3 אפשרויות לקבוצה של 3יש להציע

' אפשרות ג' אפשרות ב' אפשרות א

.לשתי הקבוצות ממוצע שווה. 24 מספרים שסכומם 6 קבוצות שבכל אחת מהן 2 יש להציע :'סעיף ד

יהיה ממוצע גדול יותר או קטן יותר 24 מספרים שסכומם 8יש לקבוע האם לקבוצה שבה

.מהממוצע הקודם

.6 - ו24 קטנה מהמנה של 8 - ו24התלמידים יסיקו כי הממוצע קטן יותר כיון שהמנה של

. מספרים12אז בקבוצה , 2 והממוצע 24כי סכום המספרים בקבוצה הוא , אם ידוע

. האם הממוצע שווה, בכל זוג של קבוצות נתונות, ללא חישוב, במשימה הקבוצתית הנוספת יש לקבוע

.יש לקבוע לאיזו קבוצה ממוצע גדול יותר ולנמק, אם לא

' קבוצה ב' קבוצה א

.ממוצע גבוה יותר כיון שסכום המספרים שבה גדול יותר' לקבוצה ב

'קבוצה ב' קבוצה א

.לשתי הקבוצות ממוצע שווה

' קבוצה ב ' קבוצה א

.וצות ממוצע שווהשתי הקבל

8,20 8,70

181

9 ,9 ,2 9 ,2 ,2

8 ,8 8 ,8 ,8 ,8 ,8

1 ,1 ,1 ,1 ,4 4 ,4

30 ,30 ,30 70 ,20

' קבוצה ב' קבוצה א

ככל שהמחלק קטן יותר המנה גדולה , אם המחולק שווה והמחלקים שונים, ממוצע גדול יותר' לקבוצה ב

.יותר

' וצה בקב' קבוצה א

.ממוצע גדול יותר כיון שסכום המספרים שלה גדול יותר' לקבוצה א


.לשתי הקבוצות ממוצע שווה


כל שהמחלק קטן יותר המנה גדולה אם המחולק שווה והמחלקים שונים כ. ממוצע גדול יותר' לקבוצה ב

. יותר


.בפעילות הקישור ידון המורה במליאה על תכונות הממוצע

. יש להצמיד ללוח כרטיס ועליו קבוצת מספרים:'סעיף א

.6הממוצע הוא

.8 -ישתנה הממוצע ל, 12בהוספת המספר . הממוצע לא ישתנה6בהוספת המספר

אך מספר האיברים בקבוצה קטן , סכום המספרים אינו משתנה0 -ם את הכאשר משמיטי

.והממוצע גדל

.9 הממוצע – 27 מספרים הוא 3סכום � :'סעיף ב

.20 מספרים שסכומם הוא 4יש להציע . 5 מספרים הוא 4הממוצע של �

התלמידים . קבוצות של מספרים2 כרטיסים ועליהם זוגותבפעילות הקישור הנוספת יש להציג על הלוח

