低温等离子体物理基础

王友年 大连理工大学物理与光电工程学院 Plasma Simulations and Experiments Group http://pseg.dlut.edu.cn

2014-08-15北京

2014年低温等离子体模拟暑期讲习班

内 容

一、低温等离子体的特性

二、低温等离子体的产生方式

三、低温等离子体理论模型 1 、粒子模型

2 、动理学模型

3 、流体力学模型

4 、整体模型

5 、等效回路模型

6 、其他问题

四、开展低温等离子体数值模拟的必要性

一、低温等离子体的特性

普通气体普通气体 等离子体等离子体放电放电

说明：需要有足够的电离度的电离气体才具有等离子体的性质 ( 电离度 >10-4)

低温等离子体：一般是由带电粒子（包括电子、正离子、负离子、离子团）和中性粒子（受激的活性粒子、背景气体分子）组成的系统。具体地讲，等离子体就是一种特殊的电离气体，是主要是由实验室里气体放电产生的。

（ 1 ）在中性气体中，原子或分子之间的相互作用是一种短程力（范德瓦尔斯力），是通过碰撞形式来实现的，而且这种短程相互作用可以声波的形式来传播。

原子或分子之间的碰撞

6( )V r r

等离子体与中性气体的区别

（ 2 ）在等离子体中，带电粒子之间的相互作用是一种长程力（库仑力），是通过电磁场形式来实现的，而且这种长程相互作用可以电磁波的形式来传播。

带电粒子之间的碰撞

1( )V r r

正是由于这种长程力的作用，使得等离子体的性质明显地不用于中性气体的性质！

（ 1 ）准电中性：

宏观上不显电性，即电子密度近似地离子密度

对于工艺上所使用的等离子体，除了电子外，还有不同种类的正离子和负离子，则准电中性条件为：

e j j jj j

n n Z n

（ 2 ）振荡性：

电中性区

电中性区

负电荷区

正电荷区

外界扰动

1/ 224 -3 10

00

1/ 223 -3 10

00

5.64 10 [cm ] s

1.32 10 [cm ] s

pee

epi

i i

n en

m

n e mn

m m

等离子体振荡：是电场力和惯性力共同作用的结果，是等离子体的固有属性。

Plasma n0

对于实验室里的气体放电等离子体， pe 的值一般位于微波波段。

（ 3 ）屏蔽性

在外界扰动下， plasma 中要出现电荷分离现象，产生局域电场。

但这种局域电场要受到等离子体的屏蔽。电子的屏蔽长度为：

1/2

202 -3

0 0

[eV]7.43 10 (cm)

[cm ]e e

de

T T

n e n

对于实验室里的气体放电等离子体，德拜屏蔽长度一般在 m-mm 之间。

0 ( )Q

u rr

/( ) drd

Qu r e

r

一个电量为 Q 的带电小球的电势为：

在真空中：

在等离子体中：

以上三种性质是所有等离子体共有的性质，但对低温等离子体，它还有其它一些特殊性质： （ 1 ）成份的复杂性：含有电子、正离子、负离子、离子团；受激活性的原子、分子、分子团；背景气体的原子、分子。 （ 2 ）系统的开放性：在气体放电中，要不断地进气和泵气；外界电源不断地提供能量。 （ 2 ）热力学非平衡性：在一般情况下，电子、离子、中性粒子具有不同的热力学温度，很难整体上到达热力学平衡。 （ 3 ）空间非均匀性：在气体放中，等离子体总是要受到器壁、电极、工件等边界的约束，被约束在空间中一个特定的区域。因此，低温等离子体具有很强的空间非均匀性。 （ 4 ）时间瞬变性：对于脉冲或脉冲调制的直流、射频放电，等离子体的性质是随时间瞬变的。

1 、低温等离子体的分类 1 ）按温度分：

热等离子体 （ Te≈Ti≈10000K)

冷等离子体 (Te>>Ti)

2)按放电气压分

大气压等离子体

低气压等离子体（ mTorr-Torr)

