《 数学实验》 7

概率论

方差分析

假设检验参数估计

样本描述

利用 MATLAB 统计工具箱，可以进行基本概论和数理统计分析，以及进行比较复杂的多元统计分析。

7.1 概率论

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7.1.1 分布率和概率密度函数（ P132 表 7-1 ） 以正态分布为例，用 normpdf 函数计算其概率密度函数，调用格式为：

Y=normpdf(X,MU,SIGMA)

计算数据 X 中各值处参数为 MU 和 SIGMA 的正态概率密度函数的值。其中参数 SIGMA 必须为正。

[ 例 7-1] 计算参数为 mu 和 1 的正态分布概率密度函数在 1.5 处的值，其中 mu 为 1 到 2 之间以 0.2为间隔的小数。

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mu=[0:0.2:2];y=normpdf(1.5,mu,1)

7.1.2 分布函数若 X 为随机变量， x 为任意实数，则函数

( ) { }F x p X x 为 X 的分布函数。如果知道 X 的分布函数，就可以知道落在任一区间 (x1,x2) 上的概率。

y=0.1295 0.1714 0.2179 0.2661 0.3123 0.3521 0.3814 0.3970 0.3970 0.3814 0.3521

用 normcdf 函数计算正态分布的分布函数，调用格式为：

计算参数为 MU 和 SIGMA 的正态分布分布函数在数据 X 中每个值处的值。其中参数 SIGMA 必须为正。

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p=normcdf(X,MU,SIGMA)

[ 例 7-2] 求标准正态分布的一个观察量落在区间 [-1 1] 中的值。

p=normcdf([-1,1]);p(2)-p(1)

ans= 0.6872

[M,V]=binostat(N,P)[M,V]=expstat(MU)[M,V]=normstat(MU,SIGMA)C=cov(X) 返回 X 的协方差或协方差矩阵C=cov(X,Y) 返回 X 与 Y 的协方差矩阵 R=corrcoef(X) 返回源于矩阵的相关系数矩阵M=moment(X,order) 返回 X 的 order 阶中心矩

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7.1.3 随机变量的数字特征 返回相应分布的数学期望和方差

[ 例 7-3] 生成一个 6 行 5 列的随机矩阵，然后计算每列数据的 3 阶中心矩。

X=randn([6,5]);M=moment(X,3)

返回每一列的 3 阶中心

矩

描述样本数据集中趋势的统计量有算术平均值、中位数、众数、几何均值、调和均值和截尾均值等。

7.2 样本描述

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7.2.1 集中趋势

样本数据 x1,x2,…,xn 的 （ 1 ）几何均值

1

1

n n

ii

m x

m=geomean(X)

（ 2 ）调和均值

1

1n

i i

nm

x

m=harmmean(X)

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（ 3 ）算术平均值

1

1 n

ii

x xn

m=mean(X)

（ 4 ）中值 m=median(X)

（ 5 ）截尾均值

m=trimmean(X,percent)

对样本数据进行排序后，去掉两端的部分极值，然后对剩下的数据求算术平均值，得到截尾均值。

剔除测量值中最大和最小 percent% 的数据后，计算样本 X 的均值。

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7.2.2 离中趋势 描述离散趋势的统计量包括均值绝对差、极差、方差和标准差。

（ 1 ）均值绝对差y=mad(X)

若 X 为矢量，则 y 用 mead(abs(X-mean(X))) 计算；若X为矩阵，则 y 为包含 X 中每列数据均值绝对差的行矢量。mad(X,0): 与 mad(X) 相同，使用均值。

mad(X,1): 基于中值计算 y, 即 :median(abs(X-median(X))).

（ 2 ）极差y=range(X)

返回 X 中数据的最小值与最大值之间的差值。

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（ 3 ）方差 y=var(X)

（ 4 ）标准差 y=std(X)

7.3 参数估计 7.3.1 点估计：用单个数值作为参数的估计

（ 1 ）矩法：用总体的样本矩来估计总体的同阶矩。[ 例 7-13] 随机取 8 个活塞环，测得它们的直径为( 以 mm 计 ):74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002, 设环直径的测量值服从正态分布，现估计总体的方差。 解：因为样本的 2 阶中心矩是总体方差的矩估计量，所以可以用 moment 函数进行估计。

X=[74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002] ；moment(X,2)

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（ 2 ）最大似然法p=mle(‘dist’,data)

使用 data 矢量中的样本数据，返回 dist 指定的分布的最大似然估计。

[ 例 7-14] 用最大似然估计法解例 7-3 。X=[74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002] ；p=mle(‘norm’,X);p(2)*p(2)