. ירימו או לכל זוג

5 ,0 ,12 ,10 ,3

:יש להרים

= ≠

5,10

5,0,10

15,25

7,7

5,18

5,3,7

10,15,15

7,7,7

:ש להריםי

:יש להרים

:יש להרים

≠

=

≠

=

182

:על הפעילות היחידנית


. יש לחבר בקו קבוצות מספרים שלהם ממוצע שווה– 5משימה

פר אם פועלים נכון עוברים דרך המס, למשימה זו יש בקרה

.שמציין את הממוצע


. יש להשלים מספרים לממוצע הנתון– 6משימה


1, 9 3, 8, 4, 5 1, 4, 10 5ממוצע . א

1, 0, 0, 39 20, 5, 10, 5 10, 20, 0, 10 10ממוצע . ב

משימה קלה

.צע הנתון יש להשלים מספרים לממו– 7משימה


10, 2, 2, 6 1, 10, 9, 0 5, 5, 6, 4 5ממוצע . א

10, 10, 20, 5, 5 5, 5, 20, 10 10, 5, 15 10ממוצע . ב

. המשימות המוצעות3 מבין 2יש לכוון את התלמידים לבצע



מת הפעילותר פרוט הפעילות

יש לחשב את הממוצע של כל אחת מהקבוצות – 1משימה

.ולקשר אותן למשאית המתאימה כ קשה"משימה לא כ

כך שיתקבלו , יש לאסוף מספרים לקבוצות– 2משימה

.הממוצעים הנתונים

:דוגמאות

.5 ממוצע – 1, 9, 0, 10

.10 ממוצע – 11, 9

.8 ממוצע – 5, 1, 4, 17, 13

יתמשימה בינונ

183

יש למצוא בכל שורה את קבוצת המספרים – 3משימה

.שהממוצע שלה שונה מממוצע הקבוצות האחרות באותה שורה

:פתרונות

0, 5, 10, 15, 20: הקבוצה השונה היא-'א

6.36, 3.64: הקבוצה השונה היא-'ב

2, 0, 8, 2: הקבוצה השונה היא-'ג


:תרונות פ- 4משימה

-'סעיף א

נתונה קבוצת המספרים

35 ,25.2 ,16.1 ,3.7

20: ממוצע המספרים הוא

:הצעה אפשרית לקבוצה אחרת שלה ממוצע שווה

25 ,15

-'סעיף ב

.5הממוצע של המספרים האי זוגיים בעשרת הראשונה הוא

-'סעיף ג

.1קבוצת מספרים שהממוצע שלהם

2, 0, 11:הצעה אפשרית

-'סעיף ד

הממוצע 5 לקבוצה שהממוצע שלה 5אם מוסיפים את המספר

.לא משתנה

. הממוצע יקטן5 -אם מוסיפים מספר קטן מ

. הממוצע יגדל5 -אם מוסיפים מספר גדול מ

-'סעיף ה

. קבוצות של מספרים שסכומם שווה והממוצע שונה2יש להציע

0 ,6 ,12 ,2 15 ,5

ון שעוסקת בחקירת תכונות כי, משימה זו מדורגת כקשה

. הממוצע

משימה קשה

יש לאסוף קטעי עיתונות שיש בהם נתונים – 5משימה

.המתאימים לקביעת ממוצע

משימות מבין המשימות 3יש לכוון את התלמידים לפתור

.המוצעות בספר


184

4שיעור ' פרק ו-אחד בשביל כולם

המשך–תכונות של הממוצע

:יעדים

.י שילוב נושאים אותנטיים"ן עילגרות את הסקרנות והעני�

.להתנסות בהבנת הנקרא ובאיתור מידע רלוונטי�

.לדעת לקרוא נתונים מתוך דיאגרמת עמודות�

.לטפח כישורי הערכה ואומדן של ממוצע חשבוני�

.לפתח יכולת הנמקה והצדקה�

.ם המשפיעים על הממוצעלחשוב על ערכים מספריים בקבוצת נתוני�

.לדעת לחשב ממוצע של נתונים המוצגים בדיאגרמת מלבנים�

שאינו גדול מהמספר הגדול ביותר בקבוצה ואינו קטן מהמספר , להבין כי הממוצע הוא ערך ביניים�

.הקטן ביותר בקבוצה

.לדעת כי הממוצע אינו בהכרח מספר שלם�

.לדעת להבדיל בין ממוצע לבין הציון�

.לחשוב על כך שהממוצע אינו חייב להיות שווה לאחד מאיברי הקבוצה�

.לבצע מטלות המעידות על הבנת משמעות הממוצע�

185



דקות20 פעילות מורה

קטעי עיתונות שיש בהם נתונים לקביעת

.ממוצע

.דפי חשבון חשמל של תלמידי הכיתה

דקות10 ילות קבוצתיתפע

.מדבקות כמספר תלמידי הכיתה דקות15 פעילות מורה

186


.בשיעור זה ימשיכו התלמידים לחקור את תכונות הממוצע

השיעור פותח בפעילות הקניה של המורה העוסקת בניתוח דיאגרמת מלבנים המתארת את ההתפלגות

