1.1สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก ชวตประจ าวนของเราเกยวของกบเรขาคณตเสมอเราใชสมบตของรปเรขาคณตในงานกอสราง เชน สมบตของรปสามเหลยมในการประกอบโครงของบาน หรอ อาคารใหมความแขงแรง ใชมมฉากในการตงเสาบานใหตงฉากกบพนดนเพอใหบานแขงแรงและรบน าหนกไดด สรางหนาตางและประตใหเปนรปสเหลยมมมฉากเพอความสวยงามและมองเหนไดกวางขน หรอสรางไมค าประกอบเปนรปสามเหลยมมมฉากค าชายหลงคาบานใหแขงแรงมนคง

ความพนธระหวางความยาวของดานทงสามของรปสเหลยมมมฉากขางตน เปนไปตามสมบตของรปสามเหลยมมมฉากทกลาววา

สมบตขางตนนเรยกวา ทฤษฎบทพทาโกรส และเชอกนวา นกคณตศาสตรชาวกรกชอ พทาโกรส เปนผพสจนไดเปนคนแรก

ส าหรบรปสเหลยมมมฉากใดๆก าลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบวกของก าลงสองก าลงของความยาวของดานประกอบมมฉาก

1.2 ทฤษฎบทพทาโกรส นกเรยนเคยทราบมาแลววา ความยาวของดานทงสามรปสเหลยมมมฉากมความสมพนธกน ดงน ก าลงสองของดานความยาวของดานประกอบมมฉาก เทากบผลบวกของก าลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉาก ความสมพนธดงกลาวเปนทรจกรจกกนมากวา 3000 ปแลว ในชอของทฤษฎบทพทาโกรส แตคนในสมยนนสงเกตเหนความสมพนธน ในลกษณะทเปนความสมพนธของพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก

ให abc เปนรปสามเหลยมมมฉากทม acb เปนมมฉาก ม bc =3 หนวย ac= 4

หนวย และ ab= 5หนวยสรางรปสเหลยมจตรส abih รปสเหลยมจตรส bced และรปสเหลยมจตรส acgf บนดาน ab ดาน bc และดาน ac ตามล าดบ จะได พนทสเหลยมจตรส abih เทากบ 5 ก าลง 2 = 25 ตารางหนวย พนทของรปสเหลยมจตรส bced เทากบ 3ก าลง 2 = 9 ตารางหนวย พนทของรปสเหลยมจตรส acgf เทากบ 4 ก าลง 2 ช 16 ตารางหนวย ซง 25 = 9 + 16ดงนน พนทของรปสเหลยมจตรส abih เทากบ ผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรส bced และพนทของรปสเหลยมจตรสacgfตวอยางขางตนเปนการแสดงความสมพนธตาม ทฤษฎบทพทาโกรส ทกลาวอกแบบหนงดงนส าหรบรปสามเหลยมมมฉากใดๆ พนทของรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมาก

ในสมยอยปตโบราณ เกษตรกรทอาศยอยรมฝงแมน าไนลมกประสบปญหาน าทวมทดนจนไม

สามารถชเขตดนแดนของตนได จงตองรงวดใหมทกป ในสมยนนเมอตองการรงวดทดนใหเปนมมฉาก

ชาวบานจะใชเชอกทม 13 ปม ระยะหางระหวางปมเปน 1 หนวย เทากน มาขงเปนรปสามเหลยมทมดาน

ยาวเปน 3, 4และ 5 หนวย กจะไดรปสามเหลยมมมฉากทมดานตรงขามมมฉากเปน 5 หนวย

แมแตในปจจบนถาชางรงวดไมมเครองวดมมฉาก เขาจะใชเชอก 13 ปม มาขงสรางมมฉาก วธ

ดงกลาวนชใหเหนวาชางรงวดทราบวารปสามเหลยมมมฉากทมความยาวของดานทงสามเปน 3 , 4 และ

5 หนวย จะตองเปนรปสามเหลยมมมฉาก

ขอสรปนเปนจรงตาม บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรสทกลาววา

ส าหรบรปสามเหลยมใดๆ ถาก าลงสองของความยาวของดานดานหนงเทากบผลบวกของ

ก าลงสองของความยาวของดานอกสองดาน แลวรปสามเหลยมนนเปนรปสามเหลยมมม

ฉาก

บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรสเปนการน าผลของทฤษฎพทาโกรสมาเปนเหตน าเหตมาเปน

