1

数 学 分 析

1 使学生深刻理解定积分的概念及其思想， 了解它在微积分学中的地位。2 通过知识学习，使学生初步具有应用定积

分的思想进行分析应用的能力。3 掌握定积分的几何应用和物理应用。

教学目标：

第八章定积分的应用和近似计算

2

回顾 曲边梯形求面积的问题

b

adxxfA )(

问题的提出

曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线

)( xfy )0)(( xf 、

x 轴 与 两 条 直 线 ax 、

bx 所 围 成 。a b x

y

o

)(xfy

3

面积表示为定积分的步骤如下

（1）把区间 ],[ ba 分成n个长度为 ix 的小区间，

相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i

小窄曲边梯形的面积为 iA ，则

n

iiAA

1

.

（2）计算iA的近似值

iii xfA )( ii x

（ 3 ） 求和，得 A的近似值 .)(1

ii

n

i

xfA

4

a b x

y

o

)(xfy

（ 4 ） 求极限，得 A的精确值

ii

n

i

xfA

)(lim10

b

adxxf )(

提示 若 用 A 表 示 任 一 小 区 间

],[ xxx 上 的 窄 曲 边 梯 形 的 面 积 ，

则 AA ， 并 取 dxxfA )( ，

于 是 dxxfA )(

dxxfA )(lim .)(b

adxxf

x dxx

dA

面积元素

5

当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间 ba,有关的量；

（2）U对于区间 ba,具有可加性，就是说，如果把区间 ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为 iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U

6

元素法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；

2 ） 设 想 把 区 间 ],[ ba 分 成 n 个 小 区 间 ， 取 其 中 任一 小 区 间 并 记 为 ],[ dxxx ， 求 出 相 应 于 这 小 区间 的 部 分 量 U 的 近 似 值 .如 果 U 能 近 似 地 表 示为 ],[ ba 上 的 一 个 连 续 函 数 在 x 处 的 值 )( xf 与 dx的 乘 积 ， 就 把 dxxf )( 称 为 量 U 的 元 素 且 记 作dU ， 即 dxxfdU )( ；

7

3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在

区间],[ba上作定积分，得b

adxxfU )(，

即为所求量U的积分表达式.

这个方法通常叫做元素法 ．

应用方向：　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．

8

定 积 分 的 几何应 用

§ 1   平 面 图 形 的 面 积教学内容： 平面图形面积的计算教学目的：理解定积分的意义； 学会、掌握元素法处理问题的基 本思想 熟记平面图形面积的计算公式。

一、 直角坐标系下平面图形的面积 ：由定积分的几何意义，连续曲线 与直线：

轴所围成的曲边梯形的面积为：

9

( ) [ , ] ,

( ) .

( ) ( )

( ) ( ) .

b

a

c d

a c

e b

d e

f x a b

A f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

若 在 上不都是非负的则所围成图形（如右图）

的面积为

)(xfy

a0

x

y

b

bo

)(xfy

c d e x

y

oa

10

xxfA d)(d

xbao

y )(xfy

xxx d

xxfAb

ad)(

右下图所示图形面积为 y

o b xa

)(2 xfy )(1 xfy

xxfxfAb

ad)()( 21

x xx d

11

例 1. 计算两条抛物线 在第一象限所围所围图形的面积 .

x

xy 2

o

y

2xy

xxx d

解 : 由

得交点 )1,1(,)0,0( )1,1(

1

xxxA dd 2

31

1

0A

12

x

xy 22

o

y

4xy

例 2. 计算抛物线 xy 22 与直线

的面积 .

解 : 由 得交点

)4,8(,)2,2( )4,8(

yyyA d)4(d 221

18

4xy 所围图形

)2,2(

为简便计算 , 选取 y 作积分变量 ,

则有

yyy d

4

2A

13

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) .

