Основы Метода Конечных Элементов Для Решения Задач...

07 февраля 2008 г. 1

Основы метода конечных элементов

для решения задач геотехники

Михаил Львович Холмянский

Ведущий научный сотрудник НИИОСП им. Н.М. Герсеванова,

кандидат технических наук

НИИОСП им. Н.М. Герсеванова

Курс лекций 2007-08 гг.

Лекция № 8


Метод конечных элементов (МКЭ) — чем он НЕ является:

МКЭ — НЕ метод решения задач строительной механики: например, в программе COMSOL решаются задачи из следующих областей науки и техники:

Электротехника

Акустика

Медицинская техника

Биотехнология

Химия

Химическая технология

Электростатика и магнитостатика

Электрохимия

Гидромеханика

Геофизика

Теплопроводность

Гидрогеология

Материаловедение

Микроэлектромеханические системы

Численный анализ

Оптика

Оптимизация

Нефтепромысловое дело

Управление производством

Радиотехника

Полупроводниковые устройства

Строительная механика

Идентификация систем

Тем не менее, МКЭ возник именно в строительной механике!


Термин метод конечных элементов (МКЭ) появился в 1960 году в работе:

Clough, R. W., “The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”, Proc. 2nd ASCE Conf. On Electronic Computation, Pittsburg, Pa. Sept. 1960.

Однако и ранее выполнялись работы в этом направлении (без применения самого термина; см., например):

Turner, M., R. W. Clough, H. C.Martin and L. J. Topp, “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures”, J. Aeronautical Science, 23 (9), pp. 805-823, Sept. 1956.Argyris,J., “Energy Theorems and Structural Analysis”, Aircraft Engineering, v.26, 1954.

Проводилась также аппроксимация сплошной среды дискретными конструкциями на основе физических соображений:

Hrennikoff, A. “Solution of Problems in Elasticity by the Framework Method”, J. Appl. Mech., 8, pp. 169-175, 1941.McHenry, D., “A Lattice Analogy for the Solution of Plane Stress Problems”, J. Inst. Civil Eng., 21 (2), 1943.Ржаницын А.Р. Представление сплошного изотропного упургого тела в виде шарнирно-стержневой системы, Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности, М., 1956.


Тем не менее, МКЭ был предвосхищен работами:Courant, R., “Variational Methods for Solution of Equilibrium and Vibration”, Bull. Am. Math Soc., Vol. 49, 1943, pp. 1-43.Prager, W. and Synge, J. L., “Approximation in Elasticity based on the Concept of Functional Space”, Q. J. Appl. Math. Soc., V. 5, 1947, pp. 241-269.

МКЭ — НЕ вариационно-разностный метод решения краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных:•уравнения могут быть гиперболическими или параболическими, интегральными и т.д. или же системой уравнений разных типов;•математической основой МКЭ могут быть методы взвешенных невязок;•базисные функции могут быть не финитные;•…


МКЭ основан на:

1. Разбиении системы на большое (но конечное) количество элементов 2. Описании искомого решения задачи внутри каждого элемента через конечное число

неизвестных3. Запись уравнений связи между неизвестными при объединении элементов в единую

систему4. Решение системы

Необходимое условие - использовании компьютеров (и матричной алгебры)


Некоторые другие численные методы и их связь с МКЭ

1. Метод конечных разностей (МКР). Дифференциальные уравнения задачи приближенно заменяются на уравнения в конечных разностях, связывающие значения неизвестных (перемещений, напряжений) в отдельных точках. Общее количество неизвестных ─ как в МКЭ. В некоторых случаях уравнения МКР и МКЭ идентичны. МКЭ лучше описывает сложную форму области; МКР проще программируется. В геомеханике широко применяется программа FLAC, реализующая МКР.

2. Метод граничных интегральных уравнений или граничных элементов (МГИУ, МГЭ). Дифференциальные уравнения задачи точно заменяются на интегральные уравнения по границе тела. Общее количество неизвестных значительно сокращается, особенно в пространственной задаче. Требует значительной аналитической работы (поиск функций Грина) и в основном ограничивается линейными задачами. Применяемые в геомеханике коммерческие программы неизвестны.


Разновидности МКЭ

1. По области применения (см. ранее).

2. По типу неизвестных (в строительной механике – включая геомеханику): обобщенные перемещения или обобщенные силы.

3. По базисным функциям, используемым для аппроксимации неизвестных: полиномы разных порядков, сплайны и т.д.

