يـــــــــمـلعلا ثـــح ـلا و يـــلاعلا ... · 2014-11-02 ·...

العلـمـــــــــي الـبحـــث و العالـــي ـمـــليـالتع رةوزا

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

1ـفــسطيـ - اســـت فرحـاث عبــجامع

UNIVERSITE FERHAT ABBAS — SETIF1 UFAS1(ALGERIE)

Faculté de Technologie

Mémoire de Magister

Présenté au département d’Electrotechnique

Pour obtenir le diplôme

de Magister en Electrotechnique

Option :

Commande Electrique

par :

NETTARI Yakoub

Thème

Commandes robustes et intelligentes des convertisseurs DC-DC

Soutenu le 30/10/2014 devant le jury d’examen composé de :

M. KHEMLICHE Professeur Université Ferhat Abbas de Sétif1 Président

M. N. HARMAS Professeur Université Ferhat Abbas de Sétif1 Rapporteur

A. CHAIBA MCA Université Ferhat Abbas de Sétif1 Examinateur

A.BOUAFIA MCA Université Ferhat Abbas de Sétif1 Examinateur

Dédicaces

A mes chers parents

A mes chères frères, à mes chères sœurs, à ma famille et à tous mes amis.

SOMMAIRE

xi

Remerciements

Je tiens à remercier en tout premier lieu Allah qui me donne la force et le courage pour terminer

ce travail, après le prof. M.N.Harmas, Directeur de ce mémoire. Pour m’avoir proposé ce sujet de

magister et de m’avoir aidé par ses idées et ses conseils durant toute les étapes de réalisation de ce

travail.

Je remercie vivement le Pr. M.Khemliche: président du jury. Pour m’honorer de sa présence

ainsi que pour son soutien et ses encouragements durant la préparation de ce travail.

Je remercie également tous les membres du jury M. A.Bouafia et A. CHAIBA par la présence pour

examiner le présent travail et pour l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail.

M. Rahmani Lazhar le doyen de la faculté de Technologie. Par cette occasion je tiens à le

remercier pour s’intéresser à juger mon travail, ainsi que pour tous ces efforts pour le bon avancement

des travaux de recherches dans la faculté.

Dr. H.Radjai le chef de département d’électrotechnique, par sa présence pour ses efforts donnés

durant mes années d’études dans l’université.

Je remercie spécialement mon collègue A.I.Kafi pour leur soutien et leur aide qui m’a permis

d’échanger des idées dans le même axe de recherche et pour son aide inédit sur la mise en forme et la

rédaction du mémoire.

Je ne peux pas oublier mes enseignants pour leurs efforts durant toutes mes années d’étude

dans l’université et pour leur soutien durant la réalisation de ce mémoire.

Enfin je remercie toute personne de près ou de loin qui a participé pour rendre ce travail

réalisable et présentable.

.

Sétif, le 08 / 06 /2014

NETTARI Yakoub

SOMMAIRE

Sommaire

INTRODUCTION GENERALE ................................................................. ….i

Chapitre 01............................................................................................................................. .................. 1.1

LES CONVERTISSEURS DC-DC.............................................................. 1.1

1.1. Introduction .......................................................................................................................................1.1

1.2. Mode de fonctionnement du convertisseur statique.........................................................1.1

1.3. Convertisseurs DC-DC ....................................................................................................................1.2

1.4. Convertisseur dévolteur (Buck converter)............................................................................1.7

1.4.1. Mode de conduction continue. ....................................................................................................... 1.7

1.4.2. Limite entre la conduction continue et discontinue. ............................................................ 1.11

1.4.3. Mode de conduction discontinue .................................................................................................. 1.12

1.4.4. Rendement du convertisseur statique........................................................................................ 1.13

1.5. La modélisation mathématique de convertisseur dévolteur (Buck). .........................1.13

1.5.1. Modèle moyen de convertisseur dévolteur (Buck) avec pertes inclus. ........................ 1.14

1.5.1.1. En mode de conduction continu. ............................................................................................... ..1.14

1.5.1.2. En mode de conduction discontinu. ......................................................................................... ..1.19

1. 6. Concep ti on d’un converti sseur dévolte ur. .................................................................1.20

1.7. Test en boucle ouverte. ................................................................................................................ 1.22

1.8. Conclusion............................................................................................................................. ............ 1.24

Chapitre 02............................................................................................................................................... 2.25

COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET SYNERGETIQUE ...............2.25

2.1. Introduction .......................................................................................................................................2.25

2.2. Principes généraux de la commande par modes glissants..............................................2.25

2.2.1. Synthèse de la surface de glissement .......................................................................................... .2.26

2.2. 2. Co ndi ti ons de convergence et d’exis tence (s tabi li té) .......................................... 2.28

2.2.3. Synthèse de la loi de commande. .................................................................................................. 2.29

2.3. Synthèse de commande du convertisseur dévolteur par mode glissant ..................2.32

2.3.1. Choix de surface. ............................................................................................................................. ..... 2.33

2.3.2. Détermination de la commande. ................................................................................................... 2.33

2.3.3. Phénomène de chattrering. ............................................................................................................. 2.34

2.3. 4. Rem plac em ent de la fonc tion ‘’ sign’’ par une fonction continue .......................2.36

2.4. Commande synergétique. ...........................................................................................................2.37

2.4.1. Principe de la commande synergétique. .................................................................................... 2.38

2.4.2. Synthèse de la commande synergétique................................................................................... 2.38

2.4.3. Conception de la commande synergétique .............................................................................. 2.40

2.4.4. Loi de commande synergétique. ................................................................................................... 2.41

2.5. Résultats de simulation. ..............................................................................................................2.42

2.6. Synthèse des commandes améliorées ....................................................................................2.44

2.6.1. Mode glissant amélioré. .................................................................................................................... 2.44

2.6.2. Synergétique améliorée. ................................................................................................................... 2.44

2.6.2.1. Loi de commande avec limitation de courant ...................................................................... 2.45

SOMMAIRE

2.6.3. Loi de l'adaptation dynamique des paramètres de commande. ...................................... .2.46

2.6.4. Résultats de simulation des commandes améliorées........................................................... .2.47

2.6.5. Test de robustesse. ............................................................................................................................. ..2.49

2.7. Conclusion ........................................................................................................................................ 2.54

Chapitre 03............................................................................................................................. .................. 3.55

COMMANDE ADAPTATIVE FLOUE TERMINALE ............................. 3.55

3.1. Introduction ............................................................................................................................. ........3.55

3.2. Conception du contrôleur synergétique terminal. .............................................................3.55

3.3. Introduction aux systèmes flous ............................................................................................. ..3.57

3.3.1. Rappel sur les systèmes flous type-1 .......................................................................................... 3.57

3.3.1.1. Ensembles Flous............................................................................................................................... 3.58

3.3. 1.2. Foncti on d’Appartenanc e ......................................................................................................3.58

3.3.1.3. Base de règles. ................................................................................................................................... 3.60

3.3.1.4. Fuzzification....................................................................................................................................... 3.60

3.3. 1.5. L’i nférenc e .....................................................................................................................................3.60

3.3.1.6. Défuzzification ................................................................................................................................. 3.60

3.3.2. Approximation par les systèmes flous type-1 ........................................................................ 3.60

3.3.3. Théorème de l’approxi mati on uni vers elle ..........................................................................3.62

3.4. Commande adaptative floue directe et indirecte ...............................................................3.62

3.4.1. Commande adaptative floue directe............................................................................................ 3.62

3.4.2. Commande adaptative floue indirecte........................................................................................ 3.63

3.5. Commande adaptative floue indirecte par synergétique terminale. ........................ 3.63

3.5.1. Conception du contrôleur adaptatif flou selon la synthèse de Lyapunov .................... 3.63

3.5.2. Commande de supervision .............................................................................................................. 3.65

3.5. 3. Loi s d’adaptation ............................................................................................................................3.66

3.5.4. Algorithme de projection ................................................................................................................. 3.68

3.6. Résultats de simulation ............................................................................................................... 3.71

3.6.1. Test de robustesse. ............................................................................................................................. 3.73

3.7. Commande adaptative floue par mode glissant terminale ............................................ 3.78

3.7. 1. Loi s d’adaptation ............................................................................................................................ 3.79

3.8. Comparaison entre les commande AFTSMC et AFTSYC. ............................................... 3.80

3.9. Conclusion................................................................................................. ........................................ 3.82

Chapitre 04............................................................................................................................. .................. 4.83

OPTIMISATION DES PARAMETRES PAR LES ALGORITHMES GENETIQUES ......4.83

4.1. Introduction ..................................................................................................................................... 4.83

4.2. Algorithmes génétiques .............................................................................................................. 4.84

4.2.1. Outils évolutionnaires de base d'un (AG).................................................................................. 4.84

4.2.2. Optimisation par les algorithmes génétique ............................................................................ 4.85

4.2.3. Mécanismes de fonctionnement d’un (AG)............................................................................... 4.87

4.3. Optimisation des paramètres de contrôleur AFTSYC utilisant des Algorithmes

Génétiques (GA)............................................................................................................................. 4.97

4.4. Conclusion......................................................................................................................................... 4.102

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES ................................ C.1

Liste des figures

Figure 1.1. Convertisseur Boost (élévateur de tension)............................................................................................. 1.3

Figure 1.2. Convertisseur Boost durant l’état on........................................................................................................ 1.3

Figure 1.3. Convertisseur Boost durant l’état off ....................................................................................................... 1.4

Figure 1.4. Convertisseur Buck-Boost ......................................................................................................................... 1.4

Figure 1.5. Convertisseur Buck-Boost durant l’état on ............................................................................................. 1.5

Figure 1.6. Convertisseur Buck-Boost durant l’état off .......................................................................................... 1.5

Figure 1.7. Convertisseur Cuk ....................................................................................................................................... 1.5

Figure 1.8. Le schéma de base du convertisseur dévolteur (Buck converter)........................................................ 1.7

Figure 1.9. Formes d’ondes des tensions et courants dans un convertisseur Buck en MCC .............................. 1.7

Figure 1.10. L’ondulation de la tension de sortie ....................................................................................................... 1.10

Figure 1.11. Tension aux bornes de l’inductance et courant la traversant (limite entre MCC et MCD) ........... 1.11

Figure 1.12. Forme d’ondes des tensions et courants en MCD............................................................................... 1.12

Figure 1.13. Circuit équivalent de convertisseur dévolteur (Buck) avec les pertes inhérentes aux éléments du

circuit électrique ........................................................................................................................................ 1.14

Figure 1.14. Schéma de convertisseur abaisseur (Buck), lorsque M est à l’état ON ............................................. 1.15

Figure 1.15. Schéma de convertisseur abaisseur (Buck), lorsque M est à l’état OFF ........................................... 1.17

Figure 1.16. Circuit du convertisseur dévolteur implémenté avec Matlab/Simulink ........................................... 1.22

Figure 1.17. Réponses transitoires des modèles développés en boucle ouverte ................................................... 1.22

Figure 1.18 (a). Variation de la tension de sortie en fonction du rapport cyclique en boucle ouverte .............. 1.23

Figure 1.18 (b). La variation du rapport cyclique ....................................................................................................... 1.23

Figure 2.1. Plane de phase en mode glissant ............................................................................................................... 2.26

Figure 2.2. Commande équivalente .............................................................................................................................. 2.31

Figure 2.3. Plan de phase................................................................................................................................................ 2.42

Figure 2.4. Tension de sortie Vo ................................................................................................................................... 2.43

Figure 2.5. Signal de commande d. ............................................................................................................................... 2.43

Figure 2.6. Courant d’inductance iL. ............................................................................................................................ 2.43

Figure 2.7. Plan de phase pour différentes valeurs de T ........................................................................................... 2.44

Figure 2.8. Courant d’inductance (iL) avec des différentes valeurs de T ............................................................... 2.45

Figure 2.9. Plan de phase de l’approche (1) ................................................................................................................ 2.45

Figure 2.10. Plan de phase de l’approche (2) .............................................................................................................. 2.46

Figure 2.11. Interprétation géométrique d'adaptation de paramètre ....................................................................... 2.47

Figure 2.12 .Tension de sortie Vo, (SMC améliorée).. .............................................................................................. 2.47

Figure 2.13. Signal de commande d, (SMC améliorée). ............................................................................................. 2.48

Figure 2.14. Courant de l’inductance iL (A),(SYC améliorée ) ................................................................................. 2.48

Figure 2.15. Signal de commande d, (SYC améliorée). ............................................................................................. 2.48

Figure 2.16. Tension de sortie Vo, (SYC améliorée).. ............................................................................................... 2.49

Figure 2.17. Tension de sortie Vo, avec la variation de la tension de référence Vref .......................................... 2.49

Figure 2.18. Tension de sortie Vo, avec la variation de la tension d’entrée Vin ................................................... 2.50

Figure 2.19 .Tension de sortie Vo, avec la variation de la charge R........................................................................ 2.50

Figure 2.20. Réponse du système avec SMC avec la variation de R et k=3.105 .................................................... 2.53

Figure 2.21. Réponse du système avec SYC avec la variation de R et T=5.10-4 ................................................... 2.53

Figure 3.1. Structure d’un contrôleur flou ................................................................................................................... 3.57

Figure 3.2. Différentes formes des fonctions d’appartenance ................................................................................. 3.59

Figure 3.3. Commande adaptative floue directe ......................................................................................................... 3.62

Figure 3.4. Commande adaptative floue indirecte...................................................................................................... 3.63

Figure 3.5. Méthode du gradient avec projection ....................................................................................................... 3.68

Figure 3.6. Schéma global de la commande adaptative floue ................................................................................... 3.70

Figure 3.7. Fonctions d'appartenance avec trois ensembles pour la variable « erreur et sa dérivée » ................ 3.71

Figure 3.8. Tension de sortie Vo (AFTSYC). ............................................................................................................. 3.72

Figure 3.9. Courant de l’inductance iL (A), (AFTSYC)............................................................................................. 3.72

Figure 3.10. Signal de commande AFTSYC ............................................................................................................... 3.72

Figure 3.11. Courant de charge io (A), (AFTSYC) .................................................................................................... 3.73

Figure 3.12. Schéma global du contrôleur AFTSYC avec le modèle (1.57) ........................................................... 3.73

Figure 3.13. Tension de sortie Vo du modèle (1.57) par AFTSYC ......................................................................... 3.74

Figure 3.14. Courant de l’inductance du modèle (1.57) par AFTSYC. ................................................................... 3.74

Figure 3.15. Signal de commande AFTSYC avec le modèle (1.57). ........................................................................ 3.74

Figure 3.16 .Variation de la tension de référence Vref.. ............................................................................................ 3.75

Figure 3.17. Tension de sortie lors la variation de la tension d’entrée Vin.. .......................................................... 3.75

Figure 3.18. Fonction g(x) lors la variation de Vin ................................................................................................... 3.76

Figure 3.19. Tension de sortie lors la variation de la charge R ................................................................................ 3.76

Figure 3.20. Signal de commande AFTSYC lors la variation de charge.. ............................................................... 3.76

Figure 3.21. Fonction f(x) lors la variation de la charge R.. ...................................................................................... 3.77

Figure 3.22. Fonction g(x) lors la variation de la charge R. ...................................................................................... 3.77

Figure 3.23. Courant de l’inductance lors la variation de R.. .................................................................................... 3.77

Figure 3.24. Tension de sortie Vo, par (AFTSMC et AFTSYC). ............................................................................ 3.81

Figure 3.25. Signal de commande, par (AFTSMC et AFTSYC). ............................................................................. 3.81

Figure 4.1. Organigramme général d'un algorithme génétique ................................................................................ 4.86

Figure 4.2. Exemple de sélection par roulette ............................................................................................................ 4.92

Figure 4.3. Croisement à un site .................................................................................................................................... 4.94

Figure 4.4. Croisement à k sites .................................................................................................................................... 4.95

Figure 4.5. Mutation dans un chromosome ................................................................................................................ 4.96

Figure 4.6. Le schéma synoptique du système de commande avec optimisation des paramètres ...................... 4.97

Figure 4.7. Résultats de l'approche GA-AFTSYC. .................................................................................................... 4.100

Figure 4.8. Figure 4.8. a- La tension de sortie (V), b- le courant de l’inductance iL (A).c- Le signale de

commande d, lors la variation de R, par GA-AFTSYC. ........................................................................................... 4.101

Liste des tableaux

Tableau 1.1. la complexité de chaque type de convertisseur .................................................................................... 1.6

Tableau 1.2. Le rendement de quelques convertisseurs connus .............................................................................. 1.13

Tableau 1.3. les paramètres de convertisseur dévolteur(Buck) ................................................................................ 1.21

Tableau 3.1. Les paramètres de contrôleur AFTSYC ................................................................................................ 3.71

Tableau 4.1. les paramètres optimaux obtenus par l’AG .......................................................................................... 4.98

Listes des Acronymes et Symboles

Acronymes

MCC Mode de Conduction Continu MCD Mode de Conduction Discontinu AC DC

Courant alternatif Courant continu

F.E.M Force électromotrice MLI Modulation de Largeur d’Impulsion SMC Commande par mode glissant SYC Commande synergétique TSYC Commande synergétique terminale TSMC Commande par mode glissant terminal MRAC Commande adaptative par modèle de référence

FBF Fonction de base floue

AFTSMC Commande adaptative floue par mode glissant terminal

AFTSYC GA-AFTSYC

Commande adaptative floue synergétique terminale Commande adaptative floue synergétique terminale optimisée par les algorithmes génétiques

PWM

Pulse Width Modulation

Symboles

x Vecteur d’état L Iinductance C Condensateur R Charge

Vin Tension d’entrée Vo Tension de sortie VD Tension directe de diode RL Résistance interne de l’inductance L iL Courant d’inductance

RM Résistance on de l’interrupteur M RC Résistance interne de C M Interrupteur io Le courant de charge

VC Tension du condensateur Vref Tension de référence e Erreur entre la sortie et la référence

Dérivée de l’erreur

s Surface de glissement Ψ Macro-variable synergétique µ Degré d’appartenance d’une variable floue l Indice des règles floues

Symboles

, partie nominale de f,g

V Fonction de Lyapunov T Constante de temps U Ensemble compact U Mf, Mg Constante positive (norme maximale de )

Paramètres du système flou

( ) Vecteurs de fonctions floues de base (FBF).

d Signal de commande

f get Ensembles des contraintes

Erreur d’approximation

Paramètres optimaux

Fonctions optimales du système

Valeurs maximales des fonctions f et g

Valeur minimale de la fonction g

INTRODUCTION GENERALE

i


Un convertisseur continu-continu ou hacheur est un convertisseur statique qui permet d’alimenter une

charge sous une tension continue réglable, à partir d’une source de tension continue (batterie par

exemple).

Les convertisseurs continu-continu sont devenus une composante essentielle des applications

industrielles et militaires au cours des dernières décennies. Grâce à leurs rendements de plus en plus

élevés, leurs faibles encombrements ainsi que leurs poids et coûts réduits, ils ont remplacé les

alimentations classiques linéaires, même pour de faibles niveaux de puissance. Un convertisseur de

puissance peut être caractérisé comme un système périodique, non-linéaire et variant au cours du temps

en raison de son fonctionnement basé sur le découpage. La topologie des éléments dynamiques du

système dépend de l’état instantané de chaque interrupteur commandé, ce qui rend la modélisation

complexe.

Toutefois, les modèles analytiques des convertisseurs continu-continu à commande PWM sont

essentiels pour la conception et l’analyse dans de nombreuses applications. telles que l'automobile,

l'aéronautique, l'espace, les télécommunications, la marine, les ordinateurs, les équipements médicaux…

Beaucoup d'efforts ont été faits au cours des dernières années pour contrôler les convertisseurs

continu-continu. Nombre de commandes ont été proposés [17][22][23][27][29][30][34][37][41][47].

En effet, il est nécessaire de développer des contrôleurs non-linéaires prenant en charge l’imprécision

des modèles mathématique dues en partie aux incertitudes sur les paramètres et leurs éventuelles

variations en fonction du temps et des points de fonctionnement.

Ces contrôleurs doivent donc être robuste vis-à-vis les incertitudes, des perturbations introduites et vis-

à-vis de les variations des paramètres du système.