7.3.2 区间估计：

区间估计不仅仅给出了参数的近似取值，还给出了取该值的误差范围。

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[phat,pci]=mle(‘dist’,data): 返回最大似然估计和 95% 置信区间。 [phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha): 返回指定分布的最大似然估计值和 100(1-alpha) 置信区间。 [phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha,p1): 该形式仅用于二项分布，其中 p1 为试验次数。

[ 例 7-15] 从一批灯泡中随机地取 5只作寿命试验 , 测得寿命 ( 以小时计 ) 为 :1050 1100 1120 1250 1280,设灯泡寿命服从正态分布 , 求灯泡寿命平均值的 95%置信区间 .X=[1050 1100 1120 1250 1280];

[p,ci]=mle(‘norm’,X,0.05)p=1.0e+003* ci=1.0e+003* 1.1600 0.0892 1.0818 0.0339 1.2382 0.1445

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7.3.3 常见分布的参数估计 (P142 表 7-4) Matlab统计工具箱还提供了具体函数的参数估计函数。如用 normfit 函数对正态分布总体进行参数估计 :

[ 例 7-16] 用 normfit 函数求解例 7-6 。X=[1050 1100 1120 1250 1280];[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,0.05)

muhat=1160 sigmahat=99.7497muci=1.0e+003* sigmaci=59.7633 1.0361 289.6364 1.2839

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha):进行参数估计并计算 100(1-alpha) 置信区间。

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X): 对于给定的服从正态分布的数据矩阵 X, 返回参数 和 的估计值 nuhat 和 sigmahat 。 muci 和 sigmaci 为 和 的 95% 置信区间。

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X): 对于给定的服从正态分布的数据矩阵 X, 返回参数 和 的估计值 nuhat 和 sigmahat 。 muci 和 sigmaci 为 和 的 95% 置信区间。

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X): 对于给定的服从正态分布的数据矩阵 X, 返回参数 和 的估计值 nuhat 和 sigmahat 。 muci 和 sigmaci 为 和 的 95% 置信区间。

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X): 对于给定的服从正态分布的数据矩阵 X, 返回参数 和 的估计值 nuhat 和 sigmahat 。 muci 和 sigmaci 为 和 的 95% 置信区间。

在均方差未知时，用 t 统计量检验样本均值的显著性函数： ttest ；调用格式：• ttest(x,m) 在 0.05 的显著水平上检验矢量样本 x 的均值为 m 的假设（零假设），返回结果为 0 ，表示接受零假设，为 1 ，则拒绝零假设。• h=ttest(x,m,alpha)自定义显著水平 alpha, 其余同上• [h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail)　 tail 取 0, 1, -1 分别表示备择假设为均值不等于，大于，小于 m 。（注意此时的零假设） sig 为与 t 统计量有关的 p 值， ci 为均值真值的 1-alpha 置信区间。

7.4.1 单个正态总体均值的假设检验

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7.4 假设检验　检验关于分布或参数未知的总体的假设是否合理

>> x=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170];

[ 例 7-17] 某电子元件寿命 x （以小时计）服从正态分布 ,μ 和 σ 2 均未知。现测得 16只元件的寿命如下：159,280,101,212,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260,485,170 。问是否有理由认为元件的平均寿命大于225 （小时）？

>> [h,p,ci]=ttest(x,225,0.05,1)h = 　 0p = 0.2570ci = 198.2321 Inf 14/25

返回结果 h为 0 ，接受零假设； h为 1 ，则拒绝零假设。

在 0.05 的显著性水平上接受 μ≤ 225 的零假设不能认为元件的平均寿命大于 225 小时

7.4.1 两个正态总体均值差的检验对两个独立同方差（方差未知）正态总体的样本均值差异进行 t 检验

• h=ttest2(x,y)• [h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha)• ttest2(x,y,alpha,tail)　 tail 取 0, 1, -1 分别表示备择假设为 μx≠ μy , μx> μy , μx<μy 。[ 例 7-18] 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一个平炉上进行的。每炼一炉钢，除操作方法外其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后

函数： ttest2 ；调用格式：

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用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼 10炉，其钢的得率分别为：

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标准方法　 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3

新方法　　 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体，均值和方差都未知。问建议的新操作方法是否能提高钢的得率？>> x=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3];>> y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1];>> [h,sig,ci]=ttest2(x,y,0.05,1)h = 0sig = 0.9998ci = 　 -4.4917 Inf

