取樣3.1

量化3.2

向量量化3.3

3.1

3.2

3.3

第 2頁

3.1 3.1 取樣取樣數位影像：數位影像：在空間座標和亮度都離散化的影像

取樣：取樣：取不同空間位置的函數 ( 灰階 ) 值當樣本量化：量化：用一組整數值來表示這些樣本

3.1

3.2

3.3

第 3頁

3.1-13.1-1 均勻矩形取樣均勻矩形取樣1. 1. ff((xx, , yy)) ：限頻寬：限頻寬 (bandlimited)(bandlimited) 的二維連續函數的二維連續函數

傅立葉轉換

3.1

3.2

3.3

第 4頁

2. 2. 一個二維取樣函數：一個二維取樣函數：傅立葉轉換

3.1

3.2

3.3

第 5頁

3. 3. ffss((xx, , yy)) ：取樣：取樣後後影像影像

傅立葉轉換：

4. 4. 二維取樣定理：二維取樣定理： ff((xx, , yy)) 為有限頻寬，且取樣滿足為有限頻寬，且取樣滿足

使各相鄰區域 R 不混疊而可取回 ff((xx, , yy))

3.1

3.2

3.3

第 6頁

3.1-23.1-2 其他取樣型態其他取樣型態取樣矩陣取樣矩陣取樣點位置：矩陣 V = [v0 v1] 稱為取樣矩陣V 所產生的取樣點陣

3.1

3.2

3.3

第 7頁

取樣矩陣取樣矩陣

取樣點陣圖取樣點陣圖

3.1

3.2

3.3

第 8頁

週期性矩陣週期性矩陣一維週期性函數： F(u) = F(u - Pk) ， k 為整數N 維週期性函數： F() = F( – Uk) ， k 為整數向量< Ex > N = 2

取樣矩陣： 週期矩陣：

其中 I2為 2x2 單位矩陣

3.1

3.2

3.3

第 9頁

取樣密度取樣密度取樣點數與四邊形的個數一樣；︱ det V ︱代表四邊形面積

1. 矩形取樣取樣密度對一有限頻寬函數，設

則其取樣不產生混疊的最小取樣密度0 0 0 0

1 12 , 2 ,( )u v u v rx y

3.1

3.2

3.3

第 10頁

2. 六角形取樣週期矩陣

取樣矩陣

最小取樣密度

3.1

3.2

3.3

第 11頁

3. 比較…… 效率比 1.15 倍

…… 減少 13.4% 取樣點數

3.1

3.2

3.3

第 12頁

3.1-33.1-3 重建重建1. 1. 運用空間濾波器 運用空間濾波器 (( 理想二維低通濾波器理想二維低通濾波器 ))

頻率響應：頻率響應：

< 重建影像 f(x, y) 是許多二維 sinc 函數的加權和 >

反轉換

3.1

3.2

3.3

第 13頁

2. 2. 空間內插函數空間內插函數

第 14頁

3.1

3.2

3.3

3.2 3.2 量化量化純量量化純量量化 (scalar quantization, SQ)(scalar quantization, SQ) ：：對於無記憶性 (memoryless) 的資料源，將各個取樣值視為互不相關彼此獨立，針對個別取樣點作逐點量化。多對一函數的映射多對一函數的映射 (mapping)(mapping) 關係：關係：

把樣本值的取值範圍分成若干個區間，用某個代表值代表這一區間內所有可能的值

第 15頁

3.1

3.2

3.3

第 16頁

3.1

3.2

3.3

3.2-13.2-1 均勻量化均勻量化條件

機率密度函數 pf ( f ) = 常數 P取樣結果： f = fs(m, n), f(d0, dL]取值範圍 (d0, dL] 均勻地分成 L 個子區間 (dk-1, dk],

k = 1, 2, …, L每個子區間 (dk-1, dk] 對應到一個定值 rk

其中的 L 個 rk， 1 k L ，稱為重建 (reconstruction) 位準

另外 (L + 1) 個 dk， 0 k L ，稱為決策 (decision) 邊界或位準

第 17頁

3.1

3.2

3.3

量化過程量化過程量化值：量化誤差：常用的失真測度：量化器最佳化：要使平均失真 D 最小→ 其中L 個子區間誤差平方總和：

0k

Dr

L

iiiii

L

i

d

d

L

i

d

d if

drdrP

dffrPdffpffD i

i

i

i

1

331

1 10

2000

20

])()[(31

)()()(1 1

第 18頁

3.1

3.2

3.3

最佳量化值 最佳量化值 ，即取每個子區間 (dk-1,

dk] 的中間值可得最小的量化誤差 ExampleExample

設子區間 (dk-1, dk] 的長度為 Δ

誤差平方總和： 加大量化區間的數目 L( 使 Δ 減小 ) 對原影像的保真度有很大的幫助

11 ( )2k k kr d d

1PL

第 19頁

3.1

3.2

3.3

3.2-2 3.2-2 非均勻量化非均勻量化條件條件 機率密度 pf ( f ) 不是常數 在 pf ( f ) 較小處，可取較大的量化區間長度；反之，則取較小的量化區間 採用　失真測度之非均勻量化器

量化過程量化過程 誤差平方總和

2Qe

第 20頁

3.1

3.2

3.3

令令 DD 值最小化：值最小化：

得到得到 ddkk 與與 rrkk 的兩個關係式：的兩個關係式：(A) 各子區間決策邊界是量化重建位準值間的中 間值(B)