3)按放电方式分

直流等离子体（电弧等离子体）

射频等离子体

微波等离子体

4)按电源波形分

连续波放电等离子体

脉冲等离子体

二、低温等离子体的产生方式

（ 1 ）直流辉光等离子体（低气压、小电流）

plasma

等离子体

阳极 阴极

直流电源

Target atom

2 、不同的低温等离子体源

直流溅射等离子体源

离子推进器

离子推进器，又称离子发动机，其原理是先将气体电离，然后用电场力将带电的离子加速后喷出，以其反作用力推动火箭。这是目前已实用化的火箭技术中，最为经济的一种。

Hall推进器

（ 2 ）直流电弧等离子体（高气压、大电流）

阴极

阳极

气流气流

热等离子体

RF power

plasma

HF power

LF powerGas out

Gas in

（ 3 ）低气压射频容性耦合等离子体

这是一种冷等离子体，主要用于半导体芯片的刻蚀沉积及太阳能薄膜电池的沉积

CCP的放电腔室一般包含一对平行的金属电极和腔室器壁，射频电源施加在其中的一个电极上，另一个电极及腔室的壁接地。通常由两种 CCP

腔室结构：对称性的腔室结构和非对称性的腔室结构，见上图。

CCP放电装置类似于一个平行板电容器。为了维持放电，需要在两个电极之间施加很高的射频电压。气体放电形成的等离子体类似于电容器中的电介质； CCP是一个“三明治”结构，即“鞘层 / 等离子体 / 鞘层”结构，因为在放电时要在两个电极附近形成鞘层 (sheath)； 射频电源在两个电源之间的电位降基本上都分布在两个鞘层中，等离子体中的电位降几乎为零； 对于射频放电，鞘层的电位降包含一个直流的负电位成分和一个交变的成分，其中等离子体中的离子在直流电位降的加速下向电极表面运动。也就是说，鞘层控制着轰击到电极（基片）上的离子通量和能量，即控制着等离子体表面处理工艺。

Sheath

Sheath

Plasma

CCP 的结构

（ 4 ）低气压射频感性耦合等离子体

偏压电源偏压电源

主电源主电源

主电源是用来控制等离子体密度，其频率一般为 13.56 MHz ； 偏压电源是用来控制粒子能量，可以是射频或脉冲偏压。

在 ICP 放电中，线圈中的射频电流（角向）将产生一个交变的磁场（又沿径向和轴向的两个分量），这个变化的磁场由产生一个变化的射频电场 (沿角向），即这种放电是一种电磁模式 (H mode) ，导致放电为感性放电。

此外，线圈两端的电压降，可以在放电腔室中产生类似于 CCP 放电中的静电场，导致放电为容性或静电模式 (E mode) 。它主要局域在石英窗下方。 当线圈功率很低时，放电以容性放电模式为主；当线圈功率很高时，放电以感性为主；在某一个功率附近，可以发生 E-H 模式转换，甚至出现会滞现象。

除了线圈中的电流及两端的电压产生射频电场外，在 ICP放电腔室中还存在如下因素产生的静电场：

（ 1 ）偏压电源产生的静电电场（它类似于容性放电），它主要局域在下电极的上方；

（ 2 ）等离子体中电荷分离产生的静电场，主要局域在下电极的周围及腔室的侧壁。

因此，对于 ICP放电，在一般情况下腔室中的电场由如下四部分组成：

1 ）线圈电流产生的涡旋电场；

2 ）线圈两端的电压产生的静电场；

3 ）施加在下电极上的偏压电源产生的静电场；

4 ）等离子体扩散产生的静电场。

无论射频电磁场，还是静电场，均由如下麦克斯韦方程组确定：

0 0 0

0

H :

,0, , 0, ,0

0 0, ,0 , 0,

E :

r z

r z

t

B B Et

B E E

BE

EB j B E

:

B B E

E

射频电磁场的模式

模式

模式

, , , , , E-H : r z r zB B B E E E B E模式

（ 5 ）低气压螺旋波（ Helicon）等离子体

螺旋波等离子体（ Helicon）是由射频驱动的天线激发，并通过绝缘器壁发射到等离子体中，在那里螺旋波具有横波模式结构并且沿着等离子体柱传播。螺旋波模式是由与磁场成同一角度传播的多个低频哨声波叠加而成的。典型的 Helicon源的天线驱动频率大约在 1-50 MHz，磁场强度一般为 100-1000 G。工业上在材料处理放电中通常使用 13.56 MHz的射频源和 100 G的磁场。 Helicon源的等离子体密度一般在 1011-1014 cm-3。 Helicon源的优点是等离子体密度高并且等离子体密度与离子能量能够得到独立的控制。

天线

射频偏压

微波

线圈

共振带

射频偏压

微波

线圈

共振带

（ 6 ）低气压微波 ECR等离子体

是一种冷等离子体，主要用于材料表面处理或空间推进技术。

（ 7 ）大气压冷等离子体

介质阻挡放电（ dielectric barrier discharge)

大气压射流放电

是一种冷等离子体，在材料表面处理、生物医学、空间技术（如减阻）

方面由应用。

不同的等离子体源产生的等离子体密度

CCP、 ICP: p= mTorr ~ Torr; n =109 ~ 1012 cm-3

RF Sputtering

Frequency (Hz)

