一球變兩球：談數學公設化的特質

一球變兩球：談數學公設化的特質

李國偉中央研究院數學研究所

臺北市立第一女子高級中學（ 2011年 11月 16日）

Banach-Tarski 悖論（其實是 Banach-Tarski 定理）

Stefan Banach Alfred Tarski(1892 - 1945) (1902 - 1983)

巴拿赫與塔斯基

Fundamenta Mathematicae, 1924

Hugo Steinhaus (1887 – 1972)

不太嚴謹地說 ...

可以把一個實心的球劃分成有限塊，然後把它們重組成兩個球，而且每一個新球都跟原來的球有同樣的形狀與體積。

B

B1

B2

（誇張的比喻）綠豆變太陽

剛體運動

平移

剛體運動

平面上的旋轉

剛體運動

空間裡的旋轉

剛體運動

剛體運動＝平移＋旋轉

多邊形的拼圖式全等

把平面上的多邊形（不限定是凸多邊形） A ，用直線段切割（ dissect ）成有限塊多邊形，然後用剛體運動把那些小塊移動重組成多邊形 B ，則稱 A 與 B 是拼圖式全等。

多邊形的拼圖式全等

七巧板

Wallace-Bolyai-Gerwien 定理

任何兩個多邊形是拼圖式全等的充要條件是它們具有相同的面積。

換言之，任何多邊形都拼圖式全等於一個跟自己面積相等的正方形。


（）顯然易見。

（）證明「任何多邊形都拼圖式全等於一個跟自己面積相等的正方形」。

證明分成四個階段。


（ 1 ）任何多邊形可以切割成有限個三角形。


（ 2 ）三角形拼圖式全等於矩形。


（ 3 ）矩形拼圖式全等於正方形。

a 4b

a > 4b 時先對折再堆疊。


（ 4 ）兩個正方形拼圖式全等於一個正方形。

這也是畢氏定理的「出入相補」法證明。

多面體

一個有限體積的立體，它的邊界面是由有限個多邊形所構成，而滿足下列條件：

1 、任何兩個面若交集不空，則它們共用一條邊線或一個頂點。

2 、每條邊線恰為兩個面所共用。

3 、共用一條邊線的兩面不落在同一平面上。

多面體的切割（ dissection ）

多面體 P 的切割是把 P 表示成

P P1 P2 Pk

使得諸 Pi 均為多面體，而彼此之間沒有共用任何內部的點。

多面體的拼圖式全等

把空間裡的多面體（不限定是凸多面體） P ，切割成有限塊多面體，然後用剛體運動把那些小塊移動重組成多面體 Q ，則稱 P 與 Q

是拼圖式全等。

希爾伯特第三問題

希爾伯特在 1900 年巴黎的國際數學家大會上，宣布了 23 個重要的待解問題，其中第三問題的核心在尋求下列問題的解答：

如果兩個多面體 P 與 Q 都具有相同的體積，那麼 P 與 Q 會不會是拼圖式全等？

David Hilbert (1862 – 1943)

希爾伯特第三問題

希爾伯特的學生 Dehn 在 1900 年就解決了第三問題，答案是否定的。

Dehn 引進多面體上的一種不變量，當體積相等的兩個多面體會拼圖式全等時，它們就會具有相同的不變量。但是體積相同的正立方體與正四面體卻具有相異的不變量所以它們不會拼圖式全等。

Max Dehn (1878 – 1952)

