גיאומטריה לכיתה ח' משפט פיתגורס

' ח לכיתה גיאומטריהפיתגורס משפט

לפניכם סרטוט של מרובעים צבעוני המונח על שריג ריבועי, שבו אורך צלע של כל

ס"מ. 1ריבוע הוא בתוך הריבוע חסום מרובע.

כל הקטעים האדומים בסרטוט שווים זה לזה באורכם וכל הקטעים הירוקים שווים

זה לזה באורכם. מהו סוג המרובע החסום בריבוע?

משפט פיתגורס -טעימות, עמ' 217

5

55

6

66

6 5

א

5

65

6

56

5 6

ב

5

56

6

65

6 5

ג

6

57

5

64

7 4

ה

5

6

6

5

65

6 55

74

6

47

5 6

ז

7

47

4

74

7 4

וד


? הירוק הריבוע של שטחו מהו

6

4

4

6

6

6

4

4


6

4

4

6

6

6

4

4

ס"מ. חלקו כל צלע לשני 10סרטטו ריבוע שאורך צלעו • ס"מ, כך 8 ס"מ והשני באורך 2קטעים: האחד באורך

שהמרובע הפנימי שיתקבל ע"י חיבור הנקודות שנוצרו- יהיה ריבוע. חשבו את שטח הריבוע הפנימי שבניתם.

חקרו מה קורה כשמחלקים את צלע הריבוע )החיצוני( • ס"מ. חזרו 5לשני קטעים שווים, שאורך כל אחד מהם

על התהליך בסעיף ג.

עבור איזה מהמקרים שבדקתם בסעיפים ג-ה, שטח •הריבוע הפנימי שנוצר הוא הקטן ביותר?


נבנה ריבועים גם על שתי הצלעות האחרות

)הניצבים( של המשולש ישר הזווית

פיתגורס משפטזווית ישר משולש

היתר על הבנוי וריבועשלו

פיתגורס משפט

7

3

3 7

משפט פיתגורס - הצדקה מתמטית, 234עמ'

7

3

משולשים 4ישרי זווית

חופפים

3

3

7

7

10

10

כיצד פעילות זו מצדיקה באופן מתמטי

את משפט פיתגורס?

משפט פיתגורס- הצדקה מתמטית, עמ' 235

c

c

a

b

a b

a b

b

a

b2

a2ab

a2+b2

a

aa

b

b

b

c

c

cc

ובהכללה:

a

cc

c

מפגש חוזר - לקראת חישוב אורכי צלעות, עמ' 236-237

9מהו אורך הצלע של ריבוע ששטחו •סמ"ר?

144מהו אורך הצלע של ריבוע ששטחו •מ"ר?

2.25מהו אורך הצלע של ריבוע ששטחו •סמ"ר?

100 = 729 =

140 ___ << ___

דוגמאות - חישוב אורך היתר, בהינתן אורכי שני הניצבים

- חישוב אורך ניצב, בהינתן אורך היתר ואורך הניצב השני

1

1

1

1 1

1

1x1

x2x3 x4

x5

x6

239משפט פיתגורס, עמ' לפניכם "מניפה" של משולשים ישרי זווית. בכל

ס"מ. 1אחד מהם יש צלע שאורכה

מצאו קטעים שהם גם ניצב וגם יתר. • כמה קטעים כאלה מצאתם?

.x2מצאו את אורך הצלע •

.x6 מצאו את אורך הצלע •

אתגר:xnמצאו את אורך הצלע

כפל תפקידים

הכללה

242עמ'

•ABC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ס"מ. 5שאורך כל ניצב הוא

, שאורך DEFמצאו משולש ישר זווית אחר, , ABCהיתר שלו הוא כאורך היתר של משולש

ואורכי הניצבים שלו הם מספרים שלמים. יש זוג זוויות נגדיות שכל אחת ABCDבמרובע •

ישרה. אורכי הצלעות של המרובע הם מספרים שלמים של ס"מ. מה יכולים להיות אורכי

6הצלעות של המרובע? מצאו לפחות מרובעים כאלה.

משפט פיתגורס ובעיות מילוליות- עמ' 242

צפון

דרום

מערבמזרח

חברה המתמחה בייצור מכוניות חשמליות ערכה ניסוי בארבע מכוניות. ארבעתן יצאו מאותה נקודה יציאה באותו הזמן. כל אחת

נסעה לכיוון אחר: המכונית הכחולה נסעה לכיוון צפון במהירות

קמ"ש; המכונית הכתומה נסעה לכיוון 40 קמ"ש; 50מזרח במהירות

המכונית הצבעונית נסעה לכיוון דרום קמ"ש, והמכונית האדומה נסעה 35במהירות

כעבור שעה, מה היה המרחק בין המכונית האדומה לבין כל • קמ"ש. 60לכיוון מערב במהירות אחת מהמכוניות האחרות?

