第二篇 集合论

本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与无限集等与集合论相关等四部分内容组成，它们间是一个内容关联的整体。

第四章 集合论初步 集合论是数学的基础，也是离散数学的基础。

故学好集合论十分重要，在本章学习中要掌握： 集合中的一个基本概念 集合中的两种关系 集合中的三种特殊集合 集合中的四种表示方法 集合中的五种运算 集合中的 21 个常用公式

§4.1 集合论基本概念 （ 1 ） 一个主要的概念——集合的基本概念：一些不同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。

（ 2 ）集合中的两个关系 集合间的比较关系： A ＝ B ， A≠B ，

AB ， AB 。 集合与元素间的隶属关系： aA ，

aA 。 （ 3 ） 三种特殊的集合 空集 全集 E 幂集（ A ）。

（ 4 ） 集合的四种表示法： 枚举法。即将集合元素一一列举。例： {1, 2, 3,…}

特性刻划法。即用元素的性质刻划集合。例： {x | p

(x)}

图示法。即用文氏图表示集合及集合间的关系。例：

运算法。即用已知集合的运算构造新的集合。例： S ＝ A∪ （ B∩C ） A A B

（ 5 ）集合的五种运算：

交运算： A∩B

倂运算： A B∪

差运算： A － B

补运算：～ A

对称差运算： A ＋ B

（ 6 ）集合的 21 个公式：交换律：A B∪ ＝ B A∪A∩B ＝ B∩A

结合律：A∪ （ B C∪ ）＝（ A B∪ ）∪ C

A∩ （ B∩C ）＝（ A∩B ）∩ C

分配律：A∪ （ B∩C ）＝（ A B∪ ）∩（ A∩C ）A∩ （ B C∪ ）＝（ A∩B ）∪（ A∩C ）

同一律：A∪ ＝ AA∩E ＝ A零一律：A E∪ ＝ EA∩ ＝互补律：A∪ ～ A ＝ EA∩ ～ A ＝双补律：～（～ A ）＝ A

E 与 的互补：～ E ＝～＝ E等幂律：A A∪ ＝ A A∩A ＝ A吸收律：A∪ （ A∩B ）＝ A A∩ （ A B∪ ）＝ A狄 · 莫根定律：～（ A B∪ ）＝～ A∩ ～ B～（ A∩B ）＝～ A∪ ～ B

