第二章矩陣

2.1 矩陣運算2.2 矩陣運算特性2.3 反矩陣2.4 基本矩陣

2 - 2

2.1 矩陣運算 矩陣 (Matrix)

nm

nm321

3333231

2232221

1131211

M ][

mnmmm

n

n

n

ij

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aA

第 (i,j) 個元素 :

ija

列 : m

行 : n

大小 : m×n

2 - 3

第 i 個列向量 (row vector)

第 j 個行向量 (column vector)

iniii aaar 21

mj

j

j

j

c

c

c

c2

1

列矩陣 (row matrix)

行矩陣 (column matrix)

方陣 : m=n

2 - 4

對角矩陣 (diagonal matrix)

),,,( 21 nddddiagA nn

n

M

d

d

d

00

00

00

2

1

跡數 (trace)

nnij][aA 若

nnaaaATr 2211)( 則

2 - 5

範例：

654

321A

2

1

r

r

321 ccc

,3211 r 6542 r

,4

11

c ,

5

22

c

6

33c

654

321A

2 - 6

nmijnmij bBaA ][ ,][ 若

相等 (equal) 矩陣

njmibaBA ijij 1 ,1 若且唯若則

範例 1 ： 相等矩陣

dc

baBA

43

21

BA 若

4 ,3 ,2 ,1 dcba 則

2 - 7

矩陣相加 (matrix addition)

nmijnmij bBaA ][ ,][ 若

nmijijnmijnmij babaBA ][][][ 則

範例 2： 矩陣相加

31

50

2110

3211

21

31

10

21

2

3

1

2

3

1

22

33

11

0

0

0

2 - 8

矩陣相減 (matrix subtraction) BABA )1(

純量積 (scalar multiplication) 常數若 :c ,][ nmAA

nmijcacA ][ 則

範例 3： 純量積與矩陣相減

212

103

421

A 與

231

341

002

B

求 (a) 3A, (b) -B, (c) 3A-B 。

2 - 9

(a)

212

103

421

33A

(b)

231

341

002

1B

(c)

231

341

002

636

309

1263

3 BA

解 :

636

309

1263

232323

130333

432313

231

341

002

407

6410

1261

2 - 10

矩陣相乘 (matrix multiplication) pnijnmij bBaA ][ ,][ 若

pmijpnijnmij cbaAB ][][][ 則

相等AB 的大小

njin

n

kjijikjikij babababac

1

2211

其中

inijii

nnnjn

nj

nj

nnnn

inii

n

cccc

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

21

1

2221

1111

21

21

11211

注意 : (1) A+B=B+A, (2) BAAB

2 - 11

05

24

31

A 與

14

23B

範例 4： 求解下列兩矩陣的乘積

解 :

)1)(0()2)(5()4)(0()3)(5(

)1)(2()2)(4()4)(2()3)(4(

)1)(3()2)(1()4)(3()3)(1(

AB

1015

64

19

2 - 12

線性方程式系統之矩陣形式

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

= = =

A x b

條線性方程式m

單一矩陣方程式

bA x 1 nnm 1m

2 - 13

分割矩陣 (partitioned matrices)

2221

1211

34333231

24232221

14131211

AA

AA

aaaa

aaaa

aaaa

A

子矩陣

3

2

1

34333231

24232221

14131211

r

r

r

aaaa

aaaa

aaaa

A

4321

34333231

24232221

14131211

cccc

aaaa

aaaa

aaaa

A

2 - 14

n

mnmm

n

n

ccc

aaa

aaa

aaa

A

21

21

22221

11211

nx

x

x

x2

1

12211

2222121

1212111

mnmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Ax

矩陣 A 之行向量的線性組合 (linear combination)

(A 之行向量的線性組合 )

mn

n

n

n

a

a

a

x

2

1

1

21

11

1

ma

a

a

x

2

22

21

2

ma

a

a

x

1c 2c nc

2 - 15

摘要與複習 (2.1 節之關鍵詞 )

row vector: 列向量 column vector: 行向量 diagonal matrix: 對角矩陣 trace: 跡數 equality of matrices: 相等矩陣 matrix addition: 矩陣相加 scalar multiplication: 純量積 matrix multiplication: 矩陣相乘 partitioned matrix: 分割矩陣