כעבור שעה, בין אילו שתי מכוניות היה המרחק הגדול ביותר? •הסבירו.

כעבור שעה משעת היציאה של יתר המכוניות, הצטרפה מכונית •חמישית לניסוי. מכונית זו נסעה מכיוון דרום לנקודת היציאה

של ארבע המכוניות. המרחק ההתחלתי בין המכונית החמישית ק"מ. מה המרחק בין 130לבין המכונית שנסעה למזרח היה

מכונית זו לבין נקודת היציאה של יתר המכוניות? קמ"ש. כמה זמן 80המכונית החמישית נוסעת במהירות של •

ייקח לה להגיע לנקודה ממנה יצאו ארבעת המכוניות?

שאלה מילולית

אינטגרטיבית

300

D

A

B

C

מ'. 300שחיין שוחה במהירות קבועה בנהר שרוחבו בסרטוט המוקטן שלפניכם מתואר המסלול אותו

עבר השחיין D, וחזר מהנקודה D ועד לנקודה A)החל מהנקודה

בקו ישר(. Aלנקודה

מ'.500 הוא B לנקודה Aהמרחק מהנקודה מ'.560 הוא C לנקודה Aהמרחק מהנקודה מ'.285 הוא D לנקודה Bהמרחק מהנקודה

מה המרחק אותו עבר השחיין?


מ', שעליו יפרסו שטיח 100בטקס חלוקת פרס נובל לפיזיקה תוכנן מסלול בן אדום.

מ'. 101לאחר שפרסו את השטיח התברר שבטעות נגזר שטיח שאורכו היות ולא ניתן היה לקצר את השטיח, הוחלט לבנות מוט באמצע המסלול

ולהניח על המסלול את השטיח באופן הבא:

10מבלי לבצע חישובים ענו על השאלה הבאה: האם, לדעתכם, מנוף שגובהו •מ' יצליח לעבור מתחת לשטיח? האם בן אדם יצליח לעבור מתחתיו? האם חתול יצליח לעבור מתחתיו? האם עכבר יצליח לעבור מתחתיו? האם יתוש

יצליח לעבור מתחת לשטיח? חשבו את אורך המוט שיש לבנות, ובדקו האם ניחשתם תשובה נכונה בסעיף א.•האם לדעתכם הפתרון המוצע הוא הגיוני?•

מ'100

מוט שטיח אדום


מפתיע?

הוא משולש שווה שוקיים, אשר אורך כל KLM. משולש 32 ס"מ.10 ס"מ, ואורך הבסיס שלו 13אחת משוקיו הוא

א. מצאו את שטח המשולש.

, KLMב. מצאו משולש שווה שוקיים נוסף, השווה בשטחו לשטח המשולש ס"מ.10 ס"מ, אך בסיסו אינו באורך של 13שאורך שוקיו

ג. האם קיימים משולשים שווי שוקיים נוספים השווים בשטחם לשטחו של 10 ס"מ, אך בסיסם אינו באורך של 13,שאורך שוקיהם ABCהמשולש

ס"מ? הסבירו.

הוא משולש שווה שוקיים, אשר אורך כל אחת משוקיו הוא PRSד. משולש ס"מ. מצאו משולש שווי שוקיים נוסף, 12 ס"מ, ואורך הבסיס שלו 20

12, אך בסיסו אינו באורך של PRSהשווה בשטחו לשטח המשולש ס"מ. מהו הקשר בין בסיסי המשולשים הללו לבין הגבהים שלהם?

246משפט פיתגורס - עמ'

ג. האם קיימים משולשים שווי שוקיים נוספים השווים בשטחם לשטחו של 10 ס"מ, אך בסיסם אינו באורך של 13,שאורך שוקיהם ABCהמשולש

ס"מ? הסבירו.


10

A

B CD

13

1213

5 5

24

A

B CD

13 5

13

1212

נתון מלבן הבנוי משורה של שני ריבועים חופפים צמודים, כמו בסרטוט הבא:

מה, לדעתכם, גדול יותר: אורך אלכסון המלבן )מסומן •

באדום( או סכום אורכי שני האלכסונים של הריבועים )מסומנים בכחול(? הסבירו את תשובתכם מבלי לבצע

חישובים.