1 1M1k 1GDC

Gas Pressure (Torr)

10-3

10-1

101

103

CCPPECVD

ECR EtchPECVD

CCPEtch

ICP Etch

APCVD

LPCVDDC Sputtering

Magnetron Sputtering

VHF CCP/ICPHDP PECVD

PVD

Sputtering Etch PECVD

不同的等离子体源的放电频率范围

三、低温等离子体的理论模型

描述低温等离子体性质的主要理论模型有：

粒子模型

PIC模型

PIC/MC模型

动力学模型

流体力学模型

流体力学 /MC模型

整体模型

电磁场模型 中性气体模型 化学反应模型 外界回路模型

1 、粒子模型

0 0 0

0

( , ) ( , ) ( 1, 2... ; , )

( , )( , )

( , )( , ) ( , )

( , )( , )

( , ) 0

( , ) ( )

( , ) ( )

jj

jj j j

jj

j jj

d

dtd q

t t j N e idt m

tt

tt

t tt

tt

t

t t

t q t

rv

vE r v B r

B rE r

E rB r j r

rE r

B r

r r r

j r v r r

运动方程

电磁场方程

电荷密度

电流密度

N考虑等离子体是由 种成份组成的，每种成份的粒子数为

问题之一：对于 N 个粒子，需要求解 6N 个运动方程，计算

量太大。这种做法这不太现实，也没有必要。

解决办法：采用“赝粒子”方法，即 particle-in-cell (PIC) 方

法。

问题之二：没有考虑带电粒子与带电粒子、带电粒子与中性

粒子之间的碰撞过程。

解决办法：采用 Monte-Carlo 方法确定粒子之间的随机性碰撞

过程。

PIC方法：

采用计算机模拟，跟踪大量有限大小的粒子（称为宏粒子）在自洽电磁场中的运动轨迹。宏粒子代表 103 10∼ 9个真实粒子，其荷质比等于真实粒子的荷质比，这些粒子具有共同的坐标和速度。引入空间格点，并在格点内放置宏粒子，将电磁场、等离子体物理量、电流密度等在格点上定义。粒子之间的相互作用通过格点来计算。再对大量电荷粒子进行统计平均，由此可以得到宏观系统的物质特性和运动规律。

Monte-Carlo 方法：

c

m1m2

( ) ( ) ( )

/

/

t el in

el el T

in in T

t

p

p

，

总碰撞截面为： 其中

为发生弹性碰撞的几率；

为发生非弹性碰撞的几率。

（ 1 ）在没发生碰撞时，粒子的运动服规律从牛顿方程；

（ 2 ）在发生碰撞时，通过对碰撞截面进行随机抽样，确定碰撞类型。有两类碰撞类型：弹性和非弹性碰撞：

对于低温等离子体，一般指考虑带电粒子（尤其是电子）与中性粒子之间的碰撞，而忽略带电粒子之间的碰撞。带电粒子与中性粒子之间的碰撞过程是随机的，可以采用 Monte-

Carlo（MC ）抽样方法来描述。

2 、动理学模型

等离子体中带电粒子（电子、离子）的状态可以用分布函数 f

(r,v,t) 来描述（ =e, i ）。该函数遵从 Boltzmann 方程：

1

( , , ) ( ) ( )

( )

N

j jj

n

f t t t

f f fI I

t m

q

r v r r v v

Fv

r v

F E + v B

系综

原则上讲，通过求解这个方程，可以得到如下信息：

1 ）输运系数，如迁移率、电导率等；

2 ）电子的能量分布函数 (EEDF ）；

3 ）等离子体的状态参数，如密度、温度、流速等。

粒子的相密度

遇到的困难：

这是一个具有 7 个变量的积分 - 微分（非线性）方程，目前的数值分

析技术还无法直接求解这样一个方程。通常的做法：

1 ）对于无碰撞情况，该方程即为所谓的 Vlasov 方程，可以用来研究等离子体中的波动现象及波加热过程。特别是在线性情况下，可以采用傅立叶分析方法进行求解。

2 ）在强碰撞情况下，可以采用所谓的两项近似方法来求解：

0 1( , ) ( ) ( , ) /f t f v f t v r, v r, v v

EEDF 输运系数

见： 《等离子体放电原理与材料处理》， Lieberman 等著，蒲以康等译，科学出 版社， 2007 年。

将等离子体看成是一个多种成份的带电流体，其状态分别用一些宏观

物理量来描述，如带电粒子密度、流速及温度等。

3 、流体力学模型

2

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

3 1( , ) ( , ) [ ( , )] ( , )