Pour répondre à ces défis, cette étude propose la conception de contrôleurs robustes et intelligents.

Le travail est présenté en quatre chapitres organisés comme suit:

Le premier chapitre met en évidence la modélisation des différents types des convertisseurs, et

discute en détails les modèles des convertisseurs les plus usités en général et la conception d’un

convertisseur dévolteur (Buck) en particulier.

Le second chapitre introduit la synthèse de commande par mode glissant et la commande

synergétique et présente une comparaison entre les deux commandes ainsi que l’analyse des

performances de chacune.


ii

Le troisième chapitre propose :

L’amélioration des commandes précédentes par l’utilisation de la stratégie terminale

(Convergence à temps fini) et la technique adaptative basée sur l’estimation universelle par les

systèmes flous.

En raison du grand nombre des paramètres du contrôleur on s’oriente vers les algorithmes

d’optimisation telle que les algorithmes génétiques, et c'est ce qui est abordé dans le quatrième

chapitre.

Le travail sera terminé par une conclusion générale sur le travail effectué ainsi qu’une discussion des

résultats obtenus suivi de perspectives pour les travaux futurs.

CHAPITRE 1 LES CONVERTISSEURS DC-DC

p. 1.1

Chapitre 1

CONVERTISSEURS DC-DC

1.1. Introduction

Les convertisseurs de type DC-DC convertissent un niveau de tension électrique à un autre

niveau par action de commutation. Ils sont populaires en raison de leurs petites tailles et

l'efficacité par rapport aux régulateurs linéaires. Les convertisseurs DC-DC ont un très grand

domaine d'application. Ceux-ci sont largement utilisés dans les ordinateurs personnels, des

périphériques informatiques et adaptateurs d'appareils électroniques pour fournir des

tensions continues [1]. La grande variété de topologie de circuit de convertisseurs varie entre

une configuration à un transistor unique ; abaisseur (Buck), élévateur (Boost) et abaisseur-

élévateur (Buck-Boost) et des configurations complexes comportant deux ou quatre

interrupteurs et qui emploient commutation douce ou des techniques de résonance pour

contrôler les pertes de commutation [2].

La conception de contrôleur pour n'importe quel système nécessite la connaissance de

comportement du système. Habituellement, cela implique une description mathématique de

la relation entre les entrées du processus, les variables d'état, et de la sortie. Cette description

sous forme des équations mathématiques qui décrivent le comportement du système

(processus) est appelé modèle du système. Ce chapitre décrit une méthode efficace pour

analyser, modéliser et simuler les convertisseurs électroniques de puissance par MATLAB.

Le logiciel MATLAB / SIMULINK peut être avantageusement utilisé pour simuler des

convertisseurs de puissance. Cette étude vise le développement des modèles pour tous les

convertisseurs de base et d'étudier sa réponse en boucle ouverte, de sorte que ces modèles

peut être utilisé en cas de conception d'un système en boucle fermée [3].

1.2. Mode de fonctionnement du convertisseur statique.

Le convertisseur peut fonctionner suivant deux modes de fonctionnements dépendant de sa

capacité de stockage d’énergie, de la période de commutation et de la charge. Ces deux

modes sont :


p. 1.2

- Mode de Conduction Continue (MCC) : Dans ce cas, l’énergie emmagasinée dans

l’.inductance L est transférée partiellement. Le courant dans l’inductance ne s’annule pas sur

une période de commutation.

- Mode de Conduction Discontinue (MCD) : Dans ce cas, l’énergie emmagasinée dans

l’inductance L est transférée totalement. Le courant dans l’inductance s’annule avant la fin

d’une de commutation.

1.3. Convertisseurs DC-DC

Le hacheur ou convertisseur continu - continu est un dispositif de l'électronique de

puissance mettant en œuvre un ou plusieurs interrupteurs commandés et qui permet de

modifier la valeur de la tension d'une source de tension continue avec un rendement élevé.

Le découpage se fait à une fréquence élevée. Si la tension délivrée en sortie est inférieure à la

tension appliquée en entrée, le hacheur est dit dévolteur (ou abaisseur ou Buck). Dans le cas

contraire, il est dit survolteur (ou élévateur ou Boost). Il existe des hacheurs capables de

travailler dans les deux sens (Boost-Buck). Certains hacheurs sont également réversibles : ils

peuvent alors fournir de l'énergie à la charge, généralement une machine à courant continu

dans ce type d'application, ou bien en prélever ce qui permet de freiner la machine.

Il existe différentes méthodes de classification des convertisseurs DC-DC. L'une d'elles

dépend de la propriété d'isolation de la partie primaire et secondaire. L'isolation est

généralement réalisée par un transformateur, qui comporte une partie primaire sur le côté

d'entrée et un secondaire à côté de la sortie. La chaine de retour de la boucle de commande

est réalisée par un autre plus petit transformateur ou optiquement par optocoupleur. Par

conséquent, la sortie est isolée électriquement de l'entrée. Ce type comprend les

convertisseurs (Fly-back) avec un pont redresseur AC-DC supplémentaire à l'avant.

Toutefois, car l’implémentation de ces transformateur encombrant est très grand et coûteux,

convertisseurs DC-DC non-isolement sont plus préféré [2].

Les convertisseurs DC / DC non-isolés peuvent être classés comme suit:

Convertisseur Buck (dévolteur de tension). (Montré dans les sections au-dessous)

Un convertisseur Buck, ou hacheur série, est une alimentation à découpage qui convertit une

tension continue en une autre tension continue de plus faible valeur.

Convertisseur Boost (élévateur de tension).

Un convertisseur Boost, ou hacheur parallèle, est une alimentation à découpage de la Fig. 1.1

qui convertit une tension continue en une autre tension continue de plus forte valeur.

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lectronique_de_puissance

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lectronique_de_puissance

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rendement_(physique)


p. 1.3

Fig.1.1. Convertisseur Boost (élévateur de tension).

Fig. 1.2. Convertisseur Boost durant l’état on.

Si le commutateur Q est ouvert à t0 et si la chute de tension aux bornes de la diode est

négligée, alors V0 est égale à Vin.

Lorsque le commutateur est fermé (fig. 1.2), la tension de la charge chute immédiatement à

zéro si le condensateur C est omis. Le courant du circuit iL circule à travers l’inductance L et

augmente [1],[4] et les équations d’état sont:

1( )

, 0 , :1

( )

Lin

o o

diV

dt Lt dT Q ON

dv v

dt C R

(1.1)

Lorsque Q est désactivé (fig. 1.3), l’inductance se trouve en série avec le générateur et sa

f.é.m. s’additionne à celle du générateur (effet survolteur). Le courant iL traversant

l’inductance traverse ensuite la diode D, le condensateur C et la charge. Il en résulte un

transfert de l’énergie accumulée dans l’inductance vers le condensateur. Le courant décroît

ensuite progressivement, car ov > Vin :

1( )

, , :1

( )

Lin o

o oL

diV v

dt LdT t T Q OFF

dv vi

dt C R

(1.2)


p. 1.4

Fig. 1.3. Convertisseur Boost durant l’état off.

La diode D permet d’éviter la décharge du condensateur C, lorsque le commutateur est

activé. Le condensateur est supposé assez grand pour pouvoir lisser la tension de la charge.

La tension de la charge est donnée par :

Avec

: est le rapport cyclique (0 < D < 1)

On considère ici uniquement le comportement du circuit en conduction continue.

Convertisseur Buck-Boost (abaisseur- élévateur de tension, polarité opposée).

Un convertisseur Buck-Boost présenté par la Fig. 1.4 c’est une alimentation à découpage qui

convertit une tension continue en une autre tension continue de plus faible ou plus grande

valeur mais de polarité inverse [4].

Fig. 1.4. Convertisseur Buck-Boost.

Durant l’état «on», l’énergie apportée par la source est stockée dans l’inductance L (fig. 1.5). Cette

énergie est livrée ensuite à la charge pendant l’état «off» ( fig. 1.6). En raison de la présence de la diode

D, le courant circule à travers l’inductance L seulement dans une direction durant les deux états. Par

conséquent, V0 a une polarité opposée à Vin .Pour cette raison, ce circuit est aussi appelé convertisseur

inverseur. Les équations décrivant ce circuit peuvent être obtenues de la même manière qu’au paravent.

-

+


p. 1.5

1( )

, 0 , :1

( )

Lin

o o

diV

dt Lt dT Q ON

dv v

dt C R

(1.4)

1( )

, , :1

( )

Lo

o oL

div

dt LdT t T Q OFF

dv vi

dt C R

(1.5)

Fig. 1.5. Convertisseur Buck-Boost durant Fig. 1.6. Convertisseur Buck-Boost l’état on durant l’état off

En conclusion, l’amplitude de V0 peut être inférieure ou supérieure à Vin suivant la valeur de ton et toff .

convertisseur Cuk (abaisseur- élévateur de tension).

Les convertisseurs Cuk sont dérivés de la cascade des convertisseurs abaisseurs et élévateurs. Tous les

convertisseurs mentionnés précédemment transfèrent l'énergie entre l'entrée et la sortie à l'aide d’une

inductance et l'analyse est basée sur l'équilibre de la tension aux bornes de l'inductance, par contre Le

convertisseur Cuk utilise le transfert d'énergie capacitif et l'analyse est basée sur l'équilibre du courant

du condensateur. la figure.1.3 montrée la topologie de circuit du convertisseur Cuk [4].

Fig.1.7. Convertisseur Cuk.

Pendant le mode de conduction continue de fonctionnement, les équations d'espace d'état sont :


p. 1.6

Lorsque 0 , :t dT Q ON

1

1

2

2

2

2

2

1

1( )

1( )

1( )

1( )

Lin

cL

Lo c

o oL

div

dt L

dvi

dt C

div v

dt L

dv vi

dt C R

(1.6)

, :dT t T Q OFF

1

1

1

2

2

2

2

1

1( )

1( )

1( )

1( )

Lin o

cL

Lo

o oL

div v

dt L

dvi

dt C

div

dt L

dv vi

dt C R

(1.7)

Dans les cas cités en haut, l’adaptation entre la source et la charge est réalisée en choisissant

des valeurs adéquates du rapport cyclique.

Généralement, pour les convertisseurs DC/DC, l’interrupteur est commandé par un signal

PWM (Pulse Width Modulation) ou MLI (Modulation de Largeur d’Impulsion). Un signal

PWM est un signal rectangulaire de fréquence fixe, mais dont le rapport cyclique D est

variable. La valeur du rapport cyclique permet de contrôler la quantité d’énergie transmise.

Il existe d’autres types de convertisseur DC/DC plus complexes que ceux décrits en haut. Le

tableau suivant donne une idée sur la complexité de chaque type de convertisseur [75].

Tab.1.1. Complexité de chaque type de convertisseur.

Type Fonction Interrupteur Diode Transformateur Complexité

Buck Abaisseur 1 1 non Faible

Boost Elévateur 1 1 non Faible

Buck-Boost (Cuk)

Abaisseur/ Elévateur

1 1 non Faible

Half Forward Abaisseur/ Elévateur

1 1 oui Moyenne

Push Pull Abaisseur/ Elévateur

1 2 oui Moyenne

Half Bridge Abaisseur/ Elévateur

2 4 oui Forte

Full Bridge Abaisseur/ Elévateur

4 4 oui Forte


p. 1.7

Plusieurs type de méthodes d'analyse et de contrôle sont appliqués à un grand nombre de

convertisseurs DC / DC non-isolés. Le convertisseur abaisseur de tension continu-continu

est le plus simple circuit convertisseur de puissance utilisé pour des nombreuses applications

de gestion de puissance et de régulateur de tension. Dans ce qui suit, on se limitera à l’étude

du convertisseur statique de type Buck.

1.4. Convertisseur dévolteur (Buck converter)

Le schéma de base du convertisseur est repris ci-dessous.

Fig.1.8. Le schéma de base du convertisseur dévolteur (Buck converter).

Une étude plus approfondie est nécessaire pour bien comprendre les phénomènes et

déterminer les différentes grandeurs électriques qui entrent en jeu. Ceci est primordial pour

mener à bien la phase de conception du convertisseur [4][5][6][7][x2].

1.4.1. Mode de conduction continue.

La figure 1.9 représente les formes d’ondes des principales grandeurs électriques en MCC.

Fig. 1.9. Formes d’ondes des tensions et courants dans un convertisseur Buck en MCC.

-Vo


p. 1.8

L’augmentation du courant iL durant l’état passant ton = DT est donné par (aire du rectangle

bleu) :

∫

∫

De même, la baisse du courant dans l’inductance durant l’état bloqué est donnée par :

∫

∫

Si on considère que le convertisseur est en régime permanent, l’énergie stockée dans chaque

composant est la même au début et à la fin de chaque cycle de commutation. Par conséquent,

le courant iL traversant l’inductance est le même au début et à la .n de chaque cycle de

commutation. Ce qui peut s’écrire de la façon suivante :

⇒

La tension de sortie varie donc linéairement avec le rapport cyclique D. Le rapport cyclique

étant compris entre 0 et 1, la tension de sortie V0 est toujours inférieure à celle d’entrée.

Si on considère que l’inductance, la diode et le commutateur sont idéaux et qu.il n y a pas de

perte de puissance, alors les puissances moyennes à l’entrée et à la sortie du circuit sont égales

[6][8].

⇒

Le courant traversant la diode de roue libre est donné par :

a- Ondulation du courant iL et choix de L : Sur la figure 1.9, on voit que le courant

traversant l’inductance L présente une ondulation (l’ondulation du courant est

définie comme étant la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du

courant) qui est donnée par [8] :

Avec

, fréquence de commutation.

Sachant que l’ondulation du courant est maximale pour D = 0.5, on peut écrire pour un

courant d’ondulation maximum désiré [6][9]:


p. 1.9

Le courant moyen passant à travers l’inductance est égal au courant continu traversant la charge, d’où :

La valeur maximum admissible pour résulte d’un compromis :

une valeur trop faible de conduit à une valeur excessive de l’inductance L

une valeur trop élevée de augmente la valeur maximale de courant que le

commutateur M et la diode doivent supporter, le maximum correspond en outre au

courant que M doit pouvoir interrompre.

une valeur trop élevée de augmente aussi la largeur de la zone correspondant à la

conduction Discontinue.

Le choix de la fréquence de commutation f est crucial. Plus elle est grande, plus est petit le

noyau de l’inductance et plus sont importantes les pertes par commutation de la puissance.

b- Ondulation de la tension de sortie V0, choix de C : Dans les topologies de

convertisseurs, on rajoute un condensateur C pour que la tension de sortie V0 et le

courant I0 se maintiennent à des valeurs constantes, même pendant l’ouverture de

l’interrupteur. Aussi, les composants du convertisseur sont dimensionnés pour que les

tensions et courants à la sortie présentent de faibles ondulations lors du passage de

l’interrupteur de la fermeture à l’ouverture et inversement.

L’ondulation de la tension de sortie peut être estimée en admettant que le courant traversant

le condensateur soit égal à l’ondulation du courant dans l’inductance. Autrement dit, on fait

l’hypothèse que l’ondulation du courant traversant la charge R est nulle.

Sur la figure (1.10) on peut voir que pour chaque demi-période de commutation, le

condensateur emmagasine ou restitue une charge Q (aire du triangle hachuré) conduisant à

une variation de la tension à ses bornes estimée à [8] :

Ou en valeur relative

La relation (1.26) montre que l’ondulation relative est indépendante de la charge[7].


p. 1.10

Fig. 1.10. L’ondulation de la tension de sortie.

L’ondulation absolue maximale a lieu pour un rapport cyclique D = 0.5.

Par conséquent, la valeur du condensateur C permettant d’avoir une ondulation inférieure à

VC max doit satisfaire [6][9]:

Si la valeur de l’ondulation du courant dans l’inductance iL est déterminée, alors la valeur de C peut être établie à partir de l’expression (1.25) :

c- Analyse fréquentielle : En analysant le circuit du convertisseur Buck, on remarque que

l’inductance et le condensateur forment un filtre du 2ème ordre où la résistance de la charge

joue le rôle d’amortissement. La fréquence de coupure du filtre est donnée par :

√

On obtient, à l’aide de la relation (1.26), pour l’ondulation relative de la tension

(

)


p. 1.11

Cette relation montre que l’ondulation relative de la tension peut être minimisée en fixant la

fréquence de coupure du filtre passe-bas à une valeur très inférieure à la fréquence de

commutation f.

1.4.2. Limite entre la conduction continue et discontinue.

Lorsque le courant à travers l’inductance s’annule juste au moment de la commutation, le

courant moyen dans la charge est égal à la moitié de l’ondulation iL. On se trouve alors à la

limite entre la conduction continue et la conduction discontinue.

Fig. 1.11 : Tension et courant aux bornes de l’inductance (limite entre MCC et MCD).

Le courant moyen maximum dans la charge est obtenu lorsque D = 0.5 On peut donc écrire

la relation

Si la fréquence de commutation f et la résistance de la charge R désirées sont établies, alors il

existe une valeur minimale pour l’inductance qui assure le mode de conduction

continue. L’expression (1.33) permet d’écrire :

Si la valeur de l’inductance L et la résistance de la charge R désirées sont établies, alors il

existe une valeur minimale pour la fréquence de commutation fmin qui assure le mode de

conduction continue.

Si la valeur de fréquence de commutation f et la valeur de l’inductance L désirées sont

établies, alors il existe une valeur minimale pour la résistance de la charge qui assure le

mode de conduction continue.


p. 1.12

1.4.3. Mode de conduction discontinue

Dans le cas du mode de conduction discontinue, le courant à travers l’inductance s’annule

pendant L’intervalle toff . Les formes d’ondes des courants et tensions sont représentées sur la

figure 1.12 [x3].

Fig. 1.12 : Forme d’ondes des tensions et courants en MCD

Dans ce cas, la tension de sortie est donnée par :

On peut voir que l’expression de la tension de sortie est bien plus compliquée que celle

obtenue en MCC. En effet, la tension de sortie dépend non seulement de la tension d’entrée

et du rapport cyclique D, mais aussi de la valeur de l’inductance L, de la période de

commutation T et du courant de sortie. Par conséquent, il est plus intéressant de faire

fonctionner le convertisseur en MCC.

Dans les deux modes, le convertisseur est caractérisé par un courant d’entrée discontinu, ce

qui implique une perturbation harmonique dans la source de puissance.


p. 1.13

1.4.4. Rendement du convertisseur statique.

Dans ce qui a précédé, nous avons décrit le fonctionnement des convertisseurs Buck, ce

convertisseur présente un meilleur rendement [10][11]. En effet, il existe d’autres

configurations de convertisseur, mais dont le rendement est plus faible. Le tableau donne une

idée sur le rendement de quelques convertisseurs connus. L’expression du rendement du

convertisseur est donné part :

Structure Rendement de conversion Batterie

Buck 93% 12V

Boost 92% 24V

Buck-Boost 92% 12-24V

Cuk 89% 12V

Flayback 78.1% 24V

Tab.1.2. Rendement de quelques convertisseurs connus.

1.5. Modélisation mathématique d’un convertisseur dévolteur (Buck).

N’importe quel convertisseur de puissance utilise un système de commande. Par exemple,

dans un convertisseur continu/continu, la tension de sortie doit typiquement être maintenue

constante, indépendante de la tension d’entrée et des variations de la charge. Pour concevoir

un tel système de commande, il est important de disposer d'un modèle dynamique du

convertisseur. Malheureusement, la compréhension du comportement dynamique du

convertisseur est gênée par la nature non-linéaire et le caractère temporel des processus de

commutation et de modulation de largeur d'impulsion (PWM). En particulier, il faut savoir

comment les variations de la tension d'entrée, du courant dans la charge et le rapport cyclique

affectent la tension de sortie.

Les méthodologies analytiques conventionnelles de modélisation consistant à la négligence

des certains phénomènes peu influes ont été largement étudiées et décrites dans la littérature

[12][13][14]. Toutefois, le convertisseur est toujours supposé idéal. Considérer les

composants idéaux, sans pertes, simplifie le développement du modèle mais peut parfois

conduire à des erreurs dans la prévision des instabilités[15].

