1

Институт проблем математических машин и систем НАН Украины

Физико-Физико-математическая теория математическая теория

гиперслучайных гиперслучайных явлений:явлений:

нарушение статистической нарушение статистической устойчивостиустойчивости

ГОРБАНЬ ИГОРЬ ИЛЬИЧ

д.т.н., профессор

г. Киев

2

Физико-математическаяФизико-математическая теория гиперслучайных явлений теория гиперслучайных явлений

3

Физико-математическаяФизико-математическая теория гиперслучайных явлений теория гиперслучайных явлений

4

ПроблемыПроблемы- почему точность любых реальных измерений

имеет предел? - каковы реальные границы точности?

- существуют ли пределы прогнозирования и каковы они?

__________________________________________

Ответы на эти и другие подобные вопросы дает физико-математическая

теория гиперслучайных явлений

5

ПОЗНАНИЕ МИРАПОЗНАНИЕ МИРАОсновой познания служат недоказуемые положения – гипотезы.

Все теории базируются на недоказуемых элементах – аксиомах и постулатах.

Основные требования к системе базисных гипотез:- непротиворечивость;- независимость;- согласованность с опытными данными

(для теорий естествознания).

6

Примеры физических гипотез:

• физический мир непрерывен;• физический мир дискретен;• физический мир подчиняется законам Ньютона;

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИТЕОРИИ

Математическая теория становится физико-математической с принятием физических гипотез

7

Физическая гипотеза Физическая гипотеза теории вероятностейтеории вероятностей

Физической основой теории вероятностей служит

феноменстатистической

устойчивости частоты

8

Гипотезы теории вероятностей

• абсолютной статистической устойчивости:

явления реального мира статистически устойчивы;

• реальный мир устроен по случайному принципу.

ФИЗИЧЕСКИЕФИЗИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫГИПОТЕЗЫ

Гипотезы теории гиперслучайных

явлений

• ограниченной статистической устойчивости:

в реальном мире происходят нарушения статистической устойчивости;

• реальный мир устроен по гиперслучайному принципу.

9

Физико-математическая теория Физико-математическая теория гиперслучайных явленийгиперслучайных явлений

математическая часть разработана для гиперслучайных событий,

величин, функций,

применима для решения широкого класса физических задач.

Особенности теории: содержит математическую и физическую составляющие; математическая составляющая сформирована на основе

аксиоматики теории вероятностей; физическая составляющая основана на новой гипотезе

ограниченной статистической устойчивости физических явлений.

Теория гиперслучайных явлений

10

ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНАГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Способы описания: • условными функциями распределения ( / )F x g и их моментами,

• границами распределения ( )SF x , ( )IF x и их моментами,

• границами моментов

( )IF x ( )SF x

0

1

Случайная величина

Хаос

x

Зона неопределенности

Гиперслучайная величина Х – семейство

случайных величин: /X X g G

11

Цель докладаЦель доклада

ознакомить с результатами исследований нарушений

статистической устойчивости физических явлений - фундаментом теории

гиперслучайных явлений

12

Опыты с подбрасыванием Опыты с подбрасыванием монетымонеты

№п/п

Исследователь Количество опытов

Число выпадения

герба

Частота события

1 Бюффон 4040 2048 0,5080

2 К. Пирсон 12000 6019 0,5016

3 К. Пирсон 24000 12012 0,5005

13

Модели статистически Модели статистически устойчивых процессовустойчивых процессов

1. Белый гауссовский шум

220 10n nx n

2. Гармоническое колебание

220 10cos(2π / )

