גז אידאלי – שיקולים גז אידאלי – שיקולים מיקרוסקופייםמיקרוסקופיים

משוואת המצב של גז אידאלי – משוואת המצב של גז אידאלי – ((II))רקע רקע

v

m v

x

tL

mt

L

mt

t

mtF x

x

xx2v

v2

v2v2

בכל התנגשות בדופן שינויהתנע של החלקיק הוא

px=m2|vx|

נניח שחלקיק יחיד נע בתוך תיבה, ומתנגש התנגשויות אלסטיות עם הדפנות

אם התיבה היא באורךL ,התנגשות בדופן )מסויימת(

. -t=L/vxמתרחשת אחת ל

L

במשך זמןt יש t/t התנגשויות בדופן, ולכן סך כל המתקף המועבר לדופן הוא

LmFכך ש- הוא הכוח הפועל על הדופן x2v

22x

2x v

vvxmPV

V

m

LA

m

A

FP

משוואת המצב של גז אידאלי – משוואת המצב של גז אידאלי – ((IIII))רקע רקע

אמנם המתקף מועבר לדופן במכות בדידות, אך עבורt/t הוא ממוצע מייצג בזמן. -Fגדול מאוד, אפשר לומר ש

ואםF ,מחולק באופן אחיד על כל שטח הדופו A אז הלחץ ,על הדופן הוא

ונניח שישN שלהם חלקיקים שהממוצע של הוא אז:

2v x2v x

2v xNmPV -כש נגדיר ש T- היא

Tהטמפרטורה. כדי להתאים לניסויים, יוצא שעבור kB=1.3810-16erg/Kבמעלות קלווין, אז

2B v xmTk

TNkPV BBoltzmann זהו קבוע

משוואת המצב של גז אידאלי – משוואת המצב של גז אידאלי – ניסוח מולאריניסוח מולארי

אפשר לספור את החלקיקים גם ביחידות של מו�לים(moles) ;1mol מספר אבוגדרו הואNA=6.0221023.של חלקיקים

עבורnm:מולים, מתקבלת משוואת המצב כך

RTnPV m: קבוע הגזים הוא Rכאשר

R=8.31107erg/K=8.31Joule/K.משוואת מצב זאת מתארת היטב גזים

אידאלים – אין תלות בחומר ממנו עשוי .הגז

1atm – לחץ של STPנקודת ייחוס מקובלת בכימיה: תנאי הנפח של מול אחד של גז STP. בתנאי 0Cוטמפרטורה של

ליטר.22.4~, כלומר 2.243104cm3אידאלי הוא

מהירות טיפוסיתמהירות טיפוסית

בהנחה שאין כיוון מועדף במערכת:

2222 vvvv zyx

חלקיקים נעים בכל לאורך כל שלושתהצירים. לכל חלקיק אפשר להגדיר את

המהירות הכללית

222 vvv zyx

2222 vvvv zyx

טענה )ללא הוכחה( : בקירוב טוב 222222 vvvvvv zyxzyx

m

TkBx 3v3v 2

rms

“root mean square velocity”

-P=1atmאוויר בT=300K:

vrms≈527m/sec

גדלים אינטנסיביים גדלים אינטנסיביים ואקסטנסיבייםואקסטנסיביים

ישנן בעיות רבות שבהן יש לדון בכל אלמנט נפח בנפרד: למשל, אם נרצה לתאר את החומר בשמש, יש לדון בצפיפות ובטמפרטורה בכל

מקום בנפרד. לכן נוח לכתוב את משוואת המצב כך:

TnkTkV

NP BB

n .)היא הצפיפות החלקיקית )מספר חלקיקים ליחידת נפח

בניסוח הזה כל הגדלים הם לוקאליים )מדידים בנקודה .(intensive)אינטנסיביים מסויימת(; גדלים כאלה מכונים

גדלים אשר תלויים בגודל המערכת כולה, כמו נפח, מסה וכו' אקסטנסיביים )"מצטברים כשמגדילים את המערכת"( מכונים

(extensive).