.ל השימוש בחשמלהשנתית ש

כ יתנסו התלמידים בחקירה עצמית של "ורק אח, דרך פעילות זו ידון המורה במליאה בתכונות הממוצע

.תכונות הממוצע

בפתיחת השיעור ישוחח המורה עם התלמידים על הדרך שבה מספקת חברת החשמל מידע לצרכנים על

אגרמת עמודות המתארת את תצרוכת כי לכל חשבון חשמל מצורפת די, המורה יסביר. השימוש בחשמל

.כל מלבן מציין את צריכת החשמל בחודשיים האחרונים. החשמל השנתית

רצוי להציג אותה בכרטיס גדול על הלוח או על שקף , המורה יציג את הדיאגרמה של משפחת הררי

.במטול

י הצריכה הגבוההכ, ויגלו, יתה הצריכה הגבוהה ביותרי התלמידים יבדקו באילו חודשים ה:'סעיף א

) ספטמבר-אוגוסט. (יתה בחודשי הקיץי ה

כי הצריכה הנמוכה , ויגלו, יתה הצריכה הנמוכה ביותרי התלמידים יבדקו באילו חודשים ה:'סעיף ב

. ינואר-יתה בחודשים דצמבריביותר ה

.ש לחודשיים" קוט3,000 ,בערך, יתה הצריכהי בשאר החודשים ה

, תל אביב או אילת, צפת, בירושלים, התלמידים ינסו לשער באיזו עיר מתגוררת משפחת הררי: 'סעיף ג

. כי חשבון החשמל מתאים ביותר למשפחה המתגוררת בעיר תל אביב, ויסיקו

משימוש , נראהכ, ספטמבר הושפעה-יתה בחודשים אוגוסטישה, תצרוכת החשמל הגדולה

כ תצרוכת החשמל בחודשים אילו אינה "באזור תל אביב לא קר מאוד בחורף וע. במזגן קירור

.גבוהה במיוחד

כ "של משפחת הררי ורק אח) לחודשיים( התלמידים ישערו מהו ממוצע תצרוכת החשמל :'סעיף ד

.יתה נכונהיי חישוב אם השערתם ה"יבדקו ע

כיון שהוא גבוה יותר מהתצרוכת המתוארת בכל , אינו יכול לציין את הממוצע6,000המספר

.מלבן

כיון שהוא נמוך יותר מהתצרוכת המתוארת בכל , אינו יכול לציין את הממוצע2,400המספר

)מלבד מלבן אחד. (מלבן

. הוא הממוצע3,600המספר

התלמידים התבקשו להביא (, פחתם התלמידים יבדקו את הדיאגרמה בחשבון החשמל של מש:'סעיף ה

יקבעו את ממוצע צריכת החשמל וינסו לשער מה השפיע על .) לשיעור את חשבון החשמל

. הממוצע שהתקבל

. התלמידים יציגו במליאה קטעי עיתונות שהובאו ויש בהם נתונים לקביעת ממוצע:'סעיף ו

187

:יתעל הפעילות הקבוצת

.בפעילות זו ידונו התלמידים בתכונות הממוצע

שהתקבל מהתחנה לבריאות המשפחה על הגובה הממוצע של , התלמידים יחשפו למידע:'סעיף א

.'תלמידי כיתה ה

:בדיון בסעיפים השונים יסיקו התלמידים

.הממוצע אינו גדול מהמספר הגדול ביותר בקבוצה�

.יותר בקבוצההממוצע אינו קטן מהמספר הקטן ב�

.הממוצע אינו קובע שמחצית מהמספרים בקבוצה גבוהים ממנו ומחצית מהם נמוכים ממנו�

.הממוצע אינו חייב להיות שווה לאחד מאיברי הקבוצה�

בין , שבדרך כלל, שגובהם קרוב לממוצע כיון, שיש קבוצה לא מועטה של ילדים, סביר להניח�

.וכים והשאר בינונייםילדי הכיתה נמצאים מעט גבוהים מעט נמ

.' תלמידי כיתות ה5 התלמידים יחשפו למידע אודות המשקל הממוצע שהתקבל מבדיקת :'סעיף ב

, 30כי משקלם הממוצע הוא , אם ידוע100 התלמידים הוא 5לא יתכן שהמשקל הכולל של �

100 : 5 ≠ 30שהרי

.לפי הממוצע הנתון, יש להציע משקלים לחמשת חברי הקבוצה�

24, 28, 33, 29, 36. א: ות אפשריותהצע

23, 29, 40, 31, 27. ב

כיון שהממוצע אינו קטן מהמספר הקטן ביותר , 35שמשקל הילד הקל ביותר הוא , לא יתכן�

.בקבוצה

כיון שהממוצע אינו גדול מהמספר הגדול , 25שמשקל הילד הכבד ביותר הוא , לא יתכן�

. בקבוצהביותר


. יסכם המורה את תכונות הממוצע לפי השאלות המכוונות שבספר3במשימה

.אך לא בכל מקרה הממוצע הוא משמעותי, חשוב להדגיש כי ניתן לחשב ממוצע של כל קבוצת מספרים

, ם שלהםאו את ממוצע מספרי הנעליי, יש טעם לחשב את ממוצע המשקלים של ילדים בכיתה: לדוגמה

.אך אין טעם לחשב את ממוצע המשקלים או מספרי הנעליים של משפחה שיש בה ילדים קטנים

יאסוף המורה מידע על מספרי הנעליים של התלמידים בכיתה ויארגן אותו בדיאגרמת 4במשימה

.עמודות לפי ההכוונה שבספר

.מודות מתאימה יש לאסוף את המידע מכל תלמידי הכיתה ולארגן דיאגרמת ע:'סעיף א

התלמידים יחשבו את ממוצע של מספר הנעליים בכיתתם והמורה ידון במליאה בדרך שבה :'סעיף ב

.חישבו את הממוצע

188

אי אפשר לא נכון נכון לדעת

לא נכון

אי אפשר לדעת

נכון



לא נכון

לא נכון

לא נכון

הפעילות שבספר מציגה דיאגרמת עמודות שהתקבלה מכיתה במטרה לכוון את המורה לפעול

. כך בכיתתו

.ונות הממוצע בשלב זה יש לבדוק אם הבינו התלמידים את תכ:'סעיף ג

בידי כל קבוצה הכרטיסים

לבין הצגת המורה יסביר לתלמידים את ההבדל בין הצגת כרטיס

הכרטיס

שניתן לקבוע עליהן , יש טענות הנובעות מתכונות הממוצע, כאשר חוקרים ממוצע כלשהו

.כיון שהמידע כולו אינו נתון, בוודאות שהן נכונות או לא

מייצג את ממוצע מספרי הנעליים של 36כי המספר , ת הטענות הנשענות על המידעבבדיק

:יש לענות כך', תלמידי כיתות ה

36כל תלמידי הכיתה נועלים נעליים מספר �

36יש בכיתה תלמידים שנועלים נעליים מספר �

36מספר הנעליים הגדול ביותר בכיתה הוא �

36יתה הוא מספר הנעליים הקטן ביותר בכ�

36 -למחצית מתלמידי הכיתה נעליים שמספרן גבוה מ�

36 -שמידת הנעליים שלהם קטנה מ, יש בכיתה תלמידים�

. 36 -ויש שמידת הנעליים שלהם גדולה מ

אחת . כי ממוצע הוא אחת הדרכים לעיבוד של נתונים,סיכום הפעילות יסביר המורהב :'סעיף ד

