第二章 行列式

第一节 二阶、三阶行列式

一、二阶行列式的引入

二、三阶行列式

三、小结、思考题

用消元法解二元线性方程组

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa 1

2

:1 22a ,2212221212211 abxaaxaa

:2 12a ,1222221212112 abxaaxaa

，得两式相减消去 2x

一、二阶行列式的引入

;212221121122211 baabxaaaa ）（

，得类似地，消去 1x

,211211221122211 abbaxaaaa ）（

时，当 021122211 aaaa 方程组的解为

，21122211

2122211 aaaa

baabx

）（3.21122211

2112112 aaaa

abbax

由方程组的四个系数确定 .

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排

称列）的矩阵：

)4(2221

1211

aa

aa

定义定义

)5(

4

2221

1211

21122211

aa

aa

aaaa

行列式，并记作

）所确定的二阶为矩阵（称表达式

11a 12a

22a12a

主对角线

副对角线

对角线法则对角线法则

2211aa .2112aa

二阶行列式的计算

若记 ,2221

1211

aa

aaD

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa对于二元线性方程组

系数行列式

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

,2221

1211

aa

aaD

,222

1211 ab

abD

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

,2221

1211

aa

aaD

.221

1112 ba

baD

则二元线性方程组的解为

,

2221

1211

222

121

11

aa

aaab

ab

DD

x

注意 分母都为原方程组的系数行列式 .

.

2221

1211

221

111

22

aa

aaba

ba

DD

x

二、三阶行列式定义定义

333231

232221

131211

)6(

339

aaa

aaa

aaa

列的矩阵行个数排成设有

记记

,312213332112322311

322113312312332211 )7(

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

（ 7 ）式称为矩阵（ 6 ）所确定的三阶行列式三阶行列式 .

3231

2221

1211

aa

aa

aa

.312213332112322311 aaaaaaaaa

三阶行列式的计算

322113312312332211 aaaaaaaaa D

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D . 列标行标

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 .

对角线等法则二阶与三阶行列式的计算

.211222112221

1211 aaaaaa

aa

,312213332112322311

322113312312332211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

三、小结

思考题思考题

对应的称四阶方阵

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

表达式

使用类似对角线法则？多少个乘积项，能不能四阶行列式展开后共有为四阶行列式，请问：

思考题解答思考题解答

解

的对角线法则！个乘积项；不能用所谓共有 24!4

第二章 行列式

第二节 n 阶行列式

式一、余子式和代数余子

的展开法则二、行列式按行（列）

三、小节、思考题

n 阶行列式的定义

定义 阶方阵对任意n ,

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

用记号

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

相联系表示一个与矩阵 A

,的数或表达式 )det( AAA 或记为的行列式为常称

一、余子式与代数余子式1定义 阶行列式对 n

nnnjn

iniji

nj

aaa

aaa

aaa

1

1

1111

在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作

n ija i j1n

ija.M ij

，ijji

ij MA 1记 叫做元素 的代数余子式．ija

例如对

,

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

D

444241

343231

141211

23

aaa

aaa

aaa

M

2332

23 1 MA ,23M .23的代数余子式叫做元素 a

注意： 只与该元素所处位置一个元素的代数余子式多少无关！相关；而与该元素等于

亦即仍有代数余子式仍然不变！

，它的的值换成比如上例中，即便把 3323 aa

2323 MA

,312213332112322311

322113312312332211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

行列式，有按照这个定义，对三阶

131312121111 MaMaMa

131312121111 AaAaAa 上式推广后即得

定理 1 n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

n

kikikininiiii AaAaAaAa

12211

ni ,,2,1

二、行列式按行（列）展开法则

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

列展开：阶行列式也可以按第事实上， jn

nj ,,2,1

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

n

kkjkjnjnjjjjj AaAaAaAa

12211

05320

00140

00320

25271

02135

D例 2 计算行列式

解

05320

00140

00320

25271

02135

D

5320

0140

0320

2135

12 52

14

325)10(

.700)122(50

532

014

032

5)2(

5320

0140

0320

2135

12 52

例 3 计算上三角行列式

nn

n

n

a

aa

aaa

00

0 222

11211

解 =

nn

n

n

a

aa

aaa

a

00

0)1( 333

22322

1111

nn

n

n

a

aa

aaa

00

0 222

11211

nn

n

n

a

aa

aaa

aa

00

0)1( 444

33433

112211

nnaaa 2211

例 4 ?

