第五章 剛體運動當我們不再考慮物體為一質點，而是一有限大小的實體時，以粒子為考量中心所推論出的運動定律將不再足以描述此物體的運動狀態與變化。

不一樣的運動 – 轉動不一樣的運動 – 轉動

每點的位移都不一樣

? ??

每點的速度也都不一樣

連每點的加速度都是不一樣

???

During a rotation What could be the same??

The angular displacement

- New Displacement Variable

從不同角度去探討轉動運動從不同角度去探討轉動運動在此我們只考慮不會變形的物體，也就是說，物體內任意兩點間的距離保持一定，我們稱具有此特性的物體為剛體。

S = r r= 常常

Sr

= 角位移 Angular Displacement

轉動動力學中的新參數轉動動力學中的新參數 II

若已給出質點的運動軌跡，則可採用弧座標 S 來確定質點位置。若 S 為運動軌道上一固定點 Po

到質點 P 的弧長（軌道長度），則 S 將因質點的運動而隨時間改變

S=S(t)

質點的位置向量可視為 S 的函數r=r[t(s)]=r(s)

在純轉動運動中，質點的位置向量為

[ 單位 ] ： rad （弧度） 旋轉出來的弧長除以旋轉半徑，即 (t)

(t)=s(t)/r轉一圈 =1rev=360°=2r/r rad=2 rad旋轉 n(2) rad 回到原角位置 (Angular Position)

旋轉軸方向

旋轉角度為正方向

角位移（ Angular Displacement ）

轉動動力學中的新參數轉動動力學中的新參數IIII

位移對時間的一次微分為速度，所以有

trr

sds

d

dt

ds

dt

dv

而向量 )()(/ tsdsd tttr

為質點運動沿 S 增加方向的切線單位向量，為位置（時間）的函數。

其中 222 dzdydxds 為位移大小

ωtt

tt

rrdt

rddt

rd

dt

dsv

= 角速度 d /dt [ 單位 ] ： rad/s

角速度角速度 ((Angular VelocityAngular Velocity))

在純轉動運動中，質點的速度為

其方向以右手來定義（如上圖）

轉動動力學中的新參數轉動動力學中的新參數 IIIIII

速度對時間的一次微分為加速度

ntn

t

tt

tt

va

rt aass

ds

d

dt

dsss

dt

dss

dt

d

2

nntt

1

ds

d

ds

d

d

ds

d

ds

t 為曲率半徑 n 為法線向量

等式中第一項為切線加速度，第二項為法線加速度。其中

以純轉動運動為例ds/d=d(r)/d=r 切線加速度為

r

dt

rd

dt

rdsat

2

2

2

2

法線加速度為

22222

/

rr

v

dt

drr

dt

rdsar

角加速度角加速度 ((Angular AccelerationAngular Acceleration))

tatvv ifif

221

221

tt

attvxx

iif

iif

)(2

)(222

22

ifif

ifif xxavv

轉動運動中的運動方程轉動運動中的運動方程

（一）

（二）

（三）

在純轉動運動中，我們找到了相對於線性運動中位移、速度與加速度的新參數。由於之間的對應關係一樣，故於線性運動中所導出的運動學方程，也應相對的存在於純轉動運動的新參數之中。

Example: CD Player

On a compact Disc, audio information is stored in a series of pits and flat areas on the surface of the disc that represent ones and zeros. The length of each one or zero is the same everywhere on the disc, and we wish that they pass the laser-lens system in same time period. Find the angular speed of the disc when information is been read from (a) the innermost first track (b) the outermost final track (In typical CD player, the information passes by the laser-lens system in a constant speed of 1.3 m/s)

The innermost first track

sradm

sm

r

v/5.56

103.2

/3.12

The outermost final track

min/101.2

/4.22108.5

/3.1

2

2

rev

sradm

sm

r

v

Example: CD Player (continue)

The maximum playing time of a standard music CD is 74 minutes and 33 seconds. How many revolutions does the disc make during that times?