面與面之間的立體角

Bricard 條件

令多面體 P 與 Q 的立體角分別是

1, 2, . . . , r 與 1, 2, . . . , s ，如

果 P 與 Q 是拼圖式全等，則存在整

數 k 與諸正整數 mi 與 nj ，使得

Bricard 條件

m11 + m22 + . . . + mrr

= n11 + n22 + . . . + nss + k

因為正立方體與正四面體不滿足此式，

所以希爾伯特第三問題有負面的解答。

所謂集合 S 的劃分 {S1, S2, . . . , Sn} ，

就是從 S 裡拿出兩兩不相交的子集合

S1, S2, . . . , Sn ，使得

S S1 S2 Sn

劃分（ partition ）

對於空間裡給定的兩個集合 C 與 D ，假如能把 C 劃分成有限塊，然後再用剛體運動把這些塊重組成為 D，則我們稱 C 與 D 是分段全等，並且記作 C D 。

分段全等

分段全等異於拼圖式全等

正方形等腰三角形

C D

對角線只能屬於一個三角形！

這樣作未能證明正方形分段全等於等腰三角形。

先把 B 劃分成 1, 2, 3 與 5, 6, 7, … 這兩段，再把後面這段向左平移一個單位，即證明 A B 。

分段全等

A = {1, 2, . . . } B = {1, 2, 3, 5, . . . }

A 是單位圓周， B 是單位圓周去掉一個點。可證明 A B 。

分段全等

令 C 是圓周上所有正整數弧度點的集合，而 D = A C 。因為圓周長 2 是無理數，所以 C 裡的點不會重複。把 C 集合逆時針轉一個弧度，再與 D 聯集，就得到 B 。所以 A B 。

分段全等

類似地可證明單位圓盤分段全等於單位圓盤去掉沿半徑方向的線段（長度小於半徑長，不含圓內的端點）。

分段全等

正方形與等腰三角形分段全等

對角線歸屬於一個三角形


拿掉一條垂直的高


現在還缺一條線段，其長度為 .....41.012


先把所需的線段從正方形裡劃分出來。

球體

令 B = {(x,y,z) : x2 + y2 + z2 1} ，稱 B 是（以原點為心的）單位球體。

巴拿赫–塔斯基定理

一個單位球體 B 可以劃分成兩個不相交的集合 B = B1 B2 ，使得 B B1 且 B B2 。

1947 年 R. M. Robinson 證明單位球體只需劃分成五塊（其中一塊只是一個點），便足以重組成兩個單位球。

巴拿赫–塔斯基定理的推廣

任何三維空間裡的集合 A 與 B ，只要它們足夠小到可以裝進一個球裡（也許那個球極端巨大），又足夠大到可以包容住一個球（也許那個球極端渺小），那就可以把 A 劃分成有限個子集合，重新組裝成集合 B 。

巴拿赫–塔斯基定理為何不是悖論？

如果把單位球的體積當做 1 ，分成有限子集合之後，各個子集合的體積加總仍然等於 1 ，重新組裝時不會改變體積，但最終產生兩個單位球的總體積卻是 2 ，難道不是矛盾嗎？

巴拿赫–塔斯基定理為何不是悖論？

巴拿赫與塔斯基在證明的過程裡，必須訴諸選擇公設（ axiom of choice ）來保證一些奇形怪狀集合的存在性，但是體積的概念對它們並不適用，它們也就是所謂的不可測度集合。因此前面把各個子集合的體積加總，是根本沒有意義的步驟，所以也無法導出矛盾。

現有 Banach-Tarski 定理的證明都需要用到選擇公設（ Axiom of Choice ）

選擇公設（非正式的說法）

已知有很多箱的柳丁，而且每箱都不是空箱，那麼就可以從每一箱裡拿一顆柳丁出來，造成新的一箱柳丁。

選擇公設（正式的說法）

AfA Α

A

:

AA

令 A 是某些非空集合構成的集合，則存在一個選擇函數

使得對於所有，

都滿足。

AAf )(

選擇公設

A B C. . . . . . .

a, b, c, ...

無窮集合帶來困擾（羅素舉的例子）

從無窮雙鞋裡每雙選一隻鞋不需要選擇公設，選右腳那隻就好。

從無窮雙襪子裡每雙選一隻襪子就需要選擇公設了。

Bertrand Russell (1872 – 1970)

選擇公設的效用

許多基礎性的數學定理的證明須用到它，例如：每個向量空間都有基底。

非空集合的卡氏積為非空的。

對與任何集合 A 與 B 而言，下列三種可能性之一必然成立： |A| > |B| 、 |B| > |A| 、 |A| = |B| 。（ |A| 表示 A 的基數。）

