كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

271
ا ا ا ا ا ــ ه ـ ـ ا ا ه ركذ ا ا ا ا / رة و ا ا آم ا [email protected] ) اارة ا2006 (

Upload: majo0ode

Post on 28-Jul-2015

608 views

Category:

Documents


72 download

TRANSCRIPT

Page 1: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

��� ا ا���� ا�����

�������� ا��ا�

���ـ� �ـ� ه��ــ��

ا���ذ ا����رك ��� � ه�� ا���ا�� آ!�� ا���� و ا����رة/ �س� ا���� ا����������

)�'�� ا�&%$�م

[email protected]

)� )2006 – ا�!��� ��ارة ا

Page 2: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

(���تـــــــــ'�� ا�� ا��1ب ا�/�� .�انــــــ,ا� ا�+*�

1 4,��*�ت أس�س� 1 'س��7 9

11 2 ا�,�د�ت ا�س�س� 67 �������� ا��ا� 2.1 '�;ه ا�س%�9ن 11 2.2 ح?< ا���!� 1316 ���B2.3 ح?< ا� 2.4 ح?< آ��� ا��ح%ك 20 'س��7 24 3 ا�(�<�= ا�1,�ي وا�.:9 27يأG ا��ح!�7 27� 3.1 ا�31 �������' JK �9 ذات ا�ه�����Mد9% ا��Oا�� P��

ا���ا��3.2

32 �(Q��3.3 ا� 'س��7 3435 @����A6 67 اB�CDإ� Fن ا�����4 ا� 35 Sا����� JK ا�س%�9ن T!U ح���كVا %W4.1 أ 41 Sا����� JK ���Xا��� � 4.2 أ�?�ا 44 �U%?ا��� S4.3 ا����� 'س��7 47 5 �������� ا��ا� I.� ا�H4ان ا�.�61 49 5.1 ا����ا����د�� 4950 JK 7ا����د �س�� J���W ل�;' JK ز�9 ا�\]ط�^

_��W ح�و�9 ^�ح%ك ��س�رع 5.2

54 aآ�7 �� JK 5.4 ^�ز�9 ا�\]ط 56 �?B5.5 ا� 5.6 ا���9رو'�% 5961 ��K�Bار ا�)س�م ا�%O�5.8 إ 'س��7 64 �B 6ق ا�/��س 6666 �'O' 6.1 6.2 أ)�eة ���س ا�\]ط 67 6.3 أ)�eة ���س '�ل ا�س%�9ن 7175 7 ا��7 7.1 ا��K ا��?�ث 7578 Jgا�ص�رو �K 7.2 ا� 7.3 ا��Kع 79 7.4 $%ق ا��K ا��?�ث 86 'س��7 87

Page 3: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

88 N*� 67 ا�(��ك �آ �>Q�*)ا�+�رة ا�

8

8.1 ا�ص�رة ا���'� �!���دVت 88 8.2 ح�Vت �gص� 9091 %�K�� تVح7 '��د-Gآ��8.3

8.4 ^حس�S ح%آ� ا���ا�� 101 'س��7 103105 '�I� 9 ا105 �'O' 9.1 �O ا�;ار�9 105Bت ا�V9.2 '��د '�-ح�K 7ن 109�U a'ل آ�ر�

ا�\]ط ص?%9.3

�O ا�;ار�9 ����ل X]ط 120Bا�يV ص?%

9.4

122 JK ��B[\ا� ���Umا�?ص7 و اJ(ا�س%�9ن ا�&�ر

9.5

�O ا�;ار�9 128Bا� JK 9.6 ا��ح�� 'س��7 132134 10 ا��7134 �'O' 10.1 142 %�K�� تVال '��دe�gإ–

��آG �ح��� ا�س%�9ن J(e�Mا�

10.2

146 % U Jدورا�Mا�س%�9ن ا� ا�Bا��

10.3

155 o��;ا� T!U �K%10.4 ا� 'س��7 160 11 ا�����ن ا���C>� UB�CDز 162163 �'O' 11.1 11.2 ح%آ� ا���)�ت ا�ص�^�� 1669ي 172 ^M11.3 ا�س%�9ن ا� 'س��7 192 11.4 ا�ص'� ا�����'ة 194 'س��7 208209 Jح���آV11.5 ا�س%�9ن ا 'س��7 224225 J�pآM11.6 ا�س%�9ن ا� 'س��7 234���س ا�س%JK �U ا�س%�9ن 235

T$�[\�Vا 11.7

Page 4: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

ا�<�� أ '�ا�� �Yاص ا��ء و ا��V ا�/��س6 239 ا�<�� ب �,] ا�,F'�ت ا�����Q ذات ا�+< 240<�� جا� �[����@f �,��= ا��(��ك 241 ا�<�� د '�ا�� ا�����ن ا��6B�CD �<_�اء 245 ا����ز 252254 ��ا9256 �V,�

Page 5: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

1

�ت أ����� 1��

���� ��م ��� ا���ا�� وا���زات ����� آ��� � 1.1 .� �و#!��"!�� ا���ا� �ع

�(�ط ا�ع'&�ت ا%$�$!*$��و�3. و$��� ه1ا . � ا�*0 �/�. -,آ� و $��ن ا���ا�

إ�4@� ا�/<= ا%$�$!�، �;�ا"!:(�� ��� #� 5ع,ف ا$8*�(�ط ا����ذج ا�,4�5!� ا�*0 �

�� -!: �;ص, ا��$��� ا��B,�5 �: ا$8*�(�طإ�� ا�,D*.

����� ����د�� ���&، .-ف ا'���� !+*ه ا'��دة ا' & %�� $#"�� !�� ��ار

.� ه1ا ا����د���� ص%

:# E5,ه1ا ا�*ع ��F3*5 #ع

�� ا�(�!� ا���4/� @0 ,D*ا�

-!K ",ى ��I� ) 1.1 (ا����

ص�(� 5*ع,ض �;�ة أ@;!� ص�!,ة

� P�Dع�� ��� �/,�5ه @0 ا�x

SIا����� . ا��� �;)T

ا��*��D�� ��V. �*/,ك

��,�� ���وي ���#� $,��

.�Dا� . ��,D*و5'-= @0 ا�

P�D0 ا�@ �!D5ت �;� �در��,�� ا�����y �*- S/,ك T(;�ت ا����� ا%�عد @�%�عد

E ا`I_�د إذا 4عع,ف @0 [!,ه� ����ا� ، و8 �ا���!\ةوهP1 ه0 ا���� . �]*<0 ���#�

.ا�;ص0 ا��(1ول

. (SI) ا���*]دم @0 ه1ا ا��*�ب ه� ا���Bم ا�ع���0 ���-دات *�7م ا'5ح�ات 1.2

.ا�;���� أد"�P �(!: و-دا�ه ا%$�$!�

ا��ل ا��*�� ا�\#: در�I ا�/,ارة ا�;�ة ا��&� ا�;درة ا��3طPa W J N K s kg m

#*, آ!�� [,ام �p"!� آ�<: "!��: �Iل وات ��$��ل

P'ــ,ى #ــ: ا��-ــدات أ�ــV%ــ*;�ق و-ــدات ا��*�!ــ,ات اsآ�ــ� ��5ــ: ا$ــ*]دام . و��5ــ: ا

: و#�*;��ه إذا ص�,ت أو آ(,ت &!�� ا��*�!, آ�� 1030�5 أو E3 ا��ع�#�

1.1ا'8#9

Page 6: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

2

10-6 10-3 106 103

E-6 E-3 E6 E3 µ m M k

آ!�� #!�� #�0 #��5,و

ا'#��� ا'� -"� 1.3

ا���� آ�!� #*ص�� إذا آ�"~ أص�, #��@� @0 ا�*/�!� أآ(, آ{!,ا #: #*�$ط ��5: ا�*(�ر

.ق ه1ا ا�8*(�ر ��� آ� ا�*/�!'ت ا��اردة @0 ه1ا ا��*�بو5صد. ا����ر ا�/, ��D\��5ت

ا'#=�>� 1.4

.D/ر أن ا��)*���V0 �!ط ا���,s 0@�*أص�, #��@� �,د @0 ا�*/�!� و�� Sه� #�ع

:ف آ�� 0�5 �ع,ρ �@�ا��*ص�� @�ن ا��{

∆=

→∆ V

m

VVlim

0

ρ

K!-m ام و,]��!��������*, ا���عVS ا��*�� .D/و-دة ا��{�@� و ا�kg/m3.

sا'#=�>� ا'�س?�� 1.5

�� إ�� ��� .���1000kg /m3ء ، وه0 ��{�@� ا��ع!�ر�5 ا�ه0 آ{�@� ا���دة #

s = ρ / ρw

*5ن ا'%�ز ا'8��# .� 1.6

p = RρT…………………………………………(1.1)

����pز � ا����3طا�5,�ط ا�;�"�ن �� �Iدر �;��~ ρ . R ��{�@ ا� وT ة/,ار��ا���p

. 287J K-1kg-1&!�*ه ��_�اء ا���ز و

Page 7: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

3

1.7 E�%F*إH'ن ا� &ا'س��ن اE�%F*J& و ا'س�

آ�"~ ��!,ات إذاأ#� . �!,ات ا��{�@� @!ه #ع*(,ة�5صE ا��,�5ن ��"ه ا"0T��3 إذا آ�"~ �

0T��3"ه 8إ"�� .ا��{�@� ص�!,ة "�(!� @ع�د�1 �5صE ا��,�5ن

1.8 L� ا'س��ن ا'�

. #/دد أي 4�# ��د ا�1ي 8 �*�!, ص<��ه # ا�\#: ا��,�5نه�

1.9 N7 ��'ن ا� ا'س�

�د #; إذا آ�"~ &!�� آ� #:� .B*��*� @0 آ� ";�ط �5صE ا��,�5ن ��"ه #�p اصه�V

.ا��;

Rط اJ*س��ب 1.10

ع,ف Vط ا8"�!�ب ��"ه ا�]ط ا�1ي ���� ا����$�ت �ه @0 آ� أI\ا�ه ا��Dه�ت ا��,�� 5

.@0 و&~ #/دد

أ!��د ا'س��ن 1.11

��ء ��� ا�عدد ا%د"� #: �ا'?�� أح�دى، ���S& أو SHS& �5صE ا��,�5ن ��"ه

�_�ا`-داp!�ت ا����"! Eا�*0 ��5: أن �5ص �.

���0 ا�(عد، -!K �ع*�د ا��,�� (1.2)ا���� p ,V0 #{�8 ��,�5ن أ-�دي ا�(عد و� 5ع

p���0 ا`-دا h:!!p0 ا��{�ل ا%ول و�ع*�د ��� ا8-دا@ x و h0"�}0 ا�@ .

1.2ا'8#9

Page 8: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

4

ا'س��ن ا'-��U& وا'س��ن ا'���� 1.12

�/!K ��5: ا�*(�ر T(;��ه ��\� 5*صE ا��,�5ن ا�ص<��/0 �{(�ت ا� �!���� وا8"�!�

E���� 5*صE ا��,�5ن ا����, ���ع!�@�ق �ع3_� ا�(ع� @��s 0 ص<��F أو ر&��،

.وا48,اب

ا�/��*!: إ�� ا%V,ى �*�#� إ-دى��5: ا$*�(�ط ا%$� ا�*0 �/�. �/�ل ا��,�5ن #:

0 ��د @*F ا�ص�(�ر &�!' "'-. $,�5ن ا���ء #: ص�(�ر@ ���)p0 $,�5ن ا���ء و@ �#�B*"ا =

�ع3_� ا�(ع� ��� �\��5ص��s . Eه دون ا4,اب آ�"ه #��ن #: ص<��F أ$�ا"!� �

35,ب و5<;د ا"*�B#ه و ا���ء �ر 5��\�5دة #عدل ا��,�5ن. ه1ا ا��,�5ن ��"ه ص<��/0

�!- Eه #��,�1و�5ص"�� .

�~#عدل $,�5ن ��د � ا�/��� ا����,ة و��5: إp(�ت أن ا�*/�ل #: ا�/��� ا�ص<��/!� إ��p

�Iأو إ";�ص ا��\و ,و�D5 ا��*�!,ات ا�{'�p #;دار . 5/دث �\�5دة ا��,�� أو ز�5دة ا�;

�8 \���و 5/دث ه1ا ا�*/�ل ���,�5ن @0 . 5/�. ا�*/�ل ا��1آ�رReعدي 5ع,ف �عدد ر5

�1ي 5/دث ��دP و ���5 �دد ر5���\ ا . Re ≥ 2000 ≤4000ا%"��!S @0 ا��دى

��د ر�W'5 ا'U�جا�*/�ل Rec.

���!����� ا��; ا����@� S!�5*�. ��ز5 ا��,�� ���,�5ن ا�ص<��/0 دا�V ا%"�

.��,�5ن ا����, #ع;دا "�(!� @0 -��� ا��5ن ه1ا ا�*�ز5

1.13 N#U 'ا NX��57 وح��ا'

���!� #/ددة #: ا���دة 5/ده� �: �;!� ا �!����� Iدار �]!�0 أو -;!;0 ا����B#� #ع

�*� @0 .و��5: أن 5*�!, #�&ع_� و��s_� # ا��&~�pددة و/# �;�-D. ا�*/�. #

5(!: أ#{�� (1.3) ا����. و��5: أن �*�!, ا���دة داD- �V. ا�*/�. # ا�\#:،ا����ن

:!#�_>���.

1.3ا'8#9

�#�B� -D. ا�*/�. #

Page 9: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

5

1.14 ��UY5ة ا'سZ'وا ���سX'5ة اZ'ا

�� ا��D. #{� &�ة ا��Dذ�!� وا�;�ة ا�;�ة ا���D!� ه0 ا�*0 ���� �: آ*

�!�!�وا�;�ة ا��/!� ه0 ��� ا�*0 �ع�� ��� $F ا���دة و��/ص, @0 . ا��_,و#�[

.ا��3ط وا�;ص

ا����د 1.15

ا`I_�د ه� ا�;�ة ا��/!� ا�ع�#�� ��� و-دة #��-�

∆=

→∆ A

F

A 0limσ

���د�5 و ا%V,ى #��$� إ-داه��: !��I_�د #,آ(* و

σ σ σ= +n t

@0 اP�D�8 ا��*ع�#د -!�p K @0 #!��"!�� ا���ا� ا$*]دام �ع(!, ا��3ط <53و

σn

pn= −

@0 اP�D�8 ا����س -!�τ K*]دم �ع(!, ا`I_�د ا�;ص0 5و

σ τt

=

��1� و

σ τ= − +pn ...................................................(1.2)

���Z& وا'F%ط ا'�ا]&�ا'F%ط ا' 1.16

ا��3ط ا��Dي -ا��3ط ا��� = ;!�$0 � ا��3ط ا�

;!�$0 � ا��3ط ا�-= ا��3ط ا�<,ا[0

1.17 &-Z'ا����د ا

�!: ا`I_�د ا�;ص0 ���S إ�� �5,B�� @0 اP�D�8 و#��ل ا��,�τ "!��: ا�ع'&� ا�

ا��*ع�#د∂

u

y : ���,�5ن ا�ص<��/0 وه0

τ µ∂

∂=

u

y.........……………………………….......(1.3)

Page 10: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

6

و&د أ�D� ~5,Iرب ��*/; #: ا��ع�د��

أ"_� ص/!/� ��عB. ��.#ع��!� و

ا���ا� ا���*]د#� @0 ا�*(!;�ت

&�د و ا��ا�_�د$!� #{� ا���ء وا�_�اء

0>��~ ا��ع�د�� $�0 و. ا��p µ

�Iأو ا��\و �;�����\و�I أو ا��\و�I ا��

ا���ا� و�ع,ف . Pa.s وو-د�_�،ا�/,آ!�

�Iد در�ا�*P1_� S!D*�� 0 ا�ع'&� �

�����ا� �*��p 5*��-,ارة - ا'��5

.(1.4)ا����

��� @ص!�� ا���ا� ا�*0 8 �

��!: ا�;ص و#��ل اع �!V �&'� 0 5*����,�� #�ا� 5�*J .��}#ط أ>� �_� ا�(��5 و ا�

.0ا���ع

�;ص # ازد�5د ا�/,ارة ����ا�� و�\5د # � K!- �Iا�/,ارة @0 &!�� ا��\و �Iدر ,p¡�

.ازد�5د ا�/,ارة ����زات

��!���� : آ�� ν0�5 ع,ف ا��\و�I ا��!

νµ

ρ=

.m2/sوو-د�_�

�W& و ا'س��ن ا'�W'H&ا'س��ن ا'" 1.18

#;�ر"� ���;�ى ا%V,ىع,ف ا��,�5ن ��"ه �\0I إذا "��ت @!ه &�ة &ص ذات #;دار #ع*(,5

ن #;دار ا�;ص 5*ع� ",ى أ (1.3)��,اIع� ا��ع�د�� و. إ8 @!ع*(, ا��,�5ن 0I\�8 و

�/�ص� 4,ب ا��\و�I و#��ل ا��,�� .B� ه. إ-داه�� أو آ'@�ذاB� �� ا�;�ة ~� �!I\ا��

. ا��,�5ن �\I!� �0$ و

(1.4)ا'8#9

1 0"���!" 2 ,!] 0"���!" 3 Sص� 4 0��}#

Page 11: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

7

�=�ل

ا��,�� @�520mm . 0,ي #�ء $,�5"� ص<��/!� ر�!(� @D# 0,ى #*�ازي ا�Dدران �,4ه

Eص� .&در ا`I_�د ��� ا�Dدران. C°25 در�I -,ارة ا���ء . V0.1m/sط ا�

��ز5 ا��,�� @0 #; ا��D,ى ���,�5ن

ا�ص<��/0

u

U

y

Y= −

1

22

�د ا�Dدار �,�ط ا`I_�د ا�;ص(1.3) ا��ع�د��� ��,���� 0

τ µ∂

∂=

u

yw

du

dyU

y

Y

yU

Y= −

= −

88

2 2

1204

2

±=

=== sY

U

dy

du

dy

du

yyw

)أ ا���/ ( �V ����&25°Cاص ا���ء ��د

ρ = 997.1 kg/m3, ν = 0.897E-6m2/s

µ = ρν = 8.94E-4 Pa.s

ττττw = 0.018 Pa

. ا���xSI ا�P�D ا�P�D ا�;�ة

1.5ا'8#9

Page 12: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

8

�=�ل

P,أ-�S ا��;ص�ن .50.1mm دا�V ا$�ا"� &,ه� ا�دا550.0mm 0�V*/,ك #�(� &

�<ع� ا�/,آ� #: #� ��د#� �,�< در�I -,ارة ا��@0 ا����� @0 ا�;�ة ا��;�و �\20°C

.C°120إ��

. وp(�ت أ�ع�دPا$*]دم ا�]�اص ا��در�I أد"�P �\5~ ا�*\�! وا@*,ض p(�ت $,�� ا���(�

T°°°°C νννν x 10-6, m2/s µµµµx 10-3, Pa.s 20 9.2 8.2 30 7.5 6.6 40 6.5 5.5 60 4.7 4.0 80 3.7 3.2 100 3.2 2.46 120 2.8 2.10

F= #� ا�;�ة ا��;�و

F A Adu

drw w

= =τ µ

��@*,اض p(�ت ا��,�� وا%�ع�د

F = const. µ

∆ ∆F

F100 100

20

µ

�Vاص ا�\5~

µ20 = 8.2E-3 Pa.s , µ120 = 2.1E-3 Pa.s

∆µ = 6.1E-3

∆ ∆F

F( ) ( )100 100

20

µ = 74%

Page 13: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

9

�س��8

أ-ـ�2.0E-5 Pa.s . S ���وي C°35ا��\و�I ا���;� ��_�اء ��د در�I ا�/,ارة 1.1

�د#� ��5ن ا��3ط � �!���� MPa. [ 17.7 E-6 m2/s] 0.1ا��\و�I ا��!

ا$�ا"� F4�5(1.6) ا���� 1.2;#

F ز5~ ��و#�(� #�*�$ ��� �#� . ��$

ن ا��3ط ا��Dي أ��@*,اض . 0.3mا���(�

0.101MPaأ و �)���� �!)��ن ا��{�@� ا�

Sع #: ا�ص��� أ-�S ا��3ط ��� 7.8ا��ص

F ا�\5~$. 0.124]MPa[

5�\�ـ ��ـ� $ـF #��ـ� 0.2m2 ا�ـ�<�0 و#ـ��-� $ـ/ه �I500N. 5\ن 1.3

ــ� ــ 30°�\او5 ــ0 # ــ� ا�� . ا%@; I\و� ــ �\0.2 Pa.s .

��@*,اض أن ��ز5ـ . 1.0m/sو$,�� ا��D. ا��*/,ك

ــ, ا�� ــ�,�� �( ــ� ا� ;)T ــ��$ Sــ0 أ-ــ�V ــ �\

[0.16mm] .\�ا��

&ـS!3 ذا #;ـ #,�ـ ، F4�5(1.7) ا�ـ��� 1.4

�� �450mm ,/*5عه �\� ك @D# 0,ى #عد"0 #�

وآ{�@*ــه ا��ــ�(!� . �5E -6 m2/s\وI*ــه ا��!����!ــ�

ـ0 ��@*,اض أن ��ز5 ا�ـ�,�� �(ـ, ا�� . 0.86V ـ�\

�د#� ��ـ�ن � S!3;ا� ��� �!I\ة ا`��&� ا���& S�-أ

20m/s . [ 43 N]$,�*ه

1.6#8 ا'9

ز5~

1.7ا'8#9

XXا��;

Page 14: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

10

�� ��,�5ن #�ء در�I -,ار� 1.5,D� �D!*" F4�� P�"20ه ا�;���� أد°C �_ـ�ة �,4ـ�& 0@

100mm:

y (mm) 40 30 20 10 5 0 -5

u (m/s) 5.0 8.0 11.0 12.5 13.0 13.2 13.0

- ~)�y ة��أر$. ��ز5 ا��,�� وأp(~ إ#��"!� �;,5(_� ��ع'&� . #: ا�]ط ا��,آ\ي ��;

:ا�,4�5!�2

210 yayaau ++=

K!-a0 و a1 وa2 ~� . �pا

[0.5Pa] .�;ص0 ��د ا�Dدار5: #�*]د#� ا�ع'&� أ�'P أ-�S ا`I_�د ا

Page 15: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

11

ا'���دJت ا�����k >& ��#�*�#� ا'�5ا�� 2

: وه0 #ع�د8ت ا�/<= ا�{'ث. @0 ه1ا ا�<ص� ا�;�ا�د ا%$�$!� ��!��"!�� ا���ا� ��,$

�ن ا�1ي م ���1 �*ع,D*# E5ه ا��,5;دو5. -<= ا��*�� و-<= ا��&� و-<= آ�!� ا�*/,ك

���5 ��ص,ا #�*,آ� @0 آ� #ع�د8ت ا�/<= .

� Xه ا'س��ن 2.1

)2.1(ا�/D. ا�*/��0 ا���F4 @0 ا����

/ه و �D-Vه $ �-��#A . ��� \!آ,*���

@�ن ا��*�� ا�]�رdA �Iا����-� ا�*<��4!�

�!ص(F #عدل dt @0 ا��&~ �dm(,ه� ه0

ا��,�5ن .

md . $ 4ا��,�5ن @0 ا��� ��,

�\اوv �5ه0 ا��*Dه α ه أ-�ديD*ا�� #

-!dA K وا��*ع�#د ��� ا����-� nا��ل

d A = n dA

.

md = ρ d .

V = ρv cos α dA = ρ Ad.v

Fm =#عدل $,�5ن ا��*�� �(, آ� ا��.

∫∫=A

Advm ..

ρ ..........................................(2.1)

:"ع,ف #*Dه $,�5ن ا��*�� آ�� 0�5

v ρ =) ا��*�� @0 و-دة -D*#) (�!�Dه ا��,��= (#*Dه $,�5ن ا��*��

���� :{�و

�&� )ا��&� @0 و-دة -D*#) (�!�Dه ا��,��= (#*Dه $,�5ن ا�

=ρ ( e + 2

v2

+ gz ) v

�}���� :و

ا'8#9 1.2.1

2.1ا'8#9

Page 16: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

12

)آ�!� ا�*/,ك @0 و-دة -D*#) (�!�Dه ا��,��( =#*Dه $,�5ن آ�!� ا�*/,ك

= ρ u v , ρ vv , ρ wv

. ��� ا�*�ا�z, y, x 0@0 ا�D�8ه�ت

= �5Aن ا��&� �(, ا��F #عدل $,و���1 @�ن

ρ∫∫ ( e + 2

v2

+ gz ) v.dA....................................(2.2)

F = Aو#عدل $,�5ن آ�!� ا�*/,ك �(, ا��

( )AdvvA

.∫∫ρ ................................................(2.3)

Page 17: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

13

2.2mا'# "� ح

;) : ��� $,�5ن ا���� �ص!�� &�"�ن -<= ا��*�� #

ا��*�� دا�V ا�/D. ا�*/��0 #�3@� إ�!ه ��Vص #عدل $,�5ن ا��*�� إ�� �,اآ.#عدل "

"�Vرج ا�/D. ا�*/��0 ��5وي ص<,

dV= ا��*�� ا���!� دا�V ا�/D. ا�*/��0V

∫∫∫ρ

�*/��0#عدل ازد�5د ا��*�� دا�V ا�/D. ا

∫∫∫ ∫∫∫ ∂

∂=

V V

dVt

dVt

ρρ

.%ن -دود ا�*��#� 8 �ع*�د ��� ا��&~

��Vص #عدل $,�5ن ا��*�� إ�� �Vرج ا�/D. ا�*/��0) 2.1(#: ا��ع�د��

= AdA

.v∫∫ρ

���1 و

0.v =+ ∫∫∫∫∫ AddVt

AV

ρ∂

∂ρ................................(2.4)

. ا�*��#�!�ا�ص�رة ا��*�� @0 ه0 #ع�د�� -<=) 2.4(ا��ع�د��

Page 18: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

14

�ن ر �L أ�� n"� o�?Y :)2.2ا���� ( ا'?��يح�د

��5وي ) 2.4(ا�/د ا%ول @0 ا��ع�د��

.��,�5نص<, "�(� �,���� ا

� آ*�� �8 �ع(,ه) 4(و ) 3 (/�نا��

���#� ا�/د ا�{�"0 5ص!, @!_��و���1

.#: #ع�د�� ا��*�� ص<,ا

���1 إ�� ا�ص�رة ]*\ل #ع�د�� ا��*� ��:

22

2

211

1

1 .v.v AdAdAA

∫∫∫∫ + ρρ = 0

��'-�B أن ا��*Dه وA 0��/*ا� .D/رج ا��V ه إ��D*5

- 22

2

211

1

1 vv dAdAAA

∫∫∫∫ + ρρ = 0

- ρ1 v1A1+ ρ2 v2A2 = 0

ρvA = ~��p……………………………………..(2.5)

�=�ل

�ن Jإ*X� &< &E�%F�ى *�$� ��

A1 A2 v1 ρρρρ

0.2 m2 0.3m2 2.0m/s 1000kg/m3

.�و#عدل $,�5ن ا��*�) 2(أ-�S ا��,�� ا��*�$� @0 ا��;

�ـ��1 ��5ـ: ) . 2(و ) 1( @ـ0 ا��;عـ!: *�ن ا��*�$ـ *�ن ا�ـ�,� �� ه v2 و v1 *�نا��,�

) 2.5(ا$*]دام #ع�د�� ا��*�� @0 ص�ر�_� أ-�د�5 ا�(عد

2.2ا'8#9

Page 19: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

15

ρvA = ~��p

�T��3"أن ا��,�5ن 8 ا ��� ~��p =ρ

v1A1= v2A2

v2 = v1(A1/A2) = 2.0 (0.2 / 0.3) = 1.33 m/s

m.

= ρvA = ρv1A1 = 1000(2.0)0.2 = 400kg/s.

� :���د'� ا�J ��ار

. ��� #ع�د�� -<= ا��*�� @0 ص�ر�_� ا�*<��4!�5� ه1ا ا$8. ��#�

ص�رة�/0 إ��ا�*��#� ا��رة ��5: �/��5 ا�/د ا�{�"0 #: ص) 2.4(�دء #: ا��ع�د��

��$*]دام "B,�5 ا�*(��دا�*��#� ا� 0�D/ - "ا��ع�د�� أ ,B)3 ) ب(@0 ا���/(.

0).( =∇+ ∫∫∫∫∫∫ dVvdVt

VV

ρ∂

∂ρ

0. =

∇+∫∫∫ dVv

tV

ρ∂

∂ρ

آ�"~ -دود � ص<,ا إذا آ�"~ &!�� ا�*��#� ص<,ا و��#�&!�� ا����ن �(ع� �;�ا"!: ا�*��#�

.ا�*��#� اV*!�ر�5

∂ρ

∂t + vρ.∇ = 0..................…….......................(2.6a)

)()()( wz

vy

uxt

ρ∂

∂ρ

∂ρ

∂ρ+++

∂ = 0…………………....(2.6b)

K!-u ،v، w ه�ت�D�8ه0 #,آ(�ت ا��,�� @0 ا x ، y ، z.

0T��3"و@0 -�ل أن ا��,�5ن 8 إ

z

w

y

vu

x

u

∂++ = 0………………………………………………(2.7)

Page 20: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

16

2.3Y'ا mـ ح �.�

د #ع�د�� -<= ا��&� #: ا�;�"�ن �*��

ــ�ا%ول ــ� ��/,آ! ــ� �� ;)ــ� # ا�/,ار5

0��/� .D-:

ا��&� دا�V ا�/D. �,اآ.#عدل "

#عدل ��Vص#�3@� ا�!ها�*/��0

�&� إ�� �Vرج ا�/D. $,�5ن ا�

� ا�;درة�"*;�ل ا��*�� 5ع�دل ا�*/��0

��� ا���� دا�V ا�/D. ���(1و�ا

#عدل $,�5ن #�3@� ا�!_�ا�*/��0

" . 0ا�/,ارة إ�� دا�V ا�/D. ا�*/��

∂ρ ρ σ

te

vgz dV e

vgz v d A v dA P Q

AV A

( ) ( ) . ( . ).

+ + + + + = + +∫∫∫∫∫ ∫∫2 2

2 2

��� ا���� دا�V � ا��(1و�ا�/دان ا%و�!�ن @S"�I 0 ا��ع�د�� ا%�5: 5ع(,ان �: ا�;درة

، و ا�/D. ا�*/��0.

Q ا�*/��0#عدل $,�5ن .D/ا� �Vا�/,ارة إ�� دا.

σ 5ص(F ا`I_�د "Wجا'! �Xه8 = −pn

∂ρ ρ

te

vgz dV e

vgz v d A pv d A P Q

AV A

[ ( )] ( ) . ..

+ + + + + = − + +∫∫∫∫∫ ∫∫2 2

2 2

∂ρ ρ

ρte

vgz dV e

p vgz v d A P Q

AV

[ ( )] ( ) ..

+ + + + + + = +∫∫∫∫∫2 2

2 2…….(2.8)

2.4ا'8#9

Page 21: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

17

�ن ر �L أ�� n"� o�?Y :��?'ح�دي ا

�ل ���*�ـ� 8 ا"*;ـ ، و 5ـ��وي صـ<, ) 2.8(ع�0 أن ا�/د ا%ول @ـ0 ا��ع�د�ـ� �ر���� ا��,�5ن

,)� F ).4(و ) 3(ا%$

� ��1� ]*\ل ا��ع�د�� إ�� ا�ص�رة و

− + + + + + + + = +ρρ

ρρ

1 1

1

1

1

2

1 1 1 2 2

2

2

2

2

2 2 22 2

( ) ( ).

ep v

gz v A ep v

gz v A P Q

��8$*ع�"� ��ع�د�� -<= ا��*�� ���,�5ن ا�,�!S أ-�دي ا�(عد )2.5 (

ρ1 v1A1 = ρ2 v2A2 = m.

m ep v

gz P Q m ep v

gz. .

( ).

( )1

1

1

1

2

1 2

2

2

2

2

22 2

+ + + + + = + + +ρ ρ

e

g

1 +p

g

1

1ρ+

v

g

1

2

2+ z1+

P

m g.

+Q

m g

.

.=

e

g

2 +p

g

2

2ρ+

v

g

2

2

2+ z2 ……………..(2.9)

=�D 0ه� ا"*;�ل ا�/,ارة @0 آ{!, #: ا�*(!;�ت ا�_�د$!� ��5: �•

Q

T1 = T2 , e1 = e2 *�!, @0 در�I ا�/,ارة ا���Dه� و

0T��3"و��5: ا�*(�ر ا��,�5ن 8 ا ρ1 = ρ2 = ρ

2.5ا'8#9

P

Page 22: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

18

)2.9(@*ص(F ا��ع�د��

p

g

1

1ρ+

v

g

1

2

2+ z1+

P

m g.

=p

g

2

2ρ+

v

g

2

2

2+ z2 ……………………….……..(2.10)

�<�إذا آ�"~ $��(� @*�{� #�I(� @�"_� ��{� #3]� وP@0 -�ل أن ا�;درة �.

�Iد #3]� أو @0 -�ل �دم و�>� ) 2.10(�ص(F ا��ع�د�� ) 2(و ) 1( �!: ا��;ع!: �

2= ا���~ ا���0 .. ………… )2.11(

2

221

2

11

22 z

g

v

g

pz

g

v

g

p++=++

ρρ

$�~ ا��3ط + $�~ ا��,�� + $�~ ا�,@ = ا���~ ا���0 : أي

�=�ل

ف ا·�0 �: و-دة 4¶ �,@ـ ا��ـ�ء #ـ: ع,5

: ا��!� إ�� أ��� ا�D,ف

8m : ا�,@ 0�D/15 #عدل ا��,�5ن ا� l/s , ا%"(�ب صع!د ا��3]�& :154mm

, ا%"(�ب $�@� ا��3]�& :102mm 1000kg\m3 : آ{�@� ا���ء

: ا����ب -��ب

ا��,�� صع!د و$�@� ا��3]� ) أ(

ا�;ـــدرة ا�]�رIـــ� #ـــ: ا��ـــ3]� إذا ) ب(

0I\� 8 ا�*(,"� ا��,�5ن.

)2.6(ا'8#9

Page 23: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

19

ع�5,���0ن ا�'إ"�T��3 �) 2.5(#ع�د�� -<= ا��*�� ) أ(

vu . Au = vd. Ad = .

V = 0.015 m3/s

smvu /81.0)154.0(

015.02

4

==π

smvd /84.1)102.0(

015.02

4

==π

K!- �;-'ا� u �0� .$�@� ا��3]� ع�d �0 ا�'-;� و ا��3]� صع!د ع

) 2.10(#ع�د�� ا��&� �_P1 ا�/��� ) ب(

2

2

22

.1

2

11

22 z

g

v

g

p

gm

Pz

g

v

g

p++=+++

ρρ

( )

−+

−+

−= 12

2

1

2

212.

2zz

g

vv

g

ppgmP

ρ

5ع�0 ذ�� و ن ����D#<*�-) 2(و ) 1(ن �ا��;ع

p1 = p2 = pa

p2 - p1 = 0

z2 – z1 = 8آ�� أن

F !$,�� ";ص�"ه ص<, : $F ا��!�) 1(ا��

v1 = 0 , v2 = vd

mن ا��*�� #عدل $,�5.

m.

= ρ .

V = 1000(0.015) = 15.0 kg/s

و�ص(F ا��ع�د��

P = (15.0)(9.81) [ ( . )

( . )

184

2 981

2

+ 8 ] = 1203W

�Iا�;درة ا�]�ر =kW 1.2

Page 24: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

20

حm آ��� ا' U�ك 2.4

ن "!��: �*�د ه1ا ا�;�"�ن #: &�"�5

.D- ��� �;) ا�{�"0 ��/,آ� #

0��/�:

آ�!� ا�*/,ك دا�V ا�/D. �,اآ.#عدل "

��Vص #عدل $,�5ن #�3@� ا�!ها�*/��0

آ�!� ا�*/,ك إ�� �Vرج ا�/D. ا�*/��0

�ى ��"*;�ل ا��*�� 5ع�دل #��Dع ا�;

".ا��¡p,ة ��� ا����

( ) ( ) dAdVBAdvvdVvt

AVAV

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+∂

∂σρρ .

( ) ( ) dAdVBAdvvdVvt

AVAV

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+∂

∂σρρ . …………..(2.12)

ا�;�ة هB 0آ�� أن . τ و -n p ��5وي #��Dع ا��*I,*�"σ :!_D ه�� أن ا`I_�د

�*�{� @0 ا%-�ال ا%�. @0 &�ة ا��Dذ�!� ��� و-دة ا���D!� ��� و-دة -�D!� و

�D- kgB!� أي ρ−=.

)2.7(ا'8#9

Page 25: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

21

�| ا'س��ن دا8R أ*?5ب ���Uا'5Zة ا'�� �}$&:

��� ا��¡p,ة ا�;�ةر��;د) 2.12("�ع� ه�� �'$*<�دة #: #ع�د�� -<= آ�!� ا�*/,ك

�/� . ا�(عد "*!�D ��,�5ن ر�!S 8 ا"0T��3 أ-�دي 0ا%"(�ب ا��

(! هP1 ا8@*,ا�4ت . x-y"<*,ض آ��1 ا$*�اء ا�]ط ا��,آ\ي �¼"(�ب ��� ا���*�ى *�

:5ع0 ا�/د ا�{�"0 و. ا��,�5ن إ���ء ا�/د ا%ولر���� �D�ز) 2.12(ا��ع�د�� ���

ρA

∫∫ v (v dA. ) = -ρv12A1 i + ρv2

2A2 2n

= -ρv12A1 i + ρv2

2A2 (cos θ i +sin θ j )

:ا�/د ا�{��K و

∫∫∫V

B dV = ∫∫∫−V

kgρ dV = - ρ gV k

:!/ ���وي !_��(� ا�;ص ��,آ",ا�0 أن #) 2(و ) 1(��د �(! ا�/د ا�,ا� ��� ا��

����3ط ا�/د ا�,ا� ��{¿ 5ص<, وا�P0 . و-د�/�@�' #: ا�;ص ) 3(أ#� ��� ا��F ا��

�*B.اوا��3ط ذو# ,!] Fو��5: ا$*]'ص . &!. [!, ص<,�5، إ8 أن ��ز5ع_�� ��� ا��

.���0 ا�/D. ا�*/��) 3( #: ا��p�� R F!,ه�� $�5� آ,د @ع�

)2.8(ا'8#9

Page 26: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

22

kRjRiRR zyx ++=

∫∫A

σ dA = ∫∫1

1

A

σ dA1 + ∫∫2

2

A

σ dA2 + ∫∫3

3

A

σ dA3

= ∫∫1

11

A

idAp + ( )∫∫ +−2

sincos22

A

jidAp θθ + R

= p1A1 i - p2A2 cosθ i - p2A2 sinθ j + Rx i + Ry j + Rz k

�ص(F #ع�د�� -<= آ�!� ا�*/,ك و

- ρv12A1 i + ρv2

2A2 cos θ i + ρv22A2 sin θ j

= -ρ g k + p1A1 i - p2A2 cosθ i - p2A2 sinθ j + Rx i +Ry j + Rz k

z , y, x ��/,آ� @0 ا�D�8ه�ت #;دار��5ع0 ا��ع�د�� ا��*D_� أ�'p P'ث #ع�د8ت

Rx = m.

(v2 cos θ – v1) + p2A2 cosθ - p1A1

Ry = m.

v2 sinθ + p2A2 sinθ

Rz = ρgV

Fz , Fy , Fx و���,#\ �;�ى ا���� ��� ا%"(�ب @0 ا�D�8ه�ت ا�{'ث ب

Fx = m.

(v1 - v2 cos θ) + p1A1 - p2A2 cosθ ……………………………….(2.13a)

Fy = -m.

v2 sinθ - p2A2 sinθ……………………….………………..(2.13b)

Fz = - ρgV………………………………….…………………….(2.13c)

Page 27: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

23

�=�ل

, �*, و 2 ��� آ�ع &��. ا�\او�D- �5ه ا�داz, y, x 0�Vأ-�S ا�;�ى @0 ا�D�8ه�ت &

عه ;#100mm@�}�5ن ز5~ آ,�� �D!*" 850*هkg/m3 عدل�� 30 l/s� أن ا��3ط إذا .�

0��Vا�د �*(, أن أ . 0.19MPa وا��3ط @0 ا��; ا�],و0.20MPa 0I@0 ا��;

� ا���*�ى� . x-y #/�ر ا���ع 5

� ا8@*,ا�4ت @0 ه1ا ا��{�ل ا@*,ا�4ت ا��ع�د8ت ��)2.13(

A1 = A2 = 4π (0.1)2 = 7.85E-3 m2

.

m = ρ.

V = (850)30E-3 = 25.5kg/s

v1 = v2 = .

V / A = 30E-3 / 7.85 E-3 = 3.82 m/s

P1_� 90° ا�/��� ���ويθا�\او�5 و

cos θ = 0 , sin θ = 1

���1 �ع0 ا��ع�د8ت و)2.13(

Fx = 1668N, Fy = - 1590N, Fz = - 17N.

Page 28: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

24

�س��8

2.1 P,& Eص" ـ,P أ #�ص� ��� ا�*�ا�0 ��"(�ب R1أ"(�ب دا�,ي ا��;& Eص�, "ص

R2 . 5ـ� ) 1(��ز5ـ $ـ,�� ا�ــ�,�5ن @ـ0 ا%"(ــ�ب,-ــ�r S 5ـ,�(ط ����ـ��@� "ــصE ا�;

ا�ع'&�

v = b

2

1

1R

r

K!-b ~��p . S�-أ:

�/0�D #عدل ا��,�5ن ا) أ(

) 1(ا��,�� ا�;ص�ى @0 ا%"(�ب ) ب(

) .2(#*�$ط ا��,�� @0 ا%"(�ب ) ج(

[½πbR12 , b, ½b(R1/R2)2 ]

��,�5ن 8 ا"y 0T��3 و x @0 ا�D�8ه!: v و u(�ت ا��,�� ,آع(, �: 5# 2.2

����ع�د�*!::

u = b( x2 + xy –y2)

v = b( -2xy – 2yz + 2z2)

K!-b ~��p .�;/*! P�D�8ا��*�� ا$*]�ص #,آ(� ا��,�� @0 ا =>- z ن�� ���� ،

[b(z2-yz)] .#/ص�� ا��,�� ��د ";� ا%ص� ���وي ص<,

5ع(ـ, ، u = u ( x, t)-!ـu K $,�� ا�*!�ر @!ـه ا�(عد$,�5ن [!, ر�!S أ-�دي 2.3

����ع�د�� ρ@!ه �: ا��{�@�

ρ = ρ0 ( 2 – cos ωt )

K!-ρ0 و ω~� . �pا

u(o,t) = U إذا آ�"~ u = u ( x,t) -دد ا�ع'&�

[t

txU

ω

ωω

cos2

sin

−− ]

Page 29: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

25

أ"(�ب �5*]دم ��;� ) F4�5)2.9 ا���� 2.4

ا�ـ�3ط ا�;!�$ـ0 ��ـد . 917kg/m3$��� آ{�@*ه

2(��ـد ا��;ـ و kPa 1.8) 1(ا��;ـ ( � 4ـ�

�5�I . ـ و 0.012m2) 1 (ا�ع,4ـ0 #ـ��-� ا��;

0.01m2) 2( ا��;

و#عـدل ) 2(و ) 1(أ-�S ا��,�� ��د ا��;عـ!:

ــ�ك و ــ�,�5ن ا�/�DــD*# 0ــ�ه' ا8-*� ــد ا� ا�<�ا&

.ا%V,ى

[7.32m/s, 8.78m/s, 88 l/s]

ــ��� 2.5 ــF ا�ـ ــ���� ) 2.10(4�5ـ ــ�*�دع �ـ #ـ

P, ا��ـ\ج #*�Dه'. D5 50mm,ي إ@,ا[ه �],�Tم &

.ا�/�DـS�- 0 #عـدل ا�ـ�,�5ن أ[!,P #: ا�<�ا&د و

�ــ!: إ#��"!ــ� ز5ــ�دة #عــدل ا�ــ�,�5ن �\5ــ�دة ا��ــ��@�

.(2—1)ا�,أ$!�

[17 l/s]

0 آ{�@*ه ا��ـ�(!� 2.6>" Å*���عـدل ��0.86*]دم 3� �[3#¶ # 1.5 l/s . ,ـا�;

ــ�ب ــصع!دي �¼"( ــ��@�20mm 0ا� ــ�3ط ا�<,ا[ــ0 صــع!د . 15mm وا�;ــ, ا� $ــ�~ ا�

أ-��7m . S@� ا��3]� ��5وي و$�~ ا��3ط ا�;!�1.35m$ 0$ا��3]�

0 ) ب(ا���~ ا����Å #: ا��3]� ) أ(>� .ا�;درة ا���*;�� #: ا��3]� ����*Å ا�

[10.9m, 137W]

)2.9(ا'8#9

)2.10(ا'8#9

Page 30: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

26

2.7 �� ��Vا�;درة ا�دا S�-أ�>� .#*�Dه' ا�<�ا&د) 2.11( @0 ا���� � ا��(!�T ع

[22.3kW]

) 2.12(4�5ـــF ا�ـــ��� 2.8

���*(�ر أن .#;د#� �T,Vم إT<�ء

ا�ـــــ��~ ا���ـــــ0 ا�;!�$ـــــ0

100mا��ــــــ�*]دم 5ــــــ��وي

ــ�ة ــ�P ا�;ـ ــدار وا�Dـ ــ�S #;ـ أ-ـ

ا�����D �: ا���<ـK ��ـ� أ5ـدي

.ر�I ا`T<�ء

[1.1kN]

2.9 Pء��#��-� ا��; ا�د0��V . إ�� ا��D °180 �5,ي #�ء �(, آ�ع ص�@0 إ"/

0.0025m20 وIا�],و ا��; ا�د0��V ا��,�� @0.0005m2 . 0#��-� ا��;

30m/s . S�-أ �!� -دد ا�;�ة ا�'ز#� �*{(!~ ا���ع و #;دار#*�Dه' ا�<�ا&د وأp, ا��Dذ

.ا��Dه_�

[40.5kN, 0]

ا'8#9 )2.11(

2.11ا'8#9

#�ء

)2.12(ا'8#9

K>�#

�T,Vم

Page 31: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

27

ا' U"�8 ا'?��ي وا'����1 3

أ�� ا' U"�8 ا'?��ي 3.1

�/�!� ا������ ا�_�د$!� ��4 ا%"��ذج ا�,04�5 ا��(�0 ��� ا��ع�د8ت 5(دأ ��دة

#: p. ا��ع0 �/� ه1ا و. ا�ع'&�ت ا�{�"��5و/�آ�� وا�*0 ���� &�ا"!: ا�/<= ا�

.ا%"��ذج وا�/ص�ل ��� @_. آ�#� ��/��� ا�_�د$!� ا��درو$�

��ط ا��ا@0 &�ع آ(!, #: ا������ ا�_�د$!� 8 ��5: ���غ ا�<_. ه��كن أإ8 ��� �دوا�_�

���*��0 إI,اء ��Dرب # و. ا�]��صا��B,ي S�,ق ا��B,5�5درك ع��!� `دراك #� �. 5*��� .

.-,آ� ا��,�5ن ا����, @0 #!��"!�� ا���ا� 5*�{� ذ�� @0 آ� #� 5*ع� �;�ى ا`��&� و

�� إذن ���� �I"(� ر�!�!� #: ,D*د$0ا�*/�!�ا��"_دف #: ه1ا ا�(�ب إ�� و. ا�_

��,D*ا� .B� ا�عدد ا%د"� #: ��� وIه ا�*/د5د أ$� ���!�. ا�*(ص!, ��%$� ا�*0 �

.ا��*�!,ات ا�*0 5�(�0 إI,اء ا�*�Dرب @!_�

ا���.� ا'�� �X ه� #���� $�*]1 #{�8 �ص�V :# F4�" �5,5'�ه ا%$� ا��1آ�رة و و

�ن ا'������ |�� .�ةآ?�

3.1ا'8#9

Page 32: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

28

��,��ر�!S ��� آ,ة #�*;,ة @0 �!�ر Dن &�ة ا`��&� أ: هP1 ا�/��� � #ع��م ,p�*�

, ا��,ة وρآ{�@*ه و µ �\و�I ا���� وUا�*!�ر &d، ��1� و

f (D,d,U,ρ, µ ) = 0

وا��*�!,ات ا%ر� ا%V,ى #ع��!� @�ن ا%$��ب ��D/ص�ل ��� ا�ع'&� �!: ا`��&�

�� �*/د5د ��!, ا��(�s, ه� �{(!~ &!. �p'p #: ا�ع��ص, ا%ر�ع� و,D� اء,IأD ,ص� # ا�ع

��� �ع'&�. ا�,ا,D*ار ا�,�� .pD �ى آ,V%ا �p'}ص, ا���"'-= صع��� و. ��� -دة # ا�ع

0�É� 0)5,D*0 ا�ع�� ا�@ ,s�)ه1ا ا%$��ب ا��:

5/*�ج �D_د آ(!, و و&~ �5�T إذا آ{,ت �دد ا�ع��ص, (1)

(2) �_� صع��� أو ا$*/��� �{(!~ �ع� ا�ع��ص, و�,ك ���ص, أV,ى #*ع�;�

�*�!!, ا���� 5*. ا�*�!!, @0 ا��\و�I ��دة- #{'- ا��{�ل ا��,وح @0.#*�!,ة .

!إ8 أن ��!!, ا���� �5!, @0 ا��{�@� أ35�

وا�(د�5 �_1ا ا%$��ب ا��(�s, @0 ا�*S5,D ه� إI,اء ا�*�Dرب �!: #;�د5, 8�عد�5 #��"�

. "<�_�#: هP1 ا�ع��ص, �د8 #: إI,اءه� ��� ا�ع��ص,

ا��;دار ا�'�عدي ��ن "3,ب أو ";�. ا�ع��ص, ��� �ع3_� ا�(ع� �/!K 5ص(F "/ص� ���

��!, أ�ع�د Å��� ��5وي - ��� $(!� ا��{�ل - �دد ر5���\. ا��;دار ا�ρν

µ

d�ع0 و.

#��"��ه ا��-دات ( )( )( )

( )

kg m ms m

kg m s

− −

− −

3 1

1 1���1 و-د�ه F)إذن #;دار ، 1 و�ص �_@

8�عدي.

�� إذن �/��5 ا�ع��ص, ا�/�آ�� ���,�5ن إ�� #;�د5, 8 �عد�5؟ "*( @0 ذ�� #� ���5 E!آ

��_�م�� �5,B�� .5ع,ف

Page 33: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

29

� !#�%��م �7* )��7* Π (

f(p1, p2, …., pn) = 0ح�� ، p1, p2, …., pn: �� ا'���ص�إذا $�"� �س+'�"

��� X� �"� ا'���ص�و$ m Z�'د ا��� ا'�س Z"� !��ا >�ن ��!H'ا � #5ن �د

( n - m)"

�د �(! ا��B,�5 ��� #{�ل ا`��&� ��� ا��,ة @�ن�: n = 5 و m = 3 . 0ة ه,!V%وا

.D" 8د @0 ا�ع��ص, ا�]��� �عدا �V, ، و(L,M,T)ا��&~ ا��*�� و ا��ل و

���1 �دد ا��;�د5, ا�'�عد�5 ا���*;�� �_P1 ا�/��� F)52ص = n - m . :��5 أي ا"ه

K!/� :!�pص�ر ا��*�!,ات إ�� ا*Vا f(Π1,Π2) = 0 K!-و Π1 و Π2 �5عد� #;�د8 ,5

��ص, ا������ ا�]���� :# �"��# .

�� �/د5د ا��;�د5, ا�'�عد�5 ؟���5 E!آ

��*�@0 ا�ع��ص, ا%$�$!� ا��]*�رة . n #: ا�ع��ص,� أ$�$!ا ��ص, m "(دأ ��V*!�ر (1)

:ا��,وط ا�*��!�

�� ا�ع�ص, ا%ول ) أ(}*�5p1.

.���� أ�ع�د ا�ع��ص, ا��]*�رة #D*�ع� آ� ا%�ع�د ا%$�$!� ���,�5ن) ب(

#: ا�ع��ص, ا%$�$!� ا��]*�رة أ-د #��3<�ت ��ص, أ$�$0 8 ��5ن أي) ج(

,V�.

