第十二章 二阶电路

二阶电路的零输入响应 二阶电路的零状态响应与完全响应 二阶电路的阶跃响应与冲激响应

二阶电路 : 电路中含两个储能元件，可以用二阶 的微分方程来描述。

主要内容 :

§12-1 二阶电路的零输入响应

U0

uC

0 t

uCU0

0 t

R iL

K(t=0)

+UC

-

+ UR -

iC

C L+UL

-物理意义

图示电路， uC(0-) =U0 ， iL(0-)=0

求 t >0时 uC(t)、 iL(t)

列以 uC 为变量的二阶微分方程0 LRC uuu

0)()( 2

2

dtudCL

dtduCRu CC

C

CR Riu

整理上式有 :

02

2

CCC udtduRC

dtudLC

数学分析 R iL

K(t=0)

+UC

-

+ UR -

iC

C L+UL

-

dtduCi C

C

)(dtduCRu C

R dtdiLu C

L 又

二阶、线性、常系数、齐次

特征方程 LCp2 + RCp + 1=0

LCLCRCRC

p2

4)( 2

LCLR

LRp 1)

2(

22

1 LCLR

LRp 1)

2(

22

2

解的形式 0 )( 2121 tekektu tptp

C

由初始值定 k1、 k2

02

2

CCC udtduRC

dtudLC

uC(0+)= uC(0-)=U0

dtduCii C

CL )0(

dtduC求

Ci

dtdu LC

0)0()0(

C

idtdu LC

00

20

121 Uekek pp

Ci

dtdu LC

由 uC(0+)=U0 ，得 :

即 k1+k2=U0 (1)

0)0(d

dtuC由 ，得 : 0|| 022011

21 ttp

ttp epkepk

即 k1p1+k2p2=U0 (2)

联立 (1) 式和 (2) 式，解得 :

12

012

12

021

ppUpk

ppUpk

若 iL(0+)=I0 仅影响 k1、 k2值tptp

C eppUpe

ppUpu 21

12

01

12

02

uC(t) 的变化规律与特征根的关系 特征方程有不相等的实根

tptpC e

ppUpe

ppUpu 21

12

01

12

02

)()(

21

12

021 tptpCC ee

ppUpCp

dtduCi

)( 2121

12

0 tptpCL epep

ppU

dtdiLu

)()(

21

12

0 tptpC ee

ppLUi

LCpp 1

21

Δ=(RC)2-4LC>0CLR 2

uC(t) 为非振荡过程

UO

UC

O t

uC

iC

uLtm

tm 对应 iC 的最大值

tptpC e

ppUpe

ppUpu 21

12

01

12

02

)( 2121

12

0 tptpL epep

ppUu

)()(

21

12

0 tptpC ee

ppLUi

图中 : uC 、 iC 0 表明电容在整个过程中一直处于放电状态； [0， tm] 阶段，电感建立磁场、储能； [tm ， ] 阶段，电感释放能量。 t ， uC、 iC、 uL0

电路处于过阻尼状态。

（作图时假设 |p2| > |p1| ）

)ee()(d

d21

12

0 tptpC

ppLU

tuCi

)ee()(d

d21

2112

0 tPtPL pp

ppU

tiLu

1 202 1

2 1

( e e )t t

C

U p pu p pp p

则 uC 的变化曲线为

由 uC 求得

t0

uC

21 0

2 1

e p tp Up p

12 0

2 1

e p tp Up pU0

uC

（ 1） t = 0 时 i=0 ， t = 时 i =0 ；i 始终为正， t = tm 时 i 最大。 （ 2 ） 0< t < tm ， i 增加 ， uL > 0 ；t > tm ， i 减小， uL < 0