ผลซงอธบายไดผลซงอธบายไดดงน

ทฤษฎบทพทาโกรส มเหตและผล ดงน

เหต : มรปสามเหลยมรปหนง เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ผล : ก าลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบวกของก าลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉากของรปสามเหลยม

เมอน าผลขางตนมาเปนเหต และเหตมาเปนผล กจะไดบทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส

ดงกลาวมาขางตน

ก าหนดให abc ม ab = c หนวย bc = b หนวย และ c ก าลงสอง = a ก าลงสอง + b ก าลงสอง การพสจน abc เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทม abc เปนมมฉาก แนวคดในการพสจน ตองสรางรปสามเหลยมมมฉากdef อกรปหนงใหดานประกอบมมฉาก ef และ df ยาว a หนวยและ b หนวย

ตามล าดบ แลวแสดงใหเหน def = abc พสจน สรางรปสามเหลยมมมฉาก def ใหดานประกอบมมฉาก ef และ df ยาว a หนวย และ b หนวยตามล าดบ และ dfe เปนมม

ฉาก ef = bc =a และ df = ac = b (จากการสราง) จาก def จะได de ก าลงสอง = a ก าลงสอง + b ก าลงสอง ( ทฤษฎบทพทาโกรส) จาก abc จะได c ก าลงสอง = a ก าลงสอง + b ก าลงสอง (ก าหนดให ) ดงนน de ก าลงสอง = c ก าลงสอง ( สมบตของการเทากน ) นนคอ de= c

จะได dfe = abc ด.ด.ด ดงนน def = acb = 90 องศา ( มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน)

นนคอ abc เปนรปสามเหลยมมมฉากทม acb เปนมมฉาก

ตวอยาง abc มดานยาว 21 เซนตเมตร 72 เซนตเมตร และ 75 เซนตเมตร ตามล าดบ abc เปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม

วธท า ให a = 21B = 72C = 75

จะได a ก าลงสอง = 411 B ก าลงสอง = 5184 c ก าลงสอง = 5625

aก าลงสอง + bก าลงสอง = 411+ 5184 = 5625 ดงนน c ก าลงสอง = a ก าลงสอง + b ก าลงสอง นนคอ abc เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ขอท a b c A 2 B 2 C 2 a2+b2