���ع�دة إ�� #{�ل ا`��&� ��� ا��,ة ��5: أن "]*�ر d, U, ρ�$ص, أ�� .$!� آع

. #: ا�ع��ص, ا%V,ىعد�5 �,�ط ا�ع��ص, ا%$�$!� ��� #ع�د�� �(n -m) ���ن (2)

:@0 #{�ل ا`��&� ��� ا��,ة

Π1 = da1 Ua2 ρa3 D و Π2 = da4 Un5 ρn6 µ

5ع�0 ا%و��ن ا%�ع�د @0 ا��ع�د����از

M L T LL

T

M

L

ML

T

a

a a

0 0 0 1

2

3

3

2

1

=

M L T M L Ta a a a a0 0 0 3 1 1 2 3 3 1 2 2= + + − + − −

a1 + a2 -3a3 + 1 = 0

Page 34: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

30

a3 +1 = 0

- a2 - 2 = 0

a1 = -2, a2 = -2, a3 = -1

Π1 = d-2 U-2 ρ-1 D = D

d Uρ 2 2

و ���ع�د�� ا�{�"!�

Π2 = da4 Un5 ρn6 µ

M L T LL

T

M

L

M

LT

a

a a

0 0 0 4

5

3

6 1

=

a4 = -1, a5 = -1, a6 = -1

Π2 = µ

ρUD

*� �!��_���و �/دد ا�ع'&� ا�,D �_!@ 5,صد

,!��Π1 # Π2 :

F(Π1,Π2) = 0

93.2#8 ا'

Page 35: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

31

3.2 ���!H'ا � >& ��#�*�#� ا'�5ا�� ا'���� !�� ا'��Zد

(1) \��� Re �دد ر5

Re = νµ

ρ LL vv=

. #;�ر"� ���*�p!,ات ا%V,ى�_�# ا' +�S� ا'"�W& ��5ن �� -!{آ�;دار #_.�دد ر5���\ 5(,ز

M #�خ �دد(2)

M = c

v

K!- c ـ, ا�ـ�,�5ن أ @ـ0 درا$ـ� ا�ـ�,�5ن إذا �_�ـ #و�5ـ�ن �ـدد #ـ�خ . $,�� ا�ـص�ت)*�

��E�%F*ا.

Frود �دد @,(3)

gLFr

v=

K!-g ـ� ���رع!� ذات &!�ـ� ا'�Xذ!�ـ� -!ـK ��ـ�ن &ـ�ة �_�ـ #�5ـ�ن �ـدد @ـ,ود و. ا��Dذ

.;�ى ا%V,ى ���#;درة #;�ر"�

Page 36: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

32

ا'����1 3.3

���D. ا�1ي 5,اد ا$*]دا#ه @0 أ*�5ذج�ع�0 ا����I1 إI,اء ��Dرب #ع��!� ���

���I1 #: صع��� أو ا$*/��� إI,اء ا�*�Dرب ��� ا��D.. ا��ا& �� �I�/ا� )� و. ا%ص��

��إ�داد ���� ا�صع��� ا��1آ�رة ��(, -D. ا��D. #{' أو ص�,P @0 أ-�ال أV,ى أو صع�

`I,اء ا�*�Dرب #ع��!��*�S ا����I1 إذن إ�داد أ-�ال . ا��'��� ا�*��!�!�ا%-�ال

��� ا%"��ذج p. ا�*�_: ��%-�ال ا�<ع�!� ��/,آ� ��د ا$*]دام ا��D. ا���#� @0

�!�*ه . S5,D*ا���#� @0 #,-�� ا� .�Dاز ا'?و���5 ه1ا ا��Y'ا�&ا�.

�ه ا�<!\0��5 �!: ا%"��ذج وع,ف�*�S ا����I1 ا$*!<�ء #� 5��*���. دا�0ا�,از ا�(

:و5ع�0 ه1ا @0 #!��"!�� ا���ا�

ا�,از ا�(دا�0 و�Iد ����ه ه�د0$ �!: ا%"��ذج و ) أ(

إ�� ا�/,آ0و 5¡دي ا�*���ه . ا�,از ا�(دا�0 �!: ا%"��ذج و-,آ0و�Iد ����ه ) ب(

.�ى ا�'�عد�5 @0 ا���D!:���وي ا�;

�=�ل

, ا�,از ا�(دا�0أ"��ذج آ,ة& Eص" P,,اد ا$*]دام ا�,از ا�(دا�0 @0 5. ��5وي &

.ا��ع��5,اد ا$*]دام ا���ء @0 و15m/sا�_�اء ��د $,�� "�(!� ���وي

آ. SD5 أن ���ن $,�� ا���ء 8$*!<�ء ا�*���ه ا�/,آ0؟ ) أ(

�0؟ آ. ���ن &!�*_� @0 -��� ا�,از ا�(دا5Nإذا آ�"~ &�ة ا`��&� @0 ا��ع�� ) ب(

ρa = 1.15 kg/m3 µa = 1.6E-5 Pa.s

ρw = 1E3 kg/m3 µw = 8E-4 Pa.s

ا��ع�د�� ا�'�عد�5 ا�]�ص� �_P1 ا�/��� ) أ(

)v

(v

22 µ

ρ

ρ

df

d

D=

0� ا$*!<�ء ا�*���ه ا�/,آ0 5ع

Page 37: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

33

mp

dd

µ

ρ

µ

ρ vv=

76.1

48)2(15vv

−==

E

E

d

d

m

p

p

m

m

p

pmρ

ρ

µ

µ= 1.7m/s

�(دا��D5` 0د ا`��&� ��� ا�,از ا) ب(

pmd

D

d

D2222

vv ρρ=

2

222

27.1

15

31

15.15

v

v

=

=

Ed

dDD

m

p

m

p

m

p

mpρ

ρ = 1.8N

Page 38: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

34

�س��8

,ه�ا�<�8ذ آ,ة #: 3.1& d �_وآ{�@� #�د� ρs ~0 #�� �\ج آ{�@*ه و4ع@ ρ

ا�� أ$<� ا��,��S;�g ~*)p ا�*��رع ا%و�0 �<ع� ا��Dذ�!� . µ ا���;�و�\وI*ه

�د �v .عد�5 ا�/�آ�� ���,�5ن،$*]�ص �ع(!,ا ا� #�*]د#� ر4�5!� 5,�ط ا��;�د5, ا�'

.ا�*/�!� ا�(عدي

0,v

,v

=

ρ

ρ

µ

ρ s

gd

df

��,�5ن 8إ"0T��3 @0 أ"(�ب #�*;!. 5ع*�د ��� آ{�@ـ� p∆ ا�<;د @0 ا��3ط 3.2

ـ, ا%"(ـ�ب v ، #*�$ـط ا�ـ�,�� ρا��ـ�� & ، d %ـ�ل اT ، ـ�ب)"L، ـ� ا�/,آ!ـ�Iا��\و µ

. #�*]د#� ا�*/�!� ا�(عديp∆ ا$*]�ص �ع(!,ا �: kوار�<�ع ا�]��"�

3.3 P,��-= أن ا�ـ�,�5ن �5ـ�ر ��ـد#� �,�<ـ . �5*]دم ��;� ا���ء 15mmأ"(�ب &

آ. ���ن ا��,�� ا�ـص<��/!� ا�;ـص�ى �ـ�,�5ن هـ�اء @ـ0 أ"(ـ�ب . 0.15m/sا��,�� إ��

P,&50mmب ا��ـ�ء ذي و�)"% ��p��# �"��V . ,أ�*(ـνa = 1.7E-5 m2/s و νw = 1E –

6 m2/s

[0.77 m/s]

3.4 V ص�, إ��# ���� -�D_ـ� أV*(ـ, @ـ0 "<ـ هـ�ا�0 �ـ�,�5ن أ"��ذج �;�ع $<!

��,�� �ـ��وي و�1.85E-5Pa.s\وI*ه و25kg/m3آ{�@*ه 35m/s. ـ�~ &ـ�ة ا`��&ـ�!&

ا`��&� ��� ا��<!�� ا���#�� @0 #ـ�ء ا�(/ـ, ا��,�� و &در . ���65kN ا%"��ذج @��"~

1025��{�@� ���وي kg/m3و �I�1.65\وE-3Pa.s . [15.2 m/s , 12.6MN]

3.5 ��,���450!, ��T,ة @�ق $F ا�(/, m/s . ـ, �*/;ـ!��� أي $,�� �

�ه ا�;�ى اT��3"8!� ��� ار�<�ع���:

؟ 1600m) ب (800m) أ(

: �I ا�/,ارة # ا8ر�<�ع ��� ا��/� �*�!, در

(m)ا8ر�<�ع 0 800 1600

(K)در�I ا�/,ارة 288 236 217

.= Tconst. c : �*�!, $,�� ا�ص�ت # در�I ا�/,ارة ��� ا��/� و

Page 39: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

35

4 L�!�*kا &< &E�%F*إH'ن ا� ا'س�

4.1 L�!�*kن >& ا� أS� اJح #�ك �"n ا'س�

�د ا$*]'� �&� ��Dه��� ا%p, ا��\0I ���,�5ن ���*(�ر أن ا`I_�د (2.10)ص #ع�د�� ا�

��� ا�,[. #: و�Iد أ-�ال . ص<,ا�ا�;ص0 @0 ا��ع�د�� ا%$�$!� ���&� ��5وي

� �!;!)� S!�]�ل ه1ا ا�*(�!ط إ8 أن #عB. ا�*(!;�ت ا�_�د$!� ���,�5ن @0 ا%"�

�!I\ر ا���p·�� ا�*0 �]ص (2.10)��1 "/*�ج إ�� �عد�5 ا��ع�د�� و�. ��*د�0 ا8ه*��م

0I\0 �*��� ا��,�5ن ا��I\�'أ-�دى ا�(عد ا� S!�,ل أن " و. ا��,�5ن ا��;��� ��;دم ه

0@ :��5 ���!��!� @0 -��� ا��,�5ن ا����, ,D� ع*�د ��� �'&�ت� ����ا`�4@� ا��

�5,B" ع'&�ت��/*�-��� ا��,�5ن ا�ص<��/0 ا$*]'ص_� .

، وه0 ا�;�ص,ة �: #ع���D ا8-*��ك (2.10)�دء #: ا��ع�د��

−+

−+−=

gg

ppzz

gm

P

2

vv)(

2

1

2

212

12. ρ

��1 ��ص ��� أ"ه إذا أر5د ";� #�� #: ا���4 ���� ر@ (2) إ�� ا���0_@(1) 4 �;��

إ�� v1 ا��,�� #: @0ز�5دة و p2 إ�� p1 ا��3ط #: @0ز�5دة #*, و z2-z1 ��5وي

v2@ ��/*�ج إ�� $�~ 4¶ 5ع�دل "�"P

m g.

&ص�ر ا��ع�د�� و�دم ��ا@;_� 5(دو و . #*,ا

# ا��ا& إذا "B,"� @0 -��� $,�5ن @0 أ"(�ب �5�T وأ@;0 8 "/*�ج @!ه �,@ و8 ز�5دة

! (P=0)*�!, ا��ع�د�� أ�'P إ�� �دم ا�/��I إ�� #3]�@@0 ا��3ط أو ا��,��

. أ�'P إ�� ا�/��I إ�� إ�4@� -د را� إ�� ا��ع�د�� ��;���� ا%p, ا8-*��آ50دل ا�*/�!�

�!��T و%ن و-دات آ� ا�/دود(m) @ ���5و �!��T ن ا�/د ا���3ف ��5ن أ35� ذا و-دة�

. hf$�~ ا8-*��ك

و���1 "ص/F آ*��� ا��ع�د�� إ�� ا�ص�رة

Page 40: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

36

fhgg

ppzz

gm

P+

−+

−+−=

2

vv)(

2

1

2

212

12. ρ.........................(4.1)

:!� ��� (4.1) و#*�!,ات ا��,�5ن ا%V,ى "( ا��ع�د�� ���hfص�ل إ�� ا�ع'&�

�~ ا��; و�p 4ع!: $,�5ن @0 أ"(�ب�# :!�@*ص(F . 8 �*]��_�� #3]�(2) و (1)أ@;0 ا��ع�د��

hp p

g

p

gf

f=

−=2 1

ρ ρ

∆................................................(4.2)

�;ص�ن @0 ا��3ط ه�� "��Å آ�!� �: ا8-*��ك ا�.

:!� �����!� ا��,D*د ا�ع'&� ا��D5` د!_�*��∆pfص, ا��,�5ن�� "�*]دم ا�*/�!� و�

:"(دأ �*/د5د ا�ع��ص, ا��¡p,ة و - III ا�(�ب –ا�(عدي

∆pf = f1(ρ, v, d, L, µ, k )…………………….…………(1)

K!-k� .�T: ا%"(�ب #*�$ط ار�<�ع ا�]��"� @0

.!& :!)� P�"ا�;���� أدk ,*������ %"�اع ا%"��!S ا%آ{, ا$*]دا#�

k(mm) 5ب?*kدة ا�� k(mm) 5ب?*kدة ا�� �� 0.0015 -د5د #],ص: 0.15�/�# S!� أ"� @�8ذ ��Dري 0.045 -د5د زه,ة 0.253.0 - 0.3 �"�$,V 0.045 وع� -د5د #10.0 - 1.0 s,)# د5د زه,ة #�<�~ 0.12 . @�8ذ-

، وه0 ا��*�� m = 3 و�دد ا%�ع�د ا%$�$!� n = 7 �دل إ�� �دد ا�ع��ص, (1)ا�ع'&�

���1 ���ن �دد ا��;�د5, ا�'�عد�5 ا���*;�� ا�/�آ�� ���,�5ن أر�ع�. وا��ل وا��&~ .

:ه0 (3.2) - ا������ -"*!�D ا�*/�!� ا�(عدي �_P1 ا�/���

),(Re,v

22 d

k

d

Lf

p f=

ρ

�� إ�� أن ,D*دل ا��2

fp∆ # �!V ,!�*�

d

L

Page 41: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

37

)(Re,v

32 d

kf

d

Lp f=

ρ

2و 5;*�3 ا�ع,ف ا�*(�ر #;�م ا��;دار ��5ر ا��ع�د��

21 vρ

)(Re,v

2

21 d

kf

d

Lp f=

ρ

(4.2)و ���,�Iع إ�� ا��ع�د��

)(Re,2

v2

d

kf

d

L

gh f =

gd

Lfh f

2

v2

= .......................……………..............(4.3)

��ع�د�� P1دار�&�ع,ف ه.

�!�أ k/d و Re دا�� ل f#ع�#� ا8-*��ك ,D� ~0 $*]�ص@ ~�!� .وIه #]*�<�أ و

). 4.3(��ع�د�� @0 ا�S"�D ا�5%: � 54�(�0 اP�)*"8 ا�� أن �ع� ا��,اI �3 ا��ع�#�

. @0 ��� ا��,اI �ع�دل ر� &!�*_� ه��5f*( ذ�� أن &!��

�ه &���� �دد�5 �ع0 #ع�#� ا8-*��ك ) ج(ا���/ f ��8د� Reو k/d . :��5 آ��

: fا$*]دام ا�ع'&�ت ا�,4�5!� ا·�!� �/��ب &!��

'"س��ن ا'-��U& ) أ(

f = 64

Re.......................................................(4.4)

�� وهP1 ا��ع�د�� #�*]�ص� "B,5� و#,D*��� �*)}. '"س��ن ا'���� ) ب(

1

0863 7

2 51

f f

kd= − +

ln

.

.

Re.........................................(4.5)

�s� f �: أن و�B-'# :��5 ا�*ع;!د ا��. وا�–آ5'?�وك �ع'&� (4.5)�ع,ف ا�ع'&�

. #: �I"(0 ا�ع'&�B��_, @0 آ

Page 42: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

38

���د'� �5ا�& '"س��ن ا'���� ) ج(

fk

d

=

+

1325

0 27 5 740 9

2

.

ln. .

Re.

.....................................(4.6)

وا5~ و"�(� ا�]� @!_� �D*� 8وز - #ع�د�� $�ا#0 أ$_� ا$*]دا#� #: #ع�د�� آ��(,وك

ا�/دود @Re 0 و k/d إذا آ�"~ &!. 2%

10-6 ≤ k/d ≤ 10-2

5x103 ≤ Re ≤ 108

�=�ل P,�ه $,�5ن #�ء ��عدل 250mmأ"(�ب #: ا�<�8ذ ا�*�Dري & 0.1m3/sارة و,- �Iدر�

35°C . .100m&در ا�<;د @0 ا���~ وا��;ص�ن @0 ا��3ط ����@� أ@;!� ) أ( ؟51m\5د ا�<;د ا8-*��آ0 �: 8أآ. ��5ن #عدل ا��,�5ن ا%&ص� اذا اs*,ط ) ب( (4.3)#ع�د�� دار$0 )أ(

gd

Lfh f

2

v2

=

smA

q/04.2

25.0

1.0v

2

4

===π

:�V ����& :#35°Cاص ا���ء ��د ν = 0.727E-6 m2/s ρ = 994.1 kg/m3 Re = vd/ν = 7E5

و ه1ا 5ع�0 أن ا��,�5ن #��,k/d = 0.045E-3 / 0.25 = 0.00018

(4.6)�د�� $�ا0# ��$*]دام #ع

f = 0.015

hf = 0 015100

0 25

2 04

2 9 81

2

..

.

( . )= 1.3m

pf∆ =ا��;ص�ن @� ا��3ط

∆pf = ρghf = 994.1(9.81)1.3 = 12.3kPa

Page 43: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

39

: @�ن #ع�د�� دار$0 �*]1 ا�ص�رة51m\5د ا�<;د ا8-*��آ0 �: 8أاذا اs*,ط )ب(

22

39.20)81.9(2

v

25.0

1000.1 fvf ==

fv2

0049= . ……………………………….………………………(1)

و ��5: ا�(دء . @�ن ا��ع�د�� أ�'P �/*�ج %$��ب ��,ريv ��� ا��,�� f"�(� �8*��د

��@*,اض $,�5ن #<,ط ا�*��ر �8ع*�د f ��,ا�� .p :# و ،\���و ��5: . @!ه ��� �دد ر5

�عدP1_� �5 ا�/��� ��ع,@� ا�]��"� ا�'f#: &�ا�. ا��,�5ن ا8-*��آ0 ا�/ص�ل ���

.@;ط

�د ه1ا ا8@*,اض ا8�*دا�0 �f = 0.0134

v = 1.91 m/s"/ص� ��� ) 1(��$*]دام ا��ع�د��

f ��5: ا·ن ا�د�Vل ��*;,S5 ا�{�"0 �/��ب �دد ر5���\ p. ا��ع�#� و

Re = 6.6E5 , f = 0. 015

v = 1.81 m/s"/ص� ��� ) 1(و ��$*]دام ا��ع�د��

�\�*!: ��,5*!:@0 ا�*;,S5 ا�{��K "/ص� ����� S5,;*د ا��� �D!*�و 5ع�0 . "<� ا�

�5ن ا%&ص� ا����: ه� ,و ���*��0 #عدل ا��. m/s 1.81ه1ا أن ا��,�� ا�ص/!/� ه0

0.089 m3/s .

�=�ل 0�Vا�دا P,5�;� ا���ء ��د در200m �I و��Tه 78mmأ"(�ب #: ا�<�8ذ ا��],ص: &

��عدل 25ºCا�/,ارة 7 l/s5,�< ا���4 ا�{�"0 (2) إ�� ا���4 (1)���4 #: ا K!-

�ا��3ط و) @,ا[1.0m)0 ��5وي (1)$�~ ا��3ط ��د ا���2m . 4 �;دار�: ا%ول

.�I(2)ي ��د ا���4

.ا����ب -��ب ا�;درة ا�]�ر�I #: ا��3]�

�25�د ºC ν = 0.897E-6 m2/s, ρ = 997.1kg/m3

�&� 0 �ع(4.1)#ع�د�� ا�

Page 44: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

40

P =

+

−+

−+− fh

gg

ppzzgm

2

vv)(

2

1

2

212

12

.

ρ

5v1 = v2ع�� A2 و A1 ا����-�ت ي��و�

.

m = ρq = (997.1)(7E-3) = 6.98 kg/s

v = q/A = 7E-3 / 4.78E-3 = 1.46 m/s

Re = vd/ν = 1.27E5

k/d = 0.15 / 78 = 0.0019

f = 0.025

h fL

d

v

gf =

2

2= 6.88m

P = 6.98(9.81)[2.0 +1.0 + 6.88] = 0.68kW

Page 45: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

41

4.2 L�!�*k�5��� >& ا�5ا.� ا'ا'

"����<�ا&د @0 ا��&� ا�����s �: ا8"/��ءات وا�ع�ا� @0 #��ر ا���� ع ����� . 0 ه

���4@� $�~ ��<;د ا���4ع0 (4.1)"/� #� @ع��� ��<;د ا8-*��آ0 "عدل ه�� ا��ع�د�� hl

lf hhzgg

p

gm

Pz

gg

p++++=+++ 2

2

22

.1

2

11

2

v

2

v

ρρ..........................(4.7)

���ع'&� ا�ع�#��hlدل ا�*�Dرب ��� أن ا�<;د ا���4ع0 P,5��5: �;د :

gCh ll

2

v2

= ……………………………..………….(4.8)

�� �C/دد ,D*��� �)ع� ا�ع�ا� 4.1( .!& F4�5 C(ا����. ��� "�ع #: أ"�اع ا�ع�ا�

.ا�����@�

4.1ا'8#9

ص��م

ذو آ�ة

ص��م ذو ����ا

)#<*�ح(

�I(� 1800آ�ع °90آ�ع

#],ج &��. ا�\او�5

"�s, &��. #],ج "�@1 ا�\او�5

Page 46: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

42

�=�ل . 10m و��Tه 150mm #: ا�<�8ذ ا�*�Dري &,A-B P أد"�P ا%"(�ب(4.2)��� @0 ا�

وا��\و�I ا��!����!�l/s 50#عدل ا��,�5ن . ��م ذو ��ا�� #<*�ح ���#���م ا���*]دم صا�ص

8E-7m2/s

: ا����ب

ا�<;د ا���0 @0 ا���~ ) أ (

ار�<�ع ا���ء @�ق ا�]ـط ا��,آـ\ي ) ب(

.�¼"(�ب

��� F (1)]�ذ ا��;$ ���

(2)ا����� @0 ا���*�دع وا��;

�د #],ج ا%"(�ب �

p1 = p2 = pa

v1 = 0

�&�(4.7)���,�Iع ��ع�د�� ا�

P = 0 , z1 – z2 = ∆z

∆z = g2

v2

2 + hf + hl…………………………………..……..(1)

hf + hl =ا�<;د ا���0 @0 ا���~

gd

Lfh f

2

v2

=

v = smA

q/83.2

0177.0

05.0==

Re = vd/ν = 0.53E6

)$,�5ن #��,(

k/d = 0.045 / 150 = 0.0003

f = 0.016

4.2ا'8#9

Page 47: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

43

hf = )81.9(2

83.2

15.0

10016.0

2

= 0.44m

hl = ( )g

C2

v2

∑ = )81.9(2

83.2]2.05.0[

2

+ = 0.29m

hf + hl= ا�<;د ا���0 @0 ا���~ )أ (

= 0.44 + 0.29 = 0.73m

(1) ، ا��ع�د�� z∆ )ب(

∆z = )81.9(2

83.22

+ 0.73 = 0.41 + 0.73 = 1.14m

Page 48: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

44

4.3 �� اL�!�*k ا'� � �=�ل

��B#� أ"��!F4�5(4.3) S ا���� #

5*<,ع إ�� ا%"(��!: 0ا%"(�ب . #*<,��

L1 و أ�Tا�_�� d2 و d1 أ&�ره�� 2 و 1

. k2 و k1@!_�� وار�<��0 ا�]��"� L2و

� ا�*<,ع ه0 ;"A و";�ط ا�],وج B و

C . :!*;� - �IيC و Bا��3ط ��د ا�

ا��,اد @0 ه1ا . ;!�$!�#أي ص<,

ا��{�ل ا�*�4!/0 #ع,@� #عد�0

إذا آ�ن 2 و 1ا��,�5ن @0 ا�<,�!:

��5وي A#عدل ا��,�5ن ��د ا���4

qA.

:!� �&� B و A ا���4ع!:#ع�د�� ا�

g

ph

ggg

p Bf

A

ρρ++=+ 1

2

1

2

0

2

v

2

v…….…………(1)

:!� A , C ا���4ع!:و

g

ph

ggg

p C

fA

ρρ++=+ 2

2

2

2

0

2

v

2

v………….…………(2)

(1) #: (2)�]ص.

gghh ff

2

v

2

v2

1

2

221 −=− ……………………………….(3)

0و ��$*]دام �'&� دار$

gggd

Lf

gd

Lf

2

v

2

v

2

v

2

v2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1 −=−

4.3ا'8#9

Page 49: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

45

21

1

1

v

v

2

2

2

1

1

1

1

2

+

+

=

d

Lf

d

Lf

………………………………(4)

:-<= ا��*��

qA = qB + qC = )vv(4

2

2

21

2

1 dd +π

2

2

21

2

1 vv dd + = π

4qA ………………………………….(5)

و . آ�@!*�ن ��/�) 5(و ) 4( @�ن ا��ع�د�*!: v2 و v1 دوال ���,�*!: f2 و f1%ن ا��*�!,5:

� 5<�3 اI,اء ا�/� ��,رf2�5 و f1%ن !�� . دوال [!, :ع!�ت �دد�5 #

d1 d2 k1 k2 L1 L2 qA ν 0.1m 0.2m 0.04mm 0.04mm 100m 100m 0.1m3 8E-7m2/s

�ع0 (4)ا��ع�د��

v2 = v1 2

1

1500

11000

2

1

+

+

f

f……………………………….(6)

(5)ا��ع�د�� v1 = 12.73 – 4v2…………………………………….(7)

�ع!�ن (7) و (6)ا��ع�د�*�ن

v

f

f

f

f

2

1

2

1

2

12 731000 1

500 1

1 41000 1

500 1

=

+

+

++

+

.

……………………………………..(8)

) Re 8 �ع*�د ه�� ��� f&!�� ( $,�5ن #<,ط ا�*��ر : ا�*;,S5 ا%ول

k1/d1 = 0.0004 , f1 = 0.016

k2/d2 = 0.0002 , f2 = 0.014

Page 50: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

46

�ع!�ن (7) و (8)ا��ع�د�*�ن

v1 = 1.86 m/s , v2 = 2.72 m/s

: ا�*;,S5 ا�{�"0

Re1 = 78

)1.0(86.1v

1

11

−=

E

d

ν= 2.3E5

Re2 = 6.8E5

f1 = 0.018

f2 = 0.015

�ع!�ن (7) و (8)ا��ع�د�*�ن

v1 = 1.83 m/s , v2 = 2.73 m/s

K��}ا� S5,;*ا�:

Re1 = 2.3E5

Re2 = 6.8E5

.!;� �;�� و5ع�� ذ�� . @� ا�*;,S5 ا�{�"Re0وه0 #

v1 = 1.83 m/s , v2 = 2.73 m/s

��1� و

qB = 0.014 m3/s, qC = 0.086 m3/s .

S�� ؟Aأ-�S ا���~ ا����ب ��د ا���4 : $¡ال ��

Page 51: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

47

�س��8

4.1 S!�5�;ـ� "<ـ� �V#ـ� 250mm ا�ـدا0�V #ـ: ا�/د5ـد ا�\هـ,ة &ـ,P أ@;V 0ط أ"�

50��عدل C°30 در�I -,ار�ه l/s . ,*#ا8-*�ـ�ك ���!�ـ� S)ـ��&ـدر ا�<;ـد @ـ0 ا�ـ��~

.ا��ا-د

�30°�د در�I ا�/,ارة (C ط>� )7.5E-6m2/s و �\وI*ه 1V 880kg/m3 آ{�@� ا�

[5.1m]

5�;ـ� "<ـ� �V#ـ� ��T100mـه و50mm],ص: &ـ,P #: ا�/د5د ا�� أ@;0 أ"(�ب 4.2

�20°�د در�I ا�/,ارة C عدل�� 1.0 l/s.

.وF4 أن ا��,�5ن @0 ا��دى ا�/,ج �عدد ر5���\) أ(

.ن ص<��/!�أ-�S ا�<;د ا8-*��آ0 إذا آ�ن ا��,�5) ب(

.أ-�S ا�<;د ا8-*��آ0 إذا آ�ن ا��,�5ن #��,ا ) ج(

�20°�د در�I ا�/,ارة (C ط>� )9.2E-6m2/s و �\وI*ه 1V 890kg/m3 آ{�@� ا�

[0.6m, 1.3m]

وVــ��"*ه mm 300 �(ــ, أ"(ـ�ب &ـ,C P°530ـ,اد 4ـ¶ آ!,و$ــ!: درIـ� -,ار�ـه 4.3

0.25mm �@���� 1500m عدل�� 0.1m3/s . ��5ـ: ا�*(ـ� �Vـد #ـد�ر ا�ـ�3ط #*ـ��وي �

�ـ� #ـ: ا��ـ3]� . و#],ج ا%"(ـ�ب ���30°�ـد . ( &ـدر ا�;ـدرة ا��C :!ـ1 آ{�@ـ� ا��!,و$ـV

800kg/m3 ه*I2 و�\وE-6m2/s.(

[ 8.2 kW]

4.4 P,!� ا��3ط @ـ0 صـع!د &ـ�ع & . �515mm,ي ا���ء @0 أ"(�ب أ@;0 "��. &

�ــد ا��]ــ,ج #ــ��و5� ��ــ�3ط �ء و#ــ: ا��ــ12m وIــد #��@�ــ� ل و50m#ــ: ا%"(ــ�ب ��Tــه �

���*(�ر ا��\و�I ا��!����!� ���وي. ا��Dي 1E-6m2/s . 0�D/عدل ا��,�5ن ا�# S�-أ .

[ 0.3 l/s]

�<ط ا�]�م�0 ��د�5ص 4.5�� �&���; . هÅ!�D و ص�~ ا�D\ء ا�,�!�� #: ا�]ط ا�

�!: ا . 930m @�ق $F ا�(/, و ص�~ ��� ار�<�ع 400mهÅ!�D ��� ار�<�ع �@����

��@*,اض أن ا��,�5ن "!���"� و . 0.7mا�;, ا�دا��V �¼"(�ب . �;,1400km�)5ا���&ع!:

و #*�$ط ار�<�ع 2E-5m2/s �"��Vو �\وI*ه 860kg/m3 و آ{�@*ه 0.35m3/sأن #عد�ه

: أ-�4.5E-5mSا%"(�ب

Page 52: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

48

$�~ ا�<;د ا8-*��آ� )أ (

ا���~ ا���0 ا����ب )ب(

��&درة ا� )ج(�� .3¶ ا���!� ا��

. �D� :��5ه� أ�<�ا &د ا�{�"��5

[1960m, 2490m, 7.4MW]

و&,P ا���@�0.35m 0 أ"(�ب "�s, &��. ا�\او�5 &ص!, ا��ل &,P ا�صع!دي 4.6

0.7m عدل��. 5.0kPa �4ط ا���ء @0 ا�S"�D ا�صع!دي . 0.3m3/s �5,ي @!ه ا���ء

s�� .-�S ا��3ط @0 ا�S"�D ا���@�0 #�ه أ, وأ-�S ا�<;د @0 ا���~ ��(S ا�

[0.28m, 6.8 kPa]

��B#� 4ـ¶ �ـ�*]دم �,@ـ F4�5(4.4) ا���� 4.7#

P,ــ وVــ��"*ه 100m و��Tــه 50mmز5ــ~ �(ــ, أ"(ــ�ب &

0.1mm عدل�� 5 l/s . ~5\آ{�@� ا�kg/m3 870ـه و*Iو\�

�ـــ� #ـــ: . Pa.s 0.008ا�/,آ!ـــ� ��أ-ـــ�S ا�;ـــدرة ا��

. ا��3]�

Sهــ� أ-ـ��D� ـد��*ــ� ��Iـ� @ـ0 إ ا��ـ�(� ا����5ــ� ��]

[1.36kw, 1.3%] . ا�<�ا&د ا���4ع!�

4.8 :!�,>� S!� :(2) و (1)5ع,ف #� 0�5 �: #��B#� أ"�

d1 =200mm , d2 = 100mm

k1 = k2 = 0.2mm

L1 = L2 =15m

�د ";� ا�*<,عا��عدل ا���0 ���,�5ن � .��م ذو آ,ة #<*�ح آ�!� ص(2)��د #],ج ا%"(�ب

l/s 100 ������ �!���� E-7m2/s 8.5 و���وي ا��\و�I ا��!

.أ-�S #عدل ا��,�5ن @0 ا%"(��!: )أ(

. ��م$*(عد ا�صأأ-�S #عدل ا��,�5ن إذا )ب(

[92.4 l/s ; 7.6 l/s ; 86.1 l/s ; 13.8 l/s]

4.4ا'8#9

Page 53: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

49

Wان ا'�س?& 5Jا ��� ��#�*�#� ا'�5ا��

����ا�kا'���د'� 5.1

�ـ�(� �(عـ3_� ����50 ه1ا ا�(�ب #!��"!�� ا���ا� ��د #ـ� 8 ��ـ�ن �ع��صـ, ا��ـ�� -,آـ�

���ا�ـ آ�ـ� 5ـ��� -,آـ� ا��ـ�� آ�-ـدة وا-ـدة ا ���نو���5 ذ�� #� 5عـ,ف �ـ . ا�(ع�

~��p رع��*�.

�B, إ�� #ع�د�� آ�!� ا�*/,ك ��� @�ن ا�8\ان ا���(0 5ع�0 أن ا��;دار ا��ع(ـ, �ـ: (2.12)و

:,�5ن ا�*/,ك �(, ا��F ا�*/��0 ��5وي ص<, أي$

ρA

∫∫ v ( v d A. ) = 0

σآ�� أن ا`I_�د ا�;ص0 ��5وي ص<, ، @!ص(F ا`I_�د = −pn

(2.12)و"E!3 ا�<,ض ا�]�ص �'ا"T��3!� ا��,�5ن @*ص(F ا��ع�د��

∫∫∫∂∂

V

vt

)(ρ dV = ∫∫∫V

kgρ dV - ∫∫A

np dA

-!a Kو���,#\ ��*Dه ا�*��رع ب t

va

∂=

∫∫∫V

aρ dV + ∫∫∫V

kgρ dV + ∫∫A

np dA = 0

:ب ا���/ -و ��$*]دام "B,�5 ا�*(��د

∫∫A

np dA = ∫∫∫∇V

p dV

@*ص(F #ع�د�� آ�!� ا�*/,ك

∫∫∫ ∇++V

pkga ][ ρρ dV = 0

: اV*!�ري و"*!�D ا�*��#� ص<, Vو��� أن ا�/D. ا�*/��0

0=∇++ pkga ρρ ……………………………….(5.1)

Page 54: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

50

5ز� ا'F%ط >& �Xـ�ل �Sـ��& اk!�ـ�د 'ـس��8 >ـ& ح�وـ� 5.2

U�ك ! س�ر �!�S ع

�ــ~ �p ــ��رع*��ــ�(� ����ــ�ط ا�ــ��آ: a"ــدرس ه�ــ� -,آــ� -�و5ــ� �*/ــ,ك ��� ζ-ξ .

�� ا����ط �;����x-zا�/�و�5 ا��*/,آ� ��� ~)}# .

~��p أن ا�*��رع ���

ا��;دار ..

ξ=xa = ا��;دار ،~��p ..

ζ=za = ~��p

(5.1)���*ع��5 @0 ا��ع�د��

kp

ip

kgkaia zxζξ

ρ∂

∂+

∂+++ )( = 0

xap

ρξ

−=∂

∂, )( ga

pz +−=

∂ρ

ζ

~���ط ا�{���� �)����� P'ا$*]�ص~ ا��ع�د�*�ن أ�ζ – ξ . ط ا��*/,ك����� ��_�5�/*�x-

z 0�·8-= ا :

1

.

ctax +=ξ

5.1ا'8#9

���ط � U�ك

���ط ��آ|

Page 55: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

51

�د 0 = ���*(�ر ا��,�� � t = 0 c1 = 0

ξ = ½ axt2 + c2

�;�ن ��د �دء ا�/,آ� �*5 :!T�����*(�ر أن ا��c2 = x

ξ = x +½ axt2

���;���� و

ζ = z +½ azt2

xap

x

p

x

ξ

ξ

ξ−=

∂=

∂=

∂………………………….(5.2a)

∂ζ

∂ζ

∂ζ

p

z

p

z

p= = = -ρ(g+az)……………………….(5.2b)

��#���� (5.2a)و

p = -ρaxx + f(z)

z

p

∂= f’(z)

(5.2b) � �ع

f’(z) = -ρ(g +az)

f = -ρ(g +az)z +c

p = -ρaxx - ρ(g +az)z + c …………………………..(5.3)

. #: ا�;!. ا�/دودc �5و5/دد ا�{��~ . وه0 #ع�د�� ��ز5 ا��3ط

���د'� ��Y ا'س��8

�� ��� أن $F ا����� ��5ن #�*� ,D*ل �عـ,ض ا�/�و5ـ� #�*;!�� و#��' @0 ا�دل ا��-

~��p ي @0 ا��ع�د�� .�*��رع,B� (5.3)�*;ص0 #� 5دل ��!ه ا�*/�!� ا�

p = pa , z = zs

K!-pa ي و�Dا��3ط ا� zs ��!& z ا����� F�د $� .

Page 56: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

52

pa = -ρaxx - ρ(g +az)zs + c

zs = c’ - a

g axx

z+………………………………..(5.4)

ه� Vط #�*;!. #!�ه وz

x

ag

a

+−.

�=�ل

و�*/,ك kg/m3 850 -�و�5 �/�ي ز5*� آ{�@*ه

�ـــ~ �p ـــ��رع*�2.0m/s2 Pـــ�Dـــ0 ا�@ x

SIـ�ل ا�/�و5ـ� . )5.2ا���� (ا���T3.0m

@ـ�ق ��2.0m-= أن أد"� #�*�ى ��\5ـ~ .

ا$*]�ص . ا�;�ع

.#ع�د�� ��ز5 ا��3ط ) أ(

ر و#�4 أ&ص� �4ط ��� ا�/�و�5 #;دا) ب(

.#ع�د�� $F ا����� وزاو�5 #!�ه ) ج(

)أ(

ax = 2.0m/s2, az = 0, ρ = 850 kg/m3

�ع0 (5.3)ا��ع�د��

p = -850(2.0)x – 850(9.81)z +c1 = -1.7E3 x – 8.34E3 z + c1

x = 3 , zs = 2 , p = 0ا�;!�� ا�/دود�5

c1 = 27.8E3

:ز5 ا��3ط #ع�د�� ��

p = (27.8 – 1.7x – 8.34 z) E3

x = 0 , z = 0: #ع�د�� ��ز5 ا��3ط �ع0 #�4 ا��3ط ا%&ص� )ب (

k Pa 27.8= #;دار ا��3ط ا%&ص�

5.2ا'8#9

Page 57: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

53

F ا����� (5.4) ا��ع�د�� )ج($ 0 .zs �ع

�~ ا��ع�د�� �p ��!& ب��/�

zs = -81.9

2x + c2 = - 0.2 x + c2

�د �x = 3 ، zs = 2

c2 = 2.6

zs = 2.6 – 0.2x

F 0.2 -#!� ا��

tanθ = -0.2

θ = -11.3º

Page 58: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

54

5ز� ا'F%ط >& ���8 ��آ| 5.3 @*ص(F ا��ع�د�� . ��5وي ص<, )15.( @0 ا��ع�د�� ��aن ا����� 5ع�0 أن ا�*��رع $

pkg ∇+ρ = 0

kgρ + ix

p

∂+ j

y

p

∂+ k

z

p

∂= 0

x, y 8 �ع*�د ��� pوه1ا 5ع�0 أن

z

p

∂= -ρg

z �!� . ه� ا��/�ر ا�,أ$0 و��5ن #�I(� @0 ��� ا�P�D ا��Dذ

و���1 @ـ�ن . $F ا����� و";� ا%ص� @!ه ��د z @0 اP�D�8 ا��ع�آ� ل hو"ع,ف ا�(عد

��!&h 0. ه0 ا�ع���*��� و

dh = -dz

dh

dp= ρg

p = ρgh + c

F c = paو���*(�ر ا��3ط �Iي ��د ا��

p = ρgh + pa……………………………………(5.5)

�=�ل

�5*]دم #�"�#*, ز�(;0 �;!�س �4ط ز5~ 5ـ�,ي

0.85\�(ـ ا��{�@� ا���(!� ��\5ـ~ وا� . @0 أ"(�ب

.13.6و

&در ا��3ط ا�;!�$0 @0 ا�]ـط ا��,آـ\ي ) أ(

.�¼"(�ب

5.3'9#8 ا

Page 59: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

55

0.75m&در ا��3ط ا��� @0 ا�]ط ا��,آ\ي �¼"(�ب إذا آ�"~ &,اءة ا�(�رو#*, ) ب(

إذا ا$*]دم #�"�#*, #��0 آ. ��5ن ا�<,ق @0 ار�<���ت ا����� ا���"�#*,ي ؟ ) ج(

(2) ا��3ط ��د ا���4 = (1)ا��3ط ��د ا���4

�د ا���4ع!: (5.5) ��$*]دام ا��ع�د�� �

p0 + 0.07 ρ0g = pa + 0.1ρmg

p0+ 0.07(0.85E3)9.81 = pa + .1(13.6E3)9.81

p0 = 12.8E3 + pa

kPa 12.8= ا��3ط ا�;!�$0 @0 #,آ\ ا%"(�ب )أ (

hb ρm g = 0.75 (13.6E3)9.81 =0.1MPa= ا��3ط ا�(�رو#*,ي )ب(

� 12.8E3 + 100E3 =112.8 kPa= ا��3ط ا��

�د ا$*]دام #�"�#*, #��0 )ج(�

hw ρw g = hm ρm g

1E3(9.81)hw = 13.6E3(9.81)0.1

hw = 1.36m

Page 60: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

56

5.4 5Y'ا

��"_� ا�;�ة ا�*0 �ع�� إ�� أ��� ��ـ� ا%Iـ��م ا����ـ�رة I\�!ـ� أو آ�!ـ� �>�ع,ف &�ة ا�

(2.12)(!, �: هP1 ا�;�ة "(ـدأ #ـ: #ع�د�ـ� -<ـ= آ�!ـ� ا�*/ـ,ك 8$*]'ص �ع . @0 #��

(;� ��� ا�/D. ا�*/��0 ا��(!: @0 ا���� #(5.4).

. ا�/د5: ا%ول و ا�{�"� #: ا��ع�د�� ��5و�5ن ا�ص<,

K��}ا�/د ا� :

∫∫∫BV

B dV = - ρgVB k

� :ا�/د ا�,ا

∫∫A

σ dA = ∫∫1

1

A

σ dA1 + ∫∫2

2

A

σ dA2 + ∫∫3

3

A

σ dA3 + ∫∫4

4

A

σ dA4

F�_ـ� ا�ـ�F ا�ـص�S ��ـ� ��5Rوي ا�*��#ـ� : )1(��� ا�� ,p¡وهـ0 ا�;ـ�ة ا�*ـ0 5ـ

.ا�/D. ا�*/��0

F p2 = pa = 0 –&!�$!� :(2)��� ا��

� F�ع3_� ا�(ع� : (3)�� ا�� ���*@ �Vع��!� إ�� ا�داsع�� ا���3ط إ�.

F :(4)��� ا��

σ4 = -p4n4 = p4k = ρg H k

5.4ا'8#9

Page 61: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

57

∫∫4

4

A

σ dA4 = ρg H A4 k = ρg( VA +VB) k

:�*/,ك ���*ع��5 @0 #ع�د�� آ�!� ا

0 = -ρg VB k + R + ρg( VA +VB) k

R = -ρg VA k

0@� BFا�;�ة ��� ا��D. ا�

FB = -R = ρg VA k

VA ء ا�����ر\Dا� .D- ��5وي Vi

�> و���1 ���ن &�ة ا�

FB = ρg Vi k ………………………………..(5.6)

�=�ل

P,ــ& Sــ� #ــ: ا�ــص�!#,�0.6m 0.9 وار�<��ــهm �ــه @�ر[ــ #ــ¼ �\5ــ~ آ{�@*ــه . 300N ووز"

800kg/m3 1000 وو4 @0 #�ء آ{�@*ه kg/m3.

���#�ه @0 ا���ء )أ( � .أp(~ أن ا�(,#!� �5 8

. ا�(,#!� &���� أ-�S ار�<�ع ا�D\ء ا�(�رز #�ه إذا �;� )ب(

: @0 -��� ا�*�ازن )أ(

FB = Wd + Wo

K!-Wd وزن ا�(,#!� ا�<�رغ و Wo ~5\وزن ا� .

Wd = 300

Wo = (AH)ρog = (π/4)(0.6)20.9(0.8E3)9.81 = 1997N

Fb = 300 + 1997 = 2297N

�> و�;�"�ن ا�

Fb = ρwg VI = 1000(9.81)Vi = 2297N

Vi = 0.234m3

V = AH = 0.254m3

V > Vi

Page 62: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

58

���� �Y% J 8���?'إذن ا.

= ار�<�ع ا�D\ء ا�(�رز )ب(A

VV i−

2

46.0

234.0254.0π

−= 71mm

Page 63: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

59

ا'���رو� � 5.5

ــ� ــ�س ا��{�@ ــ�*]دم �;! ــ�ز 5 _I ,*#ــدرو ا�_�5

ا���(!� ����ا�� و5ع*�د �ص�!�ه ��� "B,5ـ�

> . �ا�

d 4�5ـF ه�5ـدرو#*, &ـ, $ـ�&ه (5.5)ا����

-Dـ. ا�{;ـ� ا��{(ـ~ @ـW . 0 ووز"ه Hو��Tه

ــه ــVo . 0&��د� ــ� @ !�\I ــ�ر ــدرو#*, #�� ا�_�5

�!)��Tـ�ل ا�Dـ\ء ا����ـ�ر . s$��� آ{�@*ه ا�

h#: ا���ق

FB = W

W = ρg VI = ρw s g (V0 + 4π d2h)

2

0

2

44

d

V

sdg

Wh

w πρπ−= ……………..…….(5.7)

, إذا [�� ا�_�5درو#*, @0 ا���ء ا��;

s = 1, ρ = ρw , h = h0

2

0

20

44

d

V

dg

Wh

w πρπ−=

K!-ho ا8ر�<�ع ا�1ي �5!, إ�� s =1.

���1 ا�ع'&� ا�ع�#� F)و�ص

)11

(4

20 −+=sdg

Whh

wρπ……………………….(5.8)

5.5ا'8#9

Page 64: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

60

�=�ل

5.15.0ا���(!� @ـ0 ا��ـدى 5,اد �ص�!. ه�5درو#*, �;!�س ا��{�@� ≤≤ s . ـ, $ـ�ق&

وزن ا�_�5ـدرو#*, و (Vo و W ا���ـ�ب �/د5ـد 200mm وTـ�ل ا�ـ��ق 10mmا�_�5درو#*,

).-D. ا�{;�

�د �s = 1.5 h = 0 ا�/د ا%د"� ����ق

ا�/د ا%&ص� ����قs = 0.5 h = H = 0.2و ��د

و ا�,ح �ع0 (5.7);!. أ�'P @0 ا��ع�د�� ���*ع��5 ��

h0.5 – h1.5 = 4 1

0 5

1

152

W

g dwρ π . .−

0.2 – 0 = 4

9 81 1000 0 01

1

05

1

152

W

. ( ) ( . ) . .π−

W = 0.115 N .

0@ �!"�p �5ع�*����د (5.7)و � s = 1.5 و h = 0 و W = 0.116 N

V0 = 7.85E-6 m3

,;� . V =4πR3) 3/ ( إذا آ�ن ��s ا�{;� آ,وي 24.6mmأي

Page 65: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

61

5.6 ��<�Y'س�م ا�kار ا�Z إ�

�ت �� :

ــ� 1 >ــ\ ا� هــ� : B #,آ

ــ: ــ�ر # ــ\ء ا���� D�� ــ� ــ\ ا��*� #,آ

0@� . ا��D. ا�

2 FIآ\ ا�*�ر,# M : ـ�;"

�;ـــ�T ا�]ـــط ا��,آـــ\ي ا�,أ$ـــ0

���D. @0 -�ل $��"ه # ا�]ـط

ــ0 ــ� @ >ــ\ ا� ا�,أ$ــ0 ا��ــ�ر ��,آ

!�& 0@� .'-��� إ#��� ا��D. ا�

3 0/Iــ�ر ــ, ا�*ـ ــصE ا�;ـ : MB "ـ

و#,آــ\ Bهــ0 ا��ــ��@� �ــ!: #,آــ\ ا�<ــ�

FIا�*�رM.

��5: ا$*]'ص ا�ع'&ـ� أد"ـ�P ا�*ـ0 �ـ,�ط

�/Dــ. ا�ــ���� 0/Iــ, ا�*ــ�ر"ــصE ا�;

:ا��\اح

iV

IMB = …………….(5.9)

K!-I ـ�> ا�ع\م ا�{�"0 ����-� #; ا�

FIل #/�ر ا�*�ر�-.

Vi : .D- ا����� ا��\اح.

5.6ا'8#9

5.7ا'8#9

�> ا�;#

FIر ا�*�ر�/#

Page 66: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

62

��<�Y'س�م ا�kار ا�Z ا�

�p'p 0@� :ا%و�4ع ا������ ���D. ا�

و5ع�ــ'ن @ــV 0ــط وا-ــد @ــW 0 �عــ�دل ا�ــ�زن FB&ــ�ة ا�<ــ� . � ــ5ازنIــ�. 1

.ا�D�8ه!: ا��*ع�آ�!:

2 .�I�Z ـ�ط ���_ـ� و . �سV 0ـ� وا�ـ�زن #*ـ��و5*�ن و#*�از5*ـ�ن @ـ>&�ة ا�

�ــWدوج ا��ــ\دوج5ــ��� هــ1ا . �ــ� `�ــ�دة ا�Dــ�. �/��ــ� ا�*ــ�ازن 5ــ��'ن #\دوIــ� 5ع

�U-� . �;�� M"'-= ه�� أن ا�;� .G @�ق ا�

3 .�I �Z س� �ط ���_�ـ� . ]��V 0@ وا��زن 5*��و�5ن و#*�از�5ن �>. &�ة ا�

"'-ـ= ه�ـ� أن . ا'�ـWدوج ا'�Z'ـL ا��\دوج ا����Å 5ع�� ��� ز�5دة ا��!� و5ـ��� �ـ��1

�;�� �Mا�;� .G/~ ا�

�*Å #�� $( #� 5ع,ف �;��دة ا8$*;,ار*�":

MB > GB…………………….………….(5.10)

�=�ل

عه ;# ,& Sا"� ص�� ، ار�<��ـه �Id. أ$

H �!)��ا$*]�ص ا�;��دة ا�*ـs . 0 وآ{�@*ه ا�

.�/�. P�>T &���� ��� و4 #�*;, @0 ا���ء

5.8ا'8#9

5.9ا'8#9

Page 67: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

63

MB > GB :&��دة ا8$*;,ار

iii H

d

Hd

d

V

IMB

164/

64/2

2

4

===π

π

GB = PG – PB = )(22

21

ii HH

HH−=−

�> W = FB = ρg VI: &��دة ا�

�!)�� sو���*(�ر ا��{�@� ا�

s ρw g V = ρw g Vi

sH = Hi

MB = sH

d

H

d

i 1616

22

=

GB = ½H(1-s)

: إذن &��دة ا8$*;,ار

sH

d

16

2

> ½H(1-s)

أو

)1(22

1

ssd

H

−<

Page 68: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

64

�س��8

5.1 �_��T �51.0-�وm �_4,� ،0.5m �_��>0.3 وار�m . ـ� ا��ـ�ء إ�ـ� ��ـ_!@ Sصـ0.25m . Pرع أ@;0 #;دار��*� : أ-�m/s2 S 2.0إذا -,آ~ ا�/�و�5

. زاو�5 #!� $F ا���ء # ا%@;� )أ( . آ�!� ا���ء ا���د� )ب(�_� ا��ـ�ء ��ـ� ا�ـ�/!: )ج( ,p¡5 0*ا�;�ى ا�

.#� وا�]�<0ا%#�[11.5º, 25L , 22.7 N , 221N]

-�و�5 أ$�ا"!� ا��; �/�ي $��� و�دور -�ل 5.2

��,����ز5 ا�ـ�3ط . (5.10( ا����– ω rad/s#/�ره�

: ��{� هP1 ا�/��� 5ع(, ��ه ����ع�د��

p = ½ρω2r2 - ρg(z – z0)

و#ع�د�� $F ا����� g

r

2

22ω z = z0 +.

و�� ا���ء &(ـ� �ـدء 0.5m@0 -��� #/ددة &, ا�/�و�5

.0.1mا�دوران

�� ا�*D� 0ع� )أ(�� أ-�S ا��,�� ا�\او�5 ا��

F ا���ء 5'#� &�ع ا�/�و�5 $.

