书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 法 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！成功 = 艰苦的劳动 + 正确的方法 + 少谈空话 欢 迎 光 临！欢 迎 指 导 ! 欢 迎 光 临！欢 迎 指 导 ! 欢 迎 光 临！欢 迎 指 导 ! 让我们一起努力吧 !

第一章整 式 （ 3 ）

乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-

b2 ，(a±b)=a2±2ab

+b2 ，第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用

．例 1 计算(2)(-2x-y)(2x-y) ．

第二层次──逆用即将这些公式反过来进行逆向使用．例 2 计算 (1)19982-1998·3994+19972 ；

第三层次──活用根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例 3 化简

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 ．

分析 直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“ 2-1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解 原式 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=…

=216 ．

例 4 计算：

(2x-3y-1)(-2x-3y+5)

分析 仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数： -1=2-3 ， 5=2+3 ，使用公式巧解．

解 原式 =(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)

=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]

=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5 ．

第四层次──变用解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如 a2+b2=(a+b)2-2ab 等，则求解十分简单、明快．例 5 已知 a+b=9 ， ab=14 ，求 2a2+2b2 的值．

解 ∵ a+b=9 ， ab=14 ，

∴ 2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]

=2(92-2·14)=106 ，

第五层次──综合后用将 (a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2

综合，

可得 (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2) ；例 6 计算：

(2x+y-z+5)(2x-y+z+5) ．

=(2x+5)2-(y-z)2

=4x2+20x+25-y2+2yz-z2

单选1. │5x2y│·│2y5x│的结果是 [ ]A.(5x2y)2 B.(5x2y)2

C.(2y5x)2 D.(5x)(2y)2

2. 已知 x+y=10, xy=24, 则 x2+y2 的值是 [ ]A.52 B.148 C.58 D.763. 若 ab=2 , ac=1 则 (2abc)2+(ca)2 的值是 [ ]A.9 B.10 C.2 D.14. 已知 (a+b)2=11, (ab)2=7 则 2ab 为 [ ]A.2 B.1 C.1 D.2

[ ]

A.9 B.11 C.23 D.1

1. (x1)2(x+1)2(x2+1)2=________ ．2. 解方程3(x1)23x(x5)=213. 解方程

5. 利用公式进行计算：(1)(2x+y-z+5)·(2x-y+z+5) ；(2)(a+b)2+(a-b)2+(-2a-b)(2a+b) ；

各项的绝对值相同 乘法公式

符号不完全相同 平方差公式

符号相同或相反 完全平方公式

乘法公式的选择

乘法公式的使用1. 计算：

(2x+y-z+5)(2x-y+z+5) ．

=[(2x+5) +(y-z)] [(2x+5) -(y-z)]

=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2

多项式乘以多项式

.11

.200080,200025

的值求

已知：

yx

yx

.200080,200025 yx∵yxyyyx 200025,2000)25( xxyxxy 200080,2000)80(

yxxyxy 200020008025 yxxy 20002000

xy=x+y

2.

3. 先化简，后求值 :3x(-4x3y2)2-(2x2y)3·5xy 其中 x=1, y=2 .

4. 己知 x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值。

1282188

4048

58163:

4747

4747

3646

yx

yxyx

xyyxyxx原式解

36)5(6306

30)5(

65:

yxyx

yyxx

yx

原式解 ∵

6.   解 不 等 式 ： (3x+4)(3x-5)<9(x-2)(x+3)

5.   解方程： (2x-3)2 = (x-3)(4x+2)

2

17

2

15

152

612249124: 22

x

x

xxxxx解

6

17

3412

205493

)6(92012159: 22

x

x

xx

xxxxx解

.1

,11

:.72

2 的值求己知a

aa

a

.1

,51

.83

3 的值求己知x

xx

x

31

,111

2

1)1

(11

:

22

22

2

aa

aaaa

aa

aa 故解 ∵

110)1

1)(1

(1

231

251

251

22

33

22

22

xx

xx

xx

xx

xx

xx 故解 ∵

9.  己知 2x-3y=-4 , 求代数式 4x2+24y-9y2 的值。

10. 当 x=-1 ,y=-2 时，求代数式 [2x2-(x+y)(x-y)][(-x-y)(-x+y)+2y2] 的值 .

16)4(4

)32(424)32(4

24)32)(32(

432

yxyyx

yyxyx

yx

原式解 ∵

25])2()1[(

)())((

]2)][(2[

222

2222222

222222

yxyxyx

yyxyxx原式解

.1

,31

.113

3 的值求己知x

xx

x

12.     计算： (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

36)111(3)1

1)(1

(1

111

91

231

22

33

22

22

xx

xx

xx

xx

xx

xx 故解 ∵

24503510

24)5(10)5(

)65)(45(

234

222

22

xxxx

xxxx

xxxx原式解

15.  用科学记数法表示： 0.0000000461

16. 己知 x+y=4 , 求 x3+12xy+y3 的值。

81061.4 原式解

64)(4

)2(4

12444

12)(4

12))((

4

2

22

22

22

22

yx

yxyx

xyyxyx

xyyxyx

xyyxyxyx

yx

原式

解 ∵

13. 计算： (a-1)(a4+1)(a2+1)(a+1)

14. 计算： (2a-b)2(b+2a)2

11)(

)1)(1(

)1)(1)(1(

824

44

422

aa

aa

aaa原式解

4224222

2

816]4[

)]2)(2[(

bbaaba

baba

原式解

17. 己知 x+y=3 ， x2+y2=5 则 xy 的值等于多少？

18. 己知 x-y=4 , xy=21 , 则 x2+y2 的值等于多少？

2459)(92

929)(

53

22

222

22

xyyxxy

yxyxyx

yxyx

故

即

解 ∵

5821216216

16216)(

214

22

222

xyyx

yxyxyx

xyyx

即

解 ∵

19. 根据己知条件，确定 m ,n 的值 (a) 己知： 25m·2·10n=57·24

(b) 己知 : (x+1)(x2+mx+n) 的计算结果不含 x2 和 x项。

3

2

41

72

2525)52(2510225 47122

n

m

n

nm

nnmnmnm∵解

1

1

0

01

)()1( 23

223

n

m

nm

m

nxnmxmx

nmxxnxmxx原式解 ∵

20. 己知： x+x-1=-3 , 求代数式 x4+x-4 的值。

47492

49)(7

9)(2

9)(3

4444

22222

2112

211

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

故

故

故解 ∵

4

3

3

2

2

1])(

)()[(2

1)(:.22

2

22222

zyxxz

zyyxzyx

其中

化简求值

24

5

8

1

3

1

8

3

2

1

3

12

1)

4

3()

4

3()

3

2()

3

2(

2

1

)222

222(2

1)(: 222222

xzyzxyzxyzxy

zyxzyx原式解

用尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线 .

·A

B

C