Решени задачи по СЪПРОМАТ
TRANSCRIPT
Курсова задача N1: Разрезни усилия на равнинно натоварена
права греда
Примерна задача
За показаната греда се иска:
а) да се определят опорните реакции;
б) да се запишат изразите за функциите на разрезните усилия във всеки
участък;
в) да се начертаят мащабно диаграмите на разрезните усилия;
г) да се извършат следните проверки: диференциална, за вида на
диаграмите, площна и с правилата за скоковете.
x
2
C Ah=0x x
B E
B=41
2
1.5
A
Av=9
D
3
1.5
x
Rq=10x3=30 kN
F=20 kNM=40 kNm
q=10 kN/m
3 m
22
0.9
x
1.5
32
D
--
4040
9+
xxAh=0
Av=9
AC
M
Q
--
17.95
40
2020
21
9
-
+
N
x
1.5
2
B=41
EB
Rq=10x3=30 kN
F=20 kNq=10 kN/m
M=40 kNm
3 m
а) определяне на опорните реакции
∑∑∑∑ ==== ;0H ;0AH ====
∑∑∑∑ ====−−−−++++−−−−−−−−==== ;205B5;0B57.205,3.3040;0M A ;kN41B ====
∑∑∑∑ ========−−−−++++++++−−−−==== ;45A5;02.205,1.3040A5;0M VVB ;kN9AV ====
Проверка: ∑∑∑∑ ==== ;0V .05050;02030419 ====−−−−====−−−−−−−−++++
б) определяне на изразите за функциите на разрезните усилия
участък СА: m3x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
x
C
MN
Q
40
∑∑∑∑ ==== ;0H ;0N ====
∑∑∑∑ ==== ;0V ;0Q ====
∑∑∑∑ ==== ;0M s ;040M ====++++ .40M −−−−====
С индекса s се означава . сечение. В последното условие се записва сума
от моментите на всички товари за мястото на сечението.
участък АD: m2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
A
Av=9
x
C
40
3
Q
MN
∑∑∑∑ ==== ;0H ;0N ====
∑∑∑∑ ==== ;0V ;9Q;0Q9 ========−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M s ;0x940M ====−−−−++++ ;40x9M −−−−====
x [m] 0 2
M [kNm] 40−−−− 22−−−−
участък DB: m3x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
C
3
A D
q=10
Av=9
10x
2
NM
Q
x
x/2
40
∑∑∑∑ ==== ;0H ;0N ====
∑∑∑∑ ==== ;0V ;9x10Q;0Qx109 ++++−−−−========−−−−−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) ;0x29402
x.x10M ====++++−−−−++++ ;22x9x5M 2 −−−−++++−−−−====
;0Q ==== [[[[ ]]]]3;0m9,0x;09x10 extrextr ∈∈∈∈========++++−−−−
Ако [[[[ ]]]]3;0xextr ∉∉∉∉ , то за начертаване на М-диаграмата като трета стойност
на x се разглежда тази в средната точка на участъка, в случая би трябвало тя да
е m5,1x ==== .
x [m] 0 9,0 3
Q [kN] 9 21−−−−
M [kNm] 22−−−− 95,17−−−− 40−−−−
участък BE: m2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
2-x
Q
N
ME
F=20
∑∑∑∑ ==== ;0H ;0N ====
∑∑∑∑ ==== ;0V ;20Q;020Q ========−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) ;0x220M ====−−−−−−−−−−−− .40x20M −−−−−−−−====
x [m] 0 2
M [kNm] 40−−−− 0
в) мащабно начертаване на диаграмите на разрезните усилия
Мащабите за всяка от диаграмите могат да са различни. Графиките на
кривите от втора степен да се начертаят с кривка. Характерните ординати от
диаграмите да се удебелят.
Правила за нанасяне на характерните ординати от диаграмите:
Стойностите им се нанасят напречно на оста на гредата. Положителните
стойности на M са от страната на пунктирната линия, а положителните стойности
на N и Q - от обратната й страна.
г) проверки
- диференциална проверка
.Qxd
Md;q
xd
Qd;t
xd
Nd====−−−−====−−−−====
Интензивностите t - на осовите и q - на напречните разпределени товари са
положителни, когато съвпадат съответно с положителните посоки на разрезните
усилия N и Q за лява част от участъка.
t> 0
q > 0
Q
MN
участък СА
;00;txd
Nd====−−−−==== ;00;q
xd
Qd====−−−−==== .00;Q
xd
Md========
участък AD
;00;txd
Nd====−−−−==== ;00;q
xd
Qd====−−−−==== .99;Q
xd
Md========
участък DB
;00;txd
Nd====−−−−==== ;1010;q
xd
Qd−−−−====−−−−−−−−====
.9x109x10;Qxd
Md++++−−−−====++++−−−−====
участък BE
;00;txd
Nd====−−−−==== ;00;q
xd
Qd====−−−−==== .2020;Q
xd
Md========
- проверка за вида на диаграмите
-
участък CA AD DB BE
q 0 0 const 0
Q const=0 const линейна
функция
const
M const линейна
функция
квадратна
функция
линейна
функция
t 0 0 0 0
N const=0 const=0 const=0 const=0
- площна проверка
.AMM;RQQ;RNN Qldqldtld ====−−−−−−−−====−−−−−−−−====−−−−
С lll M,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в левия край на
участъка, а с ddd M,Q,N - тези в десния.
tR - равнодействаща на осовия разпределен товар в участъка. Тя е
положителна, когато съвпада с посоката на положителното разрезно усилие N за
лява част на участъка.
qR - равнодействаща на напречния разпределен товар в участъка. Тя е
положителна, когато съвпада с посоката на положителното разрезно усилие Q за
лява част на участъка.