أ-�S ا8ر�<�ع ا%د"� ��/�و�5 ���ـ ا��ـ�ء )ب(

P'أ� ��,���� .#: ا8"د8ق ��د دوران ا�/�و�5

[7.9 rad/s , 0.2m]

F4�5 #�"�#*, �<�0�4 (5.11)ا���� 5.3

:!�أ-ـ�S @ـ,ق ا�ـ�3ط ) . ب(و ) أ(5ص� أ"(ـ�

:!� :إذا آ�ن . �!: ا%"(�

ز5ــ~ ذو آ{�@ــ� "ــ�(!� (1)ا��ــ�� ) أ (

ز�( ذو آ{�@� "ـ�(!� (2)، ا���� 0.8

.#�ء ) 3( وا���� 13.6

(2)#�ء وا��ـ�� ) 3( و (1)ا���ا� ) ب(

.ز�(

[ 20kPa , 20.6 kPa]

5.10ا'8#9

5.11ا'8#9

Page 69: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

65

s!دت #;ص�رة ��� #����D #: ��ع� �,ا#!� �<� رأ$!� ��� #�ء ا�(/ـ, ذي 5.4

و ار�<��ـه 5150Nـ\ن ا�(,#!ـ� ا��ا-ـد . �10kN\ن ا��;ص�رة و-ـده� . 1030kg/m3ا��{�@�

1.5m P,600���*(�ر أن #*�$ط وزن ا��]ص . 0.7m و& N S�-أ :

. s]ص 30@0 ا��;ص�رة ا�ع� ا�1ي ���ه ا�(,ا#!� إذا آ�ن ) أ(

�د��Vه ���;ص�رة إذا آ�ن �� ا��� ا%&ص� ) ب( F��5 ا�عدد ا%&ص� ا�1ي

. #: ار�<�ع ا�(,#!� %80ا�����ح �ه ��5وي

[0.84m , 51]

�د [��ه @� ا���ء ا��;, و�5ـ�ن 1.0 5;,أ ا�عدد 10mmه�5درو#*, &, أ"(��ه 5.5�

و$ــF ا�ــ���� إذا 1.0 ا��ــ��@� �ــ!: ا�;ــ,اءة أ-ــ�D-15E-6m3 . Sــ. ا��ــ�ء ا��ــ\اح

:[�� ا�_�5درو#*, @0

0.85 ز5~ آ{�@*ه ا���(!� )أ(

.1.5 -�#� "*,�5 آ{�@*ه ا���(!� )ب(

[+34mm , - 64 mm]

ــ أ@;ــ0 #,�ــ #ــ��-*ه 5.6;��Iــد . 0.6 وآ{�@ــ� "ــ�(!� 0.1m2آ*�ــ� Vــ�(!�

. 0.9$��� آ{�@*ه ا���(!� ا��دى ا���*;, 8ر�<�ع ا��*�� ��د و4ع_� @0

[ <0.3m]

Page 70: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

66

6 EــZ'ق ا�س ـــ��

6.1Z� ـــ ���

��5: �/�� #�*�ى ا��3ط ��د أي #; #*ع�#د ��� ا�P�D ا��,�5ن ��ا$� أ"(�ب

�~ . ر@! �*ع�#د #;د#*ه ��� ا�P�D ا��,�5ن�p أن ا��3ط ��5ن ��,D*و5ع,ف #: ا�

ا��*ع�#دة ��� ا��,�5ن و@0 #; وا-د إذا آ�ن ا��D,ى ا���*�ى ��د ا��;�ط

أ"(�ب ا��3ط (6.1)وF4�5 ا���� . #�*;!�� أو ذا ا"/��ء ص�!, #;�ر"� �ع,ض ا��D,ى

�د ا��; ا��,اد &!�س ا��3ط ��دpPا�1ي 5*/�� ا��3ط � .

�� ا��3ط ا�,آ�دي ��"ه #�*�ى ا��3ط إذا ه(~ $,�� ا��,�5ن5ع,�;���� ا�'�\0I ف

��"(�ب ��*;!. #;د#*ه @0 ا�po P�D و���1 ��5: �/�� ا��3ط ا�,آ�دي .إ�� ا�ص<,

.(6.2) ا���� -ا��,�5ن

��3ط ا�,آ�د ��5p: إدراك �'&� ا��3ط p0 �&'� :# �T��3"�5ن ا��{��0 ا�'إ,���

��",�0 � ا��(�

ρρ02

21

pv

p=+

p0 – p = ½ρv2 = (6.1)………….…………… ا�/,آ0 ا��3ط

@0 أ"(�ب #,آS وا-د ا�,آ�دي ا��3ط وا��3ط 0 5(!: إ#��"!� �I أ"(��(6.2)ا����

.5ع,ف ��"(�ب ا��3ط ا�/,آ0

6.1ا'8#9

أ"(�ب ا��3ط أ"(�ب �4ط ا�,آ�د

ا�/,آS;p0 �/�� ا��3ط

6.2ا'8#9

أ"(�ب ا��3ط ا�/,آ0

p;�ب �/�� ا��3ط ا����"0

Page 71: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

67

أ��Wة .��س ا'F%ط 6.2

ا'س��"&ا'�F%�ط 6.2.1

�. أ"(�ب �5*]دم أ��دة ا���ا�� �*/د5د ا�<,وق @0 ا��3ط ا�����0ا���3�ط)� 0و �

-!K ",ى أن #ع,@� ار�<�ع (5.5)س ا��3ط �����3�ط ا�����0 ��� ا��ع�د�� &��دة &!�

@0 ��دة ا������0*]دم ا���3�ط 5و. ��: #: �/د5د ا��3ط$��� ا���3�ط وآ{�@*ه �

. 0.14E6 Pa إ�� Pa 20 #دى ا��3ط

*Vذو ا��. �ر $��� ا���3�ط 5ع*�د ��� @,ق ا��3ط ا��*�& !ا دم ا�\�([*�!@ �@�}

. �<,وق ا��3ط ا���]<�5�3*]دم ا���ء ��دة ا�ع��!� �<,وق ا��3ط ا�ع��!� و

ا'�F%�ط ا'س��"& ا'?س�ط 6.2.1.1

ا���3�ط ا�����0 ا�(�!ط أ"(�ب ز0I�I ر@!

0@ ��sU ، 0* �5ص� T,@!ه إ�� ";

آ�� @0 ا���� (2) و (1)�/�� ا��3ط

(6.3) .0T��3# ا�*�ص!� @,ق :� ���5 h

�*ع0(5.5)و��*]دم ا��ع�د��

p1 – p2 = ρgh……………..……(6.2)

6.2.1.2�� F�%�ط ا'-��

ا���3�ط ا�(�!ط @�h 0*/د5د ا��;دار

"/*�ج �;,اءة ار�<�ع $��� ا���3�ط @0

#: @,�0 ا���3�ط و#: p. آ�

�. #��3ط و&د ص. -��ب ا�<,ق

����: ��*��!- (6.4) ا���� -ا�ص

وا-د #�� 5(�ط #: ا�;,اءة #: @,ع

.ا$*]دام ا���3�ط ا�����0

6.3ا'8#9

6.4 ا'8#9

Page 72: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

68

���;�ط �4ط .A1 >> A2@,�0 #��3ط ا�ص���� �_�� أ&�ر #*(�5��د ��ص!� ا�<,�!: �

5��� @,ق ا8ر�<�ع �>�*[#h K!-

p2 – p1 = ρgh………………………………..………………(1)

h = h1 + h2

K!-h1�و (1)��3ط @0 ا�<,ع ا�\�5دة @0 ���د $��� ا� h2 ص�ن @0 ���د ا�����;� ا�

*!: h1 ���ن أآ(, #: h2 �عدم ���وي ا����-�ت @�ن "�(� و. (2)@0 ا�<,ع )�,#

�!�D/ع'&� ا����

h2A2 = h1A1

1

2

21A

Ahh =

(1)و���1 �ص(F ا��ع�د��

p2 – p1 = ρgh2 ( )11

2 +A

A

��� أن A2/A1 �"ص�!,ة #;�رS*�" ��5: أن F!/ا-د ا�ص���� :

p2 – p1 = ρgh2……………….…….………………(6.3)

. 15آ, @0 ا�د&��دون @;دان p2 - p1 @;ط �/��ب h2: ه1ا ا�*ص�!. إذن #: &,اءة �5�

. @;ط %1 (6.3) ، #{'، @�ن ا�]� @0 ا��ع�د�� d2/d1 = 0.1إذا آ�"~

ا'�F%�ط 6.2.1.3

'س��"& ا'���8 ا

F4�5 )6.5 (ا����

���# ����. #��3ط ص

A2"�(� %ن ا����-�

6.5ا'8#9

Page 73: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

69

���,�Iع إ�� . آ�� $( ا��,ح(2) @�ن ا�;,اءة �¡1V @;ط #: ا�<,ع �A1;� آ{!,ا �:

. p¡� 8 h2, @0 ا8ر�<�ع ا�,أ$0 �ع��د ا�����، أي (2)ن إ#��� ا�<,ع أ ",ى (5.5)ا��ع�د��

-!x Kز�5دة ا��ل ا����� ��ع��د إ8 أ"_� �¡دي إ��

θsin

2hx =

(6.3)و�ص(F ا��ع�د��

p2 – p1 = (ρg sinθ)x……………………………(6.4)

.أ@�3 ����3�ط" -��$!�"#�� h2 < x ,@�5 @�ن sinθ < 1.0 %ن و

Page 74: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

70

!5ردون F�%�ط 6.2.2

$*]دام @0 ا8 وا$ #��3ط ��ردون ���3ط

�, -�Dه و$_��� ا$*]دا#ه وا�ص���� �ص

#;�ر"� �����3�ط���3ط$ اا�� ��دى�

��ردون @K!- ,@�*�;# 5� 0 .ا�����0 �!

. �4ط #;!�kPa �*- 100MPa0$ا��دى

.إ8 أ"ه أ&� د&� #: ا���3�ط ا�����0

و5ع*�د ا�;!�س ���3�ط ��ردون ��� #� 5ع,ف

��"(�ب ��ردون . 0D�!إه� وه� أ"(�ب ذو #;

��5ن ا%"(�ب -,ا @0 . : #عدن ر@! و�دن#

��s 0 ا����@ F4�# ه دا�,ي آ�� ه�)s (6.6) . د �/�� �4ط أ��� #: ا��3ط��

�:ا��Dي ��د #د�Vه 5ع�� ا��3ط ��� ��د5د ا%"(�ب و5��� �: ذ�� sد ���� K�}ا��

�:ا�1ي �دورP 5د5, ا���,s¡ا�دا�,ي @!/,ك ا�� .

. دور5� ��*!;: #: ���ه دا�V #�*�ى ا�د&� ا����ب ��ردونط5�(�0 #,ا��ة اV*(�ر ��3#

6.6ا'8#9

Å50 �در$�!;#

,s¡#

�,وس

ا��3ط ا��,اد &!�$ه

Page 75: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

71

أ��Wة .��س ���ل ا'س��ن 6.3

أ*?5ب ا'F%ط ا'U�آ& 6.3.1

إ�� #��3ط ��ا$� أ"(��!: - (6.2) ا���� -�*�ص!� T,@0 أ"(�ب ا��3ط ا�/,آ0

�3ط #�T!!: ��5: &,اءة @,ق ار�<��0 أ��دة $��� ا���3�ط و#: p. -��ب ا�

و"�*�*Å ا��,�� ا���4ع!� . S�- ، (6.1) ا��ع�د�� ρv2½ا�/,آ0 ا�1ي ��5وي

���*��0 #: ا��ع�د�� :

ρ

)(2 0 ppv

−= ………………......……………….(6.5)

4,� وا-د ��0ع,@� #عدل ا��,�5ن �;�س ا��,�� @0 #�ا4 #*عددة ��د #;

��#���� . ا����-���,�� # او�5*]�ص #عدل ا��,�5ن

��5: ا$*]دا#ه ��� #: و.د&*ه آ�<*ه ا���]<�3 و 5*�!\ ه1ا ا�D_�ز �(��T*ه و

SD5 . ا���زات ا���ا�� و

ص'-!� أنإدراك

&�ص,ة (6.5) ا��ع�د��

'� ا��� ا��,�5ن

0T��3"0 -��� . ا@

"0T��3 ا8 ا��,�5ن

ا�/�آ�� �*�S ا��ع�د��

�عد5' 5,ا��

�!T��3"8آ�� ه� ،ا

�F4 @0 ا�;�. #

(11.7).

�4ط $��"0 �4ط رآ�دي

6.7ا'8#9

Page 76: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

72

�=�ل

kg/m3 1000]دم أ"(�ب �4ط -,آ0 �;!�س ا��,�� @0 4�# ��,�5ن #�ء آ{�@*ه $*أ

0T��3# آ���� . #�*]د#!: ا�\�( 40ا�<,ق @0 #�*�05 ا�\�(mmا� و �@�}�

�!)��أ-�S ا��,�� . �13.6\�( �ا�

.ا���4ع!� ���,�5ن

(1) @;0ا%��ع�د�� ا��3ط ��د ا���*�ى

p0 + ρwg(0.04) + ρwgh =

p + ρmg(0.04) + ρwgh

p0 – p = 4.94E3 Pa

(6.5)ا��ع�د��

v = 3.1m/s

�� ا'س��ن ا'Wا�� 6.3.2 �Z�

� ��� أن �ع*�د "B,�5 ا��;�5!� ا�\ا#

ا"]<�ض ا��3ط ا����s �: �;�ص

. ا��*�� �د�*0 ا��&� و�ه ص�� #(�s,ة ��زد�5د ا��,�� -�S #ع) ا�\م(#��-� ا��D,ى

�د ا�*<�, @0 أ"(�ب #��-� #;عه ا8�*دا�0 �A د #�4 ا�\م� ، a و#��-� #;عه �

-!qK 0ا��*�� �ع!�ن #عدل ا��,�5ن ا�/�D @�ن #ع�د�*0 ا��&� و

( )p

aq

Aa

∆−

= ρ2

21

K!- و∆pا8"]<�ض @0 ا��3ط .

��1V ا�8*(�ر ��<�ا&د @0 ا��&� ��5ن #عP'و. دل ا��,�5ن أ&� #�� ��4/ه ا��ع�د�� أ�

1.0&!�*ه أ&� #: وCdف ���1 #ع�#� ا��,�5ن 5ع,

( )p

aCq

Aa

d ∆−

= ρ2

21

…………………………………(6.6)

6.7ا'8#9

Page 77: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

73

ه0 ا��;!�س و. ا%"�اع ا%آ{, s!��� ��;�5!� ا��,�5ن ا�\ا#�F4�5(6.8) ا����

_� وأ&�_� ���<� ا��;!�س أ. ا��;!�س ا�<���ري ا��;!�س ا���<K و ا�<�ه0 و��

. #�� 5ع�0 @;دا أآ(, @0 ا��&�، ه� ا%&� &!��Cd إ8 أن #ع�#� $,�5"ه .ا�<�ه0

و5*�$ط . ا��;!�س ا�<���ري P\!�5 ا�<;د ا��3!� @0 ا�;درة أ8 أ"ه ���0 ا�*��<� "�(!�

.��<��ا��;!�س ا���<K ا��;!�$!: ا·V,5: أداء و

��$S ا�ع�, ا���5 و �دم ا�/��I ��ص!�"� و ��#� ���(���T و�*صE ا��;�5!� ا�\ا#� �

.ا���زات آ' #: ا���ا�� و

���Zس ا'س��ن ا'��& 6.3.3

�*�p!, ا��,�5ن و�ع*�د $,�� �>��دور ا�ع

و���1 ��5: . دورا"_� ��� $,�� �!�ر ا����

Iع� $,�� دوران ا�ع�<� #;!�$� ��عدل

��T!� ا�دا�, # S)�*5 ا���. ا��,�5ن

Eدا@ع� @0 ا��� �!�ا�ع�<� @K- 0 &�ة آ_,

0��د هP1 . و��5د ���1 "(�3ت I_د آ_,

��: #: #ع,@� $,�� ا�ع�<� و#: ا��(�3ت 5

. p. �;د5, #عدل $,�5ن ا����

6.8ا'8#9

K>�#

@�ه�

���ري@

6.9ا'8#9

�داد

�>��

�!T���#

Page 78: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

74

اJزاح& ���Zس ا'س��ن 6.3.4

ــ�س ــ1ا ا��;! ــ0 ه ــ�*]دم @ ــدوار ا�� ا�

ــ� ــS ا`زا- I�# . ــ� دورة آ�#�ــ� @ــ0 آ

�5,ي -D. #/دد #: ا�ـ���� #ـ: أ-ـد

ــ, V·ــ� ا ــ�ب إ� ــ�"(0 ا%"( I . ــد دورات �

. ��ـ: #ـ: �;ـد5, ا�ـ�,�5ن ا���ـ0 ا�دوار 5

�دد ا�دورات وا��&ـ~ ا���ـ�Ü, ��5ـ: #ـ:

.�;د5, #عدل ا��,�5ن

�5*�ز ا��;!�س ا�دوار ���د&� و�5*]دم

�!>� .��دة @0 #/�ت ا�]د#� ا�

ا'Y5ي ���Zس ا'س��ن 6.3.5

*��ن ه1ا ا��;!�س #: أ"(�ب s<�ف #],و0T ا���� 5{(~ رأ$!� 5

@0 #��ر ا���� و �I. ص�!, ا�/D. �4!� ا��{�@� دورا"0 ا��;

�د #,ور ا���� @0 ا%"(�ب 5*ع,ض ا��D. . 4�5 -,ا دا�V ا%"(�ب�

إ�� &�ة إ��&� �ع�� إ�� أ��� �ع�د�_� #/ص�� وزن ا��D. و &�ة

P�>T .[�5ن ا���� ا��,��� �,و0T �¼"(�ب D5ع� ا��,�� ا��*�$

.�Dص # ار�<�ع #�4 ا�&��و ��(S ا�ص�� ا��(�s,ة �!: &�ة . �*

. ا`��&� و $,�� ا���� @�ن ار�<�ع ا��D. 5ع*�د ��� #عدل ا��,�5ن

و ��5: ���1 �ع!!, ا%"(�ب رأ$!� �!دل #�4 ا��D. ا�����ر إ��

ا��D. ا�/, �ه أ�Vد5د #���� وÜ!<*_� إ-داث -,آ� ا�;,ص ا��{(~ أ���. #عدل ا��,�5ن

.دورا"!� @0 ا��D. -�ل ا��/�ر ا�,أ$0 #�� 5¡دي �*�$ط ا��D. @0 ا%"(�ب

6.10ا'8#9

6.11ا'8#9

Page 79: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

75

�ـــا'�> 7

وه0(2)�. ا$*]'ص #ع�د�� -<= آ�!� ا�*/,ك @0 ا�ص�رة ا�*��#�!� @0 ا�(�ب

( ) ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ +=+∂

V AV A

dAdVBAdvvdVvt

σρρ . ………..…..(2.12)

K!-Vا� .D- و .�/*A0��/*ا� F: ��{� ا�/دود ا%ر�ع� ��� ا�*�ا�0. #��-� ا��

ا�;�ة p. ا�;�ة ا���D!� و ا�;�ة ا���D*# :� ��sه ا��,�5ن وا�;�ة ا�����s �: ا�*��رع�!/ .ا��

�ث ا'�>� ا'�7.1

5*. ا�د@ ا��<�ث �_,وب ا���زات ا�����D �: ا-*,اق ا��&�د ��,�� ���!� #: #¡V,ة

�@, ا��3ط ا����ب ��_�اء ا�دا�V إ�� [,@� ا8-*,اق ��ا$� �4[ط �5*�د 5. ا��/,ك .&در�ه #: ��<� �دور �<�3 ا"د@�ع "�ا�Å ا8-*,اق

(! ا��ع�د�� *� ��� -D. ا�*/�. ا���F4 # ا@*,اض أن ا��,�5ن ر�!S و (2.12) :&� �ع;!داأ-�دى ا�(عد "/ص� ��� ا�ص�رة ا%

( ) ∫∫∫∫ =AA

dAAdvv σρ .

�>� �4[ط ���د �

[,@� ا-*,اق

و&�د 7.1 ا'8#9

�U�ك *�ث

&�#U NXح U�ك'"�

Page 80: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

76

ρv1(-v1 A1) i + ρv2 (v2A2 ) i = p1A1 i - p2A2 i + R3

K!-3R F . )3( ه0 ا�;�ة ا��¡p,ة ��� -D. ا�*/�. ��د ا��

.�I ��� @��1 ��5ن ا�د� ا��/,كو

3RF t −= = [ρv22A2 - ρv12A1 + p2A2 - p1A1 ](-i)

.xا�P�D ا�;�ة ه� اP�D�8 ا����S �ـ

Ft = ρv22A2 - ρv12A1 + p2A2 - p1A1 ………………………………..(1)

�Vد ا��د�1= و���*(�ر #عدل ا��,�5ن ا��*�0 ��_�اء �

.

m

2= ج #عدل ا��,�5ن ا��*�0 ��د ا��],

.

m

f= #عدل ا��,�5ن ا��*�0 ���&�د .

m

@�ن .

m 2 = .

m 1 + .

m f φ ="�(� ا��&�د إ�� ا�_�اء ����زن

.

1

.

m

m f=ϕ

.

m 2 = .

m 1 (1 + φ ) :(1)و�ص(F ا��ع�د��

Ft = .

m 2 v2 - .

m 1 v1 + p2A2 – p1A1…………….…..………(7.1a)

Ft = .

m 1 [(1 + φ ) v2 – v1] + p2A2 –p1A1…………….…………(7.1b)

Page 81: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

77

ل�=�

$,�� د�Vل ا�_�اء إ�� ا��/,ك . 5]*(, #/,ك "<�ث وه� $�آ: ��� #�ص� اV*(�ر

150m/s K>���5: ا@*,اض أن �4ط ا�_�اء ا�دا�V و�4ط ا��<1000m/s . K و$,�� ا�

#��-� ا��; . 0.02"�(� وزن ا��&�د إ�� ا�_�اء ���وي . ��3ط ا��Dيا 5ع�د8ن

0I0 وا�],و��V0.2ا�دm2آ{�@� ا� �Vاء ا�دا�_kg/m3 1.15.

.أ-�S ا�;�ة ا�'ز#� ��� ا��/,ك #: ا�/,آ�

��$*]دام ا��ع�د�� )(7.1b

Ft = .

m 1 [(1 + φ ) v2 – v1] + p2A2 –p1A1

v1 v2 φ p2 p1

150 1000 0.02 0 0

.

m 1 = ρ1v1A1 = 1.15(150)0.2 = 34.5kg/s

Ft = 34.5 [(1 + 0.02 )1000 – 150] = 30.0 kN

Page 82: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

78

7.2 &Rا'�>� ا'-�رو

��� 1V�5 ه0ا���� ا�,�!�!� ��ص�روخ !� -��ه ��� #: ا��&�د وا��¡آ�د �دا�Vه

ا���� ا���*,آ� @0 ا��/,ك . #: ا��D ا��/!ط) ا�_�اء (ا��/,ك ا��<�ث ا��¡آ�د

Vث وا��/,ك ا�ص�رو�>�. ا��/*,&� و#: �V .p &�ة ا�د@ ه0 إ-داث ���رع ����زات0ا�

���!ه(7.2)5(!: ا���� � ذي ا��&�د ا�ص�S وذي ا��&�د: ا%I\اء ا�,�!�!� ��ص�روخ

�� (5/�� ا�ص�روخ ذو ا��&�د ا�ص��V S!ط . ا�����!D� ( ���!�#: ا��&�د وا��¡آ�د

.#: ا��&�د وا��¡آ�د @0 ص�ر $���� 5/�� ا�{�"0 آ'

�B, إ�� ���*(�ر #�<K ا�ص���"ه �!� ��p ه�اء دا�V إ�� -D. أ�روخ ه� -D. ا�*/�. و

F 0 �ع(1) @�ن ا��ع�د�� (1)ا�*/�. �(, ا��

Ft = ρ v22A2 + p2A2

Ft = ρ2v22A2 + p2A2 = .

m 2 v2 + p2A2 ………………………(7.2) K!-p2ص�روخ��� . ه� ا��3ط @�ق ا��3ط ا��Dي ا��/!ط

L"ص�روخ ذو و.5د ص

K>��� ا-*,اق [,@� ا-*,اق #!D� ,I� ��-

ا'8#9

K>� و&�د [,@� ا-*,اق #,I� ��- آ�د¡#

ص�روخ ذو و.5د ���8

7.2 ا'8#9

Page 83: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

79

�ع �>ا'7.3

ل �(,P ا�;درة ا��!��"!�!� /��*]دم @0 ا���,ات وا��<: -!K � 5 دوار #,و-0ا�د@�ع وp¡5, رد ا�<ع� ��� ا��D. ا��,اد د@عه �!/,آه @0 .إ�� &درة -,آ!� @0 ا��,�5ن

.اP�D�8 ا��ع�آ� ���,�5ن

(! #ع�د�� آ�!� ا�*/,ك *� :D- ��� 1-2-3-4. ا�*/�.(2.12)

( ) ∫∫∫∫ =AA

dAAdvv σρ .

ρv1(-v1 A1) i + ρv2 (v2A2 ) i = p1A1 i - p2A2 i +R 4

R 4 = (ρv2 2A2 - ρv1 2A1 - p1A1 + p2A2 ) i ………...(1)

).;!�$!�#ص<, ا���5و�5ن (ن � p25�I و p1ن �ا��3 : �*!�ر ا���� #عدل ا��,�5ن ا�/q0�Dع,ف "

q = vA = v1A1 = v2A2

K!-vط ا��,�� �(, ا�د@�ع و$�*# A 0*ا����-� ا� .5دور @!_� ا�د@�ع

��� Ft&�ة ا�د@ !� هR4 0 ه0 ا�;�ة ا��¡p,ة ��� ا�د@�ع

��1� ا�;�ة ��� ا���� @D- 0. ا�*/�.، و

4RF t −=

tF = (ρv2 2A2 - ρv1 2A1 ) (- i )

7.4ا'8#9

7.3ا'8#9

Page 84: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

80

Ft = ρq(v2 – v1) …………………(7.3a)

Ft = ρvA(v2 – v1) ……...………(7.3b)

(! ا��ع�د�� *� D- ��� 5-6-3-4. ا�*/�. ا%ص�, (1)

R 4 = [ρvA(v6-v5)+ p6A6 - p5A5] i / ن و��5: ا�*(�ر � #*;�ر�(6) و (5)ن �ا��

A5 ~ A6 = A

v5 ~ v6 = v

و5*( ذ�� R 4 = (p6 – p5) A i

Ft = (p6 – p5) A (- i )

Ft = (p6 – p5) A…………………………………………(2)

.x@0 اP�D�8 ا����S �ـ

�ع!�ن (7.3b) و (2)ا��ع�د�*�ن

p6 – p5 = ρv(v2 –v1) …………………………….….(3)

:!��(! #ع�د�� ا��&� ��� ا�;*� 2-6 و 1-5و

22

2

11

2

55 vpvp+=+

ρρ……………………………………(4)

22

2

22

2

66 vpvp+=+

ρρ………………………………..…(5)

(5) و (4)�ع0 ا��ع�د�*�ن p6 – p5 = ½ρ(v2 2 –v1 2) ………………………….....(6)

(3) و (6)و ا��ع�د�*�ن

v(v2 – v1) = ½(v2 2 –v1 2)

v = 2

21 vv +……………………………………….(7.4)

.ود!�7�� >�و�ع,ف هP1 ا��ع�د��

Page 85: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

81

Po@�ع ا�;درة ا�]�ر�I #: ا�د

Po = Ft v1 = ρAv v1(v2 – v1)……………………………(7.5)

Piا�;درة ا�دا��V إ�� ا�د@�ع

Pi = Ft v = ρAv2 (v2 – v1) ……………………………(7.6)

ا��<�ءة ا��B,�5 ��د@�عv

v

P

P

o

i

1 = = =η

v

v1=η ………………………………………….………(7.7)

�=�ل

# �Iة إ�� د@��_� ���وي ا�;درة ا�]�ر,��T 1: #/,كMW . ��,���90!, ا���,ة m/s

, ا�د@�ع 1.1kg/m3@0 ه�اء $�آ: آ{�@*ه & 3m . S�-أ:

.$,�� �!�ر ا�_�اء @0 ا�S"�D ا���@�0 )أ(

.$,�� �!�ر ا�_�اء �(, ا�د@�ع )ب(

, #��ر �!�ر ا�_�اء صع!د و$�@� ا�د@�ع )ج(& .

.�/,ك&�ة ا�د@ ��� ا� ) د(

.ا��<�ءة ا��B,�5 ��د@�ع )هـ(

(7.6)ا�;درة ا�دا��V إ�� ا�د@�ع ، ا��ع�د�� )أ(

Pi = ρAv2 (v2 – v1)

و ��$*]دام "B,�5 @,ود

Pi = 14ρA(v1+v2)2 (v2 – v1)

1E6 = 42.1 (

4π )(9)(90+v2)2 (v2 – 90)

Page 86: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

82

v2 = 103.7m/s

"B,�5 @,ود -) 7.4( ا��ع�د�� )ب(

v = 2

21 vv += 96.9m/s

q#عدل ا��,�5ن ا�/0�D )ج(

q = v A = 684.6 m3/s

A1 = 1v

q= 7.61 m2 , d1 = 3.11m

A2 = 2v

q= 6.63 m2 , d2 = 2.90m

(7.3a) ، ا��ع�د�� Ftا�د@ )د(

Ft = ρq(v2 – v1) = 10.3kN

(7.7) ، ا��ع�د�� ηآ<�ءة ا�د@�ع )هـ(

v

v1=η = 0.93

:�ع ا'���س& '"��Y�ة ا'5Uا��ا'�>

�ع*�د -,آ� ا���,ة ا�/�ا#� ا�*��دا آ�#' ���

��� . (7.5) ا����–ا�د@�ع ا�,أ$0 ا��/�ر !�5;*ص,

ا��/�ر ��� -<= ا�8\ان ا%@;0دور ا�د@�ع ا�ص�!,

��� ا%p, ا��D"(0 ا����s �: دوران ا�د@�ع �;��

.ا�,أ$0 ا��/�ر

7.5ا'8#9

Page 87: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

83

ا' o�"U ) أ(

$,�� ا���,ة ا�/�ا#� @0 اP�D�8 ا�ع��دي ص<,

.@0 هP1 ا�/���

v1 = 0

(7.3b)و���,�Iع ��ع�د�� ا�د@

Ft = ρvv2 A

]*ص, إ�� �د�� @,ود �آ�� أن #ع

v = ½v2

Ft = ½ρAv22

أو

A

Fv t

ρ

22 = ……………………….(1)

��Vا�;درة ا�داPi

Pi = ρAv2 (v2 – v1) = 41 ρAv23……………………………………(2)

�ع!�ن) 2(و ) 1(ن �ا��ع�د�*

A

F

A

FAP tt

i ρρ

ρ

2

2

4

33

=

=

A

FP t

iρ2

3

= ……………………………………...……………..(3)

آ�� أ"ه ��د ا�*/�! 5*��وى ا�د@ و وزن ا���,ة

PWt

Ai =

3

2ρ…………………………………….…….……..(7.8)

ا'-�5د ا'��5دي ) ب(

�� @0 -��� ا�*/�! ���� ه�� �\5د �: ا�;درة ا����وا�د@ 5<�ق . ا�;درة ا��

وزن ا���,ة

Ft > Wt

7.6ا'8#9

!�/�

ص�5د

Page 88: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

84

ا'�?5ط ا'��5دي ) ج(

�� @0 -��� ا�*/�! ���� @0 هP1 ا�/��� �;� �: ا�;درة ا����ا�;درة ا��

وا�د@ ا����ب 5;� �: وزن ا���,ة

Ft < Wt

ا'�U'� ا'���� ) د(

ا�د@ ا����ب ه�� �ه #,آ(� ���د�5

�� و�عدل ا�;درة . و#,آ(� أ@;!���5عدل #�*�ى دوران ا�د@�ع �\او�5 �!ع0 ا��,آ(�ت ا��

��ا�دا����/ص�� ا�;��!: وا��,�� ا8"*;��!� ا�� 0>*� ��V.

��� ا'��ح:

وه0 ؛ل &درة ا�,�5ح إ�� &درة #!��"!�!�/���<� ا�,�5ح �

ه�� هPi 0 ا�;درة ا�دا��V .�ع���1 ��آ�� �ع�� ا�د@

. �A*!�ر ��د #; ا�ع�<� ذات ا����-� �;درة ا��*�-� ا�

وه0 $,�� ا�*!�ر �v1 ا��,�� و�ع*�د هP1 ا�;درة ��

�>� .@0 [!�ب �I. ا�ع

Pi = ½ .

m v12 = ½ρAv1 3 ………………(7.9)

�Iوا�;درة ا�]�رPo

Po = ½ρAv (v12 – v22)……………........………(7.10)

�>� ηا��<�ءة ا��B,�5 ��ع

3

1

2

2

2

1 )(

v

vvv −=η

و��$*]دام "B,�5 @,ود و ا�*(�ر 1

2

v

vr =

η = ½(1 + r – r2 –r3)……………………………………....(1)

7.8ا'8#9

7.7ا'8#9

Page 89: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

85

�5 #���� ���<�ءة ,B" ��!& د5د أ���/*�η

dr

dη = ½(1 - 2r – 3 r2 ) = 0

0و�ع31=r

ا�ع�!� ��د ا��<�ءة،أي

3

1

1

2 =v

v

(1)�� و���*ع��5 @0 ا��ع�د

ηM = 27

16 = 0.593……………………………………(7.11)

.وه1ا ه� ا��;E ا��B,ي ���<�ءة

Page 90: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

86

E�ق ا'�>� ا'��ث7.4

Page 91: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

87

�س��8

:ا%-�ال ا�*��!�!� ��/,ك "<�ث 7.1 0��Vا�د , 0.8m ا�; 0Iا�],و , 0.5m ا�;

65kg/s #عدل $,�5ن ا�_�اء 1.39kg/s #عدل $,�5ن ا��&�د

49kPa ا��3ط ا��Dي0��V51 ا��3ط ا�دkPa 0I70 ا��3ط ا�],وkPa

�!��Vا�/,ارة ا�د �I293 درK �!Iا�/,ارة ا�],و �I700 درK

��@*,اض أن ا�_�اء ا�دا�V وا���زات ا�]�ر�I [�زات #{��!� و���*(�ر &!�� R :!*��/0 ا�@ 287J/kg-K أ-�S ا�د@ ) أ

300km/h~ $,�� ا���,ة أ-�S ا�;درة إذا آ�" ) ب[53.7 kN, 4.5MW]

7.2 0Vط ا��&�د وا��¡آ�د ��/,ك ص�رو!�V 2.5#عدل $,�5نkg/s . ك ا���زات,*�

��,���<K ا�ص�روخ # ��V600ا���m/sا�ص�روخ .�D� �)�����ا��3ط @0 ا���زات . .ك وا�;درةأ-�S د@ ا��/, . 300m/s$,�� ا�ص�روخ . ا�]�ر�I ��5وي ا��3ط ا��Dي

[1.5 kN, 450 kW]

120 ��د#� ���ن $,�� ا���,ة 4kN ��5وي د@�ع ��T,ة 5ع0 د@ع� 7.3m/s د�� , ا�د@�ع . 1.0kg/m3ار�<�ع ���وي آ{�@� ا�_�اء @!ه &2.5m . �!"ا�;درة ا�د S�-أ

�� و �� .*!�ر ا�_�اء $�@� ا�د@�ع��,�� ا��B,�5 ا�ا�� [480 kW, 127m/s]

7.4 ��,��, د@�ع . 1000kg/m3 @0 #�ء $�آ: آ{�@*ه 510m/s*/,ك زورق &

أ-�S ا�د@ ��� . �54m3/s, ا���ء �(, #�*�ى ا�د@�ع ��عدل . 0.5mا�\ورق �دن ا�\ورق . ا�\ورق وا��<�ءة ا��B,�5 وا�;درة ا�دا��V ��د@�ع :� ��s����Dه� ا�<�ا&د ا�

.و�: $,ة ا�د@�ع [83kN , 49% , 1.7MW]

6m/s,ض أن ��<� ر�/!� �ع�� ��<�ء�_� ا��{��!� ��د $,�� ا�,�5ح إذا ا@* 7.5

إذا آ�ن &, . أ-�S $,�� ا�*!�ر �(, ا�ع�<� و��� #��@� #�_� @0 ا�S"�D ا���@�0 �>�#� ه0 &!. ا��3ط . أ-�S ا�د@ ��� ا�ع�<�kg/m3 1.2 وآ{�@� ا�_�اء 5m ا�ع

�>� ؟ #(�s,ةصع!د و$�@� ا�ع [4.0m/s, 2.0m/s, 377 N, 12 Pa , - 7.2 Pa]

Page 92: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

88

حm آ��� ا' U�ك >& ا'-5رة ا' ��"�� 8

ا'-5رة ا'���� '"���دJت 8.1

: وه0 #ع�د�� -<= آ�!� ا�*/,ك @0 ا�ص�رة ا�*��#�!�،)2.12(�دء #: ا��ع�د��

∫∫∫∂∂

V

vt

)(ρ dV + ρA

∫∫ v (v dA. ) = ∫∫∫V

B dV + ∫∫A

σ dA

�*/��5 ا�*��#'ت ا��/!� @0 -)ب( ا���/ –�*]دم "B,�5 ا�*(��د ا�,4�5!� �

ا��ع�د�� إ�� ���#'ت -p ،�!�D. ���� ا�/دود ا����#�� -دود ا��ع�د8ت ا�*<��4!�

���� .ا��

�<*,ض ا8$*�,ار�5 @0 آ� ا���Dل @�ن ا��ع�د8ت ا�*<�B" �!�4,�5 ا�*(��د��� أن

و ه1ا D5ع� ا�ص�رة ا�*��#�!� ���ع�د8ت أ�. #: ا�ص�رة . ��*د�0 ا8$*�,ار�5 آ��1

.ا�*<��4!� %ن ا%و�� 8 ��*د�0 ا$*�,ار�5 ا���Dل

و . #,آ(� ا`I_�د ا�;صs �/# �/!� τ∇ K!- τ0 ع,ف ا��*DهV'ل ا�*/��5 5

آ�� x, y, z 0�5@0 ا�D�8ه�ت ا�{'ث ��5s: �/�!� ا��*Dه

s = sx i + sy j + sz k

:� 5آ�-*�>�� �ع,ف ��ع�د8ت ا�*0 و5;�د ذ�� ���ع�د8ت ا�{'ث ا·�!�

xx sx

pB

z

uw

y

uv

x

uu

t

u+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂ρ ……………………….(8.1a)

yy sy

pB

z

vw

y

vv

x

vu

t

v+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂ρ ………………………….(8.1b)

zz sz

pB

z

ww

y

wv

x

wu

t

w+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂ρ ………………………….(8.1c)

K!-u, v, wت ا��,�� #,آ�)v ه�ت�D�80 ا@ x, y, z0ا�*�ا� ��� .

:0 آ�� sz, sy, sx�5و&د ا$*]�ص $*�آ� &!.

Page 93: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

89

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−

∂=

z

u

x

w

zx

v

y

u

yz

w

y

v

x

u

x

u

xsx µµµ

322

……………………..(8.2a)

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−

∂=

x

v

y

u

xy

w

z

v

zz

w

y

v

x

u

y

v

ys y µµµ

322

…………………….. (8.2b)

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−

∂=

y

w

z

v

yz

u

x

w

xz

w

y

v

x

u

z

w

zsz µµµ

322

…………………….. (8.2c)

�/!K ���� ا��,�5ن 0p'p ا�(عد، [!, ا�,�!S، -#ع�د8ت "�@!, �#�� P'آ� أ��*$

0I\0 وا��T��3"8ا .B*�# �Iلو8 �5*,ط أن ���ن ا��\و�Dإ8 أن . �� ا�;!�� @0 ا��

.هP1 ا��ع�د8ت 8 ��0 ا��,�5ن ا�'"!���"0

Page 94: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

90

ح�Jت �Rص� 8.2

8.2.1 &�W'H'ن ا� ا'س�

�د ا�*(�ر ا��,�5ن 0I\� 8 �ص(F ا��;�د5, �sz, sy, sx و�ع,ف . ص<,ا(8.1) @0 ا��ع�د8ت

.���دJت أو"�ا��ع�د8ت ا�{'ث ا�����D ب

x

pB

z

uw

y

uv

x

uu

t

ux

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂ρ …………………………..(8.3a)

y

pB

z

vw

y

vv

x

vu

t

vy

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂ρ …………………………..(8.3b)

z

pB

z

ww

y

wv

x

wu

t

wz

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂ρ ………………………..(8.3c)

8.2.2 nE�%F*إH'ن ا� � N7 ا'"Wو�� �ا'س�

)2.2(#ع�د�� -<= ا��*�� ���,�5ن ا�'ا"0T��3 ا�*0 $( ا$*]'ص_� @0 ا�;�.

z

w

y

v

x

u

∂+

∂+

∂= 0 ………………………………..(8.4)

�*ع��5 ه1ا ا��;دار @0 ا��ع�د8ت )) 8.2 �I(�ت &!�� ا��\وp �B-'#وµ ع�د8ت# F)ص� :$*�آ� -"�@!,

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

pB

z

uw

y

uv

x

uu

t

ux µρ .…(8.5a)

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v

y

pB

z

vw

y

vv

x

vu

t

vy µρ …...(8.5b)

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

pB

z

ww

y

wv

x

wu

t

vz µρ …(8.5c)

Page 95: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

91

� 5آ� -ح8 ���دJت *�>�� 8.3

و���: . -' T�)3#�(8.2)$*�آ� @0 ص�ر�_� ا�ع�#� - -� #ع�د8ت "�@!,5*ع1ر

!� @0 ا�S"�D ا%�5, ���ع�د��ا�صع��� @0 أن ا�/دود ا�/��!�V ,!] . ع��ا8 أن

�_�- :��5 K!/��*(�!ط ا��ع�د8ت F��� �ا�/�8ت ا�]�ص�E5?F� Hو. ح$ �}��

أ#� @0 ا�/�8ت ا�*0 5*ع1ر @!_� ا�/� ا��3(�ط . �P أد"(8.3.1)���1 ���/��� @0 ا�;�.

?���/� ا��ع�د8ت �Z Hأو ��*]دم ح �� .ا'Y�ق ا'��د� -!{�� ��5ن ذ�� #��

8.3.1N�Z ى �س�X� &< 5ازي �ن ا'� )-� #3(�ط (ا'س�

�ط ا"�!��ه #*�از�5، : ا@*,ا�4ت هP1 ا�/���V ،�Iا��\و .B*�# ،0T��3"ا��,�5ن 8 ا

�!��I ه &�ى!�� ,p¡� 8و S!ا8@*,ا�4ت @0 #ع�د8ت "�@!,. ر� P1د إ���ل ه��-

�]*\ل إ�� ا��ع�د�� ا�*<��4!� (8.1)$*�آ�

2

2

y

u

dx

dp

∂= µ …….(8.6)

و��$*]دام ا�;!�� ا�/دود�5

u = 0 د�� hy21±=

(8.6)5ع� ���#� ا��ع�د��

)4

(2

1 22

yh

dx

dpu −−=

µ…………………..…(8.7)

8.3.2 o�'W "' آ���U'ا �?& (ا'�7��Z ) ح8

, ا��3ط ا����ب �<ص� ا%I\اء ذات �@5. "�!\ �دء �!: ا�*\�! ا�/,آ0 وا�*\�! ا����"0

�_�>" �!)����� 5. ا�/,آ� ا���(!� @0 ا�/��� ا%و�� #: ا�/,آ� ا�!�, @0 ا�/��� �@

��$�� .و5ع��Å @0 ه1ا ا�;�. ا%"��ذج ا�,04�5 ا�/�آ. ��/��� ا%و��. � �VرI!�ا�{�"!�

8.1 ا'8#9

Page 96: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

92

ا'�8��U ذات ا'�س?� ا'?���� ا'#?��ة 8.3.2.1

�� :���� ا8@*,ا�4ت ه

���!� أ�ع�د ا��,�5ن •p

ر���� ا�/,آ� •

8ا"T��3!� ا��,�5ن •

��\وIا�ا"*�Bم •

�ى ا���D!� ا�;ص�, •

.�, �دد ر5���\ص •

�!T��3"ه 5]*\8ن #ع�د8ت "�@!,8 ا*Iم �\و�B*"(8.5) $*�آ� إ�� ا�ص�رة -ا��,�5ن وا .

���!� ا�(عد و��Dه� ا�;�ى ا���D!� �]*\ل ا�ص�رة pا�/,آ� و �� : إ�� ا�ص�رة(8.5)ر��

8.2ا'8#9

Page 97: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

93

ρ∂

∂µ

∂u

u

xv

u

y

p

x

u

x

u

y+

= − + +

2

2

2

2………..………(1a)

ρ∂

∂µ

∂u

v

xv

v

y

p

y

v

x

v

y+

= − + +

2

2

2

2……………..(1b)

���ب `���ل أ$�U'5از*� ا�عد�5 و"*]1 ���1 ا�;!(1) "3 ا��ع�د8ت ا'�. @0 ص�رة 8

�Tل ا��/�� @L 0 ���3ط ؛ -!ρU 2 K ���,��ت و U و �¼�TالL: ا��,Iع!� ا·�!�

. $,�*ه ا�{��*�Uا�P�D ا�/,آ� و

" ��1� :ع,ف ا��*�!,ات ا�'�عد�5 ا·�!� و

x’ = x

L, y’ =

y

L, u’ =

u

U, v’ =

v

U , p’ =

p

Uρ 2, Re =

ρ

µ

UL

ص�!,ة وε :��5ا�;!�� و رة ���;دار ا�'�عدي &!�� آ(!,ة و#;د1���*(�ر ا�;!��

ا��;�د5, ا�'�عد�5 أ�'P �ص(�D� Fه�_� @�ن أوزان

x’ ~ 1 , y’ ~ ε , u’~ 1 , v’ ~ ε , Re ~ ε

(1b) و (1a)ا�ص�رة ا�'�عد�5 ���ع�د8ت

∂+

∂+−=

∂+

∂2

2

2

2

'

'

'

'

Re

1

'

'

'

''

'

''

y

u

x

u

dx

dp

y

uv

x

uu ………………………….(2a)

~ 1 ~ 1 ~ ε-1 ~1 ~ ε-2

∂+

∂+−=

∂+

∂2

2

2

2

'

'

'

'

Re

1

'

'

'

''

'

''

y

v

x

v

dy

dp

y

vv

x

vu ………………………….(2b)

~ ε ~ ε ~ ε-1 ~ε ~ ε-1

� ��1������از"� ا�/د�5(1)]*\ل ا��ع�د8ت و S5,;*�� �D!*" P�"ا�� ا�ص�رة أد :

2

2

dy

ud

dx

dpµ= ……………………………………….(8.8)

Page 98: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

94

:ا�;!. ا�/دود�5 ���,�5ن

y = 0 , u = U ……………………………….. (3a)

y = h , u = 0 ……………………………….. (3b)

x = 0 , p = 0 (�$�!&) ……………………………….. (3c)

x = L , p = 0 (�$�!&)…………..………..………….. (3d)

.x دا�� @�B-'# #h 0 أن

(3a, 3b) #,�!: وا$*]دام ا�;!. ا�/دود�5) 8.8(����#�� ا��ع�د��

u = Uh

yUhy

dx

dpy

dx

dp+−−

µµ 2

1

2

1 2 ……………………(8.9)

و5ع0 -<= ا��*��

q = b ∫ −=h

dx

dpbhbUhudy

0

3

121

21

µ

.x ��� ا��;�p �B-'# q T(�ت &!�� #

dx

dp=12µ

322 bh

q

h

U……………………………….(4)

��#�����!: ا�/دود ) 4(x = 0 و x �#ا�ع� ) h = h1 و h �#ا�ع� (

p = 6µU ∫x

h

dx

0

2 - 12µ

b

q∫x

h

dx

0

3

p = 6µU ∫−

h

h

dhhdh

dx

1

2 - 12µ b

q∫

−h

h

dhhdh

dx

1

3 …………………….(8.10)

3)��$*]دام ا�;!�� ا�/دود�5 d( : p = 0 ، h = h2 , x = L ا��ع�د�� F)(8.10) �ص

Page 99: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

95

q = ½bU

2

1

2

1

3

2

h

h

h

h

dhhdh

dx

dhhdh

dx

…………………………….….(8.11)

�*/د5د �'&� h ـ� x5 ا$*]'ص �'&� ا��3ط :��p 0pـ�8-دا� x . ل ���1 إذا�}#

#�*;!�� ��5: أن "�*]�ص ا�ع'&� اآ�ن ا�S"�D ا%��� ا���آ: #: ا��/�� ذا #�*�

h(x) (8.3) #: ا����

h = h1 – (h1 –h2)L

x

L

hh

dx

dh 21 −−=

(8.11)�ع0 ا��ع�د��

q = bU 21

21

hh

hh

+…………….………...(8.12)

:(8.10)و�ع0 ا��ع�د��

p = 6µUL)(

))((2

2

2

1

2

21

hhh

hhhh

−−……………(8.13)

�_P1 ا�/��� #: �8ا'��5U: ا$*�*�ج

∫=L

pdxbW0

r وإI,اء ا�*��#� و �*ع,E5 ا���(� (8.13) #: ا��ع�د�� pو���*ع��5 ���3ط h

h= 1

2

2

2

2

6h

UHbLW wµ

= ……………………………..(8.14a)

8.3ا'8#9

Page 100: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

96

K!-

[ ] 1

2

1

ln22 −

−−

=rr

rH w ………………………..(8.14b)

��، إ�� أن أ&ص� -�� ��5ن ��د ,D*�5 وا�,B�و5ع��5r = 2.2 0: ا��ص�ل، #: ا�

. HwM = 0.0267ذ��

�ده� ا��ع� ا�/��!� (8.14a)و�ع0 ا��ع�د�� � WM:

2

2

2

16.0h

UbLWM

µ= …………………………………..(8.15)

�*�ج &�ة*$8�.�� ��� -,آ� ا��/��D ا�

∫=L

wdxbD0

τ …………………………………(5)

0=

=y

wdy

duµτ

(5) @0 ا��ع�د�� (4) و (8.12) ، (8.9)���*ع��5 #: ا��ع�د8ت

DbLU

h hHD=

2

1 2

µ……………………….(8.16)

K!-

H rr

rD = −

+2 3

1

1ln

Page 101: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

97

ا'�8��U ذات ا'�س?� ا'?���� ا'-%��ة 8.3.2.2

��ء أن أ�ع�د ا��,�5ن �p'p و�!�~ }*$�� �;��;� ��/��� ا����ا8@*,ا�4ت �_P1 ا�/��� #

:!�pا�ع,04 �!� ص�!,ا #�� 5;�� #: . ا P�D�8أن #��ل ا��3ط @0 ا �B-'# :��5و

.ا���*�ى ا�ع�م ���3ط

�دء اV8*\ال -�@!,"(دأ �p"!� #: #ع�د8ت " ) ���ع�د8ت p. "ع;ـS ا'�F?5ط$*�آ� و"

L�Z '�! . ���/ا� P1_� �D!*� :و���ن ا�

2

2

y

u

x

p

∂=

∂µ ……………………………….(8.17a)

2

2

y

w

z

p

∂=

∂µ ……………………………….(8.17b)

5��ع�د�� -<= ا��*�� �ع0 #� 5ع,ف ب (8.17) ��د د#Å ا��ع�د8ت �'W ���د'� ر

o�'W "':

dx

dhU

z

ph

x

ph

xµ6

2

233 =

∂+

∂…………………….(8.18)

,ق ا�عدد�5 (8.18)��د -� ا��ع�د�� ��� ~)p 0*رب ��� ا��;� �D!*�، آ�� ه� #*�& ، أن ا�

���0 ا�(عد إذا آ�"~ ا���(� ا�(��!� p ا��,�5ن :# �_!�� ��b-ص� Lآ(!,ة .