t =2 tm 时 uL 最小。 ；，，， 0 0 0 LL utUut

定性画 i ， uL 的曲线：

0 t

uC, i, uL

tm

i

U0

uCuL

2tm

由 uL=0 时计算出 tm ： 0)ee( 21

21 tptp pp

21

1

2

m

ln

pppp

t

由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t

0)ee( 21 22

21 tptp pp

m2tt

21

1

2ln2

pppp

t

m2

m1

ee

1

2tp

tp

pp

0)ee()(

2121

12

0

tPtP

L pppp

Uu

解得

解得

能量转换关系

0 < t < tm uC 减小， i 增加。 t > tm uC 减小 ， i 减小。

RLC

+

-uC

RLC

+

-uC

电容放出储能，电感 储能，电阻消耗能量。

电容、电感均放出储能 , 电阻消耗能量。

储能释放完毕， 过渡过程结束。

0 t

uC, i, uL

tm

i

U0

uCuL

2tm

2 )(CLR 二

特征根为一对共轭复根 21,2

1( ) j2 2R R

pL L LC

＝－

e sin( )tCu A t

其中 A ， 为待定系数。 解答形式

1 0 LC

2RL

令 （衰减系数）(damping factor)

2 20 则 （自然频率）

(natural frequency)

0 arctansinU

A

，

δ

ωω0

， 0 ，间的关系 :

0

sin

0

0 UA

0sin UA ( )sin cos 0A A

解得

由起始始值 0)0( UuC

0

d(0 ) 0

dC

t

ui C

t

定系数。

00e sin( )t

Cu U t

0de sin

dtCu U

i C tt L

00

d e sin( )d

tL

iu L U t

t

定性画曲线 正弦函数。为包络线依指数衰减的是其振幅以）（ 0

01 UuC

t=0 时 uC=U0

uC 零点： t = -， 2- ... n-

uC 极值点： t =0 ， ， 2 ... n

（ 2 ） i 零点： t =0 ，， 2 ... n ， i 极值点为 uL 零点。 uL 零点： t = ， +， 2+ ... n+

uC, i

0 t

00

d

e tU

22

uC

U0

00

d

e tU

i

能量转换关系 0 < t < < t < - - < t <

在 ( ~2) 的情况与 (0 ~ ) 情况相似，只是电容向相反方向放电。如此周而复始，直到储能释放完毕。

RLC

+-

uC

R LC

+-

uC

RLC

+-

uC

uC, i

0 t

00

d

e tU

22

uC

U0

00

d

e tU

i

特例 R = 0 时 0

10 2LC

则 ， ，

tL

Ui

utUu LC

sin

)90sin(

0

o0

等幅振荡。

t0 LC+-

uC

能量转换

特征方程有一对共轭复根Δ=(RC)2-4LC<0

CLR 2

21 )

2(1

2 LR

LCj

LRp 2

2 )2

(12 L

RLC

jLRp

设 2)2

(1 2 L

RLCL

R

则 p1= -+j p2= --j

tptpC e

ppUpe

ppUpu 21

12

01

12

02

tjtj ejj

Ujejj

Uj )(0)(0

)()()(

)()()(

tjtj ejUje

jUj )(0)(0

2)(

2)(

tjtjC e

jUje

jUju )(0)(0

2)(

2)(

])()[(2

0 tjtjt ejejejU

)]()([2

0 tjtjtjtjt eejeeejU

)cossin(0 tteU t

)sin( tke t

dtduCi C

C teLU t

sin0

dtdiLu C

L )sin(22

0

teU t

R iL

K(t=0)

+UC

-

+ UR -

iC

C L+UL

-

0<t< 时， uC ， iC

电容释放能量，电感吸收能量； <t< - 时， uC ， iC

电容释放能量，电感释放能量 ;- <t< 时， |uC| ， iC

电容吸收能量，电感释放能量。

uC iC uL

U0

OuL

t2

-

电路处于欠阻尼状态。

特征方程有两个相等的实根Δ=(RC)2-4LC=0

CLR 2

LRppp

221 特征根Pt

C etKKtu )()( 21

uC

0 t

电路处于临界阻尼状态。

例 12-1 电路如图所示，开关 K 合闸已久， t=0 时开关 K 打开， 求 uC 、 iL

+-

500 3.85H+uC

-100F1V

K

1

(t=0)

iL解： 1 、求 iL(0+) ,uC (0+)

iL(0+)= iL(0-)=1A

uC(0+)=uC(0-)=02 、列 t>0 方程

dtdiu

dtduiu

LC

CL

C

85.3

010100500

6

0107785.3 42

2

LLL idtdi

dtid整理得 :

