تمثيل هايزنبرغ في ميكانيكا الكم

2محاضرات في ميكانيكا الكم الدكتور محمد أحمد آلجاللي

المحاضرة الرابعة

AL-Jalali 24/ 07/ 1429

قسم الفيزياء -كلية المعلمين - جامعة الطائف– (المحاضرة الرابعة) الدكتور محمد أحمد آلجاللي 2محاضرات ميكانيكا الكم

2

تمثيل هايزنبرغ في ميكانيكا الكم

Heisenberg approach of quantum mechanics

أو

(التمثيل المصفوفي في ميكانيكا الكم )

(Matrix formulation of quantum mechanics)

المحتوى:

مقدمة • موجز عن المصفوفات • التمثيل المصفوفي للمعادالت في ميكانيكا الكم • أمثلة ونتائج •

مقدمة: .1

يدرس ميكانيكا الكم من خالل تمثيلين أحدهما ميكانيكا شرودينجر من خالل المعادلة التفاضلية المسماة معادلة شرودينجر التفاضلية ،واآلخر من خالل ميكانيكا هايزنبرغ التي تكافئ تمثيل

شرودينجر ولكن بلغة المصفوفات،تمثل الدالة الموجية في هذا التمثيل بمصفوفة ذات عمود واحد ،وتوصف الدالة الموجية المرافقة بمصفوفة ذات صف واحد،ويمثل المؤثر بمصفوفة مربعة تتوافق

مع عدد عناصر المصفوفة ذات العمود وذات الصف المذكورين أعاله.وبما أننا نتعامل مع الدوال الكم بلغة المصفوفات(ميكانيكا هايزنبرغ)،وفي الممارسة الحقيقة لميكانيكا الكم فإننا نستخدم التمثيلين

في آن واحد. موجز عن المصفوفات: .2

يشترط بالطالب أن يكون على معرفة مسبقة بجبر المصفوفات ولذلك سأسرد أهم النقاط لتي نحتاجها هنا من المصفوفات:

األعمدةn الصفوف(االسطر) و m حيث m x nشكل المصفوفة من المرتبة )1

( )

11 12 13 1

21 22 2

31 33 3

1 2

.

. .. .

n

n

jkn

m m mn

a a a aa a a

A aa a a

a a a

= =


3

الجمع والطرح )2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

jk jk jk jk jk

jk jk jk jk jk

A B C

a b a b C

A B D

a b a b D

+ =

+ = + =

− =

− = − =

ضرب المصفوفة بعدد )3

( ) ( )jk jkA a bλ λ= = ضرب(جداء) المصفوفات شريطة أن يكون عدد األعمدة في المصفوفة األولى يساوي عدد )4

الصفوف في المصفوفة الثانية،حيث يتم ضرب السطر األول من المصفوفة األولى في العمود االول من المصفوفة الثانية للحصول على العنصر األول في المصفوفة الجديدة(ضرب كل

عنصرين متقابلين ثم الجمع مع مضروب العنصرين اآلخرين حتى تتم كامل العملية للحصول على العنصر األول في المصفوفة الجديدة )وهكذا لبقية العناصر.

( )( )( )jk ki kiAB C a b c= = = كل عنصر من عناصر المصفوفة الجدية يخضع للعالقة:

1

n

ki k ic a b=

=∑

القوانين التالية محققة: )5( )

( )

2

2 3 4

( ) ( )

.......

A B C AB AC

B C A BA CAA BC AB CAA AA A A A

+ = +

+ = +

=

=

= =

تبديل الصفوف إلى أعمدة واألعمدة إلى صفوف بالكامل المصفوفة هو (Transposed)مدور )6Aفي المصفوفة المدروسة ويرمز لها عادة P

TP.إال إذا أشير إلى غير ذلك في بعض الكتب

(skew –symmetrical) : والمتخالفة التماثل (symmetrical)المصفوفات المتماثلة )7A=APالمصفوفة المتماثلة يكون:

TP أما المتخالفة تجب أن تحقق الشرط aRjkR=-aRkjR والمتخالفة

التماثل يكون عناصر قطرها الرئيس صفرا.مثل هذه المصفوفات يجب أن تكون مربعة. يتم فيها استبدال كل عنصر (conjugate matrices)المرافق المركب (العقدي) لمصفوفة )8

.i- بـ i حيث يستبدل كل Aمركب(عقدي) بمرافقه العقدي ويرمز للمصفوفة الناتجة عادة


4

شرطها أن يكون مدور مرافق المصفوفة يساوي (Hermitian)المصفوفة الهرميتية )9 المصفوفة األصلية.