8000

6500

1240

4321

D

44332211

8000

6500

1240

4321

aaaaD .1608541

同理可得下三角行列式

nnnnn aaaa

aa

a

321

2221

11

00

000

.2211 nnaaa

矩阵，有同理，对所有三类初等

ijij CR

)()( ii CR )()( kCkR jiij

1

1

1

1

1

k

1

1

1

1

1

1

1

01

1

1

10

1

1

1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 .

三、小结

n

kikikininiiii AaAaAaAaD

12211.2

ni ,,2,1

n

kkjkjnjnjjjjj AaAaAaAa

12211

的行、列！建议挑选含零最多在按行、按列展开时，.3

第二章 行列式

第三节 行列式的性质

一、行列式的性质

二、应用举例

三、小结、思考题

一、行列式的性质

性质性质 11 行列式与它的转置行列式相等即，

行列式 称为行列式 的转置行列式 . TA A

记

TA

nna

a

a

22

11

2

121

n

n

a

aa

nn aa

a

21

12

A

nna

a

a

22

11

n

n

a

aa

2

112

21

21

nn aa

a ,

.AAT

说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 .

性质 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即

同样用数学归纳法可证：

性质 2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零 .

ni ,,,,, 21

nii ,,,,, 21

ni ,,,,, 21

nnnininn

nii

nii

aaaaa

aaaaa

aaaaa

D

)(

)(

)(

21

2222221

1111211

则 D 等于下列两个行列式之和：

nnnin

ni

ni

nnnin

ni

ni

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

D

1

2221

1111

1

2221

1111

例如

n

ii

1

n

i

1

n

i

1

.（列）展开即可行边的行列式都按第事实上，只要对等号两 i

为记成分块矩阵形式，即

性质性质 44 （行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于 n 阶行列式：

（（ 11 ）） 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式 .

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

.行展开即得按第事实上，等号两端同时 i

（ 2 ）　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去，行列式的值不变．

njnjnin

jji

nji

aaaa

aaaa

aaaa

1

22221

11111

njnjnjnin

jjji

njji

ji

aakaaa

aakaaa

aakaaa

kc

)(

)(

)(

)(

1

222221

111111

k例如

从等号右端看，利用性

质 3 、性质 4的（ 1 ）及性质 2 即得等号

左端。

（（ 33 ）） 互换行列式的两行（列） , 行列式变号 .证明证明 设行列式写成分块形式，则

njiA ,,,,,1

njji

c ji

,,,,,1

)1(

niji

cij

,,,,,1

)1(

nij

c ji

,,,,,1

)1(

Bnij ,,,,,1

,

571571

266853

.

8

2

5

8

2

5

3

6

1

5

6

7

5

6

7

3

6

1

266853

例如，有

推论推论 11 　某一行（列）元素全为零的行列式等于零．

推论推论 22 　对 n 阶行列式及数 k, 有 ．AkkA n

nnnn

inii

inii

n

aaa

kakaka

aaa

aaa

21

21

21

11211

nnnn

inii

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

k

21

21

21

11211

.0

推论推论 33 　若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零，即

计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。

)(krij

例 1 计算 4 阶行列式

3351

1102

4315

2113

D

72160

1120

6480

2131

3315

1120

4351

2131

3351

1102

4315

2113

D

解

8

20000

10800

1120

2131

151000

10800

1120

2131

72160

6480

1120

2131

408

20821

性质 5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji

,

1

1

1

111

11

nnn

jnj

ini

n

jnjnjj

aa

aa

aa

aa

AaAa

证 行展开，有按第把行列式 jA

,

1

1

1

111

11

nnn

ini

ini

n

jninji

aa

aa

aa

aa

AaAa

可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk

行第 j

行第 i

,时所以当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji

同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji

相同

关于代数余子式的重要性质

;,0

,,

1 ki

kiAAa

n

jkjij 当

当

;,0

,,

1 kj

kjAAa

n

iikij 当

当

阶行列式已知例 52

44

57010

33555

68012

22444

12111

mB

.3424144544 AAAAA 及试求代数余子式之和

行展开，得按行列式的第解 4

)1(33555 4544434241 mAAAAA

，即得式作乘积之和，由性质行对应元素的代数余子行与第再用行列式的第

5

42

)2(022444 4544434241 AAAAA

两式，、联立 )2()1(

)1(33555 4544434241 mAAAAA

)2(022444 4544434241 AAAAA

x4

y2

024

35

yx

myx即

解得

.811

24544 myAA .4434241 xAAA

性质 6 设 U 是有如下分块形式的 ( n + p ) 阶矩阵：

BABD

OA

BO

CAU

pp

nn

pp

nn

推论 是同阶方阵，则有若 BA,

BAAB

矩阵乘积的行列式等于行列式的

乘积！

.

