&8 二水準部分階層實驗設計 (2 k-p )

&Five DOE Class 90a 1

&8 二水準部分階層實驗設計 (2k-p) 2k-p Design 具有 k 個因子，每個因子有兩個水準，共有 2k-p次實

驗。

2k Design 所需之實驗次數隨 k( 因子數 ) 之增加而據增，例如 24=16 、 26=64 、 28=256 、、、。然而，以 26為例， 64 個實驗產生 64-1=63 個自由度，其中只有 C6

1=6 個自由度是主因子作用， C62=

15 個自由度是給兩因子之交互作用，卻有 63-6-15=42 個自由度是給三個 ( 含 ) 以上的因子交互作用。

故，若以專業知識可以假設多因子交互作用是不顯著的，且可以予以忽略 ( 大多數情況是如此 ) ，則吾人只須做此 2k個實驗中的部份實驗，即可瞭解主因子作用以及低階之因子交互作用。


2k-p 實驗用途 2k-p Design 主要用於實驗初期的 Screening Experime

nts ，用以從多數可能之因子中篩選出具有顯著作用之因子，以為之後更詳細實驗之依據。

可用於產品與製程之設計。

可用於製程上之問題排除。


2k-p 基本理念多數系統或製程之執行成效皆由主因子作用以及低階

之因子交互作用所決定。

部份階層實驗可被進一步用來投入涵蓋部份重要因子之較大實驗。

兩個以上之部份階層實驗可被整合來估計所有主因子作用以及因子之交互作用。


23-1 設計 23 Design 分成兩個 23-1 Designs 。符號表 (一 )


部分階層設計之產生器 (Generator) ABC 稱為此部份階層之產生器 (Generator) 。


23-1 設計之圖示第一組之 ABC 皆為 + 號，其產生器為 I = ABC 。第二組之 ABC 皆為 - 號，其產生器為 I = -ABC 。


23-1 Design (I=ABC) 在 23-1 Design (I=ABC) 中共有 4 次實驗， 4-1=3 個自

由度，可被用來估算各因子之主作用。


23-1 對比差異與平均效應 ContrastA = abc+a-b-c ContrastAB = abc+c-a-b

ContrastB = abc+b-a-c ContrastAC = abc+b-a-c ContrastC = abc+c-a-b ContrastBC = abc+a-b-c

AEA = 1/2(abc+a-b-c) = AEBC

AEB = 1/2(abc+b-a-c) = AEAC

AEC = 1/2(abc+c-a-b) = AEAB


Alias 關係計算 A 平均效應之公式與計算 BC 平均效應之公式相

同；亦即，當吾人利用上述之公式計算 A 之平均效應時，實際上，乃是在做 A+BC 之平均效應計算。此種現象稱之為 Alias ，以 lA A+BC 來表示。

所以，在 23-1 Design (I=ABC) 下之 Aliases 為lA A+BClB B+AClC C+AB


23-1 Design (I=-ABC) 下之 Aliases 在 23-1 Design (I=-ABC) 下之 Aliases 為

l`A A-BCl`B B-ACl`C C-AB

WHY?


連續部分階層實驗若吾人做兩階段之實驗皆為 23-1 Design ，但第一次用

I=ABC ，第二次用 I=-ABC ，則因為lA A+BClÀ A-BC

所以(lA + lÀ )/2 A(lA – lÀ )/2 BC

吾人可清楚界定出主因子作用與兩因子交互作用之大小，但對 ABC 而言，則無法估算，此為部份階層實驗所必須犧牲。


部份階層實驗之解析度 (Resolution) 定義：

一個具有解析度為 R 之設計， p- 因子交互作用之效應不與 R-p 因子交互作用之效應相互 Alias 。

解析度Ⅲ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用相互 Alias ；但主因子作用卻和 2 因子交互作用相互 Alias 。如 23-1 Design 。

解析度Ⅳ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用或 2 因子交互作用相互 Alias ；但 2 因子交互作用卻相互 Alias 。如 24-1 Design (I=ABCD) 。

解析度Ⅴ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用或 2 因子交互作用相互 Alias ；但 2 因子交互作用卻與 3 因子交互作用相互Alias 。如 25-1 Design (I=ABCDE) 。


建構 2k-1 Design 方式 1.

可利用最高階之交互作用為產生器，運用其在符號表上之 + 、- 號來做區分。例 24-

1 Design (I=ABCD)


建構 2k-1 Design 方式 2.

同樣利用最高階之交互作用為產生器，例 24-1 Design (I=ABCD) ，可令 D = D (ABCD) = ABCD2 = ABC 來構建。


部份階層實驗設計之使用，應循序漸進

ABCDIIV

142

ABCDIIV

142

所有因子皆顯著

刪除不顯著因子加入其它因子其他設計如 3k, 3k-p, CCD, …


24-1 Design Example 範例 “ 241.DX5” ， 24-1 Design (I=ABCD)

A 因子：溫度 B 因子：壓力 C 因子：濃度 D 因子：攪拌速度反應變數 Y ：過濾速度


Aliases for the Example A = A(ABCD) = A2BCD = BCD

B = B(ABCD) = AB2CD = ACDC = C(ABCD) = ABC2D = ABDD = D(ABCD) = ABCD2 = ABCAB = AC = BC =

lA A+BCDlB B+ACDlC C+ABDlD D+ABClAB AB+CDlAC AC+BDlBC BC+AD

所以， 24-1 Design (I=ABCD) 之解析度為Ⅳ。

Computer Output


25-1 Design Example 範例 “ 251.DX5” ， 25-1 Design (I=ABCDE)

