& 二水準部分階層實驗設計 (2 k-p )

&Seven Advanced Statistics_DOE2 1

& 二水準部分階層實驗設計 (2k-p) 2k-p Design 具有 k 個因子，每個因子有兩個水準，共有 2k-p次實

驗。

2k Design 所需之實驗次數隨 k( 因子數 ) 之增加而據增，例如 24=16 、 26=64 、 28=256 、、、。然而，以 26為例， 64 個實驗產生 64-1=63 個自由度，其中只有 C6

1=6 個自由度是主因子作用， C62=

15 個自由度是給兩因子之交互作用，卻有 63-6-15=42 個自由度是給三個 ( 含 ) 以上的因子交互作用。

故，若以專業知識可以假設多因子交互作用是不顯著的，且可以予以忽略 ( 大多數情況是如此 ) ，則吾人只須做此 2k個實驗中的部份實驗，即可瞭解主因子作用以及低階之因子交互作用。


2k-p 實驗用途 2k-p Design 主要用於實驗初期的 Screening Experime

nts ，用以從多數可能之因子中篩選出具有顯著作用之因子，以為之後更詳細實驗之依據。

可用於產品與製程之設計。

可用於製程上之問題排除。


2k-p 基本理念多數系統或製程之執行成效皆由主因子作用以及低階

之因子交互作用所決定。

部份階層實驗可被進一步用來投入涵蓋部份重要因子之較大實驗。

兩個以上之部份階層實驗可被整合來估計所有主因子作用以及因子之交互作用。


23-1 設計 23 Design 分成兩個 23-1 Designs 。符號表 (一 )


部分階層設計之產生器 (Generator) ABC 稱為此部份階層之產生器 (Generator) 。


23-1 設計之圖示第一組之 ABC 皆為 + 號，其產生器為 I = ABC 。第二組之 ABC 皆為 - 號，其產生器為 I = -ABC 。


23-1 Design (I=ABC) 在 23-1 Design (I=ABC) 中共有 4 次實驗， 4-1=3 個自

由度，可被用來估算各因子之主作用。


23-1 對比差異與平均效應 ContrastA = abc+a-b-c ContrastAB = abc+c-a-b

ContrastB = abc+b-a-c ContrastAC = abc+b-a-c ContrastC = abc+c-a-b ContrastBC = abc+a-b-c

AEA = 1/2(abc+a-b-c) = AEBC

AEB = 1/2(abc+b-a-c) = AEAC

AEC = 1/2(abc+c-a-b) = AEAB


Alias 關係計算 A 平均效應之公式與計算 BC 平均效應之公式相

同；亦即，當吾人利用上述之公式計算 A 之平均效應時，實際上，乃是在做 A+BC 之平均效應計算。此種現象稱之為 Alias ，以 lA A+BC 來表示。

所以，在 23-1 Design (I=ABC) 下之 Aliases 為lA A+BClB B+AClC C+AB


23-1 Design (I=-ABC) 下之 Aliases 在 23-1 Design (I=-ABC) 下之 Aliases 為

l`A A-BCl`B B-ACl`C C-AB

WHY?


連續部分階層實驗若吾人做兩階段之實驗皆為 23-1 Design ，但第一次用

I=ABC ，第二次用 I=-ABC ，則因為lA A+BClÀ A-BC

所以(lA + lÀ )/2 A(lA – lÀ )/2 BC

吾人可清楚界定出主因子作用與兩因子交互作用之大小，但對 ABC 而言，則無法估算，此為部份階層實驗所必須犧牲。


部份階層實驗之解析度 (Resolution) 定義：

一個具有解析度為 R 之設計， p- 因子交互作用之效應不與 R-p 因子交互作用之效應相互 Alias 。

解析度Ⅲ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用相互 Alias ；但主因子作用卻和 2 因子交互作用相互 Alias 。如 23-1 Design 。

解析度Ⅳ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用或 2 因子交互作用相互 Alias ；但 2 因子交互作用卻相互 Alias 。如 24-1 Design (I=ABCD) 。

解析度Ⅴ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用或 2 因子交互作用相互 Alias ；但 2 因子交互作用卻與 3 因子交互作用相互Alias 。如 25-1 Design (I=ABCDE) 。