1

1

1

3

cba

bac

acb

求行列式例

解 将第二列加到第一列，由性质 4 、性质 2 可得

.0

11

11

11

)(

1

1

1

1

1

1

c

b

a

cba

ccba

bcba

acba

cba

bac

acb

二、应用举例

.4 的行列式等于零证明奇数阶反对称矩阵例

证明：

知，，再由性质知，，又由性质得

是奇数，则由阶反对称矩阵，是设

41

,

AAAA

AAnnATT

T

即得,)1( AA n

AA n)1(

是奇数，故必有而n

AA

即.0A

1 2 3 1 2

1 2 3 1 1 2 2 3

3 2 1 1 2

5 4 4

4m n

例 若 ， ， ， ， 都是 维列向量，且 阶行列

式 ， ， ， ， ， ， ， ，则 阶行

列式 ， ， ，（ ）等于多少？

解 )(,,, 21123

21231123 ,,,,,,

23211321 ,,,,,,

32211321 ,,,,,,

nm

.3,2

6 331

AAO

BAT其中计算行列式例

.882

22

1-1T3

-1T

1

AAAA

AAAO

BAT

解：

)AA1( 11 AAI

.,1,7 1 IAAAAT 求行列式且已知例

.0

)(

)(

,1,1

IA

IAIAA

IAAAAAIA

AIAAAA

T

TT

TT

故

则

且知解：由

( 行列式中行与列具有同等的地位 , 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).