Le modèle appelé « moyen » obtenu en moyennant les deux ou les trois configurations

possibles du circuit, selon le mode de fonctionnement (CCM/DCM) considéré, sur une


p. 1.14

période de découpage. Chaque configuration du circuit d’un convertisseur est représentée par

un modèle linéaire à temps continu. Les expressions mathématiques des dynamiques

continues sont obtenues en appliquant les lois de Kirchhoff qui décrivent le comportement

du convertisseur dans chacune des configurations. Le vecteur d’état des différents modèles

est composé par les courants et les tensions des éléments réactifs du circuit qui représentent

l’énergie emmagasinée (tels que les inductances et les condensateurs), et l’entrée des modèles

est donnée par la tension d’alimentation Vin et la grandeur de commande correspondant au

rapport cyclique d.

Dans ce qui vient on va modéliser le convertisseur dévolteur tenant en considération toutes

les pertes inhérentes aux éléments du circuit électrique pour améliorer la précision du

modèle; celle-ci consiste habituellement à manipuler des expressions mathématiques

complexes [16].

1.5.1. Modèle moyen de convertisseur dévolteur (Buck) avec pertes inclus.

La figure 1.13 présente le circuit de base équivalent d’un convertisseur dévolteur.

Fig. 1.13. Circuit équivalent de convertisseur dévolteur (Buck) avec les pertes inhérentes aux

éléments du circuit électrique.

1.5.1.1. En mode de conduction continu.

En mode de conduction continue (CCM), en fonction de la position de l’interrupteur noté

M, il existe deux états du circuit associés aux positions fermée et ouverte, représentés dans

l’espace d’état par les dynamiques suivantes :


p. 1.15

1 1

1 1

_ :in

in

x A x BVM fermé

y C x EV

(1.38)

2 2

2 2

_ :in

in

x A x B VM ouvert

y C x E V

(1.39)

Le modèle moyen global prend une expression de la forme :

(1.40)

Avec :

1 2

1 2

1 2

1 2

A(d)= A d + A (1- d)

B(d)= B d + B (1- d)

C(d)= C d +C (1- d)

E(d)= E d + E (1- d)

(1.41)

Le domaine de validité de la modélisation par modèle moyen donnée par les équations (1.40)-

(1.41) est donné par la condition suivante : la fréquence de commutation du convertisseur est

beaucoup plus importante que la limite haute du domaine de validité.

. (1.42)

Dans les équations de notre modèle, [ Li cv ]T représente le vecteur d’état du modèle,[V0 i0 ]

T est la sortie

et Vin correspond à la tension d’entrée.

Quand l’interrupteur M se trouve dans la position fermée, la diode est bloquée. Lorsque l’interrupteur

passe en position ouvert, la diode se met en conduction. Donc, dans le mode de conduction continue,

les états de l’interrupteur et de la diode sont complémentaires.

1- Lorsque (u=1) l’interrupteur M se trouve dans la position fermée et D est ouvert Le

circuit équivalent d’hacheur abaisseur est comme suit :

Où u est l'état de commutation, lorsque u = 1, l'interrupteur M est fermé, et lorsque u = 0, M

est ouvert

Fig. 1.14. Schéma de convertisseur abaisseur (Buck), lorsque M est à l’état ON.

I0


p. 1.16

Par l’utilisation de la loi de Kirchhoff et les lois du courant on obtient les équations liées aux

variables d'état ;

(1.43)

(1.44)

(1.45)

On substitut l’équation (1.44) dans (1.43):

(

)

(1.46)

Par conséquent :

(1.47)

(

)

(1.48)

(1.49)

Les matrices d'état sont :

1

1

1

0

cL

M L

c c

c

c c

L

in

c

RR Rdi R RL R R L R Rdt

dv R

C R R C R Rd

i

V

v

t

0

0

1

0

0

c

c c

c

c

in

c

L

c

RR R

R R R R

R

R R

V i

V

i

R

v

R

(1.50)

2- Lorsque (u=0) l’interrupteur M se trouve dans la position ouverte et D fermée Le

circuit équivalent d’hacheur abaisseur est illustré dans la figure (1.15):


p. 1.17

Fig. 1.15. Schéma de convertisseur abaisseur (Buck), lorsque M est à l’état OFF.

De même façon les équations différentielles qui présentent le modèle d’états dans ce cas sont :

(1.51)

(

)

(1.52)

(1.53)

Les matrices d'état sont :

1

1

0

0 0

cL

L

c c

D

L

cc

c

in

c

V

i

RR Rdi RL R R L R Rdt

dv R

C R R C R Rd

L

t

V

v

0

0

1

0

0

L

i

c

c c

c

n

c

c

c

RR R

R R R R

R

R R R

i

R

V

V

i v

(1.54)

Le modèle moyen est fourni par la moyenne des représentations linéaires (1.50), (1.54)

mentionnés précédemment et suivant l’équation (1.40) on peut écrire le modèle global

comme:

1

1

1( )

0 0

cL

L

c c

c

MD D

L

i

c c

n

c


dv R

C R R C R

1R u u (V -uV )i L L

-

d

V

Rt

v

0

0

1

0

0

L

i

c

c c

c

n

c

c

c

RR R

R R R R

R

R R R

i

R

V

V

i v

(1.55)

Iin

I0


p. 1.18

Lorsque la fréquence de commutation f est assez élevée et les ondulations sont petites, si

nous supposons que le rapport cyclique d'une période de commutation est d, alors le modèle

moyenne d'espace d'état peut être réécrite comme[17].

1

1

1( )

0 0

cL

L

c c

c

MD D

L

i

c c

n

c


dv R

C R R C R

1R d d (V - dV )i L L

-

d

V

Rt

v

0

0

1

0

0

L

i

c

c c

c

n

c

c

c

RR R

R R R R

R

R R R

i

R

V

V

i v

(1.56)

On note que le rapport cyclique d devient l’une des entrées du modèle moyen au même titre

que la tension d’alimentation Vin. Cette nouvelle entrée représente également la commande

du système qui est utilisée afin de piloter la sortie y. Donc on peut récrire le modèle global

comme:

1

1

1( )

0

DL c

in D M L

L

cL

L

c c

c

cc

c


dv R

C R R C R Rdt

Vi v V V R iL L

d

i v

0

0

1

c

c c

c

L

c

c c

RR R

R R R R

R

R R R R

V i

i v

(1.57)

Le modèle moyen obtenu (1.57) est un modèle non-linéaire, et plus précisément bilinéaire, en

raison du produit entre le vecteur d’état x et le signal de commande d. Cependant, une

dynamique linéaire peut être obtenue en linéarisant le modèle (1.57) autour d’un point de

fonctionnement souhaité en régime permanent, mais le but de notre travail est le

développement des lois de commande non conventionnelles donc on s’occupe seulement au

le modèle non-linéaire donné par l’équation (1.57).

Si on considère que le convertisseur est idéal et les commutateurs M et D sans pertes ( cR =

LR =0, et MR = DV =0) le modèle du convertisseur dévolteur devient comme suit:


p. 1.19

1

10

1 0

inL

c

L

c

di

dt L

dv

C CR

i

d

v

d

L

t

V

0

0

10

0 1 0

0

L

c

i

i v

R

V

d

(1.58)

1.5.1.2. En mode de conduction discontinue.

Le circuit est décrit par trois configurations différentes. Les deux premières sont identiques

avec les configurations mentionnées en CCM, tandis que la troisième configuration apparait

si la diode devient bloquée durant le temps que l’interrupteur est dans la position ouverte, à la

fin de la période de découpage. Par conséquent, en fonction de l’état passant ou bloqué de

ces deux éléments on a trois dynamiques linéaires différentes caractérisant le comportement

dynamique du convertisseur :

_

_

M fermé

D blouqée

1 1

1 1

in

in

x A x BV

y C x EV

(1.59)

M_ouvert

D_passante2 2

2 2

in

in

x A x B V

y C x E V

(1.60)

_

_

M ouvert

D blouqée3 3

3 3

in

in

x A x B V

y C x E V

(1.61)

Dans ce mode de conduction, la moyenne des modèles (1.59)-(1.61) est faite avec le rapport

cyclique d1 = d (donné par la fraction de la période de commutation où l’interrupteur est

dans la position fermé), d2 (déterminé par la partie de la période de commutation où

l’interrupteur est ouvert et le courant par l’inductance est positif) et d3=1-d1-d2 (la partie de la

période T où le courant s’annule lorsque l’interrupteur reste dans la position ouverte).= Les

deux variables d2 et d3 ont des expressions algébriques dépendantes de la valeur du rapport

cyclique d1 , des paramètres du circuit, de la tension d’alimentation Vin et celle de sortie V0 .

Ainsi, tout en gardant l’hypothèse (1.42), le modèle moyen bilinéaire en DCM [18] présente la

dynamique suivante :


p. 1.20

(1.62)

Avec :

1,1 2

1 2

1 2

1 2

A(d)= A d + A (1- d) d d

B(d)= B d + B (1- d)

C(d)= C d +C (1- d)

E(d)= E d + E (1- d)

(1.63)

Également, le modèle moyen peut être linéarisé autour d’une point de fonctionnement, mais

le but de notre travail est le développement des lois de commande non conventionnelles,

donc on s’intéresse seulement au modèle non-linéaire donné par l’équation (1.57).

1.6. Conception d’un convertisseur dévolteur.

Le cahier des charges que nous nous sommes imposé est le suivant :

Ondulation du courant dans l’inductance L : iL= 40mA.

Ondulation de la tension aux bornes du condensateur C : vc = 1mV.

Fréquence de commutation : f = 100kHz.

.

Le choix d’une fréquence de commutation de 100kHz a été motivé par les raisons suivantes :

Plus la fréquence de commutation est grande, moins est grande la taille des composants

réactifs utilisés (capacités et inductance). Autrement dit, la densité de puissance est plus

élevée.

Le retard de la sortie par rapport à l’entrée qui est dû au temps de commutation est faib le

(10us).

Détermination des valeurs de L et C :

Le choix des éléments se fait en considérant que le convertisseur est en MCC. Dans la

section (1.4.1) précédent, nous avons vu les expressions permettant de déterminer les valeurs

de l’inductance L et de la capacité du condensateur C. Afin de respecter la condition sur

l’ondulation du courant de l’inductance imposée par le cahier des charges, l’inductance doit

être supérieure à une certaine valeur donnée par l’expression (1.64).


p. 1.21

En pratique, la valeur de l’inductance choisie doit être au moins 20% supérieure que la valeur

calculée en théorie. Par conséquent, la valeur de l’inductance qu’on utilisera sera de L =

1000uH.

Pour respecter la condition sur l’ondulation de la tension de sortie, la capacité du

condensateur C doit vérifier l’expression (1.65) :

En ajoutant une tolérance de 20% sur la valeur de la capacité, on obtient C = 600 uF. La

valeur que nous utiliserons est 1000 uF.

L’expression (1.66) représente la fréquence de coupure du filtre du 2_eme ordre formé par

l’inductance et le condensateur :

√

La fréquence de coupure est très inférieure à la fréquence de commutation, ce qui respecte la

condition vue au paragraphe (1.4.1.c).

La valeur minimale de l’inductance qui assure le MCC est donnée par l’expression

(1.67).

Si on suppose que :

On résume les paramètres de convertisseur dévolteur(Buck) dans le tableau suivant :

Tab.1.3. Paramètres d’un convertisseur dévolteur(Buck).

Vin 10V

R 10-2.5Ω

L 1 mH (MCSCH895-102KU)[19].

RL 1.8 Ω[19].

C 1000uF, ( PCG1A102MCL1GS)Aluminum, High Temperature, Low

ESR[20].

RC 13 mΩ [20].

RM 0.27Ω

VD 0.82V


p. 1.22

1.7. Test en boucle ouverte.

Deux tests ont été réalisés pour étudier le comportement du modèle obtenu en utilisant les

représentations dans l’espace d’état: une variation simple du rapport cyclique d en boucle ouverte.

Un point de fonctionnement a été choisi pour les essais avec les valeurs Vin = 10V, D = 0,5

et R = 10Ω.La variation de d a été effectuée par une transition 0,5 - 0,6 - 0,5.

Et on a fait une comparaison entre le modèle de circuit moyen bilinéaire obtenu dans les

équations sans pertes (1.58), avec pertes (1.57) et même modèle (1.57) en commutation

(MLI), (circuit implémenté avec Simulink).

Fig. 1.16. Circuit du convertisseur dévolteur implémenté avec Matlab/Simulink.

Fig.1.17. Réponses transitoires des modèles développés en boucle ouverte.


p. 1.23

Comme nous avons mentionné plut tôt, lorsque la fréquence est assez élevée on peut

considérer le signal de commande d comme un signal continu[17]. Nous présentons dans la

figure (1.17) une comparaison entre les réponses transitoires du modèle moyen avec et sans

pertes de d continu à ceux des modèles en commutation. On remarque que les oscillations

présentent fortement à cause d’absence des résistances internes qui jouent le rôle

d’amortisseurs par contre dans l’autre modèle on constate que les osculations sont réduites

due à la présence des résistances internes.

Les réponses des deux modèles sont différentes au régime permanent (écart> 8%). Il y a

aussi une forte différence dans le temps du premier maximum et l’amortissement de la phase

transitoire. Cette différence se traduit par la puissance dissipé dans les éléments passives du

circuit électrique[21].

Fig. 1.18(a). Variation de la tension de sortie en fonction du rapport cyclique en boucle ouverte.

Fig. 1.18(b). Variation du rapport cyclique.


p. 1.24

La variation du rapport cyclique est montrée dans la Fig. 1.18.b. à cause de la croissance du

rapport cyclique de 0.5 au 0.6 à t=0.04s la tension de sortie augmente de 8.7V jusqu’à 10.57V

et ensuite revienne à 8.7V à t=0.06s puisque D devient 0.5. Généralement notre modèle

montre un comportement proche des convertisseurs réels. Bien que l'ajout des résistances

provoque des pertes énergétiques indésirables dans les éléments électroniques utilisées qui

affectent le rendement du convertisseur mais grâce aux lois de commande on peut ré-

augmenter le rendement.

1.8. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons entamé la partie la plus importante et la plus délicate de cette

étude, qui est le comportement du convertisseur de puissance (DC/DC). Dans un premier

temps, le comportement non linéaire des convertisseurs dévolteur (Buck) est précisément

analysé afin de mieux comprendre et choisir des lois de commande. Ces dernières sont

déterminées selon les exigences pour atteindre certains niveaux de performances (précision,

rapidité, insensibilité aux bruits, ...) et de robustesse exprimés par le cahier des charges.

Nous estimons que ce modèle reflète suffisamment le comportement souhaité. Il est alors

utilisé pour étudier et synthétiser des lois de commande par des approches détaillées dans les

prochains chapitres.

CHAPITRE 2 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET COMMANDE SYNERGETIQUE

p. 2.25

Chapitre 2

COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET

SYNERGETIQUE

2.1. Introduction

Dans ce chapitre on s’intéresse à deux lois de commandes : le mode glissant et synergétique ainsi qu’au

principe de chacune. L’application à un convertisseur dévolteur est ensuite abordée ainsi que la

discussion des résultats obtenus et les avantages et les inconvénients de chaque commande. Enfin on

présentera une étude comparative entre les deux commandes proposées.

2.2. Principes généraux de la commande par mode glissant

La commande par mode glissant (Sliding Mode Control, SMC) est un contrôle de type non

linéaire qui a été introduit pour le contrôle des systèmes à structure variable (comme les

convertisseurs statique) et il se base sur le concept de changement de structure du contrôleur

avec l’état du système afin d’obtenir une réponse désirée. La commande par mode glissant est

donc du type tout ou rien.

Dans ce type de commande, l'état du système définit la position de l'organe de commande.

L'idée est de diviser l'espace d'état par une frontière de décision appelée surface de glissement

cette hypersurface étant une relation entre les variables d'état du système, elle définit une

équation différentielle, et donc détermine totalement la dynamique du système, pourvu qu'il

reste sur elle.

Autrement dit, l’objectif est d’arriver à l’état de référence, une fois que l’état du système

atteint la surface de glissement (Figure 2.1), le système se trouve en régime glissant. Sa

dynamique est alors insensible aux perturbations extérieures et les variations paramétriques

tant que les conditions du régime glissant sont assurées [22][23].

Premièrement, pour atteindre cet objectif, il faut assurer l’attractivité de la surface de

glissement. En d’autre terme il faut que l’état du système dans n’importe quelle position de

l’espace d’état se dirige vers la surface de glissement.

Deuxièmement, une fois la surface atteinte, il faut assurer le glissement le long de cette surface

et la stabilité du système, pour rejoindre la référence. Pour cela, il faut trouver la condition


p. 2.26

sous laquelle la dynamique du système glisse sur la surface vers l’état de référence désiré,

Figure 2.1.

Fig. 2.1. Plan de phases en mode glissant.

2.2.1. Synthèse de la surface de glissement

Supposons que l'objectif de commande est d'assurer une poursuite de trajectoire d'un signal

de référence par la sortie y Y R donc de faire tendre l'erreur dy y vers 0. La

synthèse de la surface de glissement repose sur la définition de la variable de glissement :

Soit → une fonction suffisamment différentiable et considérée comme

une sortie fictive du système (2.1) ( sous forme canonique de Brunovsky) telle que son

annulation permette de satisfaire l'objectif de commande. La fonction s(x,t) est appelée

variable de glissement ou de commutation.

[ ] [ ]

Où [ ] , représente l'état du système avec X un ouvert de Rn, u U,

compact de R, est l'entrée de commande qui est une fonction éventuellement discontinue

dépendante de l'état et du temps. Ψ(x, t), la dynamique nominale du système, est une fonction

Condition d’existence

𝑥

Région d’attractivité

Région de stabilité

𝑥

𝑆 𝑆 >

𝑆 <


p. 2.27

définie sur X. [-C, C] est un terme additif inconnu, mais borné par C > 0 modélisant

notamment

La différence entre les valeurs théoriques et réelles de paramètres mal connus du

modèle,

Les phénomènes non modélisés ou négligés, à partir du moment où ils ne font pas varier

le degré relatif du système (ici égal à l'ordre du système, vu que l'on ne s'intéresse pas à la

dynamique des zéros)

Les perturbations extérieures.

[ ], avec 0 < ≤ <∞ est un terme modélisant l'incertitude sur le gain du système vis

à vis de la commande. L'incertitude sur sa connaissance provient en pratique essentiellement

de paramètres mal connus ou de phénomènes négligés, bien que ces derniers aient souvent

une autre conséquence (le chattering) [24].

L'ensemble (2.2) représente alors une sous-variété de X de dimension (n-1) appelée surface

de glissement ou contrainte de commutation. La définition classique du phénomène

d'évolution en régime glissant est donnée par.

Définition 2.1. [22] On dit qu'il existe un régime glissant idéal sur S s'il existe un temps fini

ts tel que la solution de (2.1) satisfait s(x; t) = 0 pour tout t ≥ ts .

Quand les trajectoires du système (2.1) évoluent sur la surface de glissement S, sa dynamique

est dite immergée dans l'état d'un système autonome de dimension inférieure de 1 à sa propre

dimension. Ce système autonome est appelé système réduit et sa dynamique est entièrement

déterminée par le choix de la surface de glissement. La surface la plus simple est un

hyperplan passant par l'origine de l'espace d'état, autrement dit, une surface linéaire en

chacune des variables d'état. Le système réduit est donc dans ce cas un système linéaire. S'il

est stable, sa convergence vers l'objectif final, l'origine du pan de phase, est nécessairement

exponentielle (sauf si le système réduit est d'ordre 0).

Pour obtenir d'autres propriétés, il faut choisir une structure de la surface de glissement

différente, plus complexe.[24].

Une condition nécessaire pour l'établissement d'un régime glissant est que la variable de

glissement ait un degré relatif égal à 1 par rapport à la commande u [22],(le degré relatif d'un

système est le nombre minimum de fois qu'il faut dériver la sortie par rapport au temps pour

faire apparaître l'entrée de manière explicite [25]). Considérons la variable de glissement

linéaire suivante.

Où et les coefficients .


p. 2.28

Soit un polynôme d'Hurwitz, c.à.d. que le système réduit soit stable, puisque l'équation différentielle associée est

Ainsi, lorsque la variable de glissement s(x,t) est forcée à zéro, l'erreur de poursuite e

converge asymptotiquement vers zéro, avec une dynamique imposée par le choix des

coefficients ci. Cette dynamique peut être réglée par n'importe quelle méthode de placement

de pôles appropriée.

