М.Г.Гоман, А.В.Храмцовский (1997) - Анализ устойчивости...
DESCRIPTION
М.Г.Гоман, А.В.Храмцовский "Анализ устойчивости "в большом" в нелинейных задачах динамики", доклад на конференции AIAA Guidance, Navigation, and Control Conf., AIAA Paper 97-3721, 1997 г. В статье описываются численные методы анализа устойчивости "в большом". Представлены результаты расчетов областей устойчивости стационарных установившихся режимов движения для различных нелинейных задач динамики пол\"ета, таких как инерционное вращение, сваливание, штопор и др. M.G.Goman, A.V.Khramtsovsky "Global Stability Analysis of Nonlinear Aircraft Dynamics", presented at AIAA Guidance, Navigation, and Control Conf., AIAA Paper 97-3721, 1997. Global stability analysis of dynamical system implies determination of all the system's attractors and their regions of asymptotic stability. Numerical methods necessary for global stability analysis are outlined: SSNE algorithm for systematic search of all the solutions of nonlinear system of equations, and two algorithms for computing cross-sections of asymptotic stability region boundaries. Results obtained during investigation of aircraft roll-coupling problem are presented as an example of global stability analysis.TRANSCRIPT
������ ����� �� � ������ ���������� �������
�������� �����
����� ����∗ ������ �� ����†
���������� ���������������� �� �������� �������� � ��� �� !"#!$#% &����'%()*+,-. */0*12034(5�203*+,-�60*
������� ��������
� ������ �������� ������� ����� ������� ���������� �� ��������� ������������ ��������� ��������� �������� �������������������� ����������� �� ��� �� ��� �� ������� �������� ����� ����!�������" ��!� !�! ��������� ���#���" ���������" ������ ���
�������
� ����� #�� ���� �� ��������� ��������� ����� ����! �������" ��!� !�! ������"��������" ��������� ���#���" ��$�� ������������� ����� ���� �������� ��������!� ����� �%��!������$� �������� &��$� ����� ����! ������� ���� �� "�� ������� ����#�� �" ! ������ ��������� ��������� �������!� �����" ��������� !����� �� ����� � ���������� ��� �� ��� �����!�����" ��� ������� ���!� ������ �� �����#�� �� ���� �� �%���!������ ����� ��� �� ��!�� ������� ������� �� �� ����������" �� ��!����� �!�!��$������� �� ����������!�� ������" � ������� �� ������ ����������� �'����������!� ����!�����!" ��� ��! �������!�� ������ ���� ()" *" +" ," -" ." /" 0" 12
3������� ����!� ��������� ������ ��� ��� �� �� �� ��� ��������� ������ ���������!� �������� 4����� �� '��� ���������� ����$� ������� ����� �� ��� � �������� ��������� ������� ������� �����������!�$� ��������� �
∗��������� ����� ����� �������� ����� ����������
†������ ������� �������� ����� ������������� � ���������
5 � ������ '%%�!���� ������� ������ �������������� ��!�� ���$���� �� ��������� ���������� �%��!������$������� �������!� ����� ���!�$� ��� ��!�" ������#� ����!� ���������" ������ ��� ������� ������ �%������" ������������ �� �����!���� ������� �������� !�!��������$� ��6�!��� 7����� ��$������ �� ���$� ������� ��������$� ������ �������������#� ��!���� ���$���� �� ��� ��������������$� ������ �� ����� ���������� ����� �������� � �������� �� ���������� 8�����9 ����� ���������:� ()/" )0" )1"*;2�
&���� ������ �� � ������� � ��!������������ ���������� ���������� ���������!� ������ �������� �� �� �����'%%�!���� �� ��������� ��������� �����! ��������� 8� ��� ���� � ������� ��������� :� <��� ����� ������ ������!�� � ���������!� ������� ������ ��!���� �������� �� ������ ����������� ��������� �������������! ���!����� ����� ();2�
3����$� ����� ���������� ���� �� �������� ������ $��������� ���������� ! �������� ����! ������� 8���� ������ ������������������ �� !� ��$� ��������$� �����������$�� ����� �������� �� �� :� =��������� ��#�������� ����� �� ����� ���� ���������� ��6�!��" ���!���!� ����� �%������� � !�����!� �����#�� � %����� ����������� �������� '�� !�����!� ������#��� ������ ! �!��!�� ������ �� ���$��������� �� � �� �� �
3 � �������� ��$����" ���� #� ������� ��!��� ���$���� >?4@ (*;2 ����������� �� ����� $��������$� ������ �����������" � ����� ): ��$���� ����������!�$� ����!� ��� ����� ����������� ������ ��������� �� �� �� %!�������� �������
)
� ����������" *: ��$���� �������� ������� ���������� ������� �������� ������������ �� ��� �� �� 8!�! �����������" ��! ��������!�:� @�! � ������� � � ������� �������� �������� ���������� ������� ��������$� ���#�� ����������
���� ���������������� �����
�� �������� �������
&���� ������ �� �� �� ����������� �� ���!� ���$� ������ ��������� �������������" ���� " �������" ������$��������������� 8���� $���������!� �����:� &��������������!�$� ���!� ������ �� %!��������� ������ � ���������� ��! � ����������� �� ������ ������ �� " �� '��� �������������� (n− 1)������ �������� ������� ������ �������� ��� �!� n������ ������ �������� �������� ��
������������ ������ � ���������� ���� ��
f (x) = 0, ABCDC f ∈ RN , x ∈ RN , 8):
����� xo E �������� ������ ����� 8):9
f (xo) = 0� ?�������� ������$�������� ������� �������� G[k] 9
G[k] (x) = 0, ABCDC G[k] ∈ RN−1, x ∈ RN 8*:
%��!�� g[k] (x)" ���������� �#� ����� �
⎧⎨⎩
G[k]i (x) =
{fi (x) i < kfi+1 (x) i ≥ k
, i = 1 . . .N − 1
g[k] (x) = fk (x)8+:
4� 8+: �������" ��� ��� xo � ������ ������������ ������� 8):" �� ��$�� 9
G[k] (xo) = 0
g[k] (xo) = 08,:
@����� ������ ����� ������ �� ! �������$�������� ������ 8*:" �� � xo � !������� ���������� ���! ()-2� � ���������� �������� ������� ���������� ���������������� !����
L[k]1 " ��������� �#�� ����� ��� ����� ������� ������$�������� ������ 3� ��� �������� !��� �������� ����������� G[k] (x) = 0�� ��#�� ������ '�� ���������� �� �� �������� �� ��� ����� !�! ������!��#�� 8� ����!�� ������� :" ��! ���� ����� �� �� �����!����
� !� ��� ���!� !���� L[k]1 ����� ��! � ��
��� �� ������� %��!� g[k] (x) ������������ �$� ���!�� ������" ��� �� !���� �������� ���!�
(x∗) ∈ L[k]1 " ��!� " ��� %��!� g[k] (x∗) ��� ��
���! � ��� �!��������" �� '�� ���!� ����� �������� ������� g[k] (x∗) = 0" " �������������" ������� 8����� ��" ����� ���������: �������� ����� f (x∗) = 0�@�! �������" ������� ������� ���! !��
��� L[k]1 ����� � �� ��!�" $�� %��!� g[k]
��� �� ���!" �� �� ���� � � ���� ������������� ����� �������� 8):� ����� ������� �������� ����������������
������ ���� ���� ��� ������� F���������������#� ������� ()+29 ���� �������� ������������������� ������� G[k]� ��� �� �������
���� ������ ������� ������ L[k]1 � �� ! ���
��� ��������� ��� ������ "������ �������� #!��������� "���� ����������� ������ ��� $���������������% ������� G[k]&
<�� L[k]1 � ���������� !��� ������
������$�������� �����" ��� ��� ����� !����" ������!��#�� � ���!�� ������� " ���� ����# ������ ������ �� 8��������$��������� ���! ������� : '� !��� ����� ��� ���������� @�! !�! ��� ����� ��������
�� ��� ����� L[k]1 " �� ��� �� ����� �������
?�������� � !������� ������ ������ ���������9 {
fi�=k = ai,1x1 + . . .+ ai,NxN
fk = ϕ (x)
$�� A = {aij} E 8G�):×G ������ ���$� G�)" � ϕE ���������� �������� %��!� �F���� #� � ���� ��� ������ �������
�� ��������� G[k] = Ax ������� �� �� ��� �%������ ������������" ����� ����������!��$� ���!� ��$!� ������� ��� ����� " ����������������� ��������� ϕ(x) = 0�H�� ���������� ������ ����������!��
$� ���!� ��!������" ��� '%%�!������� ������� ���������� ���������� " ��� ������ ����� ��� ��������������� �� � �� �������$������� �������� G[k] , k = 1 . . .N � ����� ������� ������� ������� ���� ��������!� ����� ���� �� ���� ��������� � �����! ������� � @�! � ������� '%%�!������������� �$� ���������! � ������ � !������� ���������� ���! !� ��$� � ����� �������� ��������I� ���������� ������������ �������
��$����� ����������!�$� ���!�" ��������
*
�
�
�
�
J
K
L
M
L[2]1 L
[2]1
L[1]1
L[1]1
'
(
f1 (x, y) = (x− 1) (x+ 1)
f2 (x, y) = (y − 1) (y + 1)
� ������
A : (x, y) = (1, 1)B : (x, y) = (1,−1)C : (x, y) = (−1, 1)C : (x, y) = (−1,−1)
?�� )9 F����� � ������ �� ����� ������ ��
�
�
L
M
L11 L2
1
L11
L21
'
(
f1 (x, y) = (x− 1) (y − 1)
f2 (x, y) = (x+ 1) (y + 1)
� ������
A : (x, y) = (1,−1)B : (x, y) = (−1, 1)
?�� *9 F����� � ���� ����� � �� ���������� ���!� ������� �
�� �� ������ ������ ����� �����$� ���� �!�" ��� ���)"*"+� ����� �� ���) ����������� ����� ������� ������� 5 ����� ��������� ����� ����� " !� ��� ������ ��������� � ���� ���$� ����� � ����� !���
L[k]1 � 3���� ������ �� ����� ����$� ����$������ " ���������� ����!� ���� ������$��������� �������
� ������ �� ���* ����� ��� �� ���� ������� ������ ����!� �� ����� ������ ����� ���� ���� ������" ��#� � ���! �������
!��� ��� ����� L[k]1 � � �����" ��!�������
�� ���+" ����� �� ���������" ���!���!� �� ������ �������� ������$�������� ������ �����
� �� ����� ��� !��� L[k]1 �
@�!� �������" ��$���� ����������!�$����!� �� ����������� H���!� �� ����� ������� '%%�!���� �� ���$� ���� �� ��
�
�
L
M
L21 L2
1
L11
L11
'
(
f1 (x, y) = x2 − 1
f2 (x, y) = xy + 1
� ������
A : (x, y) = (1,−1)B : (x, y) = (−1, 1)
?�� +9 F����� � ���� ���� ����� ������ ��
��������� �������� ��������
������������
5 !� ��$� ��������$� �����!���� 8������ ����!" ��������!�$� ����� ����: ����� �������� ����������!�� ����������� H���������������� �������� �� ����� ��� ����� �����! %�����$� ������������ �������!�� ������" ��!� ��� ���� #� � �� %����� �����!��� ����� �� ! ���������� ������ ��t → ∞��� ���$� ����� � $������ ��������
���������� �� ��� �������� ���������� ���$������ � ������ #� ����� ����������������� ��������!� ����� ()+2�
� ������ �������!� ����� �� ����!���� $������ �������� ���������� �� ���� ��� ����!���" ���� #� � ������������������ ����� �� t → ∞ � ���������� ���������$������������$� ��!����" � � ���������� ��������� �!�� �������� ������� �� $���� �������� �������������� ���#�� �����!������
<�� ����������� %�����$� ������������ n ≥3" ��$�� ��#� ���$� $������ �� ��� ��������� ���$������ ����!���� W s !������������ )" ������ #� ����� ������� ����������� ����� ��� On−1,1 ��� ������� ���������!� ����� ��� Γn−1,2�
4������ �������� ���������� ������������� !���������� ����� ����!��� %������$� ������������ �������!�� ������ ���������" ������� �������������� ��������� ���������� ��������� ���$������� " ������ #� ����� ������� ������������ ����� � � ������ ������� ������ ���������� �� �� � ������� ������" �� ��������
+
��� ���$������ Wu �!������ � ��� �����!���" ����������! ����� #�� ! ��������� �����!������
����������� ���� � ���� ������
�������
?�������� ��$���� �������� $���� ������� ����������" ����������� ����������������� ���$��������" ������ #� ������ �������� ����������� ������ ().2�I� ����� $���� ������ ���������
�� W sn−1 � ���$������� %������ ���������
���� �� �� ����������� ����� �������� ������� ������ ���������� ����!��� � P2
8��� ���,:� �� ��������� $���� W sn−1 �
����!����� P2 ��������� !��� SP1 9
SP1 = P2 ∩W s
n−1
=� !��� �� ���� $������ ����� ������� �����������@���!���" ������ #� ����� ���! !����
SP1 " ������� �� ! ���$������� W s
n−1" ��t → ∞ ����� �� ! ��������� ������������������ On−1,1� <�� ��������� ���!� ����!���� ������� � !���� SP
1 8������ ���" �����!�" � ����!��� ����� :" �� ����!��� ��������� ������� �� ������ ���! On−1,1�������� ������ !������ �� ����!��� �����
� P2� I����" ��������� ������ ���� �������� ����!��� ��� �������� ������ ���!� ?��������� ������� ��������������� Ln−1" �������� #�� ����� On−1,1 !���������� ! ���$�������� W s
n−1� Ln−1 E ������� ���������������8$�������!����: ���������� n− 1" � !������������ !�����$� ��$�� ��� �� � ������������!���� N!�����" �������� � ������ ���!� ������������#� �������� ����� �����N!������H������� $�������� CR !�! ��� �����
����!" ������������� �� ������ �� R �� �� ����" ������ #�� ����� On−1,1 ����$����������������������� Ln−1��� ���������" ��� ������ CR ���������
�� ���������� � ��!�����" ����$������� $��������!��� Ln−1� � ��#�� ������" '�� ����������� �� ��������� � ����������� ����������$���!����" ������������#�$� ������������ ������������� ���� N!�����" ���� � ���������������� ����!��� Su
1 � ���! On−1,1:�F�#������� ��!� �!��������� ���! �� !��
��� SP1 ⊂ P 2" ��� ��� %����� ����!���" ���
����#�� � '��� �!��������" ������!��� ������������ ������ CR� &�!������� ������
'��� �!�������� ����� �� ������ ������R� � !������� ��� ������� �� �� ������������ �� �� ���! ��������� %������ �����!��� � ������� �� $�������!��� Ln−1�4��!" ���� ������� H ������� ��� !�!
H(x) = (x− xe)′ho 8-:
$��
xo � ��!��� !������� ������ ���!On−1,1"
ho � ������ ��!��� ������ ! $��������!��� Ln−1�
F!�� ��� %��!� r(x) �������� ������ ��� �� ��!�#�� ���! %������ ����!��� x ������������ ������ CR�
r(x) = ‖x− xo −H(x)ho‖ −R 8.:
$�� ‖x‖ E ��!����� ����� ��!���� x�<�� %��!� r(x) ��� �� ���!" ������������
��" ����!��� ������!�� ����������� ������CR�5����� r(x) = 0 ������ ������ ��� ����!
����!��� P2 �� ����������� ������ CR� I� ���� ����!" ������� �#� ���������� ������!�������� !���� SP
1 ∈ P2" ������ ��� �������� �� �!�� ���� ������H(xR)" !������ ������ ���������� !�! HR(ξ, η)� H����� ��� ����#����� ��� ������ �������$� ���$������ �������� �� �� �������!�� �����" � ���� ���$������ ����� ��� !������������ ���! %��!� r(x)�O����� �������� !���� SP
1 8���� $��������� ������ ���������� W s
n−1 $��������!����� P2: ������ ! ������� ������ �������� �!�� ���$� �������
HR(ξ, η) = 0 8/:
=�� �������� ����� �� ���� ���������� ξ η E !������� ��������� ���! ������ �� ������� !�������" ������������� �� ����!���P2�P��� ��$���� ������� '%%�!����" �� ��
�������� ������ ����� ������ R� F �����������" �� ��� �� ��� ���������� ���" ����� $�������!���� Ln−1 ������ �����!��������� ���������� ���$������� W s
n−1 ����������� CR� F ���$�� ������" ����� ���� �� ��� ���������� ���!" ���� ������� ���� ������� ������� ������� ��������� ��$������
,
5����� 8/: ���� ����� ������� $����� ������ ������ ����������� =�� $����� �������� ! ������ $����� �� R → 0�I� �������� ������ ������� 8/: ��������
��� ����� ������ �� � F������ � ����������! ���#����� ��� ��������� ! ������� ������� ������� 8/:" � ����� �� ����# ������� ������ �� ������ !��� SP
1 9