2 2

n t d f t

n t t d f t

n t T t d m t f t

r v r, v

r u r vv r, v

r r v v u r r, v

利用 Boltzmann方程，可以得到这些宏观物理量所满足的偏微分方程组，等离子体流体力学方程组。 这些带电粒子的流体学方程组依赖于电磁场，因此还需要与麦克斯韦方程组（或泊松方程）进行耦合。

+

—

—

nn S

t

m n m n ntK

Kt

Q

q

S

n Q

u

u u u F P R

u P

R

u q E u

—

由于碰撞引起的带电粒子数的其中：

变化；

由于碰撞引起的带电动量的输运；

由于碰撞引起的带电能量的输运；

2

—

—

—

3 ---

2 2

q

n T

n T n mK u

F E u B

P I

q

�������������� �

电磁力；

总压强张量；

热流矢量；

单位体积内的总能量。

等离子体流体力学方程组（原始形式）：

0 0 0

0

( , )( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , )

(

0

,

tt

tt

t tt

tt

t

t

B rE r

E rB

r

r j r

rE r

B r

等离子体的流体力学方程组需要与电磁场方程进行耦合。麦克斯韦方程组为：

其中电荷密度和电流密度为

) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

q n t

t q t n t

r

j r u r r

等离子体 电磁场

等离子体与电磁场的自洽耦合过程，它是一个非线性、紧耦合过程：

( , ), ( , )t t r j r

( , ) ( , )t tE r B r，

对于处于局域热平衡的电弧等离子体，由于带电粒子的温度相等，即

T ，通常采用单流体力学方程来描述。

1

31

2

m n

n n

n

q n

n m T

u u

P P

q q

j u

总质量密度：

总密度：

平均流速：

总压强：

总热流矢量：

总电流：

总内能：

2

0

1

2

t

t

ut

u

u uu j u P

q P u j E

这里利用了：粒子数守恒、动量守恒、准点中性条件

局域热平衡等离子体的流体力学方程组：

对于冷等离子体，电子温度远大大于离子温度，通常采用多流体力学方程来描述。这里仅考虑电正性气体放的，且为电子 - 离子的双流体情况。

2

3

2

3 1

2 2

e

ee e e

ee e e e e e e e e e e

e e

e e e e e e e e e e e e e

ii i i

ei i i i i i i i i i i

nn S

t

m n n m St

n Tt

T n m u S Q

nn S

t

m n n m St

u

uu u F P u R

u P u q P u R u

u

uu u F P u R

电子流体：

离子流体：

冷等离子体的流体力学方程组：

（ 1 ）对于电正性气体放电，在主等离子体区，带电粒子只能产生（电离）没有损失：

, e i ion e ionS S n 为电离频率

（ 2 ）对于冷等离子体区，一般认为带电粒子处在热平衡附近，因此可以压强张量近似地表示为（忽略粘滞效应）：

n T P I

（ 3 ）对于电子及离子，可以近似地把动量输运表示为（摩擦力）： n nR m n u ， 为动量输运频率

（ 4 ）可以把电子的热流矢量近似地表示为（傅里叶定律）： 5

2e e

e e e ee en

n Tk T T

m q

（ 5 ）碰撞引起电子的损失（略去弹性碰撞的贡献）

e j i a ej

Q k n n

( )

3

2

5 5( )

2 2

( )

e

ee e ion e

ee e e e e e e e e e en e

e e

e ee e e e e e e e

e en

ii i ion e

ei i i i i i i i i i in i

nn n

t

m n n n T m nt

n Tt

n TT n T n T W

m

nn n

t

m n n n T m nt

u

uu u F u

u R u

u

uu u F u

这 ,

en in ion 里已假设：

冷等离子体的流体力学方程组：

（ 1 ）低气压直流等离子体 对于低气压直流放电等离子体（如等离子体推进器），在放电过程中所有的物理量不随时间变化，因此有：

( )

5 5( ) 0

2 2

( )