TA A= و الهرميتية المتخالفة شرطها:

TA A= −

.j=kالقطر الرئيس في المصفوفة هو الذي يحتوى العناصر التي يكون فيها )10 أثر المصفوفة هو مجموع عناصر القطر الرئيس. )11مصفوفة الوحدة هي المصفوفة التي عناصر قطرها الرئيس يساوي الواحد وباقي العناصر )12

.Iصفر ورمزها المصفوفة الصفرية وفيها كل عناصر المصفوفة تساوي الصفر . )13 بأنها مجموع حاصل ضرب ∆المحددة هي القيمة العددية للمصفوفة وتعرف قيمة المحددة )14

وتحسب عادة وفق مفكوك ARjkRعناصر صف(عمود)في المعامل المرافق للعنصر المصفوفي البالس :

( )1

1 min

n

jk jkk

j kjk jk

a A

A or of the element a=

+

∆ =

= −

∑

معكوس(مقلوب) مصفوفة:وتتم عبر عدة خطوات : )15

a( نوجد مصفوفة المعامالت المرافقة للمصفوفة األصلية( )jkA.

b( نأخذ مدور مصفوفة المعامالت المرافقة( )TjkA. c( نحسب محدد المصفوفة األصلية∆. d( :عندئذ يكون معكوس المصفوفة معطى بالعالقة التالية

( )1

T

jkAA − =

∆

e( جداء معكوس المصفوفة في المصفوفة األصلية يساوي مصفوفة الوحدةA P

-1P A= I.

المصفوفة المتعامدة شرطها مدور المصفوفة يساوي معكوسها أو جداء مدور المصفوفة في )16 المصفوفة االصلية يساوي مصفوفة الوحدة.

1T TA A A A I−= ⇒ = شرطها مدور مرافقها يساوي إلى معكوسها أي:(unitary)المصفوفة الوحدية )17


5

1T TA A A A I−= ⇒ = ويبدو أنها تخص المصفوفة المركبة وإذا كانت المصفوفة الوحدية حقيقية فإنها تكون متعامدة.

يمكن تمثيل المصفوفات كمتجهات وخصوصا عندما نطبق شرط تعامد المتجهات( وهو )18 يهمنا في ميكانيكا الكم ) مثال :

اذا كان لدينا متجهتان متعمدتان فان :

( )

1 1 2 2 3 3

1 1

2 2

3 3

1

1 2 3 2 1 1 2 2 3 3

3

0

0

1

0

T

Tj k jk

jk

jk

AB a b a b a ba b

A a B ba b

bA B a a a b a b a b a b

borX Xj kj k

δ

δ

δ

= + + =

= =

= = + + =

=

= ⇒ =

≠ ⇒ =

مجهولn معادلة و nحلول مجموعة من المعادالت الخطية ذات )191

1 21 2, ,...... n

n

AX R X A R

x x x

−= ⇒ =∆ ∆ ∆

= = =∆ ∆ ∆

القيم الذاتية (المسموحة) والمتجهات الذاتية لمصفوفة(مهمة جدا في ميكانيكا الكم): )20 فإننا نستطيع كتابة الجداء x ومصفوفة عمودية n x n من المرتبة Aعندما يكون لدينا مصفوفة

كما يلي:


6

( )

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

3 3

1 2

11 12 1 1

21 22 2 2

3

1 2

. .

. .

. .. .

. .

0. .. .

. .

0

n

n

n n nn n n

n

n

n n nn n

AX Xa a a x xa a a x x

x x

a a a x x

a a a xa a a x

x

a a a xorA I X

λ

λ

λλ

λ

λ

=

= ⇒

− − = −

− = ⇒ ( )0 0if X A Iλ≠ ⇒ − =

) حل المعادلة األخيرة ) 0A Iλ− ،وجذور n يعطي معادلة كثير حدود من المرتبة =تلك المعادلة تسمى القيم الذاتية (المسموحة) للمصفوفة ،ويناظر كل قيمة ذاتية حال ليس صفريا

تسمى بالعادلة λ يسمى متجها ذاتيا ينتمي للقيمة المميزة،والمعادلة التي تعطي قيم X≠0لـ المميزة.