1 3 4 5

2 2.4 3.2 4

3 2.5 6 6.5

4 6 8 10

ขอท a b c a2 b2 c2 A2+b2

1 3 4 5 9 16 25 25

2 2.4 3.2 4 5.76 10.24 16 16

3 2.5 6 6.5 4.25 30 42.25

42.25

4 6 8 10 36 64 100 100

จงหาจ านวนทก าหนดใหในแตละขอตอไปน

1. 9,12

วธท า c2 =

c2 =

c2 =

C2 =

c =

ตอบ หนวย

จงหาจ านวนทก าหนดใหในแตละขอตอไปน1. 9,12วธท า c2 = a2 + b2

c2 = 9ก าลง2 + 12ก าลง2c2 = 81 + 144c2 = 225c2 = 15 * 15c = 15

ตอบ 15 หนวย

2. 11 , 16

วธท า c2 =

c2 =

c2 =

c2 =

c2 =

c =

ตอบ หนวย

2. 11 , 16

วธท า c2 = a2 + b2

c2 = 11ก าลง2 + 16ก าลง2c2 = 121 + 3600

c2 = 3721

c2 = 61 * 16

c = 61

ตอบ 61 หนวย

3. 20 , 21

วธท า c2 =

C2 =

C2 =

C2 =

C2 =

C =

ตอบ หนวย

3. 20 , 21วธท า c2 = a2 + b2

C2 = 20ก าลง2 + 21ก าลง 2C2 = 400 + 441C2 = 841C2 = 29 * 29C = 29

ตอบ 29 หนวย

4. 0.8,1.5

วธท า c2 =

c2 =

C2 =

C2 =

C2 =

C =

ตอบ หนวย

4. 0.8,1.5

วธท า c2 = a2 + b2

c2 = 0.8ก าลง2 + 1.5ก าลง2C2 = 0.64 + 2.25C2 = 2.89C2 = 1.7 * 1.7C = 1.7

ตอบ 1.7 หนวย

2.1จ านวนตรรกยะ

นกเรยนเคยทราบมาแลววาจ านวน เชน 0 , 1 , 5 , -7 , 2 สวน 3 ,-3 สวน 5 , 11 สวน7 และ

31- สวน 12 เปน จ านวนทสามารถเขยนใหอยในรป a สวน b เมอ a และ b เปนจ านวนเตมท b มาก 0 ในทางคณตศาสตร เรยกจ านวนเหลานวา จ านวนตรรกยะ

จ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทเขยนแทนไดดวยเศษสวน a สวน b เมอ a และ b เปนจ านวน

เตมท b มากกวา 0

2.2 จ านวนอตรรกยะถงแมวาจ านวนเตม เศษสวน และทศนยมซ า จะม

ประโยชนและสามารถน าไปใชไดอยางกวางขวาง แตกยงมปญหาหรอสถานการณบางอยางทไมสามารถใชจ านวนดงกลาวแทนปรมาณทตองการสอได

จงเขยน0.6ใหอยในรปเศษสวน

วธท า ให n = 0.6

ดงนน n = 0.666… --- 1

1* 10

จะได 10n = 6.666...

หรอ 10n = 6.666...---2

2-1

จะได10

2.3 รากทสอง

นกเรยนเคยใชทฤษฎบทพทาโกรสหาความยาวของดานตรงขามมมฉาก เมอทราบ

ความยาวของดานประกอบรปสามเหลยมมมฉากมาแลวดงน

เมอความยาวแตละดานของดานประกอบมมฉากของรปสามเหลยมมมฉากเปน 1

หนวยอาจหาความยาวของดานตรงขามมมฉาก โดยการหารดวยการยกก าลงสอง

บทนยาม ให a แทนจ านวนจรงบวกใดๆ หรอศนย รากทสองของ a คอจ านวน

จรงทยกก าลงสองแลวได a

ส าหรบรากทสองของจ านวนจรงลบจะไมกลาวถง เนองจากไมมจ านวนจรงใดทยก

ก าลงสองแลวไดจ านวนจรงลบ

ตวอยาง

ตวอยาง 7 เปนรากทสองของ 49 เนองจาก 7 ก าลงสอง = 49

-7 เปนรากทสองของ 49 เนองจาก ( -7 ) ก าลงสอง = 49

13 เปนรากทสองของ 169 เนองจาก 13 ก าลงสอง = 169

-13 เปนรากทสองของ 169 เนองจาก (-13 ) ก าลงสอง = 169

ถา a เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ a มสองราก คอ รากท สองทเปนบวกซงแทน

ดวยสญลกษณ ยกก าลงสอง a และรากทสองเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ – ยกก าลงสอง

a

ถา a = 0 รากทสองของ a คอ 0

ส าหรบจ านวนเตมบวก พจารณาดงน1. ถาสามารถหาจ านวนเตมจ านวนหนงทยกก าลง สอง แลวเทากบ

จ านวนเตมบวกทก าหนดให รากทสองของจ านวนนนจะเปนจ านวน ตรรกยะทเปนจ านวนเตม

2. ถาไมสามารถหาจ านวนเตมทยกก าลงสอง วเทากบจ านวนเตมบวกทก าหนดใหรากทสองของจ านวนนนจะเปนจ านวนอตรรกยะ

