高中数学 高中数学 选选修修 22 -1-1

姓名：潘永美单位：蒋王中学

1. 椭圆的定义．和 等于常数

2a ( 2a>F1F2>0) 的点的轨迹 .

平面内与两定点 F1 ， F2 的距离的

1F2F 0,c 0,c x

y

O

yxM ,

2. 引入问题：差 双曲线的定义是什么？

复习

MF1+MF2=2a( 2a>F1F2>0)

① 两个定点 F1 ， F2—— 双曲线的焦点 ; ② F1F2=2c —— 焦距 .

（ 1 ） 2a<2c ；o F2F1

M

平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于 F1F2) 的点的轨迹叫做双曲线 .

（ 2 ） 2a >0 ．

双曲线定义

思考：（ 1 ）若 | MF1 －MF2| = F1F2, 则轨迹是什么？（ 2 ）若 | MF1 －MF2| > F1F2, 则轨迹是什么？

说明

（ 3 ）若 | MF1 －MF2| =0, 则轨迹是什么？

| MF1－MF2|＝ 2a (2a<F1F2)

（ 1 ）两条射线．（ 2 ）不表示任何轨迹．

（ 3 ）线段线段 F1F22 的垂直平分线．的垂直平分线．

F2F1

M

xO

y求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程

1. 建系 . 以 F1 ， F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系2. 设点．

设 M （ x , y ） , 则 F1( － c,0),F2 ( c,0 ）3. 列式 MF1－MF2=±2a

4. 化简．aycxycx 2)()( 2222 即

aycxycx 2)()( 2222

2222

22 )(2)( ycxaycx

222 )( ycxaacx

)()( 22222222 acayaxac 222 bac

)0,0(12

2

2

2 baby

ax

此即为焦点在 x轴上的双曲线的标准方程

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

bx

ay

F2F1

M

xO

y

O

M

F2

F1

x

y

)00( ba ，

若建系时 , 焦点在 y 轴上呢 ?

　　看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上．22 , yx

22 ．．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系 ?

1 ．如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题问题

双曲线与椭圆之间的区别与联系定 义

方 程焦 点

a,b,c 的关系

F （ ±c ， 0 ） F （ ±c ， 0 ）

a>0 ， b>0 ，但 a 不一定大于 b ， c 2=a2+b2

a>b>0 ， a2=b2+ c 2

|MF1 － MF2|=2a MF1 ＋ MF2=2a

椭 圆 双曲线

F （ 0 ， ±c ） F （ 0 ， ±c ）

2 2

2 2 1( 0)x y a ba b

2 2

2 2 1( 0)y x a ba b

2 2

2 2 1( 0, 0)x y a ba b

2 2

2 2 1( 0, 0)y x a ba b

解： ∵ 焦点为 1 2( 5,0), (5,0)F F

∴ 可设所求方程为:2 2

2 2 1x ya b

(a>0,b>0).

∵ 2a=6,2c=10,∴ a=3, c=5.

所以点 P 的轨迹方程为2 2

19 16x y

.

例 1 已知双曲线的两个焦点分别为 1( 5,0)F , 2(5,0)F ,双曲线上动点 P 满足到两焦点距离之差的绝对值为 6,求双曲线的标准方程.

变式训练：1 、已知双曲线的焦距为 10,双曲线上点P 满足到两焦点距离之差的绝对值为 6,求双曲线的标准方程 .

2. 双曲线 的焦点坐为　　　　　　．1925

22

xy

(1) ．一个焦点为 (-3， 0) ，且过点（ 2，0 ）；(2). a=b ，过点 (3， -1) ；

3.3. 写出适合下列条件的双曲线的标准方程．写出适合下列条件的双曲线的标准方程．

使 A ， B 两点在 x 轴上，并且点O 与线段 AB 的中点重合

解 : 由声速及在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s, 可知 A地与爆炸点的距离比 B 地与爆炸点的距离远 680m. 因为 |AB|>680m, 所以爆炸点的轨迹是以 A， B 为焦点的双曲线在靠近B 处的一支上 .

例 2 　已知 A,B 两地相距 800m, 在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B地晚 2s, 且声速为 340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程 .

如图所示，建立直角坐标系 xOy,

设爆炸点 P 的坐标为 (x,y) ，则340 2 680PA PB

即 2a=680 ， a=340 800AB ∵

800 680 0 , 0PA PB x ∵1( 0)

115600 44400x y

x 2 2

2 800, 400,c c x

y

o

P

BA

因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400b c a 2 2 2

学习小结: 1.通过本节课学习，我们是怎样研究双

曲线的？ 通过与椭圆类比，用同样的程序研究双

曲线. 2.本节课主要是了解双曲线的定义及其标准方程推导, 能根据已知条件求双曲线的标准方程, 用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.