مثال: أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة التالية:


7

1

2

3

1 1

2 2

3 3

1

2

3

3 2

5 7 50 4 12 8 3

5 7 50 4 12 8 3

5 7 50 4 1 02 8 3

5 7 50 4 1 02 8 3

6 11 6 01,2,3

xA X x

x

x xx xx x

xxx

λ

λλ

λ

λλ

λ

λ λ λλ

− = − = −

− − = ⇒ −

− − − − = ⇒ − −

− − − − = ⇒ − −

− + − = ⇒=

وإليجاد المتجهات الذاتية نحل المعادلة العامة ونعوض فيها القيم الذاتية كل على حدة لنحصل على المتجهة الذاتية الموافقة لكل قيمة ذاتية كما يلي:

i. عندماλ=1:نجد

1

2

3

1

2

3

1 2 3

2 3

1 2 3

3 2

1 2

1 2

2 2 2 1

3 2

15 7 5

0 4 1 02 8 3

5 1 7 50 4 1 1 02 8 3 1

4 7 5 00 3 02 8 4 0

32

2 21

3 3

xxx

xxx

x x xx x

x x xx xx x

x xx x x ux x

λλ

λλ

=

− − − − = − −

− − − − = ⇒ − −

+ − =+ − =+ − = ⇒==

= = ⇒ =

213


8

ii. 2عندماλ=:نجد

1

2

3

1

2

3

1 2 3

2 3

1 2 3

3 2

1 2

1 2

2 2 2 2

3 2

25 7 5

0 4 1 02 8 3

5 2 7 50 4 2 1 02 8 3 2

3 7 5 00 2 02 8 5 0

22

1 11

2 2

xxx

xxx

x x xx x

x x xx xx x

x xx x x ux x

λλ

λλ

=

− − − − = − −

− − − − = ⇒ − −

+ − =+ − =+ − = ⇒==

= = ⇒ =

12

iii. عندماλ=3: نجد


9

1

2

3

1

2

3

1 2 3

2 3

1 2 3

3 2

1 2

1 2

2 2 2 2

3 2

35 7 5

0 4 1 02 8 3

5 3 7 50 4 3 1 02 8 3 3

2 7 5 00 02 8 6 0

1 111

xxx

xxx

x x xx x

x x xx xx x

x xx x x ux x

λλ

λλ

=

− − − − = − −

− − − − = ⇒ − −

+ − =+ − =+ − = ⇒== −

− − − = = ⇒ =

11

ولتعيين مصفوفة المتجهات الذاتية المعايرة(المنظمة) نأخذ مربع أعداد كل متجهة ذاتية ثم نجمعها

ونقسم كل عنصر من عناصر المتجهة على الجذر التربيعي للجمع فنحصل على مصفوفة المتجهات الذاتية كما يلي:


10

1 2 31 1 11 2 32 2 21 2 33 3 3

2 1 114 6 31 1 114 6 33 2 114 6 3

u u uU u u u

u u u

U

=

−

=

تحويل المصفوفات وجعلها قطرية: .21 نتبع الخطوات التالية:

كمصفوفة تحويل(المثال السايق)Uنوجد مصفوفة القيم الذاتية •Uنوجد معكوس مصفوفة القيم الذاتية • P

-1 ثم نحصل على المصفوفة القطرية من العالقة التالية: •

1U AU A− ′=

التمثيل المصفوفي للمعادالت في ميكانيكا الكم: .3 نبدأ من شرط المعايرة والتعامد المعروف ليدينا بالعالقة:

1

0 (1 3)

i j ij

ij

ij

i j

wheni ji j

ψ ψ δ

δδ

= =

= ⇒ =

≠ ⇒ = −

ان دلتا كرونيكر يمكن تمثيلها بمصفوفة عناصر قطرها الرئيس تساوي الواحد وباقي العناصر تساوي الصفر وفق المصفوفة التالية:


11

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

.... 1 0 0 .... 0

.... 0 1 0 .... 0. .... . (2 3). .... .. .... . . .... .