ส าหรบจ านวนตรรกยะบวกจ านวนอนๆ ทไมใชจ านวนเตม พจารณาดงน

ถาสามารถหาจ านวนตรรกยะทยกก าลงสอง แลวเทากบจ านวนตรรกยะบวกทก าหนดใหรากทสองของจ านวนนนจะเปนจ านวนตรรกยะ แตถาไมสามารถหาจ านวนตรรกยะทยกก าลงสอง แลวเทากบจ านวนตรรกยะบวกทก าหนดให รากทสองของจ านวนนนจะเปนจ านวนอตรรกยะ

การหารากทสองของจ านวนจรงท าไดหลายวธ ส าหรบวธค านวณ นกเรยนจะไดเรยนในระดบช นทสงกวาน

ส าหรบในช นน นกเรยนอาจใชการแยกตวประกอบ การประมาณการเปดตารางและการใชเครองค านวณ ดงจะกลาว

ตอไปน

การหารากทสองโดยการแยกตวประกอบ

การหารากทสองโดยการแยกตวประกอบเปนสงทท าไดงาย โดยเฉพาะอยางยง การหารากทสองของจ านวน

เตมบวกทสามารถแยกตวประกอบได ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหารากทสองของ400

วธท า เนองจาก 400 = 2 คณ 2 คณ 2 คณ 2 คณ 2 คณ 5 คณ 5

= ( 2 คณ 2 คณ 5 ) ก าลงสอง

= 20 ก าลงสอง

และ 400 = ( -20 ) ก าลงสอง

ดงนน รากทสองของ 400 คอ 20 และ -20

ตอบ 20 และ -20

2.4 รากท สาม

นกเรยนทราบมาแลววา การหารากทสองของศนยและจ านวนจรงบวกใดๆ คอการหาจ านวนจรงท

ยกก าลงสองแลวไดจ านนวนจรงนน ในท านองเดยวกน การหารากทสาม ของจ านวนจรงใดๆ

กคอ การหาจ านวนจรงทยกก าลงสามาแลวไดจ านวนจรงนนคอสอง จงไดวาสอง เปนรากท

สามของ แปด

บทนยาม ให a แทนจ านวนจรงใดๆ รากทสามของa คอ จ านวนจรง ทยกก าลงสามแลวได

a เขยนแทนดวยสญลกษณ a ยกก าลงสาม

ส าหรบ จ านวนเตม พจารณาดงน

1. ถาสามารถหาจ านวนเตมจ านวนหนงทยกก าลง สาม แลวเทากบจ านวนเตมทก าหนดให รากท

สาม ของจ านวนนนจะเปนจ านวนตรรกยะทเปนจ านวนเตม

2. ถาไมสามารถหาจ านวนเตมทยกก าลงสาม แลวเทากบจ านวนเตมทก าหนดใหรากทสามของ

จ านวนนนจะเปนจ านวน อตรรกยะ

ส าหรบจ านวนตรรกยะอนๆ ทไมใชจ านวนเตม พจารณาดงน

1. ถาสามารถหาจ านวนตรรกยะทยกก าลงสาม แลวเทากบจ านวนตรรกยะทก าหนดใหรากทสาม

ของจ านวนนนจะเปนจ านวนตรรกยะ แตถาไมสามารถหาจ านวนตรรกยะทยกก าลงสามแลว