: ��ص�رة أد"�P �*ع(, �: ا��,�5ن 0p'p ا�(عد(8.14) �(ع� ���1 ��5: �/�5, ا��ع�د��

8.4ا'8#9

���S& ا'?�� SHS& ا'?��

Page 102: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

98

2

2

2

6.h

UHbLKW Wµ

= ……………………………….(8.19)

K ��� bد #ع�#� ا�*ص/!K!- F 5ع*� L 0�5 آ�� :

b L 0.25 0.3 0.4 0.5 0.8 1.0 1.5 2.0

K 0.06 0.085 0.140 0.185 0.34 0.44 0.61 0.68

3.0 4.0 5.0 6.0 ∞

0.775 0.835 0.885 0.94 1.0

8.3.2.3 &Z"U'8 ا�U�'ا

) 8.3.2.2(و ) 8.3.2.1(ا�*/�!� @0 ا%&��م

��5: . اV*ص ��/�#� #�*;!�� ا�;��دة

��/����ا�(�ع "<� ا�*/�!� ��/��� ا�]�ص�

ا�/�;0 �<,د أ-د �Iا"S ا��/�� ا�/�;0

h # إ�;�ء ا����@� ،��T!� ��� ا$*;�#*ه

#: و. آ�� ه0 @0 ا��/�� ا�/�;0 ا%ص�

.وإI,اء ا�*/�!� آ�� $( ph(x). �/د5د

Page 103: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

99

�=�ل

. �300mm,ض ا��/�� . 60mmا��ل ا%@;� ��/�� #�*;!. @0 ا�P�D ا�/,آ�

آ{�@� ز5~ . ا�0، ��� ا�*�50E-6m و 100E-6mا8ر�<���ن ا%��� و ا%د"� ��<�Dة

�د . 0.1Pa.s و�\وI*ه kg/m3900ا�*\�! � �*��p ��/0.5إذا آ�"~ $,�� ا��m/s

S�-أ:

ا�/�� )أ(

ا`��&� )ب(

ا�;درة ا��<;�دة @0 ا��/�� )ج(

cpا�\�5دة @0 در�I ا�/,ارة �\5~ ا�*\�! إذا آ�"~ &!�� ا�/,ارة ا����!� )د(

1000J/kg-k .

b )أ( L 5= 300/60 =

��!&K 0.885 ���وي (8.19) ا���*]د#� @0 ا��ع�د��

HW = [ ] 1)2(

2

12

)2ln(22 −

−−

= 0.0265

W = (0.885)62

2

)650(

)0265(.5.0)06.0)(3.0)(1.0(

−E = 3.04E3

kN 3.04= ا�/��

(8.16)ا��ع�د�� )ب(

D = ( )

−−

−− 6150

65032ln2

6)50100(

5.0)06.0(3.0)1.0(2

E

E

E = 13.9

13.9N = ا`��&�

D.U= ا�<;د @0 ا�;درة ا����s �: ا`��&� )ج (

D.U = (13.9)(0.5) = 7W

��دراك أن ا�<;د @0 ا�;درة )د ( P 5*/�ل إ�� -,ارة P'أ� S�- ا�1ي

Page 104: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

100

P = cp .

m ∆T = cp ρ q ∆T

qc

PT

p ρ=∆

0�D �ع0 #عدل ا��,�5ن ا�/) 8.12(ا��ع�د��

q = 5E-6 m3/s

65)900(1000

7

−=∆

ET = 1.6K = 1.6ºC

Page 105: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

101

Uس�L ح�آ� ا'�5ا�� 8.4) � ) E�ق ��د

ه1ا ا%$��ب 5ع*�د ا$*(دال ا�*��#� ا��(�s, ��ع�د8ت ا�/<= �/� #����D #��@�ـ� #ـ:

�! :و ��5: ا$*]دام أي #: p'ث T,ق �دد�5. ا��ع�د8ت ا�D(,�5 ا�]

/ددةT,5;� ا�<,وق ا�� . 1

T,5;� ا%-�Dم ا��/ددة . 2

3 . �;5,T,ص�� ا��/ددةا�ع

�ء s,ح #�I\ ل��� ���Z ا'�وق ا'��Uدة$��*<0 ه�E.

��S ا�/�آ����*(دل -دود ا��ع�د8ت ا�*<��4!��

�(ط و �ا�<,وق*��_�# �5,)D���5 ه1ا . ا��ع�د�� ا�

�0 ا�*<,5\ ا�عددي ��� . ا' �W ا'��ديا�*(د�5 )�5

.�"س"� �"5ر4�5!� ا��ع,و@� با������ ا�,

ا���4ـ/� @ـf(x) 0و ��5: �ـص�5, ذ�ـ� �*�#ـ� ا�دا�ـ�

).8.6(ا����

) ��ــد ا���4ــ f#<�ـ�ك $�ــ��� �!�ــ�ر ��دا�ــ� x+h( ،

K!-h إزا-� ص�!,ة، ه�:

f x h f x hdf

dxh

d f

dxh

d f

dx( ) ( ) ...+ = + + + +1

2

2

2

2

16

3

3

3…………(8.21)

) ��د ا���f 4و #<��ك $���� �!��ر ��دا�� x-hه�( :

f x h f x hdf

dxh

d f

dxh

d f

dx( ) ( ) ...− = − + − +1

2

2

2

2

16

3

3

3…………(8.22)

� ��I ا��ع�د�*!: "/ص� ��� ا���*;أو ,ح df

dx �ا���*;أو

d f

dx

2

2 :، ��� ا�*�ا�0

[ ]df

dx hf x h f x h O h= + − − +

1

2

2( ) ( ) ( )………(8.23)

8.6ا'8#9

Page 106: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

102

[ ]d f

dx hf x h f x f x h O h

2

2 2

212= + − + − +( ) ( ) ( ) ( )………(8.24)

0�ن هP1 ا�/دود ���ن ص�!,ة و #ع��م أ. ، أو #� �عده�n-دود #: ا�درK!-O(h n) �I �ع

. ص�!,ةhإذا آ�"~

P'ا��ع�د8ت أ�F4�� ��5: أن E!ب -دود ا��ع�د8ت ا�*<��4!� ا�/�آ�� إ�� -دود � آ,;

.#<,وزة �/�S �دد5� ��د #�ا4 #�ز�� @�D# 0ل ا��,�5ن

Page 107: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

103

�س��8

I\أ #: #D,ى 8م F4�5 (8.6) ا���� 8.1

~�����عدل ا�{� '��$ �;� ��� 0.5m3/s#�*�ي 5

�4,� ,*#.

Å*���@*,اض ا"*�Bم ا��,�5ن @0 آ� ا��;�T ا$*

�د ا��; ا�ع�م " ا���#�"�ع(!,ا �: ا�*��رع �x

(2) و p(1). ا$*�*Å &!�*ه ا�عدد�5 ��د ا��;ع!:

إذا ز5د #عدل ا��,�5ن ز�5دة #,دة ���وي

0.1m3/s2 �#ا�*��رع ا��� S�-04 أ,� ,*# ���

�د#� 5ص(F #عدل (2) و (1) @0 ا��;ع!:�

. ��� #*, �,0.8m3/s04 ا��,�5ن

[0.20 m/s2, 0.93m/s2, 0.71 m/s2, 2.70m/s2]

ــ�ة 8.2 ــ�,�� وا�; ــ��0 ا� D# Eــ ــ: �ع,5 ��5 0T��3ــ ــI\� 8 Sــ0 و8 ا" $ــ,�5ن ر�!

: ا���D!� @!ه ����ع�د�*!:

j ay- iax = v

kg ρ- = B

: أp(~ أن ��ز5 ا��3ط @0 ا���Dل 5ع(, ��ه ����ع�د�� p0إذا آ�ن ا��3ط ��د ";� ا%ص�

p = p0 - ½ρ a2(x2 +y2) – ρgz .

8.3 ��_�!��!: ��-!: #*�از5!: ا����@� 0T��3"و8 ا S!�5ن ص<��/0 ر�,$h .

��,���� P5*/,ك ا���ح ا%��� @0 #�*�اiU - ����� �B5 ا���ح ا·V, $�آ!� .

:$*�آ�-عT�)3# '- 0� ��ع�د8ت "�@!,أp(~ أن ا��ع�د�� أد"�P � )أ

ih

y

h

y

h

y

dx

dp

U

h

U

u

−−−= )1(

2

2

µ

� ا%ص� �����B#� ��� ا���ح ا���آ: ;" 1V.

، ا�<Dـ�ة آ5وـ� @� -��� �Vص� �_1ا ا��,�5ن ، ا�1ي 5ع,ف �ـ�,�5ن )ب

�!: ا���-!: mm10 و$ـ,�� ا��ـ�ح ا��*/ـ,ك s/ mi.1 0- . ـ�Iـ�ر أن ا��\و)*���

ــ�� ــ� ��� ــ��وي ا�/,آ! �0.05Pa.s ــ ل ــ, ا��*�& أر$ــ. ا�*�!U

uــ #

h

y

:��/�8ت ا·�!�

8.6ا'8#9

Page 108: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

104

dx

dp= 0 (i)

dx

dp= 1 Pa/m (ii)

dx

dp= -1 Pa/m (iii)

.���ح ا��*/,ك @0 آ� -��� و-دد ا�P�D ا�;�ة ا��¡p,ة ��� ا

#/�� د@عـ0 #�ـ�ن F4�5(8.7) ا ���� 8.4

�;� صـ�. �/�ـ� #��ـد آ_,�ـ��0 �*# & �#: أر

��5: ا�*(�ر آ� #ـ: ا�;ـ . 5zzدور -�ل ا��/�ر

ا%ر�ـــ -ـــ1اء #ـــ�*�ي و#��ـــ� وا�*(ـــ�ر أن ا����ـــد

���*(�ر ا��\وIـ� . S)�53MN -�' -,آ!� ��5وي

و"ـ�(� $ـ��T 0(;ـ� �0.04Pa.s\�ـ ا�/,آ!� ��

&ـــدر ا�ـــ�,�� 2.0ا�\5ـــ~ ا%��ـــ� إ�ـــ� ا%د"ـــ�

ــ� ــ��� ا%د" ــ� ا� ;5 8 Kــ !/�ــد ــ� ����� ا�دورا"!

�50(;� ا�\5~ �: E-6m. �Ü�/�# : ��s ب,&

�!rpm] [93 .ا�/1اء إ�� #�*

ار�<�ع ا�<�Dة @0 #/�� -1ا�0 5*�!, #ـ 8.5

-�S ا��ع�د�� x ا�P�D ا�/,آ�

h = a e-bx

K!-a و b ~� . �pا

�دp ��8ا$*]�ص �'&� ���3ط )أ h, h2, h1, L, U, µ

آ�ن �ع(!,ا �: ا��;دار ا�'�عدي )ب2

2hUL

p

ρ�د�8ـ� Pـ��/� وأر$. #

h/h2 د�� h1/h2 = 2.0

�� ا��;��� ��/1اء ا��� )ج/� .*;!. ���;�ر"�أر$. ��� "<� ا����ط ا��

8.7ا'8#9

Page 109: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

105

ا��ــ�.ـ� 9

9.1 ���Z�

: صع��� ا�*/�!� ا�,04�5 ا�ع�م ���,�5ن ا���#� د@ إ�� �;�!. #�Dل ا��,�5ن �;��!:

���Dدران ا�/�و�5، #�� 35عE @!ه #��8ت ا��,�� وD5ع� ,p�*أو�_�� ا��,�5ن �4!� ا�

وا�;�. . �ن�ا��,�5ن ا��ا��\ج �4!� ا%p,، و5ع,ف ه1ا ا�;�. ����,�5ن ا�'�\0I أو

����8ت ا��,�� وS��5 @!ه ا%p, ا��\0I، و���5 $,�5ن ,p�*ا�{�"0 ه� ا��,�5ن ا��

��� "¡V, درا$� . ا�(;� ا�Dدار�5!� ,!V%درا$� ه1ا ا�و"/: @0 ه1ا ا�(�ب #ع�!�ن

,s0 ��(�ب ا�ع�I\�'ا��,�5ن ا�.

9.2 � ���دJت ا'�Z?Y ا'�Xار

��ــــ�ن (9.1)4�5ــــF ا�ــــ���

ا�(;� ا�Dدار�5 ��� ��ح ر@!ـ

ــ*;�#� ــ� ا$ـــ ا�ـــــ��� ��ـــ

و5'-= ��!, ا��,�� . ا��,�5ن

، -*ـــ� �(�ـــy ä#ـــ ا��ـــ��@�

. 15آ, ا#�4ع� 8 5'-= @!ه ��!,

�;)و5ع,ف ه1ا ا���4 �/د ا�

و1V¡5 ��دة ��� أ"ه . ا�Dدار�5

@!ـــه �ـــ��ويا���4ـــ ا�ـــ1ي

U، -!ــــــ0.99U Kا�ــــــ�,��

�د ا��; ا��,�� ا�� � ��B*�

x ــدا �ــ: ا��ــ�ح أول #ــ: &ــدم . �ع!

ــ� ــ� ا�Dدار5ـ ــص�رة ��(;ـ ــP1 ا�ـ هـ

'5د>�ـــ£ وsـــ<ع_� ���*/�!ـــ� هـــ�

.!�ا* 8

9.1 ا'8#9

9.2 ا'8#9

Page 110: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

106

��5: أن ",ى ه�� #� ذآ, @0 ا��;د#� �: ا����ل dy

du �;) و&!�*ه دا�V و�Vرج ا�

: p :#(1.3). ا�*<�, @0 ا��ع�د�� ا�Dدار�5، و

dy

duµτ =

��� �D� :��5ه�ه �VرK!- τ�_I ��5ن ا�;ص !�. ذا &!�� #;درة دا�V ا�(;� ا�Dدار�5،

و��5: أن ",ى أ35� أن ا�(;� ا�Dدار�5 أوF4 وأآ{, �/د5دا @0 ا��,�5ن ذي ا�;!��

\��� .ا�ع��!� �عدد ر5

:�5 "<*,ض@0 ا�*/�!� ا·�0 ��,�5ن ا�(;� ا�Dدار

���� ا�(عد •p0 وT��3"8ا ،S!ا��,�5ن ر�.

.;ص�ر ا�1ا�0ا�;�ى ا��\I!� ذوات وزن -دي #���ه �� •

ا�Dدار ا�ص�S ا�1ي V�*5. ا��,�5ن ه� ��ح #�*;!. -�د ا�/�@� و#�ازي ��*!�ر •

.و5ع�0 ذ�� أن زاو�5 ا�_�Dم ���وي ص<, . ا�,�!�0

: �ا'N�Z ا'�Uود� '"س��ن >& ا'�Z?Y ا'�Xار

y = 0 u = 0 v = 0

y → ∞ u = U du/dy = 0

: إ�� ا�ص�رة ا��ع�د8ت$*�آ� �]*\ل- �����ل ا8@*,ا�4ت ا%و�� ��� #ع�د8ت "�@!,

∂+

∂+−=

∂+

∂2

2

2

21

y

u

x

u

dx

dp

y

uv

x

uu

ρ

µ

ρ…………………..(1)

∂+

∂+−=

∂+

∂2

2

2

21

y

v

x

v

dy

dp

y

vv

x

vu

ρ

µ

ρ…………………..(2)

0=∂

∂+

y

v

x

u…………………….(3)

:@0 ا�ص�رة ا�'�عد�5) 1(ا��ع�د��

Page 111: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

107

∂+

∂+−=

∂+

∂2

2

2

2

'

'

Re

1

'

'

Re

1

'

'

'

''

'

''

y

u

x

u

dx

dp

y

uv

x

uu …………………..(4)

1 1

دا�V (ا�/د ا%V!, @0 ا�S"�D ا%�5:: آ�� ��5)4(5*. وزن ا�/دود @0 ا��ع�د��

�1�د 4,�ه @ε2 . 0/1 وز"ه )ا�;�س/Re 0 ا��زن �!\ن ا�S"�D ا�5%, 1 5�(�0 أن 5ع

.ε2/1@*,اض ا�{�"0، وه1ا D5ع� وزن �دد ر5���\ ���ع�د��، -�S ا8

2

2

2

2

'

'

Re

1

'

'

Re

1

'

'

'

''

'

''

y

u

x

u

dx

dp

y

uv

x

uu

∂+

∂+−=

∂+

1 1 ε2 1

ا���از"� ا�/د�5 اذن �]*\ل ا��ع�د�� ا�� ا�ص�رة

2

2

'

'

Re

1

'

'

'

''

'

''

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu

∂+−=

∂+

و ���,�Iع ��ص�رة ا�(عد�5

2

21

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu

∂+−=

∂+

ρ

µ

ρ…………………………….(9.1)

��ع,@*�� ا·ن � )2("� ا�/د�5 ��� ا��ع�د�� ��د ا���ل ا���از :!��زن �دد ر5���\ #�*ع!

�� #�از"� ا��ع�د�� ا�{�"!����5.

∂+

∂+−=

∂+

∂2

2

2

21

y

v

x

v

dy

dp

y

vv

x

vu

ρ

µ

ρ

ε ε ε3 ε

���1 ��5: ا[<�ل هP1 ا��,آ(� #: #ع�د8ت "�@!, . D"εεεεد أن أآ(, ا�/دود ��زن –

.$*�آ�

: #ع�د�� ا8$*�,ار�5

0'

'

'

'=

∂+

y

v

x

u

1 1

Page 112: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

108

0=∂

∂+

y

v

x

u………………………………………..(9.2)

.#ع�د�� �,ا"*� ��(;� ا�Dدار�5 ب (9.1)و ��ف ا'���د'�

F)دار�5 @�ن ا�;!. ا�/دود�5 �صDا� �;) :أ#� �Vرج -دود ا�

y ≥ δ , u = U , du/dy = 0, d2u/dy2 = 0

(9.1)��ع�د�� و�ص!, ا

dx

dp

dx

dUU

ρ

1−= ……………………..…………….(9.3)

: ���,�5ن @0 ا�(;� ا�Dدار�5 @0 ا�ص�رة(9.1) -' ���ع�د�� آ�ر�| >5ن&دم

τw = ρ ∫∫ −+−∂

∂δδ

ρ00

)()( dyuUdx

dUdyuUu

x………………..(9.4)

:,ى ا·�� @0 -� @�ن آ�ر#:5 و

.]*<0 @�ن ا�/د ا%V!, 5 @0 ا���Dل ا��3ط�. 5*�!,إذا (1)

.u(y)"/*�ج ��ع,@� ��ز5 ا��,�� τw �/��ب ا`I_�د ا�;ص0 ��� ا�Dدار (2)

(3) Fط ، #: ا��,�5ن ا�ص<��/0 وا��,�5ن ا����,��� (9.4) ا��ع�د�� �ص�,��

.���,�� ا����$(ا دا��ا$*]دام

Page 113: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

109

آ�ر�| ��� ���ل ا'F%ط ص� ح8 >5ن 9.3

�د �dp/dx = 0 1 ا��ع�د��V�� (9.4) ا�ص�رة :

∫ −∂

∂=

δ

ρτ0

)( dyuUux

w

وص�ر�_� ا�'�عد�5

∂= ∫

1

0

2)1(

δδ

ρ

τ yd

U

u

U

u

xU

w

η و φو�*ع,E5 ا�;!. ا�'�عد�5

U

u=ϕ ,

δη

y=

"/ص� ���

−= ∫

1

0

2)1( ηϕϕδ

ρ

τd

dx

d

U

w …………………………..(9.5)

9.3.1 ��U��-'ا � ا'�Z?Y ا'�Xار

*$8�� 0"���!� ا�*0 �,�ط ا`I_�د ا�;ص0 ����ل ا��,�� (1.3)<�دة #: #ع�د�� ا��,�5ن ا�

0=∂

∂=

y

wy

uµτ = µ

δ

ϕ

ηη

U d

d=0

=2U

w

ρ

τ

0=ηη

ϕ

δρ

µ

d

d

U

Page 114: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

110

��5: -��ب0=η

η

ϕ

d

d آ;!�� �دد�5 �_1ا αف ه�� و�ع,. φ(η) �دد5� إذا �,@~ ا�دا��

.ا����ل ا�'�عدي

=2U

w

ρ

τ

δρ

µα

U………………………………………….(1)

.آ�ر#: #ع�د�� @�ن#: ���1 ا�S"�D ا%�5, (1)د ا��ع�د�� /د�

���/,ف_1ا ا��;دار ا�*��#�0 � و ",#\ φ(η)أ#� ا�S"�D ا%�5: ���ع�د�� @!*/دد ��ع,@� β

∫ −=1

0

)1( ηϕϕβ d ………………………………..(2)

:(9.5) @0 (2) و (1)���*ع��5 #:

dxU

dβρ

µαδδ

��#�� ع0 ا��و�

xU

=

βρ

µαδ

2………………………………….(9.6)

�ع!�ن (9.6) و (1)ا��ع�د�*�ن

=2U

w

ρ

τ

xxU Re

1

2

1

2

αβ

ρ

µαβ= ……………………….(9.7)

�� L و��Tه b ��� #��-� ��ح �,4ه Iτw,اء ا�*��#� ل و

32 LUbD αβρµ= ……………………………(9.8)

� ، #ع�#� Cfف ه�� "ع,�"X'ا �.�� ا�

Page 115: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

111

AU

Dc f 2

21 ρ

=

L

fcRe

18αβ= ………………………………(9.9)

�!� ا�*0 -ص� ��!_� ,D*ا� Å��*� !Hز5سا�

xx Re

0.5

99.0

==ϕ

δ……………………………(9.10a)

x

w

U Re

332.02

τ………………………………(9.10b)

Re

328.1=fc …………………………………(9.10c)

Page 116: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

112

ا'�Z?Y ا'�Xار� ا'����ة 9.3.2

:R-��ص ���� '"س��ن ا'����

I\��5ت ا��,�5ن ا����, 8 ��\� @0 ص�رة ص<��F آ�� ه� ا�/�ل ���,�5ن ا�ص<��/0 1)

# #/ص�� -���_� �*/د @0 آ*!'ت و��<ص� ��$*�,ار و�*/,ك @0 آ� ا�D�8ه�ت و

.$,�� @0 ا�P�D ا��,�5ن ا�,�!�0

0@ ��,���� '}# ��إذا اه*��

P�D�8اx ه��� u، @�ن u، و $�!

����,�� �t,�(ط ��د أي و&~

� ، u' اY�J�اب و uا��*�$

K!-

∫=

+=τ

τ0

1

'

udtu

uuu

K!- وτ ة ا�,صد,*@ �� . ه

: آ�� T 0�5 ح�ة ا' �5ر و�ع,ف

++=

U

wvuT

)'''(222

31

……………………..…(9.11)

: ~ Vص��ص ا�*��ر 8ا��Dه!� إ�� ا�ص�رة أد"�P إذا آ�"(9.11)و��5: اV*\ال ا��ع�د��

=U

uT

2'

0 ���� @!ه @;�د إ�4@!� ��(V :# Sص�2) I\ا�<;د ا�� S"�D��ص ا��,�5ن ا����, ا"ه

:-,آ� ا��*!'ت، وه0" ���ا�!�"

.@;د ��(S ا�/,آ� @0 اP�D�8 ا�ع,04) أ(

.@;د ��(S ا�صدم ا��*�اص�) ب(

.إ���دات ر�W'5و5��� �: ذ�� #� 5ع,ف ب

9.3 ا'8#9

Page 117: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

113

#دى ه1ا ا�عدد . Recر5���\ ا�/,ج، 5*/�ل ا��,�5ن #: ص<��/0 إ�� #��, ��د �دد 3)

S!� ا�/,ج ���,�5ن @0 ا%"�

2 000 < Rec < 10 000

(T ~ 0.5%)و���,�5ن ��� ا%��اح ا���*��5

0.35E6 < Rec < 1E6

ا`I_�د ا�;ص0 ا���0 @0 ا�(;� ا�Dدار�5 ا����,ة ���5 ا`I_�د ا��\0I ا�(�!ط ا��ع(,

. ا�ص<��/0 و إI_�د &ص0 إ�s�" �@�4 �: ا�*��ر��ه @0 #ع�د�� "!��: ���,�5ن

:ا`I_�د ا��ع(, ��ه @0 #ع�د�� "!��: ���,�5ن ا�ص<��/0

dy

dul µτ = =

dy

duρν

!���5س£و5ع(, �: ا`I_�د ا�;ص0 ا`�4@� ا����s �: ا�*��ر ��ع�د��

dy

udt ρετ = ……………………..……………..(9.12)

.ا'"Wو�� ا'�7ه�� ε و ا����د ا'�5ري ا'�7ه�ي τt و����

:�,�(ط ا��\و�I ا��Bه,�5 ��*�!,ات ا��,�5ن

u’ , v’ , w’ ( ε = ε#��8ت ا��,��، (

��,D*��� .و��*]�ص هP1 ا�دا��

�� ا�*ع,5<�ت ا��1آ�رة #:� (9.2) و (9.1)���دة ص!�[� ا��ع�د8ت � *���1 ا' �5ر ���

:�*��� ا��,�5ن ا����,

( )

∂+

∂+−=

∂+

y

u

ydx

pd

y

uv

x

uu εν

ρ

1……………………….(9.13)

Page 118: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

114

0=∂

∂+

y

v

x

u……………………………………..(9.14)

و�/*�ج ا��ع�د�� . (9.5) و (9.4) @�ن آ�ر#: -��ل إ�� (9.14) و (9.13)�;�د ا��ع�د8ت

: ا�*��د ا�دا�� أد"�P ��5. �*/د5د دا�� ا��,�� وT(!ع� ا`I_�د ا�;ص0 ا�Dداري(9.5)

:���,�5ن ا����,

71

ηϕ = …………………………………(9.15)

F د�~ ��Dرب �'ز5ـ�س إ�ـ� ا�ـص!�� ا'�������I_�د ا�;ص0 ا�Dداري ا����, ��� ا%$

�!�,D*ا�:

=2U

w

ρ

τ0.0225 Reδ-1/4……………………………(9.16)

���5E5<Rex<1E7, ��� ا%��اح ا���*��5 @0 ا��دى ���,�5ن ا�(9.16)�ص�F ا��ع�د��

"��3 ا·ن @0 �/�!� $,�5ن ا�(;� ا�Dدار�5 ا����,ة ���*,آ!\ ��� ا���ح ا���*�ى ذي

.��� .ا��F ا�

�'ز�5س �D!*" دام[*$��

=2U

w

ρ

τ0.0225 Reδ-1/4 = 0.0225

41

δ

ν

U

$0 �*�ز5 ا��,��و ا$*]دام ا�;�"�ن ا%

71

ηϕ ==U

u

0 :(9.5)ا��ع�د�� �ع

=2U

w

ρ

τ

−∫

1

0

)1( ηϕϕδ ddx

d

Page 119: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

115

0.02254

1

δ

ν

U=

−∫

1

0

)1( 71

71

ηηηδ ddx

d

0.02254

1

δ

ν

U=

δ

72

7

dx

d

dxU

d4

1

41

7

720225.0

=

νδδ

0 ا�*��#� و5ع

dxxU

54

51

37.0

=

νδ ……………………………….(9.17)

��;�ر"� ا��;دار x4 2/1 ���,�5ن ا����, # ا��;دار /5x �;) ���,�5ن ا�ص<��/0 ",ى أن ا�

.ا�Dدار�5 ا����,ة ���� أ$,ع #: ا�(;� ا�Dدار�5 ا�ص<��/!�

ص�رة 8�عد�5 @0(9.17)��4 ا��ع�د��

51

Re37.0−

= xx

δ………………………………..(9.18)

.و"'-= 4عE ا�*��د $�� ا�(;� ا�Dدار�5 ��� �دد ر5���\ #;�ر"� ����,�5ن ا�ص<��/0

: "/ص� ��� �ع(!, �: ا�;ص ا�Dداري ا�'�عدي (9.18) و (9.16)#: ا��ع�د�*!:

=2U

w

ρ

τ0.0288 Rex-1/5 ………………………(9.19)

��#����� ��� ا���ح "/ص� ��� (9.19)�"X'ا �.�� D ا�

∫=L

wdxbD0

τ = 0.036 b ρ ν1/5 L4/5 U 9/5

Page 120: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

116

�� إ�� أن ا��ع�#� ا%دق ه� ,D*0.037و�دل ا�

D = 0.037 b ρ ν 1/5 L4/5 U 9/5………………………………….(9.20)

p. "/ص� ��� #ع�#� ا`��&� ا��Dد�5

Cf = bLU

D2

2

1 ρ= 0.074 ReL-1/5 …………………..………(9.21)

�=�ل

$,�5ن ��� ��ح "��. ����ل

#*, �Tل ا���ح. ي�4ط ص<,

. #*,0.3 و�,4ه وا-د

����� �!����ا��\و�I ا��!

1E-6 m2/s وآ{�@*ه

1000kg/m3 . ��,ا��

0.7m/sا�]�رI!� ��*!�ر

إذا أ#�: إ�;�ء )أ (

�/!� ��� آ� ا���ح أ-�S $�� ا�(;� ا�Dدار�5 ��د #�*صE ا��,�5ن ص<�

.�Tل ا���ح وأ-�S ا`��&� ا��Dد�5 ��� آ� ا���ح

إذا رج ا��,�5ن صع!د ا���ح �/!K أص(/~ ا�(;� ا�Dدار�5 #��,ة ���#� )ب (

أ-�S $�� ا�(;� ا�Dدار�5 ��د #�*ص�T Eل ا���ح وأ-�S ا`��&� ا��Dد�5

.��� آ� ا���ح

�'ز�5س @0 -��� ا�(;� ا�Dدار�5 ا�ص<��/!� �)أ( Å��*" 0 :ع

x

x

x

Re

0.5=δ

ReL/2 = 0.35E6, δL/2 = 4.2E-3 ≈ 4mm

ReL = Re1.0 = 0.7E6

:D&�ة ا`��&�

9.4ا'8#9

Page 121: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

117

D = ½ρU2bL Cf

Cf = LRe

328.1= 0.0016

D = ½(1000)(0.7)2 (0.3)(1.0)(0.0016) = 0.12N

@0 -��� ا�(;� ا�Dدار�5 ا����,ة ) ب(

ReL/2 = 0.35E6

)9.18(و �ع0 ا��ع�د��

δ0.5 = 0.014 = 14mm

)9.21(و ) 9.20(و #: ا��ع�د8ت

ReL = 0.7E6, Cf = 0.005

D = ½(1000)(0.7)2 (0.3)(1.0)(0.005) = 0.37N

Page 122: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

118

9.3.3 |�X�'ا � ا'�Z?Y ا'�Xار

!;� (9.3.2) و (9.3.1): @0 ا�;��!: ا���

�. �/�!� $,�5ن ا�(;� ا�Dدار�5

ا�ص<��/!� وا�(;� ا�Dدار�5 ا����,ة ���

#� 5/دث ��دة @0 . دة �*(�!ط ا�*/�!�-

ا�(!ع� أن ���ن ا�(;� ا�Dدار�5 ص<��/!�

p. �*/�ل ��د ) #;د#� ا���ح(@0 ا�(دء

&!�� ر5���\ ا�/,�I إ�� I �;)Tدار�5

ا���ح @0 هP1 ا�/��� #� 5ع,ف �D5ور. #��,ة

:!D_دار�5 ا�Dا� �;)���.

"�د ه�� -��ب &�ة ا`��&� ا��Dد�5

��@*,اض أن ا�*/�ل #: ا�/��� ا�ص<��/!� إ�� ا����,ة :!D_دار�5 ا�Dا� �;)ا�����s �: ا�

ه1ا ا�*/�!� "ع*�د @0. 5*. @0 #��@� &ص!,ة �D� :��5ه�_� وا�*(�ر ا�*/�ل #�4ع0

��YZ� LZ ا' 5Uل �#| ا� ?�ر : ��� ا$8*�(�ط ا�����ب إ�� �,ا"*� و ا�;���

���Z� ���$#8 ا'�Z?Y ا'�Xار� إ� �ادا '�Z?Y ��ار� ����ة وه��� ?�أ

.ا'"5ح

: ���وي Dإذن ا�;!�� ا���!� ����&�

�ل ا`��&� ا���ر�5 ��� ا�- L ا`��&� ا���ر�5 ��� ا��ل Ll + �&��`ا

. Llا�ص<��/!� ��� ا��ل

+−=

21

51

51

Re

328.1

Re

074.0

Re

074.02

21

ll L

l

L

l

L

LLLbUD ρ ……………….(9.22)

9.5 ا����

Page 123: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

119

�=�ل

��ء أن ا�(;� ا�Dدار�5 ه�� هK!- ،:!D (9.1)ا��ع!�ت #����p ��ع!�ت ا��{�ل }*$��

ا����ب -��ب &�ة . �0.4E6*/�ل #: ص<��/!� إ�� #��,ة ��د �دد ر5���\ ا�/,ج

.�Dد�5ا`��&� ا�

= �دد ر5���\ ا�/,ج ν

lUL

Rec = ν

lUL= 0.4E6

Ll = U

c νRe = 0.57m

ReL = 0.7(1.0)/1E-6 = 0.7E6, lLRe = 0.4E6

�ع0 (9.22)ا��ع�د��

D =

½ (1E3)(0.7)2 (0.3)(1.0)

+−

21

51

51

)64.0(

328.1

0.1

57.0

)64.0(

074.0

0.1

57.0

)67.0(

074.0

EEE

= 0.22N

و ،-��� ا�(;� ا�Dدار�5 ا�ص<��/!�_P1 ا��ع!�ت @0.12N � 0"1آ, أن ا`��&� ���وي

0.37Nدار�5 ا����,ةDا� �;) . �/��� ا�

Page 124: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

120

ي ا'�Z?Y ا'�Xار� !���ل �%ط J ص�9.4

#�� $(;~ درا$*ه �:

ا�(;�ت ا�Dدار�5 ا�*0

��5وي #��ل ا��3ط @!_�

ا`I_�د ا�;ص0 ن أص<, ",ى

#��ل ا��,�� وτwا�Dداري

ا�Dداري0=y

dy

du �ن*��&ص 5

ن � ا��ع�د�*- x # ز�5دة

و��د ��#� #��ل . x,ت &!�� إ8 أن &!�_�� 8 �_(ط إ�� ا�ص<, #_�� آ(. (9.19) و (9.7)

8 5�ع�� أ�دا @0 هP1 ا�/��� uا��,�� ",ى أن إ�P�D ا��,�� .

ا$� #� ��5: أن 5/دث ����ل ا��,�� &,ب ا�Dدار @0 -��� #��ل �4ط 8 ��5وي �در

ا���s, ا���F4 @0 ا���� - ص<, "*<�, @0 ا��,�5ن ا�'إ"�T��3 دا�V ا��D,ى ا�'م

(9.6).

~��p ،�5ع�د�� ا8$*�,ار# = vA � �*\ا5د @0 ا�v S"�D، �دل إ�� أن ا��,�� ا��*�$

,s����&ص @0 ا�S"�D ا�*� .p �/د ا�����*ع��5 ���1 @0 #ع�د�� و. ا�'م �*(�ä #داه� �

:-<= ا��&� @0 ص�ر�_� ا��{��!�

~��p =2

21 v

p+

ρ

",ى @!ه أن #��ل ا��3ط $��S و (9.6)"/ص� ��� ��ز5 ا��3ط ا���F4 @0 ا����

#�ذا 5/دث إذن ��(;� ا�DدارSI�# . �5 @0 ا�S"�D ا���@�0 @0 ا�S"�D ا�صع!دي و

<�0؟ ا���#!� ��� ا�Dدار ا��

@0 ا�S"�D ا�صع!دي، -!K ) أ(dp

dx< ، @�ن ا��3ط E�V آ� I\�5 &,ب 0

�5\Dدار أ��� #: ا��3ط أ#�م ا�D�5 . ا�\Dوه1ا 5¡دي إ�� أن 8 �_(ط $,�� ا�

.إ�� ا�ص<, &ط

ا'8#99.6

Page 125: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

121

@0 ا�S"�D ا���@�K!- ،0 )ب(dp

dx> ، @�ن ا��3ط E�V آ� I\�5 5;� �: ا��3ط 0

�� أن . وه1ا 5¡دي إ�� ا-*��ل ه(�ط ا��,�� ه��ك إ�� ا�ص<,.أ#�#ه,D*و"ع,ف #: ا�

ا�/��� dp

dx> اض ��@*, و. -��� 4,ور�5 �_(�ط ا��,�� إ�� ا�ص<, و���_� �!�~ آ�@!�0

آ(!,ة "�(!� 5_(ط #��ل ا��,�� �(��دزاو�5 du

dy5ص(F ��ز5 ��د ا�Dدار إ�� ا�ص<, و

.(9.7) @0 ا���� (2): @0 ا��; (!ا��,�� آ���

P�D0�5 ذ�� @0 ا� �#

ه� ا"ع��س ا�x P�Dا��,�5ن

0 > ا��,��، du

dy، و 5*��ن

5دور @!ه ا���� #�Dل $,�5ن

و���5 ا��,�5ن . #�4ع!�

@0 هP1 ا�/��� $,�5ن

8-��.

�Üه,ة ا�<ص� �ص�-(_� #�3ر

�د5دة @0 ا�*(!;�ت

ا�_�د$!� و5�(�0 ا�*!;: #:

[!�ب #�((��_� ��د ا�*ص�!.

.زا�� ا�<ص�`�$��� ا��*(ع� ا�أو ا$*]دام أ-د

9.7 ا'8#9

Page 126: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

122

�ر�& ا'-8 و ا���.� ا'��Y%F >& ا'س��ن ا'¥ 9.5

9.5.1 �?� �5Yا*�أا'س��ن

���0 ا�(عد #/��م ��ع�د�� �,"��0 @0 ا�ص�رة p 0��}# درا$� $,�5ن� :"(دأ

~��p =p +1

2

2ρν

�3Vع ا��,�5ن �_1ا أنو",ى

�ط ا�� ����p ا�<,ض 5¡ديV

و أن ،ا��,�5ن -�ل ا%$�ا"�

ن #*��ρv2'p½ وا��;دار pا��3ط

ا���� –�/�ر ا�,أ$0 -�ل ا�

(9.8).

�عــ� #ــ�*�ى ا�ــ�3ط @ــV 0ــط �*��

@�ن #{��!� ا��,�5ن 3-2-1ا��,�5ن

0� �ع

p3 = p1

د ���#ـــ� ��ـــد أي أن ا�ـــ�3ط 5ـــ�*,

.(3)ا���4

هP1 ه0 ا�ص�رة ا��{��!� ���,�5ن

#� ه0 ا�ص�رة . �(, ا%$�ا"�

ا�<ع�!�؟

3- 2-1ا��,�5ن &,ب ا��F ء5(ط

ا���� –ا"\8ق ��(S &!د ا�'

وه� ا�;!د ا�1ي 5¡دي �*��5: . (9.9)

Fو5ع�I �;)T . 0دار�5 ��� ا��

#: p. ���ن ا�(;� ا�Dدار�5 و�Iد #��8ت $,�� و

.@;د @0 ا��&� ا-*��ك �\0I و

5¡دي 5�]<� ا��3ط و �*\ا5د ا��,�� و2-1@0 ا����ر

ه1ا و. ا8-*��ك ا��\0I إ�� @;د @0 ا��&� ا�/,آ!�

9.8 ا'8#9

9.9 ا'8#9

Page 127: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

123

0�5*( و. ا��,�5ن ا��{��0 أن #/*�ى ا��&� ا��<!د أ&� #: #/*�ى ا��&� @0 -���5ع

��(S ا�<;د 3 ��د ا���p1 4 إ$*/��� ا$*,داد آ� &!�� ا��3ط 3-2ذ�� @0 ا����ر

5�]<� ا��3ط $�@� ا%$�ا"� �: "P,!B صع!د ا%$�ا"�، أي أن وا��1آ�ر

p1 – p3 > 0

��1� ��� ا���dp/ds 0@ �)I �¡دي و. 1-3 ��� ا$8�ا"� @0 اP�D�8 &�ة إ��&�و �

.ا"<ص�ل ا�(;� ا�Dدار�5 إ�� 3-2ا����ر

�د #;�ر"� ا��,�5ن ا����, �(, ا%$�ا"� ����,�5ن ا�ص<��/0 ",ى أن ��ز5 ا��3ط @0 �

",ى و. (9.11) و (9.10) ا����!: --��� ا��,�5ن ا����, أ&,ب إ�� ا�*�ز5 ا��{��0

9.10ا'8#9

9.11 ا'8#9,��#

ص<��/0

Page 128: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

124

ذ�� ىع\و5. ا�(;� ا�Dدار�5 ا�ص<��/!� أ$,ع @0 ا8"<ص�ل #: ا�(;� ا�Dدار�5 ا����,ة

�&� -,آ!� 5 @0 -��� ا��,�5ن ا����, ا'¥"ط ا'�5ريإ�� أن ��1ي ا�(;� ا�Dدار�5

.�#�*�دة #: ا�*!�ر ا�,�!�0 #�� 5¡دي إ�� ���!ط ا�(;� ا�Dدار�5 و��V!, ا"<ص��_

ه0 ا����-� ا���اK!- ،A �_I ا���.� ا'��Y%F ب A(p1 - p3) 5ع,ف ا��;دار

�. ا�(;� ا�DدارS)�5�5 هP1 ا`��&� ا"<ص�لو . ���,�5ن�"X'ا �.��، #: ا�S"�D ا�

.ا·V,، �5((_� ا��,�5ن [!, ا���<ص�

��.�' ا'#"¦&����8 ا'ع,ف 5§ CD ��5 آ�� :

AU

DCD 2

21 ρ

= …………………………………………………(9.23)

K!-D�&��`ة ا�& .

\����ا"� ذات هP1 ا�ص��)F4�5)9.12 ا���� و،5ع*�د ه1ا ا��ع�#� ��� �دد ر5$%

�!��� �!��� �)�".

)9.12(ا'8#9

Page 129: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

125

�=�ل

&éا"!� ار�<��_� د��� أ$V0 ��� &��دة #د� �415m/s �,�5ح $,�*_� #ع,20mر �\م ا�{

& ��Vا��د ,1.5m . �Iي ودر�Dا��3ط ا�

. ��� ا�*�ا�C0°30 و 0.1MPaا�/,ارة

�!���� . 2.5E-6m2/sا��\و�I ا��!

Re = vd/ν = 9E6

�� @0 ا���� 5/��د هP1 (9.12)ع0 ا���

\���ع0 #ع�د�� و�. CD = 0.7ا�;!�� �عدد ر5

ا���ز ا���#� آ{�@� ا�_�اء ��ع,@� ا��3ط

وا�/,ارة

ρ = p / RT = 1.15 kg/m3

25= ا����-� ا���اI_� ��*!�ر 2m Ld=

2

2

1. AvCD D ρ= = 2717 N

Mا�ع\م

M = ½ LD = 27167 Nm

9.13ا'8#9

Page 130: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

126

�"n أ'5اح ر>��� � ����ة �"n ا'س��ن 9.5.2 �.�� ا�

:'5ح �س�Y �س 8�Y) أ (

: و#�اIه ���#� ��*!�ر ���ح #�*!�CD#ع�#� ا`��&�

CD = 1.17 + 0.012 ( b/h) …………………………..…….……(9.24)

b/h < 20 > 1 و Reh > 1000 :@0 ا�/دود

:.�ص ) ب(

CD = 1.17………………………………………………………..(9.25)

Re >1000 :@0 ا�/دود

:*-© آ�ة ��]� )ج(

Re >1000 : @0 ا�/دود

CD = 1.42………………… …………………… ……………………..(9.26a)

ا�*!�ر �5اIه ا�S"�D ا��;ع,

CD = 0.38………………………………………..(9.26b)

ا�*!�ر �5اIه ا�S"�D ا��/دب

9.14 ا'8#9

Page 131: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

127

�=�ل

آ{�@� ا�_�اء . 3m/s 5,اد ا$*]دا#ه ��د $,�� ه�اء (9.15)ار ا���F4 @0 ا���� ا�دو

1.1kg/m3 . ا�دوران �, s(ه . 0.1Nmا�ع\م ا����ب -�ل ";& Eص" S�-أ

.ا��,ة

=�\م ا�دوران

= F1 R – F2 R = (F1 –F2)R

K!-F1 و F2 ا�;�ى ��� "ص<0 ا��,ة و R ا��,ة ,& Eص" .

( ) ( ) ( )F F R Av C C R R v C CD D D D1 212

2

1 212

3 2

1 2− = − = −ρ π

01 11 9 142 0 3812

3. ( . ) ( )( . . )= −π R

R = 0.18m

≥ 0.18m"صE ا�;, ا����ب

ا'�U��Xت 9.5.3

0)5,D*ا� �!F ه� ا��;Dح أو ر ا���D�� 5 8ت ا���ا�� ê . ا�ـ�3ط ,!pو5ص�. �!;�� #ـ: �ـ�

آ�ـ� 5,ا�ـ� . ا���SI $�@� ا�;�ع ا%آ{, $��� ��د ا$*]دا#ه @0 ا�/��ـ� ا�*ـص�!�!�

@0 �ص�!�ه ا���ا��� �!: ا`��&� ا��3!� وا`��&� ا��Dد�5 �*ع!�ن إ��&� آ�!� د"!ـ� آ�ـ�

.(9.16)ه� F4�# @0 ا����

9.16 ا'8#9

9.15ا'8#9

Page 132: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

128

N#U >& ا'�Z?Y ا'�Xار� ا' 9.6

اJ*س��!�� 9.6.1

5 .�D�� 0Iأن ا���� ا�]�ر �!��ط ا8"�!�ب ا�,@!� ���,�5ن ���ع�0 ا8"�!�V �

� K!/�ا��{�ل أد"�p :# . P. ا�;در ا%د"� #: ا`��&� ا#�ت، وع0 ا�/D. ا%د"� ��دو

,ة، #{') 9.17(@0 ا���� ;��� 0.06 #ع�#� إ��&� 0، 5عF4�5 أن ا���� ا��ع,وف

��� 5ع0 ا���� ا%$�ا"� ��<� ا�;, #ع�#� إ��&� !�0.3.

و",ى ��s ا%��Iم ا�_�د$!�

: #{�- ا��ع,�4 ����&� ا�/,آ!�

�دن ا���,ة، #/,آ�ت ا���,ة

-ا�ص�روخ ا��<��p، ا���اص� و

. ا�;,ةا�� 5;,ب

ا��!�رات #ص�ع��5*]دم

���ص�ل إ�� ا%"<�ق ا�_�ا�!�

�ص�!��ت �ع0 إ��&� -,آ!�

5(!: أp, ) 9.18(ا���� . د"!�

:]�>�����@ ��@�- :� 0)5,D� ,5,;� :# ا`��&� و ه� #�*�د �>V 0@ �!� .ا8"�!�

�د �;د5, ا`��&� ا���!� ��� -,آ� ا��!�رة ",ا�0 أ"ه ��`�4@� إ�� ا`��&� ا�/,آ!� �

���وي R@�`��&� ا���!� . � ا`�Tرات ��� ا�,5ه���� إ��&� ا�,5 ا�����D �: -,آ

RR #�3@� إ�!_� إ��&� ا�,5 RAا`��&� ا�/,آ!�

9.18ا'8#9

9.17ا'8#9

CD= 0.06

CD= 0.30

Page 133: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

129

R = RA + RR = CD ½ρAU2 + CR Wt ………………………(9.27)

K!-Wt وزن ا��!�رة و CR5, . #ع�#� ا�

�&���� ��� Pا�;درة ا��;�

P = RU ………………………………………..(9.28)

CR و CD*�ن أد"�P &!�� �;,5(!� ���ع�#'ت ع0 ا�;����

CR o�Y'5ع ا* CD �!��'5ع ا*

�� 0.8 - 1.0 ر#� 0.1 -0.3-�s

0.08 �� -�@�� 0.6 -0.8 )"صE ص�(� ( �,

�� ص�!,ة 0.6 -0.7 -ص� 0.04-�s

ص���ن 0.2-0.5 $<�~ &د5.أ 0.02

$<�~ Iد5دأ 0.01

&3(�ن -د5د�5 0.0027

Page 134: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

130

ا�J -�ص 9.6.2

�;)��5: ا�*/�. @0 ا�

ا�Dدار�5 ��#*ص�ص ا���� #:

���$��;� ا8"<ص�ل �#

�!Iر�V . و5(دو @0 ا����

(! �_P1 ا��$!�� ) 9.19(�

0�V0 $,�5ن دا@),s�" .( و

�� ا�� أن ا�<ص� 8 ,D*دل ا��

5/دث @0 ا���s, إذا آ�"~ زاو�5

:� �;� ,�� .°7ا�

(! %$��ب ا8#*ص�ص ��� $,�5ن �Vر0I ) 9.20(� @0 ا����)F!�I.(

9.6.3 � ��9ط ا'�Z?Y ا'�Xار

5/دث ا"<ص�ل ا�(;� ا�Dدار�5، آ�� $( ا�1آ,،

S)����(S @;دان ا��,�5ن �D\ء #: �T&*ه

و�ع*�د . ا8-*��ك ا��\0I @0 ا�(;� ا�Dدار�5

�ر T,5;� ا�*��!ط ��� إ�T �@�4&� #: ا�*!

ا�,�!�0 �]� دوا#�ت #�ر�5 ��ا$� رê5 ص�!,ة

وهP1 #: أآ{, ا�,ق . �ع,ف ����دات ا�دوا#�ت

�/� ا���,اتIا����. ا$*]دا#� @0 �ص�!. أ

)9.21.(

9.19 ا'8#9

9.20 ا'8#9

9.21 ا'8#9

Page 135: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

131

ا'�­ ا'س�آ�� 9.6.4

0@ ����*]دم ا�,ê5 ا���آ

0@ .�/*�� 0�Vا��,�5ن ا�دا

�ط ا8"�!�ب وV ا�/د #: ا"<ص�ل

�;)F4�5 ا���� . ا�Dدار�5 ا�

(!;�ن �_P1 ا��$!�� @0 (9.22)�

#D,ى ��,�5ن [!, #�*B. اP�D�8 و

,s�" ى,D#.

9.22 ا'8#9

Page 136: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

132

�س��8

] K!- 1.2kg/m3 �/*�ج ��{�@� ا�_�اء أ�*(,ه� [

�\او�5 ه�Dم ص<, و����ل �4ط ص<, 9.1 F��@*,اض . $,�5ن ص<��/0 �(, ��ح #�

#: ا�در�I ا�{�"!ـ� ا$ـ*]�ص �ع(!ـ,ا �ـ: أن ��ز5 ا��,�� @0 ا�(;� ا�Dدار�5 2

U

w

ρ

τ و

Cf ��8د� Re .�!�,D*ز�5س ا�'� Å��*�� �D��*" رن�&.

[ 0.365Rex-1/2 , 1.461ReL-1/2]

9.2 ��,�� و�,4ـه 0.5m ��� ا$*;�#� ��ح #ـ���T Fـه �52.2m/s,ي ه�اء

0.3m ــ� !����أ-ــ�S $ــ�� ا�(;ــ� . ��1.2kg/m3{�@ــ� وا20E-6m2/s ا��\وIــ� ا��!

.ا�Dدار�5 ��د ذ�5 ا���ح وأ-�S ا`��&� ا��Dد�5

[11mm, 2.47E-3 N]

9.3 F5*/ــ�ل ا�ــ�,�5ن #ــ: . �5E6ــدد ر5�ــ��\ �ــ�,�5ن ��ــ� ا$ــ*;�#� �ــ�ح #ــ�

. �Tل ا���حL #: #;د#� ا���ح، -!0.4L Kص<��/0 إ�� #��, ��د ا�(عد

Cf&� ا��Dد�5، أ-�S #ع�#� ا`��) أ (

2m/sأ-�S ا�;درة ا�'ز#� �*{(!~ ا��ـ�ح @ـ0 $ـ,�5ن $ـ,�*ه ا�,�!ـ�!� ) ب (

.0.4m و�,4ه 1.0mإذا آ�ن �Tل ا���ح kg/m3 1000وآ{�@*ه

[0.00213, 3.4N, 6.8W]

��$*;�#� ا��,�5ن �/��ب ا�*;د5,ات 9.4 F��ح ا���,ة ��ح #�I ��5: ا�*(�ر

��ح @0 -�. ا%و�� ��*ص�!.D� ع ا�� 320 و$,�� ا�!,ان 2.0m وو�,��7.5m P #/ددة

m/h . اء�_�� �!���� .0.95kg/m3 و ا��{�@� 20E-6m2/sا��\و�I ا��!

��ح )أDح &در ا`��&� ��� ا���Dاض أن ا��,�5ن #��, ��� آ� ا�,*@��.

