คณิตศาสตร์ -...
TRANSCRIPT
ผเรยบเรยง
ผตรวจ
บรรณาธการ
คณตศาสตร๕ชนมธยมศกษาปท
ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวด กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑
หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน
อาจารยวฒนา นธศดลก
อาจารยเจรญ ราคาแกว
ดร.กตตปกรณ อมเถอน
อาจารยวฒชย ภด
อาจารยปาณตา อาจวงษ
ผศ.ดร.วรยทธ นลสระค
หนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เปนหนงสอทเขยนขน
ตามมาตรฐานการเรยนร ตวชวด และสาระการเรยนรแกนกลาง กลมสาระการเรยนร
คณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560) ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน
พทธศกราช2551ซงในเลมนจดแบงเนอหาสาระเปน4หนวยการเรยนรคอหนวยการเรยนร
ท 1 เลขยกกำาลง หนวยการเรยนรท 2 ความสมพนธและฟงกชน หนวยการเรยนรท 3
ลำาดบและอนกรมและหนวยการเรยนรท4ดอกเบยและมลคาของเงนในการนำาเสนอเนอหา
สาระมงใหผเรยนมความรความสามารถตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวดทกำาหนดไว
และมความสามารถเพยงพอทจะศกษาหาความรในระดบทสงขนไดอยางมประสทธภาพ
ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนผสอนเปดโอกาสใหผเรยนไดมสวนรวมในกจกรรม
การเรยนการสอนใหมากทสด จดกจกรรมการเรยนการสอนเพอใหผเรยนคนพบกฎเกณฑ
ตาง ๆผสอนตองสงเสรมใหผเรยนคดและลงมอแกปญหาไดอยางมประสทธภาพ เชน ใช
คำาถามทเหมาะสมกระตนใหผเรยนคดและแกปญหาไปตามลำาดบจนสามารถสรปกฎเกณฑ
ตางๆ ไดนอกจากนนผเรยนจะตองทำากจกรรมตรวจสอบความกาวหนาและทำาแบบฝกหด
อยางสมำาเสมอ ซงจะชวยใหผเรยนเขาใจเนอหาสาระกระจางขน รวมทงเหนประโยชนและ
คณคาของคณตศาสตร
หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตรเลมน หากผเรยนมความมงมนทจะศกษา
อยางจรงจง หนงสอเลมนจะชวยใหผเรยนประสบความสำาเรจในการเรยนคณตศาสตรได
อยางแนนอน
อาจารยวฒนานธศดลก
อาจารยเจรญราคาแกว
สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.)
คำ�นำ�
สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.)
๑๒๕๖/๙ ถนนนครไชยศร แขวงถนนนครไชยศร เขตดสต กรงเทพฯ ๑๐๓๐๐
โทร. ๐-๒๒๔๓-๘๐๐๐ (อตโนมต ๑๕ สาย), ๐-๒๒๔๑-๘๙๙๙
แฟกซ : ทกหมายเลข, แฟกซอตโนมต : ๐-๒๒๔๑-๔๑๓๑, ๐-๒๒๔๓-๗๖๖๖
website : www.iadth.com
สงวนลขสทธ
สำานกพมพ บรษทพฒนาคณภาพวชาการ (พว.) จำากด
พ.ศ. ๒๕๖๒
พมพครงท ๑ จำานวน ๒๐,๐๐๐ เลม
เลขยกกำ�ลง1
หนวยกา
รเรยนรท
แผนผงสาระการเรยนร
ตวชวด
• เขาใจความหมายและใชสมบตเกยวกบการบวก การคณ การเทากน และการไมเทากนของจำานวนจรง
ในรปกรณฑ และจำานวนจรงในรปเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ (ค 1.1 ม.5/1)
สมบตของเลขยกกำาลง
ทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม
เลขยกกำ�ลง1. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลง
เปนจำ�นวนเตม3. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลง
เปนจำ�นวนตรรกยะ
คาหลกของรากท n
สมบตของรากท n
การคำานวณหารากของจำานวนจรง
การบวก ลบ คณ และหาร
ของจำานวนในรปกรณฑ
2. ร�กท n ของจำ�นวนจรง
หนา
หนวยการเรยนรท 1 เลขยกกำาลง 5
ใชความคด พชตดวย...เลขยกกำาลง 6 1. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนจำ�นวนเตม 8 2. ร�กทnของจำ�นวนจรง 17 3. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนจำ�นวนตรรกยะ 36
หนวยการเรยนรท 2 ความสมพนธและฟงกชน 41
ใชความคด พชตดวย...ความสมพนธและฟงกชน 42 1. คอนดบ 43 2. ผลคณค�รทเซยน 47 3. คว�มสมพนธ 53 4. โดเมนและเรนจของคว�มสมพนธ 58 5. ฟงกชน 69 6. ก�รห�ค�ของฟงกชน 84 7. ก�รเขยนกร�ฟของฟงกชนและชนดของฟงกชน 88
หนวยการเรยนรท 3 ลำาดบและอนกรม 125
ใชความคด พชตดวย...ลำาดบและอนกรม 126 1. ลำ�ดบ 127 2. ลำ�ดบเลขคณต 139 3. ลำ�ดบเรข�คณต 149 4. อนกรม 159
หนวยการเรยนรท 4 ดอกเบยและมลคาของเงน 171
ใชความคด พชตดวย...ดอกเบยและมลคาของเงน 172 1. ดอกเบย 174 2. มลค�ของเงน 194 3. ค�ร�ยงวด 201เฉลยกจกรรมสงทายหนวยการเรยนรท 1-4 210บรรณานกรม 215ภาคผนวก 216
สารบญ
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง6 7
นกเรยนเคยสงสยไหมวา ทองฟาทกวางใหญนน ในจกรวาลมดวงดาวอยทงหมดกดวง
ดวยเครองมอทมอยในปจจบนยงไมสามารถตรวจจบการมอยของวตถในอวกาศไดทงหมด จงยง
ไมมใครสามารถตอบคำาถามนไดแตหากจะใหประมาณคราวๆแลวกลาวไดวา เฉพาะในเอกภพสวนท
สามารถตรวจจบไดดวยเทคโนโลยในปจจบนมกาแลกซอยหนงหมนลานกาแลกซ ในแตละกาแลกซ
มดาวฤกษประมาณหนงแสนลานดวงกลาวคอเฉพาะในเอกภพสวนทสามารถตรวจจบไดมดาวฤกษอย
มากกวาหนงพนลานลานลานดวงนกเรยนเขยนตวเลขแทนจำานวนดงกลาวไดอยางไร
10,000,000,000 Ö 100,000,000,000 =
1,000,000,000,000,000,000,000ใชไหมนะ
ตวอยางนแสดงใหเหนวา การเขยนตวเลขแสดงจำานวนใหครบทกหลกอยางถกตองมโอกาส ผดพลาดไดดงนนนกคณตศาสตรจงไดคดคนการแสดงจำานวนในรปแบบทสะดวกขนนนกคอการเขยนจำานวนในรปเลขยกกำาลง (และสญกรณวทยาศาสตร) จากตวอยางขางตน หากเขยนจำานวนดาวฤกษ ในเอกภพสวนทสามารถตรวจจบไดในรปเลขยกกำาลงจะได1010 Ö 1011 = 1021ดวง กอนจะเขาสบทเรยนนกเรยนลองพจารณาวาจะเขยนจำานวนตอไปนอยางไร
“นกดาราศาสตรประมาณเอาไววา ดวงอาทตยมมวลสามพนลานลานลานลานตน โดยมวลของ วตถทงหมดในทางชางเผอกนนนาจะเปนหนงลานลานเทาของมวลของดวงอาทตย จงประมาณมวล ของวตถทงหมดในทางชางเผอกไดเปนสามพนลานลานลานลานลานลานตน”
ใชความคด พชตดวย...เลขยกกำาลง
การดำาเนนชวตประจำาวนของนกเรยนนนมกจกรรมตาง ๆ มากมาย ทอาจไมทนสงเกตวา
กจกรรมตางๆ เหลานนสวนใหญมกเกยวของกบการคำานวณทางคณตศาสตรจากตวอยางในกจกรรม
ใชความคดพชตดวย...เลขยกกำาลงเปนเพยงสวนหนงในชวตประจำาวนเทานนจะเหนไดวาหากนกเรยน
มความรเกยวกบเลขยกกำาลงเพอใชในการคำานวณ จะทำาใหคด วเคราะหไดสะดวกขน ชวยลดโอกาส
ในการผดพลาดการศกษาคณตศาสตรเกยวกบเลขยกกำาลงยงมประโยชนอกมากมายในหลากหลาย
ศาสตร ในระดบชนของนกเรยนมความเกยวของกบการเรยนในวชาอนๆ เชนวทยาศาสตรในการเรยน
ดาราศาสตร สงคมศกษา ศาสนา และวฒนธรรมในการเรยนภมศาสตร หากนกเรยนมความเขาใจ
พนฐานเลขยกกำาลงทดยอมสงผลใหนำาไปตอยอดความเขาใจในวชาอนๆไดดดวย
ราชบณฑตยสภาไดกำาหนดความหมายของเลขชกำาลงไววา
เลขชกำาลง (exponent)คอ (คณต)น. จำานวนเตมหรอจำานวนตรรกยะทใชยกกำาลงจำานวนจรง
เชน73ม3เปนเลขชกำาลง.