Assuming the angular velocity is decreasing steadily

revtfiif4108.22/)(

23 /106.7)(

sradt

if

The angular acceleration

What’s the total length of track moves past the objective lens during this time?

msssmvtx 3108.5)336074)(/3.1(

Example: 離心機

為訓練太空人能夠忍受發射脫離地球引力範圍時所需承受的加速度，太空人訓練中心多以離心機來模擬。若離心機中太空人訓練位置距旋轉中心15 公尺，（一）需多大的角速度方能使太空人感受到約 11 倍的重力加速度？

訓練時為等速運轉，故太空人所感受到的為法線加速度

min/2615/8.911

/22

rev

rarr

va rr

Example: 離心機 （續）

（二）在此狀況下，於訓練艙中之太空人的線性速度約為多少？線性速度與角速度的關係為

smmsradrv /40)15)(/68.2( （三）若此訓練機於兩分鐘的時間內，等加速的由靜止到（一）中結果的速度，問其切線加速度約為多少？切線加速度為

22

2

/0223.0 sradtdt

d

dt

d o

h

線性運動的動能形式為 mv2/2 而物體的總動能為各個質點動能的線性相加總和

所以 Ki = miv2/2 K = Ki = miv2/2 = mir22/2

一新的物理量於轉動運動中扮演著線性運動中質量的角色 Moment of Inertia I = mir2 = r2dm

將之表達成轉動運動的參數形式可得K = { mir22/2 = I 2/2

與線性動能的形式相比較 mv2/2

轉動運動的動能轉動運動的動能

Example: Flywheel

利用現代科技技術，我們能夠建造一先將能量以轉動動能的形式儲存在飛輪系統，然後用以驅動行駛的汽車。假設一圓柱形飛輪的總質量為 75kg ，半徑為 25cm 。若該飛輪以 85000 rev / min 的速度旋轉，問其儲存多少能量？

mkgmkgMRI 34.2)25.0)(75( 2212

21

hrKWJ

sradmkgIK

26103.9

)/8900)(34.2(7

2212

21 srad /890060/285000

在預期的效率之下，此儲存能量能使一小型汽車行駛 250miles

Example: Uniform Solid Cylinder

Solution

R

Z rdrLrdmrI0

22 )2( 4

21

0

32 LRdrrLR

LRMVM 2//

221 MRI

轉動慣量的計算轉動慣量的計算

物體的轉動慣量並非為一常數，而是與轉動軸的位置與方向有關

Some Rotational InertiasSome Rotational Inertias

Solid Cylinder

I = MR2/2

Solid SphereI = 2MR2/5

I = M (a2 +a2) /12

Solid Cylinder I =

MR2/4 +ML2 /12

Thin SphereI = 2MR2/3

平行軸定理平行軸定理

若旋轉軸通過物體質心的轉動慣量為已知，則平行於此方向的任何轉動慣量為

2MDII CM

ICM 為通過物體質心的轉動慣量

M 為物體的總質量

D 為兩轉動軸之間的距離

平行軸定理（證明）平行軸定理（證明）令轉動軸方向為 Z軸，且定質心所在的 XY平面以質心為原點，而另一轉軸通過此平面於(a,b)

MDI

dmbaI

dmba

ydmbxdmadmyx

dmbyaxdmrI

CM

CM

2

22

22

22

222

00

22

)()(

Example: 一均勻長棒（如右圖所示）的總質量為 M ，若旋轉軸垂直於棒長方向且通過質心，求其轉動慣量？

2

12133

32

2/

0

22

0)2/(

2

MLL

dxxdmxI

LM

LM

L

若旋轉軸方向不變，但移至長棒的一端，求其轉動慣量為何？

23133

30

22 0 MLLdxxdmxI LM

LM

L

或由平行軸定理

2312

212

121

2

MLLMML

MDII CM

dr令轉軸的方向為 Z 軸，轉動運動時由功的定義 dW = F dr = Fx dx + Fy dy

dr = r d, dx = -r sin d = -yd

dy = r cos d = xd

dW = Fx dx + Fy dy = [ x Fy -y Fx ] drF d= ddW = Fx dx + Fy dy = [ x Fy -y Fx ] drF d = d

rF 扮演類似於改變線性運動動能時，力所扮演的角色。我們稱之為力矩 (torque)

