π～計算法の変遷～

2006 年２月１７日明治大学理工学部数学科

鎌田　伊織　　　　　吉本　清夏

円周率の計算法の歴史• 円に内接・外接する正多角形の周長の利用

　　　　　　　　　　　 ( アルキメデス（ BC3C ）・関 孝和（１７ C ）・建部 賢弘（１

８ C) ）

• 逆正接関数 (Arctan) の Taylor 展開の利用

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ Leibniz （１５ C) ・ Sharp （（１７ C) ・ Machi

n （１８ C))

• ＡＧＭ ( 算術幾何平均： Arithmetic Geometric Mean)

　　　 (Salamin-Brent による Gauss-Legendre 法（１９７６）・ Borwein 法）　

• ＤＲＭ（分割有理数化 :Divide and Rationalize Method ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（後 保範（１９９８） ＆ 金田 康生（２０

０２））

Arctan 級数とは？　　　　　　　　　 の両辺を微分すると ,

項別積分することで , Arctan の Taylor 展開が得られる .

実は , ｘ＝ 1 でも成立し , Leibniz 級数を得る . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　 　　 （１）

x ＝　　とすると , Sharp の公式が得られる .

　 　 （２）

・ （１）は収束速度が非常に遅く , 効率が悪い・ （２）は（１）よりはずいぶん速くなる・ 長い年月をかけて多くの人々が競って計算するようになった

0

22

)(1

1)(

n

nxx

xf

112

)1(arctan

1

121

xnn

nn

　 　

xxf arctan)(

9

1

7

1

5

1

3

11

4

3

1

3

1arctan

6

1x　

Arctan 級数の公式 1/2

• Machin 　　 (1706) 　　　（当時の最高記録１００桁を求め ,

その後　　　　　　　　　　　　多くの人に利用された . ）

• Euler

　 (1737 ）

　 (1755)

3

1arctan

2

1arctan

4

79

3arctan2

7

1arctan5

4

239

1arctan

5

1arctan4

4

Arctan 級数の公式 2/2• Gauss (1863) 　　　　　　　　 　 ( おそらく３項公

式で最高効率）　　　　　　　　　　（１９８５年にフェルトンによって１

万２１桁を得た）

• 高野喜久雄　 (1982)　　（２００２年に世界一の１兆２４００億桁を達成した公

式！）

239

1arctan5

57

1arctan8

18

1arctan12

4

268

1arctan24

239

1arctan7

57

1arctan20

38

1arctan12

4

110443

1arctan12

239

1arctan5

57

1arctan32

49

1arctan12

4

実験結果 1/3

＊ S （ ｊ ）＝各公式におけるTaylor

　　　　 展開の第 ｊ 部分和＊横軸 ＝項数　ｊ＊縦軸 ＝ π と S( j ) の誤差の　　　　　　 log 10 をとった

もの

・ ■ マチンの公式

・ ■　オイラーの公式①

・ ■　オイラーの公式②

・ ■　ガウスの公式①

・ ■　ガウスの公式②

・ ■　高野喜久雄の公式

部分和の項数 ｊ と 誤差 log １０（ π － S （ ｊ ））との関係

実験結果 2/3

＜グラフからわかったこと＞• 傾きは , それぞれの公式において最も収束速度が遅い項による

　　　　　　　　　　 （収束速度は Arctan （ｘ）の｜ｘ｜が大きいほど遅くなる）

• Arctan （ｘ）の｜ｘ｜が大きい項をもつ公式ほど , | 傾き | が小さい

• 傾きと｜ｘ｜の log10 値を比べてみる

＊ 傾きは log10 （ｘ ）の２倍

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　になっている

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

＊ 次に , この関係を調べる

Arctanx の｜ｘ｜ 傾き １ / 2 － 0.6 － 0.301

1 / 5 － 1.4 － 0.698

1 / 7 － 1.7 － 0.845

1 / 18 － 2.5 － 1.255

1 / 38 － 3.16 － 1.579

1 / 49 － 3.24 － 1.690

)(log10 x

実験結果 3/3　　　　　＜ Machin の公式（ ）を例にとって考

える＞

　　　　　　　　　　　　とおき , Taylor 展開をすると ,

となる . また , j での部分和は ,

よって , π と j での部分和との誤差は ,

対数をとると　

よって ,log10x の２倍が傾きになると考えられる .