( ) ( )

b

a

x

y f x y f x

x a x b

A f x f x

y

x g y x g y

y a y b

—一般地，若平面区域是 区域：由上曲线 、下曲线 、左直线 、右直线 所围成，

则其面积公式为：

—若平面区域是 区域：由左曲线、右曲线 、

下直线 、上直线

x— 区域

2 1

,

( ) ( ) .b

a

A g y g y dy

所围成 则其面积公式为：

如

图所示。y— 区域

y

xo

)(11 xfy

)(22 xfy

a b

x

y

oa

b

)(1 ygx )(2 ygx

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如果平面区域既不是 x— 型区域，也不是 y— 型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个 x—型区域与 y— 型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：

上曲线由三条不同的曲线：AB、 BC与 CD 构成；下曲线由两条不同曲线： EF与 FG 所构成。为计算其面积，可分别过点 B、 C与 F作平行于 y 轴的直线，则把平面区域分成 4个 x— 型区域。

y

x

E

a b

A B

C

D

FG

o

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如图所示：：解法积所围成的平面区域的面与直线：求抛物线例

1

.

0322 yxxy

所给的区域不是一个规范的 x- 域 , 如图需将其切成两块 , 即可化成 x- 形区域的面积问题。 第一块的面积 ：

A

B

1A2A

, 第二块的面积 ：

, 总面积：

16

.3

21032

3

,1,32

,

2

3

1

2

2

dyyyA

yy

yyx

yxy

积域面积的计算公式得面型区—直接由上直线为：

下直线：右曲线为：型区域：则左曲线为：—

成若把围成的平面区域看：解法

二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积

设区间 上的曲边梯形的曲边由参数方程表示

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且： 在 上连续，，则

计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法： 1 ）具体计算时常利用图形的几何特征

2 ）从 参数方程 定义域的分析确定

18

a

b

xo

y

x

例 3. 求椭圆

解 : 利用对称性 ,

xyA dd

所围图形的面积 .

有

a

xyA0

d4

利用椭圆的参数方程

)20(sincos

ttbytax

应用定积分换元法得

2

0

2 dsin4

ttba

ba421

2 ba 当 a = b 时得圆面积公

式

xx d

19

6

4

2

-2

-4

-5 5G

C

O B

t

2a

2a

a

6

4

2

-2

-4

-5 5G

C

O B

t

2a

2a

a

例 4. 求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .

20

解 : tta d)cos1(2

0

22

tt

a d2

sin42

0

42

)2

(t

u 令uua dsin80

42

uua dsin16 2

0

42

23 a

x

y

o a2

由图看出 ,

对应原点 (0 , 0 ) , 对应一拱的终点 , 所以其面积为 :

21

三、 极坐标情形求由曲线 及

围成的曲边扇形的面积 .

)(r

x

d

在区间 上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为

d)(21

d 2A

所求曲边扇形的面积为

d)(

21 2A

22

23

对应 从 0 变

例 5. 计算阿基米德螺线

解 : xa2

o

d

d)(21 2a

2

0A

2

2a

3

31

0

2

23

34

a

点击图片任意处播放开始或暂停

到 2 所围图形面积 .

24

tta dcos8 2

0

42

例 6. 计算心形线 所围图形的面积 .

解 :

xa2o

d

d)cos1(21 22 a

0

2a d

2cos4 4

( 利用对称性 )

2t令

28a 43

21

2 2

23a

26

2coscos21

)2cos1(21

a a2o x

y

d)cos1(21 22 a

例 7. 计算心形线 与圆所围图形的面积 .

解 : 利用对称性 ,

22

21aA

22

21

aa d)2cos21

cos223

(

所求面积

)243

(21 22 aa

27

a 2sin2a

例 8. 求双纽线 所围图形面积 .

解 : 利用对称性 ,

d2cos21 2a

4

0

2

a )2(d2cos

则所求面积为

2a

y

o x

4

4

]4

,0[

4

象限变化的范围为：

在第一而倍。限部分面积的一象的，故其面积是其在第对称平面图形是关于坐标轴

它所围成的如图所示，解：

28

x

y

24

0

2 2cos4 adaA

的面积为：区域故双纽线所围成的平面

29

思考 : 用定积分表示该双纽线与圆

sin2ar 所围公共部分的面积 .

2A

dsin2

0

26 a

d2cos214

6

2 a答案 :