计算行列式常用方法： (1) 利用定义 ;(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．

三、小结

行列式的 6 个性质

思考题 1

阶行列式计算4

111

111

111

111

22

22

22

22

dd

dd

cc

cc

bb

bb

aa

aa

D

1abcd已知

思考题 1 解答解

11

11

11

11

2

2

2

2

ddd

ccc

bbb

aaa

D

111

111

111

111

2

2

2

2

dd

d

cc

c

bb

b

aa

a

1 、 2 、 3 、 4 行分别提取公因子 a 、 b 、 c 、 d

（ 1 ）交换1 、 2两列；（ 2 ）交换3 、 4两列；（ 3 ）交换2 、 3两列。

ddd

ccc

bbb

aaa

abcd

111

111

111

111

2

2

2

2

ddd

ccc

bbb

aaa

111

111

111

111

1

2

2

2

2

3

.0

思考题 2阶行列式设n

n

n

Dn

001

0301

0021

321

求第一行各元素的代数余子式之和

11 12 1 21 22 22n nA A A A A nA 及

思考题解答解 由

知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

nAAA 11211

n

001

0301

0021

1111

n

n

Dn

001

0301

0021

321

nAAA 11211

n

001

0301

0021

1111

.1

1!2

n

j jn

)1

(

),,3,2(

1 ic

ni

i

n

jn

j

000

0300

0020

111112

21 22 22 0nA A nA

第二章 行列式

第四节 行列式的计算

常见方法一、行列式计算的几种

二、小 结、思考题

：行列式计算的方法

”换 的“、利用行列式 初等变1 “ ”降阶法。

、2

“ ”递推法。、3

“ ”归纳法。

、4

“ ”升阶法。

”的“利用行列式 加法性质 “ ”拆边法。、5

“ ”、 分块矩阵法。6

求解行列式例1

9333

3333

3323

3331

D

到其余各列得列元素乘将行列式的第解 1-3

9333

3333

3323

3331

D

6300

0300

0310

0302

“ ”降阶法 之例

6300

0300

0310

0302

行展开，有将此行列式按第三行该

6

1

2

)1(3 33

D

!666)1()2(3

例 2 计算 阶行列式n

abbb

babb

bbab

bbba

D

解法 1

abbbna

babbna

bbabna

bbbbna

1

1

1

1

D

将第 都加到第一列得n,,3,2

“ ”初等变换法 之例

abb

bab

bba

bbb

bna

1

1

1

1

)1(

ba

ba

ba

bbb

bna

1

)1( 0

0 .)()1( 1 nbabna

第 1 行的 (-1)倍分别加到其余各行！

例 2 计算 阶行列式n

abbb

babb

bbab

bbba

D

解法 1

baab

baab

baab

bbba

00

00

00

D

将第 得行加到行乘 n,,3,211

“ ”初等变换法 之例

列加到第一列第用 n,3,2

ba

ba

ba

bbbbna

000

000

000

)1(

D

.)()1( 1 nbabna

例 2 （续） 计算 阶行列式n

abbb

babb

bbab

bbba

D

“ ”升阶法 之例

解法 2 倍分行的新的第增加一行一列后，用 )1(1 可得别加到其余各行上去，

10

0

1

n

n

ab

ba

bb

D

ba

ba

bb

01

01

1

ba

ba

bbba

nb

ba

00

00

)1(

列上去，倍加到新的第时，用每一列的当 1)(

1ba

ba

1)(])1([ nbabna

.,上述答案也符合时当 ba

例 2 （续） 计算 阶行列式n

abbb

babb

bbab

bbba

D

“ ”递推法 之例

解法 2

abb

bab

bba

bbbba

abbb

babb

bbab

bbbb

Dn

0

0

0

11

1

)()(

)(

000

000

000

0

0

0

nn

n

n

Dbabab

Dba

ba

ba

ba

bbbb

abb

bab

bba

bbbba

abbb

babb

bbab

bbbb

D

11

21 2

3 22 3

22 1

( ) ( ) 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

nn n

nn n

nn n

n

D b a b a b D

D b a b a b D a b

D b a b a b D a b

D b a b a b D a b

))1(()(

)()1()(

)()1()(

1

11

11

1

bnaba

babnaba

babnDbaD

n

nn

nnn

+)

阶行列式计算下列例 n3 之例“ ”拆边法

72

5

72

572

57

nD

列拆成两组数的和，得将第解 1

72

5

72

572

57

nD

72

5

72

572

52

72

5

72

570

55

72

5

72

572

52

nD

72

5

72

570

55

列展开，得对后一行列式，按第加到下一行上去）倍行起，每一行的（对前一个行列式，从第

1;

11

20

52

20

520

52

nD

172

57

72

57

5

n

152 nn D

略）即可解得“ ”再用 递推法 （此处nnnnn

nD 55252522 1221

即21 107 nnn DDD

nnnnnn DDDDDD 2)5(2)5(25 12

2211

nnn DD 25 1

递推可得

nnnnnnD 55252522 1221

另解：

证 用数学归纳法

例 4 证明范德蒙德 (Vandermonde) 行列式

1

112

11

222

21

21

).(

111

jinji

nn

nn

n

n

n xx

xxx

xxx

xxx

D

)1(

之例“ ”归纳法

解 :

例 5 计算行列式

32

32

32

32

432

432

432

432

1

1

1

1

ddd

ccc

bbb

aaa

abcd

dddd

cccc

bbbb

aaaa

Dn

432

432

432

432

dddd

cccc

bbbb

aaaa

Dn

))()()()()((

1111

3333

2222

cdbdadbcacababcd

dcba

dcba

dcbaabcd

6 n例 计算下列 阶行列式 之例“ ”分块矩阵法

a

a

a

A

1

1

列，即得换到第列依次行，再将第行依次换到第将第解

2

2 nn

a

a

a

a

A

1

1

性质利用分块矩阵行列式的

BABO

OA

pp

kk

即得

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

1

11

1

22 )1( naa

另解： 1. 按第一行展开； 2. 初等变换。

思考题

求下列方程的根

0

781

241

221

1011

681

341

121

1111

3

2

3

2

x

x

x

x

x

x

思考题解答

0

781

241

221

1011

681

341

121

1111

3

2

3

2

x

x

x

x

x

x

性质，于是想到要用行列式的加法列元素不同，故而第注意到两个行列式只有 3

解

3

2

3

2

3

2

7681

2341

2121

10111

781

241

221

1011

681

341

121

1111

x

x

x

x

x

x

x

x

x

0

781

241

221

1011

681

341

121

1111

3

2

3

2

x

x

x

x

x

x

即化为

即

3

2

3

2

3

2

181

141

121

1111

781

241

221

1011

681

341

121

1111

x

x

x

x

x

x

x

x

x

范德蒙德行列式

0)1)(2)(1)(21)(11)(12( xxx

大下标减去小下标元素

于是，得到

121 xxx 或或

第二章 行列式

第五节 行列式的应用

公式一、伴随矩阵及逆矩阵

用二、克拉默法则及其应

四、小结、思考题

的方程组的重要定理于方程个数三、关于未知数个数等

定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵

AijA

称为矩阵 的伴随矩阵 .也记作 adjA.