2 - 16

2.2 矩陣運算的性質 三種矩陣基本運算 :

(1) 矩陣相加

(2) 純量積

(3) 矩陣相乘

零矩陣 (zero matrix) ： nm0

n 階單位矩陣 (identity matrix of order n) ： nI

2 - 17

矩陣相加與純量積的性質

則 (1) A+B = B + A

(2) A + ( B + C )=( A + B ) + C

(3) ( cd ) A = c ( dA )

(4) 1A = A

(5) c( A+B ) = cA + cB

(6) ( c+d ) A =cA + dA

純量若 :dc, ,CB,A, nmM

2 - 18

零矩陣的性質

純量若 :, c A nmM

A0A )1( nm 則

nm0(-A)A (2)

nmnm 0Aor 0c 0cA )3(

注意：(1) 0m×n: 所有 m×n 矩陣的加法單位矩陣

(2) -A: 矩陣 A 的加法反元素 (additive inverse)

2 - 19

矩陣相乘的性質

(1) Ａ (BC) = (AB)C

(2) Ａ (B+C) = AB + AC(3) (A+B)C = AC + BC

(4) c (AB) = (cA) B = A (cB)

單位矩陣的性質

AAI nmMA

n

)1(

則若

AAI m )2(

2 - 20

矩陣的轉置 (transpose)

nm

mnmm

n

n

M

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

若

mn

mnnn

m

m

T M

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

則

2 - 21

範例 : 求下列每一個矩陣的轉置

8

2A

(b)

987

654

321

A

(c)

11

42

10

A

解 : (a)

8

2A 82 TA

(b)

987

654

321

A

963

852

741TA

(c)

11

42

10

A

141

120TA

(a)

2 - 22

)4(

)3(

)2(

)1(

TTT

TT

TTT

TT

ABAB

AccA

BABA

AA

轉置矩陣的性質

和的轉置

純量積的轉置

矩陣乘積的轉置

2 - 23

對稱矩陣 (symmetric matrix)

若 A = AT ，則方陣 A 被稱為對稱矩陣

若 AT = -A ，則方陣 A 被稱為反對稱矩陣

範例 :

6

54

321

cb

aA若 為對稱矩陣，則 a, b, c 為何 ?

解 :

5 ,3 ,2 cba

反對稱矩陣 (skew-symmetric matrix)

6

54

321

cb

aA

653

42

1

c

ba

AT

TAA

2 - 24

範例 :

0

30

210

cb

aA若 為反對稱矩陣，則 a, b, c 為何 ?

解 :

3 ,2 ,1 cba 注意 :

TAA 是對稱矩陣證明 :

為對稱矩陣T

TTTTTT

AA

AAAAAA

)()(

,

0

30

210

cb

aA

032

01

0

c

ba

AT

TAA

2 - 25

實數ab = ba 乘法交換律

矩陣 BAAB

pnnm

沒有定義有定義

則若 (1)

BA

ABpm

4說明見範例

)但未必相等( ,矩陣大小相同 mm

mm

MBA

MABn pm

則若 (3)

nn

nm

MBA

MABnmpm

則若 (2) ,

三種可能情形

( 矩陣大小不同 )

2 - 26

範例 4 ： 無交換性的矩陣相乘 對下列的矩陣證明 AB 和 BA 不相等

12

31A 與

20

12B

解:

44

52

20

12

12

31AB

注意 :

BAAB

24

70

12

31

20

12BA

2 - 27

實數ac = bc ,

0c

ba 乘法消去律

矩陣

0 CBCAC

(1) 若 C 是可逆，則 A=B

(2) 若 C 是不可逆，則 ( 消去法不成立 )

BA

2 - 28

範例 5： 消去法不成立的範例 對下列的矩陣證明 AC=BC

21

21 ,

32

42 ,

10

31CBA

解 :

