ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

التربيعيه للمعادلة العامه الصورههي

س جـ+ + = , , 2أ ب أ حيث صفر جـ س بأ ≠ ، حقيقية 0أعداد

القانون باستخدام التربيعيه المعادله حل ويمكنالعام

= س حيث

يكون : ► الجذرين جمعنا يكون : لو الجذرين جمعنا لوأ = / 22ب / ب / 22ــ = ــ = 22س + س + 11س س ► ب ــ أ = / أ ب ــ أ

يكون :► الجذرين ضربنا يكون :لو الجذرين ضربنا لو

أ = / 22س× س× 11س س أ = / جـ جـ

الصورة : على كتابتها يمكن تربيعية معادلة أي أن الصورة :كما على كتابتها يمكن تربيعية معادلة أي أن كما

الجذرين ) ( + = 22س س ضرب حاصل س الجذرين مجموع الجذرين ) ( + = ــ ضرب حاصل س الجذرين مجموع 00ــ

س : أن س : أي أن أ ) / ( + ) / ( = 22أي جـ س أ ب ــ أ ) / ( + ) / ( = ــ جـ س أ ب ــ 00ــ

التربيعية المعادلة على التربيعية امثلة المعادلة على امثلة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ

( ( 11مثال )مثال ) :وحاصل مجموع وحاصل: اوجد مجموع اوجدللمعادلة الجذرين للمعادلة ضرب الجذرين ضرب

00 = = 77س – س – 55– – 22س س

الحل :الحل :

جذرين للمعادلة يوجد جذرين اذا للمعادلة يوجد اذامختلفين مختلفين حقيقيين حقيقيين

/ = أ ب ــ أ = / مجموعهما ب ــ ـ ) ==مجموعهما ـ ) ــ (/ (/ 55ــ11

= = 55 ضربهما ضربهما حاصل أ = / حاصل أ = / جـ 11 / / 77ــ ــ ==جـ

-= -= 77

:وجود المميز خالل من وجود: نتأكد المميز خالل من نتأكدللمعادلة للمعادلة جذرين جذرين

= ب ب = المميز أجـ أجـ 44- - 22المميز+ = ب = -11أ = +أ ب = -، جـ = -55، جـ = -، ،

77-( = (55المميز = )-المميز)77×-×-11××44--22 = = 2525 + + 2828 = = 5353 > >00

( 2مثال : )وحاصل مجموع اوجدللمعادلة الجذرين ضرب

2 12س = 5+ 2س

فتكون : الحلالحل ، العامه الصوره على المعادله فتكون : نكتب ، العامه الصوره على المعادله نكتب 2200 = = 1212س - س - 55+ + 22 سس = ب = 22أ = أ ب = ، جـ = -55، جـ = -، ،1212

= أجـأجـ44-- 22بب المميز =المميز

= = 2255 - -44××22-×-×1212

= = 25+9625+96 = =121121>>00

مختلفين حقيقيين جذرين للمعادلة مختلفين يوجد حقيقيين جذرين للمعادلة يوجد / = أ ب ــ أ = / مجموعهما ب ــ 22 / / 55ــ= ــ= مجموعهما

/ = أ جـ يساوي ضربهما أ = / حاصل جـ يساوي ضربهما 66-- ==22 / / 1212ـ= ـ= حاصل

( التي( : 33مثال )مثال التربيعيه المعادله التي( : كون التربيعيه المعادله كونجذراها جذراها

؟ ؟ 55، ، 33

: الحل :الحل

= الجذرين الجذرين = مجموع 88= = 55++33مجموع = الجذرين ضرب الجذرين = حاصل ضرب 1515= = 55××33حاصل

: هي هي : المعادله المعادله 22س س + ) ضرب- ) حاصل س الجذرين ( + مجموع ضرب- ) حاصل س الجذرين مجموع

00الجذرين = الجذرين = 00==1515س +س +88 – – 22س س

للمعادلة : ان للمعادلة :بين ان بين

00 = = 1313س -س -33+ + 22س س 22

اوجد ثم ، مختلفان حقيقيان اوجد جذران ثم ، مختلفان حقيقيان جذراندون ) ؟ ضربهما وحاصل دون ) مجموعهما ؟ ضربهما وحاصل مجموعهما

ايجادهما(.ايجادهما(.

تدريب

: الحل :الحل = ب = 22أ = أ ب = ، جـ = -33، جـ = -، ،1313

ب = ب = المميز أجـأجـ44--22المميز

(= (= 33))22-4-4(×(×22 -() -()1313) )

= = 9+1049+104==113113>>00

، إ إ مختلفين حقيقيين جذرين للمعادلة ، يوجد مختلفين حقيقيين جذرين للمعادلة يوجدويكونويكون

ا / = مجموعهما =مجموعهما = ب ا / =ــ ب 22 / / 33ــ ــ ــ

ضربهما = ضربهما =حاصل ــ / = حاصل ا ــ / = جـ ا 22 / / 1313جـ

( 4مثال = : )المعادله جذرا كان اذا18س=6+2س2

التي المعادله هي فما ، ن ، م هماجذراها

3 ، ؟ 3م ن

: فتكون ، العامه الصوره على المعادله نكتب الحل 20=18س-6+2س= ــ = 2 أ ب ــ = 3، جـ ،18 = / = + = ــ أ ب ــ ن م الجذرين 3ــ = 2 / 6مجموع = / = × ــ = أ جـ ن م الجذرين ضرب 2 / 18حاصل

- =9 000اذا 3 + 3ن = 3م = ) + ن) 9ــ = 3ــ × 3م 3 × ن × = 9ن = 3م 81ــ = 9ــ × 9م

هي : المعادلةاذاضرب- ) ( + 2س حاصل س الجذرين مجموع

0الجذرين = س 0( = 81س( + )-9- )-2اذا س 0=81س -9+2اذا

( 5مثال : )للمعادلة تجعل التي أ قيمه جدس ؟ 0=7س – 6+ 2أ واحد حقيقي جذر

الحل : الحل : ►ان ► يجب واحد حقيقي جذر للمعادلة يكون ان حتى يجب واحد حقيقي جذر للمعادلة يكون حتى

المميز المميز يكون يكون

صفر = 44 – – 22ب ب صفر = أجـ أجـ

ب = = ، أ ب = = أ ، أ جـ = -66أ جـ = -، ،77

ب = ب = المميز أجـأجـ44--22المميز

77أ × × - أ × × - 44- - 22((66 = ) = )

00أ = أ = 2828 + + 3636 = =

3636أ = - أ = - 2828 إإ

44 / / 99ــ = ــ = 2828 / / 3636ــ ــ أ =أ = إ إ

للمناقشة تدريبات

التربيعيه • للمعادلة الجذرين ضرب وحاصل مجموع اوجد؟ = 3س+ - 2س صفر

جذراها • التي التربيعيه المعادله / 3ــ , 2 / 1كون؟ 4

التربيعيه • المعادله جذرا كان اذان 12س +2= 2س ، م هما

جذراها التي التربيعيه المعادله ، 2كون 2م؟ ن

المقدار : • ان ؟ 1س + +2س5اثبت دائما موجب هو