A

一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式

注意下标

Tij

nnnn

n

n

A

AAA

AAA

AAA

A ][

21

22212

12111

定理 1 .IAAAAA

证明 ,ijaA 设 则

nnnn

n

n

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

aaa

aaa

aaa

AA

21

22212

12111

21

22221

11211

AA .IA

同理可得

n

kkjkiaAAA

1

.IA

nnnn

n

n

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

aaa

aaa

aaa

AA

21

22212

12111

21

22221

11211

AAaAaAa nn 1112121111

AAaAaAa nnnnnnnn 2211

,

A

A

A

AO

O 故

时，也有事实上，当 0A1 n

AA

)4( 章后证明学完第

推论 时，有当阶矩阵对 0, AAn1 n

AA

证明 两边取行列式，得对 IAAA

nnAIAIAAAAA

.,命题得证等式最两端同除以 A

.证毕.IAAAAA 即

定理 2 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　

,11 AA

A

A 0A

证明 必要性，若 可逆，A .11 IAAA 使即有

,11 IAA故 且可顺便得到所以 .0A

.的伴随矩阵为矩阵其中 AA

11 AA

IAAAAA ,IAAA

AA

A

.1

AA

A

按逆矩阵的定义得

证毕。

，可得同理，由 IAAAAA

.)( 1

AA

A

.1 AAA

由时充分性，当 ,0A

,1 IBA显然 ,0A故

,1存在因而 A 于是

BIB BAA 1 111 AIAABA

证毕

.,, 1 ABIBAIABA 则或且为方阵若推论

证明

.

,0,,0

非奇异矩阵

称为时当称为奇异矩阵时当 AAAA

.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

,

331

212

321

A .

1151

531

132

B

解331

212

321

A

010

430

321

.

,?,

矩阵求出其逆若可逆是否可逆下列矩阵 BA例 1

010

430

321

01

43 4 ,0 .A可逆所以

,333

2111 A ,4

31

2212 A ,5

31

1213 A

.A,A

,A,A,A,A

34

1103

3332

31232221

同理可求得

代数余子式的符号不能丢

可得由 ,

331

212

321

A

T

AAA

AAA

AAA

AA

AA

333231

232221

1312111 1

.

315

404

133

41

1151

531

132

B由于 ,0 .B不可逆故

.

)3(

)2()1(

A

A

列式除以原矩阵的行；到对角线元调换符号后得

将副对调主对角线元；即

.54

3222 的逆矩阵阶矩阵求例

A

可逆，且知由解 AA 022

511 A 412 A 321 A 222 A

所以

24

35

22

11

2221

12111

T

AA

AA

AA

AA

.解毕说明： 的阶矩阵的求逆，有所谓对2

,“ ”两调一除 法

试求阶方阵，且是设矩阵例 ,033 mAA

12 AAA

解

mA

mAAAA

131 22

即得

233 )2()2()2( mmAmAm

.解毕

,1

AA

A

,1 n

AA ,mA AkkA 3

2333132

1211311

)2(1

)2()2(

)2(22

mmm

mmAmm

AmmAmAAAAA

另

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

设线性方程组

,,,, 21 不全为零若常数项 nbbb 则称此方程组为非

齐次线性方程组 ; ,,,, 21 全为零若常数项 nbbb

此时称方程组为齐次线性方程组 .

非齐次与齐次线性方程组的概念

二、克拉默法则

定理 3 如果线性方程组

)1(

2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

的系数行列式不等于零，即

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

0

.,,,, 33

22

11 D

Dx

D

Dx

D

Dx

D

Dx n

n

其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即

jD D jn

nnj,nnj,nn

nj,j,

j

aabaa

aabaa

D

111

11111111

那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为

1

证明

njnnjnnnnn

jjnn

jjnn

AbAxaxaxa

AbAxaxaxa

AbAxaxaxa

2211

2222222121

1111212111

得个方程的依次乘方程组

列元素的代数余子式中第用

,1

,,, 21

n

AAAjD njjj

在把 个方程依次相加，得n

,1

111

11

n

kkjk

n

n

kkjknj

n

kkjkj

n

kkjk

Ab

xAaxAaxAa

由代数余子式的性质可知 ,

.,,2,1 njDDx jj

,Dx j的系数等于上式中

;0的系数均为而其余 jixi .jD又等式右端为

于是 2

当 时 , 方程组 有唯一的一个解0D 2

.,,,, 33

22

11 D

Dx

D

Dx

D

Dx

D

Dx n

n

由于方程组 与方程组 等价 , 2 1 故

.,,,, 33

22

11 D

Dx

D

Dx

D

Dx

D

Dx n

n

也是方程组的 解 . 1

逆否命题 如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零 .