Zermelo-Fraenkel 公設化集合論1 、（外延公設）若 X 與 Y 有同樣的元素，則 X = Y 。

2 、（元素對公設）對於任何 a 與 b 而言，存在一個集合 {a,b} 恰包含 a 與 b 兩個元素。

3 、（子集合公設）若是一個（具有參數 p ）的性質，則對於任何 X 與 p ，都存在一個集合 Y = {u X | (u,p)} 。

Zermelo-Fraenkel 公設化集合論

4 、（聯集公設）對於任何集合 X 而言，存在集合 Y 是所有 X 的元素的聯集。

5 、（冪集合公設）對於任何集合 X 而言，存在集合 Y ，它的元素是 X 所的有子集合。

6 、（無窮公設）存在一個無窮集合。


7 、（取代公設）如果 F 是一個函數，則對於任何集合 X 而言，存在集合 Y = {F(u) | u X } 。

8 、（基礎公設）對於任何非空集合 X 而言，存在極小元素。


選擇公設獨立於 Zermelo-Fraenkel 公設化集合論。也就是說 Zermelo-Fraenkel 公設化集合論的 8 條公設，再加上選擇公設（或再加上選擇公設的否定命題），都不會導出矛盾。

Ernst Zermelo (1871 – 1953)

Adolf Fraenkel (1891 – 1965)

選擇公設（顯然嗎？）

選擇公設保證了不可測度集合的存在。

選擇公設也推導出巴拿赫–塔斯基定理這種跟直覺很不相合的結果。

數學空間物理空間

數學空間可以無窮細分，使得不可測度集合成為可能。

物理空間因為基本粒子種類有限，所以不可能無窮細分，也就不會有不可測度集合，因而作不出巴拿赫–塔斯基定理的分割。

數學裡的公設法

在西方兩千五百多年的知識發展歷史中，尤其是近代科學興起的近三百餘年，有一種組織知識的方法產生巨大的影響，那就是公設法。

雖然現在書本裡的知識很少用嚴格的公設法來書寫，但是如果對公設法毫無認識，是難以深入理解西方科學的精髓。

公設法

希臘文明分期

依照數學史的觀點分期：

古典期（ classical period ）：公元前 600 年–公元前 300 年

亞力山大期或稱希臘化期（ Alexandrian or Hellenistic period ）：

公元前 200 年–公元 600 年

Greece and Its Colonies, 550 B.C.

古希臘數學

希臘數學的重要原始文獻，現在都已不存於世。反而不如巴比倫與埃及數學文獻更可徵信。

希臘數學知識保存於：拜占庭抄本書（成書於希臘原著

500–1500 年後，並且經過編輯注疏。）由希臘文翻為阿拉伯文的譯本，以及

由阿拉伯文翻為拉丁文的譯本。（有可能並未忠實於原文，而且原文版本也有可能遭受竄改。）

愛奧尼亞學派：創始人是泰勒斯（ Thales ，公元前 640 年 –公元前 546 年）首先引入了證明幾何命題的思想，從而把一些看似彼此不相干的幾何事實，串連成有系統的知識脈絡。

畢達哥拉斯學派（約公元前 569– 約公元前475 ）：把抽象的「數」當做萬物的本質，因此研究數的目的不是為了實際應用，而是想揭露宇宙永恆的真理。

古希臘數學

畢達格拉斯（約 569 BC - 475 BC ）

不可公度量的發現

根據亞里斯多德的記載，畢達哥拉斯學派以歸繆法（ reductio ad absurdum ）證明與 1 不可公度，但這可能不是真相。還有其他各種傳說，其中之一涉及正五邊形。

Hippasus （公元前 5世紀）發現正五邊形的邊長，不論單位長度怎麼選，對角線的長度都無法以整倍數度量。

畢達哥拉斯學派的信仰因不可公度量的發現，而遭遇致命性的打擊。

2

輾轉相除法（ Anthyphairesis ）

正五邊形的邊與對角線不可公度

ABAD=ABAE=BE

ADBE=AEAF=EF

BEEF=EG-EF

‧‧‧ ‧‧‧

Zeno （公元前五世紀）的悖論

第一個悖論稱為二分 (dichotomy ）：運動是不可能的，因為在完成運動的過程中，先得到達全程的中點。（當然在到達中點之前，先得走過一半的一半，……。）

第二個悖論稱為 Achilles 與烏龜：雖然 Achilles 是史詩《伊利亞德》中的英雄人物，但若要他與烏龜賽跑，只要烏龜先跑一段路，他就永遠追不上烏龜了，因為當他跑到原先烏龜所在的位置，烏龜已經又跑到他的前方。