§ 4.5 有限集与无限集 （ 1 ）有限集与无限集的基本概念 有限集的两个定义

集合 S 与 Nn 一 一对应

非无限集即为有限集 无限集的两个定义 S 与一 一对应函数 f ： SS 使得： f (S) S

S 存在与其等势的真子集

（ 2 ）有限集 有限集的基数——有限集元素个数 有限集的计数——计算有限集中元素个数 有限集计数的四种方法： |A B|∪ ＝ |A|+|B|

|A B|∪ ＝ |A|+|B| － |A∩B|

|A B C|∪ ∪ ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －|B∩C|+|A∩B∩C|

|S1 S∪ 2 … S∪ ∪ n| ＝∑ |Si| －∑ |Si∩Sj| ＋ ∑

|Si∩Sj∩Sk| （－ 1 ）∑ |S1∩S2∩…∩S n|

n

i=11≤i ＜ j≤n 1≤i ＜ j ＜ k≤n

无限集 （ 3 ）四个常用的无限集：

自然数集 N 整数集 I 有理数集 Q 实数集 R （ 4 ） 无限集的势 （ 5 ） 无限集分类（按势分类） 自然数集 可列集——基数为 0 整 数 集

无限集 实数集——基数为 有理数集 更大基数的集——（ A ）

幂集、 n 元有序组与笛卡尔乘积 （ 7 ）幂集

幂集定义：集合 A 的所有子集所组成的集合，可记为（ A ）。

幂集性质： |A| ＝ n 则 | (A) | ＝2 n

（ 8 ） n 元有序组与笛卡尔乘积 n 元有序组是一种特殊的集合结构形式，它

有两个基本概念与一种基本运算（笛卡尔乘积）。 基本概念之一：有序偶。例：（ a , b ） 基本概念之二： n 元有序组。例：（ a1 , a

2 ,…an ） 基本运算：笛卡尔乘积。例： AB

第五章 关系 关系研究集合内元素间的关

联及集合间元素关联，主要有： 一个基本概念 两种表示方法 三种运算 九个公式 五种性质 六种常用关系

§5.1 关系基本概念 （ 1 ）一个主要的概念——二元关系的基本概念：

关系定义：从集合 A 到 B 的关系 R 是 A× B 的一个子集。

（ 2 ）两种表示方法：

集合表示法：有序偶的集合

图表示法：有向图

§5.2 关系运算（ 3 ）两种运算： 关系的复合运算 关系的逆运算（ 4 ）有关运算的五个公式： 复合运算的公式： (R S ) T ＝ R (S T)

Rm Rn ＝ Rm+n

(Rm)n ＝ Rmn

逆运算的公式： R ＝ R

(R S) ＝ R S

～ ～～

§5.3 关系重要性质

（ 5 ）关系的五种性质 关系的自反性 关系的反自反性 关系的对称性 关系的反对称性 关系的传递性

（ 6 ）六种常用关系

次序关系之一：偏序关系

次序关系之二：拟序关系

次序关系之三：线性次序关系

次序关系之四：字典次序关系

相容关系

等价关系

§5.4 闭包运算（ 1 ）关系的闭包运算

自反闭包 r (R)

对称闭包 s (R ）

传递闭包 t (R ）

（ 2 ）闭包的公式：

r （ R ）＝ R∪

s （ R ）＝ R R∪

t （ R ）＝∪ Ri

～

i=1

§5.5 次序关系 （ 7 ）次序关系 四个定义： 偏序关系： X 上自反、反对称与传递的关系称偏序关系并用‘≤ ’表示。 拟序关系：反自反、传递的关系称拟序关系并用‘ < ’ 表示。 线性次序关系： X 上偏序关系 R 如有 x , yx 必有 x ≤y 或

y

≤ x 则称 R 是 X 上线性次序关系。 字典次序关系：有限字母表∑ 上的偏序关系。 如建立∑＊上的次序关系： 设 x=x1, x2,…xn , y=y1, y2,…ym ； x , y* ； x1 , x2,…xn ,y1 ,

y2 ,…,ym.

（ 1 ） x1≠y1 且如 x1≤y1 则我们说 xLy ；如 y1≤x1 ，则我们说 yL

x ；

（ 2 ）如存在一个最大的 K 且 K ＜ min (n ， m) ，使得 x1 ＝ y

1 ， x2 ＝ y2 ，…， xk ＝ yk 而 xk ＋ 1 ＝ yk+1 ，如果 xk ＋ 1≤yk ＋ 1 ，

则我们说 xLy ；如 yk ＋ 1≤xk ＋ 1 ，则我们说 yLx ；

（ 3 ）如存在一个最大的 K ＝ min (n ， m) ，使得 x1 ＝ y1 ， x

2 ＝ y2 ，…， xn ＝ yn ，此时如 n≤m ，则我们说 xLy ；如 m

≤n ，则我们说 yLx 。

四个次序关系间的关系： R 是拟序则 r (R) = R

R 是偏序则 R － Q 是拟序 字典次序关系必为线性次序关系 R 是拟序则必反对称 八个概念： 最大元素（最小元素） 极大元素（极小元素） 上界（下界） 上确界（下确界）