QA - площ на Q -диаграмата в разглеждания участък
.AMM;RQQ;RNN Qldqldtld ====−−−−−−−−====−−−−−−−−====−−−−
За подучастъка между сечението с екстремалната стойност на M и лявата
граница на участъка с равномерно разпределен напречен товар q се извършва
следната площна проверка:
;AMM Qlmax ====−−−−
05,405,4;2
9,0.9)22(95,17 ========−−−−−−−−−−−−
участък tld RNN −−−−====−−−− qld RQQ −−−−====−−−− Qld AMM ====−−−−
CA
00
;000
====
====−−−−
00
;000
====
====−−−−
(((( ))))00
;04040
====
====−−−−−−−−−−−−
AD
00
;000
====
====−−−−
00
;099
====
====−−−−
(((( ))))1818
;2.94022
====
====−−−−−−−−−−−−
DB
00
;000
====
====−−−−
3030
;30921
−−−−====−−−−
−−−−====−−−−−−−− (((( ))))
1818
;3.2
2192240
−−−−====−−−−
−−−−====−−−−−−−−−−−−
BE
00
;000
====
====−−−−
00
;02020
====
====−−−−
(((( ))))4040
;2.20400
====
====−−−−−−−−
- проверка с правилата за скоковете
-
Граница
С Скок в M -диаграмата kNm40
А Скок в Q -диаграмата (((( ))))↑↑↑↑kN9
B Скок в Q -диаграмата kN41 ( )↑
C Скок в Q -диаграмата kN20 ( )↓
Курсова задача N2: Разрезни усилия на равнинно натоварена
конструкция с начупена ос
Примерна задача
За показаната конструкция се иска:
а) да се определят опорните реакции;
б) да се запишат изразите за функциите на разрезните усилия във всеки
участък;
в) да се начертаят мащабно диаграмите на разрезните усилия;
г) да се извършат следните проверки: диференциална, за вида на
диаграмите, площна, с правилата за скоковете и с изрязване на възлите.
323m
M=40 kNm
C
A
22
20 kN/m
B
30°
30°
γ
cosγ=0.6sinγ=0.8
3
M=40 kNm
Ah=28.39Av=30.713
A
3m 2
C
17.32 kN/m10kN/m
22
Rt=51.9617.32 kN/m
Bv=0.713Bh=23.57
B
20 kN/m10kN/mRq=30
K
L
40 а) определяне на опорните реакции
1) ∑∑∑∑ ==== ;0M A ;0B8B24.96,515,6.3040 VH ====−−−−−−−−++++−−−− ;42,26B4B VH ====++++
2) ∑∑∑∑ ==== ;0M BCC ;0B3B25,1.30 VH ====−−−−++++−−−− ;5,22B5,1B VH −−−−====++++−−−−
;kN57,23B;kN713,0B HV ========
3) ∑∑∑∑ ==== ;0M B ;0A8A2405,1.302.96,51 VH ====−−−−++++++++++++
;46,94A4A VH ====++++−−−−
4) ∑∑∑∑ ==== ;0M ACC ;0A5A440 VH ====−−−−++++ ;10A25,1A VH −−−−====−−−−
.kN39,28A;kN713,30A HV ========
Проверка:
∑∑∑∑ ==== ;0H ;096,5196,51;096,5157,2339,28 ====−−−−====−−−−++++
∑∑∑∑ ==== ;0V .0713,30713,30;0713,030713,30 ====−−−−====−−−−−−−−
б) определяне на изразите за функциите на разрезните усилия
участък AK: m5x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
NM
17.034
Ah=28.39
γ
18.428
24.57 Av=30.713
x
y1
Q
A22.712
∑∑∑∑ ==== ;0Fnp i1x;604,41N;057,24034,17N −−−−========++++++++
∑∑∑∑ ==== ;0Fnp i1y;284,4Q;0428,18712,22Q −−−−========−−−−++++
∑∑∑∑ ==== ;0M s ;0x428,18x712,22M ====−−−−++++ .x284,4M −−−−====
x [m] 0 5
M [kNm] 0 42,21−−−−
участък KC: m2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
x
γγ
3mAv=30.713
A
Ah=28.39
NM
Q
4
K40 kNm
∑∑∑∑ ==== ;0H ;039,28N ====++++ ;39,28N −−−−====
∑∑∑∑ ==== ;0V ;713,30Q;0Q713,30 ========−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) ;03x713,304.39,2840M ====++++−−−−++++++++ .421,61x713,30M −−−−====
x [m] 0 2
M [kNm] - 421,61 0
участък CL: m3x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
(3-x)/2
Bv=0.713Bh=23.57
3-x
M
Q
N
17.32(3-x)17.32 kN/m
2
10(3-x)
B
10kN/m
L
∑∑∑∑ ==== ;0H (((( )))) ;057,23x332,17N ====++++−−−−−−−−−−−− ;39,28x32,17N −−−−====
∑∑∑∑ ==== ;0V (((( )))) ;713,30x10Q;0713,0x310Q ++++−−−−========−−−−−−−−−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) (((( )))) ;02.57,23x3713,02
x3x310M ====++++−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
;x713,30x5M 2 ++++−−−−====
;0Q ==== [[[[ ]]]]3;0m071,3x;0713,30x10 extrextr ∉∉∉∉========++++−−−−
x [m] 0 5,1 3
N kN] 39,28−−−− 57,23
Q kN] 713,30 713,0
M kNm] 0 82,34 14,47
участък LB: m2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
Bh=23.57Bv=0.713
B
2-x
N
M
Q
∑∑∑∑ ==== ;0H ;0713,0N ====−−−− ;713,0N ====
∑∑∑∑ ==== ;0V ;57,23Q;057,23Q −−−−========++++
∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) ;0x257,23M ====−−−−++++−−−− .14,47x57,23M ++++−−−−====
x [m] 0 2
M kNm] 14,47 0
в) мащабно начертаване на днаграмите на разрезните усилия
Мащабите за всяка от диаграмите могат да са различни. Графиките на
кривите от втора степен да се начертаят с кривка. Характерните ординати от
диаграмите да се удебелят.