ตวอยาง
65 ม 5 เปนเลขชกำาลง
813 ม 1
3 เปนเลขชกำาลง
(x+2)3 ม 3 เปนเลขชกำาลง
3x ม x เปนเลขชกำาลง
ในหวขอเรองเลขยกกำาลงชนมธยมศกษาปท5มงเนนใหนกเรยนเขาใจความหมายและใชสมบต
เกยวกบการบวกการคณการเทากนและการไมเทากนของจำานวนจรงในรปกรณฑและจำานวนจรงในรป
เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะซงสาระการเรยนรมดงน
1) รากทnของจำานวนจรงเมอnเปนจำานวนนบทมากกวา1
2) เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ
ซงนกเรยนไดเรยนรเรองเลขยกกำาลงทมฐานเปนจำานวนใดๆและเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
ในชนมธยมศกษาปท1มาแลวซงมบทนยามดงน
เลขยกกำาลง
ระบบสรยะ ทมา : Photo Bank From IAD
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง8 9
เรอเน เดการต (Renè Descartes) นกปรชญาและนกคณตศาสตร
ชาวฝรงเศส เปนคนแรกทรเรมใชรปแบบการแสดงเลขยกกำาลงดงทใชในปจจบน
โดยตพมพลงในผลงานLaGèomètrie
บทนยาม
เมอaเปนจำานวนใดๆและnเปนจำานวนเตมบวกเลขยกกำาลงทมaเปนฐาน
และnเปนเลขชกำาลงเขยนแทนดวยanมความหมายดงน
an = aÖaÖaÖ...Öa
anอานวา“เลขยกกำาลงn”หรอ“aกำาลงn”หรอ“กำาลงnของa”
nตว
และในชนมธยมศกษาปท 2 นกเรยนไดเรยนรเรอง เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม
มาแลวจงขอทบทวนบทนยามและทฤษฎบทเกยวกบเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม โดยไมม
การพสจนดงน
ใหaเปนจำานวนจรงและnเปนจำานวนเตมบวก
“a ยกกำาลงn”หรอ“aกำาลงn”หรอ“กำาลงnของa”
เขยนแทนดวยanมความหมายดงน
an = a Ö a Ö a Ö … Ö a
nตว
เรยกan วา เลขยกกำาลง
เรยกa วา ฐานของเลขยกกำาลง
เรยกn วา เลขชกำาลง
บทนยาม
1. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนจำ�นวนเตม
เชน
1. 35 = 3 Ö 3 Ö 3 Ö 3 Ö 3
2. (0.3)5 = 0.3Ö0.3Ö0.3Ö0.3Ö0.3
3. (-3)5 = (-3) Ö (-3) Ö (-3) Ö (-3) Ö (-3)
4. (1 4)
3
= 1 4
Ö 1 4
Ö 1 4
5. (-0.5)3 = (-0.5) Ö (-0.5) Ö (-0.5)
6. (-1 8)
0
= 1
7. 7-3 = 1
73 = 1
7Ö7Ö7 = 1
343
8. (-3)-2 = 1
(-3)2 = 1
(-3)Ö (-3) = 1
9
สมบตเกยวกบเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมทนกเรยนไดเรยนรในชนมธยมศกษา
ปท2มดงน
ใหa,bเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยและm,nเปนจำานวนเตมจะไดวา
1. amÖan = am+n
2. (ab)n = anbn
3. (am)n = amn
4. am
an = am-n
5. a-n = 1
an
6. ( ab )n
= an
bn
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง10 11
สมบต 1 amÖan=am+n
สมบต 2 1 เมอm=n
am
an = am-n เมอm>n
1
an-m เมอm<n
จากสมบตของเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม
ในทนสามารถยกตวอยางประกอบและประยกตเปนสมบตของ
เลขยกกำาลงอนๆไดดงน
ถาaและbเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยm,nและpเปน
จำานวนเตมจะได
อารคมดส (Archimedes) นกคณตศาสตร นกดาราศาสตร นกปรชญานกฟสกส และวศวกร ชาวกรก เปนผคนพบและพสจน กฎของเลขยกกำาลง10a .10b = 10a+b ซงเปนรากฐานของทฤษฎบทตางๆ
หมายเหต
บทนยาม
จากสมบตของเลขยกกำาลงขอท 2 ขางตน am
an =am-nเมอm=nผลหารทไดจะเปน1เชน
102
102 = 100
100 = 1 หรอ 102
102 = 102-2 = 100
ดงนน 100 = 1
ในการหารตวหารตองไมเปน0เพราะไมนยามการหารดวย0
ถาaเปนจำานวนจรงทa≠0จะไดa0 = 1
และจากสมบตของเลขยกกำาลงขอท 2 เชนเดยวกน am
an =am-nเมอm<nผลหารทไดจะเปน
1
an-m เชน
102
104 = 100
10000 = 1
100 = 1
102 หรอ102
104 = 102-4 = 10-2
ดงนน 1
102 = 10-2
บทนยาม
สมบต 3 a-n
b-m =bm
an
จากบทนยามขางตนทำาใหสามารถใชสมบตของเลขยกกำาลงam
an=am-nไดทกกรณ
ถาaเปนจำานวนจรงทa≠0และnเปนจำานวนเตมใดๆจะไดa-n = 1
anหรอan = 1
a-n
ตวอยางท 1 + --
ใหนกเรยนเขยน 8-4 Ö 411 อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน
มเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
ตวอยางท 2 + --
ใหนกเรยนเขยน 8 15
4
Ö 105อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน
มเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
23Ö(-4)Ö 22 Ö 11
วธทำา 8 15
4
Ö 105 = 23 3 Ö 5
4 Ö(2 Ö5)5
= 212 34 Ö54 Ö 25 Ö 55
= 212+5Ö 55-4 34
= 217Ö 5 34
ดงนน 8 15
4
Ö 105 = 217Ö 5 34
วธทำา 8-4 Ö 411 = (23)-4 Ö(22)11
= 2-12 Ö 222
= 2-12+22 = 210
ดงนน 8-4 Ö 411 = 210
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง12 13
ตวอยางท 3 + --
ใหaและbเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยใหนกเรยนเขยนพจนตอไปน
อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวนมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