.... 0 0 0 .... 1

N

N

ij

N N N NN

δ δ δ δδ δ δ δ

δ

δ δ δ δ

= = −

-3وهذا التمثيل يعطينا كافة القيم دفعة واحدة ويساعد في حل معادلة القيم المسموحة تسمى المصفوفة ( )مصفوفة الوحدة.2

ولننطلق أالن في استنتاج معادلة القيم الذاتية (المسموحة) وفقا للتمثيل المصفوفي كما يلي:

لتكن لدينا المعادلة التالية وفق نظام المؤثرات:

1

1

1 1

1 1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ (3 3)

b a

N

a j jj

N

b k kkN N

b k k a j jk j

N N

k k j jk j

Qwhere

Q Q

Q

ψ ψ

ψ α ψ

ψ β ψ

ψ β ψ ψ α ψ

β ψ α ψ

=

=

= =

= =

=

=

=

= = =

= −

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

نجد ما يلي:iψبضرب الطرفين من اليسار بالدالة


12

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(4 3)

N N

i k k j jk j

N N

k i k j i jk j

N N N

k j ij jk j j

ij

N N

k ik ij jk j

N N

k ij jk j

Q

Q

i k i Q j Q

where i Q j Q

Q

when i k

Q

ψ β ψ α ψ

β ψ ψ α ψ ψ

β α α

β δ α

β α

= =

= =

= = =

= =

= =

=

=

= =

=

=

= ⇒

= −

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

ˆ) بلغة المصفوفات من العالقة األصلية 4-3يمكن تمثيل العالقة(a bQψ ψ= حيث تمثل الدوال بمصفوفة،

ذات عمود واحد ومساقط قيم المؤثر على مختلف الدوال األساسية بمصفوفة مربعة كما يلي:

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2 2

. .

. .. . . (5 3). . .

. .

N

N

N N N NN

Q Q QQ Q Q

Q Q Q

β αβ α

β α

= −

وعند اختيار الدوال المسموحة والقيم المسموحة تكون قيم العناصر غير القطرية في مصفوفة مساقط القيم العامة للمؤثر تساوي الصفر، وتمثل عناصر القيم المسموحة قطر المصفوفة كما في المعادلة التالية:


13

11

22

0 . . 00 . . 0. .. .0 0 . .

(6 3)

ii

NN

ij ij ij

QQ

Q

QorQ Q δ

=

= −

أمثلة ونتائج: .4في دراسة جسيم موجود بئر جهد غير محدود االرتفاع (راجع كم •

) تم استنتاج الدالة الموجية وقيم الطاقة المسموحة بالعالقتين التاليتين: 1

2 22 2 2 2

12

2 sin

2

n

n

n xa

E n c n n Ema

πφππ

=

= = =

أدرس هذه الحالة وفق تمثيل المصفوفات. الحل:

ˆ

ˆ

ˆ

n n n

n

n n mn

mn n mn

H E

H n E n

m H n m E n EH E

φ φ

δδ

=

= ⇒

= =

=

العالقة األخيرة تكتب بلغة المصفوفات كما يلي:


14

11 12 1 11 12 11

21 22 2 21 22 22

1 2 1 22

11 12 1 1

21 22 2 1

21 2 1

. . . .

. . . .. . . .. . . .

. . . .

. .

. . 4. .. .

. .

N N

N N

N N NN N N NN

N

N

N N NN

H H H EH H H E

H H H E

H H H EH H H E

H H H n E

δ δ δδ δ δ

δ δ δ

=

=

11 12 1 1

21 22 2 1

21 2 1

11

22

1

1 0 . . 00 1 . . 0. .. .0 0 . . 1

. . 0 . . 0

. . 0 4 . . 0. . . .. . . .

. . 0 0 . .

0 . . 0 1 0 . . 00 . . 0 0 4 . . 0. . . 9 .. . . 16 .0 0 . . 0

N

N

N N NN

NN

H H H EH H H E

H H H n E

HH

E

H

=

=

2

211 1 22 1 33 1 1

0 . .

, 4 , 9 ,......,0

nn

ij

n

H E H E H E H n EH when i j

= = = == ≠


15

مثال: تعطى معادلة القيم المسموحة لطاقة المذبذب التوافقي البسيط بالعالقة:

1( )2nE nω= +

اكتب هذه العالقة بلغة المصفوفات.