§5.6 相容关系 （ 8 ）相容关系

相容关系定义—— X 上自反、对称关系称相容关系并用“≈”表示 。

相容关系的极大相容块——设有集合 X 上的相容关系≈，设 A 是 X 的子集，如 A 中任何元素都互为相容，且 X—

A 中的任何元素没有一个与 A 中的所有元素相容，则称 A 是X 中的极大相容性分块。

相容关系完全覆盖—— X 上相容关系≈，它的极大相容性分块的集合称 X 的完全覆盖。

§5.7 等价关系 （ 9 ）等价关系 等价关系定义—— X 上自反、对称、传递的关系称等

价关系。 等价类—— R 是 X 上等价关系，对 xX 可构造一个

X 的子集 [x]R 称为 x 对 R 的等价类。

划分—— S 的子集 A1 ， A2 ，… An 满足：① Ai 均分离 (i=1 ， 2 ，…， n) ② A1∪A2∪…∪An ＝ S 则 A ＝｛ A1 ，A2 ，…， An ｝为 S 的划分，而 Ai 称为划分的块（ i=1, 2,…

n ）。 商集—— X 上等价关系 R 所构成的类产生 X 的划分叫

X 关于 R 的商集记以 X ／ R 。

第六章 函数

函数是一种特殊的关系，它在数学中具有普遍重要价值，函数主要内容有：

一个基本概念 两种基本运算 三种性质函数 四种常用函数

§6.1 函数的基本概念 （ 1 ）一个基本概念——函数的基本概念。 函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。设有集

合 X 与 Y ，如果我们有一种对应关系 f ，使 X 的任一元素 x 能与y 中的一个唯一的元素 y 相对应，则这个对应关系 f 叫从 X 到 Y的函数或叫从 X 到 Y 的映射。 x 所对应的 y 内的元素 y 叫 x 的像，而 x 则叫 y 的像源。上述函数我们可以表示成 f ： XY ；或写成XY ；以及 y ＝ f （ x ）。

（ 2 ）三种不同性质函数： 满射与内射 一对一与多对一 一一对应（双射）

y1

y2

y3

y4

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

x1

x2

x3

x4

x5

y1

y2

y3

y4

x1

x2

x3

x4

X Yg

X Yf

X Yh

从图中可以看出函数 f 使得 Y 中的每个元素均有X 中的元素与之对应，这种函数叫做从 X 到 Y 上的函数，否则叫做从 X 到 Y 内的函数。

从图中可以看出，函数 g 使得不但 X 中的每一个元素 xi唯一对应一个 Y 中的一个元素 yj ，而且也只有一个 xi 对应 yj ，也就是说一个像只有一个像源与之对应，这种函数叫做一对一的函数，否则叫做多对一的函数。

从图中可以看出，函数 h 使得 X 与 Y 间建立了—一对应的关系，这种函数叫 X 与了间—一对应的函数。

§6.2 复合函数、反函数、多元函数 （ 3 ）两种运算：

复合运算（复合函数）设函数 f ： XY ， g ：YZ 则复合函数 h ＝ gf ： XZ 是一个新的函数。

定义：设函数 f ： XY ， g ： YZ ，它们所组成的复合函数或叫复合映射 gf ，也是一个函数 h ： XZ ，即：

h ＝ g f ： {(x , z)|xX , zZ 且至少存在一个 yY ，有 y=f （ x ）， z ＝ g （ y ） } ．

y1

y2

x1

x2

x3

z1

z2

Y

X Z

h

f g

逆运算（反函数） 定义：设 f ： XY 是—一对应的函数，则f 所构成的逆关系叫 f 的逆映射或叫 f 的反函数，记以 f—1 ： Y X

（ 4 ）函数分类： 一元函数： f (x)

二元函数： f (x , y)

多元函数： f (x1, x2 , …xn )

§6.3 常用函数 （ 5 ） 四种常用函数 常值函数： f (x) ＝ b 恒等函数： f (a) ＝ a 单调递增函数与严格单调递增函数： 单调递减函数与严格单调递减函数 ：

1 aA’ 特征函数： f (a) ＝ 0 aA’