1. a-4 Ö a11 2.b-3 Ö1
b-5
วธทำา 1. a-4 Ö a11 = a-4+11
= a7
ดงนน a-4 Ö a11 = a7
2. b-3 Ö1
b-5 = b-3 Ö b5
= b-3+5
= b2
ดงนน b-3 Ö1
b-5 = b2
หมายเหต
การคณสามารถเขยนในรปa Ö bหรอa.bหรอ(a)(b)หรอabกได
(ยกเวนการคณระหวางจำานวนจะไมใชแบบสดทาย)
สมบต 4 (am)n=amn
36Ö(-4)Ö 32Ö11
ตวอยางท 4 + --
ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน
มเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
1. 729-4 Ö 911 2. 4x-2- 4x-1 +12x-2- x-1
1
32
จากกำาลงสองสมบรณ4- 4x+x2=(2- x)2
(2- x)2-1
สมบต 5 (aÖb)n=anÖbn
จากสมบตขอท 4 และ 5 จะได
สมบต 6 (amÖbn)p=ampÖbnp
c0 = 1
ตวอยางท 5 + --
ใหนกเรยนเขยน (a-2b-1c0)-3 อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน
มเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
สมบต 7 ( ab )n= an
bn
4 x2 - 4 . x
x. x+1. x
2 x2
2 x2 - 1 . x
x. x
4 - 4x +x2
x2 . x2 2 - x
2. 4x-2- 4x-1+12x-2- x-1 =
4 x2 - 4
x+1
2 x2 - 1
x
=
4 - 4x+x2
x2
2 - xx2
= 4 - 4x+x2 2 - x
= (2- x)2 2 - x
= 2 - x
ดงนน 4x-2- 4x-1+1
2x-2- x-1 = 2 - x
วธทำา (a-2b-1c0)-3 = a(-2)(-3)b(-1)(-3)c(0)(-3)
= a6b3c0
= a6b3
ดงนน (a-2b-1c0)-3 = a6b3 วธทำา 1. 729-4 Ö 911 = (36)-4 Ö(32)11
= 3-24 Ö 322
= 3-24+22
= 3-2
= 19
ดงนน 729-4 Ö 911 = 19
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง14 15
a6-6 Öb8-3 Öc4 a0 = 1
ตวอยางท 6 + --
ใหa,bและcเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยใหนกเรยนเขยนพจนตอไปน
อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวนมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
1. a-7b-3
c-5
2 2. a2
b
3 b4c2 a3
2
วธทำา a4b2 c3
-3
= c3
a4b2
3
= c(3)(3)
a(4)(3)b(2)(3)
= c9
a12b6
ดงนน a4b2
c3
-3
= c9
a12b6
สมบต 8 ab-n
= ban
จากสมบตขอท 3 และ 7 จะได
ตวอยางท 7 + --
ใหนกเรยนเขยน a4b2
c3
-3
อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน
มเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
จากสมบตขอท 4 และ 7 จะได
สมบต 9 am bn
p
= amp
bnp
c =c1
a2
b3-1c
4
ตวอยางท 8 + --
ใหนกเรยนเขยน a2bb3c
4
อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน
มเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก
อนเครอง
ฝกฝน
แบบฝกหดท 1
วธทำา1. a-7b-3
c-5
2 = a(-7)(2)b(-3)(2)
c(-5)(2)
= a-14b-6
c-10
= c10
a14b6
ดงนน a-7b-3
c-5
2 = c
10
a14b6
2. a2
b
3 b4c2 a3
2 = a(2)(3)
b(1)(3) Ö b
(4)(2)c(2)(2)
a(3)(2)
= a6 b3 Ö b
8c4
a6 = a6
a6 Ö b8
b3 Öc4
= a0 Öb5 Öc4
= b5c4
ดงนน a2
b
3 b4c2 a3
2 = b5c4
วธทำา a2bb3c
4
= a2
b2c
4
= a(2)(4)
b(2)(4)c(1)(4)
= a8
b8c4
ดงนน a2bb3c
4
= a8
b8c4
1. ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวนมเลขชกำาลง
เปนจำานวนเตมบวก
1) 2,4500 2) 17-3 3) 1
14-3
4)3-7¶ 35
3-3
5) (-9)-5
6)(11-3 . 5-2)-4 7) (10-4 ö 10-3)-5 8) 815 Ö 8-9
8-8 Ö 8-4
9)10-5 Ö 10-8
10-12 Ö 1014 10) 36 Ö 10-5
9 Ö 10-8
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง16 17
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
บทนยาม
2. ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวนมเลขชกำาลง
เปนจำานวนเตมบวกเมอa,b,cและdเปนจำานวนจรงทไมเปนศนย
1) (a11)0 2) ab-14 3) c-5Öc6 4) 1
a-7
5) (4a-9)(12a-7)6) (3a2)(2a4)(4a3) 7)25b-10
5b-15 8) c-4
c-5
-8
9) a8 a-9
-1 10) (12a5b-2)3
11) (3ab-6)-4 12) 9 16b-3c5
-2
13) b3 c6
-2
14) 2a7b-3
18a-4b3
15) 24a-3b5
8a-2b-1 16) 6b
-3c-4
3b-4c-2 17) 10a3b2
4a2b36a2b4
9a4b2
18) c-2 d-6d6
-3 19) 34a5
17b2
2 -2
20) (c+d)-1 21) ab2
2c3
2
22) a2¶ b3 c4d
4
23) 6(c- 2)-6
12(c- 2)-4
24) 3(b+c)2(c- b)4
6(c- b)2(c+b)5 25) a 3c - 2b- 1
b-2a-2c2
-2 226) 33c0d-2
23d-6c2
-1 33c-2d22d-3c2
2
3. ถาโกเรยนดนตรในแตละวนดงน
วนท1 เรยน 16นาท
วนท2 เรยน 20นาท
วนท3 เรยน 24นาท
วนท4 เรยน 28นาท
วนท5 เรยน 32นาท
อยากทราบวาถาโกเรยนดนตรเปนเวลา10วนโกจะใชเวลาเรยนทงหมดกนาท
(เขยนตอบในรปเลขยกกำาลง)
4. ตอมเลนเกมคอมพวเตอรในแตละวนดงน
วนท1 เลนเกม5นาท
วนท2 เลนเกม10นาท
วนท3 เลนเกม20นาท
อยากทราบวาวนท9ตอมจะเลนเกมคอมพวเตอรใชเวลากนาท
(เขยนตอบในรปเลขยกกำาลง)
การศกษาความรเรองรากทnของจำานวนจรงและจำานวนจรงในรปกรณฑจะใชเปนพนฐานในการ
เขยนเลขยกกำาลงเมอเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะซงอยในหวขอถดไปของหนวยการเรยนรน
ใหnเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1aและbเปนจำานวนจรง
bเปนรากทnของaกตอเมอbn=a
พจารณาการคณดวยจำานวนเดยวกนของจำานวนตอไปน
1. 961 = 31Ö31 = 312
หรอ961 = (-31)Ö(-31) = (-31)2
มจำานวนจรง 31และ-31ทยกกำาลง2ได961
จะกลาววา 31และ-31เปนรากท2ของ961
2. 1,024 = 2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2=210
หรอ 1,024 = (-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)
= (-2)10
หรอ 1,024 = 32Ö32=322
หรอ 1,024 =(-32)Ö(-32)=(-32)2
หรอ 1,024 = 4Ö4Ö4Ö4Ö4=45
มจำานวนจรง 2 และ -2 ทยกกำาลง 10 ได 1,024
จะกลาววา 2 และ -2 เปนรากท 10 ของ 1,024
มจำานวนจรง 32 และ -32 ทยกกำาลง 2 ได 1,024
จะกลาววา 32 และ -32 เปนรากท 2 ของ 1,024
มเพยงจำานวนจรง4ทยกกำาลง5 ได 1,024
จะกลาววา 4เปนรากท5ของ1,024
3. 161,051 = 11Ö11Ö11Ö11Ö11
= 115
2. ร�กท n ของจำ�นวนจรง
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง18 19
ขอสงเกต
มเพยงจำานวนจรง 11 ทยกกำาลง 5 ได 161,051
จะกลาววา 11 เปนรากท 5 ของ 161,051
-2,197 = (-13)Ö(-13)Ö(-13)
= (-13)3
มเพยงจำานวนจรง -13 ทยกกำาลง 3 ได -2,197
จะกลาววา -13 เปนรากท 3 ของ -2,197
ในการหารากทเปนจำานวนค จะมคำาตอบทเปนไปไดทงทเปนคาบวกและทเปนคาลบ
ในขณะทการหารากทเปนจำานวนค จะมฐานทเปนไปไดทมเครองหมายตรงกบจำานวนนน
เพยงคาเดยว
จงสรปไดวา
ถาnเปนจำานวนค
เมอa>0 รากทnของaม2คาคอรากทเปนจำานวนจรงบวกเขยนแทนดวยn√a
และรากทเปนจำานวนจรงลบเขยนแทนดวย-n√aเมอa<0 จะไมมจำานวนจรงทเปนรากทnของa
เมอa=0 รากทnของaคอ0
ถาnเปนจำานวนค
เมอa>0 รากทnของaม1คาคอรากทเปนจำานวนจรงบวกเพยงจำานวนเดยว
เขยนแทนดวยn√a
เมอa<0 รากทnของaม1คาคอรากทเปนจำานวนจรงลบเพยงจำานวนเดยว
เขยนแทนดวยn√a
เมอa=0 รากทnของaคอ0
ใหa,bเปนจำานวนจรงและnเปนจำานวนเตมทมากกวา1
bจะมรากทnเมอnเปนจำานวนคได2คาคอรากทเปนจำานวนจรงบวกและรากทเปน
จำานวนจรงลบจงมการใหนยามคาหลกของรากทnดงน
คาหลกของรากท n
เครองหมาย√ เดมกคอตวr
ซงมาจากคำาวาradixขอตกลงเมอn=2นยมเขยน√ (squareroot)แทน√2
ใหa,bเปนจำานวนจรงและnเปนจำานวนเตมทมากกวา1
bเปนคาหลกของรากทnของaกตอเมอ
1.bเปนรากทnของaและ
2.ab 0
เขยนแทนคาหลกของรากทnของaดวยn√a อานวา“กรณฑทnของa”หรอคาหลกของรากทnของa”
วธทำา1. 81 = 3Ö3Ö3Ö3=34 หรอ
81 = (-3)Ö(-3)Ö(-3)Ö(-3)=(-3)4 หรอ
81 = 9 Ö 9 = 92 หรอ
81 = (-9)Ö(-9)=(-9)2
มจำานวนจรง3 และ-3ทยกกำาลง4ได 81
จะกลาววา 3 และ-3เปนรากท4ของ 81 นนคอ4√81=3และ-4√81 = -3
มจำานวนจรง9 และ-9ทยกกำาลง2ได 81
จะกลาววา 9 และ-9เปนรากท2ของ 81 นนคอ√81=9และ-√81 = -9
2. 125= 5Ö5Ö5
= 53
มเพยงจำานวนจรง 5 ทยกกำาลง 3 ได 125
จะกลาววา 5 เปนรากท 3 ของ 125 นนคอ3√125 = 5
3. -125= (-5)Ö(-5)Ö(-5)
= (-5)3
มเพยงจำานวนจรง -5ทยกกำาลง 3 ได -125
จะกลาววา -5เปนรากท 3 ของ-125นนคอ-3√125 = -5
ตวอยางท 1 + --
ใหนกเรยนหารากทnทเปนไปไดทงหมดของจำานวนตอไปน
โดยทnเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1
1. 81 2. 125 3. -125
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง20 21
ตวอยางท 2 + --
ใหนกเรยนหาคาหลกของรากทnทเปนไปไดทงหมดของจำานวนตอไปน
โดยทnเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1
1. 16 2. 343 3. -243 4. - 127
5. - 1128 6. 1 7. -1 8. 0
9. -9 10. -81
วธทำา1. 16
พจารณา16=4Ö4และ16=(-4)Ö(-4)
ดงนน คาหลกของรากท2ของ16คอ√16 = 4
เนองจาก4เปนรากท2ของ16และ4Ö16>0
แต คาหลกของรากท2ของ16คอ√16 ≠-4
เนองจาก4เปนรากท2ของ16แต(-4)Ö16<0
พจารณา16=2Ö2Ö2Ö2และ16=(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)
ดงนน คาหลกของรากท4ของ16คอ 4√16 = 2
เพราะวา2เปนรากท4ของ16และ2Ö16>0
แต คาหลกของรากท4ของ16คอ4√16≠-2
เพราะวา-2เปนรากท4ของ16แต(-2)Ö16<0
ดงนน คาหลกของรากทnทเปนไปไดหมดของ16คอ
คาหลกของรากท2ของ16คอ√16 = 4
คาหลกของรากท4ของ16คอ4√16 = 2
2. 343
เนองจาก343=7Ö7Ö7
ดงนน คาหลกของรากท3ของ343คอ 3√343 =7
เพราะวา7เปนรากท3ของ343และ7Ö343>0
3. -243
เนองจาก-243=(-3)Ö(-3)Ö(-3)Ö(-3)Ö(-3)
ดงนน คาหลกของรากท5ของ-243คอ 5√-243 = -3
เพราะวา-3เปนรากท5ของ-243และ(-3)Ö(-243)>0
4. - 127
เนองจาก- 127 = - 1
3 Ö - 13 Ö - 1
3
ดงนน คาหลกของรากท3ของ- 127 คอ - 1
27 3 = - 1
3
เพราะวา- 13 เปนรากท3ของ-
127 และ -
13 Ö - 1
27 >0
5. - 1128
เนองจาก- 1128 = - 1
2 Ö - 12 Ö - 1
2 Ö - 12 Ö - 1
2 Ö - 12 Ö - 1
2
ดงนน คาหลกของรากท7ของ- 1128 คอ - 1