e

e e ion e

e e e e e e e e e e en e

e ee e e e e e e e

e en

i i ion e

i i i i i i i i i i in i

n n

m n n n T m n

n TT n T n T W

m

n n

m n n n T m n

u

u u F u

u R u

u

u u F u

迁移 - 扩散近似：

（ 1 ）假设放电气压不是太低，忽略动量平衡方程中的对流项； （ 2 ）只考虑电场存在； （ 3 ）假设带电粒子的温度为常数。这样电子及离子的动量平衡方程为：

=0

=0e e e e e en e

i i i i i in i

en T n m n

en T n m n

E u

E u

由此，可以得到带电粒子的通量为：

e ie en i in

e ie i

e en i ei

e e e e e

i i i i i

e e

m m

n D n

n D

T TD D

m m

n

Γ E

Γ E

— ； —

— ； —

电子的迁移率 离子的迁移率；

电子的扩散系数 离子的扩散系数。

0

e ion e

i ion e

e e e e e

i i i i i

i e

n

n

n D n

n D n

en n

Γ

E

E

Γ

Γ

Γ E

这样，对于低气压直流放电，迁移 -扩散近似下的等离子体输运方程

等离子体输运方程需要与泊松方程耦合：

等离子体输运方程与泊松方程构成了一套封闭的方程组，在给定边界条件下，通过数值方法，就可以确定等离子体密度及电场的空间分布。

双极扩散近似：

进一步假设：

（ 1 ）准电中性条件成立，即电子密度等于离子密度： ne = ni ；

（ 2 ）电子的通量等于离子的通量。这样有：

=

e e i i

i e

e i

i ee i e e

e i

e i i e

e i

n D n n D n

D D n

n

D D nn D n

D n

n

D D

D

D

E E

E

Γ Γ

由此可以求出双极扩散电场

这样带电粒子的

其中 为双

通量为：

极

扩散系数：

2 2

2

1

0

ii e

e

ei

i

n

e i

io

n k n

kD

D D D

TD

T

，

带电粒子的连续性方程为：

由于离子的质量远大于电子的质量，因此有： 可以的得到

等离子体密度分布：

22

2

01

20

10

( ,

( , ) ( ) ( ),

) ( ) cos( ) sin( )

(

) i i i

i i i i ii

a h

n r z

n nr k n

r r r z

n

R r Z z

r z J r A z B z

J r k

， ，并假设放电腔室是一个半径为 高度为 的圆筒 假设等离子体密度在侧壁上为零。在柱坐标系下，扩散方程为：

采用分离变量法： 则可以得到扩散方程的通解为

其中 为零阶贝塞尔函数，参数

22 2

2

( 1,2,3...)

( ,

) 0

=

i i i

i ii i

x xi

n a z

x i A B

ka a

，

由边界条件

确定：

是零阶贝塞尔函数的第个零点。系数 由圆筒两端的

边界条件确定。

h

a

（ 2 ）低气压容性耦合等离子体 如果放电频率不是太高（如 13.56 MHz） , 放电腔室直径不是

太大，则在等离子体中只有射频电场存在，可以忽略射频磁场的存在。 射频电场由泊松方程确定 :

如果放电气压不是太低，并考虑到电子的质量很小，这样可以忽略电子动量平衡方程左边的两项，有

如果不考虑外磁场的存在，则可以进一步地得到：

由于离子的质量较重，在低气压放电下，对离子成份不采用迁移 - 扩散近似。

0

( , ) ( , )i e

en t n t

E r r

0( ) ( ) 0e e e e e en een n T m n E u B u

1( ) e e e e e e

e en e en

en n n T

m m Γ u E 迁移 -扩散近似

0

(

( , ) (

1( )

3 5 5

2 2 2

, )

)

ee ion e

e e e ee en e en

e ee e e e e e

ii i ion e

ei i i i i i i i i i in

n

i

i

e

e

e ee

nn n

nn

te

n

t

n Tm

m n n n T m n

m

n Tn T T T W

t m

en t n

t

t

Γ

Γ E

Γ

E r

u

Γ u

u u

r

uu F

电子成份：

离子成份：

静电场：

思考题：当有外磁场存在时，推导出等离子体的流体力学方程组。

（ 3 ）低气压感性耦合等离子体 对于感性耦合放电，腔室中的电场为：

其中 E 为射频电场，由线圈中的射频电流长生的涡旋场，仅作用在电子

上，且由麦克斯韦方程组确定； Er 和 Ez 为静电场，由等离子体扩散或

射频偏压产生的，由泊松方程确定。

与容性耦合放电不一样，这时电子的流速为

其中 u ，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，， j 与射频电场 E 之间的关系，进而可以确定出射频电源的沉

积功率：

, ,r zE E EE

, ,e r zu u uu

e e e e e en

um n n E m n u

t

0

1( , ) ( , )

2

T

rfP j t E t dtT r r

0 0 0

2 20 2

0 0 0

( )1

1

r

z

r z

EB

t zrEB

t r rEB B

jz r t

E k

t

r

E

t

BE

EB j

。

确定射频电场 由麦克斯韦方程组

可以得到：

若进行谐波展开，则有

0E i j

0

1( )

3 5 5

2 2

( , ) ( ,

)

( )

