《 数学实验》 4

符号变量与符号表达式

微积分基本运算

级数求和与泰勒展开式

常微分方程符号解

syms 符号变量 1 符号变量 2 …

例 1. 将函数 f= ye – x 和 y =sin (x) 进行复合 , 并指定 t 为新的自变量 .syms x y t; f=y*exp(-x);g=sin(x); compose(f,g,y,x,t)ans=sin(t)*exp(-t)

符号变量的定义

例 2. 转换数值变量为符号变量

A=[1/3,1/4;1/5,1/7]

B=sym(A)

B = [ 1/3, 1/4]

[ 1/5, 1/7]2/22

符号表达式的创建①f=sym(' 表达式 ' ） 例如： f=sym('a*x^2+b*x+c')②syms 符号变量 1 符号变量 2 … f= 表达式例 3 ：求 f=1/sin(x) 的反函数 .f=sym(‘1/sin(x)’); finverse(f)ans= asin(1/x)

例 4. 符号多项式运算syms x

f=2*x^2+3*x-5;g=x^2+x-7;

h1 = f+g,h2 = expand(f*g )

factor(h2)

h1=3*x^2+4*x-12

h2 = 2*x^4+5*x^3- 16*x^2-26*x+35

ans =(x-1)*(2*x+5)* (x^2+x-7) 3/22

A1=subs(A, ‘old’, ‘new’) 修改表达式

用‘ new’ 置换符号表达式 A 中的’ old’ 得到新的符号表达式 A1 。例 5. 求符号多项式的值syms a x

f=a*x^2+3*x+4 ；f1=subs(f,a,2)

subs(f1,x,5)

符号表达式中变量替换

f1 = 2*x^2+3*x+4ans = 69

4/22

调用格式： double(A) numeric(A)

例 6. A=sym([1/3,2/5;10/7,2/5])

numeric(A)

A =

[ 1/3, 2/5]

[ 10/7, 2/5]ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000

将符号矩阵转化为数值矩阵

5/22

复杂表达式的化简

syms x y z a b cf=(x+y)*(a+b^c)^z/(x+a)^2pretty(f)

2)(

))((

ax

bayx zc

常用化简命令 :

1.降幂排列 :collect(P,x); 2. 展开 :expand(P);

3. 重叠 : horner(P); 4. 因式分解 : factor(P);

5. 化简 : simplify(P)

6/22

微积分基本运算

limit(f,x,a) — 求 f 表达式在 x->a 时的极限

limit(f,x,a,’right(left)’) — 求单侧极限diff(f) — 对缺省变量求微分diff(f,v) — 对指定变量 v 求微分 , 适用对多元

函数求偏导数diff(f,v,n) — 对指定变量 v 求 n 阶微分

7/22

int(f) — 对 f 表达式的缺省变量求积分int(f,v) — 对 f 表达式的 v 变量求积分int(f,v,a,b) — 对 f 表达式的 v 变量在（ a,b) 区间求

定积分quad(f,v,a,b) — 对 f 表达式的 v 变量在（ a,b)

区间

求数值积分8/22

例 7. 求极限4

2lim

22

x

xx

syms x; limit((x-2)/(x^2-4),2)ans=1/4

例 8. 验证 对 k=1,2,3,4 成立)2

sin(sin )( kxxk

[diff(sin(x),1),sin(x+pi/2)]

ans =[ cos(x), cos(x)]

[diff(sin(x),2),sin(x+pi)]

ans =[ -sin(x), -sin(x)]

[diff(sin(x),3),sin(x+3*pi/2)]

ans = [ -cos(x), -cos(x)]

[diff(sin(x),4),sin(x+2*pi)]

ans =[ sin(x), sin(x)]9/22

例 9. 计算 f = 1/(5+4cos(x)) 关于 x 的导数syms xf=1/(5+4*cos(x))ezplot(f)f1=diff(f,x,1)ezplot(f1)int(f1)

10/22

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

1/(5+4 cos(x))

-6 -4 -2 0 2 4 6-1

-0.5

0

0.5

1

x

4/(5+4 cos(x))2 sin(x)

ans =

1/(5+4*cos(x))