1287 = - 1
2
เพราะวา- 12 เปนรากท7ของ-
1128 และ - 1
2 Ö - 1128 >0
6. 1
เนองจาก1= 1Ö1Ö1Ö...Ö1
ไดวาคาหลกของรากทnของ1คอ1เสมอ
เพราะวา1เปนรากทnของ1และ1Ö1>0เมอnเปนจำานวนเตมใดๆ
7. -1
เนองจาก-1= (-1)Ö(-1)Ö(-1)Ö...Ö(-1)
ไดวาเมอnเปนจำานวนคคาหลกของรากทnของ-1คอ-1เสมอ
แตไมมคาหลกของรากทเปนจำานวนค
8. 0
เนองจาก0= 0Ö0Ö0Ö...Ö0
ไดวาคาหลกของรากทnของ0คอ0เสมอ
เพราะวา0เปนรากทnของ0และ0Ö0=0เมอnเปนจำานวนเตมใดๆ
nตว เมอnเปนจำานวนเตมใดๆ
nตว เมอnเปนจำานวนค
nตว เมอnเปนจำานวนเตมใดๆ
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง22 23
หมายเหต
เรยก √ วา เครองหมายกรณฑ (radicalหรอ radix) เรยก n√ วา เครองหมายกรณฑท n
โดยมnเปนดชน(index)ของกรณฑและเรยกn√a วาคาหลกของรากทn ของa
(principlenthrootofa)หรอกรณฑทnของaในกรณทn=2จะเขยน√aแทน2√a จากบทนยามคาหลกของรากทnของaจะไดวาbเปนคาหลกของรากทnของaแลว
aและbเปนจำานวนจรงบวกทงคหรอเปนจำานวนจรงลบทงคหรอเปนศนยทงค
9. -9
เนองจาก-9=(-3)Ö3
ดงนน -9ไมมคาหลกของรากท2หรอ√-9 ไมเปนจำานวนจรง
เพราะวาไมมจำานวนจรงใดทเปนรากท2ของ-9
10. -81
เนองจาก-81=(-3)Ö(-3)Ö(-3)Ö3หรอ-81=(-9)Ö9
ดงนน -81ไมมคาหลกของรากท2หรอ√-81 ไมเปนจำานวนจรง
เพราะวาไมมจำานวนจรงใดทเปนรากท2ของ-81
และ-81ไมมคาหลกของรากท4หรอ4√-81ไมเปนจำานวนจรง
เพราะวาไมมจำานวนจรงใดทเปนรากท4ของ-81
จากตวอยางสรปไดวาคาหลกของรากทnของaหรอn√a มลกษณะคำาตอบดงน
1.ถาa=0แลวคาหลกของรากทnของaเทากบ0หรอn√a = 0
2.ถาa>0แลวคาหลกของรากทnของaเปนจำานวนจรงบวก
3.ถาa<0และnเปนจำานวนคแลวคาหลกของรากทnของaเปนจำานวนจรงลบ
4.ถาa<0และnเปนจำานวนคแลวไมมคาหลกของรากทnของa
เนองจากรากทnของaไมมคำาตอบเปนจำานวนจรง
สมบต 1 (n√a)n =aเมอn√aเปนจำานวนจรง
พสจน เนองจาก n√a เปนคาหลกของรากทnของa
ดงนน n√a เปนรากทnของa นนคอ (n√a)n
=a(ตามบทนยามหนา17)
ตวอยางท 3 + -- ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปนโดยใชสมบต 1
1. (4√3)4
2. (5√-11)5
3.(4√16)2 4.(8√-256)4
วธทำา 1. (4√3)4
= 3
2. (5√-11)5
= -11
3. (4√16)2 = (√4)2
= 4
4. (8√-256)4
ไมเปนไปตามสมบต 1 เนองจาก 8√-256 ไมเปนจำานวนจรง
4√16 = √4
1 (n√a)n
= a เมอn√aเปนจำานวนจรง
2
n√an
= a เมอnเปนจำานวนค
|a|เมอnเปนจำานวนค
3 n√ab = n√a . n√b
4 a
bn
=
n√an√bและb≠0
5 m√n
√a = mn√a
ใหaและbเปนจำานวนจรงทมรากทnและmเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1จะได
สมบตของรากท n เปนสมบตทมลกษณะเดยวกบสมบตของเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปน
จำานวนเตมดงน
สมบตของรากท n
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง24 25
สมบต 2 n√an =
aเมอnเปนจำานวนค
|a| เมอnเปนจำานวนค
พสจน 1. nเปนจำานวนค
เนองจากan=a Ö a Ö a Ö … Ö a ดงนนaเปนรากทnของan
กรณท1a 0จะไดan 0 กรณท2a<0จะไดan<0
ดงนนan. a 0 ดงนนan. a >0
จะไดวาaเปนคาหลกของรากทnของan จะไดวาaเปนคาหลกของรากทnของan
นนคอ(n√a )n=a นนคอ(n√a
)n=a
2. nเปนจำานวนคจะไดan 0
เนองจากan=|a| Ö |a| Ö |a| Ö … Ö |a|
ดงนนan. |a| 0
เพราะฉะนน|a|เปนคาหลกของรากทnของan
นนคอ(n√a )n=|a|
nตว
nตว
ตวอยางท 4 + -- ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปนโดยใชสมบต 2
1.5√243
2.-4√81
3.4√(-3)4
วธทำา 1. 5√243
= 5√3 Ö 3 Ö 3 Ö 3 Ö 3 = 5√35
= 3
2. -4√81
= -4√3 Ö 3 Ö 3 Ö 3หรอ = -4√(-3) Ö (-3)Ö (-3) Ö (-3)
= -4√34
= -4√(-3)4
= -3 = -|-3|
= -3
3. 4√(-3)4
= |-3|
= 3
สมบต 3 n√ab = n√a . n√b
3√(-27)(5)
พสจน จากสมบต 1 จะได(n√a )n=aและ(n√b
)n=b
จะได ab=(n√a )n(n√b
)n=(n√a
n√b)n
ดงนนn√a . n√bเปนรากทnของab
จากสมบตของคาหลกของรากทnของaและbจะได
a . n√a 0และb . n√b 0
ดงนน(ab)(n√a n√b) = (a . n√a)(b . n√b) 0
สงผลให n√a . n√b เปนคาหลกของรากทnของab
นนคอ n√ab = n√a . n√b
ตวอยางท 5 + -
- ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปน
1. √4a2
2.3√-135
วธทำา 1. √4a2
= √4 . √a2
= 2|a|
2. 3√-135
= 3√-27 . 3√5
= -33√5
สมบต 4 ab
n = n√an√bเมอb≠0
พสจน จากสมบต 1 จะได(n√a )n=aและ(n√b
)n=b
จะได ab = (n√a)n(n√b)n
= n√an√b
n
ดงนนn√an√b เปนรากทnของ
ab
จากสมบตของคาหลกของรากทnของaและbจะได
a . n√a 0และb . n√b >0
ดงนน ab
n√an√b
= a . n√ab . n√b
0
สงผลให n√an√b เปนคาหลกของรากทnของab
นนคอ ab
n = n√an√bเมอb≠0
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง26 27
≈2.44953582
คณดวย √3√3
เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
3√2 Ö 3 √3 Ö 3
จากขอ1.