�� إذا أ#�: ا�*/�. @0 ا�(;� ا�Dدار5 )ب����ى #;دار �;� ا�;درة ا�� �

��حDص<��/!� ��� آ� ا� F)340 ] .�*صN, 25.8kW[

9.5 ��,�� ��B�����*(�ر . 1kNوزن ا��0�B وا��55m/s . ��B_(ط #0�B ���د5�

[7.7m] .أن ا����B "صE آ,ة #<,[� &در &,ه�

Page 137: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

133

V'ط دوار �5*]دم �]�ط ) F4�5)9.23 ا���� 9.6

T,@0 ا�دوار &,ص�ن @1100g/m3 . 0#/��ل آ{�@*ه

, أذرع ا�]'ط . #عد"!�ن #{(*�ن @0 ا���*�ى ا�,أ0$&

أ-�S �\م ا��0 . ص�!, و�D� :��5ه� أP,p ا�/,آ0

. وا�;درة ا�'ز#*!: �*��!� ا�]'ط

[86 Nm, 541W]

ــ�!�رة 9.7 ــ� � ــ2.2m2 0ا��ــ��-� ا%#�#! ــ� ا��� ــ� . 20kNو وز"_ ــ� ا`��& #ع�#

= CR)إذا ا$ـ*]د#~ ا�ـ�!�رة ��ـ� T,5ـ #ـ�<�~ #*�$ـط ا�/ـ�ل . 0.5ا�/,آـ0

0.015) 5,أ-ـ�S أ5ـ3� . أ-�S ا��,�� ا�*�D*� 0وز ��ده� ا`��&� ا�/,آ!� إ��&� ا�

.km/h 100 و km/h 120 ا�;درات ا�'ز#� ��د ا��,�*!:

[77km/h ; 34.4kW, 22.5kW]

9.23ا'8#9

Page 138: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

134

�ـــا'�> 10

10.1 ���Z�

5��Dع� هP1 . �<ص� �درا$� ا%"��ذج ا�,04�5 ���,�5ن ا�'�\0I ا�'إ"�T��3 ه1ا ا�ع

� إ8 أ"_� ��B -�آ�� ���<� #: ا�*(!;�ت ا�_�د$!� !��ا8@*,ا�4ت #ع�د8ت ا�/<=

(! ذي ا�ص�� �;�ة ا�,@ . ا�_�#�*����ص<� أ$�$!� �� .و "_*. ه

���0 ا�(عدp S!�,ص, ا�*/�!� ��� ا��,�5ن ا�;!$.

:"/*�ج @0 ه1ا ا�<ص� ��*ع,5<�ت ا·�!�

ψدا'� ا'س��ن ) أ(

���0 ا�(عد y و �D�: xه!8 @0 اV #,آ(�ت ��*Dه ا��,�� v و uا��,آ(�ت p �5ن,��

V =ui + vj …………………………………(10.1)

��$*]دام ψوا-د ه� #ع*�د ��*�!, v و u ا��ع*�دة ��5: ا$*(دال ا��*�!,ات

:�ت ا�*/���5'&

xv

yu

∂ψ

∂ψ−== , …………………………..(10.2)

� : #ع�د�� ا8$*�,ارψ �5دا�� ا�ا�*ع,E5 �/; _1ا

u

x

v

y+ = 0……………………………………(10.3)

ا'س��ن ا'Hدورا*& )ب(

. ��Vص� -,آ� دورا"!� #: أI\اء5Pع,ف ا��,�5ن ��"ه 8 دورا"0 إذا �. �5: %ي

Page 139: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

135

ا$ـ*�*�ج أن (10.1): ا���� ��5: #

:ا��,�� ا�\او�5 ا��*�$� ���وي

1

2

v

x

u

y−

#: و",ى #: ذ�� أن #;دار دوران أي

�Vا��;دار دا # S$��أI\اء ا���� �*

و���1 ��5: �ع,E5 . ا�;�$!:

ا��,�5ن ا�'دورا"0 ��"ه ا�1ي 5/;

ا��ع�د��

v

x

u

y− = 0…………………………..(10.4)

0I\�5ن ا��,����و�B5 ا��,�5ن 8 دورا"!� إذا آ�ن . ��5: أ35� إp(�ت أن ا�دوران 5,�(ط @;ط

. 8 دورا"!� I\� 8!� و�دأ

ϕϕϕϕدا'� ا'#�5ن ) ج(

�ع,ف #*Dه ا��,�� Iϕدت دا�� �5صE ا��,�5ن ��"ه ذو آ��ن إذا و

V = ∇ = +φ∂φ

∂φ

∂xi

yj

K!-

yv

xu

∂φ

∂φ== , ……………………..…………..(10.5)

.(10.4) �/; ا��ع�د�� (10.5)و�B-'# :��5 أن ا��ع�د��

10.1ا'8#9

Page 140: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

136

ϕϕϕϕ وH!J ψψψψس 'ـ &���د' )د(

: "/ص� ���(10.4)و (10.2) �;,ن ا��ع�د�*!:

∂ ψ

∂ ψ

2

2

2

20

x y+ = ………………………………………(10.6)

: "/ص� ���(10.3) و (10.5)و�;,ن ا��ع�د�*!:

∂ φ

∂ φ

2

2

2

20

x y+ = ………………………………………(10.7)

ا'���ط ا'YZ?& ) هـ(

�د��8 ا`-داp!�ت ا�;(!� (10.7) إ�� (10.1)"ع!د ه�� ص!�[� ا��ع�د8ت θ وr.

:D*# vه ا��,��

v = vr ir + vθ iθ …………………………………(10.8)

:ψ دا�� ا��,�5ن

vr = 1

r

∂ψ

∂θ, vθ = -

r∂

∂ψ…………………………..(10.9)

:ϕ دا�� ا����ن

vr = ∂φ

∂r, vθ =

1

r

∂ϕ

∂θ…………………………..(10.10)

: #ع�د�� ا8$*�,ار�5

v

r

r +v

r

r + 1

r

∂θθv = 0 ……………………(10.11)

:ا��,�5ن ا�'دورا"0

∂θv

r+

v

r

θ - 1

r

∂θ

vr = 0 …………………………(10.12)

Page 141: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

137

8�'س0#ع�د�* :

∂ ψ

2

2r

+ 1

r

∂ψ

∂r+

12

r

∂ ψ

∂θ

2

2 = 0 ……………………(10.13)

∂ ϕ

2

2r

+ 1

r

∂ϕ

∂r+

12

r

∂ ϕ

∂θ

2

2 = 0……………………(10.14)

ا'س��ن ا'�� N7 ) و (

����ع�د��5ع, .B*� iU = V :ف #*Dه ا��,�� ���,�5ن ا��

v = 0 وu = U @*��ن

و5*( ذ��

∂ψ

∂yU= ….(1) − =

∂ψ

∂x0…..(2)

∂φ

∂xU= ……(3)

∂φ

∂y= 0……..(4)

��#��#(1) 0 �ع

ψ = Uy + f(x)

(2) و����<���4 وا��;�ر"� #

∂ψ

∂xf x= =' ( ) 0

ψ = Uy + c1 ………………………..……..(5)

��#��#(3) 0 �ع

ϕ = Ux +g(y)

)4(و����<���4 وا��;�ر"� #

Page 142: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

138

∂ϕ

∂y= g’(y) = 0

ϕ = Ux + c2 ………………….(6)

ــ��� ــ�,�5ن (10.2)ا�ــ ــص�ر ا�ــ 5ــ

.B*��د ا���

U = 1 m/s , c1 = c2 = 0

ا'��?� وا'�-L ) ز(

ف ا���( @0 ه1ا ا�*/�!� ��"ه ع,5

�ه ا���� # )� وا��صS ه� ا���4 ا�1ي 5]*<0 ��دP ا���� إsع��!�ا���4 ا�1ي 5

�Vع��!�ا�داsا���� . إ F4�5(10.3) �;�� و ا��صS ا�;��( ا����� ا���( و #� 5ع,ف

.��صS ا�]0 ا�]0 و ا

Sوا��ص )� ���وي �5vθ*]�ص #: ا�*ع,E5 أ�'P أن ا��,�� ا�\او�5 ���,�5ن @0 ا��

���1 ��5ن #عدل ا��,�5ن ا�/0�D .ص<, q 0 ��-دة �Tل وا-دة @0 ا���( ا�]

q = 2π r vr

10.2ا'8#9

10.3ا'8#9

)�#)Sص# (;"� )�#) S0 )#صV

Page 143: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

139

(10.9)��$*]دام ا��ع�د�� :

q = 2π r vr = 2π ∂ψ

∂θ

∂ψ

∂θ=

q

ψ = q

2πθ + f(r)

∂φ

∂r = f’(r) = - vθ = 0

f(r) = ~��p = c1

ψ = q

2πθ + c1 …………….(1)

(10.10)@*ع0 ا��ع�د��

q = 2π r ∂ϕ

∂r

ϕ = q

2πln r + g(θ)

1

r

∂ϕ

∂θ =

1

rg’(θ) = vθ = 0

g(θ)= ~��p = c2

ϕ = q

2πln r + c2 …………..………………..(2)

�د ) #صS( $,�5ن #�( (10.4)5(!: ا���� �

q

2π = 1 , c1 = c2 = 0

10.4ا'8#9

Page 144: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

140

�=�ل

����ع�د�� 0T��3"5ع,ف $,�5ن 8 ا ψ = xy

�ط ا8"�!�ب ��� ا���*�ى ا���SI ) أ(V ع�� . x-y لأر$. �_1ا ا��,�5ن

.أآ*S #ع�د�� #*Dه ا��,�� ) ب(

.: أن ا��,�5ن 8 دورا"0 وأآ*S ا�*ع(!, ا�دال ��� دا�� ا����ن�! ) ج(

�ط ا8"�!�ب )أ(V :

ا8"�!�ب��د Vط

ψ = o : .!& ��� y ، x = o

.!& ���x ، y = o.

�د Vط ا8"�!�ب�

ψ =1 :y =1/x

�د Vط ا8"�!�ب�

ψ =10 : y = 10/x

�د Vط ا8"�!�ب�

ψ = 20 : y=20/x

:D*#Vه ا��,�� )ب(

uy

x= =∂ψ

∂, v

xy= − = −

∂ψ

V =ui + vj = xi – yj

�ط ا8"�!�ب #: ��ز5 ا��,�� أ�'Pو5V ه�ت�Dج ا��*� .��: ا$*

.(10.4)�!��ن ا��,�5ن 8 دورا"0 5�(�0 �/;! ا��ع�د�� )ج(

أ�'P ) ب(و#:

v

x= 0 ,

u

y= 0

10.5ا'8#9

Page 145: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

141

(10.4)و5/; ذ�� ا��ع�د��

�*/د5د دا�� ا����ن

u = x = ∂φ

∂x

ϕ = 1

2x2 + f(y)

∂φ

∂y= f’(y) = -y

f(y) = -1

2y2 + c

ϕ = 1

2(x2 – y2) + c

Page 146: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

142

ا'�W'H& � 5آ� '�U'� ا'س��ن– اW Rال ���دJت *�>��10.2

دJتا'-5رة ا'���� '"��� 10.2.1

:��5 0T��3"0 و8اI\�8 د ا@*,اض أن ا��,�5ن� #:$*�آ� - #ع�د8ت "�@!,�(�!ط�

���*(�ر ا��*Dه ا��\0I ) 8.1(ا�ص�رة s 1 ا��ع�د8ت ا�{'ث ا�ص�رةV�*@ ,>��5وي ص

:��ر�0د5ا�*��!� @0 #��ط

ρ∂

u

tu

u

xv

u

yw

u

z+ + +

= Bx -

p

x…….………(10.15a)

ρ∂

v

tu

v

xv

v

yw

v

z+ + +

= By -

p

y……..………(10.15b)

ρ∂

w

tu

w

xv

w

yw

w

z+ + +

= Bz -

p

z……………(10.15c)

.!&,*��� ).8.3(و &د $(;~ آ*��� هP1 ا��ع�د8ت، ا��ع,و@� ��ع�د8ت أو�5,،

:@0 ا����ط ا%$�ا"� و

ρ∂

∂θ

∂θv

tv

v

r

v

r

vv

v

z

rr

r rz

r+ + +

= Br -

p

r……………(10.16a)

ρ∂

∂θ

∂θ θ θ θ θv

tv

v

r

v

r

vv

v

zr z+ + +

= Bθ -

1

r

∂θ

p…………(10.16b)

ρ∂

∂θ

∂θv

tv

v

r

v

r

vv

v

z

zr

z zz

z+ + +

= Bz -

p

z……………(10.16c)

�=�ل

:د ��,�5ن ر�!Sا��ع�د�� أد"�P ��{� ��ز5 ا��,�� @�D# 0ل 0p'p ا�(ع

V =cxi + cyj - 2czk

.أp(~ أن ا��,�5ن 8إ"0T��3 )أ(

Page 147: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

143

���*(ــ�ر ا��/ــ�ر )ب(z1000ن ا��{�@ــ� �ــ��وي أ رأ$ــ0 وkg/m3ــ~ و� c ا�{�

� s -1 1.0 ��5وي ;� ).1,1,5( أ-�S #��ل ا��3ط ��د ا�

:)2.7ا��ع�د�� (#ع�د�� ا8$*�,ار�5 ���,�5ن ا�'إ"0p'p �T��3 ا�(عد )أ(

u

x+

v

y+

w

z= 0

u= cx, v = cy, w = -2cz :و@0 ه1ا ا��{�ل

. ا8$*�,ار�5 ا�'ا"T��3!� ا��ع�د�� أ�'P و �/; ���*��0و ه� �/;

���*ع��5 �;!. )ب(, v, w u ,�5أن(10.15) @� #ع�د8ت أو �B-'�� : و

B = Bxi + Byj + Bzk = 0 + 0 - ρgk

0 �(10.15a)ع

ρ[ c2x] = - ∂

p

x

p

x= - 1000(1)2(1) = - 1000 Pa/m

(10.15b)�ع0 و

p

y= - 1000 Pa/m

(10.15c)�ع0 و

ρ[-2 cz(-2c)] = - ρg - ∂

p

z

p

z = -ρg –4c2zρ = -1000(9.81+60) = - 29810 Pa/m

∇ p = ∂

p

xi+

p

yj+

p

zk = - 0.001i – 0.001 j – 29810 k

Page 148: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

144

���د'� !�*5'& 10.2.2

���0 ا�(عp ر ا��,�5ن�)*���]*\ل 8 ا"�D� # 0T��3ه� ا�;�ى ا���D!� � د 8 دورا"0 و

:إ�� ا�ص�ر) 10.15(ا��ع�د8ت

uu

xv

u

y

∂+ = -

1

ρ

p

x……………….……(1)

uv

xv

v

y

∂+ = -

1

ρ

p

y…………….………(2)

: s,ط -��� ا�'دوران- (10.4)ا��ع�د��

v

x

u

y− = 0……………………….………………..(10.4)

(10.4) و (1)#: ا��ع�د�*!:

uu

xv

v

x

∂+ = -

1

ρ

p

x

1

2

1

2

2 2∂

u

x

v

x+ = -

∂ ρx

p( )

∂x[

1

2(u2+v2) +

p

ρ] = 0

∂x[V

2

2 +

p

ρ] = 0

V2

2 +

p

ρ = f(y) ………………………………(3)

Page 149: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

145

(10.4) و(2)و����{� �ع0 ا��ع�د�*�ن

V2

2 +

p

ρ = g(x) …………………………(4)

) 4( و (3)و�ع0 ا��ع�د�*�ن

V2

2 +

p

ρ = ~��p )10.17(……………………..……………

.���د'� !�*5'& ب(10.17)و�ع,ف

@0 ا�(�ب �ا$*]'ص_ ا��&� ا�*)$ 0 �B-'# :��5 أن ا��ع�د�� ����ه #ع�د��

أن ا��,�� و ا��3ط @0 #ع�د�� �,"��0 &!. #/ددة إ�� أ"ه 5�(�0 اP�)*"8 �8ا�{�"0،

��� ا�;!. ا��;���� @0 #ع�د�� ا��&� ه0 !��ط ا��,�5ن V 0@ د #�ا& #/ددة��

.إ�!_�#*�$�ت �_P1 ا��*�!,ات ��د ا��;�T ا����ر

Page 150: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

146

10.7ا'8#9

'Hدورا*& �?� ا�5Yا*� ا'س��ن ا 10.3

: ���,�5ن #/�آ!� آع'&� ϕ"(دأ ه1ا ا�*/�!� ���ع'&� ا�*<��4!� �����ن

∂ ϕ

2

2r

+ 1

r

∂ϕ

∂r+

12

r

∂ ϕ

∂θ

2

2 = 0…………………………(10.14)

:!. ا�/دود�5 # ا�;

r = a , vr = 0 → ∂ϕ

∂r r a=

= 0 …….. )1 ح ق(

r → ∞ , vr = - Ucosθ → ∂ϕ

∂r r →∞

= - Ucosθ …………. )2 ح ق(

r → ∞ , vθ = Usinθ →

1

r

∂ϕ

∂θ r →∞

= Usinθ . )3 ح ق(

10.6ا'8#9

Page 151: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

147

��$*]دام T,5;� ا�3,ب (10.14)�/� ا��ع�د��

ϕ = R(r) . Θ(θ) ………………………………………..……(1)

∂ϕ

∂r = R’ Θ ,

∂ ϕ

2

2r

= R”Θ

∂ϕ

∂θ= RΘ’ ,

∂ ϕ

∂θ

2

2 = RΘ”

(10.14)و���*ع��5 @0 ا��ع�د��

R”Θ + 1

rR’Θ +

12

r RΘ” = 0

r2R

R

"+ r

R

R

'+

Θ

Θ

" = 0

r2R

R

"+ r

R

R

'= -

Θ

Θ

" = k

:و�ع0 ا��ع�د�� ا%V!,ة ا��ع�د�*!:

r2R” + rR’ – kR = 0 …………………………(2)

Θ” + kΘ = 0 …………………………(3)

:I��kد �p'p ا-*��8ت �;!��

I�# ⇐ k = λ2(� k )أ(

k = -λ2 ⇐ $��(� k )ب(

k = o )ج(

K!-λ;- 0 �دد;!.

�د آ� #ـ: Θ و R ه� #��Dع -�اص� 4,ب ا�/��ل (10.14)و��5ن ا�/� ا�ع�م ���ع�د�� �

: ا�{'ث k-�8ت

Page 152: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

148

ϕ = R Θk =λ2 + R Θ

k =−λ2 + R Θk =0

: 1V�5 ا�ص�رة ϕ(r,θ)أن ا�/� ا�ع�م ا$8*�*�ج ��5:

ϕ = [ c1rλ + c2r-λ][c7cosλθ + c8sinλθ]

+ [c3cosλr + c4sinλr] [ c9θλ + c10θ-λ]

+ [c5 + c6ln r][c11θ +c12]

��'-�B أن ϕ 0@ �5دا�� دور ~�!� r 0>*[5 P'ا�{�"� @0 ا�/� أ� , @�ن ا��

ϕ = [ c1rλ + c2r-λ][c7cosλθ + c8sinλθ]+ [c5 + c6ln r][c11θ +c12] …(4)

∂ϕ

∂r = λ [c1rλ-1 - c2r-λ-1][c7cosλθ + c8sinλθ] +

c

r

6 [c11θ +c12] ……..……(5)

��·�0 ) 2ق ح ( ��5: �/;! ا�;!�� ا�/دود�5 :

λ = 1 , c1c7 = - U , c8 = 0

) 5(و�ص(F ا��ع�د��

∂ϕ

∂r = - U cosθ (1-

c

c r

2

1

2

1)+

c

r

6 [c11θ +c12] ……..……(6)

0 = )1ق ح (و�ع0 ا�;!�� ا�/دود�5 arr =∂

∂ϕ

a2 = أي c

c

2

1

، c6 = 0

) 6(@*ص(F ا��ع�د��

∂ϕ

∂r = - U cosθ (1-

a

r

2

2)…………….…………....……(10.16)

Page 153: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

149

) 4(و�ص(F ا��ع�د��

ϕ = - U cosθ (r +a

r

2

)+ c5 c11θ + c5 c12

~� . اV*!�رى @0 ا��,�5ن ا����ن و��5: ا�*(�رP ص<, c5 c12ا�{�

:c5c11 #/� ا�{��~ cو��5: إ-'ل ا�,#\

ϕ = - [r +a

r

2

] U cosθ + cθ ………………….………………(10.17)

∂ϕ

∂θ= [r +

a

r

2

] U sinθ + c

1

r

∂ϕ

∂θ= [1 +

a

r

2

2] U sinθ +

c

r …………………………..(10.18)

) .F&3 ( �/; ا�;!�� ا�/دود�5 (10.18)8-= أن ا��ع�د��

Page 154: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

150

5ز� ا �� :'س�

� @�D# 0ل ا��,�5ن &ـ,ب $ـF ا8$ـ�ا"� (r,θ)ا�*ع(!, �: #*Dه ا��,�� ��د أي ";

:ه�

v =vr ir + vθ iθ = ∂φ

∂rir +

1

r

∂ϕ

∂θ iθ

(10.18) و (10.16)و���*ع��5 ����8ت ا����ن #: ا��ع�د8ت

v = - [(1-a

r

2

2) U cosθ ] ir + [(1 +

a

r

2

2) U sinθ +

c

r] iθ …………..(10.19)

F ا$8�ا"�$ ��� r = a

va = [2 U sinθ + c

a] iθ

:و���1 ���ن $,�� ا���� ��د $F ا$8�ا"� "���D �: إ$_�#!:

.θ وا�\اوU �5 5ع*�د ��� #;دار(1)

�~ ��5وي (2)�p دار;# c/a.

��@*,اض ا·�� ,!V%و ��5: �ص�ر ا`$_�م ا:

�_� $,�� ) أ(� Å*�� �*��p �5زاو ��,���دور ا%$�ا"� -�ل #/�ره�

. #*, @0 ا�{�"!� Tc/a,@!� ���وى

�~ ���,�� ��5وي ) ب(�p ا"� -�ل #/�ره� #;دار� E!35 c/a دوران ا$8

S*�� وا�*0 ��5: أنωa K!- ω �5ا��,�� ا�\او (rad/s) P�D�80 ا@ iθ

SIا��ع�د���ا��� F)ص* :

va = [2 U sinθ + ωa] iθ ……………………………….(10.20)

)2010.(@ـ0 ا��ع�د�ـ� av = ��50: �/د5د ";�ط ا�,آ�د ��� $F ا$8�ا"� �*عـ��5

0 :�*ع

θo = sin-1 (-ωa

U2)

0�5 ��د و4 &!. #]*�<� ���,�� ا�دورا"!� �# �B-'# :��5وω:

Page 155: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

151

(1) ω= 00 8دوران� 5θo = 0 , 180°ع

(2) θo = 210o , 330o ω = U/a

(3) θo = 270o ω = 2U/a

(4) ω > 2U/a د�� F� ا�,آ�د �(*عد �: ا��;"θ = 270o.

ا'F%ط �"�Y� n ا5Y�Jا*�

�� #ع�د�� �,"��0$*]دام

p = p∞ + 1

2ρU2 (1-

V

U

2

2)

(10.20) #: ا��ع�د�� V2و`�D5د ا��3ط ��� $F ا$8�ا"� "ع�ض ���;دار

p = p∞ + 1

2ρU2 [ 1- 4sin2θ - 4

ωa

Usinθ -

ωa

U

2

] ……..(10.21)

10.8ا'8#9

Page 156: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

152

ا'5Zة �"�Y� n ا5Y�Jا*�

���*(ـ�ر Fy , Fxا�;ــ�ة 0(*ــ #,آ F F ��ــ� $ــ

y و xا$8�ا"� @0 ا�D�8ه!:

F = Fx i + Fyj

Fx = A

∫∫ - p cosθ dA

dA = (a dθ) b

Fx = 0

∫ - p cosθ abdθ

(10.21) #: ا��ع�د��pو���*ع��5 ���3ط

Fx = -ab0

∫ p∞ cosθ dθ - ab(1

2ρU2) [

0

∫ (cosθ - 4cosθ sin2θ - 4ωa

Ucosθ sinθ

- ω 2 2

2

a

Ucosθ )dθ] =0

x @0 اP�D�8 �ع��وه1ا 5ع�0 أن 8 &�ة

Fy = A

∫∫ - p sinθ dA = -ab0

∫ p sinθ dθ

= ab(1

2ρU2)

0

∫ (sinθ -4sin3θ - 4ωa

Usin2θ -

ω 2 2

2

a

Usinθ )dθ

= 2 a2 b ρ U ω [π] = 2πa2bρUω

F = 2πa2bρUω j .

10.9ا'8#9

Page 157: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

153

P�D�8ا�;�ة @0 ا P1ع�� ه�y ا��,�5ن ا�,�!�0 و���� P�Dع�#دة ��� ا�*# SIا���

.FL و5,#\ �_� ب ا'�>�

FL = 2πa2bρUω ………………………………………(10.22)

P1ه,ة ا�,@ ه�Ü 1 د@ آ,ة ��� $(!� ا��{�ل، -!: �،",ى[*� K!/� �!)"�I ��,3�

و"'-= -!��1 أن ا��,ة �*/,ك @0 #��ر . �د5, ا��,ةω و$,�� زاوU �5$,�� ا"*;��!�

�/��� ا$*]د#~ (و&د FL .T #�� 5دل ��� "��ء &�ة ا�د@ #0!>$ �5 @0,B�;~ ا�

و#�: ذ�� #: ا�/ص�ل ��� ا�;�ة .�4 ��,�5ح و�دار -�ل #/�ره�$�ا"�ت ���د�5 #ع,أ

FL�� . ا�*0 و@,ت ا�د@ ���<!

�ه ا��ع�د�� �)���(S إ[<�ل هE!3"(10.22) P1 ه�� أن ا�,@ ا�/;!;0 أ&� #�� �*

.p, ا��\0I �¼ا��ع�د��

����ع�د�� 5CLع,ف #ع�#� ا�,@ :

CL = F

U A

a

U

L

1

2

2

2

ρ

πω= …………………………..(10.23)

�=�ل

�دور 0.3mأ$�ا"� &,ه�

�,�� �300rpm -�ل #/�ره�

دا�V $,�5ن $,�*ه ا�,�!�!�

4.0m/s 1.0 وآ{�@*هkg/m3

S�-ا�,@ #ع�#� ا�,@ و أ

ا��{��0 ��� #*, وا-د #: �Tل

.ا$8�ا"� و-دد #�ا4 ا�,آ�د

10.10ا'8#9

Page 158: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

154

ω = 2πN/60 = 2π(300)/60 = 31.42 rad/s

CL = 2π(31.42)0.15/4.0 = 7.40

A = bd = 1(0.3) =0.3 m2

FL = 7.4(1/2)1.0(4.0)2 (0.3) = 17.77N

θs = sin-1 (-ωa

U2) =sin-1(-0.589)

θs1 = -36.1° = 323.9°°°°, θs2 = 216.1°°°° .

Page 159: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

155

10.4 ���X'ا n"� ا'�>�

�/5,s F!�Dم ذات ا�]ص��ص ا�/,آ!�و�,�5ا���I%م. #: ا��I%ا P1_� ��}#ح : أ��I

��$*]'ص &�ة ا�,@ . �ع�<�ترê5 ا��3]�ت وا ا���,ة، رê5 ا�د@�ع و ��"/: #ع�!�ن ه

�!F وDا"� �<!د @0 ��� ا���,ى أن ا��B,�5 ا�*0 ا$*]�ص~ �*;د5, ا�د@ ��� ا%$$

F!�Dا$*]'ص ا�,@ ��� ا� .�!�~ "B,�5 ا�,@ ��� ا$8�ا"� ��� ا�*(�ر ا��,�5ن

0I\�8 . ل $,�� دوران�;*"��ا$8�ا"� إ�� T(;� ا���� إ8 أ"�� أ4<�� ا8@*,اض ا�;�04

�_� .ا��ص!;�

�I�/دون ا� ����*� ",ى أن &�ة ا�,@ ��p م�Dاو�5 ه\� F!�I ,)� 0درا$� $,�5ن @ع��و

�!F -�ل #/�رP آ��ن ا$8�ا"�Dدوران ا�� . F!�D�� م�D_درك أ35� أن زاو�5 ا�" ��إ8 أ"

�!�\I �"دورا F!�D0 دوران ا���� -�ل ا�@ ~))�� ~� وه1ا 5;�د إ�� ا$8*�*�ج ا�_�م .ا�{�

.�Dن ا�,@ @0 آ� ا%-�ال، #'زم �دوران ا���� -�ل ا���.

� ΓΓΓΓا' �و

ا��,�� ��د ";� #� ��� . @0 $,�5ن ر�!V lSط -�;��T 0ه F4�5(10.12) ا����

: ف ا�*دو5, ���ع'&�و5ع, vا�]ط ا�/�;0

Γ = ∫ v dl. ……………………….………..(10.24)

10.11ا'8#9

Page 160: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

156

(! ه1ا ا�*ع,E5 ��� -��� ا$8�ا"� ���*ع��5 *�

(10.24)@0 ا��ع�د�� ) 10.20(#: ا��ع�د��

Γ = 0

∫ ( 2U sinθ + ωa ) Iθ . a dθ Iθ

= 2π a2 ω

ω = Γ

22πa

(10.22) @0 ا��ع�د�� ωو���*ع��5 �ـ

F b UL = ρ Γ……….…(10.25)

��'-�B أن ا�*دو5, ��5: ا$*]'صه

�!/�ت �¼��IمDا� �_!@ ��� ا��]*�<�

ف ع,� و(10.25)",ى ���#!� ا��ع�د��

-آ5 �هP1 ا��ع�د�� ا�_�#� �;�"�ن

.5آ5>س#&

"درس ا·ن ا����ك ا�<ع�0 ���,�5ن

�\او�5 ه�Dم ص�!,ة و F!�I ل�-

�)I�#.

�5ن #{��!� @0 �دا�5 ا�/,آ� ��5ن ا��,

�!Γ Fو���ن &!�� ا�*دو5, Dل ا��-

.ص<,ا

إ8 أن ه1ا ا��4 ا��{��0 8 �5*�,

'5�Tط اذ أن�V 0@ ا8"ع��س ا�/�د

,�*�5 8 F!�Dد ذ�5 ا���ط ا��,�5ن #�((�.ا��,�5ن �V .!;*�*@ �;) ا"<ص�ل ا�

�!F ا�*D5 0,@_� ا�* ا�Dدار�5 وDة ا�,V¡# 0@ ر ا�دوا#�ت�_Ü �@�$ ار إ��,�*$��!�ر

10.12ا'8#9

10.13ا'8#9

Page 161: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

157

5�*Å �: ا$*;�#� هP1 ا�]�ط @;د ��ازن ا��Dا"S ا���I(� وا����(� �*��#� و. ا���Dل

�!F [!, #��و ��ص<,Dا�*دو5, -�ل ا� F)0 ذ�� أن . ا�*دو5, #�� 5¡دي إ�� أن 5ص�و5ع

�!F و ا"�� �: أن ��Vص ا�*��#� -�ل ا�Γا�*دو5, Dاف ا���� -�ل ا��T :� Å*�5 8 F!�D

���1 �و. ,ا<�. 5عد ص ����!F ��5: #ع,@� &!�*_&�ة Dع��5 �ر@ ��� ا�*� �5,B� ا�

.(10.25)&!�� ا�*دو5, @0 #ع�د�� ا�,@

�!F 5\5د # ز�5دة زاو�5 ا�_�Dم Dأن ا�,@ ��� ا� ��,D*ى أ35� #: ا�,"α �50 #دى زوا@

�!p% 'p��# F, ا��,�� ا�\او5و���1 ��5ن أp, زاو�5 ا�_�Dم ��� . ا�_�Dم ا�ص�!,ةDا� �ω

. )10.3( ا�*0 $(;~ درا$*_� @0 ا�;�. ا$8�ا"�@0 -���

F!�Dم ا�ص�!,ة � #�*�5���-اذا آ�ن ا��D_�5و �\وا�5 ا�,B� : ��5: ا$*]'ص ا�ع'&� ا�

CL = 2π sin α …………….…………………….(10.26)

�د زوا�5 ا�_�Dم ا�ع��!��

�!/�تDد ا8"<ص�ل 5\دا��

���و�\داد ا�دوا#�ت ��<� و5

�: ذ�� ";ص�"� @0 #عدل

CL # α )*5 .pز�5دة

CLذ�� ";ص�"� @0 &!��

و�ع,ف هCD P1وز�5دة @0

���/�وF4�5 . اJ*���ر

ا�ع'&� (10.14)ا����

F!�D�� �!)5,D*ا�

NACA4412 د �ددي��

\��� .6E6 و 1E6ر5

10.14ا'8#9

Page 162: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

158

U� |� �ود� ا'?�ع اSk� ا'��$¯

���!� أ�ع�د p ا�*�د �ا�*/�!� ا���

�!F أو ا$8�ا"� .ا��,�5نD0 أن ا�� و5ع

أي أن . ��ع I �5�Tدا #;�ر"� �����,واذ

ف ا���(� و�ع,. ا���(� ا�(��!� ���!�

:ا�(��!� آ�� 0�5

ا���(� ا�(��!�

��ح = Dع ا��� AR= ا���, /

/*�ج " �/�8ت ا���(� ا�(��!� [!, ا�ع��!�

�درا$� T(!ع� ا��,�5ن 0p'p ا�(عد -�ل

��حDح أ��� . ا���D�4ط ا���� �/~ ا�

F4�# ح، آ�� ه���Dه @�ق ا��4 :#

5��� �: ا�<,ق . (10.15a)@0 ا����

@0 ا��3ط ه,وب ا���� #: أ$<�

��ح D0 ا�@,T د�� P'ح إ�� أ���Dا�-

).10.15b(ا����

S"�Dدي ا`�4@� ا��1آ�رة @0 ا�¡�

�!�\I هD*� ��,$ ا%��� إ�� #/ص��

��حD�� 0>ص�آ�� أن ";ص�ن . "/� ا�]ط ا�

ا��*�� @0 ا�S"�D ا��<�0 5¡دي إ��

0)"�I �/" �!�\I هD*� ��,$ ص��/#

��ح D)ا�b,cا�دوا#�ت . ( P1ء ه��"-

5ع�0 @;دان @0 - ) 10.16(ا����

ا��&� �,�S ��� #/دود�5 ا��ل @0

K��}و";ص�ن @0 ا�,@ ا�(عد ا����"0 ا�

.�: &!�*ه ا��{��!�

10.16ا'8#9

10.15ا'8#9

�>[� �4ط #

�4ط ���0

Page 163: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

159

�)���ع� ا�,ق ا�ع��!� ��*;�!� #: أp, #/دود�5 ا�(�ع، #�_� ز�5دة ا� �����*( @0 ا�ص

��حDد #: ه,وب ا���� إ�� أ��� ا�/�� �!)"�I \Iا�(��!� أو و4 -�ا .

��ح 35,ب ا�,@ ا��{��0 ا��/��ب @0 "�(� �/دد Dب ا�,@ ا�/;!;0 ��� ا���/�

�!F ا���*]دمD5(!� ��� "�ع ا�,D�.

�=�ل

��ح . ��T20kN,ة �\ن D�� ة,p¡30ا����-� ا��m2 . !�/*70$,�� ا�m/s 0 ه�اء@

��ح #�4/� @0 ا���� . 1.16kg/m3آ{�@*ه Dع ا��&در زاوV(10.17) . �5ص��ص &

�/�I%و#� ا`��&� ��� ا�;�� ���� .,وب ا�,@�D�0ه� أp, ا�_. ا�_�Dم وا�;درة ا��

ــ ــد ا�*/�!ــ ــ�ازن ��ــ : ��*ــ

ا��زن = ا�,@

Wt = 1

2

2ρU ACL

CL = Wt

U A

E1

2

2 1

2

2

20 3

116 70 30ρ=

( . )( )= 0.23

�� ا�,@ /�0.23 ��د -) 10.17( ا���� -#: # = CL ، α ≈ 2°

ا�;درة ا�'ز#� ���اI_� ا`��&�

P = DU = ½ρAU2CDU

�د � F!�Dا� ��/�# :#α=2° , CD=0.006

P = ½(1.16)(70)3(30)(0.006) = 35.8kW

10.17ا'8#9

Page 164: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

160

�س��8

ϕ = y 3 – 3x2 y : 5*صE $,�5ن �دا�� ا����ن 10.1

.أ$*]�ص #,آ(�ت ا��,�� ) أ(

.ا$*]�ص دا�� ا��,�5ن ) ب(

�ط ا��,�5ن @0 ا���*�ى ) ج( V ع�� . ا���x-y .!;� x�)Iأر$.

[u-6xy, v = 3y2 - 3x2 , ψ = x3 - 3xy2]

���!� ا�(عد ) 10.19(�دء #: ا��ع�د�� 10.2p �"ا���*Dه ا��,�� ���,�5ن &,ب ا$

.@�D# 0ل 0I\�8 ، ا$*]�ص �ع(!,ا �: دا�� ا��,�5ن

[ψ = -(r- a

r

2

)Usinθ -a2ω ln r]

:Vص��ص ا��,�5ن ا%$�$� �_�اء آ�� 0�5 10.3

MPa 0.101 ا��3ط

K 300 در�I ا�/,ارة

-s / mi70 ا��,��

�ا"� ��5�T ا�(�ع &,ه� $�� �دور -�ل #/�ره� ��� �;�رب 0.3m �5, ا��,�5ن

:#�*]د#� "B,�5 ا��,�5ن ا��{��0 أ-�40rps . Sا����� ��عدل

.ا���ا& ا�\او�5 ��,آ�د ) أ(

.ا��3ط ��د #�ا& ا�,آ�د ) ب(

270o , 90o: &,ب $F ا$8�ا"� ��د ا�\وا�5 ا��,�� وا��3ط )ج(

. ا�,@ ��� و-دة �Tل )د(

[ 190.6o , 344.4o ; 0.1.39 MPa ; - 177.7m/s 0.0854 MPa ; -120.3m/s ;

0.0978 MPa ; 2.92kN]

10.4 P,ل و��T F��ح ��T,ة #: ��ح #�I1.5m 1.2 5*/,ك @0 ه�اء آ{�@*هkg/m3

!�����\او�5 ه�Dم 6E-5 m2/s � و�\وI*ه ا��! 10o . ان,!�� \����!� ��� �3E6دد ر5)#

��ح Dو�, ا� . S�-0 ا�(عد أ���p اض أن ا��,�5ن,*@��:

.&�ة ا�,@ ��� آ� #*, #: ا�(�ع ) أ(

��ح إذا آ�ن ا��زن ا���0 ) ب( Dع ا���0.1 MN

[14.1 kN; 7.1m]

Page 165: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

161

��ح ��T,ة أ" 10.5I ��� ~5,Iرات أ�)*Vع�#�0 ا�,@ د�~ ا# ,!�� S5,;� :��5 ه

: آ�� 0o - 12o 0�5 @0 #دى زاو�5 ا�_�Dم αوا`��&� # زاو�5 ا�_�Dم

CL = 0.35(1+0.2 α )

CD = 0.01 ( 1+ α )

��ح MN 0.15وزن ا���,ة D35 و#��-� ا�m2 . ~�. 3oزاو�5 ا�_�Dم ��د ا�*/�! ا�{�

��D�� �#ة وا�;درة ا�'ز,����ح أ-�S $,�� ا�Dأ�*(, آ{�@� ا�_�اء . _� ا`��&� ��� ا�

1.2kg/m3

�!F #��0 #��-*ه ا��¡p,ة 10.6D� #ع�#�0 ا�,@ وا`��&� . 0.5m2&�رب $,5 #\ود

F!�D��1.2 20وزن ا�;�رب . ، ��� ا�*�ا�0 0.02 وkN 1000 وآ{�@� ا���ءkg/m2.

S�-ه' #;�و#� ا�_�اء أ�D*#:

�!F وزن ا�;�رب آ�!�أ&� $,�� #�� ) أ( Dرب 5/�� @!_� ا��;�� ��.

.ا�;درة ا�'ز#� ���اI_� ا`��&� ��د ا��,�� ا��/���� أ�'P ) ب(

.20kWأ��� $,�� ��;�رب إذا آ�"~ ا�;درة ا�;ص�ى ) ج(

[8.2m/s ; 2.7kW; 15.9 m/s]

Page 166: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

162

ا'س��ن اE�%F*J& '"%�ز 11

Page 167: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

163

11.1Z� ـ ���

©�� �ـد ��!ـ, ا�ع�ا#ـ� : � ,p¡ـدر #ـ;��5صE ا��,�5ن ��"ـه ا"ـ�T��3 إذا ��!ـ,ت ا��{�@ـ� . ا%V,ى ، #{� ا��3ط و در�I ا�/,ارة

!�� ���دJت ا'�����#� ا'U�ار� ذات ا'-"� 11.1.1

#ع�د�� ا�/��� ����ز ا���#�p = ρRT ………………………………………..(11.1.1)

R : ا���ز وو-د�ه ~��pKkg

J

�~ ا���ز ا���"��p\ �!)��= ا��*�� ا�rM

RR =

R = 8310 J/kg-K ��(� ��_�اء��� :

Mr ~ 29 → R = 287 J/kg-K

���*(�ر cv.D/ت ا��)p د�� �!��� ا�/,ارة ا� cpت ا��3ط�)p د�� �!��� ا�/,ارة ا� k!��� � "�(� ا�/,ارة ا�

k = v

p

c

c………………………………………(11.1.2)

cv = 1−k

R…………………………………….(11.1.3)

cp = cv + R = 1−k

kR…………………………….(11.1.4)

�7� آ8 �| cp و cvارى�U'5ى ا U�'و ا ��"Rا'�ا �.�Y'ا ��!�� n< :

u = cv T ………………………………………..(11.1.5)

h = cp T …………………………………………11.1.6)

���,�5ن ا�'�(د5دي

p = const. ρk ………………………………….(11.1.7)

Page 168: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

164

ا�ع'&� ا�*<��4!� �!: ا��/*�ى ا�/,ارى و ا�*(د5د

dh = Tds + ρ

dp……………………………….(11.1.8)

:{�����0ز # ) 2(و ) 1(ا�\�5دة @� ا�*(د5د �!: ا���4ع!:

s2 – s1 = cp ln 1

2

T

T- R ln

1

2

p

p………………………………….(11.1.9)

11.1.2 mU'ت اJد��� ���,�5ن ا�,�!S . ا�*�!,ات @0 در�I ا�/,ارة ���,�5ن ا�T��3"8 ذات أه�!�، �ص<� ��#�

- @ـ� ا��&ـ� ا��4ـع!� أ-�دى ا�(عد �ـدون sـ�� #ـ: #ـصدر Vـ�ر0I و �*�Dهـ� ا�*�!ـ,ات ��(� ����زات��� �_*�í3� -ا�ص�رة �&� : ��1V #ع�د�� ا�

22

2

2

2

2

2.

.2

1

1

1

1

vpu

m

Qvpu ++=+++

ρρ

K!- v ا��,�� ا��*�$� @0 ا��;

.

Q ا�/,ارةا�4@�#عدل

.

m ز�5,�0ن ا��*�ا�#عدل����

22

2

2

2.

.2

1

1

vh

m

Qvh +=++ ………………………………(11.1.10)

:آ�!� ا�*/,ك �_P1 ا�/���#ع�د��

0)()(.

=+∆+∆ ww AvmpA τ …………………………..(11.1.11)

Page 169: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

165

� ذات ا'-"� 11.1.3��!H'ا � ا'��Zد �Mدد #�خ 1

c

vM =

K!-v و cا���ز و $,�� ا�ص�ت @0 #�4 وا-د ��,$ . 2 �!��� k"�(� ا�/,ارة ا�

v

p

c

ck =

3 \��� Re �دد ر5

νµ

ρ vLvL==Re

K!- L ع!� @0 ا��,�5نI,# �-إزا µ �Iا�/,آ!�ا��\و ����� ν ����� �!���� .ا��\و�I ا��!

Page 170: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

166

11.2 �� ح�آ� ا'���5ت ا'-5

ا'�H.� !�| ا'-5ت و�-�ر± و و�ط ا* �Z'ه 11.2.1 �ــ ــص�ت ��ا$ـ ــ� ا�ـ 5�*;ـ

!� و �ـــI�# ��1ـــ�ت 4ـــ�@_ــ� 5/*ــ�ج ��$ــط "�&ــ� و �ع*�د $,�� ا�ص�ت ��ـ�

�&�� .ا"T��3!� ا��$ط ا�

�*�#ــ� #ــ�I*!: صــ��!*!: �5(دأن -,آ*_�� #ـ: #ـصدر

ــد ــ� . وا-ــ ــ~ ا���Iــ �ع{ــا%و�ـ� &(ـ� و-ـد�0 ز#ـ:

أي ��ـد ا��&ـ~ –#: ا·ن و �ع{~ ا�{�"!� &(ـ� . (2-)

ــ: ــدة # ــ� وا- !�ــدة ز# و- (1-) أي ��د ا��&ـ~ -ا·ن

���ن هP1 ا���Iـ�ت @ـ� . sــ�� آــ,ات �ــ\داد أ"ــص�ف

.أ&�ره� ��,�� ا�ص�ت .(t=0) ا·ن T�;# F4�5 #: هP1 ا��,ات آ�� ���هد (11.2.1)ا����

�'�U'اI: |ر ا'-5ت ��آ�-�

= 0c

v

11.2.1ا'8#9

11.2.2aا'8#9

Page 171: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

167

�'�U'اII: ا'ـ-5ت ���-�ر ا'-5ت U�ك !س��� أ.8 �| �ـ�

< 1c

v

)ا�/��� دون ا�ص��!� (

�'�U'اIII: ا'-5ت �� س�وي �� �� �-�ر ا'-5ت U�ك !س�

= 1c

v

)ا�/��� ا�ص��!� (

11.2.2cا'8#9

11.2.2bا'8#9

Page 172: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

168

�'�U'اIV: ا'-5ت �� 5ق �� �� �-�ر ا'-5ت U�ك !س�

> 1c

v

)ا�/��� @�ق ا�ص��!� (

�¥�وط ��خ 11.2.2

v

c=αsin

α = زاو�5 #�خ

α = sin-1 v

c= sin-1

M

1………(11.2.1)

�*� @�ن زاو�5 #],وط #�خ ��B �ددو ه1ا 5ع�� ا"ه إذا آ�ن �p خ�# �*��p.

11.2.3ا'8#9

11.2.2dا'8#9

Page 173: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

169

�=�ل ن �!ــ,ان @ــ0 ا�Dــ���T P,�ــ�ن -,�!*ــ�

وا-ــد و ��ــ�دياوا-ــد ��ــ� #ــ�*� �>��ا���ـ�ب -ـ��ب . #ـ�خ �ـدد

ــ!: �ــ� �ــ� #�� ــ��@� أ@;! ــص� # أ&ا�ــ��,�!: �/!ــK 8 ��ــ�ن أي #�_�ــ�

.@�D# 0ل ص�ت ا%V,ى #�خ �5ـ�ن ذ�ـ� ذا عدد@0 أي #دى �

#ع��؟

tan α = x

H

x = H 12 −M

→ M > 1

11.2.3�� ا'-5ت ��

ا%"(ـــــ�ب ا���4ـــــF @ـــــ0 5/�ي [ـ�ز (11.2.5)ا����

ــ*B. ا�ـــ�3ط ــ�آ: #�ـ . p$ـــه ــد �I"(ـ ــ�ب ��ـ ــد ا%"(ـ 5/ـ

5/ـــ,ك . ا%5ـــ�, #�ـــ(� ( ا���(� @�Dة إ�ـ� ا�!ـ��ر

ــ� ــ� �<,�5! ــ� ) -,آ _�� Å*ــ �5ه(ــ�ط @ــ� ا�ــ�3ط ��;ــدار

5�*ــــ�, هــــ1ا . 4dpــــ�!� ــددة ــ�,�� #/ �ــ�ط cا�_(

.�!ع. آ� ا%"(�با����@� @ـ0 -#]ط ا��3ط

5(!: ��ز5ـ (11.2.5)ا���� ــ�ت ــ� ا%و& ــ�3ط @ و t و 0ا�

2t. 8$ــ*]'ص �'&ــ� $ـــ,�� ــT��3!� ا�ــ�,�5ن "��ا�ــص�ت "درس &�ا"!: ا�/<ـ= #(;ـ�

–��� -D. �/��0 5/�ي #��I ص��!� ).(11.2.6ا ����

���]ــ�ذ ا���Iــ� #��Tــ� ��5ــ: ا�*(ــ�ر ا��ــ�ز ــ�,�� ــ,ك �ـ ــ�5c P*/ـ ــ� ا�Dـ x @ـ

Sا����.

11.2.4ا'8#9

11.2.5ا'8#9

11.2.6ا'8#9

Page 174: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

170

ع0-<= ا��*�� 5�~) = ا��,��)(ا����-�)(ا��{�@�(�p

(ρ-dρ)(c-dv)A = ρcA

ρ dv +c dρ = 0 ………………………………(11.2.2)

:-<= آ�!� ا�/,آ�

0)()(.

=+∆+∆ ww AvmpA τ ………………….(11.1.11)

3� �)�" ��í��$�Iا��� Aw τw = 0

∆(pA) = - Adp

)(.

vm∆ = .

m ∆v = ρcA(-dv) = -Aρcdv

dp + ρcdv = 0 ……………………………………(11.2.3)

�ع!�ن(11.2.3) و (11.2.2)

ρd

dp=c2 …………………………………………..(11.2.4)

2

1

cdp

d=

ρ……………………………………..(11.2.5)

. �ع(, �: #عدل ��!, ا��{�@� # ا��3ط و ���1 ���ن #¡s,ا �'"ـT��3!� (11.2.6)ا��ع�د��

.cو "'-= ا�*��د ذ�� آ�!� ��� $,�� ا�ص�ت

���,�5ن ا�'�(د5دى

k

p

ρ= const…………………………………….(11.1.7)

0)(

=−k

kd

p

dp

ρ

ρ

01

=−−

ρρ

ρdk

p

dpk

k

0=−ρ

ρdk

p

dp

Page 175: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

171

ρρ

pk

d

dp= ……………………………………………..(1)

:#ع�د�� ا���ز ا���#�

p = RρT

ρ

p= RT……………………………………………………(2)

�ع!�ن(2) و (1)

ρd

dp= kRT…………………………………………(3)

�ع!�ن(11.2.5) و (3)c2 = kRT

c = kRT ………………………………………….(11.2.6)

Page 176: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

172

�نـا'س 11.3�? H'يـ ا��

11.3.1 ���Z�

�0 ا�*/�!� @0 ه1ا ا�<ص� ��� ا8@*,ا�4ت )�5: $,�5ن ر�!S ) أ( أ-�دى ا�(عد ) ب( .p!, و�D� :��5ه�_� ا·�pر ا��\I!� وا"*;�ل ا�/,ارة وأp, ا��Dذ�!� �4!�� ا�*�) ج( .ا���ز #{��0 ) د(

ا8@*,ا�4ت ا��1آ�رة �(�ط ا�*/�!� آ{!,ا إ8 ا"ـه B5ـ� #��$ـ(� ��*(!ـ ��ـ� ا��{!ـ, #ـ:

�)$���ـ�ت : أ#{�� �_P1 ا�ع��!ـ�ت .ا�ع��!�ت ا�_�د$!� �د&� #ا�ـ�,�5ن @ـ0 #��@ـK و#( �!Vا�ص�رو K@�� .ا�ع�<� ا���ز�5 وا�ع�<� ا�(]�ر�5 وا��

)� : �0 #,ا��ة ا��Dا"S ا�ع��!� ا·�!� �*صF ا8@*,ا�4ت أ�'�D# 0@ Pري ا���ز5

#عدل ��!, ا����-� # ا����@� p¡5, @ـ0 ا�(;ـ� ا�Dدار5ـ� وD5ـS أن �5ـ�ن ) أ( .ص�!,ا

, ا8"/��ء ) ب(& Eأن ��5ن "ص SD5 �!�/�إذا آ�ن ا�]ط ا��/�ري ���D,ى # .آ(!,ا #;�ر"� # &, ا��D,ي

ا'���دJت ا' ��"�� 11.3.2(;� ��� -D�� 0�4�>� 0��/� .D,ى #*�!ـ, ) آ*�� و�T&� ( إ�*داء #: &�ا"!: ا�/<= #

ا����-� @0 ا�P�D ا��,�5ن، "/ص� ��� ا�ع'&�ت ا�*<��4!� ���,�5ن ا�'�(د5دى و ا�*ـ� .�ع,ف ا35� ���ع'&�ت ا��ص<!� ���,�5ن

�&� :&�"�"0 -<= ا��*�� وا�

ρvA = const

h + v

2

2= const

:و@0 ص�ر�!_�� ا�*<��4!�d dv

v

dA

A

ρ

ρ+ + = 0........(1)

dh + vdv =0 .......................(2)

dh = T ds + dp

ρ ..................(3)

11.3.1ا'8#9

Page 177: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

173

و��� أن ا��,�5ن 8 �(د5دى

dh = dp

ρ

)2(و�ص(F ا��ع�د�� dp

ρ + vdv =0

dp

v

dv

vρ 20+ = ........................................(4)

�ع!�ن) 4(و ) 1(

dp

v

d dA

ρ

ρ20− − =

1

02

v

d

dp

dA

dp A− − =

ρ ρ

) 11.16(و��$*]دام

A

pk

dp

dA

A

kRT

dp

dAc

Adp

dA

M

Adp

dA

cv

===−

=−−

ρρ

ρ

2

2

22

11

011

dp

dAkp

A

M

M=

2

21

...........................................(11.3.1)

�ع!�ن(11.3.1)و ) 4(

dv

dA

dv

dp

dp

dA=

dv

dA

v

A M= −

1

12.......................................(11.3.2)

�M = 1دل ��� أن �دد #�خ -,ج ��د ) 11.3.2(ا��ع�د�� • ز5ـ�دة ا��ـ��-� @ـ0 ا�Dـ�P ا�ـ�,�5ن و�\5ـد @�ن ا��,�� �;� #ـ M<1@0 -�ل •

K!- �T��3"�5ن ا�'إ,��� �)������;ص�ن ا����-� ، ���#� آ�� ه� ا�/�ل �

Page 178: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

174

A

v

dA

dv−=.