ס"מ. חשבו את אורך 120ידוע כי היקף המלבן •אלכסון המלבן ואת אורך האלכסון של כל אחד

מהריבועים. האם צדקתם בהשערתכם?


נתון מלבן הבנוי משורה של שני ריבועים חופפים צמודים, כמו בסרטוט הבא:


בוי דרכי רי

פתרון

ריבועים חופפים 3נתון מלבן אחר הבנוי משורה של צמודים, כמו בסרטוט הבא:

מה, לדעתכם, גדול יותר: אורך אלכסון המלבן )מסומן •באדום( או סכום אורכי שלושת האלכסונים של

הריבועים )מסומנים בכחול(? הסבירו את תשובתכם מבלי לבצע חישובים.

ס"מ. חשבו את אורך 160ידוע כי היקף המלבן •אלכסון המלבן ואת אורך האלכסון של כל אחד

מהריבועים. האם צדקתם בהשערתכם?


ריבועים חופפים 3נתון מלבן אחר הבנוי משורה של צמודים, כמו בסרטוט הבא:


ריבועים חופפים הצמודים 4יוצרים מלבן משורה של •זה לזה, כמו הריבועים בסעיף ב.

מה, לדעתכם, גדול יותר: אורך אלכסון המלבן או סכום אורכי ארבעת האלכסונים של הריבועים?

הסבירו את תשובתכם מבלי לבצע חישובים, ולאחר מכן בדקו את תשובתכם בעזרת חישובים מתאימים,

ס"מ.20אם ידוע שאורך הצלע בכל ריבוע הוא

האם תוכלו להכליל את התופעה עבור מלבן הבנוי •ממספר כלשהו של ריבועים חופפים הצמודים זה לזה,

כמו בסרטוטים הקודמים?


הכללה

247משפט פיתגורס - עמ' בסרטוט שלפניכם נתונים גרפים

של שלוש הפונקציות הבאות: f(x) = 2x + 10

g(x) = -x + 4 h(x) = x - 4

התאימו כל אחת מהפונקציות •

לתיאור הגרפי שלה.•A , B, C, D, E הן נקודות חיתוך

של הגרפים עם הצירים. מצאו את שיעורי הנקודות הללו.

היא נקודת חיתוך של הגרפים F הנקודה • של שתיים מהפונקציות. מצאו את שיעורי הנקודה.

; EDC ; AFE מצאו את שטחם של המשולשים הבאים: • BFC

; AB ; CD ; AF מצאו את אורכי הקטעים הבאים: •FC

y

x

D

B

F

E

CO

A

שאלה אינטגרטיבית –

קווית ופיתגורספונקציה

BACבסרטוט שלפניכם )מוקטן( נתון משולש ישר זווית הגובה ליתר.ADובו

האורכים של חלק מהצלעות נתונים בס"מ.

. AD מצאו את האורך של • מצאו בסרטוט שלושה משולשים דומים ורשמו את •

הדמיון בהתאמה. מצאו את יחס הדמיון בין כל שני משולשים דומים.• בשתי דרכים שונות והשוו AB מצאו את אורך הצלע •

בין התוצאות.


A

BC2.25

3.75

4D

שאלה אינטגרטיבית

–

מיוןפיתגורס וד


ס"מ 15במשולש ישר זווית אורך אחד הניצבים הוא ס"מ. 20ואורך הניצב השני הוא

מה אורך הגובה ליתר?•

מצאו את אורך הגובה ליתר בדרך נוספת )היעזרו •בחישוב שטח המשולש(.

ון - בוי דרכי פתר

רי

שונות שלוש דרכים

שאלות העמקה250- עמ' מתוך הספר "אפשר גם אחרת"

: הבאה שברשת המצולע היקף את מצאו

אפשר לראות דף משובץ הבנוי ממשבצות ריבועיות, כרשת של ישרים ונקודות

מפגש שלהם: לנקודות, שהן קודקודי המשבצות, קוראים

קווי . לישרים קוראים פינות. אורך הצלע של הרשת

יחידת אורך. 1 משבצת הוא

שאלות העמקה250- עמ' מתוך הספר "אפשר גם אחרת"

: הבאה שברשת המצולע היקף את מצאו

2 2 2 2 2 2 2 25 4 3 2 15 8 6 8 12 5 52

הכנה לשאלה הבאה

בדף משובץ מצויר מחומש )לא משוכלל( ABCDE .

איזה מאלכסוניו הוא הארוך ביותר?