Правила за нанасяне на характерните ординати от диаграмите:
Стойностите им се нанасят напречно на оста на гредата. Положителните
стойности на M са от страната на пунктирната линия, а положителните стойности
на N и Q - от обратната й страна.
Rq=30
3mAv=30.713
A
Ah=28.39
0.7
13
30.7
13
30.7
13
++
4.284
23.57
23.57
61
.42
1
+
- 34.8
2
4.284
21.42
-
-
M
Q
-
47.14
47.1
4
+
Bh=23.57
10kN/m
3
Rt=51.96C
2
M=40 kNm
cosγ=0.6sinγ=0.8
γ
-
28
.39
28
.39
-
B
Bv=0.713
17.32 kN/m
22
N
+
+
23.5
7
0.713
K
L
41.604
41.604
г) проверки
- диференциална проверка
.Qxd
Md;q
xd
Qd;t
xd
Nd====−−−−====−−−−====
Интензивностите t - на осовите и q - на напречните разпределени товари са
положителни, когато съвпадат съответно с положителните посоки на разрезните
усилия N и Q за лява част от участъка.
участък AK
;00;txd
Nd====−−−−==== ;00;q
xd
Qd====−−−−==== .284,4284,4;Q
xd
Md−−−−====−−−−====
участък KC
;00;txd
Nd====−−−−==== ;00;q
xd
Qd====−−−−==== .713,30713,30;Q
xd
Md========
участък CL
(((( ))));32,1732,17;txd
Nd−−−−−−−−====−−−−==== ;1010;q
xd
Qd−−−−====−−−−−−−−====
.713,30x10713,30x10;Qxd
Md++++−−−−====++++−−−−====
участък LB
;00;txd
Nd====−−−−==== ;00;q
xd
Qd====−−−−==== .57,2357,23;Q
xd
Md−−−−====−−−−====
- проверка за вида на диаграмите
участък AK KC CL LB
q 0 0 const 0
Q const const линейна
функция
const
M линейна
функция
линейна
функция
квадратна
функция
линейна
функция
t 0 0 const 0
N const const линейна
функция
const
- площна проверка
.AMM;RQQ;RNN Qldqldtld ====−−−−−−−−====−−−−−−−−====−−−−
С lll M,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в левия край на
участъка, а с ddd M,Q,N - тези в десния.
tR - равнодействаща на осовия разпределен товар в участъка. Тя е
положителна, когато съвпада с положителното разрезно усилие N за лява част
на участъка.
qR - равнодействаща на напречния разпределен товар в участъка. Тя е
положителна, когато съвпада с положителното разрезно усилие Q за лява част
на участъка.
QA - площ на Q -диаграмата в разглеждания участък
участък AK
;RNN tld −−−−====−−−− (((( )))) ;00;0604,41604,41 ========−−−−−−−−−−−−
;RQQ qld −−−−====−−−− (((( )))) ;00;0284,4284,4 ========−−−−−−−−−−−−
;AMM Qld ====−−−− .42,2142,21;5.284,4042,21 −−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−
участък KC
;RNN tld −−−−====−−−− (((( )))) ;00;039,2839,28 ========−−−−−−−−−−−−
;RQQ qld −−−−====−−−− ;00;0713,30713,30 ========−−−−
;AMM Qld ====−−−− (((( )))) .426,61421,61;2.713,30421,610 ≈≈≈≈====−−−−−−−−
участък CL
;RNN tld −−−−====−−−− (((( )))) (((( )))) ;96,5196,51;3.32,1739,2857,23 ====−−−−−−−−====−−−−−−−−
;RQQ qld −−−−====−−−− ;3030;3.10713,30713,0 −−−−====−−−−−−−−====−−−−
;AMM Qld ====−−−− .139,4714,47;3.2
713,0713,30014,47 ≈≈≈≈
++++====−−−−
участък LB
;RNN tld −−−−====−−−− ;00;0713,0713,0 ========−−−−
;RQQ qld −−−−====−−−− (((( )))) ;00;057,2357,23 ========−−−−−−−−−−−−
;AMM Qld ====−−−− .14,4713,47;2.57,2313,470 −−−−≈≈≈≈−−−−−−−−====−−−−
- изрязване на възли K и L
Векторите на трите разрезни усилия се нанасят за двете сечения,
разположени безкрайно близо до възела. Ако стойностите им са положителни, то
те се нанасят в посока на съответното положително разрезно усилие за
сечението. Ако стойностите им са отрицателни, то стрелките на векторите са в
обратна посока.
възел K
γ
61.421
41.604
21.42 4.284
28.39
30.713
40 kNmK
∑∑∑∑ ==== ;0H ;039,28sin284,4cos604,41 ====−−−−++++ γγ
;039,288,0.284,46,0.604,41 ====−−−−++++ .039,2839,28 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0V ;0713,30cos284,4sin604,41 ====−−−−−−−− γγ
;0713,306,0.284,48,0.604,41 ====−−−−−−−− ;028,3328,33 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M K .0421,6142,61;0421,614042,21 ≈≈≈≈−−−−====−−−−++++
възел L
0.713
47.1423.57
47.140.713
23.57
L
∑∑∑∑ ==== ;0H ;057,2357,23 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0V ;0713,0713,0 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M L .014,4714,47 ====−−−−
Курсова задача N3: Разрезни усилия в пространствено
натоварена конструкция
Примерна задача
За показаната греда се иска:
а) да се определят опорните реакции;
б) да се запишат изразите за функциите на разрезните усилия във всеки
участък;
в) да се начертаят мащабно диаграмите на разрезните усилия;
г) да се извършат следните проверки: с изрязване на възел B , за вида на
диаграмите, диференциална и площна.