例 10. 计算不定积分 dxbxeax )sin(

syms xint('exp(a*x)*sin(b*x)')g=simplify(ans) g = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x))/(a^2+b^2)diff(g)f=simplify(ans) f = exp(a*x)*sin(b*x)

)]cos()sin([1

)sin( 22 bxbbxaeba

dxbxe axax

11/22

例 11. 绘函数 (a = 1, b = 3 ) 在

[0,3.2] 上的图形 . 并计算

bxexf ax sin)(

syms a b xf=exp(a*x)*sin(b*x)f1=subs(f,a,1),f1=subs(f1,b,3)ezplot(f1,0,3.22)F1=simplify(int(f1,1,2))double( F1 )ans = -3.1806

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-5

0

5

10

15

x

exp(x) sin(3 x)

2

13sin xdxe x

12/22

f=inline('exp(x).*sin(3*x)')

quad(f,1,2)

ans = -3.1806

计算定积分 : 2

13sin xdxe x

13/22

例 12.

例 13. 求函数

syms x

n=3*x^2+6*x-1 ；

d=x^2+x-3;f=n/d;limit(f,inf)ans=3roots=solve(d)roots=[-1/2+1/2*13^(1/2)] [-1/2-1/2*13^(1/2)] 14/22

3

163)(

2

2

xx

xxxf 的渐近线、

极值、拐点，并作图 .

ezplot(f)

hold on

plot([-2*pi 2*pi],[3 3],’g’)

plot(double(roots(1))*[1 1],[-5 10],’r’)

plot(double(roots(2))*[1 1],[-5 10],’r’)

title(‘ 水平渐近线和垂直渐近线’ )

hold off

15/22

f1=diff(f);

c=solve(f1)

ans= [-8/3-1/3*13^(1/2)]

[-8/3+1/3*13^(1/2)]

ezplot(f)

hold on

plot(double(c),double(subs(f,c)),’ro’)

title(‘ 函数的极大值和极小值’ )

text(-5.5,3.2,’ 局部极小值’ )

text(-2.5,2,’ 局部极大值’ )

hold off 16/22

f2=diff(f1); q=solve(f2);

double(q)

ans=-5.2635

-1.3682-0.8511i

-1.3682+0.8511i

q=q(1);

ezplot(f,[-9 6])

hold on

plot(double(q),double(subs(f,q)),’ro’)

title(‘ 函数的拐点’ )

text(-7,2,’ 拐点’ ) hold off 17/22

级数求和运算S=symsum(f ， n ， a ， b)

syms k nS=symsum(k,k,1,n) ； S1=simple(S)S1 =1/2*n*(n+1)S=symsum(k^2,k,1,n);S2=simple(S)S2 =1/6*n*(n+1)*(2*n+1)

nkSn

k

211

1例 14. 计算级数

18/22

22

1

22 21 nkS

n

k

taylor(f,n,x) — 将函数 f 在原点展开为自变量 x的

n-1 次麦克劳林多项式 .

taylor(f,n,x,a) — 将函数 f 在 a 点展开为自变量 x

的 n-1 次泰勒多项式 . 其结果为 :

泰勒级数展开

19/22

1

0

)(

)(!

)()(

n

k

kk

axk

afxf

20/22

例 15. 将函数

)cos(45

1)(

xxf

展开为 7 次麦克劳林多

项式 .

syms x

f=1/(5+4*cos(x))

T=taylor(f,8)

ans=

1/9+2/81*x^2+5/1458*x^4+49/131220*x^6

命令格式： dsolve(‘eq1’,···,’con1’,···,’x’)y 的一阶导数—— Dy, y 的二阶导数—— D2y

微分方程符号解

21/22

y = dsolve('Dy=1/(1+x^2)-2*y^2','y(0) = 0','x')y = 2*x/(2*x^2+2)

22 2

1

1y

xy

符号解：

y(x)= x / (1 + x 2)

syms P t

P=dsolve('DP=0.02*P*(1-P/500)','P(0)=76')

P = 500/(1+106/19*exp(-1/50*t))

ezplot(P,0,200),pretty(P) 500 --------------------- 106 1 + --- exp(- 1/50 t) 19

例 16 P’ =0.02P ( 1 – P/500 )

初始条件 : P(0)=76

0 50 100 150 200

100

200

300

400

t

500/(1+106/19 exp(-1/50 t))

22/22