De plus, s(x, t) satisfait la condition sur le degré relatif puisque la commande u apparaît dans

l'expression de sa première dérivée par rapport au temps

[ ] [ ]

∑

Une fois la surface de glissement (c.à.d. la dynamique du système réduit) choisie, la seconde

étape consiste à choisir une commande stabilisant en zéro le système (2.5) en temps fini,

malgré les incertitudes et perturbations. Ainsi, le problème de poursuite de trajectoire d'ordre

n pour un système non linéaire SISO est ramené au problème de la stabilisation du système

du premier ordre (2.5) en zéro.

2.2.2. Conditions de convergence et d’existence (stabilité)

Les conditions d’existence et de convergence sont les critères qui permettent aux différentes

dynamiques du système de converger vers la surface de glissement et d’y demeurer,

indépendamment de la perturbation.

2.2.2.1. Fonction de commutation :

Cette approche est la plus ancienne. Elle est proposée et étudiée par Elmyanov et Utkin [26]

[27]. Il s’agit de donner à la surface une dynamique convergente vers zéro. Elle est donnée

par:

> <

< >

Cette condition peut être formulée comme suit:

<

Elle est globale mais ne garantit pas en revanche un temps d’accès fini.

Cette condition est toutefois difficile à utiliser pour faire la synthèse de la loi de commande,

particulièrement dans le cas d’un système multi-entrées.


p. 2.29

2.2.2.2. Fonction de Lyapunov

La fonction de Lyapunov est une fonction scalaire positive > pour les variables

d’état du système. La loi de commande doit faire décroître cette fonction < . l’idée est

de choisir une fonction scalaire s(x) pour garantir l’attraction de la variable à contrôler vers sa

valeur de référence et de concevoir une commande u telle que le carré de la surface

correspond à une fonction de Lyapunov.

Nous définissons la fonction de Lyapunov comme suit:

Cette fonction est définie positive de manière évidente et sa dérivée est:

Pour que la fonction V(x) puisse décroître, il suffit d’assurer que sa dérivée soit négative.

Ceci n’est vérifiée que si la condition (2.6) est vérifiée.

L’équation (2.8) explique que le carré de la distance entre un point donné du plan de phase et

la surface de glissement exprime par diminue tout le temps, contraignant la trajectoire du

système à se diriger vers la surface à partir des deux côtés de cette dernière. Cette condition

suppose un régime glissant idéal ou la fréquence de commutation est infinie[27].

L’inégalité (2.7) est appelée condition d'attractivité qui n'est pas suffisante pour assurer une

convergence en temps fini vers la surface. Pour assurer une convergence de s(x,t) vers 0 en

temps fini, une condition plus forte doit être respectée. Dans le cas des modes glissants

classiques, on utilise généralement la condition d'attractivité non-linéaire dite condition de 𝜂-

attractivité [22].

𝜂

2.2.3. Synthèse de la loi de commande.

Une fois la surface de glissement choisi, ainsi le critère de convergence, il reste à déterminer

la condition d’attractivité, qu’il est nécessaire pour ramener la variable à contrôler vers la

surface et maintenir l'évolution du système sur elle s(x,t) = 0, ensuite vers son point

d’équilibre.

Dans ce qui vient on va montrer de différentes méthodes de la synthèse de structure

variables (SSV).


p. 2.30

Méthode de Philippov [28][27]:

L’une des premières approches est la méthode de Philippov. Cette approche est basée sur les

résultats des travaux effectués par ce dernier sur les équations différentielles à second

membre discontinu. Il propose une loi de commande qui prend deux valeurs suivant le signe

de la surface de glissement :

>

<

Les valeurs exactes de sont choisies afin qu’une condition d’accès soit

vérifiée. C’est à dire telle que la trajectoire d´état atteigne la surface de commutation s(x)=0

en un temps fini.

Méthode d’ Utkin : commande équivalente [27][29]:

Plusieurs méthodes d’approche ont été utilisées pour décrire le mode de glissement lorsque la

trajectoire du système atteint la surface de glissement (s(x) = 0). Dans ce paragraphe, la

méthode adoptée est celle d’UTKIN connue sous le nom de commande équivalente. Cette

méthode décrit la dynamique du système sur la surface de glissement. Elle permet de garder

la variable contrôlée sur cette surface en imposant la valeur désirée en régime permanent de

la grandeur d’entrée. Pour un système contrôlé donné, la première étape pour la réalisation

d’une structure de régulation par ajout de la commande équivalente consiste à trouver un

vecteur d’entrée équivalent Ueq

de sorte que la trajectoire d’état du système à contrôler reste

sur la surface de glissement prédéfinie. Une fois la commande équivalente déterminée, la

dynamique du système peut être décrite par la substitution de Ueq

dans l’équation d’état. En se

basant sur la méthode d’Utkin, le calcul de la commande équivalente s’effectue en prenant en

considération les conditions d’invariances suivantes :

La commande équivalente est une fonction continue qui sert à maintenir la variable à

contrôler sur la surface de glissement elle est déduite en considérant que la surface

est nulle et donc .Elle peut être interpréter comme étant un retour d’état

particulier jouant le rôle d’un signal de commande appliquée sur le système à commander.

Elle peut être aussi interpréter autrement comme étant une valeur moyenne que prend la

commande lors de la commutation rapide entre les valeurs et [30].


p. 2.31

Prenons l'exemple d'un système non-linéaire avec une seule entrée, représenté par l'équation

d'état suivante :

Pour l’existence du mode glissant implique : après .

En remplaçant (2.14) dans (2.13), on trouve :

( )

Où est la commande équivalente.

Avec ( ) et pour que la commande équivalente puisse prendre une valeur finie, il

faut que

(Non singulière), Donc on obtient :

[

]

Par conséquent, on peut déterminer le mouvement sur la surface de glissement pour tout

instant :

* [

]

+

Il est remarquable de constater que les dynamiques du système en mode glissant sont d’ordre

inférieur au système original. Cette réduction d’ordre est aisément explicable par le nombre

de variables d’état contraintes par la relation s(x)=0.

La commande équivalente peut être interpréter comme la valeur moyenne que prend la grandeur

de commande discontinue lors de la commutation rapide entre et , comme il

représenté sur le schéma suivant :

Fig. 2.2. Commande équivalente.


p. 2.32

Ainsi, la commande équivalente est déduite à partir des conditions d’invariances données par

(2.12). Cette commande permet d’assurer que la trajectoire de la grandeur contrôlée reste sur

sa surface de glissement. Cependant, cette commande n’assure pas le contrôle en dehors de la

surface de glissement. C’est pourquoi, il faut ajouter une nouvelle condition pour que l’état

du système tende vers cette surface et l’atteigne. Cette nouvelle condition est la condition

d’attractivité. Elle est développée dans[31][32][33].

2.3. Synthèse de commande du convertisseur dévolteur par mode glissant.

Prenons le modèle bilinéaire du convertisseur dévolteur d’ordre 2 représenté par l'équation d'état (1.57)

développé dans le chapitre précédent,

1

1

1( )

0

DL c

in D M L

L

cL

L

c c

c

cc

c


dv R

C R R C R Rdt

Vi v V V R iL L

d

i v

0

c

L

c

c

c

iRR R

R R R RV

v

Lorsqu’on suppose que les variables d’états du système sont :

Et la matrice P définit comme suite :

c

c c

RR R

R R R R

Alors le modèle d'état du système devient comme suite :

Comme nous avons mentionné précédemment que La synthèse d'une loi de commande par

modes glissants consiste donc à déterminer :

une hypersurface en fonction des objectifs de commande et des propriétés statiques et

dynamiques désirées pour le système bouclé

une loi de commande discontinue de manière à contraindre les trajectoires d'état du


p. 2.33

système à atteindre cette hypersurface en temps fini puis à y rester en dépit des

incertitudes et des perturbations.

2.3.1. Choix de la surface.

La surface S(x) représente le comportement dynamique désiré du système, et la surface qui nous avons

supposée est comme suite[34].

∫

Avec :

Sont des constants positives représentent le régime souhaité.

2.3.2. Détermination de la commande.

Premièrement Pour résumer, le comportement du système peut être décrit par deux phases :

1- Phase de convergence. Cette phase correspond à l'intervalle de temps t [0, ts]

pendant lequel les trajectoires d'état du système ne sont pas dans la surface de

glissement S. Durant cette phase, le système reste sensible aux variations de

paramètres. Sa durée peut être réduite en augmentant 𝜂 c.à.d. en augmentant

l'amplitude de la commande.

La commande discontinue correspondante dans cette phase Par exemple, on peut prendre la

fonction sign :

>

<

2- Phase de glissement. Cette phase correspond à l'intervalle de temps t [ts, [durant laquelle

les trajectoires d'état sont confinées dans la surface de glissement S. Durant cette phase, le

comportement du système ne dépend plus du système d'origine ni des perturbations, mais est

entièrement déterminé par le choix de la surface de glissement. La commande correspondante

dans cette phase qui assure l’existence sur la surface de glissement est la commande équivalente

qui elle est déduit en considérant que la surface est nulle et donc .

Partir de l’équitation (2.22) on a


p. 2.34

⇒

⇒

On remplace par , et de l’équation (2.19) on obtient :

⇒

(

)

Une classe de fonctions de Lyapunov classique pour la détermination des conditions

d'attractivité et de stabilité est celle des fonctions quadratiques du type :

Pour que la fonction de Lyapunov décroisse il suffit de s’assurer que sa dérivée soit négative .Ceci est

vérifié par < , on peut dire que le système est stable.

[( )]

On remplace d, Le contrôleur de mode glissant obtenu dans l’équation (2.27) dans (2.26) :

(

)

On obtient :

( )

Alors la stabilité est garantie et (2.29) est satisfaite.

2.3.3. Phénomène de chattering.

Un régime glissant idéal requiert une commande pouvant commuter à une fréquence infinie.

Évidemment, pour une utilisation pratique, seule une commutation à une fréquence finie est

possible, ce qui cause un retard entre la mesure de la sortie et le calcul de la commande, qui

peut être amplifié si le système présente naturellement des retards ou des dynamiques

négligées. Cela conduit le système à quitter la surface de glissement sans que la commande ne


p. 2.35

puisse réagir, puis, une fois le signe de la commande inversé, à revenir sur cette surface et

passer de l'autre côté, et ainsi de suite.

Ainsi, durant le régime glissant, les discontinuités appliquées à la commande peuvent

entraîner des oscillations haute fréquence de la trajectoire du système autour de la surface de

glissement, un phénomène appelé broutement ou chattering en anglais. Les principales

raisons à l'origine de ce phénomène sont [35] :

les retards purs en série avec le système en boucle ouverte (retards inhérents au système,

échantillonnage,. . .),

les dynamiques non modélisées des capteurs et observateurs, qui retardent le moment où

le régulateur prend conscience qu'il faut inverser la commande,

les dynamiques non modélisées des actionneurs et autres dynamiques rapides du système,

qui retardent le moment où la commande est suffisamment forte pour rapprocher le

système de la surface de glissement.

Tous ces phénomènes ont globalement l'effet de retarder l'application effective de la

commande permettant de ramener le système sur la surface de glissement à partir du moment

où il l'a quittée.

On parle aussi de chattering pour désigner l'oscillation haute fréquence de la commande (et

non plus de la variable de glissement). Une autre cause de chattering, notamment sur la

commande, est le bruit de mesure. En effet, une erreur de mesure quand l'état est très proche

de la surface de glissement peut entraîner une erreur de signe de la commande, car cette

dernière croit à tort que le système se trouve de l'autre côté de la surface. Ce phénomène est

amplifié par la nécessité d'avoir des observateurs ou dérivateurs rapides, donc filtrant peu la

mesure.

Les phénomènes de chattering peuvent être si pénalisants que l'utilisation d'une loi de

commande par modes glissants peut, dans certaines applications, être à proscrire, vu que son

utilisation peut dégrader les performances, voire conduire à l'instabilité à cause du chattering

sur la sortie. Le chattering de la commande, quant à lui, peut entraîner une usure prématurée

des actionneurs ou de certaines parties du système à cause de trop fortes sollicitations.

En excitant les modes propres des dynamiques non modélisées ou des fréquences de

résonance du système correspondant aux retards de commutation, cette commande peut

provoquer sur les systèmes mécaniques un bruit haute fréquence et des oscillations

préjudiciables à leur structure. Sur des systèmes autres que mécaniques, les oscillations

engendrées peuvent poser d'autres problèmes (réduction de précision, créations d'ondes

électromagnétiques néfastes, ou autres ondes amplifiées par le système,...), et comme solution


p. 2.36

de ce problème le remplacement de la fonction sign par des autres fonctions proposé par

des nombreuses des chercheures nous donne des meilleures réponses, telle que la fonction sat

et d’autres indiquées dans la section suivant.

2.3.4. Remplacement de la fonction ‘’sign’’ par une fonction continue

De nombreuses solutions ont été proposées dans le but de réduire ou d'éliminer ce

phénomène. Il existe des méthodes comme celle de la couche limite (boundary layer ) qui

consiste à remplacer la fonction « sign » de la loi de commande par une approximation

continue à gain élevé dans un proche voisinage de S [36][29], et saturée en dehors de ce

voisinage. Le régime glissant qui en résulte n'est plus confiné dans S, mais dans un proche

voisinage de celui-ci. Dans ce cas, le système est dit en régime pseudo-glissant.

Ces méthodes réduisent la robustesse de la commande. Elles sont paramétrées par une

constante positive réglée pour avoir un bon compromis entre réduction du chattering et

conservation de la robustesse. Dans les méthodes présentées ici, plus est petit, plus

l'approximation tend vers la fonction sign, et donc meilleure est la robustesse, au détriment

de la réduction du chattering. Les 2 fonctions les plus utilisées sont :

Fonction saturation. Cela consiste à remplacer la fonction sign(s) par la droite de pente

1/ à l'intérieur d'une bande de largeur située de part et d'autre de la surface de

glissement, la discontinuité étant conservée à l'extérieur de cette bande. Son expression est

donnée par :

, >

Et représentée avec = 1 sur la figure ci-contre.

Fonction sign + saturation. On peut combiner la fonction saturation précédente avec la

fonction sign.

>

Avec a > 0, b > 0

Et (a+b) ne dépassant pas l'amplitude maximale de la commande.

Elle est représentée avec , (a+b) = 1 et b = 0.3 sur la figure ci-contre.


p. 2.37

Cela permet de conserver toute la robustesse des modes glissants pour des perturbations

d'amplitude inférieure à b tout en diminuant le chattering par rapport à une commande

d'amplitude (a+b). Si l'amplitude de la perturbation est supérieure à b, la robustesse alors est

dégradée comme dans le cas précédent. Cette solution est appropriée si l'on s'attend à des

perturbations généralement faibles, mais pouvant être ponctuellement très fortes.

Il existe d'autres approximations moins utilisées, car plus coûteuses en temps de calcul :

Loi d'interpolation de puissance.

>

< <

[ [

Fonction pseudo-signe.

Fonction arctangente.

Fonction tangente hyperbolique.


p. 2.38

2.4. Commande synergétique.

La commande synergétique est une technique de contrôle assez proche de la commande par mode

glissant dans le sens où l’on force le système considéré à évoluer avec une dynamique pré-choisie par le

concepteur. Elle en diffère dans le fait que la commande y est toujours continue et utilise une macro-

variable qui peut être fonction de deux ou plusieurs variables d’état du système.

Ces deux techniques partagent les propriétés de la réduction de l’ordre et du découplage mais

contrairement au mode glissant (SMC) la commande synergétique convient à

l’implémentation car n’exigeant pas une trop grand bande passante du signal de commande

[37]. Son avantage primordial est que la loi de commande est continue contrairement à celle

utilisée en mode glissant et n’induit donc aucun problème de broutement, désavantage

majeur de la commande SMC limitant son implémentation hard sur des applications

pratiques [34].

2.4.1. Principe de la commande synergétique.

La théorie de commande synergétique a été introduite la première fois d'une façon générale

par les chercheurs russes dans les dernières années[38]. Récemment cette théorie a été

appliquée avec succès dans le domaine des commandes de l'électronique de puissance. Son

application à un convertisseur élévateur a été présentée dans [34], et quelques aspects

pratiques concernant la simulation et le hardware ont été discutés dans [37][39],et parmi les

applications pratiques réussies figure le chargeur de batteries [40].

Cette nouvelle approche ne requiert pas la linéarisation du modèle et emploie explicitement

un modèle non linéaire pour la synthèse de la commande.

La synthèse de la commande synergétique dans le cas général est passée en revue dans la

section suivante.

2.4.2. Synthèse de la commande synergétique.

Considérons le système dynamique non-linéaire SISO de dimension n qui peut être décrit par

l'équation non linéaire suivante :

Où x représente le vecteur d'état du système et u représente le vecteur de commande.

La synthèse du contrôleur synergétique débute par la définition d’une macro-variable par le

concepteur, pour réaliser le cahier des charges et prendre en charge d’éventuelles contraintes


p. 2.39

de contrôle, qui est donnée comme suit.

Où est la macro-variable et ( , )x t est une fonction définie par l'utilisateur, en général

fonction des variables d'état et du temps. L’objectif de la commande synergétique est de

forcer le système à évoluer sur le domaine choisit au préalable par le concepteur :

Les caractéristiques de la macro-variable peuvent être choisies par le concepteur, selon les

paramètres tels que l'objectif de commande, le temps de réponse, limitations de la

commande, etc.… La macro-variable peut être une combinaison linéaire simple des variables

d'état, et elle est forcée d’évoluer d'une façon désirée exprimée par une contrainte choisie par

le concepteur comme indiquée en exemple par l’équation suivante :

>

Où T est un paramètre de contrôle qui indique la vitesse de convergence du système en

boucle fermé vers le domaine indiqué.

En tenant compte de la chaînes de la différentiation qui est donnée par

La substitution de (2.30) et de (2.31) dans (2.33) permet d’écrire :

En résolvant (2.35) pour u, la loi de commande peut être trouvée comme :

De (2.36), on peut voir que la commande dépend non seulement des variables d'état du

système, mais également de la macro-variable et de la constante de temps choisies T. En

d'autres termes, le concepteur peut choisir les caractéristiques du contrôleur en choisissant

une macro-variable appropriée et une constante de temps spécifique T. En synthétisant le

contrôleur, chaque domaine présente une nouvelle contrainte sur le domaine de l'espace

d'état et réduit l'ordre du système d’un degré, tout en allant dans la direction de la stabilité

globale. Dans la synthèse du contrôleur synergétique montré ci-dessus, il est clair que le

contrôleur synergétique agit sur le système non-linéaire et une linéarisation ou une

simplification du modèle n’est pas nécessaire comme lors de l'application de la théorie de

commande traditionnelle.

Par le choix approprié des macro-variables, le concepteur peut obtenir les caractéristiques


p. 2.40

intéressantes suivantes pour le système final [41]:

Stabilité globale

Insensibilité vis-à-vis les paramètres

Suppression de bruit.

Il est intéressant de noter que la loi de la commande synergétique garantit la stabilité globale

sur le domaine choisi. Ceci signifie qu'une fois que l’hypersurface est atteinte le système n'est

pas supposé la quitter, même en cas d’assez grandes variations des paramètres. Cette

propriété d’invariance aux perturbations est partagée par la technique de commande en mode

glissant lors du glissement des trajectoires sur la surface de glissement. Un exemple

d’application est donné dans la section suivante afin d’illustrer la simulation de la mise en

œuvre du contrôle synergétique.

2.4.3. Conception de la commande synergétique :

Dans cette application on utilisera la commande synergétique, commande robuste appropriée

aux convertisseurs statiques (dévolteur).

Le comportement dynamique de ce convertisseur est décrit par un modèle non linéaire

détaillé dans le chapitre précédent qu’il nécessite une commande robuste et rapide en

régime transitoire. Cette commande doit être insensible et stable à la variation de courant de

charge. Ces caractéristiques attendues de la commande peuvent être réalisées par une

synthèse fondée sur la technique de contrôle synergétique[37].