C=16
Bx=16Ay=60
Az=55
Ax=0
x
4
5t=30kN/m
60 kN
Bz=245
q=10 kN/m
xm
z
x1
z1
y1
Rq=40
y
=20kNm/m
а) определяне на опорните реакции
∑∑∑∑ ==== ;X) 01 ;0CBA XX ====−−−−++++
∑∑∑∑ ==== ;Y) 02 ;060AY ====++++−−−− ;kN60AY ====
∑∑∑∑ ==== ;Z) 03 ;05.304.10BA ZZ ====−−−−−−−−++++−−−−
∑∑∑∑ ==== ;M) X 04 ;04.5.302.405.60B4 Z ====−−−−−−−−−−−− ;kN245BZ ====
∑∑∑∑ ==== ;M) Y 05 ;04.20C5 ====++++−−−− ;kN16C ====
∑∑∑∑ ==== ;M) Z 06 ;0B4C4 X ====−−−− ;kN16BX ====
;kN0AX ==== ;kN55AZ ====
Проверка: ∑∑∑∑ ==== ;0M)11X ;05,2.602.5.30B2A2A5,2 ZZY ====−−−−−−−−++++++++−−−−
;05,2.602.5.30245.255.260.5,2 ====−−−−−−−−++++++++−−−− .0600600 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M)21Y
;0C5,24.20B5,2A5,2 XX ====−−−−++++−−−−−−−−
;016.5,24.2016.5,20.5,2 ====−−−−++++−−−−−−−− ;08080 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M)31Z ;0C2B2A2 XX ====++++−−−−
;016.216.20.2 ====++++−−−− .03232 ====−−−−
б) определяне на изразите за функциите на разрезните усилия
- участък АB: mx 40 ≤≤≤≤≤≤≤≤
x
x/2
q=10 kN/m10x
y
MyQy
Ax=0
Ay=60
Az=55z
x
Mz
Qz
MxN
=20kNm/mmx
;0Fi
ix ====∑∑∑∑ ;060N ====−−−− ;kN60N ====
;Fi
iy 0====∑∑∑∑ ;kN0Qy ====
;Fi
iz 0====∑∑∑∑ ;0x1055Qz ====++++++++ ;55x10Qz −−−−−−−−====
∑∑∑∑ ==== ;M x 0 ;xM x 020 ====++++ ;xM x 20−−−−====
∑∑∑∑ ==== ;M y 0 ;02/x.x10x55M y ====++++++++ ;xxM y 555 2 −−−−−−−−====
[[[[ ]]]];4;05,5x;055x10dx
dMextr
y∉∉∉∉−−−−========−−−−−−−−====
∑∑∑∑ ==== ;M z 0 .0M z ====
[[[[ ]]]]m.x 0 2 4
[[[[ ]]]].kNQz 55−−−− 95−−−−
[[[[ ]]]]kNmM x 0 80−−−−
[[[[ ]]]]kNmM y 0 130−−−− 300−−−−
- участък BC: m5x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
y
x
Mx
NQy
My
Qz Mz z
60
5-x
C=16
t=30 kN/m
;0Fi
ix ====∑∑∑∑ (((( )))) ;0x530N ====−−−−−−−−−−−− ;150x30N −−−−====
;0Fi
iy ====∑∑∑∑ ;016Qy ====−−−−−−−− ;kN16Qy −−−−====
;0Fi
iz ====∑∑∑∑ ;060Qz ====++++−−−− ;kN60Qz ====
∑∑∑∑ ==== ;0M x ;0M x ====
∑∑∑∑ ==== ;0M y (((( )))) ;0x560M y ====−−−−−−−−−−−− ;300x60M y −−−−====
∑∑∑∑ ==== ;0M z (((( )))) ;0x516M z ====−−−−−−−−−−−− .80x16M z −−−−====
[[[[ ]]]]mx 0 5
[[[[ ]]]].kNN 150−−−− 0
[[[[ ]]]]kNmM y 300−−−− 0
[[[[ ]]]]kNmM z 80−−−− 0
в) мащабно начертаване на днаграмите на разрезните усилия
Мащабите за всяка от диаграмите могат да са различни. Графиките на
кривите от втора степен да се начертаят с кривка. Характерните ординати от
диаграмите да се удебелят.
Правила за нанасяне на характерните ординати от диаграмите:
Стойностите на N , zQ , xM и yM се нанасят успоредно на оста z . Върху
положителната й част се нанасят положителните ординати на yM , а върху
отрицателната й ос – положителните ординати на N , zQ и xM .
Стойностите на yQ и zM се нанасят успоредно на оста y . Върху
положителната й част се нанасят отрицателните им ординати.
C=16
Bx=16Ay=60
Az=55
Ax=0
x
4
5
t=30kN/m
60 kN
Bz=245
q=10 kN/m
xm
z
x1
z1
y1
Rq=40
y
=20kNm/m
60
55
N
Qz
My
+
60
-
60
-
95
+
60
-
-
13
0
30
0
300
150
Mx
Qy
Mz
16
16
-
80
80
-
-
в) проверки
- изрязване на възел В
y
1
2
z1
1x
95
16
300B 245
80 60
z2
2x
150
16
300
8060
;0Fi
1ix ====∑∑∑∑ ;06060 ====−−−−
;0Fi
1iy ====∑∑∑∑ ;01616 ====−−−−
;0Fi
1iz ====∑∑∑∑ ;024515095 ====−−−−++++ ;0245245 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M1x ;08080 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M 1y ;0300300 ====−−−−
∑∑∑∑ ==== ;0M1z
.00 ====
- проверка за вида на диаграмите
участък yq yQ zM zq zQ yM
AB 0 const линейна
функция
const линейна
функция
квадратна
функция
BC 0 const линейна
функция
0 const линейна
функция
участък t N xm xM
AB 0 const const линейна
функция
BC const линейна функция 0 const
- диференциална проверка
;qxd
Qd;q
xd
Qd;t
xd
Ndz
zy
y −−−−====−−−−====−−−−====
.Qxd
Md;Q
xd
Md;m
xd
Mdy
zz
y
xx −−−−========−−−−====
Интензивностите на товарите t и xm са положителни, ако имат посоката на
оста x на местната координатна система за участъка. Интензивностите на
товарите yq и zq са положителни, ако са с посоките на осите y и z съответно.