-!ـK �\5ـد ا�ـ�,�� و�ـ�;ص �(عـ� �\5ـ�دة ، �ـ�ع�� ا�ع'&ـ� M>1 و@ـ0 -ـ�ل •

.ا����-� أو ";ص�"_� وا�ع'&ـ� �ـ!: �M = 1خ -ـ,ج أ5ـ3� ��ـد �دل ��� أن �ـدد #ـ ) 11.3.1(ا��ع�د�� •

.ا��3ط وا����-� دو#� ��� ��� ا�ع'&� �!: ا��,�� وا����-�

ا'���دJت ا' #��"�� 11.3.3�د ا$*]'ص ا��ع�د8ت ا�*��#�!� ���,�5ن ا�'�(د5دى @0 صـ�رة 8�عد5ـ� "/*ـ�ج �*/د5ـد �

:";�ط #,Iع!� ���*�!,ات وه0 آ�� 0�5 � ا��,Iع •;�: و $!��� ذ�� ا��*�!,ات(v =0)!� ا%و�� ه� ا�/��� ا�,آ�د�5 ا�

T, p, ρ �!عI,0: و ���ن &!�_� ا��T0, p0, ρ0ا�*�ا� ��� . � ا��,Iع!� ا�{�"!� ه� ا�/��� ا�ص��!� •;�و $!;*ص, ا$ـ*]دا#_� ه�ـ� . (v =c)ا�

.*Aو ���ن &!�*_� ا��,Iع!� . ���A ا����-�

�&�(! #ع�د�� ا�*�� ا��,Iع!� ) 11.1.10 (;�� ��#� و ا�;" :!� ) :ا�,آ�د�5(

h + ½ v2 = h0

v2 = 2(h0 - h)

)11.1.4(و ) 11.1.6(و ��8$*<�دة #: ا��ع�د8ت

v2 = 2 Cp (T0 - T) = 2

1

2

11

0

0kR

kT T

kR

kTT

T−− =

−−( ) ( )

Mk

T

T

2 02

11=

−−( )

T

T0

= [ ( ) ]1 112

2 1+ − −k M .......................................(11.3.3)

E5,ع*� µو µ = [1+½(k-1)M2]

T

T0

1= −µ ................................................(11.3.3)

) 11.1.7(و ) 11.1.1(���,�5ن ا�'�(د5دى و #: ا��ع�د�*!:

Page 179: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

175

p

p

T

T

k

k

0 0

1= −( )

)11.3.3(�د�� و ���*ع��5 @0 ا��عp

p

k

k

0

1=−

−µ .............................................(11.3.4)

)11.1.7(و ��8$*<�دة #: ا��ع�د��

ρ

ρ0 0

1

= ( )p

p

k

)11.3.4(و ���*ع��5 #: ρ

ρµ

0

1

1=−

−k .............................................(11.3.5)

:*]'ص ا�ع'&� ا�*��#�!� �����-� "(دأ #: #ع�د�� -<= ا��*��و $8

A

A

v

v1

1 1=ρ

ρ

#�4 #/دد @0 ا��,�5نK!-1 ا���4

A

A

M c

Mc

M kRT

M kRT

M T

M T

M

M

TT

TT1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

0

0

1

0

0

= = = =

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρρ

)11.3.5(و ) 11.3.3(و ���*ع��5 #: ا��ع�د8ت

A

A

M

M

kk

1

1

1

1

2 1

=

+−

µ

µ

( )

ه� ا��; ا�ص��K!- 0 ) 1(و إذا ا�*(,"� ا��;M = 1.0 , A1 = A*

µ1 = 1+½(k-1)(1) = ½(k+1)

و �ص(F ا��ع�د��

A

A M k

k

k

*

( )

=+

+−1 2

1

1

2 1µ..........................................(11.3.6)

Page 180: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

176

�!�ت ا�*�!, ا���{�ـ� ���عـ�د8ت ا�*��#�!ـ� ا���*]�ـص� ) 11.3.2(ا���� /�و D5ـد . 5(!: # &ـ�ا�. #�*]�ـص� #ـ: ا��عـ�د8ت ا��ـ1آ�رة ��ـ�,�5ن ا�'�(د5ـدى )د(ا�;�رئ @0 ا���/

�د �k = 1.4.

�=�ل درIـ� ا�/ـ,ارة . 1.25"�(� ا�/,ارة ا����!� ����ز . �5,ي [�ز @� #D,ى #*�!, ا����-�

�30°�د 4�# #� C �5ا�/,ارة ا�,آ�د �I180 و در°C . د ه1ا ا���4ـ���-= أن ا��3ط � .�P�D ا��,�5ن5*��&ص @0 ا

أ-�S �دد #�خ ) أ وF4 #� إذا آ�ن ا��D,ى 8#� أم "�s,ا ) ب .وF4 #� إذا آ�"~ ا��,�� �\5د أو ��;ص ��د ه1ا ا���4 )ج T = 30 + 273 =303K )ا(

T0 = 180 + 273 = 453K

→ µ = 1.50 �ع0) 11.3.3(ا��ع�د��

1.5 = 1 + 0.125 M2

M = 2.0

):11.3.1(ا��ع�د�� )ب(

dp

dAkp

A

M

M=

2

21

11.3.2ا'8#9

Page 181: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

177

M > 1S��$ :�5%ا S"�D0 أن ا�� ���ن #�I(ـ� dA $��(� @�ن dpو ��� أن . �ع .ا'�X�ى *�$�و 5ع�0 ذ�� أن

):11.3.2(ا��ع�د�� )ج(dv

dA

v

A M= −

1

12

M > 1 أن ��� ���ن #�I(ـ� و I�# dv(� @�ن dA �ع�0 أن ا�S"�D اSI�# :�5% و

Wا�ا'س�5ع�0 ذ�� أن ��.

�=�ل

ــ�(� � ��ــ�,�5ن @ــ0 ا��Dــ,ى k&!�ــ� ا��ـ��وي ) 11.3.3(ا���F4 @ـ0 ا�ـ���

ــد Mا��Dــ,ى "�sــ, و &!�ــ� . 1.25 �� . dM/dx > 0 و ���1.0وي ) 1(ا��;

, ا��D,ى 5\5د #: &10mm �د ا��;� ــ 20mm إ�ـــــ�) 1( ــد ا��;ـــ 2( ��ـــ .(

ــد ا��;ــ �ــ�ب &!�ــ� �ــدد #ــ�خ � � ا��)2(.

A

A

d

d

2

1

2

1

2

=

= 4

)11.3.6(ا��ع�د��

A

A M k

k

k

2

2

21 2

1

1

2 1

*

( )

=+

+−µ

4 = 1

2M{ 0.889 [ 1 + 0.125 M2

2 ] }4.5

�T S,5;� ��,ر5ه ��/�*� P'ا��ع�د�� أ�. ):ب( ا���/–��$*]دام T,5;� "!��: را@��ن

F = 0.147 [ 1 + 0.125 M22]4.5 – M

F’ = 0.166M2 [ 1 + 0.125 M2

2]3.5 – 1.0

Mi+1 = Mi – F/F’ :@�ق ص��� و دون ص���: "ع,ف و�Iد -�!: ���ع�د�� M2 = 3.00, 2.77, 2.70, 2.70 : ا�/� @�ق ا�ص��0 M2 = 0.40, 0.14, 0.15, 0.15 :ا�/� دون ا�ص��0

M2 = 2.70 أن "�*�*K!- dM/dx > 0Å 1ا�*��دا ��� T(!ع� ا��,�5ن ��د ا��;

11.3.3ا'8#9

Page 182: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

178

�=�ل �ــ�,�5ن ا�_ــ�اء ا���4ــF @ــ0 ا�ــ���

A2, p2, T2ا���ــ�ب إD5ــ�د ) 11.3.4(��$*]دام:

#ع�د8ت ا��,�5ن ا�'�(د5دى )أ .&�ا�. ا��,�5ن ا0T��3"8 )ب

:��_�اءk = 1.4 , R = 287 J/kg-K

��$*]دام ا��ع�د8ت )أ:

T2 = T

T

2

0

T

T

0

1

T1 = µ

µ2

1

1

T1

µ1 = 1 + 12(k-1)M1

2 = 1.050 µ2 = 1.162

T2 = (1.162/1.05)-1 (320) = 289K

P2 = p

p

2

0

p

p

0

1

p1 = µ

µ2

1

1

−−k

k

p1 = 1162

105

1.4

0 4.

.

.

(0.5E6) = 0.35MPa

A2 = A

A

2

*

A

A

*

1

A1 = M

M

k

k

1

2

2

1

1

2 1µ

µ

+−( )

A1 = 05

0 9

1162

105

3.

.

.

.

A1 = 0.003m2

��$*]دام &�ا�. ا���ز ���,�5ن ا0T��3"8 ا�'�(د5دى )ب:

M T/T0 p/p0 A/A* :1س ل أ 1.3398 0.8430 0.9524 0.5 :2س ل أ 1.0089 0.5913 0.8606 0.9

T2 = T

T

2

0

T

T

0

1

T1 = 08606

0 9524

.

.

(320) = 289K

P2 = p

p

2

0

p

p

0

1

p1 = 0 5913

0 8430

.

.

(0.5E6) = 0.35MPa

A2 = A

A

2

*

A

A

*

1

A1 = 10089

13398

.

.(0.004) = 0.003m2

11.3.4ا'8#9

Page 183: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

179

��د ��خ �"n ا'#=�>� 11.3.3 �Sأ

:���,�5ن ا0T��3"8) 11.3.5(ا��ع�د��

ρ

ρ0 = [ ( ) ]1 11

2

2

1

1+ − −k M k ……………….………..(1)

�T��3"و ���,�5ن ا�'إ: ~��pρ = ρ0 =

ρ

ρ0 = 1 …………………………..…………(2)

�د أ�ـداد #ـ�خ k = 1.4و ���*(�ر � �!T��3"ا@*,اض ا�'ا :� Å��� ا�;���� أد"�P �(!: ا�]� ا��>�*[#.

M 0.2 0.4 0.5 1.0

ρ0/ρ 1.02 1.08 1.13 1.58 ε % 2 7 12 37

11.3.4 ��� �?� ���ل ا'س��ن ا'# "& ــ��� ــF #) 11.3.6(ا�ـ ــ<�ت 4�5ـ ــ��3ط �����اصـ ــ�ز #ـ ــ�*�دع [ـ ــ� #ـ ــ� إ�ـ ــK #�صـ �<ـ

:ا·�!� p0 ا��3ط @0 #�*�دع ا`#داد

T0 در�I ا�/,ارة @0 ا���*�دع�د #�4 ا�,صد� K>� ا��;# �-��# A

M �دد #�خ ��د #�4 ا�,صد

:#ع�د�� -<= ا��*��

m.

= ρvA =

( )p

RTM kRT A

k

RTAMp

= ......(11.3.7)

ــ�د8ت ــ*]دام ا��عــــــــ ) 11.3.4(و ) 11.3.3(��$ــــــــ

p و ���T*�!,ات

11.3.6ا'8#9

Page 184: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

180

m.

=−

−k

R

AMp

T

k

k

0

0

1

1

2

µ

µ

m.

= +−

k

R

Ap

T

Mk

k

0

0

1

2 1µ ( )

..................................(11.3.8)

���,�5ن ��I,اء ا�*<���5����4: ا$*]'ص ا��عدل ا%dM

md.

(11.3.7) ��ـ� ا��ع�د�ـ�

#عـدل أ��ـ� ، و M =1 #عـدل $ـ,�5ن 5/ـدث ��ـد أ���ا��*!�D أن . و #��وا�ه ���ص<, #��: ���,�5ن ه�

m.

M =+

+−k

R k

A p

T

k

k2

1

1

2 1

0

0

( )*

...................................(11.3.9)

K!-A*� أي ،�I,/د ا����-� ا��M = 1.

و @0 "<� ا���4 p

p0

= p

p

*

0

.ا���(� ا�/,�I ���3ط= T

T0

= T

T

*

0

.ا���(� ا�/,�I �در�I ا�/,ارة= ):11.3.3( و) 11.3.4( @� ا��ع�د8ت M =1و �*ع��5

= )��0.528_�اء (2

1

1

k

k

k

+

= p

p

*

0

= )��0.833_�اء (2

1k +=

T

T

*

0

�د ) 11.3.8(و �ع� ا��ع�د�� � P�"ا�ص!�� أدk = 1.4:

m.

M = 0040

0

.

*A P

T.......................................(11.3.10)

"ـ�(� ��Iـ�د &ـدر #ـ: ا8-*�ـ�ك @ـ0 . ا��ع�د8ت أ�'P ا$*]�ـص~ ��ـ�,�5ن ا�'�(د5ـدى

P'ـه أ�ـ�و �ـ��1 ��5ـ: . ا��ا& @�ن #عدل ا�ـ�,�5ن ا�/;!;ـ0 5;ـ� �ـ: ا��;ـدار ا��ع(ـ, ��ط ا��,�5ن ا�<ع�0 ����,�5ن ا�'�(د5دى�Cmع,E5 #ع�#� ا��,�5ن ,!� :

Cm= #عدل ا��,�5ن ا��*�� ا�'�(د5دى \#عدل ا��,�5ن ا��*�� ا�<ع�� .0.99 – 0.94 ���ن @0 ا��دى Cmو �����@K ا���*;!�� I!دة ا�*ص�! @�ن &!��

Page 185: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

181

5ز� ا'F%ط >& ا'��� ا'Hم 11.3.5

�� 5*. @!_� �{(!ـ~ ا�ـ�3ط و درIـ� ,D� ل'V :# ا�'م K>�"درس ه�� ��ز5 ا��3ط @0 ا�� #ـ� 5/ـدث (ـ **5داد و 5عدل ا��3ط @0 ا��ـ�*�دع ا��ـ�*;(� و ا�/,ارة @0 #�*�دع ا`# K>� ���3ط @0 #/�ر ا��

p0 ��5وي ا��3ط ا�,آ�دي pbا��3ط ا��_��0 )أpb /p0 = 1.0

K>�#��ل ا��3ط @0 ا��

و �ـI�5 8 ��1ـد ص<,= .$,�5ن

ــ�3ط ا��_ــ��0 )ب 5;ــ� pbا�ث /ــد�p0 . 5ــ: ا�ــ�3ط ا�,آــ�دي

ا���<ــK و هــ1ا #�ــ�ل 4ــ�ط @ــ0 Pــ�Dــ� $ــ,�5ن @ــ0 ا� ــ¡دي إ� 5x

SIا���. ــ0 ــ�3ط ا�],وIـــ = ا�ـــ

ــ��0، ــ�3ط ا��_ــــــ ا�ــــــ pe = pb.

5ــ�]<� pbو آ��ــ� V<ــ� ا�ــ�3ط �ـــــ�<� peا�ـــــ�3ط ا�],وIـــــ0

.Meا���*�ى و �\5د ا��,�� 11.3.8ا'8#9

11.3.7ا'8#9

�س 5دع ا���اد

Page 186: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

182

:ا�/��� ا�/دود�5 )ج �>V 0@ 8$*�,ار��pb ä�)� p* F)و �ص pe = p* دد #�خ� F)و 5ص Me = 1.0 و

V�5 0�*ه، أ���1 #عدل ا��,�5ن ا��� ��!& Mm.

.

:ق-��� ا��, )د �>[�pb :# �"أد p* S!D*�� 8 pe د ا���*�ى�� �B� و p* �B� و Me ـد��

و 1.0.

m د�� Mm.

. ق$�و ���1 �5صE ا��,�5ن ��"ه

�ص�رة s(ه @��D!� إ�� 5�]<� ا��3ط $�@� ا K>���pb�5ت ��دد�I�# ,)� .

�=�ل �ـ~ و درIـ� -ـ,ارة رآ�د5ـ� �p د 4ـ�ط رآـ�دي��<K 8م #�ص� ���*�دع إ#داد �ه ه�اء �#

25°C . د�� ~��p 0��_� .m2 0.0005 و #��-� ا���<K ا�],و0.1MPa �!Iا��3ط ا� :ا����ب -��ب #عدل ا��,�5ن ا��*�0 ��/��*!:

�3�0.15MPaط @0 #�*�دع ا`#داد ا )أ .0.35Mpaا��3ط @0 #�*�دع ا`#داد )ب

m.

=ρe ve Ae =k

RTA M p

e

e e e

p0 = 0.15MPa )أ�&,s د5د #� إذا آ�ن ا��,�5ن/*� "(دأ

pb = 0.1E6

pb /p0 = 0.667 > p*/p0 (0.528)

,s ,!] قاذن ا��,�5ن

⇒ pe = pb = 0.1E6

pe /p0 = 0.667

p

p

e

e

k

k

0

1= −−µ = µ-3.5 = 0.667

→ µe = 1.123 = 1 =½(k-1) Me

2

→ Me = 0.78

Te = T0 (Te /T0 ) = T0 (µe-1 ) = (25+273)(1/1.123) = 265K

Page 187: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

183

→ m.

= 14

2872655 4 078 01 6

.

( )( )(. )(. )E E− = 0.17 kg/s

p0 = 0.35MPa )بpb /p0 = 0.286 < p*/p0

اذن ا��,�5ن s,ق⇒ pe /p0 = p*/p0= 0.528

pe = (0.528)(0.35E6)= 0.185E6

Te /T0 = T*/T0= 0.833

→ Te =(0.833)298 = 248K

→ m.

= 14

2872485 4 10 0185 6

.

( )( )(.)(. )E E− = 0.41 kg/s

,5;� أV,ى ��5: ا$*]دام ا��ع�د��� )11.3.9 (و

298

)635.0)(45(04.0

. EEmM

−= = 0.41 kg/s

11.3.9ا'8#9

Page 188: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

184

�=�ل و 0.1MPa#ـد�V ا���<ـK #<*ـ�ح إ�ـ� ا�Dـ� �ـ�3ط . #�<K 8م #�صـ� ��,و-ـ� $ـ�-(�

ا�ـ�3ط ا��_ـ��0.0001m2 . 0ا��ـ��-� ا�],وI!ـ� ����<ـ303K . Kدر�I -,ارة رآ�د�5 :@0 #],ج ا���<K ��5وي

0.08MPa ) أ 0.05MPa ) ب

.#عد�0 ا��,�5ن ا��*�0 و ا�/0�Dا����ب �;د5, pb = 0.08MPa )أ

m.

=k

R

AMp

T

pb / p0 = 0.08 /0.1 = 0.8 > 0.528

,s ,!] قاذن ا��,�5ن

pe= pb

pe / p0 = 0.8

p

p

e

e

k

k

0

1= −−µ

0.8 = µ-3.5

→ µe = 1.066

µe = 1 + ½(k-1) Me

2

→ Me = 0.57

Te /T0 = µe-1 = 0.938

→ Te = (0.938)(303) = 284K

m.

= 0.0189 kg/s

qe = m.

/ρe = m.

R Te /pe = (0.0189)(287)(284)/0.08E6 = 19 l/s

Page 189: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

185

pb = 0.05MPa )بpb / p0 = 0.5 < 0.528

قن s,اذن ا��,�5

pe /p0 = 0.528

pe = 0.528(0.1E6) = 0.0528E6

m.

M = 0040

0

.

*A P

T= 0.023 kg/s

qe = m.

R Te /pe

Te = (T

T

*

0

)T0 =(0.8333)(303) = 252K

qe = 31.5 l/s

Page 190: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

186

ا'��$�-'��� ا'Hم 5ز� ا'F%ط >& ا 11.3.6

�*�� ا�*0 $,دت �_!)s ���� ه,D*ا�'م @0 �:ا� K>� ):11.3.5 (ا�;�. ا�� pb/p0 = 1 ��3ط ا`#دادا��3ط ا��_��0 #��و )أ

. 8 $,�5ن.ص<, = #��ل ا��3ط �]<� )بpb P�D�5ن @0 ا�,$ ���5 '!�& xSIا��� .

ــ. ا�ــ�,�5ن @ــ0 آــ� ا���<ــK دون صــ��0 ــ��,�Iع إ� �� ا��عــ�د8ت ا�*<�4ــ�!� و ��5ـ: إدراك أن ا�ـ�3ط 5*�ـ�&ص @ـ0 -) 11.3.2( ا�;�. -���,�5ن دون ا�ص��0

�ـه @ـ� -�ـ ا���<ـp Kـ. 5*\ا5ـد @ـ0 ا��D"ـS اا�S"�D ا�'م �!ص� أد"ـ� #ـ�*� ,s�� �ـه @ـ� ا #ـ�*� أ��ـ� �دد #�خ، ���*��0، 5*\ا5د @0 ا�S"�D ا�ـ'م �!ـص� . ا�

��&ص @0 ا�*5 .p K>� .S"�D ا���s,-� ا��0��_� .pe = pb. ا��3ط ا�],و0I @0 هP1 ا�/��� ��5وي ا��3ط ا�

. )ب(�]<� ا��3ط ا��_��0 أآ{, "(�ä ا�/��� ا�/دود�5 �����ك )ج و �ـ��1 (M=1)�5!\ هP1 ا�/��� ا�/دود�5 أن �دد #�خ @ـ0 ا�/�ـ �5ـ�ن صـ��!�

�I,- ك���ن @0 آ� #�ا4 ا���<ـK و ��5ن ا��,p/p0=p*/p0 ( 5(��5ن ا��3ط ه .ا%V,ى دون ص��0 .ه� أ-د -�0 ا��ع�د��) ج(F3*5 أن ا����ك ) 11.3.6(�درا$� ا��ع�د��

� ا�/� ا�{�"0 ���ع�د�� ) د(ا����ك )د� .، و ه� ا�/� @�ق ا�ص��5)11.3.6 ( 0�]<� ا��3ط ا��_��0 إ�� #;دار ا��3ط �!�,D� ص� ��� ه1ا ا����ك/"

) د(و ا����ك . ��� ا�*�ا�0 ) 11.3.4(و ) 11.3.6(ا��ع�د�*!: ا��/ص� #: -� �ه �����ك ��# ��5�]<� ا��3ط ��T,اد . @0 ا�S"�D ا�'م #: ا���<K) ج(ه

آ�� أن �دد #�خ 5\داد �: ا�;!�� ا�ص��!� @0 ا�/� . �!(�ä أد"�P @0 ا��],ج ä�)!�P'د ا��],جأ��� .

�<K ا�'م ��ا'س"5ك ا' -���&ب) د(5ع,ف ا����ك �-,s�� .ا�

11.3.10ا'8#9

��R"ح�¥

Page 191: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

187

أد"� #: ا��3ط ا<� ا��3ط ا��_��0 إ�� #�*�إذا V) هـ(5��� ا����ك )هـ ).د(ا�*ص�!�0 ا�],و0I ا����ر إ�!ه @0

إ8 أن ا��<K 5*ع,ض �]<� . S!D*�5 8 ��ز5 ا��3ط دا�V ا���<K �_1ا ا�]<� 5ص(Fو . #<��I @0 ا��3ط �(, #��Iت ��دد�5 �!�ا�. ا��3ط ا��_��0 ا����د

..�$�ا��,�5ن

�=�ل 400K و s�"3MPa, #�ص� ��ـ�*�دع إ#ـداد �ـه هـ�اء 4ـ�ه و درIـ� -,ار�ـه -#�<K 8م

�<K . ا�*�ال��� ��� �!I0.1ا����-� ا�],وm2 . Kـ>�ا����ب أن 5]ـ,ج ا�_ـ�اء #ـ: ا��2.0�عدد #�خ S�-أ : د ا�/��ـ� #��-� -� ا���<K و ا�ـ�3ط ا��_ـ��0 و #عـدل ا�ـ�,�5ن ��ـ ) أ

.ا�*ص�!�!��<� #عدل ا��,�5ن ) ب� ,Ü�� .أ��� �4ط V,و0I #��: و �دد #�خ ا��

�د ا�/��� ا�*ص�!�!� @0 ا��; ا�],و0I )أ�

Me = 2.0

µe = 1 + ½(k-1) Me2 = 1.8

p

p

e

e

k

k

0

1= −−µ = 0.128

pe = 0.128(3E6) = 0.383E6

pb = pe = 0.383MPa

11.3.12 ا'8#9

Page 192: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

188

A

A M k

e

e

e

k

k

*

( )

=+

+−1 2

1

1

2 1µ= 1.688

A* = At = (A*/Ae)Ae = 0.059m2

m.

=k

R

A M p

T

e e e

e

Te =T0 (Te /T0 ) = T0 µe

-1 = (1.8)-1 (400) = 222K

→ m.

= 14

28722201 20 0383 6

.

( )(.)(.)(. )E = 359 kg/s

��T8'ع )ب �>" 0��� ا�,$�!: ��5: ا$*�*�ج أن ا��3ط ا%��� ا�1ي 5ع

��!&.

m 0"�}(� - ���#عدل ا��,�5ن @0 ا�/��*!: ه� ا%). دون ا�ص��0( ه� ا�/� ا��" �د #,ور ا��,�5ن ���/�1.0%ن �دد #�خ ��5وي � .

A/A* = 1.688 :�],ج��$*]دام &�ا�. ا��,�5ن ا�'�(د5دى ��د ا�

M p/p0 A/A* 2.0 0.128 1.688 0.37 0.91 1.688

→ pe = 0.383E6, 2.7E6

2.7Mpa :ا��3ط ا%��� ه�

.Me = 0.37 و 5��Ü, ذ��

Page 193: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

189

11.3.7 &Rا'�>� ا'-�رو ��� ا�;ـ�. –��ز #: #�<V¡# 0@ K,ة ا�ص�روخ ا�"د@�ع 8 آ,د @ع� ا�د@ ��� ا�ص�روخ 5

.د"�P ا��*�!,ات ا��¡p,ة @0 #;دار ه1ا ا�د@ و 5<ص� ا�*/�!� أ. (7.2)

�,$. -D. �/��0 دا�V [,@� ا8-*,اق و ا���<K �ص(F #ع�د�� آ�!� ا�*/,ك ��/���:

ρ σv v dA dA

A A

( . ) =∫∫ ∫∫

Fا��3ط ا��Dي 5ع�� ��� آ� أ$F ا�ص�روخ @!ص(F ص�@0 ا��3ط ��� ا�� 0Iا�],وpe - pa

ρe ve2Ae i = (pe - pa)Ae (-i) + Rx

Fx = -Rx = [ ρe ve2Ae + (pe - pa)Ae ] (-i)

P�D��1 @�ن ا�د@ @0 ا�� : ا����xSو FT = ρe ve2 Ae + (pe - pa)Ae ................................(11.3.11)

:@0 ا�/��� ا�*ص�!�!�

pe = pa

FT = ρe ve2 Ae = p

RTkRT M A

e

e

e e e( )

2

FT = kAeMe2pe ........................................(11.3.12)

11.3.13ا'8#9

Page 194: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

190

�=�ل 1.2 ��ــد ا8ر�<ــ�ع 4.5kNصــ�. #/ــ,ك صــ�رو0V �!عــ0 د@عــ� 5ــ��وي km ا�ــ�3ط Kــ!-

، ��ـ� 2MPa و 2000KدرIـ� ا�/ـ,ارة و ا�ـ�3ط @ـ0 [,@ـ� ا8-*ـ,اق . 0.02MPaا��Dي .20 ا���(!� و ا��*��1.3 ���زات ا��<k K&!�� . ا�*�ا�0S�-و : أ Kـ>��ـ� و #ـ��-� -�ـ ا�����دد #�خ ا�],وIـ0 و ا��ـ��-� ا�],وI!ـ� ا��

.#عدل $,�5ن ا���زات .ق�5ن �8(د5دى @� ا���<K و [!, s,��5: ا@*,اض أن ا��,

ق���,�5ن [!, ا��,pe = pb = pa = 0.02E6

pe /p0 = 0.01

)11.3.4(ا��ع�د��

µe = p

p

e

k

k

0

1

− −

= (0.01)-0.231 = 2.89

Me = [(µe -1)2

1k −]½ = 3.55

:#ع�د�� ا�د@ FT = kAeMe

2pe

4.5E3 = (1.3)Ae(3.55)2(0.02E6)

Ae = 0.014m2

��� أن ا��,�5ن @�ق ص��0 @0 ا�D\ء ا���s, @_� إذن ص��0 ��د ا�/� A* = At

�ع0) 11.3.6(ا��ع�د��

A

A M k

e

e

e

k

k

*

( )

=+

+−1 2

1

1

2 1µ= 9.63

A* = At = 0.014/9.63 =

0.00145m2

m.

=k

R

A M p

T

e e e

e

Te = (Te/T0) T0 = (µe

-1 )T0 = 692K

11.3.14ا'8#9

Page 195: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

191

R = R

MW=

8310

20= 415.5

m.

=13

4155 6920014 355 002 6

.

( .)( )(. )(. )(. )E = 2.11 kg/s

Page 196: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

192

�س��8

11.3.1 .C °40، C °0: أ-�S $,�� ا�ص�ت @� ا�_�اء ��د در�Iت ا�/,ارة )أ

،C 40°: أ-�S $,�� ا�ـص�ت @ـ� [ـ�ز ا�_�!ـ�م ��ـد درIـ�ت ا�/ـ,ارة )ب0°C .)k = 1.66, MW = 4(

@ـ� هـ�اء $ـ�آ: 1000km/hأ-�S �دد #�خ ���,ة �*/ـ,ك ���ـ�,�� )ج .C°0@� در�I ا�/,ارة

[355m/s,331m/s;1039m/s,970m/s;0.84]

400 ��ـد ا8ر�<ـ�ع ��T3000 km/h,ة @�ق صـ��!� �!ـ, �ـ�,�� 11.3.2m . ـ� -ـ,ارةIدر �D15ا�°C . أر4ـ� &(!ـ� $ـ��ع Sة @�ق #,ا&ـ,��#� ه� ا����@� ا%@;!� ا�*� �;ع_� ا�

ه1ا ا��,ا&S �ص�ت ا���,ة؟[895m]

:ا$*]�ص ا�ع'&�ت ا·�!� #: ا%$� ا%و�!� 11.3.3

T

T

k

*=

+ 1

p

p

kk

k

*=

+

−1

2

1

µ

K!-T* وp* �!د ا�/��� ا�ص��� . &!. در�I ا�/,ارة و ا��3ط � µ وى���[1+½(k-1)M2].

. �(ــ, #�<ــK 8م C°10ا�_�!ــ�م #ــ: #ــ�*�دع آ(!ــ, درIــ� ا�/ــ,ارة @!ــه 5ــ�,ى11.3.4

K>���� �!Iو,[0.0003ا����-� ا�m2 !@ ـ� ا�ـ�3ط@,] 0.1_ـ� و �¡دى إ�ـ�MPa . Sأ-ـ� :#عدل ا��,�5ن ا��*�� �(, ا���<K إذا آ�ن ا��3ط ا��� @� ا���*�دع

,MPa 0.15 )أ .MPa 0.35 )ب

[0.04kg/s, 0.10kg/s]

، m/s 300 و K 350 و MPa 0.35ا�ـ�3ط و درIـ� ا�/ـ,ارة و ا�ـ�,�� �ـ��وى 11.3.5إذا آ�"~ "ـ�(� ا��ـ��-� . (د5دي ��د #د�V أ"(�ب "�s, 5/�ى $,�5ن �8 ��� ا�*�ا�� ،

�!��Vا�د �-����� �!Iد ا��],ج2.5ا�],و� . أ-�S ا��3ط و در�I ا�/,ارة و ا��,�� � [0.51 MPa, 391 K, 91 m/s]

ا��ـ�*�دع . C°15 و at 0.7 MPaا�ـ�3ط و درIـ� ا�/ـ,ارة @ـ� #ـ�*�دع هـ�اء 11.3.6عـ� ا�/�ـ و ا�]ـ,وج #ـ��-� #; . "�sـ, -#�ص� إ�ـ� #ـ�*�دع #ـ�*;(� �(ـ, #�<ـK 8م

:ا-�S. ، ��� ا�*�ا��5.2E-3m2و ���1.3E-3وى #عدل ���,�5نأ��� )أ

#عــدل ��ـ�,�5ن #ــ �;ــ�ء أ��ــ�&ـ!. �ــدد #ـ�خ ا�],وI!ــ� إ�ــ� �عـ� )ب ا��,�5ن دا�V ا���<K �8(د5دى

) .ب(&!. �4ط ا8$*;(�ل ا����Ü,ة ��/��� )ج [2.2kg/s;2.94,0.15;0.02MPa,0.69MPa]

Page 197: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

193

إ�ـ� K 300و در�I ا�/,ارة MPa 0.3 5,اد "<K ه�اء #: #�*�دع آ(!, ا��3ط @!ه 11.3.7��عدل MPa 0.1ا�K!- �D ا��3ط 1.0 kg/s . ر ا��,�5ن�)*���-ـدد دا�V ا���<ـK �8(د5ـدي

:ا����-� ا�],وI!� ا����$(� و �دد #�خ #�*]د#��<K 8م )أ#

�<K 8م )ب#-,s�" �� ا��3ط ��� -���/� .أر$. #

Page 198: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

194

ا'-��� ا'� ����ة 11.4

E?��� ا'���5 ا'-���� 11.4.1

و 5ص�-S ذ�� ��!,ات آ(!,ة .ا�صد#� @0 -,آ!� ا���ز ه0 ا�\�5دة ا��<���I @0 �4ط ا���ز

و 5/دث ذ�� @0 #��@� #*��ه!� ا�ص�, @0 ا�P�D . ا��,�5ن ا%V,ى#*�!,ات@0

و ان �. ��: . ا�P�D $,�5ن ا���ز إذا �ع�#دت ���ة����� ��صE ا�صد#� ��ل. ا��,�5ن

.ص��� ���"�آ��1 @_0

و �5!\ ا����I ا�صد#!� �: ا����I ا�ص��!� أن ا�\�5دة @0 ا��3ط ا��ص�-(� �¼و�� آ(!ـ,ة

��ــ� ا�\5ــ�دة @ــ0 ا�ــ�3ط �<�4ــ�!� @ــ0 -��ــ� ا���Iــ� ا�ــص��!�!��*/ــ,ك ا���Iــ� ا�ــص��!� .

��� �<�ق $,�� ا���!�(!ع� ا�/�ل � .�I ا�صد#!� $,�� ا�ص�ت��,�� ا�ص�ت

��� ا����I ا�صد#!� أص' #: ا�**�� ا��,�I��� 5ت ص��!� و ��5: ا$ـ*�*�ج ذ�ـ� #�ـ� �

0�5:

:&�"�ن ا���ز ا��{��0

p = RρT

T

dTd

p

dp+=

ρ

ρ.............(1)

:يا��,�5ن ا�'�(د5د

p = const.ρk

dp

pkd

ρ..………………………............(2)

�ع!�ن) 2(و )1(

p

dp

k

k

p

dp

kp

dp

T

dT 11 −=−= .....…………………….......(3)

)11.2.6(ا��ع�د��

c = kRt

11.4.1ا'8#9

��5� �� ص5

Page 199: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

195

dc

c

dT

T

k

k

dp

p= =

−1

2

1

2....………………….......(4)

��� أن k>1 ص�-(_� ا���دل ) 3( ا��ع�د��� �! أن ا�\�5دة @0 ا��3ط ��(S ا����I ا��3

ز�5دة �<�4ـ�!� @ـ0 $ـ,�� ا�ـص�ت �ـ�(S ا���دل ) 4(ا��ع�د�� . در�I ا�/,ارة ز�5دة @0

�! .ا����I ا��3

و ���*ـ��0 8 . @0 -�ل �<,ق ا����Iت ا�ص��!� 8 ��5ن ه��ك #�Dل �*�p,هـ� �(عـ3_� ا�ـ(ع�

5��� أp, �,اآ�0 �: ا�\�5دات ا�<!<� @0 ا��3ط و در�I ا�/,ارة و $,�� ا�ص�ت.

� أ#� @0 -ـ�ل ا�**ـ �

ــ�ت ــ,د ����Iـ ا��ـ

ــ�ن ا%pــ, ــص��!� @ ا�

ا�*,اآ�0 ��5ن آ�ـ�

ــ0 ــ!: @ــ ــ� #(ــ هــ

).11.4.2(ا����

. +c إ�ـ� c و $,�� ا�ـص�ت #ـ: +T إ�� Tا����I ا�ص��!� ا%و�� �,@ در�I ا�/,ارة #:

و 5��� �ـ: ذ�ـ� أن . و إذا �*��ع~ ا����Iت @�"_� �\5د هP1 ا��;�د5, ز�5دات �,اآ�!� #**��ع�

�I �*/,ك ��,�� أآ(, #: $��;*_� #�� 5¡دي إ�� أن �درك ا����Iت �ع3_� ا�ـ(ع� آ� #�

S�,*5 ��� ذ�� أن @,ق ا��3ط �!: �I"(0 ا����I ا���sـ�� . -*� �*/د @�I�# 0 وا-دة

و إذا آـ�ن �ـدد ا���Iـ�ت . ��5وي @,ق ا��3ط �!: أول و �V, ا����Iت ا�ـص��!� ا%$�$ـ!�

آ�ــ� أن $ــ,�� ا���Iــ� . @ــ0 ا�ــ�3ط 8 �5ــ�ن �<�4ــ�!�ا%$�$ــ!� آ(!ــ,ا @ــ�ن هــ1ا ا�<ــ,ق

و �ــ��1 ��ــ�� ا���Iــ� . ا���sــ�� أ��ــ� #ــ: $ــ,�� ا�ــص�ت #�ــ���� إ�ــ� ا��ــ�ز ا�ــ��آ:

.ا�صد#!�

11.4.2ا'8#9

Page 200: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

196

���دJت ا'س��ن ذو ا'-��� 11.4.2

(! #ع�د8ت ا�/<= ��� -Dـ. �/��ـ0 -ـ�ل صـد#� #*ع�#ـدة و ��'-Bـ� أن �ـ,ض *�

/Dــ. ا�*/��ــ� آBــ!. ا�ــصد#� 4ــ�!� ��ــ� D5عــ� ا�

ــ�ت ــ� ا$ــ*]'ص ا�ع'& ��ــ�آ��5 0 ا�/ــ,ارة و 8 ا-*�

.ا�*��#�!� �!: �I"(0 ا�صد#�

1 (� در�� ا'U�ارة ا'�آ5د

�&� #ع�د�� ا�

h1 + ½v12 = h2 + ½v22

ho1 = h02

cpTo1 = cp T02

T02 = T01 = T0...............................................(11.4.1)

. 5ع�0 ذ�� أن در�I ا�/,ارة ا�,آ�د�D!*" ,!�*� 8 �5 ��صد#�و

در�� ا'U�ارة ) 2

�&� #: #ع�د�� ا�

Cp T1 + ½ c12 M12 = Cp T2 + ½ c22 M2

2

T

T

k M

k M

2

1

1

2

21

1

2

22

1 1

1 1=

+ −

+ −

( )

( )

T

T

2

1

1

2

µ..................................................(11.4.2)

11.4.3ا'8#9

2

222

2

111 .2

1

1.

2

1

1MkRTT

k

kRMkRTT

k

kR+

−=+

Page 201: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

197

ا'F%ط ) 3

#ع�د�� آ�!� ا�*/,ك �_P1 ا�/���

∆(pA) + ∆(m.

v) = 0

p2A2 - p1A1 + ρ2 v22 A2 - ρ1 v12 A1 = 0

p2 - p1 = - ρ1 v12 - ρ2 v22

p1 (1+ρ1 1

2

1

v

p ) = p2 (1+

ρ2 2

2

2

v

p )

#ع�د�� ا���ز ا���#�

p = RρT

p1 (1+kv

kRT

1

2

1

) = p2 (1+kv

kRT

2

2

2

)

p

p

kM

kM

2

1

1

2

2

2

1

1=

+

+

............................................(11.4.3)

��د ��خ ) 4

&�"�ن -<= ا��*��

ρ1 v1 = ρ2 v2

ρ = p/RT , v = cM , c = kRT

p

p

M

M

T

T

2

1

1

2

2

1

=

���*ع��5 ل و p2/p1 و T2/T1 11.4.3(و ) 11.4.2( #: ا��ع�د8ت (

1

1

1 1

1 1

1

2

2

2

1

2

1

2 1

2

1

2 2

2

+

+=

+ −

+ −

kM

kM

M

M

k M

k M

( )

( )

................................(1)

Page 202: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

198

M k M

kM

M k M

kM

2

1

2 2

2

2

2

1

1

2 1

2

1

2

1 1

1

1 1

1

+ −

+=

+ −

+

( ) ( )

:!)"�Dا� !�,*�:

[ ] [ ]M k M

kM

M k M

kM

2

2 1

2 2

2

2

2 2

1

2 1

2 1

2

1

2 2

1 1

1

1 1

1

+ −

+=

+ −

+

( )

[ ]

( )

[ ]

���وي S"�I ا��ع�د�� ا%�5: و إ��دة �,�!S ا�/دودNو �Dع�

[ ½(k-1) - k2 N ] M24 + [ 1 - 2kN] M2

2 - N = 0

M2و ��$*]دام &��دة ا��ع�د8ت #: ا�در�I ا�{�"!� ���D_�ل 2

( ) ( )( )

( )M

kN kN k N N

k N

k

k2

2

2 1

2

2

1

2

2

2 1 1 2 4

2=

− ± − − − −

( )

:-' ا��ع�د��

M22 = M1

2

M22 =

M

M

k

k

k

1

2 2

1

2

1 1

21

+

−−

��� أن ا�/ـ� ا%ول [!ـ, ذي أه�!ـ�

:!� : �ص(M2F و M1@�ن ا�ع'&�

M22 =

M

M

k

k

k

1

2 2

1

2

1 1

21

+

−−

..........(11.4.4)

4�5ـــF ا�ع'&ـــ� ) 11.4.4(ا�ـــ���

)11.4.4. (

11.4.4ا'8#9

Page 203: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

199

و ��5: ا�*د�!� #�_�� ��� ا`#��"!� ا��B,5ـ� �/ـدوث ا�ـصد#� $ـ�اء آـ�ن ا�ـ�,�5ن @ـ�ق

�� �دل ��� ا&*ص�ر -دوث ا�صد#� ��ـ� ا�ـ�,�5ن @ـ�ق . ص��0 أم دون ص��0 ,D*إ8 أن ا�

. إ�� ا�;�"�ن ا�{�"0 ��/,آ!� ا�/,ار�5 ���,�Iع �<�!, ذ��و ��5:. ا�ص��0

) :11.1.9(ا��ع�د��

s2 - s1 = Cp ln T

T

2

1

- R ln p

p

2

1

ــ�د�*!: ) 11.1.9(�ـــ��*ع��5 @ـــ0 #ـــ: ا��عـ

pـ. p2/p1و T2/T1 : ل) 11.4.3(و ) 11.4.2(

"/ـص� ��ـ� M2ل ) 11.4.4(ا�*ع��5 #ـ:

ب s2-s1;ــدة �عــ� ا�ــ��ء �ــ,�ط �'&ــ� #ع

M1 و k . ا���� F4�5)11.4.5 ( ـ1ا_� ��/�#

.ا�/�

�B, إ�� أن ا�;�"�ن ا�{�"0 �/,آـ� ا�/ـ,ارة ���

ــدوث أي ــ'زم �/ ــ�,ط ا� ــ� أن ا� ــ�ص �� 5

-s2ه� أن �5ـ�ن @ـ,ق ا�*(د5ـد 2 -���1!�

s1�ـــ)I�# . ـــ� @ـــ0 ا�ـــ����/�و 5ـــدل ا��

.�M1 >1ن أن ذ�� 5/دث @;ط ��د#� ��) 11.4.5(

ا'F%ط ا'�آ5دي) 5

�ع!�ن) 11.3.4(و ) 11.4.3(ا��ع�د�*�ن

p

p

2

1

= 1

1

1

2

2

2

+

+

kM

kM= p

p

02

01

µ

µ1

2

1

−k

k

(11.4.5)ا'8#9

Page 204: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

200

p

p

02

01

=

+

+2

2

2

1

1

1

kM

kMµ

µ2

1

1

−k

k

)1( #: ا��ع�د�� ا��,� �س و ���*ع��5 @0 ا�;

p

p

02

01

= M

M

1

2

µ

µ2

1

1

2 1

+−

kk( )

..........................................(11.4.5)

6 (���U'س�ح� ا�ا' A*

���*(�ر A�#ا�صد ه0 ا����-� ��د #;

AA

AA

*

*

2

1

= A

A

*

*

1

2

)11.3.6(و ���*ع��5 #: ا��ع�د��

A

A

*

*

1

2

= M

M

1

2

µ

µ2

1

1

2 1

+−

kk( )

..........................................(11.4.6)

�*Å ) 11.4.6( و ) 11.4.5( ��د #;�ر"� ا��ع�د�*!: *�"

A

A

*

*

1

2

= p

p

02

01

.......................................................(11.4.7)

�=�ل

#�Iــ� صــد#!� #*ع�#ــدة �*/ــ,ك @ــ0 أ"(ــ�ب

600�ـ�,�� m/s . ــ� ا�/ـ,ارة و ا�ــ�3طIدر

و C°30@0 ا�_�اء ا���آ: &(� #,ور ا���Iـ�

0.1MPa0ا�*�ا� ��� ، .

أ-ــ�S �ــدد #ــ�خ ��ــ� Iــ�"(0 ا���Iــ�

���(� إ�� #��� �Iـ� ا�/ـ,ارة و ا�ـ�3ط . �ط #{(~ ��� ا���Iأ5ـ3� ا�\5ـ�دة @ـ0 در S�-أ

��(S #,ور ا����I ا�صد#!�.

11.4.6ا'8#9

Page 205: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

201

M1 = v

c

v

kRT

1

1

1

1

=

T1 = 30 +273 = 303K

→ M1 = 600

14287 303.( )( ) = 1.72

�M2 = 0.64ع0 ) 11.4.4( ا��ع�د��

�ع0 ) 11.4.3( و ا��ع�د��

T

T

2

1

1

2

µ

µ1 = 1.59, µ2 = 1.08 → T2 = 445 = 172°°°°C

∆t = 172-30 = 142°°°°C

p2 = p1 1

1

1

2

2

2

+

+

kM

kM= 0.33 MPa

∆p = (0.33 - 0.1)E6 = 0.23 MPa

Page 206: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

202

ا'��$�-ا'���5 ا'-���� >n ا'��� ا'Hم 11.4.3

أ[<��ـ� #ـ� ) 11.3(0 ا�;ـ�. ا���sـ, @ـ -��د درا$� ا��,�5ن ا�'�(د5دى @� ا���<K ا�'م

. ]) 11.4.7( @0 ا���� III و 5A – D ] II/دث ��د#� ��5ن ا��3ط ا��_��0 @0 ا��دى

�يا��,�5ن @0 ه1ا ا��دى �? هـ� #(ـ!: @ـ0 � @0 �ع� أI\ا�ـه و �*]��ـه صـد#�، آ�ـ

) .11.4.7( @0 ا���� صا����ك

@ـ�ن ا�ـصد#� �/ـدث ��ـد II@0 هP1 ا�/��� و ��(S و&ـ�ع ا�ـ�3ط ا��_ـ��0 @ـ0 ا��ـدى

و �ـ�]<� &!�ـ� ) 2(-!K ا��,�5ن @�ق ص��0 @!,�< ا��3ط إ�� ا��ـ�*�ى ) 1(ا���4

�5ـ�ن ا�ـ�,�5ن �8(د5ـدى و ��ـ: ) 2(@!�ـ� �5ـ0 ا���4ـ . إ�� &!�ـ� دون صـ��!� �دد #�خ

�{�ا�~ �]*�E �: ��� ا�*0 ���د @0 ا�D\ء ا�1ي �5( ا���4 )1. (

و . II دا�V ا���<K @0 ا�/��� ا��1آ�رة و ��دى ا�ـ�3ط ا��_ـ��0 ���ن ا�صد#� #*ع�#دة و

�]<ـ� ا�ـ�3ط ا��_ـ��0 5;*ـ,ب #;ـ ا�ـصد#� #ـ: ا��;ـ ا�],وIـ0 -*ـ� 5(��ـه ��ــد

.Bا"]<�ض ا��3ط ا��_��0 إ�� ا���*�ى

11.4.7ا'8#9

Page 207: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

203

�د#� ��5ن ا��3ط ا��_��0 @0 ا��ـدى �III Kـ>�. �ـص(F ا�ـصد#� #���ـ� و ��ـ�ن Vـ�رج ا��

.�pDك -*� 5�]<� ا��3ط ا��_��0 إ�� ا�;!�� ا�*ص�!�!� �5*�, ه1ا ا���

�<Kا'�Uود ا' �%9"�� ��"_� D وB و�Aع,ف ا���*��5ت ��� .

��د ��خ ا'¥�و�& Me:

. @0 ا�ع�دة ��ع���V �Dص�5Me/*�ج �/د5د &!��

�*1آ, أن A2* ≠ A1* �#ا�ـصد عد�5 ا�*0 �ـ�(�( @0 -��� ا�صد#� @�ن آ� ا��*�!,ات ا�'

ــ ــ� ) ) 1(� ا���4ــ &( ��ــ� . p/p01 و *A/A1 ، #ــ{' 1 ا�'-;ــ��/�ــ� &!�_ــ� ا��,Iع!!�

�2/�� &!�_� ا��,Iع!ـ� ا�,#ـ\ ) ) 2(�عد ا���4 ( ا��*�!,ات ا�'�عد�5 ا�*0 ��0 ا�صد#�

'}# ، Ae/A2* و pe/p02 . ��1 @�ن� .2 ا�'-;� �/�S #: ا��;�د5, ا�'�عد�5 ذات Meو

�!� ا�*��0 ��� -�ص� ا�3,ب 5ع*�د ا�*/0* p

p

A

A

*2A

Ae

02p

pe = *1A

Ae

01p

pe (*

*

2

1

A

A

02

01

p

p)

). 11.4.7( ا��ع�د�� - 1= ا��;دار دا�V ا�;�س

*2A

Ae

02p

pe = *1A

Ae

01p

pe ……………………………….(11.4.8)

)11.3.6( و ) 11.3.4( و #: ا��ع�د�*!:

*2A

Ae

02p

pe = )1(2

1

1

21 −+

+

k

k

kM

e

e

µ 1−

−k

k

*2A

Ae

02p

pe = )1(2

1

1

2 −+

+

k

k

k

eeM µ

1…………………………(1)

�ع!�ن ) 11.4.8(و ) 1(ا��ع�د�*�ن

Me eµ = )1(2

1

1

2 −+

+

k

k

k

011 *

1

p

p

A

A ee

Page 208: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

204

Me 2 µe = 1

1

1

2 −+

+

k

k

k 2

011 *

1

p

p

A

A ee

Bو �*��!� ا�S"�D ا�5%:

Me 2 µe = B

Me 2 [ 1 + 2

1(k-1)Me

2] = B

N = Meو ���]�ذ 2

N [ 1 + 2

1(k-1)N] = B

2

1(k-1)N2 + N – B = 0………………………..………….(2)

5ع0) 2(-� ا��ع�د��

N = 1

)1(211

−+±−

k

Bk

�!��!V ��!& 0�ع�د ا�/� ا����S %"ه 5ع�� و

Me2 =

1

1)1(21

−−+

k

Bk……………………………….(11.4.9)

K!-

B = 1

1

1

2 −+

+

k

k

k 2

011 *

1

p

p

A

A ee

و ��5: ا$*]دام &�ا�. ا���ز أ35� #: ا�ع��د A

A *

p

p0

و ا�;!. ا�'�عد�Me �5 ��ع,@

. ا���/ د–ا%V,ى

Page 209: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

205

�=�ل

-ف ا��ـ�*�دع ا�_ـ�اء �(ـ, #�<ـK 8م ص,5éـ . 2.0MPaا��3ط @0 #�*�دع ه�اء 5ـ��وي

,s�",, و 10mm -�;ه && 0Iعه ا�],و;# 27mm

.-دد ا�/دود ا�*��!�!� ����<K )أ

:-دد $��ك ا��,�5ن @0 ا���<K ��/��*!: )ب

0��0.5MPa ا��3ط ا��_ )1ب

0.1MPaا��3ط ا��_��0 )2ب

D وB وA: ا�/دود ا�*��!�!� ����<K )أ

A* = At

2

010.0

027.0

*

=

A

Ae = 7.45

��$*]دام &�ا�. ا��,�5ن ا�'�(د5دى

p/p0 M A/A*

�د 7.45 3.6 0.01138�D

�د 7.45 0.08 0.995�A

pD = (0.01138)2.0E6 = 0.02276E6 Pa

pA = (0.995)2.0E6 = 1.99E6Pa

:pBو �/��ب

0Iا�],و :��*]دم &�ا�. ا�صد#� ا��*ع�#دة ��د ا��;

p2/p1 M2 M1

14.95 0.447 3.6

11.4.8ا'8#9

Page 210: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

206

p1 = pD = 0.02276E6 Pa

p2 = pB = (14.95)0.02276E6 = 0.34E6 Pa

pb = 0.5E6ا��3ط ا��_��0 )1ب

pB < pb < pA

.S"�D ا���s, #: ا���<Kو 5ع�0 ذ�� -دوث #��I صد#!� @0 ا�

Me و M2 و �M1/��ب &!.