Il y’a des nombreuse des chercheurs choisissent le principe de la structure en cascade pour

définir la macro-variable [34][42][41]. Ce principe est justifié par le fait que la dynamique du

courant est plus rapide que celle de la tension de sortie [43].

Cette structure présente des inconvénients liés au fait que le contrôleur synergétique pilote d’une

manière indirecte la tension. Ceci affecte les performances du contrôle en termes de robustesse et de

réponse dynamique. En réalité, dans la structure en cascade, le courant de référence peut être déduit

soit à l’aide d’un correcteur PID soit directement à l’aide des mesures du courant de charge et de la

tension d’entrée. Dans le premier cas, il est difficile de trouver une méthode standard pour calculer les

valeurs des gains du PID, puisque le contrôleur synergétique est non-linéaire[41][44]. Dans les deux cas,

la valeur de courant de référence risque d’être mal estimée. C’est pour ces raisons qu’on propose

d’étudier un mode de contrôle basé sur une macro-variable faisant intervenir toutes les variables d’état.


p. 2.41

2.4.3.1. Choix de la macro-variable.

L’objectif de la commande est de réguler la tension de la sortie V0 à une tension de référence

Vref. On peut choisir mais pour ce choix on ne peut pas garantir la réduction

de l’erreur statique, Afin d'éliminer ce dernier un terme d’intégrale de l’erreur est ajoutée à la

définition de macro-variable. Ce terme doit être limité pour éviter le problème de (Windup)

et l'interférence avec la commande synergétique[34]. Le macro-variable choisie est définie

comme[45].

∫

Où

Sont des constants positives représentent le régime souhaité.

2.4.4. Loi de commande synergétique.

Pour la synthèse du contrôleur, nous employons le modèle de moyenne bilinéaire du

convertisseur buck, les équations d’états du convertisseur sont obtenues dans (2.19), comme

suite:

0 1d

Où

c

c c

RR R

R R R R

Où x1 représente le courant de l'inducteur, x2 la tension de condensateur, et d le rapport

cyclique. Notre objectif est d'obtenir une loi de commande d(x1, x2) en fonction des variables

d'état x1, x2, qui fournit les valeurs exigées de la tension de rendement du convertisseur

V0=Vref, , la limitation sur le rapport cyclique dans (2.38) devant aussi être satisfaite. Nous

employons le procédé décrit ci-dessus pour trouver d(x1, x2) qui porter le système à la

réponse désirée.

La substitution de de (2.37) dans (2.33) permet d'écrire:

( ) ∫

Et


p. 2.42

Maintenant, substituant les dérivés V0 de (2.38) dans (2.39) donnant la loi de commande

suivante :

⇒

(

)

La loi de commande (2.40) force la trajectoire des variables d'état à satisfaire (2.38).

Selon cette équation, le système converge vers la macro-variable 0 avec une constante

de temps T et y demeure durant toute la période. Ainsi, à partir de ce moment-là, la

trajectoire d'état satisfait (2.41).

( ) ∫( )

Et la stabilité est garantie selon la fonction de Lyapunov

et l’équation (2.33) qui

nous donnent

⇒ .

En se déplaçant sur cette macro-variable, la trajectoire converge vers l'état d'équilibre du

convertisseur: .Une interprétation géométrique de la loi de commande dans le

plan de phase est montrée dans la figure.2.3.

2.5. Résultats de simulation.

On détermine les paramètres des deux contrôleurs qui jouent un rôle très important dans les

résultats de simulation, où l'état initial de ce système est [ ] . La tension de référence

est Vref=5V, Les paramètres principaux utilisés dans la conception des deux contrôleurs sont

ajustées par simulation en tenant compte les critères suivants :

Rapidité de la réponse sans dépassement important.

La réduction de l’amplitude des oscillations.

Réduction de l’erreur statique.

𝑒

Fig. 2.3. Plan de phase.

Pente= 𝛼


p. 2.43

Fig.2.5. Signal de commande d.

Fig.2.4. Tension de sortie Vo.

Fig.2.6. Courant d’inductance iL(A).


p. 2.44

2.6. Synthèse des commandes améliorées :

2.6.1. Mode glissant amélioré.

Comme nous avons mentionné dans section (2.3.4), on peut remplacer la fonction sign par la fonction

tangente hyperbolique pour améliorer la réponse et minimiser le problème de chattering qui est bien

claire dans les figures (2.4) et (2.5). La commande devient comme suite :

(

)

2.6.2. Commande synergétique améliorée.

En ce qui concerne la loi de commande synergétique, l’exemple du cas précédent illustre

clairement sa synthèse.

Il est bien sur possible d’améliorer les performances réalisées en introduisant des définitions

de macro-variable plus complexe qui permettront de mettre en application des lois de

commandes améliorées en utilisant la même procédé décrit ci-dessus. Dans la partie suivante

de ce travail quelques cas seront présentés en détail et les performances évaluées à l’aide de

simulation.

Un problème classique concerne l'imposition d'une limite sur l'une des variables d'état, par

exemple, la limitation du courant d'entrée maximal, dans notre cas ce phénomène apparaitre

dans la première phase où l’interrupteur est fermée, la dynamique du système dans cette

phase est lié à la valeur du constant de temps T comme a été illustrer dans la figure (2.7).

Fig.2.7.Plan de phase pour différentes valeurs de T.


p. 2.45

Fig.2.8. Courant d’inductance (iL) pour différentes valeurs de T.

2.6.2.1. Loi de commande avec limitation de courant.

Pour limiter le dépassement du courant d’inductance, deux approches différentes sont examinés

dans[34]. Dans une approche la macro-variable est définie comme une fonction linéaire par morceaux

et l’interprétation géométrique de cette loi de commande est montrée dans la figure (2.9)

Où ( )

Mais il est préférable de développer une commande de nature continu, une deuxième

approche possible de mettre en œuvre, la limite du courant est de définir un seul macro-

variable qui inclut la limite de courant dans sa définition. Une loi de commande est possible.

* ( )

+

Où le courant maximal de l’inductance Iref : le courant de référence de l’inductance et

V0 - Vref

x1 - Iref

x1MAX - Iref

V0TH - Vref

Fig.2.9. Plan de phase de l’approche (1).


p. 2.46

: Constant positive.

Cette nouvelle définition permettra de déterminer un nouveau manifold où le courant x1 est

naturellement limité par la fonction tangente hyperbolique de la plage de ± chaque

fois que l'état du système est sur le manifold. Une interprétation géométrique de la loi de

commande est représentée sur la Figure. (2.10).

En utilisant le même procédé décrit ci-dessus on obtient :

(

)

Où

1 Dc

L

c

c

c

L

Vi

RR RR

L R L Rv

LR R

1

( )in D M L

V V R iL

c

c c

RR R

R R R R

* ( )

+

2.6.3. Loi d'adaptation dynamique des paramètres de commande.

Le choix de la valeur du paramètre de commande k (SMC) et β (SYC) dans la définition de la

surface de glissement et la macro variable affecte la sortie : pendant le régime transitoire une

valeur relativement grande de k et β est souhaitable. D'une part, une petite valeur est

souhaitable pendant le régime permanant, parce que ceci réduit l'erreur statique de la tension

de sortie comme expliqué dans[42][34].

𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝐼𝑟𝑒𝑓

𝑥 𝑉𝑟𝑒𝑓

𝑥 𝐼𝑟𝑒𝑓

𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝐼𝑟𝑒𝑓

Fig.2.10. Plan de phase de l’approche (2).


p. 2.47

De tout ça on ajuste dynamiquement les valeurs k et β en fonction de l'erreur de tension de

sortie, réduisant k, β quand l'erreur de tension de sortie est petite. Basé sur cette

considération k, β peut être choisi comme suit :

Fig. 2.11. Interprétation géométrique d'adaptation du paramètre β.

2.6.4. Résultats de simulation des commandes améliorées.

Fig.2.12. Tension de sortie Vo (SMC améliorée)


p. 2.48

Pour T=0.002 s et x1max =0.8A.

Fig.2.13. Signal de commande d, (SMC amélioré).

Fig.2.14. Courant d’inductance iL (A), (SYC améliorée).

Fig.2.15. Signal de commande d, (SYC améliorée).


p. 2.49

2.6.5. Test de robustesse.

On varie la tension de référence Vref de 5V à 7V à 0.15s et retourne à 5V à t=0.25s

Fig.2.16. Tension de sortie Vo, (SYC améliorée)

Fig.2.17. Tension de sortie Vo, avec la variation de la tension de référence Vref.


p. 2.50

On varie la tension d’entrée Vin de 10V à 9V à 0.15s et retourne à 10V à t=0.25s

La figure (2.18) montre la tension de sortie du système correspondant à la variation de la

source. Cette dernière varie de 10V à 9V au moment de 0.15s et revient à 10 V à 0.035s. On

peut voir d'après cette courbe que la tension de sortie de SMC peut suivre la tension donnée

grâce à la fonction (tanh) et le paramètre k qui est Compatible avec cette petite perturbation.

Par contre la commande synergétique n'était pas robuste.

- 3 : on varie la résistance R de 10Ω à 2.5Ω au temps de 0.15s et retourne à 10Ω à t=0.25s

Fig.2.19. Tension de sortie Vo, avec la variation de charge R.

Fig.2.18. Tension de sortie Vo, avec la variation de la tension d’entrée Vin.


p. 2.51

La figure (2.19) montre la réponse du système à la fluctuation de la charge correspondante. La

résistance varie de 10Ω -2.5Ω à 0.15s et revient à 10 Ω à 0.25s. A partir de ces courbes, on peut voir les

mauvaises performances de poursuite.

La raison pour laquelle les deux commande ne peuvent suivre la référence c’est que on a étudié la

stabilité de chaque commande sans prendre en considération les perturbations et les incertitudes, Pour

cela, on rencontre des problèmes lors du changement de R et Vin Comme représenté dans fig. (2.18),

(2.19), Cela est dû à la sélection mauvaise et non étudié des paramètres k (SMC) et T (SYC), c'est ce que

nous allons discuter dans le paragraphe suivant.

De l'observation de la dynamique (2.19), il existe généralement des incertitudes paramétriques dans les

composants L, C, R., nous supposons que les fonctions dynamiques f (·) et g (·) peuvent être divisées

en une partie nominale et une partie inconnue sous la forme suivante:

Où et des incertitudes; et sont les parties nominales de et . et et satisfont :

Où , ≠ 0; la partie incertain de est supposée être supérieure borné par une fonction

positive F et α> 0.

Donc

( (

)

)

Pendant tout le temps, K> 0 déterminé dans ce qui suit.

En substituant la loi de commande au-dessus en la dynamique (2.26), le système en boucle

fermée est obtenu ci-dessous:

(

( (

)

) )

(( ) (

)( (

)

) ( (

)

) )


p. 2.52

(( ) (

)( (

)

) )

A partir de la fonction de Lyapunov (2.32).

On a :

(( ) (

)( (

)

) )

𝜂 ( 𝜂 | ( (

)

) |)

𝜂 ( 𝜂 | ( (

)

) |)

On choisit

> 𝜂 | ((

)

)|

Donc

𝜂

Lorsque K suit l’inégalité (2.56), on peut garantir la stabilité malgré qu’on a pris en considération les

incertitudes de modélisation du notre système.

De même façon on peut poser des conditions sur le constant T de la commande synergétique

⇒

(

)

( ) (

) ( )

A partir de la fonction de Lyapunov suivante:

⇒

(( ) )

|( ) |


p. 2.53

𝜂 (

𝜂 | ( ) |)

Donc

> 𝜂 | ( ) |

Pour atteindre ces conditions, nous devons prendre une très grande valeur de (K) et trop

petit valeur de T pour assurer la stabilité de chaque commande malgré l’existence des

perturbations.

Par exemple on prend: k=3.105, T=5.10-4.

Fig.2.20. Réponse du système avec SMC avec la variation de R et k=3.105

Fig.2.21. Réponse du système avec SYC avec la variation de R et T=5.10-4


p. 2.54

Avec les grandes valeurs de k (SMC), on rencontre deux problèmes qui sont : le problème de

chattering apparaît malgré l’amélioration, et le dépassement inacceptable dans le courant

d’inductance (iL) au régime transitoire comme montrée dans la figure (2.20).

Nous avons essayé d'éviter ce dernier avec la commande synergétique par le choix d’un

manifold (2.43) qui assure la limitation du courant (il), mais on rencontre un autre défi qui est

à chaque fois on change la résistance R ou Vref on doit changer le courant de référence qu’il

n'est pas toujours facile.

2.7. Conclusion

A partir notre étude approfondie dans ce chapitre on a conclu que Les deux commande

synergique et commande par mode glissant ont le même but de forcer le système à

fonctionner sur le manifold (S,ψ)= 0.

La commande par mode glissant est robuste et ne se base pas fortement sur le modèle du système

contrairement à la commande synergétique mais elle a l’inconvenant de chattering qui présente un

grand problème à l’implémentation numérique [37].

La commande synergétique nous a permis d’éviter ce problème en outre, elle est moins sensible au bruit

à haute fréquence et impose un comportement dynamique bien contrôlée hors de manifold selon

l'équation. (2.33). mais malheureusement on constate une diminution de robustesse car sa sensibilité

aux écarts entre les paramètres du modèle et du système physique.

A première vue, la solution de ce dernier est l’utilisation d'observateurs sophistiqués pour la

détermination des paramètres du système mais cette solution n'est raisonnable que; si le coût de la

commande n'est pas un obstacle important. (Par exemple, des applications de haute puissance ou haute

tension).

Donc on s'oriente vers les commandes adaptatives, et on remarque aussi que le temps de réponse de

ces deux commandes est un peu grand, donc ce problème fait appel aux commandes à temps fini ce

que nous abordons dans les sections suivantes.

CHAPITRE 3 COMMANDE ADAPTATIVE FLOUE TERMINALE

p. 3.55

Chapitre 03

COMMANDE ADAPTATIVE FLOUE TERMINALE

3. Introduction

Dans ce chapitre, nous introduisons la théorie de la commande terminale dans le but de

minimiser le temps de convergence. Nous allons dans un premier volet exposer les

fondements et les principes de cette approche avec les commandes par mode glissant et

synergétique. Pour ensuite on inclut les lois d’adaptation. On utilisera les systèmes flous de

type-1 pour approximer la dynamique des systèmes non linéaires inconnus. La stabilité du

système en boucle fermé est assurée par la synthèse de Lyapunov au sens que tous les

signaux soient bornés et les paramètres du contrôleur ajustés par une loi d’adaptation munie

d’un algorithme de projection suivi les résultats de simulation afin de valider notre approche

et finalement la comparaison entre les commandes AFTSM et AFTSYC.

4. Conception du contrôleur synergétique terminal.

Maintenant, le concept d'attraction terminal est inclus ici et synthétisé avec la commande

synergétique pour construire le schéma TSYC proposé.

Tout d'abord, nous introduisons le concept de la TSYC. On définit l'erreur e(t) = Vref –V0 et on choisit

la surface de terminal synergétique comme suite:

( ) ( )

Ou x1 et x2 sont les variable d’états du système défini dans (3.3) et

α > 0, β > 0, p et q sont des constants impaires positives telle que

.

Cette surface nous assure que la sortie du système atteint la référence dans un temps fini

montré dans l’expression suivante.

( ) (

| ( )|

) ( )


p. 3.56

Mais avec le modèle complet de convertisseur dévolteur (1.57), il est très difficile de calculer

la commande à cause de la présence du dérivé deuxième de l’erreur dans l’expression de .

Pour cela nous avons décidé d’utiliser le modèle simple (1.58) pour déterminer la commande,

Ce choix est logique et acceptable Considérant toutes les pertes inhérentes aux éléments du

circuit électrique comme des incertitudes de modélisation.

On écrit le modèle (1.58) sous forme canonique par le choix de la tension de sortie et sa

dérivée comme des variables d’états :

( )

Donc le modèle d’état (1.58) récrire comme suit :

⇒

( ) ( ) ( )

En utilisant l'approche synergétique, l'équation (2.33) peut être exprimée comme suit:

. /

( ) ( )

L’utilisation de l’eq (3.4) et (3.5) nous donne la loi de commande suivante :

( )(

. / ( )) ( )

Pour justifier la stabilité de système de commande, on utilise la fonction de Lyapunov

suivante.

( )

La dérivation de l'équation (3.7) nous donne :

( ) [

.

/ ( ) ( ) ] ( )

( ) [

( )]

( )


p. 3.57

L’équation (3.9) est toujours inferieur ou égale à zéro. Ce qu’il fait que la stabilité est garantie

mais seulement si n’existe aucune perturbation et l’erreur de modélisation est égal à zéro.

Généralement en réalité ces conditions ne sont pas vérifiées ce qui introduit un terme

additionnelle dans l’expression de .

| | ( )

Ou ( ) ( )

Pour éviter ce problème, on s'oriente vers la commande adaptative floue pour estimer les fonctions non

linéaire f et g de notre système.

3.3. Introduction aux systèmes flous

On appelle système flou tout système utilisant des ensembles flous et la structure

correspondante pour donner une formulation mathématique afin de relier la sortie du

système à son entrée.

3.3.1. Rappel sur les systèmes flous type-1

La structure d’une commande floue type-1 est présentée en figure (3.1) .Elle est composée de

quatre blocs distincts dont les définitions sont données ci-dessous[46] .

Fig.3.1. Structure d’un contrôleur flou.

Sortie

Ordinaire

Ensembles flous

d’entrée

Entrée

ordinaire Fuzzification

Base de Règles

Inférence

defuzzification

Ensembles flous de

sortie


p. 3.58

3.3.1.1. Ensembles Flous

Soit X un espace de points (objets) dont l’élément générateur est noté par x, c.-à-d., X =x.

Un ensemble flou A dans X est un ensemble défini par sa fonction d’appartenance µA (x) qui

associe à chaque point dans X un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 1], [47][48]:

( ) → , - ( )

Ce nombre réel représente le degré d’appartenance de x dans A. Alors, plus le degré

d’appartenance est proche de l’unité, plus l’élément x appartient à A. Si la valeur de la

fonction d’appartenance est égale à l’unité, on dit que x appartient complètement à

l’ensemble A. Si elle est égale à zéro, on dit que x n’appartient pas à A, et si elle est entre 0 et

1, on dit donc que x appartient partiellement à l’ensemble flou A :

( )

- ,

( )

3.3.1.2. Fonctions d’appartenance

Dans un domaine discret * + ou continu X, un ensemble flou A peut

être défini par un ensemble de pairs : degré d’appartenance / élément :

( ) ( ) ( ) ∑ ( )

∫ ( )

Dans un domaine continu, les ensembles flous sont définis analytiquement par leurs fonctions

d’appartenance.

Nous trouvons dans la littérature des formes variées pour les fonctions d’appartenance floues

[49][50][51].

Fonction d’appartenance trapézoïdale

( ) ( (

)) ( )

Où a, b, c et d sont les coordonnées des apex du trapèze. Si b = c, nous obtenons une

fonction d’appartenance triangulaire.

( )


p. 3.59

Fonction d’appartenance exponentielle par morceaux

( )

. ( ) /

( ( )

)

( )

Où et sont les limites gauche et droite, respectivement ; et , sont les largeurs

gauche et droite, respectivement. Pour et la fonction d’appartenance

gaussienne est obtenue.

Fonction d’appartenance gaussienne

( ) ( ( ) ) ( )

Où est le centre de la gaussienne et sa largeur.

Fonction d’appartenance singleton

( )

( )

La figure 3.2 illustre des exemples sur les différentes formes des fonctions d’appartenance.

Fig.3.2. Différentes formes des fonctions d’appartenance.


p. 3.60

3.3.1.3. Base de règles.

On regroupe dans ce bloc, d’existence virtuelle, l’ensemble des définitions utilisé dans la

théorie des ensembles flous (univers de discours, variables linguistique, choix des

opérateurs…), ainsi que la base de règles, se transcrit sous forme de règles « SI…ALORS… »

De la stratégie de la commande de l’expert [52][53].

3.3.1.4. Fuzzification.

La fuzzification consiste à définir pour chacun des entrées réelles, les degrés d’appartenance

relativement à chacune de ses fonctions d’appartenance. On obtient ainsi pour chaque

variable réelle un ensemble de variables floues [54]

3.3.1.4.1. Inférence

L’étape d’inférence réalisée par un moteur d’inférence (cerveau du contrôleur flou) associe les

variables de sorties floues aux variables d’entrées floues à l’aide des règles d’application.