第三個悖論稱為飛矢 (arrow) ：在任一時刻，飛矢總是佔據與其等長的空間，因此在那時刻飛矢總是不動的。因為在任一時刻總是不動，所以從頭到尾，飛矢總是不動的。

第四個悖論稱為競技場 (stadium) ：在競技場上有三列賽車 A 、 B 、 C ，每車各有三節長。假定時間有最小的（不可分割的）單位，而在這單位時間內， A 車向左移動一節車廂， B 車不動， C 車向右移動一節車廂。如此一來， A 車與 C 車就相差了兩節車廂。那麼在這個過程中，當 A 車與 C 車移動到只相差一節車廂時所花的時間，應該是單位時間之半，但是這和單位時間不可分割的假設矛盾。

古希臘對時空的看法有兩種，一種是：時間與空間可以一再分割下去，永遠沒有止境（「因此」運動是連續的）。另一說是：時間與空間都有最小的、不可分割的組成單位（「因此」運動是電影式的）。一般認為 Zeno 的原意是要向這兩種看法提出挑戰：頭兩個弔詭要說明無窮分割論是無法立足的，後兩個弔詭則要說明不可分割單位也是不能成立的。採自曹亮吉的《阿草的葫蘆》

古希臘三大幾何難題

建構一個三角形，使其面積等於給定圓的面積。建構一個正立方體的邊長，使其體積等於給定正立方體體積的二倍。三等分任意角。

規定只准用圓規及沒有刻度的直尺來解決上述問題。這些問題在 19世紀之前，都沒能完美解決。

Eudoxus 學派

Eudoxus （公元前 408 年–公元前 355 年）

1 、引入量（ magnitude ）的觀念，把「數」與「量」嚴格分開。2 、建立比例理論（ theory of proportion ）。3 、討論更多型態的不可公度量。4 、建立所謂窮盡法（ method of exhaustion ）5 、在明確的公設基礎上，以演繹法組織知識。

亞里斯多德（ 384 BC - 322 BC ）

亞里斯多德學派

1 、討論「定義」的重要性，提出「無定義詞」（ undefined term ）的必須性。也指出定義本身並不保證存在性，存在性必須以建構法達成。2 、區分公理 axiom （或稱 common notion ）與公設 postulate 。（ An axiom is a self-evident truth. A postulate is a geometrical fact so simple and obvious that its validity may be assumed. ）

亞里斯多德學派

3 、區分「潛無限」（ potential infinity ）與「實無限」（ actual infinity ）。

4 、以科學的方式建立「邏輯學」。矛盾律：一命題不可能同時為真又為假。排中律：一命題必須或者為真或者為假。

5 、強調「演繹法證明」是獲得數學真理的唯一基礎。

公設法的典範：《幾何原本》

人們需要檢討哪些幾何命題的真確性是極端明顯而無庸置疑的，然後推導出其他看似複雜命題的真確性。這種思維方法漸次發展成公設方法，而在歐幾里得（公元前 325 年 ? –公元前 265 年 ? ）手上集其大成，完成巨著《幾何原本》。