dξ
dt=
−kHRHξR −Hη
R
(HξR)
2 + (HηR)
2
dη
dt=
HηR − kHRH
ξR
(HξR)
2 + (HηR)
2
80:
3� �� �������� ������� ����$���� ������� ������������#�$� ����� !�'%%����� k ��$� ���$������ Δt � 80:� P����� ����
������ HξR Hη
R ������� ��� �������� �
������ ����������� � ���� ������
�������
� � �� ������� �� ��� ������� �������� ������� �������� ���������� '%%�!����� ���$��������� H� �!������ � ��� ������#� ��$9
)� ������� �������� ��!�#� ����!����"�� ����!��� �������� ������ !�������Q
*� �� ��!�#�� ����!��� ������� ���!� ��������� ������ �� �������$� ���$������� �������� �������!�� �����Q
+� ����� � !� ��� ���! ���!" ������ ��� �������� ���$������� ��������� �� �� � 4���$������� ��!��������� " ��� %����� ����!��� ������!���� �!�������� $������������� ����������� Si, i = 1, 2, . . ." ������ ������������� !� ��$� �����!����" ��� �� �������� ���������$� ������ ���$������� ����� %������ ����!��� �� ������������� $����� H!�������� S∗
i , i =1, 2, . . ." �� !����� $���������� � �������� ����� ������ ���������� ������$� �����!����" ��$�� ��� ��������� ������# ������ R ������ ()*2Q
,� ���! ���! !����%������ �� ��$�����$������ 9 !�! ������� �#� ������� ���������� i��$� �����!���� ��� !�!���!" �� ������� ����� �� ������������� @�!� �������" �� �� ������� ������� ������ ���������� � ����� �����
��� ���������� S�$���� �������� �� ��������� ������ ���� ���� �����!����
���� ������� ��������� ����� �� !��������� ����! � ���!� �������� ������� �� �������� �������� S∗
i , i = 1, 2, . . .� &��������� ��������!�" �� ����� � ���������� ����� ��Q ��!��������� �� ���� ����������� ��#�� ���������� ���������
������� ������������ � ����
�� ���� ������� ���!���"#
�� ����� ��������$� ���#�� $����������� ���� � ������� � �� �� ������ ����!���� � F!������ ������� ��������$���� ����� ����" �������������� � ����� ��������� �!������� �������� �� V �� ���������� ����!� �������� ��������
������#�� ������� �������� 9
α = q − (p cosα− r sinα) tan β + z
β = p sinα− r cosα+ yp = −i1qr + lq = i2rp+mr = −i3pq + n
81:
$�� i1 =Iz − Iy
Ix" i2 =
Iz − IxIy
" i3 =Iy − Ix
Iz�
����������� ������ ����" l = L/Ix" m =M/Iy" n = N/Iz " y = −C/mV " z = −L/mV �7���������� ��������� ��!��� �� z" y"����������� ������ ���$� �" !���� ��!��� m" l TUV n � ������� � 81: ��$�� ��� ������������ !�! ������ � �������� %��!�� %����� ��������� ������ �#� �����������9
z = z(α) + zq(α)q + zδe(α)δe + · · ·y = y0 + yβ(α)β + yr(α)r + yδr (α)δr + · · ·m = m(α) +mq(α)q +mδe (α)δe +�m(α, β, ...)l = lβ(α)β + lp(α)p + lr(α)r
+ lδr (α)δr + lδa (α)δa +�l(α, β, ...)n = nβ(α)β + np(α)p + nr(α)r
+ nδr (α)δr + nδa(α)δa +�n(α, β, ...)����
5������ 81:" ���������� ��������� �8);:" �������� ���!����� ��������� ����������� ������ �������� � ��$� ��� �!� � %������ ��!����� x = (α, β, p, q, r)T � 3����������" ��������#�� � '��� ������" �� ���������� �� �� $����9 !��������!� �����" �������� �'���������!� ������������ ��� '� ���������� ������ ������������� ���������$� ��!���$� �� ����
-
W����� ����������� �������������� ������ ��!������� � ���" ��� ������������� ���#��������� ���!���!� ���������� ���������!� ������ ����� �� �� � � ������ ����������� ������� �'���������!�� ������� 7%��!������ ����� ���� ����� ������������� ������ � ��!������ $���������� ���������� ���� ����� ����� ���������� ������ ����� ���������� ��6 ����� ������ ��� ��� �� ���$� ����� � ��������� ����������
F����� 81:" 8);: �������� ������� ��������� ��6�!�� ��� � ������ ������������$�������� @�!� �������" � ������ ������������� � � ������������� ���������� ������������ �� ��� �� �� " ����" ��������� �� ������ ����� ����������!�� ����������� �� R ������" ��$�� �!������ �������� �� t → ∞� @� � �������� �����!��� �� !���!��������� ������ �#� ���������� �� 3���� ����� �����!����� �� ����������������� �%��!������$� ������ ������$� ���" ��� ������������ ����������� �� � ���������� �������� � ����� �������" ��� �!����������� ������! �������������������� ��������� �������� ������������ � ������������ ����� �������� ����������������$� �� �� ����������
I� ���������� ����� ������ �%��!�������$� ������" ��������� ��������� ���������� ��������$� ���#�� $���������!�$� ����������$� ��������� �� ����������!����� ?� � �������9 ����� H = 20000 � ��������!��� �!������ V = 1800 %��X��!� ��'�� ����� � ��#������� !�����!� �$�����!����� !����" ���!� ! ���� ���� ������� �" ���������� �� %������� Y������� ���������� ���������� ����� ��������� �� ���� ����� ��������� ���������" �������������#� !�����!� �$���� �!������ �� =� ���������" �� ������� ������ ����������� ����$���!" ��!���� �� ���8."/"0:� ������ � ��� �$��� O������� ������������� �$����� �!����� !���� !�! %��!�� ��!����� '������� ��!���� �� �������� ��!����� � �����������" �������������#� �������� ������� ���������� �����$���! az = 1" 0 −1� R�!����� ������������ ���������� ������ ����������� �������� ���� ���9 ������� �� �������������� �������� ����� �" ���!����� �������" ��������!���� � !�����������������������
F�#������� ���!���!� �������� ������"
��!����� � �� ������������� ��������� ������������� �� !���� �� ��� ��������� ��!����� '�������� S������������� �� � ��#������� �� ���� ��!������ � '�������Q �� ��!����� '������� ������#����8p > 0" δa > 0: ����������������������� ����� ������ �� !���������������������� 8��������!���� ��:" ����� �%��!�� Z��%� ��!� ��� ���� ��� �� ��� ��������� �������� ��������!������������ � !����������� ������������� ����
������� ������ ����!��� � ������ ����!�����!� ���������� ������ �� ������� ��!����� � '�������� ����� �%��!��Z��%� ��! � �� �� ��� ��������� ��������� ��������!� ������ 8�� ��� �� ��!�����:�
������ �������� � ������� �� ���� ������� �������� ����������!�� ��������������� �� �� � ������" !�$�� ������������ ���#������� ���!���!� ��!����� �������� ����������� X� ��������!� ������� ?������� �������� ���������� ����� ����� �������� �� $��������� ����!���� %�����$� ������������� ��������� ����� !������!� �����#��� %����� ���������" ������ #� ! ������ ���������� ������$� �� ��� �������� >�! � � ��� ��������" �� ���������� �������� ������ � ������� ������������ ��������� ���$������� ������ ������������ � '��� ������ !� �� ��� �������������� �����#�� �� ���� %����� !���������� ������������ 8�������� %����� !�������� ������� ��������:� F�!�#� �����!���� ����� �������� ����� ��������� �#�������� ��!����� ��������� ����������� ���������� ������ ��!����� � '������� ���
��������� δa = δr = 0 �� δe = −5.40
8az = 1.0: �� ��������!���� �� �� ������� 8������. V: ����� � �� ���������� ������"�� � !����� � M" L" J" � ��!����� ��������" ��� � K" [ � ����������� @� ������� ������ �������� ����������!�� ������������ ��� M" L" J ��!���� �� ���. T"\"]� �������� ������ � ����� ���!� M� ������ ������� ��������� � ����!��� 8�$�� ���! α E �$���!��� �� β: 8���. T:" ������ � � ����!���8�$���� �!������ !���� p E �$�� �!��� �� β: 8���. \:" � ������� ������ �����������������!���� 8�$���� �!������ ��!�� r E �$���!��� �� β: 8���. ]:� H������ ����������
.