участък АВ
;00;txd
Nd====−−−−==== ;00;q
xd
Qdy
y ====−−−−====
;1010;qxd
Qdz
z −−−−====−−−−−−−−==== ;2020;mxd
Mdx
x −−−−====−−−−−−−−====
;55x1055x10;Qxd
Mdz
y −−−−−−−−====−−−−−−−−==== .00;Qxd
Mdy
z ====−−−−====
участък ВС
(((( ))));3030;txd
Nd−−−−−−−−====−−−−==== ;00;q
xd
Qdy
y ====−−−−====
;00;qxd
Qdz
z ====−−−−==== ;00;mxd
Mdx
x ====−−−−====
;6060;Qxd
Mdz
y ======== (((( )))).1616;Qxd
Mdy
z −−−−−−−−====−−−−====
- площна проверка
;RQQ;RQQ;RNNzql,zd,zyql,yd,ytld −−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−====−−−−
.AMM;AMM;MMMyQl,zd,zzQl,yd,yml,xd,x −−−−====−−−−====−−−−−−−−====−−−−
С l,zl,yl,xl,zl,yl M,M,M,Q,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в
левия край на участъка, а с d,zd,yd,xd,zd,yd M,M,M,Q,Q,N - тези в десния.
tR - равнодействаща на осовия разпределен товар t в участъка. Тя е
положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста x за лява част на
участъка.
yqR - равнодействаща на напречния разпределен товар yq в участъка. Тя
е положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста y за лява част на
участъка.
zqR - равнодействаща на напречния разпределен товар zq в участъка. Тя е
положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста z за лява част на
участъка.
mM - равнодействаща на осовия разпределен товар xm в участъка. Тя е
положителна, когато посоката на xm съвпада с тази на оста x за лява част на
участъка.
yQA - площ на yQ -диаграмата в разглеждания участък. zQA - площ на zQ -
диаграмата в разглеждания участък.
участък tld RNN −−−−====−−−−
yql,yd,y RQQ −−−−====−−−− zql,zd,z RQQ −−−−====−−−−
АВ
00
;06060
====
====−−−−
00
;000
====
====−−−−
(((( ))))4040
;10.45595
−−−−====−−−−
−−−−====−−−−−−−−−−−−
ВС (((( )))) (((( ))))150150
;5.301500
====
−−−−−−−−====−−−−−−−−
(((( ))))00
;01616
====
====−−−−−−−−−−−−
00
;06060
====
====−−−−
участък ml,xd,x MMM −−−−====−−−−
zQl,yd,y AMM ====−−−− yQl,zd,z AMM −−−−====−−−−
АВ
8080
;4.20080
−−−−====−−−−
−−−−====−−−−−−−−
300300
;4.2
55950300
−−−−====−−−−
−−−−−−−−====−−−−−−−−
00
;000
====
====−−−−
ВС
00
;000
====
====−−−−
(((( ))))300300
;5.603000
====
====−−−−−−−−
(((( )))) (((( ))))8080
;5.16800
====
−−−−−−−−====−−−−−−−−
Курсова задача N4: Двумерно напрегнато състояние
Примерна задача
Дадени са напреженията върху две взаимно перпендикулярни площадки,
разположени безкрайно близо до точка от равнинно напрегнато тяло:
.;cm/kN;cm/kN;cm/kN yxxyyx0222 30347 ====−−−−============−−−−==== αττσσ
Да се определят аналитично:
а) главните нормални напрежения 1σ и 2σ , а също и ъглите 1α и 2α , които
нормалите на техните площадки сключват с оста x ;
б) екстремните стойности на тангенциалните напрежения maxτ и minτ , а
също и нормалните напрежения medσ върху техните площадки;
в) нормалното напрежение ασ и тангенциалното ατ върху площадка, чиято
нормала сключва ъгъл 030====α с оста x .
Да се извърши и графично решение с окръжността на Мор. Върху нея да се
означат всички характерни точки, нормалите на съответните площадки и
векторите на нормалните и тангенциални напрежения, записани със стойности.
Нормалните напрежения се нанасят върху нормалата на сечението. Ако са
положителни, техните вектори са насочени навън от сечението.
Тангенциалните напрежения имат направление, успоредно на площадката,
за която се отнасят. За площадка с нормала x положителното тангенциално
напрежение се нанася, като векторът на положителното нормално напрежение се
завърти на 090 обратно на часовниковата стрелка. За всички останали площадки
положителното тангенциално напрежение се нанася, като векторът на
положителното нормално напрежение се завърти на 090 по часовниковата
стрелка.
Положителният ъгъл α се измерва от оста x в посока, обратна на
часовниковата стрелка.
Положителните посоки на напреженията xσ , yσ , xyτ и yxτ са показани на
следната схема:
σ
τ
xyτ
yx
M
yσ
y
x x
В разглежданата задача векторите на напреженията са означени по-долу:
4 kN/m
M
x
23 kN/m
3 kN/m2
27 kN/m
y
2
а) определяне на главните нормални напрежения 1σ и 2σ , а също и ъглите
1α и 2α , които нормалите на техните площадки сключват с оста x ;
2221
22xy
yxyx
, τσσσσ
σ ++++
−−−−±±±±
++++==== ;
(((( ))))2221 3
2
47
2
47−−−−++++
−−−−−−−−±±±±
++++−−−−====,σ ; ;,,, 26565121 ±±±±−−−−====σ
;cm/kN,;cm/kN, 22
21 76577654 −−−−======== σσ
Проверка:
;yx σσσσ ++++====++++ 21 (((( )))) ;;,, 334776577654 −−−−====−−−−++++−−−−====−−−−++++
;xyyx2
21 τσσσσ −−−−==== (((( )))) (((( )))) (((( )))) .;.,, 3737347765776542 −−−−====−−−−−−−−−−−−−−−−====−−−−
;tg;tgy
xy
y
xy
σσ
τα
σσ
τα
−−−−====
−−−−====
22
11
.,;,,
tg
;,;,,
tg
022
011
30142550047657
3
7075922347654
3
========−−−−−−−−
−−−−====
−−−−====−−−−====−−−−
−−−−====
αα
αα
Проверка:
;;,.,;tgtg 11125509223121 −−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−====αα
(((( )))) .;,,; 00000012 9090907075301490 ========−−−−−−−−====−−−−αα
75.