轉動運動時動能的改變轉動運動時動能的改變

將直角座標位移量轉換為轉動運動的新參數

力矩力矩由力矩的定義，其方向可由右手定則決定，而大小為

FdrF sinFr

式子中 d 為 r 於垂直於 F方向上的分量，俗稱為力臂

注意事項： （一）力矩的單位雖與功一樣，但卻為完全不一樣的觀念。（二）參考轉軸需先確定之後，力矩的定義方有意義。

力矩為一向量，故總力矩為各個力矩之向量和

Example: （一）求淨力矩

221121 FRFR

（二）若F1=5.0N ,R1=1.0m ,F2=15.0N, R2=0.5m ，其旋轉方向為？

mNmNmN 5.2)5.0)(0.15()0.1)(5.0(

淨力矩為正值，由右手定則，其旋轉方向為逆時鐘旋轉

力矩與角加速度力矩與角加速度一物體的旋轉如右圖所示。對每一個微小體積元而言，皆滿足

)(dmadF tt

該體積元所受的力矩為)()()( 22 dmrdmrdmrardFd tt

雖然物體中每一體積元的切線加速度不一樣，但是其角加速度卻都一樣（對剛體而言）

Idmrd )( 2

Example: Rotating Rod 固定點

mg

一質量為 m 長度為 L 的均勻長棒，固定一端而另一端則可自由轉動。問於水平靜止位置釋放時，其起始角加速度與自由端切線加速度為何？力矩為 ImgL 2

1

L

g

mL

Lmg

I 2

3

3/

)2/(2

角加速度為

端點切線加速度為2

3gLat

為何端點切線加速度會大於 g ??

Example:Atwood’s Machine

阿特伍德機如右圖所示。若繩子的質量可忽略，兩滑輪的半徑為 R ，轉動慣量為I 。求加速度？線性運動滿足牛頓定律

amTgm 111)1( amgmT 223)2( 轉動運動滿足牛頓定律

IRTT 21)3( IRTT 32)4(

IRTT 2)4()3( 31 將 (1)(2) 式結果代入 2

2121 /2)( RImmgmma

轉動運動時動能的改變轉動運動時動能的改變(( 續）續）由於外力作用於物體使之旋轉所作的功為

dt

d

dt

dWPowerddW

依此定義，功與轉動動能的關係為

KIIdIddt

dI

ddt

dIdIddWW

if

2

212

21

此關係式為前述定義之總結

Example: Rotating Rod （續）固定點

mg

2231

212

21

21 mLImgL

L

g3

重力位能轉變為轉動動能

前述例題中的長棒自水平靜止位置釋放時，問於最低點時該棒的角速度為何？

Example: 一系統如右圖所示。求物體運動速度與下滑高度的關係重力位能轉變為轉動動能

0222

212

1 fff IvmvmK

021

UK

ghmghmU

ghmmvRImm

Rv

f

ff

)()( 1222

2121

)(

)(22

21

12

RImm

ghmmv f

滾動 (Rolling)