יבינו התלמידים כי בית חרושת , בסעיף זה. תונים היא הסקת מסקנותהמטרות של עיבוד הנ

.'עשה שימוש בנתונים שהתקבלו על ממוצע מספרי הנעליים של תלמידי כתות ה" גרביים"

189



משימה זו באה לבדוק אם הבינו התלמידים את – 1משימה

.תכונות הממוצע

, ויש לקבוע לגבי כל טענה אם היא נכונה, נתון ממוצע מסוים. א

.לא נכונה או שאי אפשר לדעת

.יש לחשב את הממוצע לנתונים שהוצגו. ב


.' יש לדון בשאלות לפי המידע שמופיע בסעיף א– 2משימה

.39 ילדים הוא 5ידוע שהמשקל הממוצע של . א

.שב את משקלם הכוללבעזרת מידע זה ניתן לח

.ג" ק200יוכלו להכנס למעלית הנושאת עד , ועל כן, 39 × 5 = 195

ל " הילדים לפי הסכום הנ5 -יש להציע משקלים אפשריים ל. ב

.ובהתחשב בממוצע שלהם

.שחבר נוסף יצטרף אליהם בעת עליתם במעלית, אין אפשרות. ג

לעלות ג לא יוכלו " ק80 מבוגרים שמשקלם הממוצע הוא 3. ד

.80 × 3 = 240שהרי , במעלית

כיון שהממוצע אינו יכול להיות גדול , צחי טעה בחישובו. ה

.מהמספר הגבוה ביותר בקבוצה


- 3משימה

תינוקות וכן 6במשימה זו נתון מידע על משקל הלידה של . א

.מידע על משקל הלידה הממוצע

.יש לענות תשובות לפי המידע הנתון

.נתון מידע על משקל תינוקות בגיל חצי שנה. ב

.יש לענות תשובות לפי מידע זה ולפי טבלת המשקלים הנתונה

יש בה , כיון שהיא ארוכה, משימה זו מדורגת כמשימה קשה

.הרבה מלל וכן דורשת חשיבה ברמה גבוהה

יש לכוון את התלמידים לבצע שתי משימות מתוך שלוש

.המשימות שהוצעו

קשהמשימה

190

5שיעור ' פרק ו-מצוינים בציונים

על ציונים וממוצעים

:יעדים

.י שילוב נושאים אותנטיים"ין עילגרות את הסקרנות והענ�

.להתנסות בפתרון שאלות מילוליות העוסקות בחישובי ממוצע�

.לטפח כישורי הערכה ואומדן של ממוצע חשבוני�

.שבקבוצה ומספר האיברים שבה לבין הממוצע המתקבללחשוב על הקשר שבין סכום האיברים �

.להחשף למשימות שיש להן מרחב פתרונות פתוח�

.ןת קבוצות שונות של מספרים המתאימות לממוצע נתוילהתנסות בבני�

.אם מוסיפים לקבוצה מספר שונה מהממוצע, להבין כי הממוצע של קבוצת מספרים משתנה�

.מספרים שיש להן ממוצע שווהלחשוב על קבוצות שונות של �




.כרטיס מספרים להדגמה על הלוח דקות15 פעילות מורה

191


.בשיעור זה ידונו התלמידים בהשפעת הוספת נתון על הממוצע

.ים של מיכאל ושל מאיר נתונים ציוני מבחנ:'סעיף א

.יש לדון מי מהם יוכל להבחן לפי התנאים שהציב המורה

אם יקבל בו , שרק מיכאל יוכל להבחן במבחן נוסףבחישוב ממוצעי הציונים שלהם מתברר

שכן גם אם יקבל בו , מאיר אינו יכול להבחן במבחן נוסף . 85.6 יהיה הממוצע שלו 100%

.ממוצע זה אינו מתאים לדרישתו של המורה. 80 יהיה הממוצע של ציוניו 100%

.85 תלמידים שממוצע הציונים שלהם הוא 3 יש לרשום הצעות לציוני מבחנים של :'סעיף ב

78, 90, 90, 82: הצעה אפשרית

. מבחנים ושונה רק במבחן אחד3 - מתקבל מציון שווה ב85יתכן שממוצע

90, 90, 90, 70: לדוגמה

:יוני מבחנים של שני תלמידים נתונים צ:'סעיף ג

100, 69, 60, 95 –ציוני המבחנים של דוד

85, 80, 88, 79 –ציוני המבחנים של שאול

אפשר לדון בנתונים . כ לחשב את הממוצע"למי מגיע ציון טוב יותר ואח, בלי לחשב, יש לשער