21

42

21

21

10

31AC

因此 BCAC

但是 BA

21

42

21

21

32

42BC

2 - 29

摘要與複習 (2.2 節之關鍵詞 )

zero matrix: 零矩陣 identity matrix: 單位矩陣 transpose matrix: 轉置矩陣 symmetric matrix: 對稱矩陣 skew-symmetric matrix: 反對稱矩陣

2 - 30

2.3 反矩陣 反矩陣 (inverse matrix)

nnMA

若存在一矩陣 使得 nIBAAB nnMB

注意 : 若矩陣沒有反矩陣則稱此矩陣為不可逆 (noninvertible)

或奇異 (singular) 矩陣

考慮

則 (1) A 是可逆 (invertible) 或非奇異 (nonsingular) 矩陣

(2) B 為 A 的反矩陣

2 - 31

定理 2.7： 反矩陣的唯一性

若 B 與 C 都是 A 的反矩陣，則 B = C

證明 :

CB

CIB

CBCA

CIABC

IAB

)(

)(

因此 B=C ，所以一矩陣的反矩陣是唯一的 注意 : (1) A 的反矩陣被表示成

(2)

1A

IAAAA 11

2 - 32

利用高斯 - 喬登消去法求一矩陣的反矩陣 1|| AIIA 高斯喬登消去法

範例 2： 求下列矩陣的反矩陣

31

41A

解:

IAX

10

01

31

41

2221

1211

xx

xx

13

04

03

14

2212

2212

2111

2111

xx

xx

xx

xx

1 2

10

01

33

44

22122111

22122111

xxxx

xxxx

2 - 33

110

301

031

141)4(

21(1)

12 ,r

喬登消去法高斯

r

110

401

131

041)4(

21)1(

12 ,

喬登消去法高斯

rr

1 ,3 2111 xx

1 ,4 2212 xx

1

2

11

431AX

所以

2 - 34

注意：

1110

4301

1031

0141

1

, )4(21

)1(12

AIIA

rr

喬登消去法高斯

若矩陣 A 不能夠被用列運算化成單位矩陣 I ，

則矩陣 A 為奇異矩陣。

2 - 35

範例 3： 求下列矩陣的反矩陣

326

101

011

A

解:

R2+(-1)R1->R2

106326

011110

001011

)1(

12

r

100

010

001

326

101

011

IA

2 - 36

331-

142100

011110

001011

)1(

3 RRr

4

1421-00

011-1-10

00101-1

323

)4(23 RRRr

232

142100

133010

001011

)1(

32 RRRr

323 R-(6)RR

106

011

001

340

110

011

)6(

13

r

2 - 37

所以矩陣 A 是可逆的，其反矩陣為

142

133

1321A

我們可以藉由A和 的相乘來得到 以確認其為反矩陣

注意：

I1A

121

141100

133010

132001

)1(

21 RRRr

] [ 1 AI

2 - 38

方陣的冪次 (power)

IA 0 )1(

0)(k )2(個

k

k AAAA

整數:, )3( srAAA srsr rssr AA )(

k

k

k

k

n d

d

d

D

d

d

d

D

3

2

1

2

1

00

00

00

00

00

00

)4(

2 - 39

定理 2.8： 反矩陣的性質

若 A 是可逆矩陣，則有下列的性質 :

AAA 111 )( )1( 是可逆且

kk

k

kk AAAAAAA )()( )2( 1

個

1111 是可逆且

0 ,1

)( c )3( 11 cAc

cAA 是可逆且

TTT AAA )()( )4( 11 是可逆且

2 - 40

111 ABAB

定理 2.9 ： 乘積的反矩陣若 A 和 B 為大小為 nxn 的可逆矩

陣，則 AB 為可逆且 證明 :

