0x h 0x h

* dy

g x h ydx

* g xdy

dx h y

* 0g x dx h y dy

1

one side only containing xone side only containing y

g x dxdyh y

1dy g x dx

h y

H y G x c

21

32

dyx

y dx

21

32dy x dx

y

21

32dy x dx

y

3ln 2y x c

32 x cy e

32 c xy e e

32 xy C e

32xy C e

,I

21 0x dy x y dx

20

1

dy xdx

y x

2

2

2 1

1dy xdx

y x

21ln ln 1 ln

2y x c

122ln ln 1 lny x c

2ln ln 1y c x

2 1y c x

2 2 2 1y c x 2 22

11y x

c

2 2 1x b y

2 3y 4 3 1 1b b

, 1 1,I

2sin 2

cos

y

y

e y xdy dx

xe

2siny ye y e dy x dx

2 siny ye y e dy x dx

integrate by parts

2 sin ..................... 1y ye dy y e dy x dx

yy e dy y yy e e dy y yy e e

2cosy y ye y e e x c

2cosy y ye y e e x c

0 0 00 0 0 2cos0y e e e c

41 1 2 c c

2cos 4y y ye y e e x

2 2

2 2

1 1

x y ydyx

dx y y

2 1

2

ydy x dx

y

2 1

2

ydy x dx

y

252

2 2

xy dy c

y

2

212 5ln 2

2 2

xy y y c

2 21 1

dy dx

y x

2 21 1

dy dx

y x

1 1tan tany x C

,I

2 21 1 0x yy dx x dy

2 20

1 1

x ydx dy

x y

2 2

1 2 1

20

1 1

2

2

x ydx dy

x y

2 21 1ln 1 ln 1 ln

2 2x y c

1 12 22 2ln 1 ln 1 lnx y c

21 1

2 21 1 , cx y c c

2 12

11

cy

x

1 1

2 22 2ln 1 1 lnx y c 1 1

2 22 21 1x y c

1 0,c I

2 2sec sec0

tan tan

x ydx dy

x y

derivative

function

2 2sec sec0

tan tan

x ydx dyx y

ln tan ln tan lnx y C ln tan .tan lnx y C

, 0,1, 2,...x n n