คณดวย √7√7
เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
4√5Ö7 √7Ö7
≈3.38072764571
วธทำา 1. 35 3
=
3√33√5
2. 16
314
= 24√31 4√31
4√16
สมบต 5 m√n
√a = mn√a
วธทำา 1. 4√3
√3 = 12√3
2. 5√4
√5
= 20√5
4Ö3√35Ö4√5
ตวอยางท ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปน
1. 35 3
2. 16
314
6+ -
-
ตวอยางท ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปน
1. 4√3
√3
2. 5√4
√5
7+ -
-
พสจน จากสมบต 1 จะได(n√a )n=aและ(m√n
√a)m = n√a
ดงนน(n√a )n = ((m√n
√a)m)n = (m√n
√a)mn
นนคอ
m√n
√a เปนรากทmnของa
จากสมบตของคาหลกของรากทnของaและคาหลกของรากทmของn√aจะได a . n√a 0และn√a . m√n
√a 0
ดงนน n√a และm√n
√a มเครองหมายเชนเดยวกน
เพราะฉะนนa. m√n
√a 0
สงผลใหm√n
√a เปนคาหลกรากทmnของa
นนคอm√n
√a = mn√a
วธทำา 1. √6
= √2 . √3 ≈ 1.4142Ö1.7321
≈ 2.4495
2. 3√2
√3
= 3√2√3
. √3√3
= 3√63
= √6 ≈ 2.4495
3. 4√5√7
= 4√5
√7 . √7√7
= 4√5 Ö √77
≈ 4 Ö 2.2361Ö2.64587
≈ 3.3807
นกเรยนสามารถเขยนคากรณฑทคำาตอบของรากไมเปนจำานวนเตมในรปกรณฑ หรอสามารถ
คำานวณเปนคาประมาณทเปนทศนยมไมซำานนคอคาของกรณฑเปนจำานวนอตรรกยะเชน√2
กรณฑท2ของ2หรอคาหลกของรากท2ของ2มคาประมาณ1.4142โดย1.41422เทากบ1.99996164
เมอคดเปนทศนยม4ตำาแหนงกจะมคาใกลเคยง2
√3≈ 1.7321 √5≈ 2.2361 √7≈ 2.6458
ชาวบาบโลเนยไดคำานวณหาคาของ√2 ไว
ตงแตเกอบ 4,000 ปกอน โดยมความแมนยำาถง
ทศนยมตำาแหนงท5
ตวอยางท ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปน(ตอบเปนทศนยม4ตำาแหนง)
1. √6
2. 3√2√3
3. 4√5 √7
8+ -
-
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง28 29
(√4 Ö 4 Ö 5 - 3√5) +(2√2 Ö 2 Ö 3 + √5 Ö 5 Ö 3 )
(4- 3)√5+(4+ 5)√3
(2+4)√3
(5+4-3)√7
(12+3 2 ) √2
คณดวย√2√2
เพอทำาตวสวน
ใหเปนจำานวนเตม
(CASIOรนfx-991ESPLUS)
การคำานวณหารากของจำานวนจรง
นอกเหนอจากการใชโปรแกรมคำานวณ
และการใชเครองคดเลขทมฟงกชน y√x ในการ
คำานวณหาคารากของจำานวนจรงแลว นกเรยน ยงสามารถคำานวณหาคาประมาณของราก ดงกลาวไดดวยตนเอง โดยการหาจำานวนจรงb ท bnมคาใกลเคยงกบ aมากทสดดงตวอยาง ตอไปน
การใชเครองคดเลขทมฟงกชนy√xมาใชในการคำานวณหารากทnของจำานวนจรงเชน√2≈1.4142
ตวอยางท ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของ3√65 (ตอบเปนทศนยม2ตำาแหนง)9+ -
-
วธทำา ขนตอนการทำาเรมจากหาจำานวนจรงbทb3มคาใกลเคยงกบ65
43 = 64 นอยกวา65
(4.1)3 = 68.921 มากกวา65
(4.05)3 = 66.430125 มากกวา65แตใกลเคยงมากขน
(4.02)3 = 64.964808 นอยกวา65เลกนอยแตใกลเคยงมากทสด
(4.03)3 = 65.450827 มากกวา65เลกนอย
ดงนน คาประมาณทมทศนยม2ตำาแหนงของ3√65 คอ4.02
ตรวจสอบคำาตอบดวยโปรแกรมคำานวณหรอเครองคดเลขคำาตอบทได
คอ4.020725759ซงมคาประมาณเปนทศนยม2ตำาแหนงเทากบ4.02
ตวอยางท ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของ√91 (ตอบเปนทศนยม2ตำาแหนง)10+ -
-
วธทำา ขนตอนการทำาเรมจากหาจำานวนจรงbทb2มคาใกลเคยงกบ91
92 = 81 นอยกวา91
(9.5)2 = 90.25 นอยกวา91แตใกลเคยงมากขน
(9.55)2 = 91.2025 มากกวา91เลกนอย
(9.54)2 = 91.0116 มากกวา91เลกนอยแตใกลเคยงมากทสด
ดงนน คาประมาณทมทศนยม2ตำาแหนงของ√91 คอ9.54
ตรวจสอบคำาตอบดวยโปรแกรมคำานวณหรอเครองคดเลขคำาตอบทได
คอ9.539392014ซงมคาประมาณเปนทศนยม2ตำาแหนงเทากบ9.54
การบวก ลบ คณ และหารของจำานวนในรปกรณฑ
การหาผลบวกและผลลบของจำานวนในรปกรณฑ
จำานวนในรปกรณฑทปรากฏเปนรากทเทากนและมจำานวนภายใตเครองหมายกรณฑเปน
จำานวนเดยวกน จะสามารถใชสมบตการแจกแจงของระบบจำานวนจรงในการหาผลบวกและผลลบได
นนคอคดในลกษณะเดยวกบตวแปรในเรองพหนามนนเอง
วธทำา 1. 2√3+4√3 = 6√3
2. 5√7+4√7 - 3√7 = 6√7
3. 6√2+ 3
√2 = 6√2 + 3
√2. √2√2
= 6√2 +3√22
= (6+32)√2
= 15 2 √2
4. (√80 - 3√5) +(2√12+√75)
= (4√5 - 3√5) +(4√3+5√3)
= √5 +9√3
5. (4√7 - √175+√7) +(7√2 - √50)
= (4√7 - √25Ö7 +√7) +(7√2 - √25 Ö 2)
= (4√7 - √25√7 +√7) +(7√2 - √25 √2)
= (4√7 - 5√7 +√7) +(7√2 - 5√2)
= (4- 5+1)√7 +(7-5)√2 = (0)√7 +2√2 = 2√2
ตวอยางท ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย11+ -
-
1. 2√3+4√3
2. 5√7+4√7 - 3√7
3. 6√2+ 3
√2
4. (√80 - 3√5) +(2√12+√75)
5. (4√7 - √175 +√7) +(7√2 - √50)
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง30 31
√5 Ö 11
3√3Ö73√(10a4b5)Ö(75a5b6)
3√(125a6b9)Ö(6b2)
3√(5a2b3)3¶3√6b2
ทำารากใหเทากนกอนหรอใชสมบตm√n
√a = mn√a
6√26a12b18¶ 2ab5
√3 Ö √7√3 Ö √6
คณดวย 3√3a2
3√3a2เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
คณดวย√6 √6
เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
คณดวย3√2a3√2a
เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
3√3b2 ● 3√2a
3√8a3
14√77
93 3
คณดวย√7√7
เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
คณดวย√5 √5
เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
18a4 Ö 3√3a2
3√27a3
ตวอยางท 12+ -
- ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย กำาหนดใหaเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยและbเปนจำานวนจรง
1. √5 . √11
2. 3√3 . 3√7
3. 3√10a4b5 . 3√75a5b6
4.√2a3b5 . 3√4a2b4
การหาผลคณของจำานวนในรปกรณฑ
จำานวนในรปกรณฑทปรากฏเปนรากทเทากน สามารถคณกนได ซงเปนไปตามสมบตของราก
ขอท 3 n√ab = n√a . n√b
วธทำา 1. √5 . √11 = √55
2. 3√3 . 3√7 = 3√21
3. 3√10a4b5 . 3√75a5b6
= 3√750a9b11
= 3√(5a2b3)3(6b2)
= 5a2b3 3√6b2
4. √2a3b5 . 3√4a2b4 = 2Ö3√(2a3b5)3 . 3Ö2√(4a2b4)2
= 6√23a9b15¶24a4b8
= 6√(2a2b3)6¶2ab5
= |2a2b3| 6√2ab5
การหาผลหารของจำานวนในรปกรณฑ
จำานวนในรปกรณฑทปรากฏเปนรากทเทากน สามารถหารกนได ซงเปนไปตามสมบตของราก
ขอท 4 ab
n = n√an√bเมอa 0,b>0และnเปนจำานวนเตมทมากกวา1
ตวอยางท 13+ -
- ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย กำาหนดใหaเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยและbเปนจำานวนจรง
1. 3√93√3
2. 14 √7
3. √3√5
4. √21
√18
5. 18a4
3√9a
6. 33b2
4a2
4. √21
√18 = √3Ö7
√3 Ö 6
= √7√6
= √7√6
. √6√6
= √426
5. 18a
4
3√9a = 18a4
3√9a.