الحل:

ˆ

ˆ

ˆ

n n n

n

n n mn

mn n mn

H E

H n E n

m H n m E n EH E

ψ ψ

δδ

=

= ⇒

= =

=

والشكل المصفوفي يعطى بالشكل:


16

11 12 1 11 12 10

21 22 2 21 22 21

33

1 2 1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

. . . .

. . . .. . . ... . . ..

. . . .

2. . 3. . 2

5. .2. .

. .

N N

N N

N N NN N N NNn

N

N

N N NN

H H H EH H H E

H H H E

H H HH H H

H H H

δ δ δδ δ δ

δ

δ δ δ

ω

ω

ω

=

=

11 12 1

21 22 2

1 2

11 22 33

1 0 . . 00 1 . . 0. 1 .. .0 0 . . 1

12

1 0 . . 0. .0 3 . . 0. .. 5 .. .

2 . .. .1. . 0 0 . . 2( )2

3 5, , ,2 2 2

N

N

N N NN

n

H H HH H H

H H H n

H H H

ω

ω

ω ω ω

+

= +

= = =

1......, ( )2

0

nn

ij

H n

H when i j

ω= +

= ≠


17

مثال:

بالعالقة التالية:zتعطي معادلة القيم المسموحة لمسقط كمية الحركة الزاوية على المحور

, 1,....,0,....., 1,zL m

m== − − + + − +

=1مثل العالقة بلغة المصفوفات بفرض أن العدد الكمي المداري يساوي الواحد

الحل:

ˆ

ˆ

ˆ

m m

m m

z m m m n

Lu m u

L m m m

m L m m m m mL L m

δδ

′

′ ′

=

= ⇒

′ ′= =

= =

والعالقة األخيرة تكتب بلغة المصفوفات:


18

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

33

1 2 1 2

11 12 1 12

21 22 2

1 2

. . . .

. . . .( 1). . . ... . . ..

. . . .

. .

. .. .. .

. .

N N

N N

N N NN N N NN

N

N

N N NN

L L LL L L

L L L

L L LL L L

L L L

δ δ δδ δ δ

δ

δ δ δ

δ

+ − =

−

+ =

1

21 2

1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

. .( 1) . .

. .

. .. .

. . 0 . . 0

. . 0 ( 1) . . 0. . . .. . . .

. . 0 0 . .

N

N

N N

N

N

N N NN

L L LL L L

L L L

δδ δ

δ δ

− −

+ − =

−

فان :=1وعندما

1,0,1zL m

m== −

في المصفوفة 1يقابل m من قيم 1وتصبح مصفوفة المؤثر كما يلي: في تشكيل عناصر المصفوفة نعتبر 3 يقابل 1 ثم -2 يقابل 0ثم


19

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31

ˆ ˆ ˆ1 1 1 0 1 1ˆ ˆ ˆ0 1 0 0 0 1ˆ ˆ ˆ1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1 10 1 0 0 0 0 11 1 0 1 0 1 1

z

L L LL L LL L L L L LL L L L L L

L L LL L LL L L

L L LL L L L

L

− = − − − − −

− − = − −

− − − − −

=

32 33

0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 1L L

= = − −

أو نأخذ الطرف األيمن مباشرة أي:

0 . . 0 1 0 . . 00 ( 1) . . 0 0 0 . . 0. . . .. . . .0 0 . . 0 0 . . 1

+ − = − −

و........3 و2طبق ما سبق في حال العدد الكمي المداري يساوي

zمثال :اكتب الشكل المصفوفي الكامل لكل من مؤثر كمية الحركة الزاوية المدارية ومسقطه على المحور


20

( )

( )

( )

2 2

2

ˆ ( 1

ˆ

0 0 0 . . . 00 2 0. 2 .. 2 .

6.

.12

.0 0 . . .

0

1 0 00 0 00 0 1

2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 2

3 0 0 . . 00 2 .0 1 .. 0

12

m mm m

m mz m m

m m

z

Y L Y

Y L Y m

L

L

δ δ

δ δ

′′ ′ ′

′′ ′ ′

′

= + +

=

=

−

− = −

−−

00 . . 0 3

−

مثال:


21

يوجد نوع من المؤثرات تسمى مؤثرات اإلحداث(الرفع لحالة أعلى) واإلفناء(الخفض لحالة أدنى)

(the annihilation and creation operators):ففي كمية الحركة الزاوية يعطيان بالعالقتين التاليتين

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆx y

x y

L L iL

L L iL+

−

= +

= −

إذا أثر هذين المؤثرين على الدالة الموجية لكمية الحركة الزاوية تكون النتيجة كما يلي:

( )( ) 1ˆ 1m mL Y m m Y ±± = ± +

اكتب الشكل المصفوفي لهذين المؤثرين في حال العدد الكمي المداري يساوي الواحد.