A 因子：孔徑大小 B 因子：曝露時間 C 因子：化學處理時間D 因子：膜罩尺寸 E 因子：蝕刻時間反應變數 Y ：產量


Conclusion for the Example

15

14

2

2

V

IV

22

12

12

3

4

3

n

n

n扣除一因子

扣除一因子

扣除二因子


2k-2 Design (1/4 階層設計 ) 2k-1 Design 需要一個 Generator I=ABCDE…. 最高階交互作用

來構建。

2k-2 Design 需要兩個 Generators 。

26-2 Design (I = ABCE = BCDF) ，建構之方式如 2k-1 Design ，下頁之表為利用第二種方式構建而成。

由於取 I=±ABCE 與 I = ±BCDF 共有 4 組，除了 ABCE 與 BCDF 外，應有另一個交互作用會被犧牲掉，此交互作用為

(ABCE)(BCDF) = AB2C2DEF = ADEF所以完整之寫法應為 I=ABCE=BCDF=ADEF


26-2 Design 符號表


26-2 Design (I = ABCE = BCDF=ADEF) 之 Aliases

A = BCE = DEF = ABCDFB = ACE = CDF = ABDEFC = E = F = AB = BC = ABD =

完整之 Aliases 結構如下頁。


26-2 Design 之計算 26-2 Design (I = ABCE = BCDF=ADEF) 共有 16 次實驗， 16-1=15

個自由度，可用以估算 6 個主因子作用及多數 2 因子交互作用。

其計算如下：ContrastA = ae+abf+acf+abce+adef+abd+acd+abcdef

-(1)-bef-cef-bc-df-bde-cde-bcdf平均效應：

AEA = ContrastA / 8SSA = ContrastA

2 / 16

其他因子之計算同此方法。


26-2 Design_Example 範例： “ 262.DX5”, 26-2 Design

(I = ABCE = BCDF=ADEF) 射出成型製程A 因子：溫度B 因子：轉速C 因子：固定之時間長短D 因子：循環時間E 因子：孔徑大小F 因子：壓力反應變數 Y ：收縮程度


一般 2k-p Design 需要 p 個產生器 (Generators) 。

24-1 Design (I=ABCD) 26-2 Design (I = ABCE = BCDF)

每一作用 (Effect) 有 2p個 Aliases 。 23-1 Design (I=ABC) 中， lA A+BC 26-2 Design (I = ABCE = BCDF) 中， lA A+BCE+DEF+ABCDF

只允許 2k-p-1 個作用 ( 及其 Aliases) 被估算出來。


在 2k-p 中使用區隔化 (Blocking) 26-2 Design (I = ABCE = BCDF) 中，用 ABD 作區隔化：


Fold-Over Design

範例：” 274.Dx5”27-4 Design (I = ABD = ACE = BCF = ABCG)

Foldover27-4 Design (I = -ABD = -ACE = -BCF = ABCG)

如下頁之表格。

作用：分離出主要因子或重要之低階因子交互作用。解析度 Ⅲ Fold over Ⅳ：

區離主因子與二因子交互作用。解析度 Ⅳ Fold over Ⅴ：

區離所有二因子交互作用。


常用之 2k-p Design


Plackett-Burman Designs 使用 N 個實驗來研究 k = N – 1 個因子，其中 N 為 4

的倍數。當 N = 2x 時，則與 2k-p Designs 相同。當N = 12 、 20 、 24 、 28 、 36 時的 Plackett-Burman Design ，則常被用來瞭解主因子作用。

k=11, N=12, + + - + + + - - - + - -

k=19, N=20, + + - - + + + + - + - + - - - - + + - -


&9 三水準 ( 部份 ) 階層設計 (3k-p) 3k-p Design 具有 k 個因子，每個因子有 3 個水準，共

有 3k-p次實驗。

2k Design 與 2k-p Design 因為每個因子只有 2 水準，只能用以估算線性資訊，若曲線資訊對實驗者來說非常重要，或者線性模式並不適用，則需使用 3k-p Design 實驗。


Notes

3k-p Design 具有非常複雜之 Aliases ，且所需之實驗次數較多，並非求取曲線資訊之最佳方法。

2k Design 或 2k-p Design ，再加入 nc個中心點，可以更經濟的達到求取曲線資訊之目的。

只有在複雜之因子交互作用，如 AB2C 、 A2BC 、 ABC2等，非常顯著時才適用。


32 Design

水準軟體符號表 Low -1 0

Center 0 1 High 1 2


32 Design 自由度之分配 32 Design 共有 9 次實驗， 9-1=8 個自由度，其自由度之分配如下：


3k Design 之區隔化 (Blocking) 33 Design 區隔成三部份。使用 AB2C2 ，

令 L = x1+2x2+2x3 ，其中 xi為第 i 因子之水準。則 L (mod 3) ，即可得到三個區隔。


混合水準設計範例 2*3 Design

A 因子：兩水準 B 因子：三水準反應變數 Y

&8 二水準部分階層實驗設計 (2 k-p )

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