3√3a2
3√3a2
= 18a4 Ö 3√3a2
3a
= 6a33√3a2
6. 33b2
4a2 = 3√3b2
3√4a2.
3√2a3√2a
= 3√3b2¶2a
2a
= 3√6ab2
2a
วธทำา 1.3√93√3 = 3√3
2. 14 √7
= 14 √7
. √7√7
= √7
3. √3√5
= √3√5
. √5√5
= √155
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง32 33
คณดวยสงยค√3 + √2√3+ √2
เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
(3√2333a9)(√3+√2)(√3 - √2)(√3+√2)
6a¶(√3 Ö √2)1
คณดวยสงยค√6 + √5√6+ √5
เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
การแปลงตวเศษหรอตวสวนทอยในรปa+b√mหรอa-b√mในกรณa≠0ใหคณดวยสงยค(conjugate)ทงตวเศษและตวสวน
โดยทสงยคของa+b√mคอa-b√m
และสงยคของ a-b√mคอa+b√m ตวอยางของสงยค
√a+√bสงยคคอ√a - √b
√3+√5สงยคคอ√3 - √5
√2 - √7สงยคคอ√2+√7 4 - √2สงยคคอ4+√2
เมอนำาสงยคมาคณจะได(a+b√m)(a-b√m)= a2 -(b√m)2 หรอ (√a+√b)(√a - √b) = (√a)2 -(√b)2
ตวอยางท 14+ -
- ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย กำาหนดใหaเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยและbเปนจำานวนจรง
1. 1 √6 - √5
2. 3√8a2 . 3√27a
√3 - √2
วธทำา
1. 1 √6 - √5
= 1 √6 - √5
. √6 + √5 √6+ √5
= √6 + √5 (√6)2 - (√5)2
= √6 + √5 6 - 5
= √6+√5
2.3√8a2 . 3√27a√3 - √2
= 3√8a2 . 3√27a√3 - √2
¶√3 + √2√3+ √2
= 3√(6a)3¶(√3+√2)
3 - 2
= 6a(√3+√2)
แบบฝกหดท 2
1. ใหนกเรยนทำาจำานวนตอไปนอยในรปอยางงายกำาหนดใหa,b,cและdเปนจำานวนจรงบวก
1) 5√(-3)5 2) √(-16)2 3) 3√(-8)3
4) 5√(-5)5 5) √6 . √3
6) 4√a4b8 7) 3√a6c-9 8) 15√b5
9) 25c√5c
10) 3b5
125
11) 16c3
3√2c2 12)
35b2
3d4 13) 4√(a2 +b2)4
14) 3√
√d
2. ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปน(ตอบเปนทศนยม4ตำาแหนง)
กำาหนดให√2≈1.4142,√3≈1.7321,√5≈2.2361และ√7≈2.6458
1) √6 2) √15 3) √70
4) √120 5) √125 6) √250 7) √700
8) √2,156 9) √5,768 10) 7√5√35
3. ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปน(ตอบเปนทศนยม2ตำาแหนง)
1)หากรณฑท2ของ
(1) 57 (2) 69 (3) 105
(4) 148 (5) 472 (6) 689
(7) 1,245 (8) 1,532 (9) 1,854 (10)2,564
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง34 35
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
ฝกฝน
ทาทาย
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
2) หากรณฑท3ของ
(1) 33 (2) 73 (3) 146
(4) 243 (5) -252 (6) -364 (7)-543
(8) 616 (9) -1,501 (10) 2,833
4. ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงายกำาหนดใหaเปนจำานวนจรงบวก
1) √755 2) √48√3
3) √6√5
4) 2√50
5) 5 √15
6) 3√72 - 2√28
7) 9√a9 8) 3√27a3
9) √3 . √18 10) √3 . √9 . √27
11) 81a4
16 12) √2 . √5√20
13) √8 . √6√24
14) 3√
√4
15) 3√5 +9√2+√5 - 4√216) √80+√40 - √45
17) √903 + 1
√3 18) 4√80 - 2 4√405 +3 4√1,280
19) 1 √343
+4√28 - 17
3 20) 3√1,600+3√25 +3√6753√200
21) √15√5+√6
- √10√6 - √5
5. ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย กำาหนดให a, b, c เปนจำานวนจรง
และd,eเปนจำานวนจรงทไมเปนศนย
1) √32a5 b2c3 2) 4√243a6b5
3) 3√16a2b5¶3√4a7b4 4) 3√2a2b4¶3√4ab7
5) 4√4ab5¶4√32a7b6 6) 33d74d4
7) √6
√a6b8
8) 3√4
√a3b9 9) 4√16b
√a6b9c12
10) √10 √94 √8a6b934 11) 4√27a7b3¶√3a5b
12) √2e3√e
13) √3a5b3¶3√81a7b7
14) 3√3a2b2¶4√9a2b3 15)3√16d2e2
√5de
6. ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย
1) (√3 - √7)(√3+ √7) 2) (√5+ √2)(√5 - √2) 3) (-1+ √6)(-1 - √6) 4) (√8 - 3)(√8+ 3)
5) (-√3 - √5)(-√3+ √5)
6) 4 √3+ √2
7) -3 √2+ 1
8) √21 -√2
9) 1+√21 - √2
10) √3 + √10 √5 - √2
11) 2√3 √5+ √2
12) 3√2 +51 - 2√2
13) √5 - √10 -3√5+ √3
14) √24 +√12 √12 - √20
15) √18 - √27 √27 - √45
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง36 37
ขอสงเกต
การเขยนเลขยกกำาลงใหอยในรปกรณฑ
ตวอยางท 2 + --
ตวอยางท 3 + --
การทำาใหอยในรปอยางงายตวอยางท 4 + --
3. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนจำ�นวนตรรกยะ
ในหวขอนเปนการกลาวถง เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ โดยใชสมบตของ
รากท n และสมบตของเลขยกกำาลง ซงนกเรยนมพนฐานความรเรอง เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลง
เปนจำานวนเตมแลว ตอไปจะศกษาเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ เพอใหนกเรยน
มพนฐานสามารถทำาความเขาใจเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนคาตางๆในขอบขายทกวางขน
บทนยาม
เมอaเปนจำานวนจรงnเปนจำานวนเตมทมากกวา1และaมรากทn
จะไดวาa1n = n√a
บทนยาม
1.คาหลกของรากทสองของ4 คอ √4 จะได 2√4 = 412
2.คาหลกของรากทสองของ81 คอ √81 จะได 2√81 = 8112