תמיד אפשר לעבור מגודל אקסטנסיבי לאינטנסיבי על-ידי חלוקה בנפח )לקבל צפיפות( או במספר החלקיקים )לקבל גודל

סגולי(.

האנרגיה הפנימית בגז אידאלי )ניחוש האנרגיה הפנימית בגז אידאלי )ניחוש ראשון(ראשון(

222 v2

1v

2

1v

2

1NmmmU

ii

אמרנו שהאנרגיה הפנימית קשורה בתופעות המיקרוסקופיות •של המערכת

אם "תופעות מיקרוסקופיות" פירושו רק תנועות אקראיות של •החלקיקים, אז סך האנרגיה הפנימית שווה לסך האנרגיה

הקינטית:

2x

2 v3v אנחנו מניחים כקירוב •כי

Tkmוהרי הגדרנו• B2xv

TNkUסיכום כל ההנחות שלנו מביא , אם כך, לתוצאה• B2

3

האנרגיה הפנימית בגז אידאלי האנרגיה הפנימית בגז אידאלי )שיפור()שיפור(

התוצאה בשקף הקודם נכונה אם אכן אנרגיה פנימית מופיעה •רק בצורה של אנרגיה קינטית של החלקיקים.

זהו המצב בגז מונואטמי )מולקולה מורכבת מאטום יחיד( כמו •בהליום או ארגון....

אבל אין כך הדבר כאשר המולקולות מורכבות יותר. למשל, בגז •דו-אטומי, כמו מימן, חנקן או חמצן, המולקולוה יכולה לאגור

אנרגיה גם בצורה של...

ויברציהרוטציה

חוק החלוקה השווהחוק החלוקה השווה the equipartition theoremthe equipartition theorem

האנרגיה הפנימית במערכת מתחלקת באופן שווה בין כל דרגות החופש הריבועיות.

: (quadratic degree of freedom)דרגת חופש ריבועית

דרגת חופש שבה האנרגיה תלוייה בגודל המשתנה בריבוע.E=½Kx2, ויברציה E=½I2, רוטציה E=½mv2תנועה:

מסה

מהירות

מומנט התמד

תדירות זוויתית

קבוע "קפיץ

"

העתקה

אם האנרגיה הממוצעת בדרגת חופש אחת פר חלקיק היאE1ויש לכל חלקיק , f דרגות חופש ובסך הכל N חלקיקים, הרי

.U=fNE1 שהאנרגיה הפנימית במערכת היא

מסקנה:מסקנה:

TNk דרגות חופשfמסקנה : בגז אידאלי עם f

U B2

Vולכן גם

U

fP

2

לפי הגדרה

Tkm B2xv

פר kBT½כך שבכל דרגת חופש יש אנרגיה של חלקיק

גדול יותר, ה"יעילות" של -f)ככל שלחץ על-ידי האנרגיה הפנימית ייצור

יותר נמוכה(.

דוגמא נחמדה של יישום חוק דוגמא נחמדה של יישום חוק החלוקה השווההחלוקה השווה

החומר הבין-כוכבי בגלקסיה הוא מימן עםצפיפות של חלקיק אחד לסמ"ק וטמפרטורה

. מהו השדה המגנטי בגלקסיה?-1000Kשל כ

נניח לפי חוק החלוקה השווה שהשדה המגנטי הוא עוד דרגת חופש של המימן בחומר הבין-כוכבי )שמיעוטו מיונן ויכול להחזיק

. מאחר פר חלקיק 3/2kBTאנרגיה של את קווי השדה(, כך שיש לו שיש חלקיק אחד לסמ"ק, צפיפות האנרגיה של השדה המגנטי

.לסמ"ק 3/2kBTצריכה להיות

. B2/8( -cgsצפיפות האנרגיה של שדה מגנטי היא )במסקנה: GBBTk

BB

61622

10~10001038.13

4

2

3

8

וזה נכון! סדר הגודל של השדה המגנטי בשביל החלב הוא אכן מיקרוגאוס. במילים אחרות – התהליכים המייצבים את

הטמפרטורה של החומר הבין-כוכבי גם מייצבים את השדה המגנטי שהוא מחזיק.