對純滾動運動而言，物體與平面之接觸點於接觸那一瞬間為靜止的，沒有任何的滑動。在此條件下，物體的質心運動為

Rdt

dsvRS CM

R

dt

dR

dt

dva CM

CM

滾動可分解為一對質心的轉動和一平移運動，如右圖所示。

其中平移運動的速度等於滾動物體的質心速度

Rdt

dsvCM

而對質心的轉動速度等於

r

dt

dr

dt

rdrv )()(

所以滾動中物體的動能為

dmvvdmvK CM2

212

21

由於速度為一向量，所以滾動物體每一體積元的速度，可寫為質心速度（平移運動）加上相對於質心的運動速度（轉動運動）

dmvdmvvdmv

dmvvvv

CMCM

CMCM

2212

21

2221 2

dmrdmrvMv dtd

CMCM2

2122

21

轉動平移 KKIMR CM 22122

21

換一角度來看，滾動也可看為在每一瞬間，皆以接觸點 P 為旋轉轉軸的純旋轉運動（如右圖所示）。所以其運動動能等於其轉動動能

221 IK

上式中的轉動慣量為以接觸點 P 為參考轉軸，其計算可以平行軸定理求得

22212

212 MRIKMRII CMCM

例題：一質量為 M 的實心圓球沿一斜坡滾下（如右圖所示），求其質心加速度、靜摩擦力與滾動距離L 之後之質心速度。

解法一：牛頓運動定律

CMx MafMgF sin

0cosMgnFy

牛頓運動定律 -直線運動

- 轉動運動 CMCM IfR

CMCM MaRRaMRf 5212

52 /

sinsin 72

75 MgfgaCM

滾動距離 L 之後之質心速度為

sin2 7102 gLLav CMCM

解法二：能量守恆律重力位能變化＝質心平移動能＋轉動動能

2212

21sin CMCM IMvLmg

LmgMvMRMv CMCM sin210722

512

21

sin2/

sin

752

7102

gLva

gLv

CMCM

CM

(a)哪一個先到達底端？(b) 哪一個到達底端時總動能最大？(c) 哪一個到達底端時平移動能最大？(d) 哪一個到達底端時轉動動能最大？

將質量相同的圓環 (hoop) 、圓盤 (disk)及圓球 (sphere)同時沿同一斜面滾下，且無滑動，試問：

思考問題

牛頓動力學於轉動運動中牛頓動力學於轉動運動中

線性運動中，牛頓第二運動定律為 FF = dPP/dt

轉動運動中dt

dPrFr

由向量外積的結果知道 Pr

vv dt

dm 0

dt

d

dt

d

dt

d )( PrP

rPr

定義一新的物理量dt

dLτPrL

The new quantity LL has the form of r P and it is named as “angular momentum “

Momentum of Rotational Motion and Momentum of Rotational Motion and Its Conservation LawIts Conservation Law

The new quantity LL has the form of r P and it is named as “angular momentum “

We named = r F as “torque” and we have the new dynamical law in rotation as = d L / d t

The new quantity LL has the form of r P and it is named as “angular momentum “

According to Newton’s 3rd law, when a system of objects interact only with each other (a close system), then the total torque applied in this system would equal to zero i = 0 dL/dt = 0 L = constant

We named = r F as “torque” and we have the new dynamical law in rotation as = d L / d t

Application of Angular Momentum Application of Angular Momentum Conservation in Diving - SomersaultConservation in Diving - Somersault

Application of Angular Momentum in Application of Angular Momentum in AeromechanicsAeromechanics

剛體的角動量剛體的角動量

由角動量的定義 2iiiiii mrvmr PrL故剛體的角動量為物體中每一微小體積元角動量的向量總和

Idmrmrii22LL

由力矩的定義亦可得到

ILdt

Id

dt

dII

dt

dL

)(

例題：空中飛人一空中飛人在脫離自己的鞦韆後，於 1.87秒的時間內完成空中三圈翻轉至其夥伴處。若此空中飛人於翻轉的最前與最後的 1/4 圈中全身伸展，該時對質心的轉動慣量為 19.9kg m2 。其餘的翻轉時全身收縮，對質心的轉動慣量為 5.5kg m2 。問其起始的角速度為何？

stttt 87.121222111 可由角動量守恆得到不同角速度之間的關係

不同轉動慣量時的角速度不一樣，故分開計算

sIItII 87.1// 112212211

srev /64.01

若此空中飛人欲嘗試空中四翻轉，但是起始的角速度與飛行時間仍為一樣，問於翻轉中他需要多大的轉動慣量？

sIIt 87.1// 11221 由前面的結果

此時revrevrev 5.35.25.0 21 則由 仍為

s

srevmkgrevIrev

87.1

/64.0/9.19/5.35.0 12

2

22 93.3 mkgI

例題：中子星的形成某星球原來的自轉週期為 30 天，然而經爆炸後(supernova explosion) 由原來半徑一萬公里變成半徑為三公里的星核。求此時的自轉週期？

星球爆炸基本上為一獨立系統，故角動量守恆

22

212

12211 rrII

T/2 由於

2/ ifif rrTT ST f 23.0

陀螺儀（ Gyroscope ）

因 dL L⊥ ，不會改變 L 的大小，只會改變方向。我們稱之為(precession 進動 )

進動 (Precession)

轉動中陀螺傾斜時，重力的作用相當於以支點為轉軸，施以一力矩。

sinMgDdt

dL

故角動量變化的方向沿著水平面旋轉。

進動的頻率

I

MgD

dt

d

dtI

MgDL

dLd

sin

sinsin

Coriolis Force : Large Scale Wind Coriolis Force : Large Scale Wind PatternsPatterns