4. По способу построения уравнений: метод жесткости, метод взвешенных невязок и т.д.

5. …


Понятие об алгебре матриц

Линейное преобразование

y1 = A11x1+…+A1n

…

ym = Am1x1+…+Amn

кратко записывается какy = A x x,y – векторы столбцы из чисел – m и n соответственноA – матрица – прямоугольная таблица из чисел

с m строками и n столбцамиЕсли y = Ax и x = Bu, то y = Cu,

где C = AB – произведение матриц, Cik = Σj Aij Bjk

I – матрица с единицами на диагонали (остальные элементы нули) – единичная матрица: IA = AI

A–1 – обратная матрица: A–1A = A A–1 = IB = AT –транспонированная матрица: Bij = Aji


Общая система уравнений строительной механики

Статическое уравнение (равновесия): AS = P P – внешние силыA – матрица уравнений равновесияS – внутренние усилия

Геометрическое уравнение (совместности): Δ = ATZ Δ – внутренние деформацииZ – внешние перемещения

Физическое уравнение (закон Гука): S = D (Δ – Δ’)Δ’ – дополнительные деформацииD – матрица упругих постоянных

07 февраля 2008 г. 10

Метод перемещений

KZ = P + P’

K = ADAT – матрица жесткости

P’ = ADΔ’ – вектор дополнительных нагрузок

P – внешние силы

A – матрица уравнений равновесия

Z – внешние перемещения

D – матрица упругих постоянных

07 февраля 2008 г. 11

ФермаP – узловые силы

S – усилия растяжения стержней

Δ – деформации растяжения стержней

Z – перемещения узлов

Геометрическое уравнение (совместности) для стержня (КЭ) e:

Δ(e) = (A(e) )T Z

Статическое уравнение (совместности) для стержня (КЭ) e:

S(e) = D(e) Δ(e) = D(e) (A(e) )T Z

Для всей фермы:

S = [ D(e) (A(e) )T ] Z

P = AS = Σe A(e)D(e)(A(e))T Z

т.е.

P = KZ – матрица жесткости (глобальная)

K = Σe K(e)

K(e) = A(e)D(e)(A(e))T – матрица жесткости элемента

07 февраля 2008 г. 12

Простейший пример плоской фермы

Для отдельного стержня

x

β

1

2

A = [cos β sin β -cos β -sin β ]T

D = EΩ/L

07 февраля 2008 г. 13

Матрица жесткости для элемента

07 февраля 2008 г. 14

Разбиение конструкции на элементы

07 февраля 2008 г. 15

Элемент 1 (β = 0),его матрица жесткости

и расширенная матрица жесткости

Глобальная матрица жесткости системы

)()( 31

e

N

e

e NKKe

07 февраля 2008 г. 16

Более общий случай

u – неизвестные (степени свободы)

Z = Nu

N – базисные функции (функции формы)

Δ = Bu

B = AT N

S = LDBu

f = LS – силы, соответствующие степеням свободы

Какие способы определения силы f по внутренним усилиям S?

а) Прямой (см. далее)

б) Метод возможных перемещений

…

f = Ku

K = LADB – матрица жесткости

07 февраля 2008 г. 17

Пример прямого определения сил: треугольный конечный элемент с постоянными напряжениями

fx2 = (1/2) (y3σx + (x2-x3)τxy – x2τxy )

07 февраля 2008 г. 18

Определение сил методом возможных перемещений

δu, … – возможные изменения неизвестных, …

(δΔ)T*S = (δu)T*f – равенство работ внешних и внутренних сил

(δΔ)T = (δu)T BT

S = DBu

(δu)T *BT DBu = (δu)T*f

f = BT*DBu

или

f = Ku

K = BT*DB

Если деформации связаны с конечными элементами:

K = Σe K(e)

07 февраля 2008 г. 19

Разбиение на конечные элементы

07 февраля 2008 г. 20

Простейшие базисные функции N и их линейные комбинации

Базисные функции N отличны от нуля только на тех КЭ, которые содержат соответствующий им узел

07 февраля 2008 г. 21

Плоская деформация

P = [ –Px(x,y) –Py(x,y) ]T – объемные силы

A = ∂/∂x ∂/∂y 0

0 ∂/∂x ∂/∂y

S = [ σx (x,y) τxy(x,y) σy (x,y) ] T – напряжения

Z = [ ux(x,y) uy(x,y) ]T – перемещения

Eoed ξEoed 0D = ξ Eoed Eoed 0

0 0 G

07 февраля 2008 г. 22

Матрица жесткости конечного элемента (плоская деформация)