B

C

A

E

D

שאלות העמקה250מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ'

בדף משובץ מצויר מחומש )לא משוכלל( ABCDE .


הוא הארוך ביותר. ADהאלכסון

להלן אורכי האלכסונים:AC2 = 32 , AD2 = 36 ,

BD2 = 34 , BE2 = 17 , CE2 = 29

את אורכי הקטעים האלה ניתן למצוא לפי משפט פיתגורס, בעזרת

משולשים ישרי זווית שהניצבים שלהם נמצאים על קווי הרשת והיתר

(.AD)למעט אלכסון הינו האלכסון

B

C

A

E

D

D

B

C

A

E

אפשר גם אחרת


האם אפשר לסרטט על דף משובץ משולש ישר זווית העונה על כל הדרישות הבאות:

כל הקודקודים שלו נמצאים על פינות הרשת;•אף אחת מצלעותיו לא נמצאת על קווי הרשת;•האורכים של שלוש הצלעות שלו הם מספרים •

שלמים.

אם אפשר - סרטטו מקרה אחד לפחות והסבירו מדוע הוא עונה על הדרישות.

חשוב להצדיק איך יודעים שהמשולש שסרטטתם הוא אמנם משולש ישר זווית.

אם אי אפשר - הסבירו מדוע.


אפשר לסרטט על דף משובץ משולש ישר זווית הבאות: העונה על כל הדרישות

כל הקודקודים שלו נמצאים על פינות הרשת;•אף אחת מצלעותיו לא נמצאת על קווי הרשת;•האורכים של שלוש הצלעות שלו הם מספרים שלמים.•

ולכן מספיקה דוגמה שאלת קיום השאלה היא שימו לב,אחת

אופן הבנייה של המשולש:

בונים קטע באורך שלם )מענה לתנאי השלישי(. בוחרים לדוגמה את השלשה

, שתבטיח לנו צלע שהיא 3,4,5הפיתגוראית באורך שלם והקטע לא על קווי הרשת.


B

C

A

שאלות לדוגמה לתלמידים:הזווית בין הקטע האדום והקטע הכחול שסרטטנו •

. כיצד אנו יודעים?900היא האם המשולש ישר הזווית שהתקבל מתאים •

לדרישות?

מתקבל משולש ישר זווית שצלעותיו הם מספרים שלמים:

; AB – 15הניצב

; AC – 20הניצב

.BC – 25והיתר הקודקודים נמצאים על פינות

הרשת, אך אף אחת מהצלעות לא נמצאת על קווי הרשת.


למתעניינים:אם נתבונן היטב בסרטוט נראה כי המשולש בנוי משלושה יתרים של

שלושה משולשים ישרי זווית )המשולשים בצבע תכלת בסרטוט(. נבחן את מידותיהם.

; ABE 9 , 12, 15:משולש ;ACF 12, 16, 20:משולש

;BCG: 7, 24, 25משולש

למתעניינים מאוד:

כדאי לחקור ולגלות כי כל שלשה פיתגוראית שניקח ונרחיב אותה על

ידי הכפלה באורך היתר, נקבל משולש ישר זווית שעונה על

הדרישות.

B

C

AE F

G

שאלות העמקה 250מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ'

ס"מ.1בעל צלע באורך ABCDנתון ריבוע LN ומקביל AD לצלע KMהעבירו מקביל

. ABלצלע ס"מ.1 הוא KALהיקף המשולש

?MCNמה שטח המשולש

C

A D

B

K

L

M

N

מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - שאלות העמקה 250עמ'

. הוא MCNשטח המשולש

. c ואת היתר ב-bו- a ב- KALנסמן את הניצבים של המשולש , כלומר, אפשר לחלק את צלע הריבוע לשלושה a+b+c = 1מהנתון נובע כי

. c, והשלישי באורך b, השני באורך aקטעים, האחד באורך כפי שמתואר בציור. ABCDלכן אפשר לחלק את הריבוע

שווה למחצית שטח הריבוע הנתון OMCNאפשר להראות ששטח המלבן ABCD .

, ולכן OMCN, שווה למחצית שטח המלבן MCNשטח המשולש המבוקש .שטחו הוא

C

A D

B

K

L

M

N

O

ac

a2

c2

b2 bcab

acab

bc

a b c

b

a

c

c

c

b

b

a

a

נתון משולש ישר זווית )לא שווה שוקיים(. העבירו את התיכונים במשולש.

מבין שני התיכונים לניצבים, איזהו הארוך יותר - •התיכון לניצב הקצר או התיכון לניצב הארוך?

