工業数学f2manabukano.brilliant-future.net/lecture/appliedmathf2/... · 2015-04-15 · title:...
TRANSCRIPT
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 1
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
京都大学大学院情報学研究科システム科学専攻
Human Systems Lab., Dept. of Systems Science Graduate School of Informatics, Kyoto University
工業数学Ｆ２
#12 離散フーリエ変換を実数で
京都大学 加納 学
復習：離散フーリエ変換2
周期 2π の周期関数 f (x) について， １周期を N 分割したサンプル点 xn でのサンプル値を fn とする．
離散フーリエ変換
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 2
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
復習：回転因子（1の原始N 乗根） 3
1の原始N乗根（回転因子）
Nが偶数のとき
0 1 Re
Im
後半は前半 N/2 点の符号を反転させたもの
復習：離散フーリエ変換の行列表現4
離散フーリエ変換
でも，これ，複素数の計算ですよね？ 実数でできないんですか？
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 3
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
Outline 5
l 離散コサイン変換 l 離散フーリエ変換の例
サンプル値の拡張6
N 個のサンプル点 {xn} でのサンプル値を {fn} とする．
このまま離散フーリエ変換すると，複素数になる． そこで，左右対称になるように拡張する．
これで 2N 個のサンプル値が得られたので， 改めて別の記号で書く．
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 4
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
拡張サンプル値の離散フーリエ変換7
離散フーリエ変換
拡張サンプル値の離散フーリエ変換8
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 5
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
拡張サンプル値の離散フーリエ変換9
離散コサイン変換
拡張サンプル値の逆離散フーリエ変換10
逆離散フーリエ変換
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 6
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
拡張サンプル値の逆離散フーリエ変換11
離散コサイン変換
拡張サンプル値の逆離散フーリエ変換12
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 7
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
逆離散コサイン変換
離散コサイン変換13
離散コサイン変換
実数だけになった！
離散サイン変換14
離散コサイン変換を参考にして，離散サイン変換を導出せよ．
N 個のサンプル値 {fn} をどのように拡張するか．
ド・モアブルの公式
アブラーム・ド・モアブル（Abraham de Moivre） （1667-1754）
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 8
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
離散サイン変換15
Outline 16
l 離散コサイン変換 l 離散フーリエ変換の例
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 9
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
例：40 Hz, 8192 points 17
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Sampled Data
time (milliseconds)
f n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Single-Sided Amplitude Spectrum of fn
Frequency (Hz)
|Fk|
例：40 Hz, 1024 points 18
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Sampled Data
time (milliseconds)
f n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Single-Sided Amplitude Spectrum of fn
Frequency (Hz)
|Fk|
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 10
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
例：40 Hz, 128 points 19
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Sampled Data
time (milliseconds)
f n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Single-Sided Amplitude Spectrum of fn
Frequency (Hz)
|Fk|
例：40 Hz (1.0) + 70 Hz (0.5), 8192 points 20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Sampled Data
time (milliseconds)
f n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Single-Sided Amplitude Spectrum of fn
Frequency (Hz)
|Fk|
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 11
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
例：40 Hz (0.5) + 70 Hz (1.0), 8192 points 21
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Sampled Data
time (milliseconds)
f n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Single-Sided Amplitude Spectrum of fn
Frequency (Hz)
|Fk|
例：40 Hz + 70 Hz + noise, 8192 points 22
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4
-2
0
2
4Sampled Data
time (milliseconds)
f n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Single-Sided Amplitude Spectrum of fn
Frequency (Hz)
|Fk|
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 12
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
例：40 Hz + 70 Hz + noise, 1024 points 23
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-6
-4
-2
0
2
4Sampled Data
time (milliseconds)
f n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Single-Sided Amplitude Spectrum of fn
Frequency (Hz)
|Fk|
例：40 Hz + 70 Hz + noise, 128 points 24
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4
-2
0
2
4
6Sampled Data
time (milliseconds)
f n
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Single-Sided Amplitude Spectrum of fn
Frequency (Hz)
|Fk|
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 13
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
例：矩形波, 1024 points 25
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sampled Data
n
f n
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FFT of fn
k
|Fk|
例：矩形波２つ, 1024 points 26
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sampled Data
n
f n
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FFT of fn
k
|Fk|
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 14
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
例：崩れた矩形波, 1024 points 27
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sampled Data
n
f n
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FFT of fn
k
|Fk|
例：鋸歯状波, 1024 points 28
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sampled Data
n
f n
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FFT of fn
k
|Fk|
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 15
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
例：鋸歯状波２つ, 1024 points 29
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sampled Data
n
f n
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FFT of fn
k
|Fk|
例：三角波, 1024 points 30
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sampled Data
n
f n
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FFT of fn
k
|Fk|
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 16
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
l 画像を固定サイズ（8×8画素）のブロックに分割し，そのブロック単位で離散コサイン変換（DCT）を用いて，空間領域から周波数領域へ変換する．
l DCTでは情報量は削減されないが，低周波数成分にエネルギーが集まることを利用して，量子化による情報量削減と，エントロピー符号化による圧縮率向上を行う．
離散コサイン変換の応用例31
画像圧縮JPEG
（Wikipediaより引用）
デジカメ32
１千万画素！
JPEG 圧縮率は1/10～1/100程度
１千万画素のアナログ・デジタル変換（AD変換）は必要か？
-
Copyright © 2012-2015 Manabu Kano. All rights reserved. 17
京都⼤大学⼯工学部物理理⼯工学科⼯工業数学F2（フーリエ解析）
連絡33
l ７月１６日（火） n 最終回です． n 講義全体の復習をします．
l ７月３０日（火） n 期末試験です． n 持込不可です．