70°
7.765 kN/m
n1
4.765 kN/m2
M14.30° x
2n
2
б) определяне на екстремните стойности на тангенциалните напрежения
maxτ и minτ , а също и нормалните напрежения medσ върху техните площадки;
(((( ))))
;cm/kN,,,
; minmax,minmax,221 2656
2
76577654
2±±±±====
−−−−−−−−±±±±====
−−−−±±±±==== τ
σστ
(((( ))))
.cm/kN,,,
; minmax,med221 51
2
76577654
2−−−−====
−−−−++++====
++++==== τ
σσσ
Нормалите на тези площадки разполовяват правите ъгли между нормалите
на главните площадки.
26.265 kN/m
59.3
0°
6.265 kN/m
M
n3
21.5 kN/m
2
30.70°
x
1.5 kN/m4
n2
в) нормалното напрежение ασ и тангенциалното ατ върху площадка, чиято
нормала сключва ъгъл 030====α с оста x .
;sincos xy
yxyx ατασσσσ
σα 2222
++++−−−−
++++++++
====
(((( ))))
;cm/kN,
;sincos
2030
00030
8486
603602
47
2
47
−−−−====
−−−−++++−−−−−−−−
++++++++−−−−
====
====
====
α
α
σ
σ
;cossin xy
yx ατασσ
τα 222
−−−−−−−−
====
(((( ))))
.cm/kN,
;cossin
2030
00030
2633
603602
47
−−−−====
−−−−++++−−−−−−−−
====
====
====
α
α
τ
τ
3.263 kN/mM
30°
n
26.848 kN/m
2
x
Графично решение с окръжността на Мор
2cm/kN1cm1 ÷÷÷÷
(((( )))) (((( )))) ;;S;;S xyy
2
xyx0 τστσ π−−−−
(((( )))) (((( )))) .3;4S;3;7S
2
0 −−−−−−−− π
Sπ/6
S2
1.5
n3
oS x714.30°30°T
n4
1.5
6.265
S6S4
C O
3
4.765
n1
75.70°
1S
π/2
nσ
S
6.265
S5
S3
nτ
y
34
3.263
6.848
2n
7.765
n
От окръжността се отчитат нормалните и тангенциалните напрежения в
характерните площадки и се сравняват със стойностите от аналитичното
решение.
Курсова задача N5: Главни инерционни моменти и оси
Примерна задача
Да се определят аналитично главните инерционни моменти и оси за
показаната съставна фигура.
3.44.953
1
Y
Z
3.447
2.447
C2yC2
3z z2
3C3y
y1
6 cm
0.8
14
.5
1
1.580
1.292
0.6320.983
z1
1C
Iy
z I
O
L100.63.10
От таблицата отчитаме следните характеристики за профил :10.63.100L
6.3 cm
1.58
10
L100.63.10
3.4
y
z
C
.cm65,48I;cm1,47I;cm154I;cm5,15A 4yz
4z
4y
2 −−−−================
1. Определяне на центъра на тежестта на фигурата.
;cm72,4z;cm4,11y;cm5,15A I
1CI
1C2
1 ============
;cm15,3z;cm4y;cm4,503,6.8A I
2CI
2C2
2 ================
;cm5,2z;cm3y;cm5,132
5,4.6A I
3CI
3C2
3 ================
;cm4,525,134,505,15A;AAAA 2321 ====−−−−++++====−−−−++++====
;A
y.Ay.Ay.Ay
I
3C3I
2C2I
1C1IC
−−−−++++==== ;
A
z.Az.Az.Az
I
3C3I
2C2I
1C1IC
−−−−++++====
;cm447,64,52
3.5,134.4,504,11.5,15y I
C ====−−−−++++
====
.cm782,34,52
5,2.5,1315,3.4,5072,4.5,15z IC ====
−−−−++++====
2. Определяне на осовите и на центробежния инерционни моменти за
осите Y и Z .
За намирането им се прилага теоремата на Щайнер. Всички отстояния,
които се повдигат на квадрат, трябва да бъдат котирани на чертежа.
;IIII 3,Y2,Y1,YY −−−−++++====
;cm74,60938,0.5,151,47I 421,Y ====++++====
;cm83,186632,0.4,5012
3,6.8I 42
3
2,Y ====++++====
;cm38,37282,1.5,1336
5,4.6I 42
3
3,Y ====++++====
;38,3783,18674,60IY −−−−++++==== ;cm19,210I 4Y ====
;IIII 3,Z2,Z1,ZZ −−−−++++====
;cm25,534953,4.5,15154I 421,Z ====++++====
;cm59,570447,2.4,5012
8.3,6I 42
3
2,Z ====++++====
;cm40,187447,3.5,1336
6.5,4I 42
3
3,Z ====++++====
;40,18759,57025,534IZ −−−−++++==== ;cm44,917I 4Z ====
;IIII 3,YZ2,YZ1,YZYZ −−−−++++====
(((( )))) (((( )))) ;cm66,120953,4.938,0.5,1565,48I 41,YZ ====−−−−−−−−++++====
;cm94,77632,0.447,2.4,500I 42,YZ ====++++====
;cm53.49282,1.447,3.5,1372
5,4.6I 4
32
3,YZ ====++++−−−−====
;53,4994,7766.120IYZ −−−−++++==== .cm07,149I 4YZ ====
3. Определяне на главните инерционни моменти 1I и 2I и положението на
главните централни инерционни оси, определени с ъглите 1α и 2α
спрямо оста Y .