μx≤ μy

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>> h=ttest2(x,y,0.05,0)h = 1

综合以上得 μx<μy ，新方法得钢率比标准方法高。

7.4.3 基于成对数据的检验还是用 ttest 函数进行 t 检验，具体见 P145 例 7-197.4.4 分布拟合检验q-q图：用 qqplot 函数生成两个样本的 q-q （ quan-tile 分位数）图。若两样本来自同一分布，图中数据点呈直线关系，否则为曲线关系。调用格式为：• qqplot(X) ：显示 X 的样本值与服从正态分布的理论数据之间的 q-q图。

μx≠μy

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• qqplot(X, Y) ：显示 X 和 Y 两个样本的 q-q图。• h=qqplot(X, Y, pvec) ：返回直线的句柄到 h 中。

[ 例 7-18]

x=normrnd(0,1,100,1); y=normrnd(0.5,2,50,1);z=weibrnd(2,0.5,100,1); subplot(2,2,1)qqplot(x)hold onsubplot(2,2,2)qqplot(x,y)hold onsubplot(2,2,3)qqplot(z)hold onsubplot(2,2,4)qqplot(x,z)hold off

生成两个不同均值，方差的正态样本

生成一个服从威布尔分布的样本

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　由第一个子图看出 X 服从正态分布。

　由第二个子图看出 X 和 Y 可看作同分布的。

　由第三个子图看出 Z 不服从正态分布。

　由第四个子图看出 X 和 Z 不是同分布的。

基于数据样本的偏度和峰度，评价给定数据服从未知均值和方差正态分布的假设是否成立。

函数： jbtest, 　调用格式为：• H=jbtest(X): 以 0.05 的显著水平对数据矢量 X 进行Jarque-Bera 检验，返回值 H=0 ，接受 X 服从正态分布的假设， H=1 ，则拒绝该假设。• H=jbtest(X ， alpha):　指定显著水平 alpha• [H, P, JBSTAT, CV]=jbtest(X ， alpha):　返回 H 值，检验的 p 值 P ，检验统计量值 JBSTAT 和临界值 CV 。例：见P147 例 7-21注： Jarque-Bera 检验不能用于小样本检验。

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峰度 -偏度检验 (Jarque-Bera 检验 )

7.5 方差分析

7.5.1 单因子方差分析

　　研究不同因素及因素的不同水平对事件发生的影响程度

函数： anova1　调用格式： p = anova1(X, group, ‘displayopt’)　　当 X 为矩阵时，每一列看成一组，定义 group变量（字符数组或单元数组，长度等于 X 的列数）做为各组标签。返回零假设（各组均值相等）成立的概率 p 。一般 p 小于 0.05 或 0.01时，拒绝零假设，否则，接受零假设。（适用于平衡数据）　　‘ displayopt’ 参数为’ on’(默认设置 )时，显示 anova 表和箱型图，为’ off’时不显示。

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例>> x =[73 44 18 31; 45 62 49 60; 35 65 40 17; 　　 14 54 46 62; 56 24 61 24; 66 35 17 58]>> group = ｛‘ a1’ , ‘a2’, ‘a3’, ‘a4’｝>> p=anova1(x,group)p = 0.7918　　　

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认为列均值是相同的

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例　见P149 例 7-22

7.5.1 双因子方差分析函数： anova2　调用格式： p = anova2(X, reps) 样本Ｘ中不同列中的数据代表因子Ａ的变化，不同行中数据代表因子Ｂ的变化。变量 reps 表示每个单元中观测值的个数。当 reps=1 （默认值）时，返回两个 p 值到 p 矢量中：

其它调用格式： p = anova2(X); p = anova2(X, group); [p, table] = anova1(…); [p, table,stats] = anova1(…)

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当 X 为矢量时，通过输入变量 group （字符数组或单元数组，长度与 X 相同）进行标示分组。（适用于不平衡数据）

其它调用格式：• p = anova2(X, group, ‘displayopt’)• [p, table] = anova2(…)• [p, table,stats] = anova2(…)

零假设 H0A （源于因子Ａ的所有样本（ X 中列样本）取自相同总体）的 p 值。零假设 H0B （源于因子 B 的所有样本（ X 中行样本）取自相同总体）的 p 值。当 reps >1时，返回第三个 p 值到 p 矢量中：零假设 H0AB （因子Ａ和因子 B 间无交互效应）的 p值。若任一 p 值接近于 0 （一般判断时为小于 0.05 或 0.01 ） ,

则认为与之相关的零假设不成立。

例　见 P151 例 7-23, P152 例 7-2425/25