【性質】

(a) 厄米特(實對稱)矩陣的特徵值必為實數。

(b) 反厄米特(斜對稱)矩陣的特徵值必為純虛數或零。

(c) 單型矩陣的特徵值之大小必為 1。

【證明】

因 AX Xλ= ，等號兩邊由左邊乘以 TX ，

得 T TX AX X Xλ= ，故T

TX AXX X

λ = ………………………………….(1)

其中22 2

1 1 2 2 1 2... ...T

n n nX X x x x x x x x x x= + + + = + + + 為實數(非為零，因 0X ≠ ) (a) 假如 A 為厄米特矩陣， TA A= 或 TA A= 必成立，只要證明(1)式的分子為實數，即可證得λ為實數。 因 TX AX 為一 1×1 矩陣，取轉置後並無影響，故

( ) ( )T T T T T T TX AX X AX X A X X AX X AX= = = = …………………(2) 因 TX AX 等於它的共軛數，故 TX AX 必定是實數。(a ib a ib+ = − ，代表 0b = )

(b) 假如 A 為反厄米特矩陣， TA A= − 必成立，經過(2)式的替換得

( ) ( )T T T T T T TX AX X AX X A X X AX X AX= = = − = − 因 TX AX 等於它的負共軛數，故 TX AX 必定是純虛數或零。( ( )a ib a ib+ = − − ，代表 0a = )

(c) 假如 A 為單型矩陣，取 AX Xλ= 與它的共軛轉置，即 ( ) ( )T T TAX X Xλ λ= = 等號兩邊由右邊分別乘以 AX 與 Xλ ，得

2( )T T TAX AX X X X Xλλ λ= = ……..….(A)

因為 A 為單型矩陣，故 1TA A−= 必成立，由(A)式左側 1( )T T T T T TAX AX X A AX X A AX X IX X X−= = = = ………………(B)

由(A)與(B)相比較得 2 1λ = ，即 1λ =