2YZ
2ZYZY2,1 I
2
II
2
III ++++
−−−−±±±±
++++==== ;
222,1 07,149
2
44,91719,210
2
44,91719,210I ++++
−−−−±±±±
++++==== ;
;76,38382,563I 2,1 ±±±±====
;cm06,180I;cm58,947I 42
41 ========
Проверка:
;IIII ZY21 ++++====++++
;6,112764,1127;44,91719,21006,18058,947 ====++++====++++
;IIIII 2YZZY21 −−−−====
.8487,1706142548,170621;07,14944,917.19,21006,18058,947 2 ≅≅≅≅−−−−====
;II
Itg;
II
Itg
2Z
YZ2
1Z
YZ1 −−−−
====−−−−
==== αα
.43,11;2022,006,18044,917
07,149tg
;57,78;946,458,94744,917
07,149tg
022
011
========−−−−
====
−−−−====−−−−====−−−−
====
αα
αα
Проверка:
;11;12022,0.946,4;1tgtg 21 −−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−====αα
Курсова задача N6: Чист опън / натиск при статически
неопределими системи
Примерна задача 1:
Дадената идеално твърда греда е подпряна по начина, показан на схемата.
Прътите са стоманени. Прътът 1 е с площ на напречното сечение 1A , а прътът 2 –
с площ 2A . В сила е 21 A8,1A ==== .
Иска се:
а) да се определят опорните реакции;
б) да се оразмерят прътите, като най-напред се определи площта 1A . При
нея закръгляването да се извърши до десета от квадратен сантиметър;
в) да се определи в cm напречното на оста на гредата преместване на
сечение D , в което е приложена силата F ;
г) да се извърши проверка на нормалните напрежения с получените в б)
напречни сечения на прътите при отсъствие на външно натоварване, а промяна
на температурата на прът 1 с C30t 0====∆ . Коефициентът на линейно температурно
разширение на стоманата е C
110
O
5t
−−−−====α , а модулът на линейните деформации
на стоманата 24 cm/kN10.2E ==== . Дадено е и допустимото напрежение за
стоманата 2adm cm/kN16====σ ..
3
60°
B
=333.30 kN
1
K"
K'
K
L'
L
D'
D
VB
4 2 m
=58.86 kNHB
F=432 kN
12
1S2S3
0°
а) определяне на опорните реакции
1) ;0S330sinS71.432;0M 20
1B ====−−−−−−−−====∑∑∑∑ ;0S3S5,3432;0M 21B ====−−−−−−−−====∑∑∑∑
2) ;7
3
KK
LLI
I
==== ;3
LL7KK
II ====
;2
160cos
KK
KK 0
I
III
======== ;KK2KK IIII ====
;3
LL7KK2
IIII ====
;EA
6.S
EA
lSlKK
1
1
1
111
III ============ ∆ ;EA
3.S
EA
lSlLL
2
2
2
222
I ============ ∆
.EA3
3.S7
EA
6.S2
2
2
1
1 ====
Последното равенство се умножава с 1EA и се отчита зависимостта
21 A8,1A ==== . Получава се следната връзка между усилията в двата пръта:
21 S05,1S ==== .
След заместването на този израз за 1S в условие 1) се намират
.kN72,64S;kN96,67S 21 ========
3) ;06.432S4B7;0M 2VK ====−−−−++++====∑∑∑∑ ;kN30,333BV ====
Проверка:
;0432BS30sinS;0V V20
1 ====−−−−++++++++====∑∑∑∑
;0432432;043230,33172,6430sin96,67 0 ====−−−−====−−−−++++++++
4) ;0B30cosS;0H H0
1 ====−−−−====∑∑∑∑ .kN86,58B;0B30cos96,67 HH0 ========−−−−
б) оразмеряване на прътите, като най-напред се определя площта 1A . При
нея закръгляването се извършва до десета от квадратен сантиметър.
;A
Sadm
1
11,x σσ ≤≤≤≤==== ;
A
Sadm
2
22,x σσ ≤≤≤≤==== ;cm/kN16 2
adm ====σ
;16A
96,67
1
1,x ≤≤≤≤====σ ;16A
72,64
2
2,x ≤≤≤≤====σ
;cm248,4A;16
96,67A 2
11 ≥≥≥≥≥≥≥≥
.cm281,7A;16
72,64
8,1
A 21
1 ≥≥≥≥≥≥≥≥
Прието .cm056,48,1
3,7
8,1
AA;cm3,7A 21
22
1 ================
;;cm/kN310,93,7
96,67
A
Sadm1,x
2
1
11,x σσσ ≤≤≤≤============
.;cm/kN96,15278,4
72,64
A
Sadm2,x
2
2
22,x σσσ ≤≤≤≤============
в) определяне в cm на напречното на оста на гредата преместване на
сечение D
ID DD====δ ;
;3
LLDD;
3
1
LL
DD II
I
I
========
2
222
I
EA
lSlLL ======== ∆ ; ;cm239,0
056,4.10.2
300.72,64LL
4
I ========
.cm0798,03
239,0D ========δ
г) проверка на нормалните напрежения с получените в б) напречни сечения
на прътите при отсъствие на външно натоварване, а промяна на температурата
на прът 1 с C30t 0====∆ .
3
4
K'
K
2 m
L
L'
K"
1
B
S2S1
21
30°
1) ;0S330sinS7;0M 20
1B ====−−−−−−−−====∑∑∑∑ ;S857,0S 21 −−−−====
2) ;7
3
KK
LLI
I
==== ;3
LL7KK
II ====
;2
160cos
KK
KK 0
I
III
======== ;KK2KK IIII ====
;3
LL7KK2
IIII ====
;6.30.00001,0EA
6.Sl.t.