0107785.3 42

2

LLL idtdi

dtid

3 、特征方程 3.85p2+77p+104=0 p1,2=-10j50

欠阻尼

4 、解的形式 iL(t)=Ke-10tsin(50t+ ）5 、用初值确定 K 、

据 iL(0+)=1 ，有： Ksin =1……(1)

500 3.85H+uC

-100F

iL

iL(0+)=1 0)0()0(

L

udtdi CL

)50sin(1050)50cos( 1010 tKetKedtdi ttL

)50sin(1050)50cos( 1010 tKetKedtdi ttL

0)0( dtdiL由 有 :

Kcos -10Ksin =0……(2)

Ksin =1……(1)

解得 :K=1.02

=78.680

dtditu L

C 85.3)(

6 、结果 iL(t)=1.02e-10tsin(50t+78.680 ）

500 3.85H+uC

-100F

iL

)(50sin200 10 Vte t

求解二阶电路的零输入响应的方法1 、列电路的二阶微分方程2 、写出特征方程 ap2+bp+c=03 、确定解的形式 Δ=b2-4ac 当 Δ>0 ，特征根 p1、 p2 为不相等的实根， 电路处于过阻尼状态 响应 =

tptp ekek 2121

当 Δ<0 ，特征根 p1、 p2 为一对共轭复根，令 p1= -+j p2= --j ，电路处于欠阻尼状态响应 = Ke-tsin(t+)当 Δ=0 ，特征根 p1=p2=p 为实数，电路处于临界状态响应 = (K1+K2t)ept

4 、根据初始值确定系数5 、写出最后表达式

例 12-2 电路如图所示，开关 K 原与 a 端接通，电路已达稳定， t=0 时开关 K由 a 端投向 b 端。 求 t>0 时 uC(t)

解： 1 、求 iL(0+) ,uC (0+)

iL(0+)= iL(0-)=0

uC(0+)=uC(0-)=5K0.2mA=1V

2 、列 t>0 方程

0.2F

5K 1.25H

+ uC -

0.2mA

2KK(t=0) a

b iL(t)

dtdui C

L6102.0

0500025.1 LCL iudtdi

01044000 62

2

CCC udtdu

dtud整理得 :

3 、特征方程 p2+4000p+4106=0 p1,2=2000

4 、解的形式5 、用初值确定 k1 、 k2

dtdui C

C6102.0

临界阻尼

ttpC etkketkktu 2000

2121 )()()( 1

)0(102.0)0( 6

dtdui C

C

iL(0+)=0

uC(0+)=1V

0)0( dtduC

由 uC(0+)=1V有 : k1=1

tC etkktu 2000

21 )()(

)2000()()( 200021

20002 ttC etkkek

dttdu

0)0( dtduC 0=k2-2000k1 k2 =2000k1=2000

6 、结果 uC(t)=(1+2000t)e-2000t(V)

已知如图， t = 0 时打开开关 S 。求 uC ，并画出其变化曲线 。 解

iL(0 )=5A uC(0 )=25V

50p2+2500p+106=0

139j25 p

0d

dd

d 2

2

CCC ut

uRCtuLC

)139sin(e 25 tAu tC

（ 1 ）由换路前电路求得

（ 2 ）列写换路后电路的微分方程

（ 3 ）解微分方程 , 其特征方程为 特征根为 解答形式为

例 1

5Ω20Ω

10Ω10Ω

0.5HF100

50V

+-uC

+

-

iL

S

（ 4 ） 由初值定待定系数

5d

d25)0(

tuC

uC

C

4105sin25cos139

25sin

AA

A

o176 355 ，A25 o355e sin(139 176 )V ( 0)t

Cu t t

t0

uC/V355

25

则