เทากบจ านวนตรรกยะทก าหนดให รากทสามของจ านวนนนจะเปนจ านวนตรรกยะ

เราควรจ าไว

รากทสามของจ านวนจรงใดๆ มเพยงรากเดยว เชน รากทสามของ 8 คอ 2 รากทสามชอง-8 คอ -2

ในขณะทรากทสามของจ านวนจรงบวกใดๆมสองราก เชน รากทสองของ 9 คอ 3 และ -3

การหารากทสามของจ านวนจรงใดๆ ท าไดหลายวธเชนเดยวกบการหารากทสอง

อาจใชการแยกตวประกอบ การประมาณ การเปดตาราง และการใชเครองค านวณ แต

เนองจากการประมาณเปนวธทยงยาก ในทนจงจะกลาวเฉพาะการหารากทสามโดยการ

แยกตวประกอบการเปดตาราง และการใชเครองค านวณ

การหารากทสามโดยการแยกตวประกอบ

การหารากทสามของจ านวนจรงใดๆ อาจท าไดโดยการแยกตวประกอบ เพอเขยนใหอยในรป

ก าลงสาม แลวหารากทสาม

การหารากทสามโดยการเปดตารางและการใชเครองค านวณ

วธหนงในการหารกทสามของจ านวนเตมทสะดวกละรวดเรวคอการเปดตาราง

ถงแมวาการหารากทสามโดยการเปดตารางจะท าไดโดยสะดวกกยงไมสามารถใชไดกบจ านวนจรงทกจ านวน

วธหารากทสามท าไดงายและรวดเรวกวาคอการใชเครองค านวณหรอเครองคดเลขบางรน

ระนาบจรง

นกเรยนเคยทราบมาแลววา ระนาบในระบบพกดฉากประกอบดวยเสนจ านวนสองเสนตดกนเปนมมฉากบน

ระนาบตดกน เรยกเสนจ านวนแนวนอนวาแกน x และเรยกเรยกเสนจ านวนแนวตงวาแกน y ทจรงแลวแกน x และ

แกน y ขางตน คอ เสนจ านวนจรงและระนาบในระนาบพกดฉาก ดงกลาวกคอ ระนาบจรง ดงนนจดตางๆ บนระนาบ

จงแทนดวยคอนดบ ( x , y ) ท x และ y เปนจ านวนจรง

นกเรยนเคยหาต าแหนงของจดบนระนาบในระบบพกดฉากทมพกดทหนงและพกดทสองเปนจ านวนตรรกยะมาแลว

เชน จด a ( 2 , 4 ) , b ( 0 , -5 ) , c ( -4 เศษหนงสวนสอง, 3 ) และ d ( -6 , -2.5 )

แบบฝกหด

จ านวนตอไปนจ านวนใดเปนจ านวนตรรกยะและจ านวนใดเปนอตรรกยะ

1. 0

ตอบ

2. 0.842

ตอบ

3. 2.4313113111...

ตอบ

4. 2.137137137...

ตอบ

5. -0.1666676869

ตอบ

เฉลยจ านวนตอไปนจ านวนใดเปนจ านวนตรรกยะและจ านวนใดเปนอตรรกยะ 1. 0

ตอบ เปนจ านวนตรรกยะ2. 0.842

ตอบ ไมเปนอตรรกยะ3. 2.4313113111...

ตอบ เปนจ านวนตรรกยะ4. 2.137137137...