239

1arctan

5

1arctan4

4

239

1,5

1 yx

1 1

121

121

12

)1(

12

)1(44k k

kk

kk

yk

xk

j

k

j

k

kk

kk

yk

xk

jS1 1

121

121

12

)1(

12

)1(44)(

1216

12

)1(

12

)1(44)(

121212

j

xy

jx

jjS

jj

jj

j

≒

xjjjS 10101010 log)12()12(log16loglog ≒

算術幾何平均とは・・・・　　　　　のことを昔は算術平均・幾何平均と呼

んでいた．

・　　　　　　　　　とし、

・数列｛　｝と｛　｝は共通の極限に収束する．

・この値を　　と　　の算術幾何平均 (arithmetic-geometric mean) と呼び、　　　　　で表す．

abba　,

2

),( baM

bbaa 00 ,

)2,1,0(,2 11

nbabba

a nnnnn

n

na nb

ba

背景１ / ３　　　　　　　　　　　＜ Legendre の関係式＞（ⅰ）第一種完全楕円積分　　　

　　　　　　第二種完全楕円積分　　　　　　　　　　　　　の間に成り立つ Legendre の関係式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

)10(sin1)1)(1(

:)(1

0

2

0 22222

k

k

d

xkx

dxkK

)10(sin11

1:)(

1

0

2

0

22

2

22

kdkdx

x

xkkE

2)()()()()()(

kKkKkEkKkEkK 21 kk

背景２ / ３　　　＜ Gauss,“the fundamental limit theorem” ＞第一種完全楕円積分、第二種完全楕円積分の二変数版を　

で定めると、

が成り立つ．ただし、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　

dbabaJba

dbaI

2

0

22222

0 2222sincos),(,

sincos),(

),()2(),(,),(

1

2),(

0

21 baIcabaJbaM

baIn

nn

|| 22nnn bac

背景３ / ３• Legendre の関係式で　　　　　　の時、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　であるので、

　①に②を代入して、

2

1k

①22

1

2

1

2

12

2

KEK

②

2

1,1)21(

22

1,

2

1,1

1

22

1

0

21 McEM

Kn

nn

0

2

2

21

2

1,12

nn

nc

M

),1()(),,1()( kJkEkIkK )1( 2kk

ガウス・ルジャンドルの公式　　　　　　　　　　　　として、

　　以下の反復式を　　と　　の差が所要桁以上になるまで計算する．

　

　　所要桁になったら円周率は、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　≒　　と求められる．

4

1,2

1,1 000 tba

na nb

21

1111

11 )(2,,2

nnn

nnnnnnn

n aattbabba

a

n

nn

t

ba

4

)( 2

　　　＝　　　　　と　　 　　≒　　関係

・

・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ガウス・ルジャンドルの公式より　　　　　　　　　　

また、

2

21

22

2

1,1

24

)(

Mababa

nnnnn

n

kkk

kn aat

1

21

1 )(24

1

21

1

1

1

220

2

1

21

0

2

01

20

2

)(24

12

2

1

2

1

)(24

12

2

1

2

1

2

12

2

1

4

1

2

21

k

n

kk

kn

kk

k

k

n

kk

kn

kk

k

n

kk

knn

n

n

aacc

bac

ccc

t

0

21

2

21

2

1,12

nn

n c

M

n

nn

t

ba

4

)( 2

誤差の減少の速さn π との誤差

１ 1.0134E-0003

２ 7.3763E-0009

３ 1.8313E-0019

４ 5.4721E-0041

５ 2.4061E-0084

６ 2.3086E-0171

７ 1.0586E-0345

８ 1.1110E-0694

９ 　　　　 -1.5022E-1000

10 　　　　 -1.5022E-1000

f i g.π との誤差

＜縦軸：　　　　　　　　　　　　　　横軸：回数ｎ＞

|log|log 1010 ）との誤差（

まとめ • 今回は取り上げられなかったが、ボールウェイ

ンの４次式では計算精度が４倍である

• 現在の世界記録は高野喜久雄の（Ａｒｃｔａｎ）公式とＤＲＭ法を使って，２００２年１１月に後　保範氏＆金田　康生氏によって計算された約１兆２４００億桁！

• 今後もコンピュータの発達により π の計算記録の樹立は変わってくると考えられる

参考文献• （１）　Ｅ．ハイラー , Ｇ．ワナー 著 , 蟹江幸博 訳 , 解析教程

上 , シュプリンガー・フェアラーク東京 （１９９７）　• （２）　桂田祐史 , π ノート , 明治大学数学科助教授 （２００

４）• （３） 清水康生 , π の数値解析 , 明治大学数学科 ２００３年度卒

業研究レポート （２００４）• （４） ペートル・ベックマン 著 , 田尾陽一 , 清水韶光 訳 , π の

歴史 , 蒼樹書房 （１９７３）• （５） 数学文化 , Ｖｏｌ . １ , 日本数学協会 （２００３）• （６）金田康正 , π のはなし , 東京書籍 （１９９１）• （７）　梅村浩 , 楕円関数論 , 東京大学出版会 （１９９９）• （８）ドゥラエ・ジャン＝ポール（Ｊｅａｎ－Ｐａｕｌ Ｄｅｌａｈａｙｅ）著 , 畑政義 訳 , π-魅惑の数 , 朝倉書店 （２００１）

御静聴ありがとうございました。