歐幾里得

（約公元前300 年活躍於亞歷山大城）

九世紀希臘文《幾何原本》

《幾何原本》

Campanus 1255 年翻譯為拉丁文， 1482 年在威尼斯出版的第一個印刷本。

《幾何原本》

1570 年 Sir Henry Billingsley 最早的英文翻譯本

《幾何原本》共 13卷，利瑪竇與徐光啟在1607 年翻譯了前 6卷。

利瑪竇與徐光啟

歐幾里得《幾何原本》

全書共 13卷，包括 5條公設、 5條公理、 119條定義、 465條命題。第一卷：幾何基礎篇

23條定義、 5條公設、 5條公理、 48條命題。以後各卷沒有再加入公設與公理。第二卷：幾何代數

以幾何方式研究代數公式，例如 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 。第三卷：圓形

討論圓的性質。


第四卷：正多邊形討論在圓內接或外切三角形的作圖法，以及

三角形與正多邊形內切與外接圓的作圖法。第五卷：比例論

依據 Eudoxus 理論編寫，當中比例的定義對後世數學影響深遠。第六卷：相似圖形

討論相似三角形、相似圖形及其應用。


第七、八、九卷：數論討論最大公因數、偶數、奇數、質數、完全

數等性質。第十卷：不可公度量

共有 115條命題，是最冗長、最富爭議性，但也最精彩的一章。第十一、十二卷：立體幾何

探討立體幾何中的命題，並證明只存有五種正多面體。


定義1. 點是沒有部分的。 2. 線只有長度而沒有寬度。 3. 一線的兩端是點。 4. 直線是它上面的點一樣地平放著的線。 5. 面只有長度與寬度。6. 面的邊緣是線。


定義

. . . . .

23. 平行線是在同平面內的直線，向兩個方向無限延長，在不論哪個方向它們都不相交。

1. 由任意一點到任意一點可作直線。2. 一條有限直線可以繼續延長。3. 以任一點為圓心及任意的距離可以畫圓。4. 凡直角都相等。5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角，則這二直線經無限延後在這一側相交。

藍紀正、朱恩寬譯：歐幾里得《幾何原本》，九章出版社， 1992 年。

歐幾里得《幾何原本》的公設

利瑪竇與徐光啟的譯文


公理1. 等於同量的量彼此相等。 2. 等量加等量，其和仍相等。 3. 等量減等量，其差仍相等。4. 彼此能重合的物體是全等的。 5. 整體大於部分。

使用公設法的名著

阿基米德（ c. 287 BC – c. 212 BC ）

"Give me a place to stand on, and I will move the Earth."

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/51/Archimedes_lever_%28Small%29.jpg

公設法的後繼名著

阿基米德《論平面圖形的平衡》（兩卷）：第一卷包含 7 條公設與 15 條命題。

槓桿原理：在平衡狀態時，重量與距離成反比。

阿基米德用此原理計算各種幾何圖形（包括三角形、平行四邊形、拋物線）的面積與重心。

牛頓 (1642 - 1726)

Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)

定義 1

物質的量是物質的度量，可由其密度和體積共同求出。

定義 2

運動的量是運動的度量，可由速度和物質的量共同求出。

牛頓《自然哲學之數學原理》

Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813)

Benedict de Spinoza (1632 - 1677)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Spinoza_Ethica.jpg

美國獨立宣言（ 1776 ）

We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights, that among these are

Life, Liberty and the pursuit of Happiness.

我等之見解為，下述真理不證自明：凡人生而平等，秉造物者之賜，擁諸無可轉讓之權利，包含生命權、自由權、與追尋幸福之權。

非歐幾何的衍生

對於歐幾里得公設系統的反省

以下參考《胡作玄：第三次數學危機》

十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖形性質的正確理想化。特別是康德認為關於空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。

Immanuel Kant (1724 –1804)


在《幾何原本》中，證明前 28個命題並沒有用到第五公設，這很自然引起人們考慮：這條公設是否可由其他的公理和公設推出。之後的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點，但他們只不過得到一些與平行公設等價的命題。


從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。首先，要能從二千年來證明平行公設的失敗過程中看出這類證明是辦不到的事。其次，要選取與平行公設相矛盾的其他公設，但也能建立邏輯上沒有矛盾的幾何。

Nikolai I. Lobachevsky (1792 - 1856)

János Bolyai (1802 - 1860)


要認識到歐幾里得幾何學只是許多可能的幾何學中的一種。而幾何學要從由直覺、經驗來檢驗的空間科學變成一門純粹數學，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。這個過程是漫長的，其中最主要的一步是 Lobachevsky 和 Bolyai 分別獨立地創立非歐幾何學。


因為當時大家都承認歐幾里得幾何學沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋，就變得沒有矛盾。這種解釋叫做非歐幾何學的歐氏模型。對於 Lobachevsky幾何學，最著名的歐氏模型有 Beltrami 於 1869 年、 Klein 於1871 年、及 Poincaré 於 1882 年所提出的模型。