2

ee ion e

e e e ee en e en

e ee e e e e e e rf

ii i ion e

ei i i i i i i i i i in i

e

en

i

ee

nn

te

n n Tm m

n Tn T P

nn n

t

m n n n T m

T T Wt

t

n

m

en t n

t

Γ

Γ

u

u

E r

E

Γ Γ u

u

r

u F u

这样，感性耦合等离子体的流体力学方程组为：

说明：（ 1 ）这里的电子流速为径向分量和轴向分量； （ 2 ） 电场为静电场。

射频电源的沉积功率

（ 4 ）大气压冷等离子体等离子体 对于大气压等离子体（如介质阻挡放电、等离子体射流等），是一种容性耦合等离子体。由于这时放电气压较高，对电子和离子成份，均可以采用迁移 - 扩散近似。这样，等离子体的流体力学方程组为：

0

3 5 5

2 2 2

1( )

1 (

, , )

( )

)

(

ee ion e

ii ion e

e ee e e e e e e e

e en

e e e ee en e en

i i i ii in i in

i e

nn

tn

nt

n Tn T T T W

t m

en n T

m m

en n T

en n

m

t t

m

Γ

Γ

Γ Γ

E r

Γ E

r

u

Γ E

4 、整体模型 可以看出，流体方程是在时间和空间上的一组偏微分方程组，需要借助于复杂的数值计算才能完成。如果对该方程进行空间积分，就可以得到一种简化的整体模型（ Global Model ）

（ 1 ）粒子数平衡方程

为了简单起见，首先考虑位于两个无限大平板之间的电正性等离子体（一维几何模型），两个无限大平板分别位于一维坐标 x=-l/2 和 x=l/2 处。

两个间距为 l 的无限大平行板之间的体电离等离子体的一个区域，图中灰色的强度表示等离子体密度，灰色箭头表示粒子流的大小和方向。粒子最终到达平板并在平板表面复合。

平面壁平面壁

将连续性方程中的每一项在位置空间中积分，可得到：

式中第二项可以分成两部分，并化简为指向两个平板的粒子流。由于所用一维几何模型的对称性，中心处的粒子流为零：

所以，可以得出有效的全局（普适）粒子平衡方程：

可以将上面的粒子平衡方程推广到体积为 V 和总面积为 A 的三维腔室情形。

具体方法是：用 V/A 取代平板半间隔 l/2 ，另平板的面积 Asect>>l2 ，并定义

一个体积为 lAsect 的块状等离子体，其面积近似地为 2Asect ）。

/2 /2 /2

/2 /2 /2

( )

l l le e

e e ll l l

n un dx dx n dx

t x

/2 /2

/2 0

( )2 2

l le e

walll

n udx d

x

2

e walle l

dnn

dt l

对于稳态等离子体，有

上式中的反应系数 Kl(Te) 只是电子温度 Te 的指数函数。由于器壁上的粒子

流量与平均电子密度成正比，所以右边与电子密度无关。气体数密度 ng 与

气压成正比，所以电子温度与气压及系统尺度有关。

( ) ( ) / walll e l e g

e g

AK T T n

n Vn

（ 2 ）能量平衡方程

通常在电能维持的放电中，电场能量总是耦合给电子，因此在确定放电参数时，没有必要考虑离子对电场能量的吸收。对于电场维持的稳态等离子

体，电子吸收的能量 Pabs 等于损失的能量 Ploss ，由此以得到整体模型下的能

量平衡方程。

电子的能量损失途径有两类：（ⅰ）与中性粒子碰撞，以非弹性碰撞的方式将电子能量转化为中性粒子的电离能和激发能，或以弹性碰撞的方式转化为气体热能，（ⅱ）将动能带入等离子体界面区。对于惰性气体等离子体，电子能量的碰撞损耗可以表示如下：

式中 电离能和 激发能的单位是焦耳， 的单位是 。 iz exc,loss collP 3Wm

,

3 e

eloss coll g iz iz exc exc el e

mP n n K K K T

M

在分子等离子体中，电子还存在很多其他能量损失途径，例如工作气体的解离，振动激发等。在这种情况下，上式式应该包括这些能量损失机制。第二类电子能量损失途径是电子携带能量进入等离子体界面区，电子能量在界面区静电场中或在器壁上损失。电子在界面区损失的能量可以表示如下：