ตอบ เปนอตรรกยะ5. -0.1666676869

ตอบ เปนอตรรกยะ

แบบฝกหดการหารากทสอง1. 196

ตอบ 2. 725

ตอบ3.1296

ตอบ4. 115

ตอบ5. 81

ตอบ

เฉลยการหารากทสอง1. 196

ตอบ รากทสองของ 196 คอ 14 และ -14 2. 725

ตอบ รากทสองของ 725 คอ 27 และ -273.1296

ตอบ รากทสองของ 1296 คอ 36 และ -364. 115

ตอบ เปนจ านวนอตรรกยะ5. 81

ตอบ รากทสองของ 81 คอ 9 และ -9

แบบฝกหดจงหารากทสองของจ านวนตอไปน1. 2601

ตอบ2. 3025

ตอบ3. 4225

ตอบ4. 4900

ตอบ5. 400

ตอบ

เฉลยจงหารากทสองของจ านวนตอไปน1. 2601

ตอบ 51และ -512. 3025

ตอบ 55 และ-553. 4225

ตอบ 65 และ -654. 4900

ตอบ 70 และ -705. 400

ตอบ 20และ -20

แบบฝกหดจงหารากทสามตามจ านวนตอน1. -1

ตอบ2. 20

ตอบ3. 116

ตอบ4. -1728

ตอบ5. 2

75 ตอบ

เฉลยจงหารากทสามตามจ านวนตอน1. -1

ตอบ -12. 20

ตอบ 203. 116

ตอบ 1164. -1728

ตอบ -125. 2

75 ตอบ เปนจ านวนอตรรกยะ

3.1 ทบทวนการแกสมการเชงเสนตวแปรเดยวความหมายของสมการสมการ เปนประโยคทแสดงการเทากนของจ านวน โดยมสญลกษณ = บอกการเทากนสมการอาจมตวแปรหรอไมมตวแปรกได เชน 3x + 2 = 59 เปนสมการทม x เปนตวแปรและ 8 - 11 = -3 เปนสมการทไมมตวแปรสมการซงม x เปนตวแปรและมรปทวไปเปน ax +b = 0 เมอ a, b เปนคาคงตวและ a = 0 เรยกวา สมการเชงเสนตวแปรเดยวตอไปนเปนตวอยางของสมการเชงเสนตวแปรเดยว1. 2x = 0 2. 1 สวน 2 x = + 3 = 03. -0.8 y - 1.4 = 0 4. 3x – 5 = 0

ค าตอบของสมการคอ จ านวนทแทนตวแปรในสมการแลวท าใหสมการเปนจรงการแกสมการคอการหาค าตอบของสมการค าตอบของสมการเชงเสนตวเดยวจะมเพยงค าตอบเดยว ดงตวอยางสมการ 2x -5 = 0 ม 5 สวน 2 เปนตอบสมการ -4 สวน 5 y = 0 ม 0 เปนค าตอบสมการ 1 สวน 2x -7 = 0 ม 14 เปนค าตอบการหาค าตอบของสมการนอกจากจะใชวธลองหาจ านวนมาแทนคาตวแปรในสมการแลวเราสมบตของการเทากนไดแก สมบตสมมาตร สมบตถายทอด สมบตการบวกและ สมบตการคณ เพอชวยในการหาค าตอบของสมการอกวธหนง

สมบตของสมมาตร ถา a = b แลว b = a เมอ a และ b แทนจ านวนจรงใดๆ

สมบตถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c เมอ a, b และ c แทนจ านวนจรงใดๆ

สมบตการบวก ถา a = b แลว a + c = b+ c เมอ a , b และ c แทนจ านวนจรงใดๆ

สมบตการคณ ถา a = b แลว ca = c b เมอ a, b และ c แทนจ านวนจรงใดๆ

โจทยปญหาทเกยวระยะทาง อตราเรว และ เวลา เปนอกเรองหนงทเราสามารถหาค าตอบไดโดยใชความรเรองสมการความเกยวของระหวาง ระยะทาง อตราเรว และ เวลา จะเปนดงนระยะทาง = อตราความเรว x เวลาอตราเรวทกลาวถงขางตนจะหมายถง อตราเรว เฉลย

จ านวนอะไรเอย มสามหลก ผลบวกของแตละหลกคอ 18 เลขโดดในหลกหนวยเปนสามเทาของเลขโดดในหลกสบและเลขโดดในหลกรอยเปนสองเทาของเลขโดดในหลกสบวธการเลนเกมทายจ านวนเกมทางคณตศาสตร เปนเกมลบสมองทใชความรทางคณตศาสตรมาสราง เชนเกมทายจ านวน เกมทายจ านวนทดตองมหลกเกณฑ ทไมยงยากหรอซบซอนมากนก เพอท าใหเกมนาเลนแตกตองยากพอทผเลนจะไมสามารถวเคราะหหรอหาค าตอบไดทนท และทส าคญคอผต งค าถามสามารถบอกค าตอบไดทนทเมอการเลนเสรจสนลง

แบบฝกหดจงแกสมการของ 3x-4=17น า....... มาบวกทงสองขางของสมการจะได........................... = .........

.......... = .........น า.........มาหารทงสองขางของสมการ

.......... = ......... .......... = .........