Parmi les méthodes d’inférence les plus utilisées, on cite : [54]

Méthode d’inférence max-min

Cette méthode réalise l’opérateur OU par la formation du maximum et l’opérateur ET par la

fonction min, la conclusion « Alors » de chaque règle par la fonction min.

Méthode d’inférence max-prod

La différence entre cette méthode et la méthode précédente réside dans le fait qu’Alors

est obtenu par la formation du produit.

3.3.1.5. Défuzzification

Défuzzification est la procédure inverse de la fuzzification. Elle consiste à convertir la valeur

d’une variable floue en une valeur numérique. Les méthodes les plus couramment utilisées

sont : [54]

La méthode de centre de gravité.

La méthode de maximum.

La méthode de surface.

3.3.2. Approximation par les systèmes flous type-1 :

L’ensemble du système flou avec la fuzzification singleton, la Défuzzification par centre de

gravité et le produit d’inférence sont des fonctions : nf U de la forme suivante

[55] :


p. 3.61

1

1

1

1

( )

( )

( )

li

li

Mn

iF

Mn

iF

l

il

il

x

y x

x

y

( )

Où 1.........T

nx x x U le vecteur d’entrée, y représente les centres des fonctions

d’appartenance des conséquences, ( )i il

xF

correspond à la fonction d’appartenance de

l’entrée i

x de la règle l, et la conjonction ‘ET’ dans les prémisses, est réalisées par le produit.

Le système flou (3.18) peut être réécrit sous la forme suivante[56]:

( ) ( )Ty x x ( )

Où 1( , ... , )M Ty y est un vecteur de paramètres et 1( ) ( ( ), ... , ( ))M Tx x x est un

vecteur régressif avec le régresseur ( )l x (fonction floue de base) défini comme :

1

11

( )( )

( )

li

li

n

iFil

Mn

iFil

xx

x

( )

Avec des fonctions d’appartenance gaussiennes, le système représenté par (3.18) peut être

écrit sous la forme suivante :

2

11

2

11

1exp

2

( )

1exp

2

lMnl i i

lil i

lMn i i

lil i

x xy

y x

x x

( )

Ou les paramètres , 0l l l

i iy x et sont des paramètres réglables, avec

l

ix sont les centres

des gaussiennes et l

i leurs écarts type.

Il a été prouvé par Wang dans [57] que ces systèmes (3.21) sont des approximateurs

universels, capables d’approximer toute fonction réelle continue sur un ensemble compact U

avec une précision arbitraire donnée.

Ce résultat empirique a été justifié par des études théorique récentes [58][59][57].


p. 3.62

3.3.2.1. Théorème de l’approximation universelle [57]

Soit une fonction non linéaire continue g(x) définie sur un intervalle bornée X et une

constante arbitraire ε, alors il existe un système flou f de la forme (3.18) tel que :

| ( ) ( )| ( )

Le théorème d’approximation universelle veut dire, que si on choisit proprement le nombre

de règles et les paramètres du système flou, on peut approcher n’importe quelle fonction non

linéaire continue sur un espace borné avec la précision voulue. Ainsi on peut écrire :

( ) ( ) ( )

Ainsi, la fonction non linéaire g(x) peut être représentée par un système flou et une certaine

erreur x appelée erreur minimale d’approximation, dont l’amplitude dépend de la précision

d’approximation.

3.4. Commande adaptative floue directe et indirecte

Les régulateurs adaptatifs flous sont classés en deux catégories [60]:

3.4.1. Commande adaptative floue directe (auto-ajustable)

La loi de commande est directement approximée par un ou plusieurs systèmes adaptatifs

flous. La structure de cette commande est montrée sur la figure (3.3).

Fig. 3.3. Commande adaptative floue directe.


p. 3.63

3.4.2. Commande adaptative floue indirecte (par modèle de référence MRAC)

Dans cette méthode on approxime d’abord le modèle du processus par des systèmes

adaptatifs flous puis on synthétise la loi de commande à partir du modèle approximé. La

figure (3.4) montre la structure de la commande adaptative floue indirecte.

Fig. 3.4. Commande adaptative floue indirecte.

Dans notre cas le problème est l'ignorance de les valeurs exacte de fonctions du modèle f et g

et pour cela on choisit l'adaptation floue indirecte pour estimer ces derniers et augmenter la

robustesse de performance de notre contrôleur.

3.5. Commande adaptative floue indirecte par synergétique terminale.

L’objectif de cette section est la synthèse d’une loi de commande d utilisant des systèmes

flous pour approcher les fonctions inconnues f(x) et g(x) afin de forcer la sortie du système

V0 de suivre le mieux possible la valeur de référence yref.

Dans cette section on montre d’une façon constructive, comment développer des

contrôleurs adaptatifs flous qu’on utilisera pour le développement du contrôleur terminal

synergétiques basés sur les systèmes flous.

3.5.1. Conception du contrôleur adaptatif flou selon la synthèse de Lyapunov.

On considère le système (3.4), si les fonctions f (x) et g(x) sont connues et les perturbations

externes nulles égal à 0, on détermine la loi de commande d comme il est présenté dans (3.6):

( )(

. / ( )) ( )


p. 3.64

En remplaçant la commande (3.24) dans le système (3.4) nous obtenons la dynamique de l’erreur

suivant l’approche synergétique (3.5).

Ce qui implique que lim ( ) 0s

t te t

qui est l’objectif principal du contrôleur terminal. Cependant, dans

notre étude les fonctions f et g sont inconnues, ce qui rend l’approximation de f et g nécessaire, pour

cela on utilise les systèmes flous ˆ ( / )f

f x et ˆ ( / )g

g x respectivement, qui sont de la forme (3.25),

( / ) ( )

( / ) ( )

T

f f f

T

g g g

f x x

g x x

( )

Où ( )f

x et ( )g

x sont les vecteurs de fonctions floues de base (FBF).

Calcul des FBF :

Les systèmes flou type-1 sont caractérisés par une seule FBF ce qui nous permet d’obtenir les estimés

f et g simultanément, ceci implique que ( ) ( )f g

x x dans le développement de la commande, les

FBF seront données par :

( , ,l ) 11 n

1 1 11 1

( )

( )

( )

n

l iiFl i i

m m nn n

l iiFl l i i

x

x

x

( )

Ces FBF sont rassemblées dans un vecteur ( )x de dimension 1

n

i

i

m

pour l1=1,2,…, m1, ln=1,2,…,mn,

avec mi est le nombre des ensembles flous ayant liFi

comme degré d’appartenance.

Donc la loi de commande résultante est :

(

. / ) ( )

Cette commande est appelée dans la littérature de la commande adaptative, la commande équivalente

[61].

Par l’application de (3.24) au système (3.4), on obtient après quelques simples manipulations l’équation

de la dérive de manifold ψ suivante :

( ) ( )

( )

⇒

.( ) ( ) / ( )

Donc, nous devons avoir 0eV lorsque Ve dépasse une certaine constanteV , on remarque d’après


p. 3.65

(3.29) qu’il est difficile de concevoir dc tel que le dernier terme de (3.29) soit négatif, pour cela on

introduit une commande de supervision qu’on décrit dans la section suivante.

3.5.2. Commande de supervision :

Pour assurer que 0eV lorsque Ve dépasse une certaine constanteV , on ajoute un autre terme de

commandes

d , appelé commande de supervision, la commande finale sera donc de la forme :

c s

d d d ( )

Il faut donc déterminer dc , afin que 0e

V quand e

V V , ceci est obtenu en substituant (3.30) dans

(3.29), en utilisant la même manipulation pour l’obtention de (3.28), on a la nouvelle équation de

manifold :

1 ˆ ˆ( ( / ) ( )) ( ( / ) ( )) ( ).

f g c sf x f x g x g x d g x d

T

( )

L’utilisation de (3.32) et (3.29) donne :

2

2

1 ˆ ˆ( ( / ) ( )) ( ( / ) ( )) ( )

1 ˆ ˆ. ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( )

e f g c s

f g c c s

V f x f x g x g x d g x dT

f x f x g x d g x d g x dT

( )

Pour définir sd telle que le dernier terme de (3.32) soit non positif, on a besoin de connaître les limites

des f et g , pour cela on considère la supposition suivante :

Supposition :

On peut déterminer les fonctions ( ), ( ) ( )U U

Lf x g x et g x tel que ( ) ( )Uf x f x et

( ) ( ) ( )U

Lg x g x g x pour cx U , où ( ) , ( ) ( ) 0U U

Lf x g x et g x pour cx U

En se basant sur ( ), ( ) ( )U U

Lf x g x et g x et en observant (3.32), nous choisissons la commande de

superviseur ds comme suit:

*

1

1sgn( ) .[ ( / ) ( ) ( / ) ( ) ]

( )

U U

s f g c c

L

d I f x f x g x d g x dg x

( )

Ou *

1 1I si eV V (qui est une constante spécifiée par le concepteur), *

1 0I siV V .

La commande de supervision ds est non nulle quand eV V , et la valeur de V est généralement grande,

ce qui fait que ds joue le rôle d’une commande de protection plus qu’une commande active. Si x à un

bon comportement, au sens où Ve n’est pas trop grande, la commande d (3.30) devient la commande

floue dc (3.27).


p. 3.66

On remplace (3.33) dans (3.32) quandV V , on trouve que :

2. 1 ˆ ˆˆ Û U

e c c c c

L

gV f f gd gd f f gd g d

T g

21

0T ( )

Le résultat obtenu dans (3.34) prouve que l’utilisation de la commande (3.30), où dc est donnée par

(3.27) et ds par (3.33), garantie queeV V . Puisque T est défini positive, et Ve est bornée, alors ψ(e)

est bornée, ce qui implique que l’état x est aussi borné.

3.5.3. Lois d’adaptation :

La tâche suivante, est de remplacer f et g par la formule spécifique des systèmes flous (3.25), et de

développer une loi d’adaptation pour ajuster les paramètres f g

et dans le but d'assurer la

convergence de l’erreur de poursuite vers zéro.

Tout d’abord, on définit les paramètres optimaux *

f et *

g par :

* ârg min sup ( / ) ( )f f

x Ucf f

f x f x

( )

* ârg min sup ( / ) ( )g g

x Ucg g

g x g x

( )

Où f g

et sont des ensembles de contraintes pour f g

et respectivement, spécifiés par l’expert.

Ces ensembles sont définis comme :

:f f f

M ( )

:g g g g

M ( )

Où f g

M et M sont des constantes positives spécifiées par l’expert.

On définit l’erreur d’approximation minimale par :

( ) ( ) ( (

) ( )) ( )

Avec | |

Alors, l’équation de (3.28) peut être écrite comme :

. ( ) ( )/ . ( ) (

)/

( )


p. 3.67

Si on choisit ˆ ˆf et g de la forme (3.25), donc on peut récrire (3.40) comme :

(

) ( ) (

) ( )

( )

Où f f f

, gg g

et est la fonction floue de base

( )

( )

( )

Maintenant, on considère la fonction de Lyapunov candidate suivante :

( )

Où, r1 et r2 sont des constantes positives.

La dérivée de V par rapport au temps est donnée par :

( )

On remplace (3.42) dans (3.44) on obtient.

( ( )

( )

)

( )

On utilise ,f f g g

| |

( ( ) )

( ( ) ) ( )

Si on choisit les lois d’adaptation suivantes :

( )

( ) ( )

Alors à partir de (3.46) on aura :

| | ( )

L’influence du terme est minime, d’ordre de l’erreur d’approximation minimale qui est trop petite,

vu que les systèmes flous ont une capacité d’approximer les fonctions non linéaires f et g avec une

grande précision, car ils sont des approximateurs universels qui peuvent approximer n’importe quelle

fonction réelle continue avec une précision arbitraire. Donc, l’utilisation d’un nombre suffisant de

règles pour construire f et g permet d’avoir très petit. Si tend vers 0, alors (3.48) devient :

| | ( )

L’erreur à l’équation (3.48) c’est la meilleur erreur d’approximation peut obtenir, ce dernier


p. 3.68

nous mène à déduire que tous les signaux du système sont bornés, depuis e(0) est borné donc

e(t) est borné, le signal de référence est aussi borné, ainsi les états du système sont borné.

Pour prouver que la convergence de l’erreur tan vers 0, nous devons prouver la suivante :

→ Lorsque

→

On suppose que | | donc on peut écrire (3.48) comme suivant :

| | | | ( )

L'intégration des deux côtés nous donne:

∫ | |

(| ( ) ( )|) ∫ | |

( )

Nous avons ψ L1, à partir de (3.51), la macro-variable est bornée ainsi que chaque terme,

donc L∞, en utilisant le théorème de Barbalat [61], nous pouvons conclure que l'erreur

du système converge vers zéro.

3.5.4. Algorithme de projection

Pour construire les vecteurs de paramètres f et g appartenant aux ensembles de contraintes f et g ,

respectivement, les lois d’adaptation (3.47) ne sont pas suffisantes. Pour résoudre ce problème, on

utilise l’algorithme de projection des paramètres[62].

Si les vecteurs de paramètres f et g appartenant aux ensembles de contraintes f et g ,

respectivement, ou sont sur la limite de ces ensembles, mais se dirigent vers l’intérieur de ces

ensembles, l’utilisation des lois d’adaptation (3.47) sont suffisantes. Autrement (si les vecteurs des

paramètres sont sur la limite des ensembles de contraintes mais se dirigent vers l’extérieur de ces

ensembles) on utilise l’algorithme de projection pour modifier les lois d’adaptation (3.47) de manière à

ce que les vecteurs de paramètres demeurent dans les ensembles de contraintes. Comme présenté

graphiquement dans la figure suivante :

Fig.3.5. Méthode du gradient avec projection[63].

Soit f g

et sont des ensembles de contraintes pour f g

et respectivement, comme suit :

| |


p. 3.69

| |

Où et sont des constants.

On requiert que | | être bornée inférieurement par par ce que a partir l’équation (3.27), on

constate que ( )T

g gg x

il ne faut pas égale à zéro. Donc les lois d’adaptation modifiées avec la

projection sont définies par :

Pour ajuster le vecteur de paramètres f on utilise :

1

1

( ) ( ) ( & ( ) 0)

( ) ( ) ( & ( ) 0)

T

f f f f f

f

T

f f f

r x si M ou M x

p r e x si M x

( )

Où l’opérateur de projection *P est défini comme :

21 1 1

( )( ) ( )

T

f f

f

xP r x r x r

( )

Pour ajuster le vecteur de paramètres g on utilise :

Une fois qu’un élément gi

de g

on utilise

2

( ) ( ) 0

0 ( ) 0

i c i c

gii c

r x d si x d

si x d

( )

Où ( )i

x est le ièmei composant de ( )g x .

Autrement, on utilise,

2

2

( ) ( ) ( & ( ) 0)

( ) ( & ( ) 0)

T

c g g g g g c

g T

c g g g c

r x d si M ou M x d

p r x d si M x d

( )

Où l’opérateur de projection *P est défini, dans ce cas par :


p. 3.70

22 2 2

( )( ) ( )

T

g g

c c c

g

xP r x d x d d

( )

La loi de commande adaptative floue indirecte synergétique terminale est synthétisée selon la structure

de la figure suivante :

Fig.3.6. Schéma global de la commande adaptative floue.

si

0

+

+ d y

Lois d’adaptation

Commande de supervision

si

Initiales,

déterminées Par l’information

linguistique

Système

Contrôleur terminale synergétique flou

e

+

-

y


p. 3.71

3.6. Résultats de simulation

Les résultats de simulation sont illustrés par les figures suivantes : pour une condition initiale

x0= [0 0] T et une référence de 5 Volts.

Les valeurs des paramètres α, β, p/q, r1, r2, et T, sont ajustées par simulation en tenant

compte les critères suivants :

Rapidité de la réponse sans dépassement important.

La réduction de l’amplitude des oscillations.

Réduction de l’erreur statique.

α = 100 β =150 (p/q)=7/9 T=0.005 r1=2.106 r2 =3.5.105 K1=0.1 K2=10-6

Tab 3.1. Paramètres du contrôleur AFTSYC.

On considère les fonctions d’appartenance triangulaires selon l’équation (3.14) où b=c,

comme elles sont présentées dans la figure (3.7), et définies sur l’univers [-1,1] en utilisant

deux gains d’entrée k1, k2.

Fig.3.7. Fonctions d'appartenance avec trois ensembles pour la variable erreur et sa

dérivée.

Les paramètres ,f g

M M et sont choisis ainsi: 7 810 , 10

f gM M et 0.9 .

Comme nous avons déterminé les valeurs des fonctions ( ), ( ) ( )U U

Lf x g x et g x pour cx U , et les

résultats obtenus sont présentées dans les figures au-dessous :


p. 3.72

Fig.3.8. Tension de sortie Vo (AFTSYC).

Fig.3.9. Courant d’inductance iL (A), (AFTSYC).

Fig.3.10. Signal de commande AFTSYC.


p. 3.73

Fig.3.11. Courant de charge io (A), (AFTSYC).

On constate à partir ces courbes que la sortie peut suivre la référence dans un temps très petit ts=0.126s

Et le pic du courant de l’inductance iL ne dépasse 1.3A au régime transitoire malgré l’existence des

oscillations dans le signal de commande et le courant iL.

3.6.1. Test de robustesse.

Pour en savoir, est ce que AFTSYC c’est une commande vraiment très robuste, contre les incertitudes

de modélisation on applique la commande obtenu dans (3.27) sur le modèle développé dans (1.57)

comme présentée dans la figure suivante.

Fig.3.12. Schéma global du contrôleur AFTSYC avec le modèle (1.57).

𝒆

L’estimation des fonctions f et g du

système par la commande adaptative

floue

(α, β, p, q, T, r1, r2, k1, k2)

Contrôleur

adaptative flou

synergétique

terminal


p. 3.74

Les résultats obtenus sont comme suit :

Fig.3.13. Tension de sortie Vo du modèle (1.57) par AFTSYC.

Fig.3.14. Courant d’inductance du modèle (1.57) par AFTSYC.

Fig.3.15. Signal de commande AFTSYC avec le modèle (1.57).


p. 3.75

A partir ces courbes on constat qu’AFTSYC a effectué une bonne régulation malgré

l’utilisation du modèle (1.57) qu’est proche que le modèle réel ce qui rend que cette

commande est applicable. Dans la section suivante on va présenter des tests de robustesse

pour analyser les performances de cette commande.

1- : on varie la tension de référence Vref de 5V à 7V au temps de 0.05s et retourne à 5V à t=0.1s.

2- on varie la tension d’entrée Vin de 10V à 9V au temps de 0.05s et retourne à 10V à t=0.1s.

Fig.3.17. Tension de sortie lors de la variation de la tension d’entrée Vin.

Fig.3.16. Variation de la tension de référence Vref.


p. 3.76

3- on varie la charge R de 10Ω à 2.5Ω à t=0.05s et retourne à 10Ω à t=0.1s.

Fig.3.19. Tension de sortie lors la variation de la charge R.

Fig.3.20. Signal de commande AFTSYC lors de la variation de charge.

Fig.3.18. Fonction g(x) lors la variation de Vin.


p. 3.77

Fig.3.21. Fonction f(x) lors de la variation de la charge R.

Fig.3.23. Courant d’inductance lors de la variation de R.

Fig.3.22. Fonction g(x) lors de la variation de la charge R.


p. 3.78

D’après les courbes, on remarque que les valeurs de g(x) et f(x) estimée se change quand on

varie la résistance ou la tension d’entrée comme montrée dans les figures (3.21, 3.20, 3.17), ce

changement résultant de l’apprentissage floue qui implique une nouvelle valeur de commande

pour que la sortie peut suivre la référence, comme illustré dans la figure (3.19).

En utilisant les paramètres donnée dans le tableau (3.1), on observe des fluctuations au

niveau des résultats, cet effet est due de la non optimalité des paramètres du contrôleur

utilisées, pour résoudre ce problème, on fait appel aux algorithmes d’optimisation ce po int

sera détailler dans le chapitre prochain.

3.7. Commande adaptative floue par mode glissant terminal.

De même manière que nous avons vu précédemment on concept et synthèse la commande

AFTSMC.