K = ∫Ω (B(x,y))T D B(x,y) dΩ = Σe K(e)

K(e) = ∫Ωe (B(x,y))T D B(x,y) dΩ

B(x,y) = AT N (x,y)

Kij = ∫Ω (Bi (x,y))T D Bj(x,y) dΩ

Bi (x,y) – i-й столбец матрицы B(x,y) – деформации в точке (x,y) при единичном значении ui (остальные нулевые)

Kij отлично от нуля только если неизвестные i и j вызывают ненулевые деформации хотя бы в одном КЭ одновременно, то есть если есть КЭ содержащий оба соответствующие узла

07 февраля 2008 г. 23

Матрица жесткости – разреженная

07 февраля 2008 г. 24

Решение системы линейных алгебраических уравнений

Использование редкозаполненности при использовании методов исключения (ленточные матрицы, контурные матрицы)

Итерационные методы

Число обусловленности матрицы c(A)= |A| |A–1| – на сколько неверных десятичных цифр больше в решении

c(A)= const / (h2 sin3 αmin)

07 февраля 2008 г. 25

Сходимость МКЭ

h-сходимость

p-сходимость

07 февраля 2008 г. 26

«Физические» КЭ

жесткость изгибной пружины:

gi=2*EI / (Li-1+Li)

07 февраля 2008 г. 27

Общая структура программы МКЭ (линейный случай)

Препроцессор

Постпроцессор

Определение матриц жесткости для отдельных КЭ

Сборка глобальной матрицы жесткости и правых частей

Учет граничных условий и решение системы линейных алгебраических уравнений

Процессор (решатель)

07 февраля 2008 г. 28

Построение системы уравнений МКЭ

07 февраля 2008 г. 29

Вычисление интегралов при формировании МКЭ

Kij = ∫Ω (Bi (x,y))T D Bj(x,y) dΩ

B(x,y) = AT N (x,y)

Если N(x,y) – линейные многочлены, то интеграл – от константы

В общем случае можно использовать квадратурные формулы вида (в 2-х измерениях):

Для многочленов при достаточно большом числе точек интегрирования интегралы вычисляются точно.

N

iiii yxfwdyxfI

1

),(),(

07 февраля 2008 г. 30

Пример: точки интегрирования для КЭ с 15 узлами

07 февраля 2008 г. 31

Примеры МКЭ в линейных задачах геомеханики

1. Расчет напряжений

2. Расчет осадок

3. Расчет взаимодействия конструкций с грунтом

Возможные ошибки из-за комбинирования КЭ различной геометрической размерности:

Плоская деформация и пространственная задача: контакт края пластинки и сплошной среды

Пространственная задача: контакт стержня со сплошной средой

07 февраля 2008 г. 32

Моделирование при помощи трехмерных конечных элементов сплошной среды

Бесконечная плита на слое конечной толщины; сравнение с аналитическим решением О.Я. Шехтер (1939)

wP

E

J tr L

t tH Ldt

1 0

2

0

03

0

/

/

( )

( )

( )

ch

sh

22

3 4

4 1 1 2

3 4

22

3 4

0

2 02

02

0

0

07 февраля 2008 г. 33

Результаты расчета

07 февраля 2008 г. 34

Нелинейные задачи механики грунтов

1. Нелинейная упругость

2. Пластичность

3. Вязкопластичность

4. Геометрическая нелинейность

…

07 февраля 2008 г. 35

Линеаризация – сведение к линейной задаче

Условная запись нелинейной связи напряжений и деформаций (для сплошной среды):

F(σ, ε) = 0ε = Δ – деформацииσ = S – напряжения

Физическое уравнение (закон Гука для сплошной среды):

σ – σ’ = D (ε – ε’)ε’ – дополнительные деформацииσ’ – дополнительные напряженияD – матрица упругих постоянных

Решение – подбор параметров σ’, ε’ или D, при которых оба уравнения удовлетворяются одновременно

07 февраля 2008 г. 36

Варианты линеаризации

Во всех случаях осуществляется итерационный подбор:

D – метод переменной жесткости (переменных параметров упругости)

ε’ – метод начальных деформацийσ’– метод начальных напряжений

07 февраля 2008 г. 37

Метод переменной жесткости (переменных параметров упругости)

07 февраля 2008 г. 38

Метод начальных деформаций

07 февраля 2008 г. 39

Метод начальных напряжений

07 февраля 2008 г. 40

Теория пластического течения

ε = ε(e) + ε(p)