ตรวจ.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

เฉลยจงแกสมการของ 3x-4=17น า 4 มาบวกทงสองขางของสมการจะได 3x-4+4 = 17+4

3x = 21น า 3 มาหารทงสองขางของสมการ

3x = 21 3x 33 = 7

ตรวจ 3x-4 =17 แทนคา x = 7

จะได 3(7)-4 = 17 21-4= 17 17 = 17

สมการนเปนจรง

แบบฝกหดผลบวกของจ านวนเตมสองจ านวนเปน -51 ถาจ านวนหนงนอยกวาอก

จ านวนหนงจ านวนสองจ านวนนนวธท า ให x แทนจ านวนเตมจ านวนหนง

จะไดจ านวนเตมอกจ านวนทนอยกวา xอย 13 เปน x-13เนองจากผลบวกขงจ านวนเตมสองจ านวนนนเปน -51จะไดสมการเปน x+(x-13) =

x+x-13 =(x+x) =

2x-13 = 2x =

X =ตอบ

เฉลยผลบวกของจ านวนเตมสองจ านวนเปน -51 ถาจ านวนหนงนอยกวาอก

จ านวนหนงจ านวนสองจ านวนนนวธท า ให x แทนจ านวนเตมจ านวนหนง

จะไดจ านวนเตมอกจ านวนทนอยกวา xอย 13 เปน x-13เนองจากผลบวกขงจ านวนเตมสองจ านวนนนเปน -51จะไดสมการเปน x+(x-13) = -51

x+x-13 = -51(x+x) = -51

2x-13 = -51 2x = -38

X = -19ตอบ -19 และ -38

แบบฝกหดจงหาจ านวนคสามจ านวนทเรยงตดกน ซงมผลบวกเปน 288

วธท า ให x แทนจ านวนเตมจ านวนหนงจะไดจ านวนเตมอกจ านวนทนอยกวา xอย 13 เปน x-13เนองจากผลบวกขงจ านวนเตมสองจ านวนนนเปน -51จะไดสมการเปน x+(x 2 )+(x+4) =

x+x 2+x +4 = (x+x+x)+(2+4) =

3x+6 = 3x =

X =ตอบ

เฉลยจงหาจ านวนคสามจ านวนทเรยงตดกน ซงมผลบวกเปน 288

วธท า ให x แทนจ านวนเตมจ านวนหนงจะไดจ านวนเตมอกจ านวนทนอยกวา xอย 13 เปน x-13เนองจากผลบวกขงจ านวนเตมสองจ านวนนนเปน -51จะไดสมการเปน x+(x 2 )+(x+4) = 288

x+x 2+x +4 = 288 (x+x+x)+(2+4) = 288

3x+6 = 288 3x = 282

X = 94ตอบ 94 96 และ98

4.1 เสนขนานและมมภายใน ในสงแวดลอมรอบตวเรามตวอยางของสงทมลกษณะของเสนขนานเชนรางรถไฟ ราวบนได แนวกระเบองปพน และเสนบรรทดในสมดบทนยาม เสนตรงสองเสนทอยบนระนาเดยวกน ขนานกนกตอเมอเสนตรงทงสองเสนนนไมตดกนเราสามารถกลาววาสวนของเสนตรงหรอรงส ขนานกนเมอสวนของเสนตรงหรอรงสนนเปนสวนหนงของเสนตรงทขนานกนในการเขยนรปเสนตรง สวนของเสนตรง หรอรงสทขนานกน อาจใชลกศรทแสดงเสนทขนานกนกได

ในกรณทวไป ถาเสนตรงสองเสนขนานกน แลวระยะหางของเสนตรงคนนจะเทากนเสมอ และในทางกลบกน ถาเสนตรงสองเสนมระยะหางระหวางเสนตรงเทากนเสมอ แลวเสนตรงคนนจะขนานกนในทางปฏบต เมอตองการตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนทก าหนดใหขนานกนหรอไมอาจตรวจสอบระยะหางระหวางเสนตรงสองเสนทวดจากจดทแตกตางกนอยางนอยสองจดบนเสนตรงเสนหนงกเพยงพอ

1. ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวขนาดของมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด รวมกนเทากบ 180 องศา2. ถาเสนตรงคหนงตดเสนตรงคหนง ท าใหขาดของมมภายในทอยบนเสนเดยวกนของเสนตด รวมกนเทากบ 180 องศา แลวเสนตรงคนนจะขนานกน เมอเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง เสนตรงคนนขนานกน กตอเมอขนาดของมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตดรวมกนได 180 องศา

