סדרות וטורי פונקציותI ) הגדרה

fתהי n: I →R מוגדרת לכל x∈ I ולכל n∈N.זוהי סדרת פונקציות .

II ) סוגים של התכסות התכנסות נקודתיתא(

limn→ ∞

f n=f ⇔∀ x∈ I , limn→ ∞

f n ( x )=f ( x)

∀ x∈ I ,∀ ε>0 ,∃N∈N :∀n≥ N ,|f n ( x )−f ( x )|<ε

התכנסות במ"שב( הגדרה:(1

limn→ ∞

f n⇉ f ⇔ limn→ ∞

¿|f n ( x )−f ( x )|=0∀ ε>0 ,∃N∈N :∀n≥ N ,∀ x∈ I ,|f n ( x )−f ( x )|<ε

תכונות ומשפטים:(2(i):קריטריון קושי להתכנסות במ"ש

f n⇉ f ⇔∀ ε>0 ,∃N∈N :∀n ,m≥ N ,∀ x∈ I|f n (x )−f m ( x )|<ε

(ii):רציופות

f n⇉ f ⇒ f ∈C(I )(iii):משפט דיני

:תנאים f n→fנקודתית

f nרציפות

f nמונוטונית

fרציפה

:אזי f n⇉ f

(iv):אינטגרביוליות וערך האינטגרל של הפונקציה הגבולית :תנאים

f n: [a ,b ]→ R: f n⇉ f:אזי

f ∈ R[a ,b]

limn→ ∞

∫a

b

f n ( x ) dx=∫a

b

f ( x ) dx

(v):תנאי להתכנסות של אינטרגל של סדרת פונקציות :תנאים

∀ [a ,b ]⊆R , f n⇉ f

∀ n∈N ,∫0

∞

f n ( x ) dx<∞

©Noy Soffer 2013

∃ψ ≥0 :[∫0

∞

ψ (x ) dx<∞ ]∧¿

:אזי

limn→ ∞

∫0

∞

f n ( x ) dx=∫0

∞

f ( x ) dx<∞

(vi) בוחן M :של וויירשטראוס :תנאים

f n: [a ,b ]→ Rרציפות

∀n∈N ,∃M n∈ R :∀ x∈ [a ,b ] ,|f n (x )|≤ M n

∑n=0

∞

M n<∞

:אזי

∃ f ∈R[ a ,b ] :∑n=0

∞

¿ f n (x )∨¿⇉ f (x)¿

III ) סוגים של טורים טורי חזקותא(

הגדרה:(1

f ( x )=∑n=0

∞

an ( x−x0 )n

. x0=0**הערה: מטעמי נוחות, נקבע לרוב

רדיוס התכנסות:(2(i):הגדרה

R ( {an }n=0∞

, I )=|{x0∈ I :∑n=0

∞

an x0n<∞}|

(ii)רדיוס התכנסות הוא דיסק

∀ x∈R ( {an }n=0∞

, I ):|x|=r ,∀ y∈ I :|y|≤ r , y∈R ( {an }n=0∞

, I )(iii):משפט אבל

∀ {an }n=0∞

,∃! R ≥0 :∀ x∈R [ x<R⇒|∑n=0

∞

an xn|<∞ ]∧[ x>R⇒|∑n=0

∞

an xn|=∞ ](iv):משפט קושי-הדמרד

R= 1

lim ¿ n√|an|¿(v):קצה רדיוס התכנסות

-אם טור חזקות מתבדר ב x0=R:

R−)אזי: אין התכנסות במ"ש ב- , R)אם טור חזקות מתכנס ב -x0=R:

0]אזי: יש התכנסות במ"ש ב- ,R ]

©Noy Soffer 2013

אם הנגזרת של טור חזקות מתכנס ב -¿ x0∨¿ R:

¿אזי: גם טור החזקות המקורי מתכנס במ"ש ב- x0∨¿ R

סוגי סכימות:(3(i):סוגים

:סכימת אבל lim

r→1−¿∑k=0

∞

ak r k=( A )∑k=0

∞

ak¿

¿

:סכימת צזארו

limN → ∞

1N+1∑n=0

N

∑k=0

n

ak=(C)∑k=0

∞

ak

(ii):משפט: סכימת צזארו גוררת סכימת אבל

limN → ∞

1N+1∑n=0

N

∑k=0

n

ak=C<∞⇒ limr→1−¿∑

k=0

∞

ak rk= limN →∞

1N+1∑n=0

N

∑k=0

n

ak<∞¿

¿

מכפלות קושי:(4

∀ f ( x )=∑n=0

∞

an xn , ∀g ( x )=∑n=0

∞

bn xn , ( f ⋅ g ) ( x )=∑n=0

∞

∑k=0

n

akbn−k xn

טורי פורייהב( הקדמה: פעולות על פונקציות בעלות מקדמים מרוכבים:(1

(i):אינטגרציה

∀ f ∈C [ a ,b ] :∃!u , v∈R [a ,b ] : f =u+ iv ,∫a

b

f ( x )dx=∫a

b

u ( x ) dx+i∫a

b

v ( x ) dx

(ii):גזירה

∀ f ∈C [ a ,b ] :∃!u , v∈R [a ,b ] : f =u+ iv , f ' ( x )=u ' ( x )+i v '(x ) פונקציות מחזוריות:(2