1

齐次线性方程组的相关定理

3

0

0

0

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

推论 1 　 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有零解 .

,0D 3

3

三、重要定理

推论 2 　 如果齐次线性方程组

3 有非零解 , 则它的系数行列式必为零 .

零解而言，至少有一个对齐次线性方程组 0Ax

021 nxxx

的逆否命题为所以，推论 1

例 4 解线性方程组

.0

,132

,22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

解解 由于方程组的系数行列式

111

312

121

D 5 ,0

同理可得

110

311

122

1

D ,5

101

312

121

2

D ,10

011

112

221

3

D ,5

故方程组的解为 :

,111

DD

x ,222

DD

x .133

DD

x

例 5 问 取何值时，齐次方程组

,01

,032

,0421

321

321

321

xxx

xxx

xxx

有非零解？

解

111

132

421

D

101

112

431

101

112

431

3121431 3

3121 23

齐次方程组有非零解，则 0D

所以 或 时齐次方程组有非零解 .2,0 或 3

))(2)(3(

2 2 2

1 1 1

A a b c

a b c

, ,a b c

1, 1, 1TTA x

例 6: 设矩正阵

且 互不相等 , 求

的解 .

.001

;0,0,1 33

22

11

），，解（

D

Dx

D

Dx

D

D

D

Dx

四、小结牢记公式.1 .IAAAAA 以及由此而得

,1 n

AA ,11 AA .)( 1

AA

A ,1

AA

A

阶矩阵会使用阶矩阵的逆矩阵时，要在求 22.2

特有的 ,“ ”两调一除 法

质：还有两个不太常用的性

,)(2

AAAn AkkA n 1)(

3. 用克拉默法则解方程组的两个条件

(1) 方程个数等于未知量个数 ;

(2) 系数行列式不等于零 .

4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系 . 它主要适用于理论推导 .

.0,

001

A

xAA nn

则要有非零解

只有零解；时，：当结论

.0

002

A

bxAA nn

要有非唯一解；则

有唯一解；时，：当结论

思考题思考题 11

使求一个二次多项式 ,xf

.283,32,01 fff

思考题思考题 11 解答解答解 设所求的二次多项式为

,2 cbxaxxf

由题意得 ,01 cbaf

,3242 cbaf ,28393 cbaf

即

,0 cba

,324 cba

,2839 cba

故所求多项式为

.132 2 xxxf

又 ,020 D .20,60,40 321 DDD

得 ,21 DDa ,32 DDb 13 DDc

它是一个关于未知数 的线性方程组 ,cba ,,

由克拉默法则，

思考题 2

当线性方程组的系数行列式为零时 , 能否用克拉默法则解方程组 ? 为什么 ? 此时方程组的解为何 ?

思考题 2 解答

不能！此时非齐次方程组的解为无解或有无穷多解 .

齐次方程组的解为有无穷多解 .

第二章 行列式

行列式

补 充 例 子

.___32____,____,

___,,2,.1

11

AAAAA

AAA

T

T则且为三阶矩阵设例

.)2564332

,,,

,2,2/1,2(

13**1

1**

12

11

n

nTT

T

AAAAA

AAA

AAAAAAA

AAAAA

所以

因为

2

1/2 4 256

例 2 选择题 1 ． 是 阶方阵，则下列运算中，正确的是（ ） （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）

2 设 , 为 n 阶方阵，若 经过若干次初等变换变成矩阵 则成立的（ ） （ A ） （ B ）若 ，则必有 （ C ） （ D ）若 ，则必有

A B、 n

A A- ＝- A B A B

kA k A

AA

B

A B 0A 0B

A B 0A 0B

D

B

3 设 3 阶方阵 ，则 （ ） （ A ） （ B ）

（ C ） （ D ）

1 2 3, ,A a a a A

3 2 1, ,a a a 1 2 3, ,a a a

1 2 2 3 3 1, ,a a a a a a 1 1 2 1 2 3, ,a a a a a a

D

D

BAAB

4. 如果 5 阶行列式 D5 中每一行上的 5 个元素之和等于零，则 D5＝ ______________ 。0

2

2

1 1 1

5. 1

1

a a

b b

2 2

1 1 1

1 ( 1)( 1)( )

1

a b a b b a

a b

————————————————1 1 1

6. 1 0 2

1 1 1行列式 的所有代数余子式之和为

———————————

1 1 1

1 0 2 2

1 1 1