2k-2 Design (1/4 階層設計 ) 2k-1 Design 需要一個 Generator I=ABCDE…. 最高階交互作用

來構建。

2k-2 Design 需要兩個 Generators 。

26-2 Design (I = ABCE = BCDF) ，建構之方式如 2k-1 Design ，下頁之表為利用第二種方式構建而成。

由於取 I=±ABCE 與 I = ±BCDF 共有 4 組，除了 ABCE 與 BCDF 外，應有另一個交互作用會被犧牲掉，此交互作用為

(ABCE)(BCDF) = AB2C2DEF = ADEF所以完整之寫法應為 I=ABCE=BCDF=ADEF


26-2 Design 符號表


26-2 Design (I = ABCE = BCDF=ADEF) 之 Aliases

A = BCE = DEF = ABCDFB = ACE = CDF = ABDEFC = E = F = AB = BC = ABD =

完整之 Aliases 結構如下頁。


26-2 Design 之計算 26-2 Design (I = ABCE = BCDF=ADEF) 共有 16 次實驗， 16-1=15

個自由度，可用以估算 6 個主因子作用及多數 2 因子交互作用。

其計算如下：ContrastA = ae+abf+acf+abce+adef+abd+acd+abcdef

-(1)-bef-cef-bc-df-bde-cde-bcdf平均效應：

AEA = ContrastA / 8SSA = ContrastA

2 / 16

其他因子之計算同此方法。


26-2 Design_Example 範例： “ 262.DX5”, 26-2 Design

(I = ABCE = BCDF=ADEF) 射出成型製程A 因子：溫度B 因子：轉速C 因子：固定之時間長短D 因子：循環時間E 因子：孔徑大小F 因子：壓力反應變數 Y ：收縮程度


一般 2k-p Design 需要 p 個產生器 (Generators) 。

24-1 Design (I=ABCD) 26-2 Design (I = ABCE = BCDF)

每一作用 (Effect) 有 2p個 Aliases 。 23-1 Design (I=ABC) 中， lA A+BC 26-2 Design (I = ABCE = BCDF) 中， lA A+BCE+DEF+ABCDF

只允許 2k-p-1 個作用 ( 及其 Aliases) 被估算出來。


在 2k-p 中使用區隔化 (Blocking) 26-2 Design (I = ABCE = BCDF) 中，用 ABD 作區隔化：


Why/When to Use RSM?

已知此反應變數 (Response Variable) 受數個因子之影響 .

必須經由實驗設計所證實 .

吾人想知道此反應變數之最佳值目標值最大值最小值

目的 : 如何設定因子之水準 ( 區間 ), 使反應變數達到最佳值 .


RSM 之基本原理真正的函數關係 Y = f(x1, x2) +

反應曲面 (Response Surface) = f(x1, x2)

若因子之區間縮小 , 則 f(x1, x2) 可用多項式來趨近 . 如 :Y = 0+1x1+2x2+…+kxk+first order)Y = 0+ixi+iix2

i+ ijxixj+second order)


反應曲面 - Example


The Method of Steepest Ascent

目的 : 為能快速達到最佳反應變數值之鄰近區域 . 假設 : 在遠離最佳反應變數值的地方 , 一般而言 , 使

用 First-order Model 已經足夠 . Steepest Ascent 是一種沿著最陡峭的路徑 ( 亦即反應

變數增加最快之方向 ), 循序往上爬升的方法 . 若用以求極小值 , 則稱為 Steepest Descent.


Steepest Ascent - 圖解


Steepest Ascent - Example

“525.DX5” 因子 : 1: 反應時間 (35 min.)

2: 反應溫度 (155 oF)反應變數 Y: 平均產出水準 (40%)

Coded Variable (X1;X2) = (-1 ~ 1; -1 ~ 1) Natural Variable ( 1; 2) = (30 ~ 40; 150 ~ 160)


Example 525 之實驗數據重複中心點

Error 之估算 First-order Model

是否合適 ( Fit? )


Example 之 ANOVA Table


Example 之分析結果實驗所得之回歸模式 (Regression Model) 為

y = 40.44 + 0.775x1 + 0.325x2

x1與 x2之係數 (0.775 and 0.325) 相對於係數之 standard error = sqrt(MSE/d.f.e) = 0.10 大的多 ; 故兩係數均顯著 .

下次實驗之移動方向 : 以移動係數最大之因子一個單位 ( 以 Coded Variable 為基礎 ), 故

選擇 x1 = 1, 則 x2 = (0.325/0.775) x1 = 0.42


Example 之後續實驗結果 ( 一 )


Example 之後續實驗結果 ( 二 )


Example 之後續實驗結果 ( 三 )-ANOVA 實驗所得之回歸模式 (Regression Model) 為

y = 78.97 + 1.00x1 + 0.50x2

需進一步之實驗以求取最佳點 .


Steepest Ascent 步驟 2k + nc center point 或 CCD 或其他 First-order Model 顯著 , 且 Curvature 不顯著 ; 否則

已在最佳點附近 . 取係數之絕對值最大者 ; 選定其 Step Size xi. 其他因子之 Step Size =>

xi / i = xk / k

將 xi換算成 Natural Variable; 回到第一步驟 .


Second-order Model 之分析

當非常接近最佳點時 , First-order Model便不再適用 ; 此時應用 Second-order Model 或更高階之 Model 來趨近真實反應曲面的曲線 ( 曲面 ) 情形 .


Central Composite Design (CCD) - Example

“534.DX5”


CCD 結構圖


CCD Example 之 ANOVA


CCD Example 之反應曲面


CCD Example 之反應曲面 _Contour Plot

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