�� �� M �������� ������ ���!��" � �� ���� L" J � �������������� ����� ������� �����" ��� ������� !����� �� �� �� M ��� ��� �����#�� �� �$����� �!����� ��!��� 9 rcr ≈ ±0.4 )X^� ���� �� ���! M $������ ������ ���������� ���������� ����!������!������ ���$�������� �!���!���
?����� ������ ����������!�� ����������� �� �� M �������� ������� ������ � ���������" !�$�� �������� ��������� ������������� �� ������� � ������������ �$�� ���!8���/"0:� I� �������� '��$� ���� " ����� � ����� �������� ���������� �� δe =−0.50 8az = 0: �� δe = 4.40 8az = −1.0: ��!����� �� ���/ T"\"] �� ���0 T"\"]�
�����
H������ � ������ ��$���� ������ �� ����������� ������� '%%�!������� ��������������� ����! ����������
&���� ����������!�$� ���!� ��� ����������� ��������� ����� �������� ������� �� �� ���$� ����� � ��������� ��� ����� ��� �����!���" ���#�� � ������" � �������� �� �� �� $��������$� ������ ������������
I�� ������� ��$����� ��������� ��������� ���������� ��$�� ��� �������������������" � �������� �� ��� ���� ��������� ������ �� ��� ����� ���������� �� ����$�!������ ���$������ �������!�� ������" � ������������ � �� � ���� �����!$������������ �������� ���������� �� !� ��$� �����!����� &���� ������ �� ��������� ��� ������$� ������� �������� ����������� �������� ����� �� ����! !������!� �����#��� %����� !�������� ���������� ����� $��������$� ������ ����������� � ������ ��������$� ���#�� ����������� ������������ '%%�!������� �������� ������� ��������$� �������
$�����������
I����� ������ ������� ������ ������ ��!�����!�� G_� M`aX*;)/X[ � KCbCU^C cC^CTD]BMdCU]e _b fg $����� ?�����!�$� %���� %�������������� ���������� G 1.�;)�;;.)*�
%����� ����������
()2 hCBDT"c�g�" �LibjD]Tki_U TUTle^i^ _b TiD]DTbkBidB TUdlC _b TkkT]m nidBk VeUToi]^ MpMM G0;�)-11" Mjdj^k )10;�
(*2 JTDD_ll"q�r�" TUV hCBDT"c�"g�" �LibjD]Tki_UMUTle^i^ _b G_UliUCTD MiD]DTbkKeUToi]^"�q_jDUTl sjiVTU]C" r_l� -" G_� -")10*" tt�-*1�-+.�
(+2 sji]BCkCTj" u�" �LibjD]Tki_U vBC_De MttliCVk_ kBC `kjVe _b J_UkD_l w_^^C^ _U J_o\TkMiD]DTbk"�wT cC]BCD]BC MCD_^tTkiTlC" r_l� *")10*" tt�.)�/+�
(,2 sji]BCkCTj" u�" �LibjD]Tki_U kBC_De iU nidBkVeUToi]^� MU Tttli]Tki_U k_ T DCTl ]_o\TkTiD]DTbk pJM` uTtCD � )). 81;�-�);�,:" `Ctk�")11;�
(-2 xTdTeU_y" s�p�" TUV s_oTU" h�s�"�LibjD]Tki_U TUTle^i^ _b ]Diki]Tl TiD]DTbknidBk DCdioC^ pJM`�0,�,�*�)" `CtkCo\CD")10,�
(.2 ulTUCTjz" q�"L�" TUV LTDkB" v�q�" �{idB MUdlC_b MkkT]m KeUToi] LCBTyi_D _b T h_VCl {idBuCDb_DoTU]C aidBkCD MiD]DTbk"�MpMM uTtCD00�,+.0" Mjd� )100�
(/2 ulTUCTjz" q�"L�" LC]m" q�M�" TUV LTjoTUU"K�"K�" �LibjD]Tki_U TUTle^i^ _b T o_VCl |dBkCDTiD]DTbk AikB ]_UkD_l TjdoCUkTki_UMpMMuTtCD 1;�*0+." Mjd� )11;�
(02 qTBUmC" J�J�" Jjli]m" a�[�J�" �Mttli]Tki_U_b KeUToi]Tl `e^kCo^ vBC_De k_ G_UliUCTDMiD]DTbk KeUToi]^"�MpMM uTtCD 00�,+/*"Mjd� )100�
(12 qTBUmC" J�J�" Jjli]m" a�[�J�" �Mttli]Tki_U _bLibjD]Tki_U vBC_De k_ {idB�MUdlC�_b�MkkT]mKeUToi]^ _b kBC a�),"�q_jDUTl _b MiD]DTbk"r_l� +)" G_� )" qTU��aC\� )11,�
();2 s_oTU" h�s�" aCVjl_yT" [�r�" TUVgBDTok^_y^me" M�r�" �hTziojo `kT\ilikecCdi_U KC^idU b_D fU^kT\lC MiD]DTbkAikB J_UkD_l J_U^kDTiUk^ MpMM sjiVTU]CGTyidTki_U TUV J_UkD_l J_UbCDCU]C" uTtCD G1.�+1);" qjle" )11.X`TU KiCd_" JM�
())2 gj\i]BCm h� TUV hTDCm h�"�J_otjkTki_UTlhCkB_V^ iU LibjD]Tki_U vBC_De TUVKi^^itTkiyC ^kDj]kjDC^ `tDiUdCD rCDlTd"GCA }_Dm" )10+�
/
()*2 sCUC^i_ u�" vTDkTdliT h�" ri]iU_ M� ~�U kBCC^kioTki_U _b T^eotk_ki] ^kT\ilike DCdi_U^9`kTkC _b kBC TDk TUV UCA tD_t_^Tl^�" p[[[vDTU^� _U Mjk� J_UkD�" y_l� MJE+;" )10-" U_�0�
()+2 {^iT_�K_Ud JBiTUd" h_DDi^ �� {iD^]B" aCliza� �j ~`kT\ilike cCdi_U^ _b G_UliUCTDMjk_U_o_j^ KeUToi]Tl `e^kCo^�" p[[[kDTU^� _U Mjk_oTki] J_UkD_l" y_l�++" U_�)"qTU� )100�
(),2 JBT_" g�`�" wij" K�g�" TUV uTU" J�v�"�M ^e^kCoTki] ^CTD]B oCkB_V b_D _\kTiUiUdojlkitlC ^_ljki_U^ _b ^iojlkTUC_j^ U_UliUCTDC�jTki_U^"�p[[[ vDTU^T]ki_U" y_l�JM`�**"G_�1" )1/-�
()-2 s_oTU" h�s�" ~Ki�CDCUkiTl oCkB_V b_D]_UkiUjTki_U _b ^_ljki_U^ k_ ^e^kCo^ _b|UikC U_UliUCTD C�jTki_U^ VCtCUViUd _U TtTDToCkCD�" ������� ���� ����" y_l��rpp" U_�-" )10. 8iU cj^^iTU:�
().2 s_oTU" h�s�" TUV gBDTok^_y^me" M�r�"�MUTle^i^ _b kBC M^eotk_ki] `kT\ilike cCdi_UL_jUVTDe b_D T KeUToi] `e^kCo v^Mspq_jDUTl" r_l�)" G_�)" )11,�
()/2 �__V [�a�" gCotb q�M� TUV hCBDT c�g��Lp`vML9 M t_DkT\lC \ibjD]Tki_U TUV^kT\ilike TUTle^i^ tT]mTdCMttl�hTkB�J_ot�"y_l )-" )10,�
()02 K_CVCl [� TUV gCDUCyC� q�u�" �Mfv�9`_bkATDC b_D ]_UkiUjTki_U TUV \ibjD]Tki_UtD_\lCo^ iU _DViUTDe Vi�CDCUkiTlC�jTki_U^"�JTlib_DUiT pU^kikjkC _b vC]BU_l_de"uT^TVCUT" )10.�
()12 sji]BCkCTj u�" �G_ki]C V�jkili^Tk_U Vj ]_VCM`K�Lp uDC�tDiUk �G[cM" )11*�
(*;2 s_oTU" h�s�" TUV gBDTok^_y^me" M�r�"�gcpv 9 `]iCUki|] uT]mTdC b_D ]_UkiUjTki_UTUV \ibjD]Tki_U TUTle^i^ AikB TiD]DTbkVeUToi]^ Tttli]Tki_U^"�v^Msp" )11+�
0
?�� ,9 S�$���� ���!� �������� ������ $���� ������ �����������
?�� -9 �� ��� ����� �������� �������� ������ ������ �����������
1
?�� .9 F���� ������ ���������� �� �� �� $�����������$� ������� ��� ���#�� �
);
?�� /9 F���� ������ ���������� �� �� ��� � ������� ����$���!�� az = 0 ��� ���#�� �
))
?�� 09 F���� ������ ���������� �� �� �� ������� � ������������ ����$���!�� az = −1��� ���#�� �
)*