חוק החלוקה השווהחוק החלוקה השווהיישום לפי סוג הגזיישום לפי סוג הגז

אכן יש רק דרגות חופש טרנסלוטוריות )תנועה(, ולכן בגז מונואטומיf=3.

יש גם שתי דרגות חופש רוטציוניות )אפשר לסובב סביב בגז דואטומישני הצירים הניצבים לציר החיבור בין שני האטומים; סיבוב סביב ציר

המולקולה עצמו איננו דרגת חופש(. לכן, אם אין דרגות חופש . )בטמפרטורות גבוהות יחסית )מסדר f=5נוספות, בגזים כאלה

הגודל של אנרגיית הקשר של המולקולה( ניתן לעורר גם דרגות גדל(.-fחופש ויברציוניות, ו

בפרט, אם בנוסף לדרגות החופש הטרנסלטורויות יש שתי דרגות אז נצפה 1, 2חופש רוטציוניות, והמולוקולות מסתובבות בהן עם

לקשר

22

21

222

2

1

2

1v

2

1v

2

1v

2

1 IImmm zyx

קיבול החום של גז אידאליקיבול החום של גז אידאליקיבול החום של גז אידאלי בנפח קבוע קל לחישוב:

כאשר הנפח קבוע אין עבודה(PdV=0) ולכן dU=Q:קיבול החום בנפח קבוע הוא, כזכור

T

QC TV 0lim

ולכן עבור גז אידאלינקבל

BB

f

VV Nk

f

dT

TNkd

dT

dUC

22

R בגז אידאלי הואפר מולוקיבול החום f

2 בצורה דומה, קיבול החום בלחץ קבוע

הוא:B

PPPP Nk

f

T

VP

T

U

dT

WdUC

12

קיבול החום בנפח קבוע של גזים אידאליים - קיבול החום בנפח קבוע של גזים אידאליים - סיכוםסיכום

monatomic gas

diatomic gas

non-linear gas

RnNkCV m25

B25

RnNkC mBV 33

כאשר מוסיפים חום בנפח אין עבודה, ולכן U = Q = Cv T

בגז אידאלי U=U(T).ולכן החישוב פשוט יחסית ,

22/ΔΔ mV Rn

fNk

fTUC RTn

fTNk

fU mB 22

הוא מספר דרגות החופש הריבועיות.fכאשר

תמיד

בטמפרטורת החדר

נדון בשעו

ר

להשכלה כללית )בלי הוכחה(

= U = 3NkT CV = 3NkB ניחוש ראשון עבור מוצקים:nmR

Dulong-Petitחוק

RnNkCV m23

B23

עובדות ניסיוניותעובדות ניסיוניות(HRW )מתוך H2זהו קיבול החום המולארי המדוד של מימן

Cv=5nmR/2 מתקייםבטמפרטורת החדר.

מסתבר שבטמפרטורות

מאוד נמוכות הרוטציות מדוכאות

Cv=3nmR/2 ונשאר

בטמפרטורות של אלפי מעלות

מתעוררות גם ויברציות, ואז

Cv=7nmR/2

חוק החלוקה השווה : חוק החלוקה השווה : הערה חשובה לסיכוםהערה חשובה לסיכום

קביעה חוק החלוקה השווה הוא (postulate) למרות שיש לו גם בסיס –

מתמטי. אכן ניתן למצוא מקרים רבים מדוכאות שבהם דרגות חופש מסויימות

לחלוטין או באופן חלקי. ובכל זאת, ההנחה שחוק החלוקה השווה מתקיים היא נקודת מוצא טובה בפיסיקה של מערכות, ומומלץ להניח אותה כניחוש

.ראשון