(i):פונקציות מחזוריות במישור המרוכב

הגדרה: פונקציית e∫¿ ¿:

∀n∈N ,e∫¿=en (t )=cos (n t )+ isin(nt)¿

:פולינום טריגונומטרי - צירוף לינארי של פונקציות הבסיס

P (t )= ∑n=−N

N

cn e∫¿∈C [et ]¿

(ii):מכפלה פנימית

-הגדרה: מכפלה פנימית ב R(T ):

¿ f , g>≔ 12π

∫0

2π

f ( x)g (x)dx

נורמה :

||f||=¿ f , f≥√ 12 π

∫0

2π

¿ f ( x )∨2¿dx ¿

אורתוגונליות :

©Noy Soffer 2013

∀ f , g∈R (T ) , f ⊥ g⇔< f , g≥0 מעט מבוא לפורייה:(3

(i):בסיס :הווקורים

en=e∫¿ ¿

:זהו בסיס אורתונורמלי

¿en , em≥{0n≠ m1n=m

(ii):פולינום טריגונומטרי :הגדרה

P ( t )= ∑n=−N

N

cn e∫¿¿

:תכונות :ייצוג ע"י מכפלה פנימית

∀m∈N ,<P (t ) , em≥cm

:מסקנה

P= ∑n=−N

N

¿ P ,en>en

(iii) מקדמי פורייה של f :

f ( n )=¿ f ,en≥12π

∫0

2π

f ( t )e−∫ ¿dt ¿

טורי פורייה מתקדם יותר:(4(i) הגדרה: סכום פורייה מסדר N :

SN f = ∑n=−N

N

f ( n ) e∫¿ ¿

(ii):טענות :אורתוגונליות ההפרשים

¿ SN f , f −S N f≥0 אי שיוויון Bessel :

∑−∞

∞

|f (n )|2≤ 12 π

∫0

2π

|f (x )|2dx

**בפרט הטור מתכנס.:הלמה של רימן לבג

∀ f ∈R [0,2 π ] , limn→ ∞

f (n )=0

-התכנסות ב L2:

:המשפט

limn→ ∞

¿|SN f −f|∨¿=0¿

מסקנה: שיוויון Parseval :

©Noy Soffer 2013

12π

∫0

2 π

|f ( x )|2dx= ∑n=−∞

∞

|f (n )|2

:דעיכת מקדמי פורייה

∀ f ∈C1 (R )∩ R (T ) , f ' ( n )=¿ f (n) קונבולוציה:(5

(i):הגדרה

∀ f , g∈R (T ) , ( f∗g ) ( x )= 12π

∫0

2 π

f ( t ) g ( x−t )dt

(ii):תכונות פשוטות :סימטריות

∀ f , g∈R (T ) , f∗g=g∗f:רציפות

∀ f , g∈R (T ) , f∗g∈C [0,2π ]:מקדמי פורייה

∀ f , g∈R (T ) , ( f∗g ) (n )=f (n ) g(n):פולינום

∀ f ∈R (T ) ,∀ p∈R [ x ] , [deg ( p∗f )=deg ( p ) ]∧ [ p∗f ∈R [ x ] ] גרעינים:(6

(i):גרעין דיריכלה :הגדרה

DN ( y )= ∑n=−N

N

einy=sin ((N+

12 ) y )

sin( 12 y):תכונות

:אינטגרל

12π

∫−π

π

DN ( y )=¿ DN , e0≥1

:מקדמי פורייה

∀ n∈N , DN ( n )=en

:קשר לסכום פורייה ולקונבולוציה

SN f ( x )=( DN∗f ) (x)(ii) גרעין פייר Feyer :

:הגדרה

FN ( x )= 1N∑n=0

N−1

Dn(x )=( sin (Nx2 )

sin( x2 ) )

2

:הגדרת פונקציית צזארו

©Noy Soffer 2013

(σ N f ) ( x )= 1N∑n=0

N −1

Sn f (x )

:תכונות של גרעין פייר :חיוביות

∀ N∈N ,∀ x∈R ,0≤FN (x):אינטגרל

12π

∫−π

π

FN ( x ) dx=1

0 מרכוז סביב :

limδ →0

limN → ∞ (∫

−π

δ

FN ( x ) dx+∫δ

π

FN ( x ) dx)=0 התכנסות נקודתית ובמ"ש(7

(i):משפט דיריכלה

∀ f ∈R [0,2 π ] : f (0 )=f (2π ) ,∀ x0∈ (0,2 π ) : f ∈L ( x0 ) , limN → ∞

( SN f )(x0)=f ( x0)

(ii):משפט פייר

∀ f ∈R [0,2 π ] : f (0 )=f (2π ) ,¿

©Noy Soffer 2013