الحل:

( )( )

( )( )

( )

( )

, 1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ˆ 1 1

ˆ 1 ,

ˆ ˆ ˆ1 1 1 0 1 1ˆ ˆ ˆ0 1 0 0 0 1ˆ ˆ ˆ1 1 1 0 1 1

0 2 0 0 1 00 0 2 2 0 0 10 0 0

m m

m mm m

Y L Y m m m m

Y L Y m m

L L LL L LL L L L L L L

L L L L L L

L

δ δ

′′ ±

′′ ′± ±

± ± ±

± ± ± ±

± ± ±

+

′ ′= ± + ±

′= ± +

− = = − − − − −

= =

( )

0 0 0

0 0 0 0 0 02 0 0 2 1 0 0

0 1 00 2 0

L−

= =

.2حل في حال العدد الكمي المداري يساوي

الجواب:


22

( )

( )

0 2 0 0 0

0 0 6 0 0

0 0 0 6 00 0 0 0 20 0 0 0 0

0 0 0 0 02 0 0 0 0

0 6 0 0 0

0 0 6 0 00 0 0 2 0

L

L

+

−

=

=

نتائج:

لدينا:


23

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1ˆ ˆ ˆ2

10 1 01 0 1

2 0 1 02

0 2 0 0 0

2 0 6 0 0

0 6 0 6 020 0 6 0 20 0 0 2 0

1ˆ ˆ ˆ2

10 1 01 0 1

20 1 020 2 0 0 0

2 0 6 0 0

0 6 0 6 020 0 6 0 20 0 0 2 0

x

x

x

y

y

y

L L L

when

L

when

L

L L Li

when

iL

when

iL

+ −

+ −

= +

=

=

=

=

= −

=

− = − =

−

−= − −


24

مثال:

احسب القيمة المتوقعة لطاقة المذبذب التوافقي بتمثيل هايزنبرغ ،إذا كانت الدالة الموجية للمذبذب معطاة بالعالقة التالية:

0

1

12

1( , ) 2

.

.

.

iE t

iE t

e

ex tψ

−

−

=

الحل:

معادلة القيمة المتوقعة كما هو معلوم هي :

0

1

0 1

0

1

0 1

ˆ

1 0 . . 0 122

0 3 . . 0 121 1 0 0 2. 5 .2 2 02. . 0

1 .0 0 . . 2( )2 2

12 2

131 1 20 0 22 2

n n n nn n

iE t

iE tiE t iE t

iE t

iE tiE t iE t

E E E

e

eE e e

n

e

eE e e

ψ ψ ψ ψ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

−

−

−

= =

= +

=

00.

34 4

E ω ω ω

= + =


25

مثال:

يعطى تمثيل هايزنبرغ لمؤثري اإلحداث واإلفناء للمذبذب التوافقي بالعالقتين التاليتين :

, 1

, 1

ˆ 1 1 1

ˆ 1n k

n k

n a k k n k k

n a k k n k k

δ

δ+ +

− −

= + + = +

= − =

اثبت أن مصفوفتي المؤثرين تعطيان بالعالقة التالية:

( )

( )

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 2 0 0 00 0 . 0 00 0 0 . 0

0 1 0 0 0

0 0 2 0 00 0 0 . 00 0 0 0 .0 0 0 0 0

a

a

+

−

= =

مثال:

إذا علمت أن القيم المتوقعة للموضع في المذبذب التوافقي يعطى بالعالقة أدناه،اكتب مصفوفة مؤثر الموضع.


