Критерий согласия Колмогорова

Критерием согласия Колмогорова называют критерий проверки

гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения F(x).

Критерий А. Н. Колмогорова применяется для проверки гипотезы о

непрерывной функции распределения случайной величины X.

Пусть заранее известно, что функция распределения исследуемой

случайной величины X – непрерывная. Выдвинем гипотезу

xF0 XH ,

то есть предположение, что функцией распределения случайной величины

является выбранная нами из каких-то соображений непрерывная функция

F(x).

Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации

n1

n x,...,xx случайной выборки n

n ,...,1

независимых измерений

X.

Для решения этой задачи введем статистику n критерия

проверки гипотезы 0H в виде случайной величины:

xFxFΧΤ n

~sup

x

,

где xF~

– статистическая функция распределения.

Реализация t статистики nΧΤ , соответствующая выборке

n1,..., xxxn , может быть найдена по формуле

xFxF

x

t -max

, (2)

где xF – реализация статистической функции распределения xF~

.

Доказано, что ( если H – истинна) DΤ .

Здесь D – случайная величина, распределенная по известному

закону Колмогорова. Для этой величины, используя таблицы или формулы

распределения Колмогорова, можно найти t из условия:

tD ,

где – вероятность практически невозможного события, и, следовательно,

событие tD – практически невозможное.

Из предыдущих соотношений следует: [ если 0H - истинна]

t , то есть: [если 0H - истинна] [ t - практически

невозможно].

Теперь с точностью до принципа практической уверенности можно

утверждать, что если гипотеза 0H истинна, то реализации t статистики Т не

могут превосходить границы t . Далее по закону контрапозиции

математической логики находим, что с той же точностью из неравенства

tt следует ложность гипотезы 0H . Итак, с точностью до принципа

практической уверенности имеем:

( 0H – истинна) tt ;

tt ( 0H – ложна).

Из этих соотношений следует, что неравенство tt необходимо

для принятия, а неравенство

tt достаточно для отклонения гипотезы Н

(с точностью до принципа практической уверенности).

Руководствуясь этими соображениями, принимают следующее

правило решения поставленной задачи:

tt ( 0H – принять);

(3)

tt ( 0H – отклонить);

Правило (3) называют критерием согласия Колмогорова проверки

гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины.

Алгоритм его, очевидно, состоит в следующем:

1. Провести независимые n-кратные измерения случайной

величины X с непрерывной функцией распределения и получить

выборку n1

n x,...,xx .

2. Исключить из выборки грубые ошибки.

3. Построить реализацию xF статистической функции

распределения.

4. Выдвинуть гипотезу F(x) о функции распределения случайной

величины X.

5. Вычислить параметр t по формуле 2.

6. Задать вероятность практически невозможного события и из

таблиц распределения Колмогорова найти параметр t .

7. Принять или отклонить гипотезу xF0 XH .

Доказано, что критерий А. Н. Колмогорова состоятельный и в

общем случае смещенный. Он более чувствителен к различию гипотез,

поэтому при прочих равных условиях может применяться для меньших

объемов выборки. Поскольку результат проверки критерия t зависит от

наибольших различий xF и F(x), то нет необходимости построения

xF и F(x) на всем диапазоне изменения x; достаточно ограничиться

областью наибольших различий xF и F(x). Недостатком критерия

является то, что точность его выводов нарушается, если в

формировании гипотезы о F(x) используются характеристики

эмпирических распределений, так как в этом случае статистика Т

зависит от F(x). Известные неудобства доставляет также значительная

трудоемкость построения статистики А. Н. Колмогорова.