111)( ABAB

AB

所以

因為反矩陣有唯一性是可逆的所以

IBBIBBBIBBAABABAB

IAAAAIAIAABBAABAB1111111

1111111

注意 : 1

11

21

311

321 AAAAAAAA nn

2 - 41

定理 2.10： 相消性質 若 C 為可逆矩陣，則以下的性質成立 (1) 若 AC=BC ，則 A=B ( 右相消性質 )

(2) 若 CA=CB ，則 A=B ( 左相消性質 )

證明 :

BA

BIAI

CCBCCA

CBCCAC

BCAC

11

11 )存在(即 是可逆因為 1 -CC

注意 : 若 C 不是可逆，則相消法是不成立的

2 - 42

bAx 1

定理 2.11： 有唯一解的方程式系統 若 A 為一可逆矩陣，則此線性方程式系統 Ax=b

有唯一解

證明 :

( A 為一非奇異矩陣 )

bAx

bAIx

bAAxA

bAx

1

1

11

此解為唯一

21 xx 和 若 為 Ax=b 的兩個解

21 AxbAx 則

21 xx ( 左相消性質 )

2 - 43

注意 :

bAx

bAIbAAAbA A 111 |||1

nA

n bAbAIbbbA 11

121 |||||||

1

2 - 44

摘要與複習 (2.3 節之關鍵詞 )

inverse matrix: 反矩陣 invertible: 可逆 nonsingular: 非奇異

2 - 45

2.4 基本矩陣

三項列基本矩陣)( )1( IrR ijij

)0( )( )2( )()( kIrR ki

ki

)( )3( )()( IrR kij

kij

列基本矩陣 (row elementary matrix)

一 nn 矩陣稱為列基本矩陣若它可以將單位矩陣 I 進行 一次基本列運算來獲得

兩列互換

一列乘以一非零常數

某一列的倍數加到另一列

列基本矩陣基本列運算

單位矩陣

注意 :只能做“一次”列運算。

2 - 46

範例 1 ： 基本矩陣與非基本矩陣 (a)

100

030

001(b)

010

001(c)

000

010

001(d)

010

100

001

(e)

12

01

(f)

100

020

001

))(I(r 3(3)2是 )(非方陣不是

)

(

一個非零常數必須乘上不是 ))(I(r 323是

))(I(r 2(2)

12是 )(必須只做一次列運算不是

2 - 47

範例 3： 使用基本矩陣求一序列的基本矩陣以將下列矩陣化簡成列梯形形

式

0262

2031

5310

A

解 :

100

001

010

)( 3121 IrE

102

010

001

)( 3)2(

132 IrE

21

3

)2

1(

33

00

010

001

)(IrE

2 - 48

0262

5310

2031

0262

2031

5310

100

001

010

)( 1121 AEArA

4200

5310

2031

0262

5310

2031

102

010

001

)( 121)2(

132 AEArA

2100

5310

2031

4200

5310

2031

21

00

010

001

)( 232

)21

(

33 AEArA

=

BAEEEB 123 ArrrB 12

)2(13

)21

(

3 或( )列梯形矩陣

2 - 49

若存在有限數目的基本矩陣使得

AEEEEB kk 121

則稱 B 列等價於 A

列等價 (row-equivalent)

2 - 50

1E

定理 2.13 ： 基本列矩陣是可逆 若 E 為一基本矩陣，則 存在且為一基本矩陣 注意 :

ijij R1)(R )1(

)1

(1)( )( )2( ki

ki RR

)(1)( )(R )3( kij

kij R

2 - 51

範例 : 基本矩陣 反矩陣

121

100

001

010

RE

100

001

010

)( 11

112 ER

)2(132

102

010

001

RE

102

010

001

)( 12

1)2(13 ER

)2

1(

3

21

3

00

010

001

RE

200

010

001

)( 13

1)21

(

3 ER

12R

)2(13R

)2(3R

2 - 52

定理 2.14:

可逆矩陣的性質一方陣 A 為可逆若且唯若它可以寫成基本矩陣的相乘證明 :