26

, 1 , 11ˆ 12

1 ˆ ˆˆ ( )2

n k n kn x k k k

mwhere and x a a

δ δα

ωαα

− +

+ −

= + +

= = +

الجواب:

( )

0 1 0 0 0 0 0

1 0 2 0 0 0 0

0 2 0 3 0 0 01

0 0 3 0 4 0 02

0 0 0 4 0 5 0

0 0 0 0 5 0 .0 0 0 0 0 . 0

xα

=

مثال: إذا علمت أن القيم المتوقعة لكمية الحركة في المذبذب التوافقي يعطى بالعالقة أدناه،اكتب مصفوفة مؤثر كمية الحركة.

[ ]

, 1 , 1ˆ 12

ˆ ˆ ˆ( )2

1ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 1 ( )2

n k n k

x

in p k k k

m iwhere and p a a

a a and H a a

α δ δ

ω αα

ω

− +

+ −

− + + −

= − +

= = −

= = +

الحل:


27

( )

0 1 0 0 0 0 0

1 0 2 0 0 0 0

0 2 0 3 0 0 0

0 0 3 0 4 0 02

0 0 0 4 0 5 0

0 0 0 0 5 0 .0 0 0 0 0 . 0

ip α

− − = − −

−

واجب:

في حال الدالة للمذبذب التوافقي تأخذ الشكل التالي : •

0 1 2 31 2 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )10 10 10 10

x t x t x t x t x tψ ψ ψ ψ ψ= + + +

,أوجد القيمة المتوقعة لكل من ,x

x p E.بلغة هايزنبرغ

من المصفوفات الهامة تلك التي تخص كمية الحركة الذاتية الذاتية(المغزلية) أو ما يسمى سبين • والتي يمكن ايجازها كما يلي:(spin)اإللكترون

من المعلوم أن :

( )2 2 2314

12

12

z s

s

S s s

where s

S m

m

= + =

=

=

= ±


28

وبلغة المصفوفات نحصل على العالقات التالية:

[ ]

1

2 2 2, ,

,

,

3ˆ ( 1)4

ˆ

1 3ˆ2 2

s s s s

s s

s s

s s m m m m

s z s s m m

s s s s m m

m S m s s

m S m m

m S m m m

δ δ

δ

δ±

′ ′

′

′±

′ = + =

′ =

′ = ± ±

وبالتالي فان مصفوفة كمية الحركة الزاوية الذاتية تشكل مصفوفة مربعة عدد صفوفها وأعمدتها 2s+1=2 2 أيx2:ومنه نجد

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 1 03ˆ

0 141 0ˆ0 120 1ˆ0 0

0 0ˆ1 0

1 0 1 01 2ˆ ˆ ˆ0 1 0 12 20 1 02ˆ ˆ ˆ1 0 02 2

1 0 1 02ˆ ˆ ˆ0 1 0 12

z

x x x

y y y

z z z

S

S

S

S

S S S S

ii iS S S Si

S S

σ

σ

σ

+

−

+ −

− +

=

= −

=

=

′= + = ⇒ = =

− − ′= + = ⇒ = =

′= ⇒ = = − −

تسمى المقادير التالية بمصفوفات السبين لباولي واختصارا مصفوفات باولي وهي:


29

( )

( )

( )

1 02 ˆˆ0 1

02 ˆˆ0

1 02 ˆˆ0 1

x x

y y

z z

S

iS

i

S

σ

σ

σ

′ = =

− ′ = = ′ = = −

أمثلة: تأكد من صحة مايلي: •

2 2 2 2

2

2

2

2 2 2 2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

0 1 0 1 1 0ˆ

1 0 1 0 0 1

0 0 1 0ˆ

0 0 0 1

1 0 1 0 1 0ˆ

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 3 0ˆ ˆ ˆ ˆ

0 1 0 1 0 1 0 3

1 0ˆ 3

0

x y z

x

y

z

x y z

i ii i

σ σ σ σ

σ

σ

σ

σ σ σ σ

σ

= + +

= =

− − = =

= = − −

= + + = + + =

=1

تأكد من صحة مايلي: •


30

0 1 0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ

1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ

0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

0 0 0 0ˆ ˆ ˆ

x y z

y x z

x y x y y x

y z

i i ii

i i i

i i ii

i i i

i ii i

i

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

− + + = = = = + − + −

− − + − = = = = − + +

− = − = − = −

=

ˆ ˆ ˆ

1 0ˆ ˆ ˆ

0 1

x

z x x

x y z

i

i

σ σ σ

σ σ σ

=

=

تمثيل هايزنبرغ في ميكانيكا الكم

Documents