每一個 rk是 f 落在子區間 (dk-1, dk] 下的條件期望值

第 21頁

3.1

3.2

3.3

實現：實現：最佳最小均方或 Lloyd-Max 量化器給定 d0、 dL、 L 及 pf(f) 如

(1) 假定一個 r1的值，由 (B) 式取 k = 1 ，求出 d1

(2) 已知 d1和 r1，在 (A) 式中取 k = 1 ，求出 r2

(3) 由 d1 和 r2 在 (B) 式中，取 k = 2 ，用數值近似計 算逐步逼近 d2的解

第 22頁

3.1

3.2

3.3

(4) 由 d2和 r2，在 (A) 式中，取 k = 2 ，求出 r3

(5) 依此類推，最終求出 rL，代入 (B) 式，看其是否等於

如果不相等，則重新假定值 r1 ，再回到第 (1)步，繼續計算求出 rL，直到 rL符合要求為止。

第 23頁

3.1

3.2

3.3

最佳均方誤差量化器之性質最佳均方誤差量化器之性質a. 量化器的輸出是輸入的不偏 (unbiased) 估測， 即b. 量化誤差對量化器的輸出為正交，即c. 若 dk 與 rk 分別為零平均且變異數為 1 之隨機變 數，則為與 f 有相同分佈但平均為 μ 且變異數為 2 之隨機變數所需要的決策與重建位準

第 24頁

3.1

3.2

3.3

非均勻量化與均勻量化之關係非均勻量化與均勻量化之關係機率密度 pf ( f ) 為均勻分佈：得到決策與重建準位：

推導出：

第 25頁

3.1

3.2

3.3

均方誤差均方誤差均勻量化器的誤差

均勻分佈在 之間

均方誤差

Qe f f

~2 2

第 26頁

3.1

3.2

3.3

均方誤差量化器之訊雜比均方誤差量化器之訊雜比 (SNR)(SNR)

對一個範圍為 A 之均勻分佈的隨機變數，其變異數為若有 B 個位元的均勻量化器，則訊號比 (SNR) ＝以分貝 (dB) 計 均勻分佈之最佳均方誤差量化器：每個位元約有 6 分貝的訊雜比增益

22

12A

2B

A

第 27頁

3.1

3.2

3.3

3.2-3 3.2-3 壓縮擴展型量化器壓縮擴展型量化器壓縮擴展器壓縮擴展器 (compander)(compander) ：具有非均勻量化的功：具有非均勻量化的功能能

第 28頁

3.1

3.2

3.3

壓縮擴展器之非線性轉移函數壓縮擴展器之非線性轉移函數若　且若 f 為一零平均的隨機變數，則非線性轉換函數

對雷利 (Rayleigh) 機率密度函數可得正轉換函數逆轉換函數

第 29頁

3.1

3.2

3.3

3.3 3.3 向量量化向量量化向量量化向量量化 (vector quantization, VQ)(vector quantization, VQ) ：：由於實際信號各取樣值之間存在有相關性，故把若干取樣值集合成一個向量，以此向量為量化的單位過程：過程：

a. 由 N 個實數連續純量值 fi組成的 f = [f1, f2……, fN]T

被映射到另一個 N 維向量 r = [r1, r2……, rN]T

b.f 的 VQ 是將一個 N 維向量空間分割成 L 個決策區域 Ci， 1 i L 。 ri：碼向量 (codevector) 碼向量的集合：碼簿 (codebook)

第 30頁

3.1

3.2

3.3

c. VQ 的量化誤差失真測度決定重建向量 ri以及決策區域 Ci的邊界→失真量最小化平均失真令　　　→最佳的重建向量

0i

Dr

ffe

Q

第 31頁

3.1

3.2

3.3

K-K- 平均平均 (K-mean)(K-mean) 演算法演算法(1) 最近距離條件：給 f ，選 ri滿足< 使平均失真度測度 D 為最小的最近距離條件 >

(2) 中心條件：將 對 ri最小化得重心< 每個重建向量 ri必須使 Ci中的平均失真最小 >

Step1 ：由初估值 ri，將所有可能的 f 代入條件 (1) 中 找到 Ci的估測Step2 ：給了 Ci的估測後，計算條件 (2) 中的重心 以得 ri

Step3 ：以此 ri做為一新估測值重複上述動作

第 32頁

3.1

3.2

3.3

LBGLBG 演算法演算法1. 初始化 :碼簿大小 L失真門檻值 ε初始碼簿 R0 = {ri,0； 1 ≦ i ≦ L}

訓練序列 T = {fn； n = 1, 2, ….., N} ， N >> L

2. 對碼簿 Rm= {ri,m； 1 ≦ i ≦L}

找出訓練序列 T 的最小誤差分割若 d(fn , ri,m) ≦ d(fn , rj,m),

則 ij

in Cf

第 33頁

3.1

3.2

3.3

3.計算平均失真：若 (Dm–1 – Dm)/Dm ε≦ ，則輸出碼簿 Rm，退出疊代過程；否則繼續。

4.求得 ri使 最小若 d(f, ri) = (f–ri)T(f–ri) ，即平方誤差，則 ri正是 Ci中之 Mi個向量的算術平均值

第 34頁

3.1

3.2

3.3

向量量化 向量量化 (VQ) (VQ) 的研究的研究課題訓練序列與長度的選擇失真測度的選擇改進最佳分割疊代法的收斂速度縮短最佳向量的比對時間減少碼簿大小發展自適性碼簿以擴大適用性發展多級殘餘向量量化VQ 與小波轉換結合