3.คาหลกของรากทสามของ8 คอ 3√8 จะได 3√8 = 813
4.คาหลกของรากทสามของ-27 คอ 3√(-27) จะได 3√(-27) = (-27)13
5.คาหลกของรากทสของ81 คอ 4√81 จะได 4√81 = 8114
6.คาหลกของรากทหาของ-32 คอ 5√(-32) จะได 5√(-32) = (-32)15
ขอสงเกต
จากบทนยามจะพบวาa1n คอคาหลกของรากทnของaโดยท (a
1n)n=a
เมอaเปนจำานวนจรงใหmและnเปนจำานวนเตม
โดยทn>1และm n เปนเศษสวนอยางตำา
จะไดวาamn = (a
1n)m =(n√a )m
และ amn = (am)
1n = n√am
ตวอยางท 1 + -- การเขยนคาหลกของรากทnของจำานวนใหอยในรปเลขยกกำาลง
จากamn แลวaตองไมเทากบ0เนองจากหากa=0และmมคานอยกวา1จะไดเศษสวนท
มสวนเปนศนยซงไมมความหมายทางคณตศาสตรเชน กำาหนดใหa=0,m=-2และn=2
จะไดamn = 0
-22 = 10
1.คาหลกของรากทสามของ 22 คอ 3√22 จะได 3√22 = 223
2.คาหลกของรากทสของ 53 คอ 4√53 จะได 4√53 = 534
3.คาหลกของรากทสองของ 35 คอ 2√35 จะได 2√35 = 352
1. 814 เขยนในรปกรณฑไดวา 4√8
2. 62515 เขยนในรปกรณฑไดวา 5√625
3. (-243)13 เขยนในรปกรณฑไดวา 3√-243
4. 34332 เขยนในรปกรณฑไดวา √3433 หรอ (√343)3
1. (27)23 = 3√(33)2
= 3√(32)3 = 32 = 9 2. (-125)-
13 = 3√(-53)-1
= 3√(-51)-3
= 3√{(-5)-1}-3
= (-5)-1
= -15
การเขยนคาหลกของรากทnของจำานวนทมเลขชกำาลงมากกวา1ใหอยในรปเลขยกกำาลง
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง38 39
ตวอยางท 5 + --
ตวอยางท 6 + --
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
อนเครอง
ฝกฝน
ทาทาย
ฝกฝน
ทาทาย
อนเครอง
อนเครอง
1.6456 = {(64)16}5
= {(26)16}5
= 25
ทบทวนสมบตของเลขยกกำาลงถาaและbเปนจำานวนจรงใดๆทไมเปนศนยmและnเปนจำานวนตรรกยะจะได
1. amÖ an= am+n 2. (ab)n = anÖ bn
3. (am)n = amn 4. am
an = am-n
5. ( a b )n
= an
bn
การทำาใหอยในรปอยางงาย
2. 5125
32 = 5
12+
32
= 542
= 52
3. 8324
14 = (23)
32(22)
14
= 2922
24
= (282+
12)(2
12)
= 242122
12
= 25
4. (5125
32)6 = (2
13-1
6)6
= (516)6
= 5
สรนนก เ งนจากธนาคารจำานวน 50,000 บาท โดยกยมเปนเวลา 4 ป และคดดอกเบยทบตนตอปในอตรารอยละ2เมอครบกำาหนดสรนนตองจายเงนใหธนาคารรวมทงหมดเทาไรและคดเปนดอกเบยเทาไร
วธทำา จากโจทยไดวาเงนตน(p) = 50,000บาท
อตราดอกเบยตองวด(i) = 2
100 = 0.02
และจำานวนงวด(n) = 4งวด
จากสตร An = p(1+i)n
จะได An = 50000(1+0.02)4
= 50000(1.02)4
≈ 50000(1.0824) ≈ 54,120
ดงนน เงนรวมทงหมดทสรนนตองจายใหธนาคารประมาณ54,120บาทและคดเปน
ดอกเบยประมาณ54,120-50,000=4,120บาท
แบบฝกหดท 3
1. ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปกรณฑ
1) 412 2) 125
13 3) 144
12 4) 180
15
5) 51218 6) 0.125
13
7) 8123 8) 96
45 9) 0.144
12 10) 1.225
78
11) -(0.2512)12) (-27)
13 13) -(64
34) 14) (-0.001)
73
2. ใหนกเรยนเขยนคาหลกของรากทnของจำานวนตอไปนอยในรปเลขยกกำาลง
1) √16 2) 3√27 3) 4√625
4) 4√163 5) 5√-322 6) 8√6252 7) 3√0.0272
8) - 3 3√3
9) -3√-8 10) 3√81 3√-125
3. ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปอยางงาย
1) √16 2) 3√216 3) 5√243
4) 3
125-343
5) 27b4
252 6) -4625x2
49 7) 64b4
(-6)2
8) 6√(25x2)3 9) 81a2
493
-4 10) 5√(-32xy2)10
4. ใหนกเรยนหาคาของจำานวนตอไปน
1) √75 5√3
2) √54
√45 3) 2
32 Ö 4
26
4) 7-3 Ö 49 5) 325 Ö 9
75 6) 343
23 Ö 49
76
คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 540
ฝกฝน
ทาทาย
5. โดยทวไปหวใจของมนษยเตนประมาณ 72 ครงตอนาท อยากทราบวาในหนงวนหวใจของมนษย
เตนประมาณกครง
6. วรดากเงนกบธนาคารจำานวน 25,000 บาท โดยกยมเปนเวลา 3 ป และคดดอกเบยทบตนตอป
ในอตรารอยละ 4 เมอครบกำาหนด วรดาตองจายเงนใหธนาคารรวมทงหมดเทาไร และคดเปน
ดอกเบยเทาไร
7. เดกชายวรเดชกำาลงหดคดตวอกษรภาษาองกฤษ โดยในแตละวนเขาคดตวอกษรไป 73 ตว
อยากทราบวาในเวลา 73 วน เขาจะคดตวอกษรภาษาองกฤษไดทงหมดกตว
8. โซเดยม-25 เปนไอโซโทปกมมนตรงสทสลายตวเรว มครงชวตเพยง 1 วนาทเทานน หากเรมตน
มโซเดยม-25 อย 1 กโลกรม เมอผานไป 10 วนาท จะเหลอโซเดยม-25 อยกกรม (ตอบเปนทศนยม
2 ตำาแหนง)
9. หนวยความจำาของเครองคอมพวเตอรมหนวยเปนไบต โดย 1,024 ไบต จะเรยกวา 1 กโลไบต
1,024 กโลไบต จะเรยกวา 1 เมกะไบต 1,024 เมกะไบต จะเรยกวา 1 จกะไบต 1,024 จกะไบต
จะเรยกวา 1 เทระไบต หากนองมายดซอฮารดไดรฟขนาด 2 เทระไบต จะเกบไฟลรปคณภาพสง
ขนาด 32 เมกะไบตไดทงหมดกรป
10. แบคทเรย Lactobacillus Acidophilus เมออยในสภาวะทเหมาะสมและพรอมทจะแบงเซลล
จะเพมจำานวนเปน 2 เทาภายใน 66 นาท หากในนมเปรยว 1 ขวด ตองการใหมแบคทเรยดงกลาว
8 พนลานเซลล และใชเวลาในการบม 22 ชวโมง ตองมแบคทเรยเรมตนประมาณกเซลล
7) 3√-128
3√64 8) (-27)
53 Ö 243
26 9) 25
32√5√125
10) 2723√6√50
11) 3√1,000 - 16
14
1,72813
12) 1,33123 - √169
6√1443 13) 16
14 + 3√1,000 1,728
13
14) 12523 + √121216
13
15) (-27)13 + 3√72981
14