הראו שהתיכון ליתר הוא התיכון הקצר ביותר •מבין שלושת התיכונים.

6אם ידוע שאורך היתר במשולש הנתון הוא •ס"מ, מצאו את סכום הריבועים של שני התיכונים

לניצבים.

שאלת העמקה מאתגרת במיוחד 250מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ'

שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - 250עמ'

דרך א':ריבוע אורך התיכון לניצב הקטן הוא:

ריבוע אורך התיכון לניצב הארוך הוא:

2 2 2 2 22 2a a a b 3bb b2 4 4 4 4

2 2 2 2 22 2b b a b 3aa a2 4 4 4 4

C B

A

a

b c


א. מבין שני התיכונים לניצבים - התיכון לניצב הקצר ארוך יותר מהתיכון לניצב הארוך.

, את הניצב הגדול a מסמנים את הניצב הקטן ב-. c ואת היתר ב- bב-


C B

A

a

b c

דרך ב':


C B

A

a

b c

ג. התיכון ליתר הוא התיכון הקצר ביותר מבין שלושת התיכונים.

לפי המשפט, התיכון ליתר שווה למחצית היתר. כלומר אורך התיכון ליתר הוא .

ולכן ריבוע היתר מקיים:

c2


מבין שני התיכונים לניצבים, איזהו הארוך יותר - •התיכון לניצב הקצר או התיכון לניצב הארוך?

הראו שהתיכון ליתר הוא התיכון הקצר ביותר •מבין שלושת התיכונים.

6אם ידוע שאורך היתר במשולש הנתון הוא •ס"מ, מצאו את סכום הריבועים של שני התיכונים

לניצבים.

250שאלות העמקה - עמ'

263העמקה - משפט פתגורס - עמ'

מצאו את שטחם של המשולשים והריבועים אותם צייר •הרמס.

עבור כל אחד משלושת המשולשים הנ"ל מצאו את •היחס בין שטח המשולש, שטח הריבוע הבנוי של

הניצב, ושטח הריבוע הבנוי על היתר?

נסו להכליל: בהינתן משולש ישר זווית ושווה שוקים •כלשהו, מהו היחס בין שטח המשולש, שטח הריבוע

הבנוי של הניצב, ושטח הריבוע הבנוי על היתר. כלומר, הגדירו את אורך ניצב המשולש

, ומצאו את השטחים של שלוש הצורות, והיחסים xכ- ביניהן.

ניינים – משולשים מע

שווי זווית ו

משולשים ישרי

שוקייםומשולשים

90° 60°

30°

מצאו את שטחם של ארבעת משטחי הזהב: המשולש •ושלושת הריבועים, וגלו מה הייתה תשובתו של הנסיך

אפולו.

איזה קשר מתקיים בין שטחם של שלושת הריבועים? •

בנו שלושה ריבועי זהב הנוצרים באופן דומה על •משולשים ישרי זווית שאורך צלעותיו הן

ס"מ. מצאו את שטחי ריבועי 13 ס"מ ו- 12 ס"מ, 5הזהב. האם הקשר שמצאתם בסעיף הקודם מתקיים גם

כאן?

האם הקשרים שמצאתם בשאלות הקודמות מתקיימים •עבור כל שלושה ריבועים הבנויים באופן דומה על

משולשים ישרי-זווית שונים? אם כן - הסבירו מדוע קשר זה מתקיים. אם לא - ציירו משולש ישר זווית עבורו

קשר זה איננו מתקיים.



מ' 20, שאורך צלעו ABCDבתוך שטח אדמה ריבועי , שקודקודיה מונחים על אמצעי EFGHנבנתה בריכה

צלעות הריבוע. את הבריכה מקיפים שטחי דשא שצורתם ארבעה

משולשים חופפים )ראו סרטוט משמאל(.

מהו שטח הבריכה?• מהו שטח הדשא המקיף את הבריכה?•

A E B

F

CGD

H


המוקטן בסרטוט המופיע המלבן של שטחו את מצאושלפניכם.

30

30 ס"מ7

פיתגורס פיתגורס משפט משפט

אם בונים ריבועים על הצלעות של משולש ישר זווית,

סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה

אחת לשטח הריבוע הבנוי על היתר. כל על נבנה אם נקבל מהמהצלעות

? צלעות שווי משולשים

אחת כל על נבנה אם נקבל מהמהצלעות

? משושים משוכללים מחומשיםאחת משוכללים? כל על נבנה אם נקבל מהמהצלעות

? מעגל חצי

גיאומטריה לכיתה ח' משפט פיתגורס

Documents