式中 A 为界面表面积， 是电子克服界面鞘层势垒所做的功。因此，在等离子体中单位体积电子的能量损失为两种途径之和：

e

以稳态惰性气体等离子体为例，可得到简单的电子能量损失方程：

, . (2 ) loss bound e wall

AP kT e

V

, , loss loss coll loss boundP P P

其中：

3

2e e abs loss

dn T P P

dt

( ) loss T e wall

AP T

V

3( ) 2 exc el

T e iz exc e eiz iz

K KmT T T e

K M K

下面把等离子体看作电介质，并把等离子体的整体行为用一个等效回路模型来表示。以容性耦合放电为例，在该回路是由真空电容 C0 ，等离子体电感 Lp

和等离子体电阻 Rp 组成的，见下图。 根据回路定理，可以得到：

( )V t

( )I t

2 ( )I t

1( )I t pR

pL0C

2 0

11

1 2

( ) ( ) /

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

p p

V t q t C

dI tV t R I t L

dtI t I t I t

2 0

21 1

2

1 2

( )( ) /

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

p p

dV tI t C

dt

dI t d I tdV tR L

dt dt dtI t I t I t

进行谐波展开：， ， ，

1 1 2 2( ) , ( ) , ( )i t i t i tV t Ve I t I e I t I e

5 、等效回路模型

可以得到：

，

，

1

2 0

p p

VI

R i L

I i C V

，

，，

，1 2 0

p p p

V VI I I i C V

R i L Z

0

1 1

p p p

i CZ R i L

其中 Zp 为等离子体的复电抗：

根据等离子体介电常数，

来确定等离子体的阻抗和电感。

2

( ) 1( )

pep i

假设在一个面积为 A ，厚度为 d 的平行板内充满密度为 ne0 的等离子体。

这样，可以把等离子体看成一个介电常数为 p 的电容器，电容器的电容为

01 p

p

Ai C i

Z d

0 p AC

d

该电容器的复电抗为

将等离子体的复介电常数代入，则有：

2

0

0

2 20 0

11

( )

1 +

pe

p

pe pe

Ai

Z i d

Ai

d d di

A A

将 前面得到回路模型得到的复阻抗公式对照，可以得到平板真空电容器公式：

00

AC

d

电子的惯性引起的薄板等离子体电感为：

2 20

ppe

d m dL

A ne A

由电子 - 中性粒子之间的弹性碰撞引起的薄板等离子体电阻为：

2m

p m p

m dR L

ne A

6 、其他一些问题（ 1 ）中性气体与等离子体的耦合 严格地说，对于气体放电产生的等离子体，其状态的变化还要取决于背景气体

的状态变化。背景气体的状态变化体现在如下两个方面： 中性气体的扩散、流动与传热。这将直接改变背景气体的密度、温度的空间分布。通常有两种方法来描述中性气体的流动和传热过程：一种是采用流体力学方法（如 N-S方程），另一种是采用直接蒙特卡罗方法。

化学反应。在气体放电时，要发生各种化学反应，如电离、附着、离解等

过程，将使“耗散”背景气体的原子、分子。 中性气体与等离子体的耦合是通过带电粒子与中性原子、分子之间的碰撞过程体现出来的。在等离子体流体力学模型中，各种碰撞频率为：

如果进气口的分布比较均匀，而且放电功率不是太大，通常可以不考虑背景气体状的态变化对等离子体的影响。

( )j a jn u u

（ 2 ）反应性气体或电负性气体放电

在一般情况下，等离子体工艺（如半导体芯片的刻蚀、沉积等）所采用的工作

气体都是反应性气体或电负性气体，如氧气、氮气、氯气、甲烷、硅烷、碳氟气体等。在这些气体放电产生的等离子体中，除了电子之外，还有多种离子、负离子及活性基团存在。因此，还要相应地建立表述它们的状态方程（流体力学方程）。对于一些特别复杂的工作气体（如硅烷与氮气的混合气体），其状态方程的个数可以到达几十，甚至上百个。 对于电负性气体放电，其性质与电正性气体（如氩、氦、氙等气体）的性质有着明显地不同。特别是由于电子与中性粒子的附着反应，会出现负离子。对于强电负性气体放电，如四氟化碳气体放电，负离子的密度有可能远高于电子密度，从而在放电区形成所谓的“负、正离子对”等离子体现象。 此外，对于电负性气体放电，还会出现放电不稳定现象，如出现一些内在的低频振荡现象。

（ 3 ）反应系数的确定 在等离子体流体力学方程中，引入了一些反应系数（或频率），如电离系数、动量输运系数、能量损失系数等。一般有三种方法确定这些系数： （ 1 ）通过求解玻尔兹曼方程，确定出带电粒子的速度分布函数，再对反应截面进行速度平均。一般取速度分布函数为麦克斯韦分布。 （ 2 ）由实验测量结果给出一些反应系数的经验公式。 （ 3 ）由 MC方法给反应系数，然后耦合到流体力学方程中。

（ 4 ）外界回路

在一般情况下，外界电源并不是直接耦合到放电腔室（电极）上的，而是通过

一个外界回路进行匹配。外界回路一般由阻抗、感抗和电容组成。从电源中流出的电流要流经这些回路元件，要进行分流和能量耗散。另外，外界回路与等离子体之间是非线性耦合的，放电过程要影响回路的匹配。