Premièrement, Soit une surface de glissement comme proposée dans (3.1).

( ) ( )

Où sont des constantes positives tels que et

et ( )

Pour l’existence du mode glissant: ( )

( ) ( )

( ) ⇒

( ) ( ( )

. / ) ( )

La commande discontinue correspondante dans cette phase est comme suite :

( ) ( ) ( ) ( )

On considère le système (3.4) si les fonctions f et g sont connues, alors la loi de commande

est donnée par:

⇒

( ) ( ( )

. / ( ) ) ( )

La stabilité de cette commande (TSMC) est garantie si on choit la fonction de Lyapunov suivante :


p. 3.79

⇒ | | ( )

Où k >0.

Cependant, f et g sont toujours inconnus dans la commande pratique. En utilisant des

systèmes flous pour estimer les fonctions f, g dans la commande (3.59). Alors la loi de

commande proposée devient :

( ) ( ( )

. / ( ) ) ( )

Lorsque on substitut (3.61) dans (3.56) on obtient :

( ) ( ) ( ) ( )

⇒ | | .( ) ( ) / ( )

Le même problème toujours la stabilité n’est pas garantie et il est difficile de concevoir dc tel que le

dernier terme de (3.63) soit négatif, pour cela on introduit une commande de supervision qu’on décrit

comme suivant :

*1

1sgn( ) .[ ( / ) ( ) ( / ) ( ) ]

( )U U

s g c cfL

d I s f x f x g x d g x dg x

( )

3.7.1. Lois d’adaptation :

La tâche suivante, est de approximer f et g par la formule spécifique des systèmes flous (3.25), et de

développer une loi d’adaptation pour ajuster les paramètres f g

et dans le but d'assurer la

convergence de l’erreur de poursuite vers zéro.

Comme illustrer dans la section (3.6.3) on peut écrire comme suite :

. ( ) ( )/ . ( ) (

)/ ( ) ( )

On définit l’erreur d’approximation minimale par :

( ) ( ) ( (

) ( )) ( )

Avec | |

Si on choisit ˆ ˆf et g de la forme (3.25), donc on peut récrire (3.66) comme :

( )

( ) ( ) ( )

Où f f f

, gg g

et est la fonction floue de base


p. 3.80

Maintenant, on considère la fonction de Lyapunov candidate suivante :

( )

Où, r3 et r4 sont des constantes positives.

La dérivée de V par rapport au temps est donnée par :

( )

On remplace (3.67) dans (3.69) on obtient.

( ( )

( ) ( ) )

( )

On utilise ,f f g g

| |

( ( ) )

( ( ) ) ( )

Si on choisit les lois d’adaptation suivantes :

( )

( ) ( )

Alors à partir de (3.71) on aura :

| | ( )

L’utilisation d’un nombre suffisant de règles pour construire f et g permet d’avoir très petit. Si

tend vers 0, alors (3.73) devient :

| | ( )

L’utilisation du théorème de Barbalat [61], nous pouvons conclure que l'erreur du système

convergent vers zéro.

Pour construire les vecteurs de paramètres f et g appartenant aux ensembles de contraintes

f et g , respectivement, on utilise l’algorithme de projection de même manière dans la

section (3.6.4).

3.8. Comparaison entre les commandes AFTSMC et AFTSYC.

Dans cette section, nous allons comparer les résultats obtenus par AFTSYC et AFTSMC appliqués sur

le modèle (1.57) avec les pertes inhérentes aux éléments du circuit électrique.


p. 3.81

d’après ces courbes, on peut conclure que la commande synergétique et la commande mode glissant

partage la propriété de la robustesse mais le premier a plusieurs autres avantages , il est bien adapté

pour la mise en œuvre numérique[37], il fonctionne à une fréquence de commutation constante, donc il

n’a pas le problème de broutement de mode glissant.

Malgré que ce problème est diminué avec AFTSMC, mais l’existence de la commande

discontinu et la variation de la fréquence de commutation restent toujours les grands

inconvénients de la commande par mode glissant. Par contre problème que le contrôleur

synergétique utilise le modèle du système pour synthétiser la commande est résolu dans ce

chapitre par l’estimation des fonctions f et g du système par la commande adaptative floue.

Fig.3.24. Tension de sortie Vo, par (AFTSMC et AFTSYC).

Fig.3.25. Signal de commande, par (AFTSMC et AFTSYC).


p. 3.82

Cette dernière commande et sa facilité de la mise en œuvre numérique donne l’avantage le

plus important à l’approche synergétique.

Concernant la robustesse de la commande, les deux commandes montrent de bonnes

performances en termes de régulation de la tension de sortie.

3.9. Conclusion.

Dans ce chapitre, on a développée deux lois de commande, adaptative floue synergétique terminale et

adaptative floue par mode glissant terminale. On a remarqué deux avantages essentiels de l’approche

synergétique représenté par sa facilité de la mise en œuvre pratique et l’invariabilité de la fréquence de

commutation contrairement de la technique par mode glissant. Il est clair que la commande

synergétique est basée totalement sur la bonne connaissance de modèle, donc cette approche est

sensible aux erreurs de modélisation et variation des paramètres, pour ces raisons on a développé une

commande adaptative par l’utilisation de l’apprentissage par les systèmes flous qui nous donne des bons

résultats en terme de robustesse comme a été illustré dans les figures précédentes. La commande

intelligente développée nécessite le réglage précis de plusieurs paramètres de contrôleur, donc on a

besoin d’optimiser ces derniers par un des algorithmes d’optimisation, ce que nous présentons dans le

chapitre suivant.

CHAPITRE 4 OPTIMISATION DES PARAMETRES PAR LES AG

p. 4.83

Chapitre 04

OPTIMISATION DES PARAMETRES PAR LES

ALGORITHMES GENETIQUES

4.1. Introduction

Dans la littérature, les méthodes d’optimisation se répartissent généralement en deux grandes

catégories : déterministes et non-déterministes.

Les méthodes déterministes se basent sur la valeur de la fonction objective et des contraintes,

ainsi que sur la valeur de leurs dérivées premières et parfois leurs dérivées secondes. Ce sont

des méthodes itératives convergeant vers un minimum local. La convergence vers un

optimum global n’est pas toujours assurée. Les méthodes déterministes sont généralement

efficaces quand l’évaluation de la fonction objective est très rapide, ou quand sa forme est

connue a priori. Dans la plupart des problèmes d’optimisation rencontrés par les ingénieurs,

on ne possède pas suffisamment d’information sur la fonction objectif ni sur ses dérivées.

Les cas d’optimisation complexes impliquant des temps de calcul importants, de nombreux

optima locaux ou des fonctions non-dérivables, seront souvent traités plus efficacement par

des méthodes non-déterministes. Ces méthodes font appel à des tirages de nombres

aléatoires qui permettent d’explorer l’espace de recherche plus efficacement. Elles sont faciles

à implanter pour le traitement des problèmes d’optimisation discrète, quand l’espace de

recherche devient non-convexe ou lorsque les gradients sont discontinus.

Dans le contexte de notre travail, l’optimisation est conduite sur les paramètres du contrôleur

par Les algorithmes génétiques (AG) a été développé par John Holland [73], ces dernières

figurent parmi les méthodes non-déterministes qui sont capables de maîtriser de telles

situations. Ils connaissent actuellement un essor considérable dans le domaine de

l’optimisation, grâce à leur universalité, fiabilité et robustesse. Ces algorithmes simulent les

mécanismes de reproduction des organismes vivants en vue de trouver une solution à un

problème donné. La robustesse est une des caractéristiques principales des AG. En effet, ils

permettent de fournir une ou plusieurs solutions de bonne qualité qui ne comprennent pas

nécessairement la solution optimale au sens mathématique mais qui se révèlent suffisantes en

pratique pour des problèmes très variés, en sollicitant un investissement en temps et

puissance de calcul assez faible.


p. 4.84

Dans ce travail, le choix des AG pour l’optimisation des paramètres du contrôleur est

motivé, d’une part, par la nature du problème d’optimisation qui est discontinue et, d’autre

part, par la robustesse et l’efficacité de ces algorithmes pour la recherche d’une solution très

proche de l’optimum ou presque optimale. Ce chapitre est dédié à l'optimisation discrète de

paramètres par les AG. La description du principe et des caractéristiques des AG sont

détaillés par la suite.

4.2. Algorithmes génétiques (AG)

Les algorithmes génétiques (AG), ont été initialement développés par John Holland [73]. ses

collègues et ses étudiants, à l'université du Michigan dans deux buts principaux [64].

1. Mettre en évidence et expliquer rigoureusement les processus d'adaptation des

systèmes naturels.

2. Concevoir des systèmes artificiels qui possèdent les propriétés des systèmes naturels.

Leurs champs d’application sont très vastes. Outre l’économie, ils sont utilisés pour

l’optimisation de fonctions numériques difficiles (discontinues, multimodales, bruitées…),

traitement d’image (alignement de photos satellites, reconnaissance de suspects…),

optimisation d’emplois du temps, optimisation de design, contrôle de systèmes industriels,

apprentissage des réseaux de neurones etc. La raison de ce grand nombre d’application est

claire c’est la simplicité de leurs mécanismes, la facilité de leur mise en application et leur

efficacité même pour des problèmes complexes, les (AG) peuvent être utilisés pour contrôler

un système évoluant dans le temps (chaîne de production, centrale nucléaire…) car la

population peut s’adapter à des conditions changeantes [64].

De plus, les (AG) utilisent deux stratégies importantes pour trouver une solution ou un

ensemble de solutions. Ces stratégies sont : l’exploration et l’exploitation. Elles permettent de

trouver le maximum global (solution du problème) du fait qu’elles sont complémentaires. Si

l’exploration investigue l’ensemble des solutions de l’espace de recherche, la phase

d’exploitation quant à elle se sert de la connaissance des solutions pour aider à trouver de

meilleures solutions. La combinaison de ces deux stratégies peut être tout à fait efficace [65].

4.2.1. Outils évolutionnaires de base d'un (AG)

Les (AG), sont basés sur trois éléments principaux : la sélection, le croisement et la

mutation. Dans la littérature il s’agit d’opérateurs de reproduction. Leur principe est simple,

comporte trois phases :


p. 4.85

1- la genèse (l’initialisation aléatoire d’individus pour former la population de la première

génération).

2- la reproduction (l’évolution des individus de la génération courante vers la suivante) :

la sélection des individus reproducteurs.

le croisement génétique de ces individus pour la création de nouveaux individus.

la mutation de certains individus pour que la création génétique ne s’affaiblisse pas.

l’évaluation des individus par le calcul de leur fonction d'adaptation.

3- Recherche de l’individu le plus adapté selon les critères souhaités. La solution sera

représentée par le meilleur individu de la dernière génération.

Pour résumer, L’AG est fondé sur [66] :

Une représentation chromosomique des solutions du problème.

Une méthode pour générer une population initiale de solutions.

Une fonction d’évaluation (fitness) pour classer les solutions en fonction de leurs

dispositions.

Des opérateurs génétiques qui définissent la manière dont les caractéristiques

génétiques des parents sont transmis aux enfants.

Les valeurs des paramètres utilisés par l’AG.

4.2.2. Optimisation par les algorithmes génétique

Les (AG), utilisent un vocabulaire similaire à celui de la génétique, cependant, les processus

auxquels ils font référence sont beaucoup plus complexes. En imitant ce principe, les

algorithmes génétiques appliqués à un problème d’optimisation font évoluer un ensemble de

solutions utilisent un mécanisme de sélection naturelle. Ainsi, les AG ne se basent pas sur un

individu, mais sur une population d'individus qui vont évoluer de génération en génération

pour obtenir un résultat se rapprochant de la solution optimale. Pour un problème

d'optimisation donné, un individu représente un point de l'espace d'état ou une solution

possible du problème donné il est composé d'un ou plusieurs chromosomes. Les

chromosomes sont eux-mêmes constitués de gènes qui contiennent les caractères héréditaires

de l'individu. A chaque individu est attribué un "fitness" qui mesure la qualité de la solution

qu’il représente, souvent c'est la valeur de la fonction à optimiser. Ensuite, une nouvelle

population des solutions possibles est produite en sélectionnant les parents parmi les

meilleurs de la "génération" actuelle pour effectuer des croisements et des mutations

[66].


p. 4.86

La sélection a pour but de favoriser les meilleurs éléments de la population, tandis que le

croisement et la mutation assurent une exploration efficace de l'espace d'état. Les meilleurs

individus d'une génération vont créer une nouvelle génération plus adaptée au problème dont

la nouvelle population contient une plus grande proportion de caractéristiques des meilleurs

individus de la génération précédente.

L’organigramme fonctionnel présenté dans la figure (4.1), illustre la structure générale de

l’algorithme génétique. Nous détaillerons dans la suite les diverses phases qui le constituent et

les mécanismes associés à chacune d’entre elles.

Fig. 4.1. Organigramme général d'un algorithme génétique


p. 4.87

4.2.3. Mécanismes de fonctionnement d’un (AG)

Les différentes étapes de fonctionnement des (AG) se résument à qui suit :

Initialisation : Une population initiale de N individus est générée aléatoirement.

Évaluation : Chaque individus est décodé, puis évalué.

Sélection: Création d’une nouvelle population par l’utilisation d’une méthode de

sélection appropriée.

Recombinaison: croisement et mutation au sein de la nouvelle population.

Retour à la phase d’évaluation jusqu’à la vérification du critère d'arrêt de l’algorithme.

La mise en œuvre des algorithmes génétiques nécessite donc plusieurs étapes. L'idée

fondamentale est que: la population choisie contient potentiellement la solution, ou plutôt la

meilleure solution, à un problème donné. Cette solution n'est pas exprimée car la

combinaison génétique sur laquelle elle repose est dispersée chez plusieurs individus. Ce n'est

que par l'association de ces combinaisons génétiques au cours de la reproduction que la

solution pourra s'exprimer. Lors de la reproduction et de la recombinaison génétique

associée, un individu hérite, par hasard, d'un des gènes de chacun de ses parents. L'originalité

des mécanismes repose en particulier sur le fait qu'il n'a pas considéré les seules mutations

comme source d'évolution mais aussi et surtout les phénomènes de croisement. C'est en

croisant les solutions potentielles existant que l'on peut se rapprocher de l'optimum [67].

4.2.3.1. Initialisation de la population.

Comme dans tout problème d'optimisation, une connaissance de ``bons'' points de départ

conditionne la rapidité de la convergence vers l'optimum. Si la position de l'optimum dans

l'espace d'état est totalement inconnue, il est naturel de générer aléatoirement des individus

en faisant des tirages uniformes dans chacun des domaines associés aux composantes de

l'espace d'état, en veillant à ce que les individus produits respectent les contraintes [67].

La génération de la population initiale peut se faire en prenant des individus régulièrement

répartis dans l’espace. Néanmoins, une initialisation aléatoire est plus simple à réaliser. Les

valeurs N(x i) des gènes est alors tirées au hasard selon une distribution uniforme.

Le choix de la population initiale peut conditionner fortement la rapidité de l'algorithme. Il

doit être capable de produire une population d'individus non homogène qui servira de base

pour les générations futures, et capable de rendre plus ou moins rapide la convergence vers

l'optimum global.


p. 4.88

Dans le cas où l'on ne connaît rien du problème à résoudre, il est essentiel que la population

initiale soit assez bien répartie sur tout le domaine de recherche. Une population trop petite

évoluera probablement vers un optimum local intéressant alors qu’une population trop

grande sera inutile car le temps de convergence sera excessif. La taille de la population doit

être choisie de façon à réaliser un bon compromis entre temps de calcul et qualité du résultat.

4.2.3.2. Codage et décodage des variables.

Le codage est une partie très importante des algorithmes génétiques. Il permet de représente

l’individu sous la forme d’un chromosome. Ce chromosome est constitué de gènes qui

prennent des valeurs dans un alphabet binaire ou non. Certains auteurs n’hésitent pas à faire

le parallèle avec la biologie et parlent de génotype en ce qui concerne la représentation

binaire d’un individu, et de phénotype pour ce qui est de sa valeur réelle correspondante

dans l’espace de recherche [67].

Le choix du codage est délicat. Il doit permettre de coder toutes les solutions et permettre la

mise en œuvre des opérateurs de reproduction. C’est ainsi que le bon déroulement des

algorithmes génétiques sera assuré. Plusieurs type de codages sont utilisés, on citera à titre

d'exemple: codage réel, codage binaire, Gray.

- Codage binaire

Goldberg et Holland ont démontré qu’il est idéal de représenter le chromosome en une

chaîne binaire. C’est pourquoi les AG utilisent généralement cette représentation Les

individus sont représentés sous forme de chaînes de bits contenant toute l'information

nécessaire à la description d'un point dans l'espace. Ce type de codage a pour intérêt de

permettre la création d'opérateurs de croisement et de mutation simples [67].

A chaque variable d’optimisation xi correspond un gène. Un chromosome sera donc un

ensemble de gènes. Chaque point est représenté par un individu doté d’un génotype constitué

d’un ou de plusieurs chromosomes. La population est un ensemble de N individus qui vont

évoluer d’une génération à une autre. Du point de vue informatique, un gène est un entier

long de K bits. Un chromosome est un tableau de gènes. Un individu est un tableau de

chromosomes. La population est un tableau d’individus [67].

Dans le codage binaire le gène est codé par un caractère binaire, 0 ou 1. C’est le plus courant

et celui qui a été employé lors de la première application des algorithmes génétiques. Un des

avantages du codage binaire est que l’on peut ainsi facilement coder toutes sortes d’objets :

des réels, des entiers, des valeurs booléennes, des chaînes de caractères… Cela nécessite

simplement l’usage de fonctions de codage et décodage pour passer d’une représentation à

l’autre [66].


p. 4.89

Pour chaque paramètre xi situé dans l’intervalle [xi min , xi max ], on associe une chaîne binaire

b0 b1…blxi définie sur lxi bits. A cette chaîne correspond une valeur entière naturelle [66] :

( ) ∑

( )

Le paramètre réel xi de l’espace de recherche relatif à N(xi) est obtenu par interpolation

linéaire.

( ) ( )

La longueur totale du chromosome est donnée par.

∑

( )

Où m: le nombre des paramètres.

Exemples

Chromosome A= 183.

1 1 1 0 1 1 0 1

Chromosome B=35.

0 0 1 1 0 0 0 1

- Codage réel

Davis, Janikow et Michalewicz ont effectué une comparaison entre la représentation binaire

et la représentation réelle. Ces auteurs ont trouvé que la représentation réelle donne de

meilleurs résultats d’après leur problème à résoudre. Dans ce codage le génome est un

vecteur réel et l’espace de recherche est un sous-ensemble de R. Cette représentation est

aujourd’hui très utilisée dans les problèmes d’optimisation car dans de nombreuses

applications du monde réel, ces problèmes sont naturellement formulés sous forme

paramétrique i.e. Les premiers travaux qui ont utilisé ce type de représentation ont été ceux

de Rechenberg et de Schwefel quand ils ont introduit les stratégies d’évolution [66]. Le


p. 4.90

codage réel peut-être utile notamment dans le cas où l'on recherche le maximum d'une

fonction réelle.

Exemples :

chromosome

gène 1 gène 2 gène 3 gène 4

101.10100 110.01000 0.1100010 1.1001100

x1=5.625 x2=6.25 x3=0.778 x4=1.6

- Codage de Gray

Dans le cas d'un codage binaire on utilise souvent la "distance de Hamming" entre le codage

binaire de deux nombres réels proches, comme mesure de la dissimilarité entre deux

éléments de population, cette mesure compte les différences de bits de même rang de ces

deux séquences. Et c'est là que le codage binaire commence à montrer ses limites.

En effet, deux éléments voisins en termes de distance de Hamming ne codent pas

nécessairement deux éléments proches dans l'espace de recherche. Cet inconvénient peut être

évité en utilisant un "codage de Gray" : le codage de Gray est un codage qui a comme

propriété qu’entre un élément n et un élément n+1, donc voisin dans l'espace de recherche,

un seul bit diffère [68].