ואילו ציוניו של ואינם מעידים על רמת הישגים קבועה , ולקבוע כי ציוניו של דוד די תמוהים

.שאול משקפים את רמת הישגיו

.83ממוצע הציונים של שאול הוא .81ממוצע הציונים של דוד הוא

.80, 97, 91, 84: נתונים ציוני מבחנים של איתן:'סעיף ד

.88ממוצע הציונים של איתן הוא

גיו של איתן מהם גבוהים יותר מהיש3 - ציונים אחרים ש4רשימה של , אם אפשר, יש להציע

. זאת הממוצע שלהם נמוך יותר-ובכל

.85.25ממוצע הציונים להצעה זו הוא 81, 98, 92, 70: הצעה אפשרית

כיון ששלושת הציונים הגבוהים יותר , במקרה זה התקבל ממוצע נמוך מהממוצע הקודם

ן הרביעי של קרובים מאוד לציוניו של איתן ואלו הציון הרביעי נמוך באופן משמעותי מהציו

. הפרש זה השפיע על הממוצע הנמוך. איתן

לכל 1יש לדון על שינוי שיהיה בממוצע אם יוסיפו . בפעילות הקבוצתית הנוספת נתונה קבוצת מספרים

. לכל אחד מהמספרים100 - לכל אחד מהמספרים ו3, אחד מהמספרים

לכל 3כאשר מוסיפים , 1 -מוצע ביגדל המ, לכל אחד מהמספרים1התלמידים יסיקו כי כאשר מוסיפים

.וכן הלאה, 3 -יגדל הממוצע ב, אחד מהמספרים

.1 -יש לשנות את המספרים כך שהממוצע יגדל ב, נתונה קבוצת מספרים, בהמשך המשימה

8, 12, 3, 7, 5: קבוצת המספרים הנתונה היא

.1 -כך שהממוצע יגדל ב, הצעות אפשריות לשינוי קבוצת המספרים

192

9, 13, 4, 8, 6. 1 - אחד מהמספרים בכל הגדלת –' הצעה א

13, 12, 3, 7, 5: לדוגמה. 5 - המספרים באחד הגדלת –' הצעה ב

10, 15, 3, 7, 5: לדוגמה. 3 - ומספר נוסף ב2 - הגדלת מספר אחד ב–' הצעה ג

.6 -יש לשנות את אחד המספרים ברשימה כך שהממוצע יגדל ב, בנוסף

שהרי אם נגדיל את הסכום , 6 - כך שהממוצע יגדל ב30 -ב) לפי בחירה(אחד המספרים ניתן להגדיל את

.13 תתקבל המנה 5 - וכאשר נחלקו ל65 יתקבל המספר 30 -הנתון ב

. מהממוצע הקודם6 -מספר זה גדול ב

ה בין שלוש30ניתן לפזר את התוספת של , 6 -כך שהממוצע יגדל ב, מספרים3 -אם רוצים לבצע שינוי ב

.מספרים באיזה אופן שרוצים

.18, 22, 13, 7, 5: כלומר, מספרים שברשימה3 כל אחד מבין 10 -להגדיל ב: הצעה אפשרית


בפעילות הקישור יש לבדוק אם הבינו התלמידים כיצד משפיע נתון קיצוני על הממוצע וכן כיצד משפיעה