（ 5 ）关于空间维度的选取 在数值模拟中，首先要遇到的是空间维度的选取。通常由零维 (0D)模型、一

维模型（ 1D）模型、二维 (2D）模型及三维 (3D)模型。空间维度的选取依赖于如下因素： （ 1 ）放电腔室的几何结构 （ 2 ）所研究的对象 （ 3 ）所使用的计算机 以平行板容性耦合放电腔室为例。只研究物理量的定标规律，可以采用零维模型；如果腔室的直径远大于两电极之间的间距，可以采用一维模型；如果要考虑边缘效应，需要采用二维模型；如果还要考虑角向的不均性，则要采用三维模型。 计算量与空间维度的个数不是成正比！

（ 6 ）关于边界条件的选取 单独考等离子体状态方程（如流体力学方程）和电磁场方程还不能完全确定等离

子体的状态变化，还需要考虑边界条件。在一般情况下，有如下类型的边界条件： （ 1 ）第一类边界条件：物理量在边界上的取值； （ 2 ）第二类边界条件：物理量的导数在边界上的取值； （ 3 ）第三类边界条件：第一类和第二类边间条件的线性组合； （ 4 ）衔接条件： 如电势和电场在介质的交界面上的取值； （ 5 ）对称性条件： 由腔室的几何对称性来确定； （ 6 ）自然边界条件： 如要求物理量在无穷远或坐标原点收敛； （ 7 ）自由边界条件： 在某个区域不存在边界。

在一些情况下，可能边界条件不只取决于外部条件（如电源的电压），还要取决于等离子体的内部性质（如等离子体密度）。如对于绝缘材料表面，其表面的电位或电场与表面沉积的电荷量有关，而沉积的电荷量又与等离子体电流密度有关。

0

0

( ) ( ) ( ) ,

( )( )

t

s i e

ss

r

t j j d

tE t

四、开展低温等离子体数值模拟的必要性

放电参数

工艺结果

由于等离子体放电过程及工艺过程非常复杂，因此，有时人们等离子体是一个“黑匣子”。这种复杂性主要体现在两个方面： （ 1 ）放电过程受外界多参数控制，如电源参数、气体参数、腔室几何参数； （ 2 ）在等离子体中存在着多场耦合过程，如电磁场、中性气体的流场和热场、化学反应与等离子体的非线性耦合； （ 3 ）等离子体与器壁、电极及基片的相互作用，将影响等离子体的性质。

1 、低温等离子体过程的复杂性

黑

匣

子

2 、低温等离子体数值模拟或仿真的必要性 （ 1 ）从科学研究的角度考虑，只有通过理论分析、数值模拟、实验诊断三者相结合的方法，才能对低温等离子体过程进行系统地分析，揭示放电参数对等离子体状态参数的影响规律。 （ 2 ）从引实际应用的角度考虑，通过数值模拟或仿真，可以对等离子体发生器的设计提供参数优化，对等离子体工艺过程进行预测，缩短等离子体装备或工艺过程的研发周期。 （ 3 ）发表文章：对于模拟与实验相结合的文章，易发表。 （ 4 ）易开展工作：不需要昂贵的实验设备、不要实验室，只需要一台电脑（集群）。

3 、现有的低温等离子体数值模拟程序或仿真软件 商业软件： （ 1 ） COMSOL软件；

（ 2 ） CFD-ACE++软件； （ 3 ） Fluent 软件； （ 4 ） Pegasus 软件； （ 5 ） Vorpal 软件； ……

大型模拟程序： 由 Kushner教授课题组开发的 HPEM (Hybrid Plasma

Equipment Model) 程序，但禁止代码输入中国。

优点：（ 1 ）很好的前后端处理界面； （ 2 ）能实现多场耦合。

问题：由于代码不公开，很难进行二 次开发。

呼唤具有中国自主知识产权的大型低温等离子体数值模拟程序或软件的出现！！

4 、需要解决的关键问题 （ 1 ）从物理模型向数学方程的转换：建立合理的低温等离子体理论模型，选择恰当的边界条件和初始条件。 （ 2 ）从数学方程到数值计算的转换：选择合适的数值计算方法（如差分方法），编写数值计算代码，集成为数值模拟程序。 （ 3 ）从计算程序向仿真软件的转换：对各计算模块进行优化，提高仿真的速度；开发出“人 - 机友好”的前后端处理界面；提供良好的数据处理和绘图功能。

说明：对于后两个方面，技术含量较高，要到受知识产权保护，一般不对外公开。

谢谢！