ในการตรวจสอบวาเสนตรงคใดขนานกนหรอไมนอกจากการใชบทนยามของเสนขนานโดยตรงและการพจารณาจากระยะหางระหวางเสนตรงสองเสนแลวยงมวธอนทควรตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกนหรอไมโดยพจารณาจากขนาดของ มมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด ค าทนยมเรยกกน เสนตดมมภายในทอยขางเดยวกนของเสนตดลกศร

ทฤษฎบท ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตดแลวมมแยงมขนานเทากนทฤษฎนสามารถน าไปอางองในการตรวจสอบไดในการตรวจสอบวา เสนตรงสองสนขนานกนหรอไม นอกจากจะพจารณาจากขนาดของมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตดเสนตรงทงสองแลว ยงสามารถพจารณาจากขนาดของมมแยงไดทฤษฎบท ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ท าใหมมแยงมขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกนทฤษฎบท เมอเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง เสนตรงคนนขนานกน กตอเมอ มมแยงมขนาดเทากน

เราสามารถใชสมบตของเสนขนานจากหวขอ 4.1 และทฤษฎบทจากหวขอ 4.2 มาอางองในการพสจนเกยวกบขนาดของมมภายนอกมมภายในทอยตรงขามเดยวกนของเสนตดเสนขนานทฤษฎบท ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด และมมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนดานเดยวกนของเสนตดมขนาดเทากน

ในการตรวจสอบวาเสนตรงคหนงขนานกนหรอไม สามารถพจารณาจากขนาดของมมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกนของเสนตดดงบททฤษฎบทตอไปน ทฤษฎบท ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนงท าใหมมภายนอก และมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกนของเสนตด มขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน ทฤษฎบท เมอเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง เสนตรงคนนขนานกน กตอเมอมมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยว ของเสนตดมขนาดเทากน

ขนาดของมมภายในทงสามมมของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา ทฤษฎบท ถาดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไป มมภายนอก ทเกดขนจะมขนาดเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในทไมใชมมประชดของมมภายนอกนนทฤษฎบท ถารปสามเหลยมสองรปมมมทมขนาดเทากนสองค และ ดานคทอยตรงขามกบมมคทมขนาดเทากน ยาวเทากนหนงค แลวรปสามเหลยมสองรปนนเทากนทกประการ

แบบฝกหด

ก าหนดให CD // EF และม AB เปนเสนตด จงอบายวา ABD มขนาดเทากบขนาดมมใด

วธท า เนองจาก ..........//.........ม................ เปนเสนตด

จะได ACD เปนมม........................................................ดงนน

เฉลย

ก าหนดให CD // EF และม AB เปนเสนตด จงอธบายวา ABD มขนาดเทากบขนาดมมใด

วธท า เนองจาก CD //EF ม AB เปนเสนตด

จะไดมม ACD เปนมมภายนอกทอยตรงขามกบมม CBF ซงเปนมมภายในบนขางเดยวกนของเสนตดเสนขนาน

ดงนน มมACD = มมCBF

คนหามาจากหนงสอเรยนคณตศาสตร เลมท2 ชนมธยมศกษาปท 2

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

จดท าหนงสอโดย สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

กระทรวงศกษาธการ

และบางสวนกคนหามาจาก www.google.com

งาน power pointวชาคณตศาสตร

เสนออาจารยกฤษตยช ทองธรรมชาต

จดท าโดย ด.ญ. วนสนนท ชะงอนรมย ม. 2/4 เลขท 33 ด.ญ. วไลวรรณ กรดกระยาง ม. 2/4 เลขท 37 ด.ช. สวรรณเพชร สเหลอง ม. 2/4 เลขท 16 ด.ช. จระศกด โยธ ม. 2/4 เลขท 2 ด.ช. ศราวธ นราศร ม. 2/4 เลขท 14