(1)先假設 A 為一些基本矩陣的相乘。每一基本矩陣均 是可逆矩陣，且可逆矩陣相乘的結果依然是可逆， 所以可以得知 A 為可逆

(2) 假設 A 為可逆則 只有顯然解 ( 定理 2.11) 0xA

00 IA

IAEEEEk 123 11

31

21

1 kEEEEA

所以 A 可以寫成許多基本矩陣的相乘

2 - 53

範例 4 ：求一序列的基本矩陣，其乘積為

83

21A

解 :

I

A

rr

rr

10

01

10

21

20

21

83

21

83

21

)2(21

)2

1(

2

)3(12

)1(1

IARRRR )1(1

)3(12

)21

(

2)2(

21 所以

2 - 54

1)2(21

1)21

(

21)3(

121)1(

1 )()()()( RRRRA因此

)2(21

)2(2

)3(12

)1(1 RRRR

10

21

20

01

13

01

10

01

注意 :

若 A 是可逆

][][ 1123

AIIAEEEEk

IAEEEEk 123 則

1231 EEEEA k

2 - 55

bxA

0xA

定理 2.15:

等價條件若 A 為一 nn 矩陣，則以下這些敘述是等價的(1) A 為可逆(2) 對於每一個 n1 行矩陣 b， 具有唯一解(3) 只有顯然解

(4) A 列等價於 In

(5) A 可以寫成一些基本矩陣的乘積

2 - 56

LUA L 是一下三角矩陣 (lower triangular)

U 是一上三角矩陣 (upper triangular)

若一 nn 矩陣 A 可以寫成一下三角矩陣 L 及一上三角矩陣 U 的相乘，則 LUA

LU- 分解 (LU-factorization)

注意 :若只使用一列的倍數加到另一列的列運算就可以將矩陣 A

化簡為一上三角矩陣 U ，則 A 具有 LU- 分解

LUA

UEEEA

UAEEE

k

k

11

21

1

12

2 - 57

範例 5： LU- 分解

UA

20

21

01

21 (-1)12r

01

21A

(b)

2102

310

031

A(a)

解: (a)

UAR )1(12

LUURA 1)1(12 )(

11

01)( )1(

121)1(

12 RRL

2 - 58

(b)

UA rr

1400

310

031

240

310

031

2102

310

031)4(

23)2(

13

UARR )2(13

)4(23

LUURRA 1)4(23

1)2(13 )()(

142

010

001

140

010

001

102

010

001

)()( )4(23

)2(13

1)4(23

1)2(13 RRRRL

2 - 59

利用 A 矩陣的 LU 分解求 Ax=b 的解

bLUx

LUA

則 若

兩步驟：bLy

Uxy

則令

(1) 寫出 y=Ux 並由 Ly=b 解得 y

(2) 由 Ux=y 解得 x

bAx

2 - 60

範例 7 ： 利用 LU- 分解求解一線性系統

202102

13

53

321

32

21

xxx

xx

xx

解:

LUA

1400

310

031

142

010

001

2102

310

031

2 - 61

令 xy U 並解系統 by L

20

1

5

142

010

001

3

2

1

y

y

y

(1)

可解得

1

5

2

1

y

y

14)1(4)5(2204220 213 yyy

2 - 62

(2) 解系統 yxU

14

1

5

1400

310

031

3

2

1

x

x

x

1)2(3535

2)1)(3(131

1

21

32

3

xx

xx

x

所以原方程式系統的解為

1

2

1

x

可得

2 - 63

定理 2.12:

基本列運算的表示

令 E 為對 Im 做基本列運算所得到的基本矩陣。若要對一 mn 的矩陣 A 進行相同的基本列運算，則所得到的矩陣可以表示成 EA 的相乘

注意 :ARAr ijij )( )1(

ARAr ki

ki

)()( )( )2(

ARAr kij

kij

)()( )( )3(

EAAr

EIr

)(

)(

2 - 64

摘要與復習 (2.4 節之關鍵詞 )

row elementary matrix: 列基本矩陣 row equivalent: 列等價 lower triangular matrix: 下三角矩陣 upper triangular matrix: 上三角矩陣 LU-factorization: LU 分解