( 20)nx fn N

f

14

Спектр шумов корабляСпектр шумов корабля

15

Спектр шумов усилителяСпектр шумов усилителя

0 1000 2000 3000 4000 500020

30

40

50

60

70

80

Frequency, Hz

Spe

ctru

m,

dB

0 1000 2000 3000 4000 500020

30

40

50

60

70

80

Frequency, Hz

Spe

ctru

m,

dB

0 1000 2000 3000 4000 500020

30

40

50

60

70

80

Frequency, HzS

pect

rum

, dB

0 1000 2000 3000 4000 500020

30

40

50

60

70

80

Frequency, Hz

Spe

ctru

m,

dB

0 1000 2000 3000 4000 50000

20

40

60

80

100

Frequency, Hz

Spe

ctru

m, d

B

0 1000 2000 3000 4000 50000

20

40

60

80

100

Frequency, Hz

Spe

ctru

m, d

B

0 1000 2000 3000 4000 500010

20

30

40

50

60

70

80

Frequency, Hz

Spe

ctru

m, d

B

0 1000 2000 3000 4000 500020

30

40

50

60

70

80

90

Frequency, Hz

Spe

ctru

m, d

B

2 8

32 128

256 512

1024 2048

16

Колебание напряжения Колебание напряжения городской электросетигородской электросети

17

Статистически устойчивая Статистически устойчивая последовательностьпоследовательность

Определение. Последовательность 1 2, ,...X X случайных

величин будем называть статистически устойчивой

(статистически стабильной), если при N

2

1

1M[ ] M ( ) 0,

N N

N

Y n Yn

D Y mN

где 1

1 n

n ii

Y Xn

( 1,n N ) – выборочное среднее,

1

1N

N

Y nn

m YN

– выборочное среднее флуктуации среднего.

18

Параметры статистической Параметры статистической неустойчивости напряжения неустойчивости напряжения

электросетиэлектросети

Mγ N

N

Y

Nx

D

D

γμ

1 γN

N

N

19

Параметры статистической Параметры статистической неустойчивости волнения морянеустойчивости волнения моря

Высота волн Период следования волн

20

Параметр статистической Параметр статистической неустойчивости котировки валютнеустойчивости котировки валют

а б

Усредненный по 16 декадам параметр статистической неустойчивости (непрерывная кривая) и диапазон изменения этого усредненного

параметра, определяемый СКО, (пунктирные кривые) для котировки австралийского доллара (AUD) по отношению к доллару США (USD) за

2001 г. (а) и 2002 г. (б)

21

Параметр статистической Параметр статистической неустойчивостинеустойчивости

Параметр статистической неустойчивости и СКО для эталонного белого статистически устойчивого шума:

0

1 2γ ,

( 1) 1N N

NC

N N N

0

2

γ 2

2 4( 1) 81 4σ 2 12,

1N

N N NN

C N C BA

N N N N N

где 1

1N

Nn

Cn

, 2

1

1N

Nn

An

, 1

1

Nn

Nn

CB

n

________________________________________________________________________________________________

Параметр, характеризующий степень нарушения устойчивости в единицах 0γ N :

0γ γN N Nh

Nh

22

НАРУШЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НАРУШЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНОГО УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНОГО

ПОЛЯ ЗЕМЛИ (1)ПОЛЯ ЗЕМЛИ (1)

23

НАРУШЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НАРУШЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНОГО УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНОГО

ПОЛЯ ЗЕМЛИ (2)ПОЛЯ ЗЕМЛИ (2)

24

Параметры статистической Параметры статистической неустойчивости температуры воздуха неустойчивости температуры воздуха

и количества осадкови количества осадковМосква

Киев

25

Спектры колебаний Спектры колебаний температуры воды в Тихом температуры воды в Тихом

океанеокеане

β

1( )S f

f

β 1,5

26

Параметры статистической Параметры статистической неустойчивости температуры неустойчивости температуры

водыводы в Тихом океанев Тихом океане

27

Закон больших чиселЗакон больших чисел

Для последовательности 1 2, ,...X X попарно

независимых случайных величин, имеющих конечные

дисперсии и математические ожидания 1 2, ,x xm m , при

N выборочное среднее 1

1 N

N nn

Y XN

стремится по

вероятности к среднему 1

1N n

N

y xn

m mN

математических

ожиданий.