. הממוצעהגדלה של כל אחד מהמספרים בקבוצה על

.8הממוצע של שתי הרשימות הוא , נתונות שתי רשימות של ציונים:'סעיף א

במקרה שלו יש לבדוק מהי . מעוררת דיון על השפעת נתון קיצוני על הממוצע, טענתו של אורי

.שלון החד פעמייהסיבה לכ

. יש להצמיד ללוח כרטיס ועליו רשימת מספרים:'סעיף ב

.5 -כדי להגדיל את הממוצע ב, 5פרים יש להוסיף לכל אחד מהמס

.1 -הממוצע יגדל ב, לכל אחד מהמספרים1אם מוסיפים

.200 -הממוצע יגדל ב, 200 -אם מגדילים כל אחד מהמספרים ב



אפשר . יש לחשב את ממוצע הציונים בכל קבוצה– 1משימה

.להשתמש במחשבון

בצד ימין של הפעילות מופיעים הממוצעים . ות זו יש בקרהלפעיל

.המתקבלים

משימה קלה

כ לחקור "ואח, יש לחשב את הממוצע של קבוצת נתונים– 2משימה

.את הממוצע שהתקבל כ קשה"משימה לא כ

193

.2 -הממוצע יגדל ב, לכל איברי הקבוצה2אם מוסיפים �

.3 -הממוצע יגדל ב, לכל איברי הקבוצה3אם מוסיפים �

מספרים אחרים שלהם ממוצע השווה לממוצע 4יש להציע , כמו כן

.של הקבוצה הנתונה

נתונות שתי קבוצות של מספרים המציינות את מספר – 3משימה

.הדיירים בשני בנינים סמוכים

.יש לדון בהיגדים הרשומים ולקבוע אם הם נכונים או לא נכונים. א

. לא נכון–ה ממוצע גדול יותר בבנין בו יש יותר משפחות יהי�

נים ממוצע של הדיירים למשפחה זהה למספר הדיירים נייבאחד הב�

. נכון–באחת המשפחות

בבנין זה . 14הדקל ' היגד זה מתאים לממוצע שהתקבל מדיירי רח

4ואכן יש בו משפחה המונה , 4הממוצע למספר הדיירים בדירה הוא

.דיירים

את הממוצע 2 - מאוכלסות מקטינה ב דירות שאינן2הוספה של . ב

.4 - והפך ל6הממוצע היה . 16הדקל ' של דיירי רח

.1 -גם הממוצע גדל ב, נוסף ילד אחד לכל משפחה14ברחוב הדקל . ג


. נתונים ציוני מבחנים של שני תלמידים– 4משימה

ם גבוה למי מהילדים ממוצע ציוני, ללא חישוב, יש לנסות לקבוע. א

.יותר

10, 6, 7, 7, 6, 10, 10: הציונים של אלעד הם

10, 9, 9, 9, 8: הציונים של אריאל הם

כי ממוצע הציונים של אריאל גבוה , אפשר לקבוע גם ללא חישוב

.יותר

, 8בחישוב הממוצע מתברר כי ממוצע הציונים של אלעד הוא . ב

.9וממוצע הציונים של אריאל הוא

מת ציונים נוספת שהממוצע שלה הוא כמו ממוצע יש להציע רשי. ג

ורשימת ציונים אחרת שהממוצע שלה הוא כמו , הציונים של אלעד

.של אריאל

יוכל , הוא טוען שאם יבחן במבחן נוסף. יש לדון בטענתו של אלעד. ד

.להגיע לממוצע הציונים של אריאל

יה במבחן הנוסף יה, 10גם אם יקבל : הנימוק. טענתו אינה נכונה

.66 : 8 = 8.25שהרי , 8.25הממוצע החדש

.ממוצע זה עדיין נמוך מהממוצע של אריאל

משימות מבין המשימות 3 או 2יש לכוון את התלמידים לבחור

.שהוצעו


עצוממ...169 עצוממ - ' ו קרפ: עצוממה לערקחמבו הישעתב ,עדמב...

Documents