*1A

Ae

01p

pe = 7.45 60.2

65.0

E

E = 1.863

��!&B 11.4.9( @0 ا��ع�د��(

B = 0.0965

)11.4.9(و ���*ع��5 @0

Me = 0.31

µe = 1 + 2

1(k-1)Me

2 = 1.019

02p

pe = 1−

k

k

eµ = 0.936

01

02

p

p=

ep

p02

01p

pe = 62

65.0

936.0

1

E

E = 0.267

��5: ا$*]دام &�ا�. ا��,�5ن ا�'�(د5دى

*2A

Ae

02p

pe = *1A

Ae

01p

pe = 1.863

و �ع0 ا�;����

P/p0 A

A *

p

p0

0.936 1.863

Page 211: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

207

01

02

p

p=

ep

p02

01p

pe = 62

65.0

936.0

1

E

E = 0.267

*]دم &�ا�. ا�صد#� ا��*ع�#دة ��M2 و �M1/��ب

P02/p01 M1 M2

0.267 3.24 0.46

pb = 0.1E6ا��3ط ا��_��0 )ب

pD < pb < pB

K>� .و 5ع�0 ذ�� أن ا��,�5ن �8(د5دى @0 ا���<K #ص/�ب �صد#� #���� $�@� ا��

Page 212: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

208

�س��8

@ـ0 هـ�اء 560km/s¡دي اV*(ـ�ر �;�(�ـ� ذر5ـ� إ�ـ� �عـI�# Kـ� صـد#!� �ـ�,�� 11.4.1

&در ا�*�!ـ,ات ا���sـ�� . C°30 و در�I -,ار�ه ا8�*دا�!� 0.1MPaآ: ا��3ط ا��Dي @!ه $�

�*��p � .@0 ا��3ط و در�I ا�/,ارة و ا��,�� ��د ";

50.7�<1 ه�اء #��3ط #: #�*�دع ا�ـ�3ط @!ـه 11.4.2MPa ـ� ا�/ـ,ارةI340 و درK ,ـ)�

�<K 8م #-,s�" . �3ا� �د #;� ��أ-ـ�0.2MPa . Sط @!ـه ��-�I�# ~B صد#!� $�آ

ــ�,�5ن ــدل ا� ــ�ن #ع ــ�3ط ا�],وIــ0 و &ــ, #;ــ ا�]ــ,وج إذا آ ــ�خ 0.5kg/sا� و �ــدد #

0I0.5ا�],و. [0.554MPa, 24mm]

�;� [�ز -ص�. #�<K 8م 11.4.3� ,s�")k=1.3, R=300 J/kg-K ( ار�ـه,- �Iه و در�4

#ــ�*;(� ا�ــ�3ط @!ــه ��ــ� ا�*ــ�ا�0 �!�<ــK @ــ0 #ــ�*�دع 400K و 1.0MPaا�,آــ�د5*!:

0.2MPa عدل�� 0.4kg/s .

,ي ا���<K )أ& S�-أ.

: أ-�0.8MPaSإذا ار�< �4ط ا8$*;(�ل إ�� )ب

�دد #�خ ا�],و0I )1ب

�ددي #�خ &(� و �عد ا�صد#� ا�����s )2ب

, ا��ع�D @0 #�& ا�صد#� )3ب&.

[16mm, 19mm, 0.51, 1.345, 0.76, 17mm]

11.4.4 ,/�� K>� @ـ�ق 30kmك ص�رو0V �!ع�� ��<�ء�ـه ا�<ـ��3 ��ـ� ار�<ـ�ع ص�. #

���*(ـ�ر أن ا�ـ�3ط ا�Dـ�ي . 5.0"ـ�(� #ـ��-� ا��]ـ,ج ��ـ��-� ا�/�ـ . $F ا%رض

F ا%رض $ ���0.1MPa ـ,ة ا8-*ـ,اقD- �V2.0 و ا��3ط داMPa و أن &!�ـ� k ـ�زات��

30�ـد ا8ر�<ـ�ع أ-�S "�(� &�ة ا�د@ ��د $F ا%رض إ�� "B!,�_� � 1.2ا8-*,اق km

[0.94]

Page 213: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

209

11.5E�%F*Jن ا� & اJح #�آ& ا'س�

11.5.1 ���Z� إ8 أ"ـه ��5ـ: �(ـ�!ط . درا$� ا��,�5ن ا0T��3"8 ا8-*��آ0 @ـ0 صـ�ر�ه ا�ع�#ـ� #ع;ـدة

: ا8@*,ا�4ت ا·�!�-ص,ت @0ا�درا$� آ{!,ا إذا ا��,�5ن أ-�دى ا�(عد )1 آB!. ا�/,ارة )23( ;# �-��#�*��p ا��,�5ن 4( S!ا��,�5ن ر�. .[�ز آ�#� )5

P'ن >�*5و ���5 ا��,�5ن ا�1ي �5@0 ا8@*,ا�4ت أ����.

© ��ر:

1( 2

2

1

4

vf w

ρ

τ=

é,ع� P'ح #�ك ف ا�ع'&� أ�J8 ا���� f ـد�� ��د��8 ا`I_�د ا�;ص0 و ا��,�� ا��*�$ـ �<� ا�*ع,E5 @ـf 0$( ا$*]دام . و#*�$ط ا��{�@� ��د "<� ا��; ا�*/�!� #;�

�T��3"و 5ع*�د ا��ع�#ـ� ). 4.3( ا��ع�د�� -�'&� دار$0 ���,�5ن ا�'إf :ـ� آـ� #ـ�� \��� .k/d و ا�]��"� ا�'�عد�Re �5دد ر5

���ع'&�D ا'YZ� ا'س��*& 5ع,ف )2 : D = 4 [ ا��,�5ن\#/!ط ا��;;# �-��# ]

, ا��; (d ���وي�,ي ���; ا�دا8D-= أن &!�� &.(

fا��;دار ا�'�عدي )3x

Dو ��5:، . 5(,ز #,ارا @0 #ع�د8ت ا��,�5ن ا8-*��آ0

�دا�0 اV8*ص�ر، �ع,E5 #ع�#� ا8-*��ك ϕϕϕϕ: D

fx=ϕ 0��*���dx :و

D

fd =ϕ

11.5.2 �ن اJح #�آ&ا'���دJت ا' ��"�� '"س�

p, T, ρ, p0, v, ϕ , M: "�ع� ه�� �*��5: �'&�ت �<��4!� �,�ط ا��*�!,اتو "(ــدأ #ــ: �'&ــ�ت ا�/<ــ= و �عــ�

.ا�ع'&�ت ا�{�"��5�ـــ��*(! ��ـــ� -Dـــ. ا�ـــ*/�.

:ا�*<�0�4 :#ع�د�� ا8$*�,ار�5

ρv = const.

11.5.1ا'8#9

Page 214: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

210

d dv

v

ρ

ρ+ = 0 .....................(1)

:ا���ز ا���#�&�"�ن

p = ρRT

dp

p

d dT

T= +

ρ

ρ....................................................(2)

:�ع,E5 �دد #�خ

Mv

cM

v

c

v

kRT= = =,

2

2

2

2

dM

M

dv

v

dT

T

2

2

2

2= −

dM

M

dv

v

dT

T= − 1

2...................................................(3)

� :&�#ع�د�� ا�h + ½v2 = const

dh + dv

2

2

= 0

Cp dT + vdv = 0

kRT

k

dT

T− 1 + vdv = 0

c

k

dT

T

2

1− + vdv = 0

c

v k

dT

T

dv

v

2

2

1

10

−+ =

dT

Tk M

dv

v= − −( )1

2 ...................................................(4)

Page 215: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

211

: آ�!� ا�*/,ك#ع�د�� -<=d(pA) + d(ρv2A) +d(τwAw) = 0

A dp + d(ρv2A) +τw dAw = 0

��� أن: ~��pρvA =

d(ρv2A) = ρvA dv

A dp + ρvA dv +τw dAw = 0

dp +τw dA

Av

dv

v

w + ρ 2 =0…………………………(4b)

dA

A

dx

D

w = 4

fو #: �ع,E5 ا��ع�#� τw = ½ρv2 (f/4)

ρv2 = p

RTc M

pkRTM

RTkpM

2 2

2

2= =

τw = ½kpM2 . f/4

τ ϕw

wdA

AkpM

f dx

DkpM f

dx

DkpM d= = =1

2

2 1

2

2 1

2

2

44( )

(4b)و ���*ع��5 @0

dp

pkM d kM

dv

v+ + =1

2

2 20ϕ ...................................(5)

:ا��3ط ا�,آ�دي

p p k Mk

k

0

1

2

21 1 1= + − −[ ( ) ]

dp

p

dp

p

kM

k M

dM

M

0

0

2

1

2

21 1

= ++ −[ ( ) ]

...............................(6)

: ع�د8ت �3. $(ع� #�Dه!� ه���0 $~ #

Page 216: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

212

dM

M

dp

p

dT

T

d dv

v

dp

pd, , , , , ,

ρ

ρϕ0

0

� . dϕو ���1 ��5: ص!�[� ا��ع�د8ت ا��*� ا%و�� �د��8 ا��*�!, ا���

�)��"(دأ ��4 ا�dM

M : آ�*�!, #�*;�

�ع!�ن ) 4(و ) 3(dM

M

dv

vk M

dv

vM

dv

v

k= + − = + −1

2

2 1

2

21 1( ) [ ]

M

dM

v

dv

µ

1= ............................................(7)

�ع!�ن ) 7( و ) 1(

M

dMd

µρ

ρ 1−= .......................................(8)

�ع!�ن ) 7( و ) 4(

M

dMMk

T

dT

µ

2)1( −

−= ...................................(9)

�ع0 ) 9(و ) 8(و ) 2(

M

dMMk

p

dp

µ

])1(1[2−+

−= ..................................(10)

�ع!�ن ) 10( و ) 6(

M

dMM

p

dp

µ

)1(2

0

0 −−= ...................................(11)

)5( @0 ) 7( و ) 10(و �*ع��5

1

2

2

2 2 21 1 1

kM dk M kM dM

M

M dM

µ µ=

+ − −=

−[ ( ) ( )

( )ϕµd

M

kM

M

dM2

2

12 −= .........................................(11.5.1)

Page 217: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

213

�ع!�ن ) 11.5.1(و ) 10(

( )ϕd

M

MkkM

p

dp2

22

12

])1(1[

−−−= ....................................(11.5.2)

�ع!�ن ) 11.5.1(و ) 9(

( )ϕd

M

kMk

T

dT2

4

12

)1(

−−= ......................................(11.5.3)

�ع!�ن ) 11.5.1(و ) 8(

( )ϕ

ρ

ρd

M

kMd2

2

12 −−= .........................................(11.5.4)

�ع!�ن ) 11.5.4(و ) 1(

( )ϕd

M

kM

v

dv2

2

12 −= .........................................(11.5.5)

�ع!�ن ) 11.5.1(و ) 11(

dp

pkM d0

0

1

2

2= − ϕ .........................................(11.5.6)

��&ص ا��*�!,ات8-= أن �\ا5د و � M, p, T, ρ, v 5ع*�ـد ��ــ� #ـ� إذا آ�"ـ~ &!�ــ� M ��(S ا-*�اء ا�*ع��!, ��� ا�/د 1.0أ��� أم ا&� #: 1-M2 . إ8 أنp0 ،ا��3ط ا�,آ�دي ،

��&ص #�;� @0 ا�P�D ا��,�5ن*5. ــ� ــ0 ) 11.5.1(درا$ــ� ا��ع�د� ــ�آ0 @ ــ0T��3 ا8-*� ــ�,�5ن ا8" ــ� �� ��4ــF $ــ�� ه�#

S!�داد &!�� �ـدد #ـ�خ @ـ0 ا�ـ�,�5ن دون ا�ـص��� و �*�ـ�&ص @ـ0 ا�ـ�,�5ن @ـ�ق �\: ا%"� .و5ع�0 ذ�� أن �دد #�خ D*5ه "/� ا�;!�� ا�ص��!� @0 آ� ا%-�ال. ا�ص���

أن ��!, ا��3ط @ـ0 ا��ـدى @ـ�ق ا�ـص��F4�� 0) 11.5.2(درا$� ا��ع�د��

. 5ع*�د أ35� ��� �دد -,ج ا�4@0 ه� 1

1

−=

kM.

Page 218: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

214

ا'���دJت ا' #��"�� '"س��ن اJح #�آ& 11.5.3 Fدرا$ــ� ا�ــ�,�5ن ا���4ــ�

ــ��� ــ0 ا�ـــ ) 11.5.2(@ـــ P,ــــــداVــــــ� أ"(ــــــ�ب &

"ـــــ�ع� Dا�ـــــ�,�5"0 ا�'ز#ـ� *�D58 xد ا��ـ��@�

��!& @,�M 1.0 إ��. �دء #ـ: ا��ع�د�ـ� )11.5.1 (

����;ــــــدار dϕ"عــــــ�ض ل

fdx

D x = 0 و "��#� #:

ا���ـ�Ü,�!: ل *�x = xـ� إM و M = 1.0 ــــ��� ،

ا�*�ا�0

df

Ddx

M

kMdMϕ

µ= =

−212

3

( )

1

0

12

2

3

1

Dfdx

M

MdM

M

x

k

*

∫ ∫=−

µ

f= ا�S"�D ا�5%, x

D

* = ϕ*

�!�\D5;� ا����ر ا�,� و ��5: #��#�� ا�S"�D ا�5%: =ا�S"�D ا�5%:

2 1 22

3

1

k

M

MdM

M kI

−=∫ µ

1

1 1

2

3 1

2

2 2 3 1

2

2

+= + + +

+

+− −

M

M M

A

M

B

M

C

M

DM E

Mk k[ ]

1 -M2 = A[M2+½(k-1)M4] + B[M +½(k-1)M3] + C[1+½(k-1)M2] +DM4+EM3

0 = A.½(k-1) +D 0 = B.½(k-1) +E -1 = A +C.½(k-1)

0 = B 1 = C

11.5.2ا'8#9

Page 219: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

215

A B C D E -½(k+1) 0 1 (k+1)(k-1)/4 0

1 1

2

1 1 12

3 3

−= −

++ +

+ −M

M

k

M M

k k M

µ µ

( )( )

4

I = I1 +I2 +I3 I1= ½(k+1) lnM

I2 = 122

2

1 − M

M

I3 = ( )( ) ( )( )

. .k k MdM

M

k k dM

Mk

M

k

M

+ −

+=

+ −

+− −∫ ∫1 1

4 1

1 1

4 112

2

1 0 2

12

2

1 0

2

1+k − 1

2M2 = µ

dµ =k − 1

2dM2

I3 = [ ][ ]

( ) ( )ln

( )ln

..k d k k k

MM

Mk

+=

+=

+ +

+∫ −

1

4

1

4

1

4

1

2 1

1 01 0

12

22

µ

µµ

I = ( )( )

lnk k M M

M

+ ++

−1

4

1

2

1

2

2 2

ϕ* = ( )

+−

++ +1 1

2

1

2

2

2

2M

kM

k

k

k Mln

µ...............................(11.5.7)

�ـد أي #;ـ @ـp, T, v, p0 0: 8ت لو ��5ـ: ��ـ� هـ1ا ا��ـ� ا$ـ*]'ص #عـ�د � I,ى #*]51: ا�;!. ا�ص��!� آ�,Dا��.

dϕل ) 11.5.1(و ���*ع��5 #: ا��ع�د�� ) 11.5.2(�دء #: ا��ع�د��

dp

p

k M

MdM= −

+ −1 12

( )

µ

1.0 إ�� M ���دى ا����p* ,Ü إ�� p ا��دى"��#� @0

Page 220: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

216

dp

p

k M

MdM

p

p

M

*( )

∫ ∫= −+ −1 1

21

µ

ا�S"�D ا�5%, p

p *ln

و ��$*]دام ا����ر ا�D\�!� @0 ا�S"�D ا�5%:

-

]2

11[

)1(1

2

2

Mk

M

Mk

−+

−+ = -

M

1-

]2

11[2

)1(

2M

k

Mk

−+

I = - ∫1

MM

dM -

2

1−k∫1

M ]2

11[2

2M

k

MdM

−+

= ln M - 4

1−k∫1

M2

2

2

11 M

k

dM

−+

= ln M - 2

1ln

0.1

2]

2

11[

M

Mk −

+

= ln M - 2

1ln

]2

11[2

1

2M

k

k

−+

+

= ln M - ln ]

2

11[2

1

2M

k

k

−+

+

ln p

p *= ln

]2

11[2

1

2M

k

k

M

−+

+

p

p M

k

*=

+1 1

2µ..............................................(11.5.8)

�<� ا%$��ب ��5: ا$*]'ص ا��ع�د8ت ا·�!�� :و

Page 221: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

217

T

T

k

*=

+ 1

2µ.....................................................(11.5.9)

ρ

ρ

µ

*=

+

1 2

1M k............................................(11.5.10)

v

vM

k

*=

+ 1

2µ.............................................(11.5.11)

p

p M k

kk

0

0

1 2

1

1

2 1

*

( )

=+

+−µ....................................(11.5.12)

������ :!�) 11.5.3(#�*ع!

�ط #ع�#'ت ا8-*��ك ��5: ر ا��ع�#� و ϕ*2 و ϕ*1 ا���4ع!� آ�� ϕ12 0�5ا���0

x2 – x1 = x1* - x2*

f

D( x2 – x1 ) =

f

D(x*1-x*2)

= fx

Df

x

D

* *1 2−

ϕ12 = ϕ*1 - ϕ*2 ....................................(11.5.13)

�=�ل P,. #�ص� ��ـ�*�دع هـ�اء 50mmأ"(�ب &

ا�ــ�3ط و درIــ� ا�/ــ,ارة و �ــدد #ــ�خ 5عــ�د��ا 0.1MPa 290 وK ـد 0.7 و� ، ��� ا�*�ا�0، �

ـــ ��ـــ� #ـــ��@� ;#5m �Vـــ�@� #ـــد$ f#*�$ــط &!�ــ� #ع�#ــ� ا8-*�ــ�ك . ا%"(ــ�ب��5ــ: ا@*ــ,اض أن ا�ــ�,�5ن آBـــ!. . 0.02

.ا%"(�ب و �8(د5دى @0 ا���<Kا�/,ارة @0 ــ0 ــ,ارة @ـ ــ� ا�/ـ ــ�3ط و درIـ ــ!. ا�ـ ــدر &ـ &ـ

.ا���*�دع

11.5.3ا'8#9

11.5.4ا'8#9

Page 222: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

218

p0 = p01: ا��,�5ن �8(د5دى

2

01

p

p=

*0

01

p

p

02

0 *

p

p

2

02

p

p

φ12 = D

fL = 0.02

05.0

5 = 2

)2(س ف

M Φ2* p0/p0* 0.7 0.208 1.094

ϕ*1=ϕ12 + ϕ*2 = 2 + 0.208 )1(س ف

Φ* p0/p0* 2.208 1.54

):2(س ل ت M p/p0 0.7 0.721

P01 = 0.1E6 (1.54)(1/1.094)(1/0.721) = 0.20E6= 0.20 MPa

T0 = T01 = T02 = (T02/ T01)T2

):2(س ل ت M T/T0 0.7 0.911

T0 = 318K

Page 223: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

219

5ز� ا'F%ط >& أ*?5ب �5ص! 8��� Jم 11.5.4

+�S� ا'F%ط 11.5.4.1 ا'����&

4�5ــF ) 11.5.5(ا�ــ���

��B#� #��"� #: أ"(�ب #ــ�*�دع ��ــ� ــ #�ص ر@! Kـ>�ه�اء #��3ط �(ـ, #"ــــ��. و #�صــــ� #ــــ: ــ��@�0 ــS ا�ـــــ ا��D"ـــــــ�*;(� ــ�*�دع #ـــ ��ـــ��5: ا�*/�. @0 �4ه ا�ـــ1ي 5ــــ��� ا�ــــ�3ط

0��_� . ¼"(�ب �pbا� Pــ� ا��,ا-ــ� ا��<ــص�� أد"��F4 #� 5/دث ��ـ�,�5ن 0��_��د ��!!, ا��3ط ا��

pb: 1( pb ــ� ــ� &!�ـ أ&ـ

:#p0I ��&ص ا��3ط *5 K>�@0 ا�� P�D0 ا�@ S)��ا��,�5ن

��&ص �و . ا����-�

��&ص ا��3ط *5 .@0 ا%"(�ب ��(S ا8-*��ك

.ا����ك ا�/دودي )2 0Iا��3ط ا�/,ج= ا��3ط ا�],و pe = p*

K>���� �I,/أ��� #: ا�;!�� ا� K>���� 0I8-= أن ا��3ط ا�],و. 3( pb�5ـ�ص . أ&� &!�� #: ا�;!�� ا�/دود;"�� p�*5 8pb, ا��,�5ن دا�V ا����B#ـ�

�&,s و 5ص!, ا��,�5ن .�#�B� .�/دث #��I ��دد�5 $�@� ا��

11.5.5ا'8#9

Page 224: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

220

+�S� اJح #�ك 11.5.4.2

,!p�� ���/ا� P1درس @0 ه"ϕ ـ�ت ا�ـ�3ط ا8#ـدادي)p # �#�B� ��� ��ز5 ا��3ط @0 ا��0��_� .و ا��3ط ا�

0( ϕ = ϕ0 = 0

.ص<,= #!� ا��3ط @0 ا�P�D ا��,�5ن . أ"(�ب �4!� ا8-*��ك�#�B� .#��I ��دد�5 $�@� ا��

Me = 1.0, pe = pis* 1( ϕ = ϕ1 > 0

.ك@;د @0 ا��3ط ��(S ا8-*����D- ,دد�5 أص��� �I�# .Me = 1.0

2( ϕ = ϕ2 > ϕ1 Me = 1.0, pe = pb. $��ك -دودي

3( ϕ = ϕ3 > ϕ2 Me < 1.0, pe = pb و ه1ا D5ع� ا��3ط ا�د0��V �¼"(�ب أ��� . 5ص(F #!� ا��3ط أ��� ��(S ا8-*��ك

��!&.

(11.5.6)ا'8#9

Page 225: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

221

�=�ل P,ــــ� & ــ\ول -,ار5 ــ�ب #ع ــه 80mmأ"( ��T و

26.5mm � #�ص� إ�� #�*�دع ه�اء ��ا$ و 0.5MPaا��3ط @0 ا��ـ�*�دع . #�<K 8م

ا��D"ــS ا�ــ��@�300K . 0درIــ� ا�/ــ,ارة .�0.1MPa¼"(�ب #<*�ح ��K!- �D ا��3ط

إذا آــ�ن #*�$ــط #ع�#ــ� ا8-*�ــ�ك )أ أ-�S ا��3ط و درIـ� �0.016¼"(�ب 5ع�دل

ــ�,�5ن ــدل ا�ـ ــ,ج و #عـ ــد ا��]ـ ــ,ارة ��ـ ا�/ـ .ا��*�0

إذا "عـــ. $ـــF ا%"(ـــ�ب ا�ـــدا0�V )ب�;ص &!�� *�f ا�ـ�3ط و 0.008 إ�� Sأ-ـ�

در�I ا�/,ارة ��ـد ا��]ـ,ج و أ-ـ�S ا�\5ـ�دة .@0 ا����� ��عدل ا��,�5ن

f = 0.016 )أ

:*�p/د5د

01

*

p

p=

1

*

p

p

01

1

p

p

φ12 = D

fL = 0.016

08.0

5.26 = 5.3

��� أن SI�*�5 د #],ج ا%"(�ب� ϕ2* = 0 ا@*,اض -,ج ا��,�5ن �ϕ*1 = ϕ12 = 5.3

)1(س ف Φ* M p/p* 5.3 0.3 3.619

)1(س ل ت M p/p0

0.3 0.940

p* = 0.5E6(1/3.619)(0.940) = 0.13E6 Pa pb < p*

.اk*?5ب $�قMe = 1.0

P2 = p* = 0.13MPa

P1 = (0.94)(0.5)E6 = 0.471E6

11.5.7ا'8#9

��� أ*?5ب

Page 226: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

222

:T2و �: در�I ا�/,ارة

T02 = T01 = T0 = 300

T2 = (T/T0)T0

):2(س ل ت M T/T0

1.0 0.833

T2 = (0.833)300 = 250K

و �: .

m: .

m = 2RT

k A2M2p2 = 3.0 kg/s

f = 0.008 )ب

φ12 = 2.65 :*�p/د5د

φ1* = φ12 = 2.65 ):1(س ف

Φ* M p/p* 2.65 0.383 2.819

)1(س ل ت

M p/p0 0.383 0.904

p* = 0.5E6(1/2.819)(0.904) = 0.172E6 Pa

pb < p* اk*?5ب $�ق

Me = 1.0

P2 = p* = 0.172MPa

P1 = (0.904)(0.5)E6 = 0.455E6

T2 = (T/T0)2T0 = 250K

Page 227: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

223

.

m = 2RT

k A2M2p2 = 3.825 kg/s

= ا�\�5دة @0 ا����� @0 #عدل ا��,�5ن ا��*�0 (3.825 – 3.01)100/3.01 = 27%

��(� fو ��(S @0 ذ�� ا"]<�ض &!�� � 50%.

Page 228: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

224

�س��8

11.5.1 %"(ـ�ب 5/ـ�ي $ـ,�5ن آBـ!. ��_ـ�اء 5عـ�د8ن (1)ا��3ط و �دد #�خ ��د ا��;0.3MPa ــ�ا�0 0.3 و ــ� ا�* ــ�ب . ، �� ــ�ل ا%"( T15m P,ــ ــ� . 30mm و & #*�$ــط #ع�#

ــ�ك ــ . 0.01ا8-*� ــد ا��; �ــ�خ � ــدد # � Sــ� ــ!: (2)ا- �ــ�3ط ــ0 ا� ــ�ض @ و ا8"]< .ا��;ع!:

[0.66, 0.168MPa]

11.5.2 P,ــ5ــ,اد . �0.025#ــ� ا8-*�ــ�ك و #*�$ــط #ع100mmأ"(ــ�ب #عــ\ول -,ار5ــ� & و C°60درIـ� ا�/ــ,ارة و ا�ــ�3ط ��ــد ا��ــد3.0kg/s . �Vا$ـ*]دا#ه ��;ــ� هــ�اء ��عــدل

0.2MPa00 . ، ��� ا�*�ا� -��� V,وج ص��!�؟#� ه� ا��ل ا����ب �!ع[4.3m]

أp(~ أن #عدل ا��,�5ن ���ز آ�#� آB!. ا�/,ارة @� أ"(�ب s,ق 11.5.3

m Apk k

RTo

.

*( )

=+

1

2

P, أوص� 0.02 و #*�$ط #ع�#� ا8-*��ك 0.5m و ��Tه 50mmأ"(�ب #ع\ول -,ار5� & و در0.7MPa �Iا��3ط @� ا���*�دع . ���*�دع ه�اء #��3ط �(, #�<K 8م "��.

#�*�ى ا��3ط ا��_��� #: ا8"]<�ض �/!K 5ع0 $,�5ن . 330Kا�/,ارة ا�,آ�د�5 . s,ق

#عدل $,�5ن ا��*��&در )أ��عدل ا��,�5ن ا�1ي 5��� إذا "\ع ا%"(�ب و �,ض #],ج ) أ(&�رن ا��*!�D @0 )ب

�>[� . ا���<K إ�� "<� ا��3ط ا��_��0 ا�� [2.80 kg/s, 3.03kg/s]

10 5�<K ه�اء #: #�*�دع إ#داد �(, #�<K "��. &ص!, و أ"(�ب ��Tه 11.5.4m .

. 0.1MPaا��3ط ا��_��C . 0°35 و در�I ا�/,ارة ا�,آ�د0.4MPa �5ا��3ط @� ا���*�دع ��@*,اض أن #*�$ط #ع�#� . 40mm و 80mm: ا�]!�ران ا��*�@,ان %&�ر ا%"��!S ه��

:!� . أ-�S #عدل $,�5ن ا��*�� ��� -���0.025ا8-*��ك ��� #: ا%"(�[2.65kg/s, 0.53kg/s]

Page 229: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

225

11.6E�%F*Jن ا� ا'Hآ7�&& ا'س�

11.6.1 ���Z� :درا$� ا��,�5ن ا�T��3"8 # ا"*;�ل ا�/,ارة @0 ه1ا ا�<ص� #;!د ��8@*,ا�4ت ا·�!�

ا��,�5ن أ-�دى ا�(عد • �4!� ا8-*��ك •• �*��p ا��,�5ن ;# �-��# • S!ا��,�5ن ر� .[�ز آ�#� •

P'و ���5 ا��,�5ن ا�1ي �5@0 ا8@*,ا4ـ�ت أ�ـ�&"�ن ر�.

ا'���دJت ا' ��"�� 11.6.2 :#/*�ى ا��&� @0 ا�ص�رة ا�*<��4!�

d(h+2

2v

) = dh0

dh + vdv = dh0

cpdT + vdv = cpdT0

0

002

11 T

dT

T

TT

k

kR

v

dvv

T

dTT

k

kR

−=+

1

2

−k

c

T

dT+ c2M2

v

dv =

1

2

−k

0

0

T

dT

2)1(

1

Mk −

T

dT+

v

dv =

2)1(

1

Mk −µ

0

0

T

dT………………………….(1)

:#ع�د�� -<= آ�!� ا�*/,ك

d(Ap) + d(ρv2A) = 0

dp + ρv dv = 0

p

dp +

kRT

kvdv = 0

11.6.1 ا'8#9

Page 230: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

226

p

dp + kM2

v

dv = 0…………………………………………(2)

:ا8$*�,ار�5

ρ

ρd+

v

dv=0

:�ع,E5 �دد #�خ

M = c

v

M2 = kRT

v2

2

2

M

dM=

2

2

v

dv -

T

dT

2M

dM= 2

v

dv-

T

dT……………………………………(4)

:&�"�ن ا���ز ا���#�p =ρRT

p

dp=

ρ

ρd +

T

dT……………………………………………(5)

)11.3.4(ا��ع�د��

p0 = p 1−k

k

µ

0

0

p

dp=

p

dp+

µ

2kM

M

dM…………………………..(6)

�ع0 ) 5( و ) 4( و ) 3(و ) 2(ا��ع�د8ت

v

dv=

21

2

kM+ M

dM…………………………………..(11.6.1)

�ع!�ن ) 3( و ) 11.6.1(

ρ

ρd= -

21

2

kM+ M

dM…………………………………..(11.6.2)

�ع!�ن ) 2( و ) 11.6.1(

Page 231: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

227

p

dp= -

2

2

1

2

kM

kM

+ M

dM…………………………………..(11.6.3)

�ع!�ن ) 4( و ) 11.6.1(

T

dT= 2

+

−2

2

1

1

kM

kM

M

dM…………………………………(11.6.4)

�ع0 ) 11.6.4( و ) 11.6.1( و ) 1(

M

dM

kM

Mk

T

dT

+

−+=

µ)1(

)1)(1(22

2

0

0 ………………(11.6.5)

�ع!�ن ) 6( و ) 11.6.3(

0

0

p

dp=-

+

µ)1(

)1(2

22

kM

MkM

M

dM……………………………….(11.6.6)

��د ��خ �"n �"5ك ا'� %��ات اRk�ى �Sأ:

)11.6.5(0 ا��ع�د�� ا�,�!�!� @0 هP1 ا�/��� ه )1و 5*( ذ�� أن �دد #�خ 5\5ـد إذا آـ�ن ا�ـ�,�5ن . #�dT0 �)Iإ�4@� -,ارة �ع�0 أن

.دون ص��0، و 5�;ص إذا آ�ن ا��,�5ن @�ق ص��0 .dT و dp0 و dρ وdpادرس ا�*�p!, ا��*,�S #: ذ�� ��� )2

= M و أنp0 �!ــ�~ &!�ــ� -,Iــ� ���*�!ــ, 8M =1-ــ= أن )3k

1 &!�ــ� -,Iــ�

,!�*���T.

Page 232: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

228

ا'���دJت ا' #��"�� 11.6.3�*�4ـ!F ). 11.6.6(إ�ـ� ) 11.6.1( و "��#� ا��ع�د8ت M = 1.0"ع*(, ا��4 ا��,Iع0 ��د

):T)11.6.1,5;� ا����#�� 1V ا��ع�د��

∫*v

v v

dv = ∫

0.1

M )1(

22

kMM +dM

و ��$*]دام ا����ر ا�S"�D�� �!�\D ا�5%:

)1(

22

kMM +=

M

A+

21 kM

cBM

+

+

2 = (Ak +B)M2 +CM +A

→ A =2, C = 0, B= -2k

)1(

22

kMM +=

M

2+

21

2

kM

kM

+

I = I1 + I2

I1 = 2 ∫0.1

M M

dM = ln

12

MM = - ln M2

I2 = -2k ∫0.1

M 21 kM

MdM

+= -k ∫

0.1

M 21

2

kM

MdM

+=-k ∫

0.1

M 2

2

1 kM

dM

+

1 + kM2 = u du = k dM2

I2 = - ∫ u

du= - ln u = - ln (1+kM2)

1

M = ln

k

kM

+

+

1

12

I = - ln M2 + ln k

kM

+

+

1

12

Ln v

v *= ln

k

kM

+

+

1

12

- ln M2

Page 233: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

229

v

v *=

2

2

)1(

1

Mk

kM

+

+

*v

v=

2

2

1

)1(

kM

Mk

+

+…………………………………..(11.6.7)

:�*ع0) 11.6.6(إ�� ) 11.6.2(و ��5: ��� ه1ا ا��� #��#�� ا��ع�د8ت ا�*<��4!�

ρ=

2

2

)1(

1

Mk

kM

+

+………………… ………………(11.6.8)

p

p

k

kM*=

+

+

1

12........................…...………..........(11.6.9)

T

T

k M

kM*

( )

( )=

+

+

1

1

2 2

2 2..........................................(11.6.10)

T

T

k M

kM

0

0

2

2 2

2 1

1*

( )

( )=

+

+

µ…………(11.6.11)

p

p

k

kM k

k

k

0

0

2

1

1

2

1

1

*=

+

+ +

−µ.....(11.6.12)

و D5د ا�;�رئ ). 11.6.11(و ) 11.6.10(!� ���ع�د�*!: ص�رة �!�") 11.6.2(5(!: ا���� �1.4��(� ا�/,ارة ا����!� ) د (Iداول $,�5ن ر0�5 �4: ا���/.

11.6.2 ا'8#9

Page 234: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

230

���د'� ���ل ا* �Zل ا'U�ارة 11.6.4

;��� �&� :2 – 1#ع�د�� ا�

h1 +2

1v12 + .

.

m

Q= h2 +

2

1v22

.

.

m

Q = h02 – h01

.

Q= cp .

m ( T02 – T01)……….(11.6.13)

11.6.1#{�ل ا�ـ�3ط و . �5,ي ه�اء @0 أ"(�ب 4ـ�!� ا8-*�ـ�ك �Vـد ا��ـد�، 0.55MPaدر�I ا�/,ارة و �ـدد #ـ�خ �

230Kــ�ا�0.50 و ــ,ج ا. ، ��ـــ� ا�*ـ ــ: 5]ـ ــ�اء #ـ �_ـ أ-�280K. Sا%"(�ب �در�I ا�/,ارة

�دد #�خ ا�],و0I) أ ا�*�!, @0 ا��3ط ا�,آ�دي ) ب ا-�S #عـدل 1.0kg/sإذا آ�ن #عدل ا��,�5ن ) ج

.ا"*;�ل ا�/,ارة )أ

**

1

1

22

T

T

T

T

T

T=

)1(س ر

M T/T* 0.5 0.790

T2/T* =0.962

)2(س ر

T/T* M 0.962 0.65

M2 = 0.65

11.6.3 ا'8#9

11.6.4 ا'8#9

Page 235: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

231

)ب )1 (تس ل

M p/p0 0.5 0.843

P01 = 0.652E6 Pa

01

0

0

02

01

02

* p

p

p

p

p

p=

)2(س ر M P0/p0* 0.65 1.058

)1(س ر M P0/p0* 0.5 1.114

p02 = 0.619E6 Pa ∆p0 = p02 – p01 = -32.8E3

32.8kPa= ا8"]<�ض @0 ا��3ط )ج

.

Q= cp .

m ( T02 – T01) cp = kR/(k-1) = 1004.5 J/kg-K

)1(س ل أ M T/T0

0.5 0.9524 )2(س ل أ

M T/T0

0.65 0.9221

T02 = 303.7 T01 = 241.5

.

Q= 1.0 (1004.5)( 303.7 – 241.5) = 62.5kW

Page 236: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

232

قا'9� 11.6.5ــ� ــ\P ز5 دة @ــ0 إ4ــ�@� آ�!ــ� -ــ,ارة ��ــ�,�5ن ��!

). 11.6.13( ا��ع�د�ـ� - T0در�I ا�/ـ,ارة ا�,آ�د5ـ� ــ� ــ,ارة �� ــ�ل ا�/ ــ, ا"*; pط أ�)�ــ��0، 8$ــ* *���و ا��,�5ن ��5: درا$� ��p, ا�ـ�,�5ن �*�!!ـ, &!�ـ�

T0 . ــ,ارة ) 11.6.5(ا�ـــ��� ــ� ا�/ـ ــ, درIـ ــF ��!ـ 4�5ـ

ــ0 ا��ــدى ــ�خ @ ــدد # ــ� �ع ــ� ا�'�عد5 دون ا�,آ�د5و 5ـــدل . )11.6.11( -ـــ�S ا��ع�د�ـــ� ا�ـــص��0

�ــ� إ�ــ� أن �ــ�]!: ا�ــ�,�5ن #ــ: ا��4ــ /�ا��

ــداp!�ت ــدا�0 ذو ا`-ــ ,ا8�*ــ

*,

0

01

1T

TM إ�ــــ�

ا��4ــ ا��_ــ��0

*,

0

02

2T

TM 0ــ�دة @ــ 5ع�ــ0 ز5

�\�5دة ا�*�]!: -*ـ� 5ـص� 2و 5,�< ا���T02 – T01 . 4در�I ا�/,ارة ا�,آ�د�5 ����;دار إ�� أ��� #: ذ�ـ� 2د@ ا���4 ��,ض 0 ا�*�]!: �عد ذ�� إذا وو� . *2ا�� ا���4

K!/�T02 > T0* عـ� %ن!) @ـ�ن ا%#ـ, 5ـص(F [!ـ, #��ـ: @ـ0 ا�*0

0

T

T D*� 8ـ�وز ا��ا-ـد

F!/آ�!ــ� ا�/ــ,ارة هــ� ا�ــ1ي 5/ــدث @ــ0 ا��ا&ــ . ا�ــص S��*أن 5*عــدل آــ� ا�ــ�,�5ن �!ــ��B, إ�� ا���� . ا���3@���� – T02 �*\5د M1",ى أن ذ�� 5/دث @;ط ��"]<�ض ) 11.6.5(و

T01�!0 ص��Iا��,�5ن ا�],و F)و 5ص .�&,s ���/ا� P1و ���5 ا��,�5ن @0 ه. 11.6.2#{�ل

�~ و �4!� ا8-*��ك �p @0 ا�(دء د@ ا�_�اء إ�� داVـ� ا%"(ـ�ب �عـدد #ـ�خ . أ"(�ب ذو #;: ا��Dــ,ى -*ــ� ار�<عــ~ درIــ� ا�/ــ,ارة ]pــ. $ــ . 300K و درIــ� -ــ,ارة رآ�د5ــ� 0.5

. 1000Kا�,آ�د�5 إ�� 0��Vا�*�]!: ��� �دد #�خ ا�د ,pه� أ �#.

T02/T01 = 1000/300 = 3.333

T02/T01 = T

T

T

T

0

0 2

0

0 1*

*………………………….(1)

~!;��عد ا�*�]!:0.5 ��د M1إذا

):1(س ر M T0/T0* 0.5 0.691

(11.6.5) ا'8#9

Page 237: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

233

�ع0) 1(ا��ع�د��

T

T

0

0 2*

= T

T

02

01 10

0

*T

T= (3.333)(0.691) = 2.303

K!- :��# ,!] و ه1ا*0

0

T

T .�D*� 8 1.0وز

.و ه1ا 5ع�0 أن ا��,�5ن s,قM2 = 1.0

�ع0) 1(ا��ع�د��

T

T

0

0 1*

= T

T

01

02 20

0

*T

T= 300/1000 = 0.3

):1(س ر T0/T0* M 0.3 0.274

M1 = 0.274

Page 238: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

234

�س��8 :5ع,ف ا·�0 ��د #د�V أ"(�ب 5/�ي $,�5ن 8 ا-*��آ0 11.6.1

M1 T1 P1 A1

0.4 300K 0.1MPa 0.001m2

���,�Iع إ�� Iداول ا��,�5ن ا�'�(د5دي أ-�S در�I ا�/ـ,ارة ا�,آ�د5ـ )أ �

T01 و ا��3ط ا�,آ�دي p01. أ-ـ�S &ـ!. . T2 400K$ـ]: ا%"(ـ�ب -*ـ� ���ـ~ درIـ� ا�/ـ,ارة )ب

�;�ا�. ا��,�5ن ا�/,اري �� .ا��*�!,ات ا%V,ى #�*ع! و T1و ��$!�� أV,ى، ا$*]�ص ا�*ع(!, ا�,4�5ـ0 ا�ـ1ي 5ـ,�ط ا��*�!ـ,ات )جT2 و M1 و M2 S�-أ .p :# و M2 . 0@ ���I`�� ).ب(&�رن .أ-�S #عدل ا"*;�ل ا�/,ارة ����!��وات )د

[310K, 0.112MPa, 0.52, 18kW]

�ـد #ـد�50.01m2 . �V,ي ا�_ـ�اء @ـ0 أ"(ـ�ب 8 ا-*�ـ�آ0 #ـ��-� #;عـه 11.6.2� :ا%"(�ب

M T0 P0

0.3 350K 0.2MPa

أ-ـ�S #عـدل . 450K$]: ا%"(�ب و ار�<ع~ در�I ا�/,ارة ا�,آ�د5ـ� ��ـد ا��]ـ,ج إ�ـ� 0I0 و ا��3ط ا�],وI�5ن ا�/,ارة و �دد #�خ ا�],و,$.

[0.21MW, 0.35, 0.18MPa]

�ـ~ ا��;ـ 11.6.3�p ـ�"(�ب� . 0.25m2#ـ��-� #ـد�V ا���<ـK . &,ن #],ج #�<K 8م ا$ـ*]د#~ ا����B#ـ� �*ـ�,5 هـ�اء #ـ: . 0.2m2#��-� #],ج ا���<K و #; ا%"(�ب

:ا�/��� ا�د��V!� ا·�!�M T P

0.3 300K 0.1MPa

.��5: ا�*(�ر ا��,�5ن @0 ا���<K �8(د5دى و �D� :��5ه� ا8-*��ك @0 ا%"(�ب .1MW&در �دد #�خ ا�],و0I و در�I ا�/,ارة ا�],وI!� إذا $]: ا%"(�ب ��عدل

[0.42, 327K]

Page 239: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

235

11.7nE�%F*Jن ا� .��س ا'س��� >& ا'س�

5 &دون ا' ا'س��ن 11.7.1- ــ�س ا�ــ�,�� ��ــ�,�5ن ــ�3ط ا�/,آــ0 و ا��ــ�"�#*, �;! �ــد ا$ــ*]دام #��B#ــ� أ"(ــ�ب ا��

�T��3ط ا�ــ�,�� –) 6.3.1.1( ا�;ــ�. -ا�'إ"ــ� ا$ــ*]د#~ �'&ــ� ا��&ــ� ا��(ــ�� �ــ,�<,ق ا��3ط �*ع0 ا��ع�د��

V = )(2

0 pp −ρ

……………………………………(1)

�) 1(ا�*(,ت ا��{�@� @0 ا��ع�د�� �p�!T��3"و ه1ا �(�!ط #]� إذا آ�ن ا��,�5ن ا ،~.

Kـ!: ا���4ـ ا�عـ�م، -!ـ��د ا�*(�ر ا��,�5ن ا"0T��3 # ا`�;�ء ��� ا@*,اض ا�'�(د5د �

و p0 ، و #�4ـ ا�,آـ�د ، -!ـK ا�ـ�3ط h و ا��/*ـ�ى ا�/ـ,اري v و ا��,�� pا��3ط .h0 و ا��/*�ى ا�/,اري ا��,�� ص<, �&��!: ا���4ع!: 5ع0-<= ا�

0

2

2h

vh =+

2

1

0

00 12)(2

−=−=

T

TTchhv p

11.7.1 ا'8#9

#;!�س در�I ا�/,ارة

Page 240: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

236

و ���,�5ن ا�'�(د5دي

0T

T =

k

k

p

p

1

0

@*ص(F ا��,��

v = 2

110

1

1

2

kRT

k

p

po

k

k

−−

………………………(11.7.1)

:'-= أن5��ع,@ـ� ا�ـ�3ط . ط ا�,آـ�دي #�صـ�!: ��ـ�"�#*,5: #�<ـص�!: أ"(��0 ا��3ط و ا�ـ�3 •

.p0 و pا��Dي ��5: ا$*]'ص &!. . #(�s,ةT0#;!�س ا�/,ارة 5;,أ &!�� •

>5ق ا'-5 & ا'س��ن 11.7.2

ــ�ء �ــ!� ��`#�ــ�ن إ ــه � ــ� ��ــ� ا" �,D*ــدل ا� �ا��,�5ن @�ق ا�ص��0 إ�� ا�/��� دون ا�ـص��!�

ــد#� ــ�ر ص ــد . دون �( �ــ��1 � �ــ أ"(ــ�ب و و4ا��3ط ا�/,آـ0 @ـ0 $ـ,�5ن @ـ�ق صـ��0 @ـ�ن ا��,�� ���ن ص<,ا ��ـد -�@ـ� ا%"(ـ�ب و @ـ�ق . ص��!� ��� #(عدة #�ه @0 ا��D"ـS ا�ـصع!دي

�!�/��!: ا���4ع!: 5ع(, ا��,�5ن صد#� #. ــ�!�ب ــط ا8"ـ ــ���B, إ�ـــ� ا�ـــ�,�5ن @ـــV 0ـ �ـــ�*;!�� و ــصد#� # ــ�ر ا� ــ: ا�*( ا��/ــ�ري ��5

ــ*<�دة ــدة و ا$8 ــصد#� #*ع�# ــ�د8ت ا� ــ: #ع # ).11.4(ا��*ع�#دة @� ا�;�.

p

p

kM

kM

2

1

1

2

2

2

1

1=

+

+

...............(11.4.3)

�ع0 #ع�د�� ا��,�5ن ) 2(و ��د ا���4

)11.3.4(ا�'�(د5دي

2

02

p

p= [ 1+

2

1(k -1) M2

2]k/(k-1)

11.7.2 ا'8#9

Page 241: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

237

1

02

p

p =

2

02

p

p

1

2

p

p = [ 1+

2

1(k -1) M2

2]k/(k-1) 2

2

2

1

1

1

kM

kM

+

+

�*ع0) 11.4.4( #: ا��ع�د�� M1 بM2و ��5: ا�*ع��5 �:

p

p

k

kM kM

kk

k

02

1

1

1

2

1

2 1

21

2 1

1

1

=+

+ −

+ −

( )( ) ………………………….(11.7.2)

�د p1 - pa 4�# و أ"(�ب ا��3ط �;!�س �5p02 - pa*]دم أ"(�ب ا��3ط ا�,آ�دي �;!�س �

) p)11.7.2ــ. �/ــ� ا��ع�د�ــ� . ���(ــ�رو#*, paو 5;ــ�س ا�ــ�3ط ا�Dـ�ي ) . 1(صـع!د ا��;ــ ��!& 0,5;� ��,ر�5 �*ع�M1.