(Теорема Чебышева)

28

Варианты сходимости Варианты сходимости выборочного среднеговыборочного среднего

Выборочное среднее сходится к определенному числу (процесс устойчивый)

* ( )xm

F x

2xm

1xm

2* ( )xm

F x 1

* ( )xm

F x

/x g xm m

xm

x

1

0

1x

m

2xm

sxm

/x g xm m

ixm

22* ( )xm

F x

1* ( )xm

F x

x

1

0

Выборочное среднее не сходится к какому-либо определенному числу (процесс неустойчивый)

29

Родственные процессыРодственные процессы

Фликкер-шум

Статистически неустойчивый процесс

Неравновесный процесс

Самоподобный процесс (фрактал)

30

Фликкер-шум и Фликкер-шум и неравновесный процесснеравновесный процесс

f

f 0

( )S f

Неравновесный процесс – физический процесс, включающий неравновесные состояния, характеризующиеся неоднородным распределением макроскопических параметров в отсутствие внешних полей и вращения

(Википедия) Для равновесного процесса Для неравновесного процесса

β 1β 2

Фликкер-шум – процесс, спектральная плотность мощности которого описывается степенной функцией

β

1( )S f

f

(Джонсон (1925), Шоттки (1926))

31

Статистическая Статистическая неустойчивость фликкер-неустойчивость фликкер-

шумовшумов2

2 20

1 lnlim M lim ( )d

2π ( )TT

T

YT T x

fTD S f f

fT

При β 1 процесс устойчивый, при β 1 – неустойчивый

32

Примеры неустойчивых Примеры неустойчивых процессов с флуктуирующими процессов с флуктуирующими

выборочными среднимивыборочными средними

Неустойчивые процессы (а, г), их мгновенные спектры (б, д) и флуктуирующие

выборочные средние (в, е). Пунктиром изображен мгновенный спектр 1

( )S ff

33

Самоподобный случайный Самоподобный случайный процесспроцесс

Самоподобный процесс в узком смысле:

( ); 0 ( ); 0HLaw X t t Law a X at t ,

в широком смысле:

21 2 1 2 1 2( , ) M ( ) ( ) ( , )H

xR t t X t X t a R at at ,

где H – показатель Херста (0 1)H

Корреляционная функция процесса со СПМ β

1( )xS f

f :

β 1τ

(τ) β 2 12 (β)cos γπ / 2xR H

34

Статистически неустойчивый, Статистически неустойчивый, самоподобный, неравновесный самоподобный, неравновесный

процессы и фликкер-шумпроцессы и фликкер-шум

Фликкер-шум

Статистически неустойчивый

процесс

Самоподобный процесс

Неравновесный процесс

35

ГипотезаГипотеза

Гипотеза:

понятия неравновесного и статистически неустойчивого процессов, возможно, тождественны или одно из этих понятий является частным случаем другого.

36

ВыводыВыводы1. Введены единицы измерения, позволяющие количественно характеризовать нарушения устойчивости на конечном интервале наблюдения. 2. Установлено, что выборочное среднее статистически неустойчивых процессов не сходится к какому-либо конкретному числу. 3. Показано, что нарушение статистической устойчивости определяется особенностями спектральной плотности мощности процесса. 4. Установлена связь между статистически неустойчивыми процессами, фликкер-шумами, самоподобными и неравновесными процессами. 5. Статистически устойчивыми являются шумы с нарастающей при повышении частоты интенсивностью, белый шум, а также равновесный фликкер-шум, описываемый зависимостью 1 f . Статистически неустойчивыми являются неравновесные фликкер-шумы, спектральная плотность мощности которых

меняется по закону β1 f , где показатель формы спектра β 1 .

37

Главный результатГлавный результат

Реальные явления не обладают свойством

абсолютной статистической устойчивости;

имеет место лишь ограниченная статистическая

устойчивость

38

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

igor.gorban@yahoo.com

Тел. 099-791-0-781

Монографии выставлены

на сайте ИПММС