ε(e) – D–1 σ – упругие деформацииε(p) – пластические деформации

dε(p) = λ ∂G / ∂ σ – приращения пластических деформацийG – поверхность нагружения

Нет однозначной связи между напряжениями и деформациями (только при пропорциональном нагружении)

Применяется шаговый процесс нагружения (с итерациями на каждом шаге)

07 февраля 2008 г. 41

Изменение деформируемой системы (насыпь, выемка)

Начальное состояние

Исследуемое состояние

Расчетная схема этапа

07 февраля 2008 г. 42

Определение коэффициента устойчивости

Для идеальной пластичности проводится расчет с постепенным пропорциональным уменьшением в K раз сцепления и трения в КЭ массива и в контактных КЭ.

При этом в K раз уменьшаются «удерживающие силы»; максимальное значение K = Kst, при котором возможно провести расчет, и есть коэффициент устойчивости. Получающиеся перемещения показывают механизм потери устойчивости.

07 февраля 2008 г. 43

Пример: расчет устойчивости на различных этапах строительства здания на склоне

1

2

3

4

5

07 февраля 2008 г. 44

07 февраля 2008 г. 45

Сочетание МКЭ и метода граничных элементов (МГЭ)

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Элементы и скважины

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

1112

1314

1516

17

1819

20

21

2223

24

25

26

2728

29

30

31

3233

34

35

36

3738

39

40

41

4243

44

45

46

47

48

49

50

51

52

5354

5556

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

8283

Скв-2

Скв-3

Скв-4

Скв-5Скв-6

Скв-7

Скв-10

Скв-16

План граничных элементов и скважин с номерами; крестиками (+) обозначены центры тяжести граничных элементов

07 февраля 2008 г. 46

Пример группировки (получения граничных элементов при помощи объединения

конечных элементов)

07 февраля 2008 г. 47

Примеры особенностей геотехнических конечноэлементных расчетов

• Сочетание элементов различной геометрической размерности (1D, 2D, 3D)

• Необходимость применения контактных элементов (интерфейсов) с непропорционально (относительно сцепления и трения) пониженной прочностью

• Многофазность грунта и необходимость (в некоторых случаях) совместного расчета деформирования и фильтрации воды в порах

07 февраля 2008 г. 48

Конечноэлементные расчеты в динамике грунтов

Метод перемещений с учетом нестационарных колебаний

KZ = P – M d2Z / dt2 – B dZ / dt

При гармонических колебаниях

P = Q exp(iωt); Z = A exp(iωt)

(K + iωB – ω2M) A = Q

Проблемы: поглощение в среде, неотражающие границы

07 февраля 2008 г. 49

Распространение колебаний от метро: расчетная схема

07 февраля 2008 г. 50

Распространение колебаний от метро: результаты расчетов

07 февраля 2008 г. 51

Контроль правильности конечноэлементных расчетов

1. Верификация программСоответствие дискретных моделей КЭ аналоговым моделям механики: теории упругости, пластичности и т.п. (однородное напряженное состояние, задача о круговом отверстии, … )

2. Валидация расчетов Соответствие результатов расчетов натуре

(сопоставление с имеющимися наблюдениями на объекте, с объектами-аналогами, с результатами альтернативных расчетов и т.д.)

07 февраля 2008 г. 52

Основная литература (рекомендуемая)

1. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

3. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.5. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н.

Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы . М.: Стройиздат, 1983.

6. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. The Finite Element Method /5-th ed. Oxford, UK: Butterworth-Heinemann, 2000. Vol. 1. The Basis. Vol. 2. Solid Mechanics. Vol. 3. Fluid Dynamics.

7. Hutton D.V. Fundamentals of Finite Element Analysis. McGrow-Hill, 2004.

07 февраля 2008 г. 53

Дополнительная литература (использованная)

1. Felippa C.A. A historical outline of matrix structural analysis: A play in three acts. Boulder: Colorado University, 2000.

2. Clough R.W., Wilson E.L. Early finite element research at Berkeley. Paper presented at the Fifth U.S. National Conference on Computational Mechanics, Aug. 4-6, 1999.

3. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977.

4. http://en.wikipedia.org.

07 февраля 2008 г. 54

Помните!

Метод конечных элементов ─ могучий инструмент геомеханика, в неумелых руках приобретающий огромную разрушительную силу и обеспечивающий автоматическое получение неправильных результатов с высокой точностью.

Основы Метода Конечных Элементов Для Решения Задач...

Documents