#: ا��ع�د��S�/" T1 أو8 در�I ا�/,ارة �v/��ب ا��,��

0

1

T

T= 12

12

1 ])1(1[−−+ Mk ....................................................(11.3.3)

p. ��*]دم ا��ع�د��

v1 = M1 1kRT …………………………………..(11.7.3)

�=�ل�0.1!, ��T,ة @ـI 0ـ� 4ـ�ه MPa . ـ�"(�ب 4ـ�ط رآـ�دي و #;!ـ�س�ا�ـ��,ة #D_ـ\ة

@ـ�ق ا�ـ�3ط ا�Dـ�ي و 5عـ50.14MPa 0دل أ"(�ب ا��3ط ا�,آ�دي ��ـ� ا�;ـ,اءة . ��/,ارة .440K#;!�س ا�/,ارة ا�;,اءة

.&در $,�� ا���,ة

p = 0.1E6 pa , p0 = (0.14 + 0.1)E6 Pa = 0.24 E6 Pa

T0 = 440K "<*,ض @0 ا�(دء أن ا��,�5ن دون ص��0

p/p0 = 0.1 / 0.24 = 0.417

0 &�ا�. ا��,�5ن ا�'�(د5دي �عM = 1.19 ��� أن ا��,�5ن @�ق ص��0#�� 5دل

p02 = 0.24E6, p1 = 0.1E6 )11.7.2(ا��ع�د��

M12.8 – 1.284M1

2 + 0.183 = 0

M1 = 1.2

Page 242: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

238

):1(&���� ا��,�5ن ا�'�(د5دى ��د ا���4 M T/T0 1.2 0.7764

T1 = 440 (0.7764) = 342K

v = M kRT = 445m/s = 1600km/h

Page 243: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

239

ا��� أ

ء �ي ����ري(��اص ا�� ��:(

��� ����� m2/sا��و�� ا �� C°°°°در�� ا�رارة kg/m3ا1.007E-6 998.2 20 0.897E-6 997.1 25 0.804E-6 995.7 30 0.727E-6 994.1 35 0.661E-6 992.2 40 0.605E-6 990.2 45 0.556E-6 988.1 50

�" ()"ي ��اص ا%$# ا�* " :ا

p/p0 ρρρρ/ρρρρ0 رارة� mا-ر�, ع Kدر�� ا1.000 1.000 288.2 0

0.9421 0.9529 284.9 500 0.8870 0.9075 281.7 1000 0.7846 0.8217 275.2 2000 0.6920 0.7423 268.7 3000 0.6085 0.6689 262.2 4000 0.5334 0.6012 255.7 5000

P0 = 1.01325E5Pa absolute ρ0 = 1.2250kg/m3

Page 244: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

240

678 ت ر5 ��4 ذات ��1 :ا��� ب

1 �� f = f(x, y, z) اذا آ�

: ه� ا(#)'&f%�ن �#�ل

∇ f = ∂

f

xi

f

yj

f

zk+ + ………………………………….(1)

2 �� ، �.z 7 و y و x %6 ا45'�ه�ت zϕ و yϕ و xϕ �)'& ذا �2آ�1ت �/.-, ϕاذا آ� ϕ()�ا(6 ، %�ن ا()��1 لا

∇ . ϕ = ∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

∂x y k

x x x+ + ………………………………….(2)

�2A@, ا()��1 ا()?��< ا(ح'#6 و ا()?��< ا(=/ح6 ;�(�:9, 3 ;24

( )∇ = ∫∫∫∫∫ . .ϕ ϕdV d AAV

…………………………..(3)

)B�)3 ا(�:9, 4

( )∇ = ∫∫∫∫∫ f dV f ndAAV

…………………………..(4)

ا(ح< ا(� دي (.#��د(, ا('21@, 5

ل�:: B4��� ,-@2/; F�� را%=B-أح= IHر (.#��د(, أدx3.2 + 0.3x = 1.80

f = x3.2 + 0.3x - 1.8

f’ = 3.2x2.2 + 0.3 xI+1 = xI – f/f’

x = 1.00, 1.14, 1.13, 1.13

Page 245: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

241

fD�E:ع :A ا-ح?� ك : ا��� جFGا (��Iر5 ن

k/d 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006

Re

5.0E+3 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038 0.039 0.039

6.0E+3 0.036 0.036 0.036 0.036 0.037 0.037 0.037

7.0E+3 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035

8.0E+3 0.033 0.033 0.034 0.034 0.034 0.034 0.034

9.0E+3 0.032 0.032 0.033 0.033 0.033 0.033 0.033

10.0E+3 0.031 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032

20.0E+3 0.026 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.028

30.0E+3 0.024 0.024 0.024 0.025 0.025 0.025 0.025

40.0E+3 0.022 0.023 0.023 0.023 0.024 0.024 0.024

50.0E+3 0.021 0.022 0.022 0.022 0.023 0.023 0.023

60.0E+3 0.020 0.021 0.021 0.022 0.022 0.022 0.023

70.0E+3 0.020 0.020 0.021 0.021 0.021 0.022 0.022

80.0E+3 0.019 0.020 0.020 0.021 0.021 0.021 0.022

90.0E+3 0.019 0.019 0.020 0.020 0.021 0.021 0.021

100.0E+3 0.018 0.019 0.019 0.020 0.020 0.021 0.021

200.0E+3 0.016 0.017 0.017 0.018 0.019 0.019 0.020

300.0E+3 0.015 0.016 0.017 0.017 0.018 0.019 0.019

400.0E+3 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.018 0.019

500.0E+3 0.013 0.015 0.016 0.017 0.017 0.018 0.019

600.0E+3 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.018

700.0E+3 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.018

800.0E+3 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.018

900.0E+3 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.018

1.0E+6 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.018

2.0E+6 0.011 0.013 0.015 0.016 0.017 0.017 0.018

3.0E+6 0.010 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

4.0E+6 0.009 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

5.0E+6 0.009 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

6.0E+6 0.009 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

7.0E+6 0.009 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

8.0E+6 0.009 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

9.0E+6 0.008 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

10.0E+6 0.008 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

20.0E+6 0.007 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

30.0E+6 0.007 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

40.0E+6 0.007 0.012 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018

Page 246: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

242

k/d 0.0007 0.0009 0.0010 0.0020 0.0030 0.0040

Re

5.0E+3 0.039 0.039 0.039 0.040 0.041 0.042

6.0E+3 0.037 0.037 0.037 0.039 0.040 0.041

7.0E+3 0.036 0.036 0.036 0.037 0.038 0.040

8.0E+3 0.034 0.035 0.035 0.036 0.037 0.039

9.0E+3 0.033 0.034 0.034 0.035 0.036 0.038

10.0E+3 0.032 0.033 0.033 0.034 0.036 0.037

20.0E+3 0.028 0.028 0.028 0.030 0.032 0.034

30.0E+3 0.026 0.026 0.026 0.029 0.031 0.032

40.0E+3 0.024 0.025 0.025 0.028 0.030 0.032

50.0E+3 0.024 0.024 0.024 0.027 0.029 0.031

60.0E+3 0.023 0.024 0.024 0.027 0.029 0.031

70.0E+3 0.022 0.023 0.023 0.026 0.029 0.031

80.0E+3 0.022 0.023 0.023 0.026 0.028 0.030

90.0E+3 0.022 0.022 0.023 0.026 0.028 0.030

100.0E+3 0.022 0.022 0.023 0.026 0.028 0.030

200.0E+3 0.020 0.021 0.021 0.025 0.027 0.030

300.0E+3 0.020 0.021 0.021 0.025 0.027 0.029

400.0E+3 0.019 0.020 0.021 0.024 0.027 0.029

500.0E+3 0.019 0.020 0.021 0.024 0.027 0.029

600.0E+3 0.019 0.020 0.021 0.024 0.027 0.029

700.0E+3 0.019 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

800.0E+3 0.019 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

900.0E+3 0.019 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

1.0E+6 0.019 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

2.0E+6 0.019 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

3.0E+6 0.019 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

4.0E+6 0.019 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

5.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

6.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

7.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

8.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

9.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

10.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

20.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

30.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

40.0E+6 0.018 0.020 0.020 0.024 0.027 0.029

Page 247: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

243

k/d 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.011

Re

5.0E+3 0.043 0.044 0.045 0.046 0.047 0.048 0.049

6.0E+3 0.042 0.043 0.044 0.045 0.046 0.047 0.048

7.0E+3 0.041 0.042 0.043 0.044 0.045 0.046 0.047

8.0E+3 0.040 0.041 0.042 0.043 0.044 0.045 0.046

9.0E+3 0.039 0.040 0.041 0.042 0.043 0.044 0.045

10.0E+3 0.038 0.040 0.041 0.042 0.043 0.044 0.045

20.0E+3 0.035 0.037 0.038 0.039 0.040 0.041 0.043

30.0E+3 0.034 0.035 0.037 0.038 0.039 0.041 0.042

40.0E+3 0.033 0.035 0.036 0.038 0.039 0.040 0.041

50.0E+3 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040 0.041

60.0E+3 0.033 0.034 0.036 0.037 0.038 0.040 0.041

70.0E+3 0.032 0.034 0.035 0.037 0.038 0.040 0.041

80.0E+3 0.032 0.034 0.035 0.037 0.038 0.039 0.041

90.0E+3 0.032 0.034 0.035 0.037 0.038 0.039 0.041

100.0E+3 0.032 0.034 0.035 0.037 0.038 0.039 0.041

200.0E+3 0.031 0.033 0.035 0.036 0.038 0.039 0.040

300.0E+3 0.031 0.033 0.035 0.036 0.038 0.039 0.040

400.0E+3 0.031 0.033 0.035 0.036 0.037 0.039 0.040

500.0E+3 0.031 0.033 0.035 0.036 0.037 0.039 0.040

600.0E+3 0.031 0.033 0.035 0.036 0.037 0.039 0.040

700.0E+3 0.031 0.033 0.035 0.036 0.037 0.039 0.040

800.0E+3 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

900.0E+3 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

1.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

2.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

3.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

4.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

5.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

6.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

7.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

8.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

9.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

10.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

20.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

30.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

40.0E+6 0.031 0.033 0.034 0.036 0.037 0.039 0.040

Page 248: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

244

k/d 0.012 0.013 0.014

Re

5.0E+3 0.050 0.051 0.052

6.0E+3 0.049 0.050 0.050

7.0E+3 0.048 0.049 0.050

8.0E+3 0.047 0.048 0.049

9.0E+3 0.046 0.047 0.048

10.0E+3 0.046 0.047 0.048

20.0E+3 0.044 0.045 0.046

30.0E+3 0.043 0.044 0.045

40.0E+3 0.042 0.044 0.045

50.0E+3 0.042 0.043 0.044

60.0E+3 0.042 0.043 0.044

70.0E+3 0.042 0.043 0.044

80.0E+3 0.042 0.043 0.044

90.0E+3 0.042 0.043 0.044

100.0E+3 0.042 0.043 0.044

200.0E+3 0.041 0.043 0.044

300.0E+3 0.041 0.043 0.044

400.0E+3 0.041 0.042 0.044

500.0E+3 0.041 0.042 0.044

600.0E+3 0.041 0.042 0.044

700.0E+3 0.041 0.042 0.044

800.0E+3 0.041 0.042 0.044

900.0E+3 0.041 0.042 0.044

1.0E+6 0.041 0.042 0.044

2.0E+6 0.041 0.042 0.043

3.0E+6 0.041 0.042 0.043

4.0E+6 0.041 0.042 0.043

5.0E+6 0.041 0.042 0.043

6.0E+6 0.041 0.042 0.043

7.0E+6 0.041 0.042 0.043

8.0E+6 0.041 0.042 0.043

9.0E+6 0.041 0.042 0.043

10.0E+6 0.041 0.042 0.043

20.0E+6 0.041 0.042 0.043

30.0E+6 0.041 0.042 0.043

40.0E+6 0.041 0.042 0.043

Page 249: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

245

K) :ا��� د$%F-ن ا )k = 1.4 ( �6اLM اIر5

Page 250: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

246

I يP5PQ�7 اIر5 ن ا

M A/A* p/po T/To A.p/A*.po M A/A* p/po T/To A.p/A*.po 0.02 28.9421 0.9997 0.9999 28.9340 1.02 1.0003 0.5160 0.8278 0.5162 0.04 14.4815 0.9989 0.9997 14.4653 1.04 1.0013 0.5039 0.8222 0.5045 0.06 9.6659 0.9975 0.9993 9.6416 1.06 1.0029 0.4919 0.8165 0.4933 0.08 7.2616 0.9955 0.9987 7.2292 1.08 1.0051 0.4800 0.8108 0.4825 0.10 5.8218 0.9930 0.9980 5.7813 1.10 1.0079 0.4684 0.8052 0.4721 0.12 4.8643 0.9900 0.9971 4.8156 1.12 1.0113 0.4568 0.7994 0.4620 0.14 4.1824 0.9864 0.9961 4.1255 1.14 1.0153 0.4455 0.7937 0.4523 0.16 3.6727 0.9823 0.9949 3.6077 1.16 1.0198 0.4343 0.7879 0.4428 0.18 3.2779 0.9776 0.9936 3.2047 1.18 1.0248 0.4232 0.7822 0.4337 0.20 2.9635 0.9725 0.9921 2.8820 1.20 1.0304 0.4124 0.7764 0.4249 0.22 2.7076 0.9668 0.9904 2.6178 1.22 1.0366 0.4017 0.7706 0.4164 0.24 2.4956 0.9607 0.9886 2.3975 1.24 1.0432 0.3912 0.7648 0.4081 0.26 2.3173 0.9541 0.9867 2.2109 1.26 1.0504 0.3809 0.7590 0.4001 0.28 2.1656 0.9470 0.9846 2.0508 1.28 1.0581 0.3708 0.7532 0.3924 0.30 2.0351 0.9395 0.9823 1.9119 1.30 1.0663 0.3609 0.7474 0.3848 0.32 1.9219 0.9315 0.9799 1.7902 1.32 1.0750 0.3512 0.7416 0.3775 0.34 1.8229 0.9231 0.9774 1.6827 1.34 1.0842 0.3417 0.7358 0.3704 0.36 1.7358 0.9143 0.9747 1.5871 1.36 1.0940 0.3323 0.7300 0.3636 0.38 1.6587 0.9052 0.9719 1.5014 1.38 1.1042 0.3232 0.7242 0.3569 0.40 1.5901 0.8956 0.9690 1.4242 1.40 1.1149 0.3142 0.7184 0.3504 0.42 1.5289 0.8857 0.9659 1.3542 1.42 1.1262 0.3055 0.7126 0.3440 0.44 1.4740 0.8755 0.9627 1.2905 1.44 1.1379 0.2969 0.7069 0.3379 0.46 1.4246 0.8650 0.9594 1.2322 1.46 1.1501 0.2886 0.7011 0.3319 0.48 1.3801 0.8541 0.9559 1.1788 1.48 1.1629 0.2804 0.6954 0.3261 0.50 1.3398 0.8430 0.9524 1.1295 1.50 1.1762 0.2724 0.6897 0.3204 0.52 1.3034 0.8317 0.9487 1.0840 1.52 1.1899 0.2646 0.6840 0.3149 0.54 1.2703 0.8201 0.9449 1.0417 1.54 1.2042 0.2570 0.6783 0.3095 0.56 1.2403 0.8082 0.9410 1.0024 1.56 1.2190 0.2496 0.6726 0.3042 0.58 1.2130 0.7962 0.9370 0.9658 1.58 1.2344 0.2423 0.6670 0.2991 0.60 1.1882 0.7840 0.9328 0.9316 1.60 1.2502 0.2353 0.6614 0.2941 0.62 1.1656 0.7716 0.9286 0.8995 1.62 1.2666 0.2284 0.6558 0.2893 0.64 1.1451 0.7591 0.9243 0.8693 1.64 1.2836 0.2217 0.6502 0.2845 0.66 1.1265 0.7465 0.9199 0.8410 1.66 1.3010 0.2152 0.6447 0.2799 0.68 1.1097 0.7338 0.9153 0.8142 1.68 1.3190 0.2088 0.6392 0.2754 0.70 1.0944 0.7209 0.9107 0.7890 1.70 1.3376 0.2026 0.6337 0.2710 0.72 1.0806 0.7080 0.9061 0.7651 1.72 1.3567 0.1966 0.6283 0.2667 0.74 1.0681 0.6951 0.9013 0.7424 1.74 1.3764 0.1907 0.6229 0.2625 0.76 1.0570 0.6821 0.8964 0.7209 1.76 1.3967 0.1850 0.6175 0.2584 0.78 1.0471 0.6691 0.8915 0.7005 1.78 1.4175 0.1794 0.6121 0.2544 0.80 1.0382 0.6560 0.8865 0.6811 1.80 1.4390 0.1740 0.6068 0.2504 0.82 1.0305 0.6430 0.8815 0.6626 1.82 1.4610 0.1688 0.6015 0.2466 0.84 1.0237 0.6300 0.8763 0.6449 1.84 1.4836 0.1637 0.5963 0.2429 0.86 1.0179 0.6170 0.8711 0.6281 1.86 1.5069 0.1587 0.5910 0.2392 0.88 1.0129 0.6041 0.8659 0.6119 1.88 1.5308 0.1539 0.5859 0.2356 0.90 1.0089 0.5913 0.8606 0.5965 1.90 1.5553 0.1492 0.5807 0.2321 0.92 1.0056 0.5785 0.8552 0.5817 1.92 1.5804 0.1447 0.5756 0.2287 0.94 1.0031 0.5658 0.8498 0.5675 1.94 1.6062 0.1403 0.5705 0.2253 0.96 1.0014 0.5532 0.8444 0.5539 1.96 1.6326 0.1360 0.5655 0.2220 0.98 1.0003 0.5407 0.8389 0.5409 1.98 1.6597 0.1318 0.5605 0.2188 1.00 1.0000 0.5283 0.8333 0.5283 2.00 1.6875 0.1278 0.5556 0.2157

Page 251: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

247

M A/A* p/po T/To A.p/A*.po M A/A* p/po T/To A.p/A*.po

2.02 1.7160 0.1239 0.5506 0.2126 3.02 4.3160 0.0264 0.3541 0.1140 2.04 1.7451 0.1201 0.5458 0.2096 3.04 4.3989 0.0256 0.3511 0.1128 2.06 1.7750 0.1164 0.5409 0.2066 3.06 4.4835 0.0249 0.3481 0.1116 2.08 1.8056 0.1128 0.5361 0.2037 3.08 4.5696 0.0242 0.3452 0.1104 2.10 1.8369 0.1094 0.5313 0.2009 3.10 4.6573 0.0234 0.3422 0.1092 2.12 1.8690 0.1060 0.5266 0.1981 3.12 4.7467 0.0228 0.3393 0.1080 2.14 1.9018 0.1027 0.5219 0.1954 3.14 4.8377 0.0221 0.3365 0.1069 2.16 1.9354 0.0996 0.5173 0.1927 3.16 4.9304 0.0215 0.3337 0.1058 2.18 1.9698 0.0965 0.5127 0.1901 3.18 5.0248 0.0208 0.3309 0.1047 2.20 2.0050 0.0935 0.5081 0.1875 3.20 5.1209 0.0202 0.3281 0.1036 2.22 2.0409 0.0906 0.5036 0.1850 3.22 5.2189 0.0196 0.3253 0.1025 2.24 2.0777 0.0878 0.4991 0.1825 3.24 5.3186 0.0191 0.3226 0.1015 2.26 2.1153 0.0851 0.4947 0.1801 3.26 5.4201 0.0185 0.3199 0.1004 2.28 2.1538 0.0825 0.4903 0.1777 3.28 5.5234 0.0180 0.3173 0.0994 2.30 2.1931 0.0800 0.4859 0.1754 3.30 5.6286 0.0175 0.3147 0.0984 2.32 2.2333 0.0775 0.4816 0.1731 3.32 5.7357 0.0170 0.3121 0.0974 2.34 2.2744 0.0751 0.4773 0.1709 3.34 5.8448 0.0165 0.3095 0.0964 2.36 2.3164 0.0728 0.4731 0.1687 3.36 5.9558 0.0160 0.3069 0.0954 2.38 2.3593 0.0706 0.4688 0.1665 3.38 6.0687 0.0156 0.3044 0.0945 2.40 2.4031 0.0684 0.4647 0.1644 3.40 6.1837 0.0151 0.3019 0.0935 2.42 2.4479 0.0663 0.4606 0.1623 3.42 6.3007 0.0147 0.2995 0.0926 2.44 2.4936 0.0643 0.4565 0.1602 3.44 6.4197 0.0143 0.2970 0.0917 2.46 2.5403 0.0623 0.4524 0.1582 3.46 6.5409 0.0139 0.2946 0.0908 2.48 2.5880 0.0604 0.4484 0.1563 3.48 6.6642 0.0135 0.2922 0.0899 2.50 2.6367 0.0585 0.4444 0.1543 3.50 6.7896 0.0131 0.2899 0.0890 2.52 2.6864 0.0567 0.4405 0.1524 3.52 6.9172 0.0127 0.2875 0.0882 2.54 2.7372 0.0550 0.4366 0.1505 3.54 7.0470 0.0124 0.2852 0.0873 2.56 2.7891 0.0533 0.4328 0.1487 3.56 7.1791 0.0120 0.2829 0.0865 2.58 2.8420 0.0517 0.4289 0.1469 3.58 7.3134 0.0117 0.2806 0.0856 2.60 2.8960 0.0501 0.4252 0.1451 3.60 7.4501 0.0114 0.2784 0.0848 2.62 2.9511 0.0486 0.4214 0.1434 3.62 7.5891 0.0111 0.2762 0.0840 2.64 3.0073 0.0471 0.4177 0.1417 3.64 7.7304 0.0108 0.2740 0.0832 2.66 3.0647 0.0457 0.4141 0.1400 3.66 7.8742 0.0105 0.2718 0.0824 2.68 3.1233 0.0443 0.4104 0.1383 3.68 8.0204 0.0102 0.2697 0.0817 2.70 3.1830 0.0430 0.4068 0.1367 3.70 8.1690 0.0099 0.2675 0.0809 2.72 3.2439 0.0417 0.4033 0.1351 3.72 8.3202 0.0096 0.2654 0.0801 2.74 3.3061 0.0404 0.3998 0.1335 3.74 8.4739 0.0094 0.2633 0.0794 2.76 3.3695 0.0392 0.3963 0.1320 3.76 8.6302 0.0091 0.2613 0.0787 2.78 3.4342 0.0380 0.3928 0.1305 3.78 8.7891 0.0089 0.2592 0.0779 2.80 3.5001 0.0368 0.3894 0.1290 3.80 8.9506 0.0086 0.2572 0.0772 2.82 3.5674 0.0357 0.3860 0.1275 3.82 9.1147 0.0084 0.2552 0.0765 2.84 3.6359 0.0347 0.3827 0.1261 3.84 9.2816 0.0082 0.2532 0.0758 2.86 3.7058 0.0336 0.3794 0.1246 3.86 9.4513 0.0080 0.2513 0.0752 2.88 3.7771 0.0326 0.3761 0.1232 3.88 9.6237 0.0077 0.2493 0.0745 2.90 3.8498 0.0317 0.3729 0.1219 3.90 9.7989 0.0075 0.2474 0.0738 2.92 3.9238 0.0307 0.3696 0.1205 3.92 9.9770 0.0073 0.2455 0.0731 2.94 3.9993 0.0298 0.3665 0.1192 3.94 10.1580 0.0071 0.2436 0.0725 2.96 4.0762 0.0289 0.3633 0.1178 3.96 10.3419 0.0069 0.2418 0.0719 2.98 4.1547 0.0281 0.3602 0.1166 3.98 10.5288 0.0068 0.2399 0.0712 3.00 4.2346 0.0272 0.3571 0.1153 4.00 10.7187 0.0066 0.2381 0.0706

Page 252: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

248

II ةP: اصP:� ا?ع

M1 M2 p2/p1 T2/T1 po2/po1 M1 M2 p2/p1 T2/T1 po2/po1 1.02 0.981 1.0471 1.0132 1.0000 2.02 0.574 4.5938 1.7038 0.7115 1.04 0.962 1.0952 1.0263 0.9999 2.04 0.571 4.6885 1.7203 0.7022 1.06 0.944 1.1442 1.0393 0.9998 2.06 0.567 4.7842 1.7369 0.6928 1.08 0.928 1.1941 1.0522 0.9994 2.08 0.564 4.8808 1.7536 0.6835 1.10 0.912 1.2450 1.0649 0.9989 2.10 0.561 4.9783 1.7704 0.6742 1.12 0.897 1.2968 1.0776 0.9982 2.12 0.558 5.0768 1.7875 0.6649 1.14 0.882 1.3495 1.0903 0.9973 2.14 0.555 5.1762 1.8046 0.6557 1.16 0.868 1.4032 1.1029 0.9961 2.16 0.553 5.2765 1.8219 0.6464 1.18 0.855 1.4578 1.1154 0.9946 2.18 0.550 5.3778 1.8393 0.6373 1.20 0.842 1.5133 1.1280 0.9928 2.20 0.547 5.4800 1.8569 0.6281 1.22 0.830 1.5698 1.1405 0.9907 2.22 0.544 5.5831 1.8746 0.6191 1.24 0.818 1.6272 1.1531 0.9884 2.24 0.542 5.6872 1.8924 0.6100 1.26 0.807 1.6855 1.1657 0.9857 2.26 0.539 5.7922 1.9104 0.6011 1.28 0.796 1.7448 1.1783 0.9827 2.28 0.537 5.8981 1.9285 0.5921 1.30 0.786 1.8050 1.1909 0.9794 2.30 0.534 6.0050 1.9468 0.5833 1.32 0.776 1.8661 1.2035 0.9758 2.32 0.532 6.1128 1.9652 0.5745 1.34 0.766 1.9282 1.2162 0.9718 2.34 0.530 6.2215 1.9838 0.5658 1.36 0.757 1.9912 1.2290 0.9676 2.36 0.527 6.3312 2.0025 0.5572 1.38 0.748 2.0551 1.2418 0.9630 2.38 0.525 6.4418 2.0213 0.5486 1.40 0.740 2.1200 1.2547 0.9582 2.40 0.523 6.5533 2.0403 0.5401 1.42 0.731 2.1858 1.2676 0.9531 2.42 0.521 6.6658 2.0595 0.5317 1.44 0.723 2.2525 1.2807 0.9476 2.44 0.519 6.7792 2.0788 0.5234 1.46 0.716 2.3202 1.2938 0.9420 2.46 0.517 6.8935 2.0982 0.5152 1.48 0.708 2.3888 1.3069 0.9360 2.48 0.515 7.0088 2.1178 0.5071 1.50 0.701 2.4583 1.3202 0.9298 2.50 0.513 7.1250 2.1375 0.4990 1.52 0.694 2.5288 1.3336 0.9233 2.52 0.511 7.2421 2.1574 0.4911 1.54 0.687 2.6002 1.3470 0.9166 2.54 0.509 7.3602 2.1774 0.4832 1.56 0.681 2.6725 1.3606 0.9097 2.56 0.507 7.4792 2.1976 0.4754 1.58 0.675 2.7458 1.3742 0.9026 2.58 0.506 7.5991 2.2179 0.4677 1.60 0.668 2.8200 1.3880 0.8952 2.60 0.504 7.7200 2.2383 0.4601 1.62 0.663 2.8951 1.4018 0.8877 2.62 0.502 7.8418 2.2590 0.4526 1.64 0.657 2.9712 1.4158 0.8799 2.64 0.500 7.9645 2.2797 0.4452 1.66 0.651 3.0482 1.4299 0.8720 2.66 0.499 8.0882 2.3006 0.4379 1.68 0.646 3.1261 1.4440 0.8639 2.68 0.497 8.2128 2.3217 0.4307 1.70 0.641 3.2050 1.4583 0.8557 2.70 0.496 8.3383 2.3429 0.4236 1.72 0.635 3.2848 1.4727 0.8474 2.72 0.494 8.4648 2.3642 0.4166 1.74 0.631 3.3655 1.4873 0.8389 2.74 0.493 8.5922 2.3858 0.4097 1.76 0.626 3.4472 1.5019 0.8302 2.76 0.491 8.7205 2.4074 0.4028 1.78 0.621 3.5298 1.5167 0.8215 2.78 0.490 8.8498 2.4292 0.3961 1.80 0.617 3.6133 1.5316 0.8127 2.80 0.488 8.9800 2.4512 0.3895 1.82 0.612 3.6978 1.5466 0.8038 2.82 0.487 9.1111 2.4733 0.3829 1.84 0.608 3.7832 1.5617 0.7948 2.84 0.485 9.2432 2.4955 0.3765 1.86 0.604 3.8695 1.5770 0.7857 2.86 0.484 9.3762 2.5179 0.3701 1.88 0.600 3.9568 1.5924 0.7765 2.88 0.483 9.5101 2.5405 0.3639 1.90 0.596 4.0450 1.6079 0.7674 2.90 0.481 9.6450 2.5632 0.3577 1.92 0.592 4.1341 1.6236 0.7581 2.92 0.480 9.7808 2.5861 0.3517 1.94 0.588 4.2242 1.6394 0.7488 2.94 0.479 9.9175 2.6091 0.3457 1.96 0.584 4.3152 1.6553 0.7395 2.96 0.478 10.0552 2.6322 0.3398 1.98 0.581 4.4071 1.6713 0.7302 2.98 0.476 10.1938 2.6555 0.3340 2.00 0.577 4.5000 1.6875 0.7209 3.00 0.475 10.3333 2.6790 0.3283

Page 253: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

249

M1 M2 p2/p1 T2/T1 po2/po1 3.02 0.474 10.4738 2.7026 0.3227 3.04 0.473 10.6152 2.7264 0.3172 3.06 0.472 10.7575 2.7503 0.3118 3.08 0.471 10.9008 2.7744 0.3065 3.10 0.470 11.0450 2.7986 0.3012 3.12 0.468 11.1901 2.8230 0.2960 3.14 0.467 11.3362 2.8475 0.2910 3.16 0.466 11.4832 2.8722 0.2860 3.18 0.465 11.6311 2.8970 0.2811 3.20 0.464 11.7800 2.9220 0.2762 3.22 0.463 11.9298 2.9471 0.2715 3.24 0.462 12.0805 2.9724 0.2668 3.26 0.461 12.2322 2.9979 0.2622 3.28 0.461 12.3848 3.0234 0.2577 3.30 0.460 12.5383 3.0492 0.2533 3.32 0.459 12.6928 3.0751 0.2489 3.34 0.458 12.8482 3.1011 0.2446 3.36 0.457 13.0045 3.1273 0.2404 3.38 0.456 13.1618 3.1537 0.2363 3.40 0.455 13.3200 3.1802 0.2322 3.42 0.454 13.4791 3.2069 0.2282 3.44 0.454 13.6392 3.2337 0.2243 3.46 0.453 13.8002 3.2607 0.2205 3.48 0.452 13.9621 3.2878 0.2167 3.50 0.451 14.1250 3.3150 0.2129 3.52 0.450 14.2888 3.3425 0.2093 3.54 0.450 14.4535 3.3701 0.2057 3.56 0.449 14.6192 3.3978 0.2022 3.58 0.448 14.7858 3.4257 0.1987 3.60 0.447 14.9533 3.4537 0.1953 3.62 0.447 15.1218 3.4819 0.1920 3.64 0.446 15.2912 3.5103 0.1887 3.66 0.445 15.4615 3.5388 0.1855 3.68 0.445 15.6328 3.5674 0.1823 3.70 0.444 15.8050 3.5962 0.1792 3.72 0.443 15.9781 3.6252 0.1761 3.74 0.443 16.1522 3.6543 0.1731 3.76 0.442 16.3272 3.6836 0.1702 3.78 0.441 16.5031 3.7130 0.1673 3.80 0.441 16.6800 3.7426 0.1645 3.82 0.440 16.8578 3.7723 0.1617 3.84 0.440 17.0365 3.8022 0.1589 3.86 0.439 17.2162 3.8323 0.1563 3.88 0.438 17.3968 3.8625 0.1536 3.90 0.438 17.5783 3.8928 0.1510 3.92 0.437 17.7608 3.9233 0.1485 3.94 0.437 17.9442 3.9540 0.1460 3.96 0.436 18.1285 3.9848 0.1435 3.98 0.436 18.3138 4.0158 0.1411 4.00 0.435 18.5000 4.0469 0.1388

Page 254: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

250

III (آ اIر5 ن ا-ح?�

M T/T* p/p* po/po* ϕϕϕϕ* 0.02 1.1999 54.7701 28.9421 1778.450 0.04 1.1996 27.3817 14.4815 440.3522 0.06 1.1991 18.2509 9.6659 193.0311 0.08 1.1985 13.6843 7.2616 106.7182 0.10 1.1976 10.9435 5.8218 66.9216 0.12 1.1966 9.1156 4.8643 45.4080 0.14 1.1953 7.8093 4.1824 32.5113 0.16 1.1939 6.8291 3.6727 24.1978 0.18 1.1923 6.0662 3.2779 18.5427 0.20 1.1905 5.4554 2.9635 14.5333 0.22 1.1885 4.9554 2.7076 11.5961 0.24 1.1863 4.5383 2.4956 9.3865 0.26 1.1840 4.1851 2.3173 7.6876 0.28 1.1815 3.8820 2.1656 6.3572 0.30 1.1788 3.6191 2.0351 5.2993 0.32 1.1759 3.3887 1.9219 4.4467 0.34 1.1729 3.1853 1.8229 3.7520 0.36 1.1697 3.0042 1.7358 3.1801 0.38 1.1663 2.8420 1.6587 2.7054 0.40 1.1628 2.6958 1.5901 2.3085 0.42 1.1591 2.5634 1.5289 1.9744 0.44 1.1553 2.4428 1.4740 1.6915 0.46 1.1513 2.3326 1.4246 1.4509 0.48 1.1471 2.2313 1.3801 1.2453 0.50 1.1429 2.1381 1.3398 1.0691 0.52 1.1384 2.0519 1.3034 0.9174 0.54 1.1339 1.9719 1.2703 0.7866 0.56 1.1292 1.8975 1.2403 0.6736 0.58 1.1244 1.8282 1.2130 0.5757 0.60 1.1194 1.7634 1.1882 0.4908 0.62 1.1143 1.7026 1.1656 0.4172 0.64 1.1091 1.6456 1.1451 0.3533 0.66 1.1038 1.5919 1.1265 0.2979 0.68 1.0984 1.5413 1.1097 0.2498 0.70 1.0929 1.4935 1.0944 0.2081 0.72 1.0873 1.4482 1.0806 0.1721 0.74 1.0815 1.4054 1.0681 0.1411 0.76 1.0757 1.3647 1.0570 0.1145 0.78 1.0698 1.3261 1.0471 0.0917 0.80 1.0638 1.2893 1.0382 0.0723 0.82 1.0578 1.2542 1.0305 0.0559 0.84 1.0516 1.2208 1.0237 0.0423 0.86 1.0454 1.1889 1.0179 0.0310 0.88 1.0391 1.1583 1.0129 0.0218 0.90 1.0327 1.1291 1.0089 0.0145 0.92 1.0263 1.1011 1.0056 0.0089 0.94 1.0198 1.0743 1.0031 0.0048 0.96 1.0132 1.0485 1.0014 0.0021 0.98 1.0066 1.0238 1.0003 0.0005 1.00 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000

Page 255: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

251

IV رارة� ل ا*?Fن :^ ا اIر5M To/To

* T/T* p/p* po/po

* 0.02 0.0019 0.0023 2.3987 1.2675 0.04 0.0076 0.0092 2.3946 1.2665 0.06 0.0171 0.0205 2.3880 1.2647 0.08 0.0302 0.0362 2.3787 1.2623 0.10 0.0468 0.0560 2.3669 1.2591 0.12 0.0666 0.0797 2.3526 1.2554 0.14 0.0895 0.1069 2.3359 1.2510 0.16 0.1151 0.1374 2.3170 1.2461 0.18 0.1432 0.1708 2.2959 1.2406 0.20 0.1736 0.2066 2.2727 1.2346 0.22 0.2057 0.2445 2.2477 1.2281 0.24 0.2395 0.2841 2.2209 1.2213 0.26 0.2745 0.3250 2.1925 1.2140 0.28 0.3104 0.3667 2.1626 1.2064 0.30 0.3469 0.4089 2.1314 1.1985 0.32 0.3837 0.4512 2.0991 1.1904 0.34 0.4206 0.4933 2.0657 1.1822 0.36 0.4572 0.5348 2.0314 1.1737 0.38 0.4935 0.5755 1.9964 1.1652 0.40 0.5290 0.6151 1.9608 1.1566 0.42 0.5638 0.6535 1.9247 1.1480 0.44 0.5975 0.6903 1.8882 1.1394 0.46 0.6301 0.7254 1.8515 1.1308 0.48 0.6614 0.7587 1.8147 1.1224 0.50 0.6914 0.7901 1.7778 1.1141 0.52 0.7199 0.8196 1.7409 1.1059 0.54 0.7470 0.8469 1.7043 1.0979 0.56 0.7725 0.8723 1.6678 1.0901 0.58 0.7965 0.8955 1.6316 1.0826 0.60 0.8189 0.9167 1.5957 1.0753 0.62 0.8398 0.9358 1.5603 1.0682 0.64 0.8592 0.9530 1.5253 1.0615 0.66 0.8771 0.9682 1.4908 1.0550 0.68 0.8935 0.9814 1.4569 1.0489 0.70 0.9085 0.9929 1.4235 1.0431 0.72 0.9221 1.0026 1.3907 1.0376 0.74 0.9344 1.0106 1.3585 1.0325 0.76 0.9455 1.0171 1.3270 1.0278 0.78 0.9553 1.0220 1.2961 1.0234 0.80 0.9639 1.0255 1.2658 1.0193 0.82 0.9715 1.0276 1.2362 1.0157 0.84 0.9781 1.0285 1.2073 1.0124 0.86 0.9836 1.0283 1.1791 1.0095 0.88 0.9883 1.0269 1.1515 1.0070 0.90 0.9921 1.0245 1.1246 1.0049 0.92 0.9951 1.0212 1.0984 1.0031 0.94 0.9973 1.0170 1.0728 1.0017 0.96 0.9988 1.0121 1.0479 1.0008 0.98 0.9997 1.0064 1.0236 1.0002 1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Page 256: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

252

�زـــار:

A ,ا(#=�ح Ca 6���#)ا -W)ا >���� CD ,9��5ا >���� cf ,@ ����< ا9��5, ا('.CL [%2)ا >���� cP ا(ح2ارة ا(����, �� ^�1ت ا([�cV a'�1ت ا(ح^ ا(ح2ارة ا(����, ��D ,9��5ا D 6��@2b 2/9 d 2/9 e ,�.eا ا(/�9, ا(f I�;��fا5ح)?�ك %6 ا >����

Fr د %2ود � g ,�;ا('�ذ ,.'�

H, h �#b k ,��no)ع ا�W4ار b�(� k ,����)1, ا(ح2ارة ا=� L ل�q LL ,ح�r�Wار@, ا(ص �qل ا(/1-, ا('LT 2ةr�#)ار@, ا �qل ا(/1-, ا('m ,.(?)ا

m.

ل 2b@�ن ا(?).,��

M د ��خ � n ,���y)ت %6 ا�W.)ا N ت�W.)�9-,ا %6 ا(p ا([�P رة ا(-q 6#'ل ا(=2@�ن ا(ح ��

Q.

ل ا�)-�ل ا(ح2ارة��

R ز��ا( �;�^ R >�W)رد ا

Re �)��@د ر � s ,�1=�)ا ,%�y?)ا T ة ا()#�ر حT , ا(ح2ارةدر U ,�2b u )2�,�2آ1, ا= F�'456 ا% x

Page 257: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

253

v ,�2=)حص., ا� v �2,(2�آ1, ا= F�'456 ا% y V a'ا(ح W ح># w )2�,�2آ1, ا= F�'456 ا% z

Wt ا(�زن z 6bع ا(2أ�W4ا5ر τ 6د ا(-ص��ا5 Γ 2@و ا()ρ ,%�y?)ا µ ,����@ ا(.�و, ا(ν ,�4�#��?), اا(.�و ψ ب��=� دا(, ا5ϕ دا(, ا(?#�ن ϕ اح)?�ك >���� α زاو@, ا(�'�م δ ,-1/)ا �#b,@ار ا('Π ي ار 5 ;�-�

Page 258: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

254

:را�^

رL6 ا(L ار�^ ار�^

Massey, B Mechanics of Fluids van Reinhold

1

Hughes, W, Brighton, J Theory and Problems of Fluid Dynamics Schaum

2

Rogers, Mayhew Engineering Thermodynamics, Work and Heat Transfer Longman

3

Langhoar, H Dimensional Analysis and the Theory of Modeling John Wiley

4

Goldstein, S Modern Developments in Fluid Dynamics Dover Publications

5

Schlichting, H Boundary Layer Theory McGraw-Hill

6

Anderson, J D, Computational Fluid Dynamics, McGraw-Hill 7 Hinze, J Turbulence McGraw-Hill

8

Glauert, H Elements of Aerofoil and Airscrew Theory Cambridge University Press

9

Streeter, V Fluid Dynamics McGraw-Hill

10

A. H. Shapiro Dynamics and thermodynamics of compressible fluid flow. Vol.1, Parts I and II Ronald

11

Leipman, H, Roshko, A Elements of Gas Dynamics International Textbooks

12

Owczarek, J Fundamentals of Gas Dynamics International Textbooks

13

Bolton,W Engineering Instrumentation & control Butterworths.

14

www.cfd-online.com/resources/ 15

Page 259: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

255

ب ر6 م ارا�^أQ ا

1,2 1 1،2،3 2

4 3 1،5 4 1،2 5

1،2،14 6 1،2،3 7

6,7,15 8 8،6 9

9،6 10 13،11،12 11

Page 260: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

256

ت��cص :ع"L ا) (Eي–8ر���"Fا (

AE ا-F"���ي* ا��� اعر��E ا

stress د��ا apparent turbulent stress د ��ري ��ه2ي��ا Reynolds stresses �)��@دات ر��ا one dimensional يأح�د ا(�1friction اح)?�ك roughness height ,��no)ع ا�W4ار displacement ,ازاح stability 2ار-(bا continuity ,@2ار#(bا cylinder ,� أb/�اdrag ,9ا�� skin drag ,@ ا��9, .pressure drag ,�/�� ,9ا�� branched pipes �2,أW(� I�;�� pipe �1ب� أpitot-static tube ا(ح2آ 6أ��1ب ا([�heat transfer ل ح2ارة�-(� اcompressible q��]� 6اmodel ذج�#� أstall ر���� اbarometer 2(رو��; span ع�; Prandtl >(� ;2اBernouli 6)��2; dimensional ي �; Blasius ز@�س:; Bourdon ردون�; Boussinesq �=���b�; entropy @ 14 Computational fluid dynamics (CFD) I�=4ح[rت ح م (ح2آ, ا(#�ا( dimensional analysis ي 4ح.�< ;�circulation 2@و 4 lubrication ��)�4 hydrodynamic lubrication 6�4(�� ح2آ acceleration 4=�رع similarity &;�n4

Page 261: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

257

dynamic similarity 6ح2آ &;�n4 physical similarity 6r�@��% &;�n4 geometric similarity 6b �n4;& ه�differential .��W46 discretization �@2W4 integral .��?46 iterative ي4?2ر equilibrium �4ازن current 4��ر three dimensional ^:^6 ا(�1two dimensional 1)6 اr��^ � molecular 6�@� aerofoil, airfoil  �� atmosphere � container ,@ح�و control volume a?ا()ح a'ح Finite volumes دة ح'�م �حturbulence intensity ة ا()#�ر حspecific heat ,���� ح2ارة critical ح2ج dynamic 6ح2آ Thermodynamics ,@ا(ح2آ�, ا(ح2ار Fluid dynamics ح2آ�[rا(#�ا , sensitivity ,�b�=ح throat �.ح convective ,�.#ح helicopter ,ح�ا� streamline ب��=� ا5e error ¡/e stream function دا(, ا(=2@�ن potential function دا(, ا(?#�ن propeller د%�ع thrust, propulsion [%د accuracy ,9د rotation دوران subsonic 64دون ص� steady I�4ر lift [%ر stagnation رآ�د angle of attack زاو@, ا(�'�م Mach angle زاو@, ��خ

Page 262: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

258

downstream >%�b suction Iحb Speed of sound �2, ا(ص�تb flow 2@�نb Rayleigh flow 6.@2@�ن رb Fanno flow �� 2b@�ن %�Potential flow �@2bن آ#�ن Couette flow � 2b@�ن آ�و@non-Newtonian flow 6��4��� 2b@�ن 5Uniform flow @2b�aA(�� ن Newtonian flow 6��4��� 2b@�ن static 6��?b head �#b total head 6.آ �#b Swammee 6ا��b choked 2¤ق rocket ص�روخ Normal shock ,� ةص���(� oblique shock �, ��r.,صdownstream ص��laminar 7حr�Wص valve مص�# sonic 64ص� compressor ¦�� pressure �� dynamic pressure 6ح2آ �� exit pressure 62وe �� stagnation pressure رآ�دي �� gauge pressure 6b��9 �� absolute pressure �./� �� back pressure �� ��6r� energy ,9�q internal energy ,�.e9, دا�q boundary layer ,@ار ,-1q Combined boundary layer B�'ار@, ه ,-1q prototype 6rا 2qاز ;numerical methods ,@د 2qق �buoyancy �Wq Reynolds number �)��@د ر � Froude number د %2ود � Mach number د ��خ �

Page 263: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

259

moment م�� Finite elements 2دة���ص �حturbine ,W�� gas ز�¦ perfect gas >ز آ���¦ combustion chamber 2%, ا5ح)2اق¦ unsteady I�42 ر�¦ vacuum 2اغ% Finite differences دة %2وق �حseparation >ص% loss -% venturi ري�n�% minor losses ,����� %�ا9supersonic 64ق ص��% Von Karman ن�% Bآ�ر� orifice ,ه�% power رة 9 shear ©9 hydraulic diamater b 2/96��@2 conservation laws ªWا(ح B�� �9اbody force ,�#= �9ة surface force ,ح�/b �9ة gauge b��96 mass ,.(آ relative mass ,�1=� آ)., density ,%�yآ relative density ,�1=� ,%�yآ adiabatic a�Aآ efficiency ءة�Wآ momentum آ#�, ا()ح2ك continuum ,.آ#�, �)ص Kuta-Joukowski �4آ�%=?6@ -آ�� elbow آ�ع Colebrooke-White آ�(21وك–� وا@isotropic 65 ا4'�ه incompressible 7q��]� 5 اdimensionless ي �; 5 isentropic ى @ 14 5 irrotational 6� 5 دوراinviscous, inviscid 7�) 5 convergent 5م

Page 264: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

260

convergent-divergent 2-5م¤�� viscous, viscid 7�) dynamic viscosity ,, ح2آ�و�) Apparent viscosity ,@2, ��هو�) kinematic viscosity ,�4�#, آ��و�) plate ح�) turbulent 2r�� fluid [r�� inequality ,�@�1(� flux vector ا(=2@�ن &'(� symmetric >^�#(� ideal 6)�y� duct 2ى'� enthalpy ح)�ى ح2اري� jet engine ث�W� �ح2ك bearing >#ح� Mach cone 2وط ��خo� metacentre  2آ� ا()¡ر� buoyancy center �W/)2آ� ا� couple دوج�� lubricant �)�� free path 2ر ح�=� reservoir دع�(=� sink Iص� pump ,o]� Bourdon gauge ط��ردون�[�; manometer 6.r�b ط��]� absolute ��./ Laplace equations د5ت 5;:س��� Navier-Stokes equations 2�%�� b)�آ°-���د5ت Continuity equation 2#(b5ا ,)ار@,���د Darcy formula 6bد(, دار��� friction factor, ϕ ا5ح)?�ك >����ϕ friction factor, f ا5ح)?�ك >����f Skin-drag coefficient ,9��5ا >����,@ ا('.total-drag coefficient ,9��5ا(?.����6< ا flow coefficient ا(=2@�ن >���� correction factor 4صح >���� � volume flow rate ل ا(=2@�ن ا(ح'6# ��mass flow rate 6.(?)ل ا(=2@�ن ا �� insulated ول���

Page 265: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

261

constriction flow meters ,�ا(=2@�ن ا(�ا °�@�-� scalar اري -� paraboloid ²%�?� [/-� hydrometer ,%�y?)س ا��-� piston °1?� gradient ل�#� source [1�� uniform aA(�� system ,��A�� nozzle ³W�� relative weighing ,@ ��از�, حexpansion waves ,@د ���ت #4wave ,�� turbulence ر�� diffuser, divergent 2¤�� specific-heat ratio ,����)1, ا(ح2ارة ا=� aspect ratio ,���; ,1=� metacentric radius 6حص´ ا(-/2 ا()¡ر� system م�A� SI units م�A� (�ح ات ا(��(#6 اdivergence theorem �2A@, ا()��1 Buckingham theorem م���2@, ;?�A� Froude theorem 2@, %2ودA� jet ³W� ramjet 6/¦�]4 ³W� crude oil م�e W� stall point ر�����-/, ا5 reference point ,��2� ,/-� modeling #�,H chord 24و

Page 266: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

262

ت��cص�fرس و :ع"L ا ) 8رE)-اF"���ي (

(Eعر AE ا* �ا��� ا-F"���5 ا

�./� absolute �./� �� absolute pressure

acceleration 4=�رع accuracy د9,

a�Aآ adiabatic  �� aerofoil, airfoil

angle of attack زاو@, ا(�'�م apparent turbulent stress ي ا��د ��ري ��ه2

Apparent viscosity (�و, ��ه2@,,���; ,1=� aspect ratio

� atmosphere 6r��� �� back pressure

barometer ;�رو�)2 bearing �ح#<6)��2; Bernouli

Blasius ;:ز@�س body force �9ة =#�, ار@, ,-1q boundary layer

Bourdon ;�ردون Bourdon gauge ;�ردون�[��ط

�=���b�; Boussinesq ,�2W(� I�;�� branched pipes أ�2A@, ;?����م Buckingham theorem

�Wq buoyancy �W/)2آ� ا� Buoyancy center

choked ¤2ق chord و24

4 و@2 circulation Colebrooke-White وا@�–آ�(21وك

B�'ار@, ه ,-1q Combined boundary layer combustion chamber ¦2%, ا5ح)2اق

q��]� compressible 6ا¦�� compressor

, ا(#�اr] �ح2آ �,)ح=�1ا(

Computational fluid dynamics

ªWا(ح B�� conservation laws �9ا

Page 267: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

263

constriction flow meters �-�@�° ا(=2@�ن ا(�ا�, container ح�و@,

continuity اb)#2ار@, Continuity equation ���د(, اb5)#2ار@,

continuum آ#�, �)ص.,a?ا()ح a'ح control volume

convective ح#.�, convergent 5م��¤2-5م convergent-divergent

correction factor ����< 4صح� � 2b Couette flow@�ن آ�و@

couple ��دوج critical ح2ج W� �e crude oilم

current 4��ر,� cylinder أb/�ا

6bد(, دار��� Darcy formula ,%�yآ density .��W46 differential 2¤�� diffuser, divergent ي�; dimensional

dimensional analysis 4ح.�< ;� ي5 ;� ي dimensionless

�@2W4 discretization displacement ازاح,

A� divergence theorem 2@, ا()��1>%�b downstream downstream ص�� drag ا��9,

duct �'2ى dynamic ح2آ6

ح2آ6�� dynamic pressure �n4 dynamic similarity;& ح2آ6 dynamic viscosity (�و, ح2آ�,

efficiency آ�Wءة elbow آ�ع

,9�q energy enthalpy �ح)�ى ح2اري

@ 14 entropy equilibrium �4ازن¡/e error

Page 268: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

264

2eو6�� exit pressure expansion waves ���ت #4 د@,

�� 2b Fanno flow@�ن %� Finite differences %2وق �ح دة Finite elements أ�[�ء �ح دة Finite volumes ح'�م �ح دة

2b flow@�ن flow coefficient ����< ا(=2@�ن

��[r fluid Fluid dynamics , ا(#�اr]�ح2آ

flux vector �)'& ا(=2@�ن free path �=�ر ح2

friction اح)?�ك ����ϕ friction factor, ϕ< ا5ح)?�ك ����f friction factor, f< ا5ح)?�ك

د %2ود� Froude number �2A@, %2ود Froude theorem

gas ¦�زb��96 gauge

��9 ��6b gauge pressure 6b �n4 geometric similarity;& ه�

gradient �#�ل�#b head

heat transfer ا�)-�ل ح2ارة helicopter ح�ا�,

6��@2b 2/9 hydraulic diamater hydrodynamic lubrication �4(�� ح2آ6

,%�y?)س ا��-� hydrometer 6)�y� ideal

7q��]� incompressible 5 ا,�@�1(� inequality insulated ���ول

.��?46 integral ,�.e9, دا�q internal energy

7�) 5 inviscous, inviscid 6� irrotational 5 دورا ى@ 14 5 isentropic

isotropic 5 ا4'�ه6 iterative ي4?2ر³W� jet

jet engine �ح2ك ��Wث

Page 269: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

265

kinematic viscosity (�و, آ���4�#, Kutta - Joukowski �آ�%=?6@ -آ��4

laminar صr�Wح7 Laplace equations ���د5ت 5;:س

lift ر%] -% loss

��)� lubricant ��)�4 lubrication

Mach angle زاو@, ��خ 2o� Mach coneوط ��خ

د ��خ� Mach number 6.r�b ط��]� manometer

mass آ)., mass flow rate (=2@�ن ا(?).��6 ل ا

metacentre �2آ� ا()¡ر �ص´ ا(-/2 ا()¡رح6 metacentric radius

,����� minor losses %�ا9 model أ�#�ذج,H#� modeling 6�@� molecular

moment ��م ا( momentum آ#�, ا()ح2ك2�%�� b Navier-Stokes equations)�آ°-���د5ت

�4�2b6@�ن ��� Newtonian flow 6��4��� 2b non-Newtonian flow@�ن 5

,� ةص���(� Normal shock ³W�� nozzle

2q numerical methodsق � د@,,.r�� ,� oblique shock ص

one dimensional ا(�1 يأح�د orifice %�ه,

paraboloid ا(#-/] ا(#?�²% perfect gas ¦�ز آ��<�% &;�n46r�@� physical similarity

pipe أ��1ب°1?� piston

pitot-static tube أ��1ب ا([� ا(ح2آ7 plate (�ح

2b Potential flow@�ن آ#�ن potential function دا(, ا(?#�ن

9 رة power

Page 270: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

266

>(� Prandtl ;2ا�� pressure

pressure drag ا��9, ��/�, propeller د%�ع

6rا 2q prototypeاز ;,o]� pump

6/¦�]4 ³W� ramjet 2b Rayleigh flow@�ن ر@.6

,��2� ,/-� reference point ,�1=� ,%�yآ relative density ,�1=� relative mass آ).,

,@ relative weighing ��از�, ح reservoir �=)�دع

د ر@��(�� Reynolds number Reynolds stresses ا��دات ر@��(�

rocket ص�روخ rotation دوران

,��no)ع ا�W4ار roughness height اري-� scalar

,�b�=ح sensitivity separation %ص<©9 shear

SI units ا(��Aم ا(��(#6 (.�ح ات&;�n4 similarity Iص� sink

,@ skin drag ا��9, . Skin-drag coefficient ا('. @,����< ا9��5,

sonic ص�64[1�� source

span ;�ع,���� specific heat ح2ارة

�=1, ا(ح2ارة ا(����, specific-heat ratio �2b Speed of sound, ا(ص�ت

stability اb)-2ار stagnation رآ�د

رآ�دي�� stagnation pressure stall ا����ر

�-/, ا5����ر stall point 6��?b static

I�4ر steady stream function دا(, ا(=2@�ن

Page 271: كتاب ميكانيكا الموائع .. محمد هاشم صديق

267

ا5�=��بe streamline stress ا��د

subsonic دون ص�64 Iحb suction

supersonic %�ق ص�64 surface force �9ة b/ح�,

�b Swammeeا�6>^�#(� symmetric

,��A�� system ��Aم system

Thermodynamics ا(ح2آ�, ا(ح2ار@, three dimensional ^:^6 ا(�1

throat ح.� thrust د%] propulsion د%]

� آ.6#b total head total-drag coefficient ا(?.����6< ا9��5,

,W�� turbine turbulence ��ر

turbulence intensity ح ة ا()#�ر2r�� turbulent

6r��^ two dimensional ا(�1aA(�� uniform

@2b�aA(�� ن Uniform flow I�42 ر�¦ unsteady

vacuum %2اغ valve #�مص

�n�% venturiري7�) viscous, viscid

ل ا(=2@�ن ا(ح'6#�� volume flow rate Bن آ�ر��% Von Karman

,�� wave