4.2.3.3. fonction d’adaptation

Pour calculer le coût d'un point de l'espace de recherche, on utilise une fonction d’évaluation

ou d’adaptation (F). L'évaluation d'un individu ne dépendant pas de celle des autres

individus, le résultat fournit par la fonction d'évaluation va permettre de sélectionner ou de

refuser un individu pour ne garder que les individus ayant le meilleur coût en fonction de la

population courante : c'est le rôle de la fonction (F). Cette procédure permet de s'assurer que

les individus performants seront conservés, alors que les individus peu adaptés seront

progressivement éliminés [68].

La fonction d’adaptation, associe une valeur pour chaque individu. Cette valeur a pour but

d’évaluer le degré d'adaptation d'un individu à son environnement. Les individus peuvent


p. 4.91

être aussi comparés entre eux. Cette fonction, propre au problème, est souvent simple à

formuler lorsqu’il y a peu de paramètres. Au contraire, lorsqu’il y a beaucoup de paramètres

ou lorsqu’ils sont corrélés, elle est plus difficile à définir. Dans ce cas, la fonction devient une

somme pondérée de plusieurs fonctions.

La fonction d'adaptation doit exprimer le plus fidèlement possible, la problématique posée

sous forme mathématique. Sa définition peut être simplement analytique, ou elle peut

éventuellement faire appel au jugement de l'utilisateur. En raison de l’analogie avec la théorie

de l’évolution (survie des individus les mieux adaptés à leur environnement), les algorithmes

génétiques sont naturellement formulés en terme de maximisation. Ils servent donc à

déterminer le maximum d’une fonction F Réelle à une ou plusieurs variables. Le problème

d’optimisation sur l’espace de recherche E est formulé comme suit [68].

( )

( )

Si le problème à résoudre est un problème de minimisation d’une fonction J.

( )

( )

Ceci équivaut au problème de maximisation de F(x), que l'on définit comme suit:

( )

( )

Le choix de F n’est pas unique, mais cette transformation est la plus utilisée dans la

littérature.

4.2.3.4. La sélection des parents

La sélection des parents a pour but de deviner les individus de la population courante qui

seront autorisés à se reproduire (les “parents”). La sélection est fondée sur la qualité des

individus, estimée à l’aide de fonction d'adaptation. Cette opération est peut-être la plus

importante puisqu’elle permet aux individus d’une population de survivre, de se reproduire

ou de mourir. En règle générale, la probabilité de survie d’un individu sera directement reliée

à son efficacité relative au sein de la population. Il existe plusieurs méthodes pour la

reproduction. , on citera à titre d'exemple:

- La sélection par roulette ou proportionnelle

- La sélection par tournoi.

- La sélection à reste stochastique.


p. 4.92

- La sélection stochastique à reste stochastique.

- La sélection par le rang.

- La sélection uniforme.

Parmi ces différents types de sélection la méthode la plus connue et la plus utilisée reste la

roulette biaisée, proposée par Goldberg [74].

- La sélection par roulette

La phase de sélection spécifie les individus de la population qui doivent survivre. La méthode

de base, appelée roue de loterie attribue à chaque individu une probabilité de survie

proportionnelle à son adaptation dans la population. Lors de la phase de sélection, les

individus sont sélectionnés aléatoirement en respectant les probabilités pi associées pour

former la population de la nouvelle génération.

Cette méthode consiste à dupliquer chaque individu de la population proportionnellement à

son milieu. Ainsi, les individus ayant la plus grande valeur de fitness auront plus de chance

d'être choisis. Dans une population de N individus, la fonction de sélection est la suivante

[66].

( ) ( )

∑ ( )

( )

En utilisant cette probabilité de reproduction, on peut créer une roue de loterie biaisée.

Chaque individu de la population occupe une section de la roue proportionnellement à son

adaptation et qui indique aléatoirement quel individu peut se reproduire. Cette méthode

n’assure pas la sélection des meilleurs individus et peut être une cause de la convergence

prématurée.

Fig. 4.2. Exemple de sélection par roulette.


p. 4.93

- La sélection par tournoi

C’est la méthode la plus facile à mettre en œuvre. Cette technique utilise la méthode de la

roulette biaisée pour sélectionner deux individus. On récupère celui dont la valeur de la

fonction d’adaptation est la plus grande. Cette méthode choisit toujours une valeur de la

fonction d’adaptation plus élevée par rapport à la technique de la roulette biaisée [66].

- La sélection uniforme

C’est une technique très simple qui consiste à sélectionner un individu aléatoirement de la

population P. La probabilité Pi pour qu’un individu soit sélectionné est définie par [66].

( )

- La sélection par le rang

Cette méthode est très semblable au tirage à la roulette, sauf que les cases de la roulette ne

sont plus proportionnelles à la fitness des individus, mais à leur rang dans la population. Le

meilleur individu a le rang le plus élevé, le dernier a un rang de 1 [66].

- La sélection stochastique

Contrairement aux méthodes déterministes, les méthodes stochastiques associent aux

individus une probabilité de sélection, généralement fonction croissante de leur fonction

d'adaptation [66].

4.2.3.5. Recombinaison génétique

Pour créer un nouvel individu à partir des meilleures solutions précédemment sélectionnées,

il est nécessaire de procéder à la combinaison des gènes des parents pris de manière aléatoire

et d’après la théorie de l’évolution, pour que la génération suivante soit plus adaptée au

problème et plus performante on doit combiner les meilleurs individus de la population

actuelle. Une étape d’identification et de sélection de ces meilleurs individus est donc

nécessaire pour que chaque individu ait une chance proportionnelle à son adaptation de

devenir parent [67].

On distingue deux opérateurs principaux : Le croisement et La mutation qui permette

d’explorer l’ensemble des solutions possibles. Ces opérations sont appliquées aléatoirement, à

l’aide de deux paramètres, la probabilité de croisement et la probabilité de mutation. Ces

probabilités sont des paramètres très importants, qui influent de façon considérable sur la

convergence.


p. 4.94

a) Croisement.

Le phénomène de croisement est une propriété naturelle de l’ADN. C’est par analogie qu’ont

été conçus les opérateurs de croisement dans les (AG). Le croisement combine les gènes des

deux individus parents pour donner deux nouveaux chromosomes d’individus enfants

(descendants) possédant des caractéristiques issues des deux parents.

La zone de croisement est généralement choisie aléatoirement dans les chromosomes. Les

méthodes de croisement sont liées au codage mais leur principe est identique. Il a pour but

d'enrichir la diversité de la population en manipulant la structure des chromosomes, il

favorise l’exploration de l’espace de recherche et permet d’explorer l’ensemble des solutions

possibles. Classiquement, les croisements sont envisagés avec deux parents et génèrent deux

enfants. Dans un groupe de parents arbitrairement choisis dans la population chaque paire

dans la population formée va subir le croisement avec une probabilité Pcross [67].

De nombreux types de croisement existent dans la littérature. Ils préservent plus ou moins

l'identité génétique des parents et permettent un déplacement dans tout l'espace des solutions

le type de croisement le plus simple est le croisement à un site.

- Croisement à un site

Il consiste à échanger les gènes de chacun des parents de longueur l en vérifiant la probabilité

Pc. Le site de croisement S doit être choisi entre 1 et (l – 1). Le changement va se faire entre

le site sélectionné et la position finale l des deux chaînes comme le montre la figure (4.3).

Fig. 4.3. Croisement à un site.


p. 4.95

- Croisement à k sites

On choisit au hasard k points de croisements successifs. Cet opérateur généralement

considéré comme plus efficace que le précédent. Le changement va se faire entre deux sites

successifs des deux chaînes comme le montre la figure (4.4).

Fig. 4.4. Croisement à k sites.

b) Mutation.

La mutation prend une place de plus en plus importante dans les algorithmes génétiques,

alors qu'il y a encore quelques années son rôle était encore considéré comme accessoire.

Comme les individus les mieux adaptés sont les plus susceptibles d’être choisis lors de la

sélection, la perte de certains gènes est inévitable avec le temps. La mutation est l’opérateur

qui permet d’éviter la dégénérescence de la population. Cette dégénérescence peut se traduire

par une convergence des individus vers un optimum local, d’où l’importance de la mutation.

Ce phénomène génétique d'apparition de "mutants" est rare mais permet d'expliquer les

changements dans la morphologie des espèces, toujours dans le sens d'une meilleure

adaptation au milieu naturel.

Classiquement, la mutation modifie aléatoirement, un petit nombre de gènes, avec un faible

taux de probabilité, ceci revient à modifier aléatoirement la valeur d’un paramètre du

dispositif. Les individus de la population issus du croisement vont ensuite subir un processus

de mutation avec une probabilité Pmut qui est exécuté bit à bit.


p. 4.96

Comme pour le croisement, la mutation dépend du problème posé, la principale différence se

situe dans le taux de mutation qui est généralement faible et se situe entre 0.5% et 1% de la

population totale. Ce taux faible permet d'éviter une dispersion aléatoire de la population et

n'entraîne que quelques modifications sur un nombre limité d'individus [68].

La mutation a pour rôle de maintenir une certaine diversité dans la population et protège les

individus contre une perte des informations essentielle contenues dans leurs gènes. Elles

permettent d’assurer une recherche aussi bien globale que locale et garantit la convergence

vers l’optimum.

Comme pour les croisements, de nombreuses méthodes de mutation ont été développées

dans la littérature mais l’une des plus efficaces est celle qui consiste à muter chaque paramètre

de la fonction à optimiser avec une probabilité dépendant des informations contenues dans

les gènes des individus. Dans le cas du codage binaire, chaque bit est remplacé selon une

probabilité Pmut par son inverse. C’est ce qu’illustre la figure (4.5).

Fig. 4.5. Mutation dans un chromosome.

4.2.3.6. Sélection finale

Cette étape consiste à garder seulement les solutions les plus intéressantes, tout en

maintenant une population assez grande et assez diversifiée. C’est pourquoi la taille de la

population doit rester la même d’une génération à l’autre. La sélection revient à choisir les

meilleurs individus pour former la nouvelle génération, c’est à dire éliminer N individu parmi

les 2N individus (N parents et N enfants) pour cela plusieurs méthodes sont proposées [68].

a) Sélection par descendance

Dans cette méthode, on garde toujours les enfants, quel que soit leur adaptation la

population de la nouvelle génération est obtenue par descendance ; les enfants remplaçant

automatiquement leurs parents. L’inconvénient de cette sélection est que l’on risque de voir

disparaître les caractéristiques génétiques des parents les mieux adaptés si elles n’ont pas été

totalement transmises lors de la recombinaison génétique.

Une mutation


p. 4.97

b) Sélection par compétition

Une compétition a lieu entre parents et enfants pour déterminer ceux qui feront partie de la

génération suivante. Les enfants sont insérés dans la population si et seulement si leurs

performances sont supérieures à celles de leurs parents, à rang équivalent.

c) Sélection de procréation sélective

On garde les N meilleurs individus parmi la population intermédiaire de parents et d’enfants.

4.3. Optimisation des paramètres de contrôleur AFTSYC utilisant des Algorithmes

Génétiques (GA).

Un algorithme génétique a été utilisé dans cette étude dont le but d'ajuster des paramètres de

(AFTSYC) utilisés dans l’expression de la commande : α, B, (p /q), et r1, r2. Ainsi le centres de chaque

fonction d’appartenance triangulaire utilisé (b1, b2 , b3 b4, b5 et b6 ).

Le schéma synoptique du système de commande avec optimisation est représenté sur la Fig. (4.6).

La fonction objective choisie est donné par :

( ) ( )

Où

∫ ( | ( )| )

( )

Où t est le temps de simulation et |e (t)| la valeur absolue de l'erreur de tension et d la commande.

lorsque fonction objective est maximale, le critère J sera minimale donc les paramètres d’AFTSYC

seront optimales [69][70].

Fig. 4.6. Schéma synoptique du système de commande avec AG.


p. 4.98

Les paramètres d’AG sont: taille de la population est 100, le nombre de génération égale à 100, et la

fonction de mutation est gaussienne, et le nombre d'enfants élitisme égale à 5 et on utilise la sélection

par roulette.

Après l’optimisation en utilisant le modèle (1.58), les paramètres obtenus sont donnés dans le tableau

suivant :

Tab.4.1. Paramètres optimaux obtenus par AG.

Les résultats obtenus avec le modèle (1.58) sont présentées dans les figures suivantes :

Les paramètres du contrôleur AFTSYC

Avant l’optimisation après l’optimisation

α 150 100<α<200 150.451114738004932

β 100 50< β <200 183.834764387659988

(p /q) 0.7778 0< (p /q) <1 0.7775501056584560

T 0.005 0<T<1 0.0042035203174082

r1 2*106 1*103<r1<1*107 1e7*0.217731184736412

r2 3.5*105 1*103<r2<1*107 1e5*3.617687315353046

Les centres de

fonction

d’appartenance

De l’erreur

b1 -0.5 -0.9 <b1<-0.26 -0.462746181538611

b2 0 -0.25<b2<0.25 0.057917820807989

b3 0.5 0.26<b3<0.9 0.805072022575562

Les centres de

fonction

d’appartenance

De la dérivée

de l’erreur

b4 -0.5 -0.9 <b4<-0.26 -0.725432943123130

b5 0 -0.25<b5<0.25 -0.232586406643648

b6 0.5 0.26<b6<0.9 0.271447285894758

temps de réponse 0.0126s - 0.0112s

dépassement du courant

d’inductance (iLmax) 1.52% (1.26A) - 1.342% (1.171A)

Oscillation Existe au régime

transitoire nulle


p. 4.99

(a) Tension de sortie (V), par GA-AFTSYC.

(b) Courant d’inductance iL (A), par GA-AFTSYC.

(c) Signal de commande (d), par GA-AFTSYC.


p. 4.100

On remarque à partir ces courbes une amélioration des performances de réponse au régime transitoires

traduit par la diminution des oscillations au niveau de signal de commande et au niveau du courant de

l’inductance, ainsi une vitesse de convergence meilleur.

Pour confirmer la validité de ces paramètres, on les applique sur le modèle (1.58), et les résultats

obtenus sont illustrées dans les figures suivantes:

(a) Tension de sortie Vo du modèle (1.58), par GA-AFTSYC.

(d) Fonction objective.

Fig.4.7. Résultats de l'approche GA-AFTSYC.


p. 4.101

Fig. 4.8. a- Tension de sortie Vo (V), b- Courant d’inductance iL (A).

c- Signal de commande d, lors de la variation de R, par GA-AFTSYC.

D’après les courbes, vu que les paramètres du contrôleur sont optimisés utilisant le modèle

(1.58), on peut voir une amélioration remarquable traduit par la diminution des oscillations

au niveau de la commande et courant de l’inductance dans le régime transitoire, par

conséquent la valeur de la commande reste dans son intervalle [0,1] si la variation des

paramètres R et Vin respecte la plage de fonctionnement du convertisseur, ainsi en constate

une convergence plus rapide.

(b) Signal de commande (d) du modèle (1.58), par GA-AFTSYC.

(c) Courant d’inductance iL du modèle (1.58), par GA-AFTSYC.


p. 4.102

4.4. Conclusion.

Dans ce chapitre on a optimisé les paramètres de la commande AFTSYC, une bonne amélioration a été

obtenue au niveau du temps de réponse, le dépassement, les oscillations et l’erreur statique avec les

deux modèles (1.57), (1.58). L’importance de l’optimisation apparait de plus en plus dans la

détermination de centres des fonctions d’appartenance puisqu’il n’excite aucune méthode pour

déterminer ces paramètres.

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES

p. C. 1


Le travail mené dans ce mémoire a porté sur le développement de commandes robustes et

intelligentes de convertisseurs de puissance DC-DC. Pour prendre en charge les incertitudes

sur les paramètres et l’aspect non linéaire, on a fait appel à la propriété d’approximation

universelle des systèmes flous pour estimer la dynamique des systèmes considérés afin

d’élaborer des commandes robustes. Ces dernières sont basées sur deux approches : le mode

glissant et la commande synergétique. Ces techniques ont, toutes deux, une convergence

asymptotique en plus du broutement propre à la commande par mode glissant.

Ce phénomène est résolu par l’approche synergétique qui ne requiert pas de composante

discontinue dans la loi de commande. Afin d’obtenir une convergence de temps fini

l’approche terminale est préconisée pour les deux techniques et les résultats de simulation

pour différents points de fonctionnement ont été présentés et discutés.

La commande synergétique partage avec la commande mode glissant la propriété de la

robustesse mais ce contrôleur a plusieurs autres avantages, il est bien adapté pour la mise en

œuvre numérique et nécessite une bande passante relativement faible, un deuxième avantage

est qu’il fonctionne à une fréquence de commutation constante, éludant donc le problème de

broutement inhérent au mode glissant par conséquence.

L’approche synergétique terminale requiert des paramètres dans la loi de commande qui ne

sont pas choisis par le concepteur de façon systématique et suggère dans la nécessité d’une

approche plus rigoureuse d’où l’idée d’utiliser les algorithmes génétiques pour obtenir des

valeurs optimales.

Nous avons donc introduit l’optimisation par AG à la technique terminale pour avoir une

convergence en temps fini. Ceci à aboutit à l’élaboration d’une commande adaptative

indirecte floue synergétique terminale avec des paramètres optimisés par les algorithmes

génétique.

Cette dernière a été appliquée à la simulation de la commande d’un convertisseur dévolteur,

indiquant une amélioration des performances au niveau du temps de réponse et du

dépassement. Concernant la robustesse de la commande, les réponses obtenues en présence

des variations de la charge et au niveau des paramètres du système ainsi en cas de

perturbations externes, montrent de bonnes performances en termes de régulation de la

tension de sortie et en stabilité.


p. C. 2

Nous espérons valider la commande développée dans ce travail expérimentalement comme

perspective ainsi que la publication des résultats. Ainsi l’utilisation des techniques plus

développées comme la logique floue type 2.

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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:ملـخـص

باقتزاح مجمىعة مه أوظمة التحكم الذكية و القىية لمحىل الطاقة مستمز /مستمز. قمىا بتطىيز وظامي زةم هذي المذك تهت

بعد المقاروة بيىهما اختزوا AFTSMC، AFTSYC : تحكم يعتمدان على التقزيب باستعمال أوظمة المىطق الغامض

AFTSYC الخىارسميات الجيىية لو قمىا بتحسيه معامالت هذا المتحكم باستعما

أوظمة التحكم الذكية و ،الخىارسميات الجيىية ، LF، المىطق الغامض لمحىل الطاقة مستمز /مستمز :كلمـات مفتاحيـــة

القىية

Résumé :

Le travail réalisé dans ce magister porte essentiellement sur le développement de

commandes robustes et intelligentes des convertisseurs DC-DC. On a développé deux lois de

commandes basées sur l’approximation universelle des systèmes flous, en l’occurrence : la

commande adaptative floue indirecte par mode glissant terminal(AFTSMC) et la commande

adaptative floue indirecte synergétique terminale(AFTSYC). Les résultats de simulation ont

permis de choisir la dernière approche pour l’optimisation des paramètres de la loi de

commande par les algorithmes génétiques.

Mots Clés : convertisseurs DC-DC, adaptative floue, mode glissant, synergétique, terminal,

Abstract:

This memory is dedicated to the study and integration of the neuro fuzzy control of FACTS systems. The integration of these elements enabled a smooth and easy control of power systems start from the reactive power compensation through the contribution in improving network stability eclectic. The control applied to the FACTS are many, the conventional method of control has been applied for many years and with the increase of electrical networks it is now necessary to move towards intelligent techniques like fuzzy logic and neural networks. In this paper a controller based on a hybrid configuration of the two techniques mentioned intelligent was designed and calculated to incorporate an element FACTS to improve transient stability of power grids in different operating points encountered in the operation of electrical networks

In this thesis our work focused on the development of robust and intelligent control

laws for DC-DC converters. We have developed two controllers based on the universal

approximation properties of fuzzy logic systems, that is: an indirect adaptive fuzzy terminal

sliding mode controller (AFTSMC), and an indirect adaptive fuzzy terminal synergetic controller

(AFTSYC). The latter was selected, after a performance comparison of simulation results, for

parameters optimization using genetic algorithms.

Key Words: DC-DC converters, adaptive, fuzzy control, GA, sliding mode, synergetic, terminal.

يـــــــــمـلعلا ثـــح ـلا و يـــلاعلا ... · 2014-11-02 ·...

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