Eugenio Beltrami (1835 – 1900)

Felix Klein (1849 – 1925)

Henri Poincaré (1854 – 1912)

從微積分的演化中產生數學基礎的危機

建立實數的邏輯基礎

古希臘的 Eudoxus 引入量的觀念來考慮連續變動的東西，並完全依據幾何來嚴格處理連續量。這造成數與量的長期脫離。古希臘的數學中除了整數之外，並沒有無理數的概念，連有理數的運算也沒有，可是卻有量的比例。希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴格的逼近步驟，這就是所謂窮盡法。


到了十六、十七世紀，除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外，還產生了許多新問題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。終於在十七世紀晚期，形成了微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲的功績主要在於： 1 、把各種問題的解法統一成一種方法，微分法和積分法； 2 、有明確的計算微分法的步驟； 3 、微分法和積分法互為逆運算。

Gottfried Leibniz (1646 – 1716)


以求速度為例，瞬時速度是 Δs/Δt 當 Δt 趨向于零時的值。 Δt 是零、是很小的量，還是什麼東西，這個無窮小量究竟是不是零。這引起了極大的爭論。十八世紀的數學家成功地用微積分解決了許多實際問題，因此有些人就對這些基礎問題的討論不感興趣。


十八世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的、強調形式的計算，而不管基礎的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導數、微分、積分等概念不清楚；對無窮大的概念也不清楚；發散級數求和的任意性；符號使用的不嚴格性；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及可否展成冪級數等等。一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注於微積分的嚴格基礎。


Cauchy 在 1821 年的《代數分析教程》中從定義變數開始，抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變數，並定義了導數和積分； Abel指出要嚴格限制濫用級數展開及求和； Dirichlet給出了函數的現代定義。在這些數學工作的基礎上， Weierstraß給出現在通用的 ε-δ的極限、連續定義，並把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上。

Augustin Cauchy (1789 – 1857)

Niels Abel (1802 – 1829)

Lejeune Dirichlet (1805 – 1859)

Karl Weierstrass (1815 – 1897)


Weierstraß給出一個處處不可微的連續函數的例子。這個發現以及後來許多病態函數的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。由此，使數學更深入地探討實數論的問題。這不僅導致 Cantor 集合論的誕生，並且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實數論的無矛盾性問題，從而使數學分析終於建立在實數理論的嚴格基礎之上了。

數學基礎的危機

這次危機是由於在 Cantor 的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論已經成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

Georg Cantor (1845 – 1918)


令 R 是「所有自己不屬於自己的集合所構成的集合。」也就是說 A 是 R 的元素若且唯若 A 不是 A 的元素： R = { A | A A }

羅素悖論： R R R R


集合論中悖論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。就數學而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公設化的基礎上，限制並排除所知道的矛盾。第一次這樣的嘗試是 Zermelo 於1908 年做出的，以後還有多人進行了加工。但是，此方式曾受到批評，因為它只是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證將來不出現別種悖論。


從 1900 年到 1930 年左右，數學基礎的危機使許多數學家捲入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數學的根本，因此必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論。以 Russell 為代表的邏緝主義（ Logicism ）、以 Brouwer 為代表的直覺主義（ Intuitionism ）、以 Hilbert 為代表的形式主義（ Formalism ）三大數學哲學學派應運而生。

L. E. J. Brouwer (1881 – 1966)

形式化數學

形式＝符號

形式系統＝符號遊戲

形式語言

語法

語意

形式證明系統

邏輯公設

推論規則

定理（不能任何命題都是定理）

理論＝形式證明系統

＋界定目標物件的公設

理論模型

（ provable true ）

形式化的公設理論

在有電腦之前的時代，形式化數學最突出的成果是

Whitehead & Russell,

Principia Mathematica (1910 - 1913)

現代形式化數學表現在

機械化數學系統

互動式定理證明系統

Whitehead and Russell, Principia Mathematica

電腦作的形式證明

王浩

（ 1921-1995 ）

王浩（ 1921 － 1995 ）

電腦作的形式證明

Formalizing Mathematics: http://www.cs.ru.nl/~herman/FormMath.html

謝謝聆聽

一球變兩球： 談數學公設化的特質

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