EA
lSlKK
1
11t
1
111
III ++++====++++======== ∆α∆ ;0018,0EA
6.SKK
1
1III ++++========
;EA
3.S
EA
lSlLL
2
2
2
222
I ============ ∆
;EA3
3.S70018,0
EA
6.S2
2
2
1
1 ====
++++
Последното равенство се умножава с 1EA и се отчита зависимостта
21 A8,1A ==== .
;A
.AS7EA0036,0S12
2
1211 ====++++
;8,1.S73,7.10.2.0036,0S12 24
1 ====++++ ;S857,0S 21 −−−−==== ;6,525S884,22 2 −−−−====−−−−
;kN68,19S 1 −−−−==== .kN97,22S 2 ====
;cm/kN696,23,7
68,19;
A
S 21,x
1
11,x −−−−====
−−−−======== σσ
.cm/kN663,5056,4
97,22;
A
S 22,x
2
22,x ============ σσ
Примерна задача 2:
Стоманената колона е натоварена съгласно схемата.
Иска се:
а) да се построи диаграмата на нормалните разрезни усилия N ;
б) да се оразмери колоната в двата участъка, ако е дадена зависимостта
между площите на напречните им сечения 1A и 2A 21 A2A ==== . Да се определи
най-напред площта 1A . При нея закръгляването да се извърши до десета от
квадратен сантиметър.
в) да се определи в cm преместването на сечение B ,което е на границата
на двата участъка на колоната;
г) да се извърши проверка на нормалните напрежения с получените в б)
напречни сечения в двата участъка при отсъствие на външно натоварване, а
промяна на температурата на колоната с . C30t 0====∆ . Коефициентът на линейно
температурно разширение на стоманата е C
110
O
5t
−−−−====α , а модулът на линейните
деформации на стоманата 24 cm/kN10.2E ==== . .Дадено е и допустимото
напрежение за стоманата 2adm cm/kN16====σ .
100 kN 17.5x
3 m
100 kN
-
217.5
217.5
x
2
1A
B
A
A=217.7 kN N
C
C=162.5 kN
2A 60 kN/m
162.5
+
а) построяване на диаграмата на нормалните разрезни усилия N
1) ;03.602.100CA;0V ====−−−−−−−−++++====∑∑∑∑ .380CA ====++++
участък m2x0:AB ≤≤≤≤≤≤≤≤
N1
A
x1AA
.AN;0AN;0V 11 −−−−========++++====∑∑∑∑
участък m3x0:BC ≤≤≤≤≤≤≤≤
N
A2
A1
100 kN
2
x
60 kN/m
A
A
B
2
100 kN
;A200x60N;0x602.100AN;0V 22 −−−−++++========−−−−−−−−++++====∑∑∑∑
;0dxNA
AdxN
3
02
2
12
01 ====∫∫∫∫++++∫∫∫∫ (((( )))) (((( )))) ;0dxA200x602dxA
3
0
2
0
====∫∫∫∫ −−−−++++++++∫∫∫∫ −−−−
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] ;003A032000330202A 22 ====−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−−−−−
;kN5,217A;1740A8 ======== ;kN5,162C ====
;kN5,217N1 −−−−==== ;5,217200x60N2 −−−−++++==== .5,17x60N2 −−−−====
б) оразмеряване на колоната в двата участъка, ако зависимостта между
площите на напречните им сечения е 21 A2A ==== . Определя се най-напред площта
1A . При нея закръгляването се извършва до десета от квадратен сантиметър.
[[[[ ]]]]mx 0 3
[[[[ ]]]]kNmN2 5,17−−−− 5,162
;A
Nmaxmax adm
1
11,x σσ ≤≤≤≤==== ;
A
Nmaxmax adm
2
22,x σσ ≤≤≤≤====
;.cm/kN16 2adm ====σ
;.16A
5,217max
1
1,x ≤≤≤≤====σ ;16A
5,162max
2
2,x ≤≤≤≤====σ
;cm59,13A;16
5,217A 2
11 ≥≥≥≥≥≥≥≥
.cm31,20A;16
5,162
2
A 21
1 ≥≥≥≥≥≥≥≥
Прието ;cm2,102
4,20
2
AA;cm4,20A 21
22
1 ================
;;cm/kN66,104,20
5,217
A
Nadm1,x
2
1
11,x σσσ ≤≤≤≤−−−−====
−−−−========
.;cm/kN93,152,10
5,162
A
Nadm2,x
2
2
22,x σσσ ≤≤≤≤============
в) определяне на преместването на сечение B в cm
;EA
l5,217
1
1B ====δ .cm107,0
4,20.10.2
200.5,2174B ========δ
г) проверка на нормалните напрежения с получените в б) напречни сечения
в двата участъка при промяна на температурата на колоната с C30t 0====∆ и
отсъствие на външно натоварване.
3 m
x
A
B
A
A1
2
x
C
C
A2
1) .0CA;0V ====++++====∑∑∑∑
участък m2x0:AB ≤≤≤≤≤≤≤≤
x
A
A1
1N
;AN;0AN;0V 11 −−−−========++++====∑∑∑∑
участък m3x0:BC ≤≤≤≤≤≤≤≤
A
2
B
A
x
2
1A
2A
N
;AN;0AN;0V 22 −−−−========++++====∑∑∑∑
(((( )))) ;0llll.t. 2121t ====++++++++++++ ∆∆∆α ;EA
l.Nl;
EA
l.Nl
2
222
1
111 ======== ∆∆
(((( )))) ;EA
l.N
EA
l.Nll.t.t 0
2
22
1
1121 ====++++++++++++∆α
(((( )))) ;0EA
300.A
EA
200.A300200.30.00001,0
21
====−−−−
++++−−−−
++++++++ .0EA
300.A
EA
200.A15,0
21
====−−−−
++++−−−−
++++
Това равенство се умножава с .EA 1
;0A
AA300A200EA15,0
2
11 ====−−−−−−−−
Отчита се 21 A2A ==== .
;2.A300A20000001,0.10.2.152,0 4 ++++==== ;61200A800 ==== ;kN5,76A====
;kN5,76N 1 −−−−==== ;kN5,76N 2 −−−−====
;cm/kN75,34,20
5,76;
A
N 21,x
1
11,x −−−−====
−−−−======== σσ
.cm/kN5,72,10
5,76;
A
N 22,x
2
22,x −−−−====
−−−−======== σσ