1

Институт математических машин и систем НАН Украины

МЕХАНИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ТЕОРИЯ ГРАФОВ

к.т.н., с.н.с. Волобоев В.П.,д.ф-м.н., профессор Клименко В.П.

2

Состояние вопроса в области расчета стержневых систем

Стержневая система – это сооружение, составленное из стержней, т.е. из таких элементов, у которых один размер (длина) превышает два других. Анализ современного состояния расчетов стержневых систем [Ржаныцин А.Р , Розин Л.А. , Cook Robert D. и др.] показал:1. Ручные методы. Большое разнообразие. Строительной

механике более 200 лет.2. Машинные методы. Методы составления математической

модели стержневой системы не обеспечивают составление корректной математической модели стержневой системы.

Количество уравнений может быть <, =, > кол-ва переменных.Существует проблема получения достоверных результатов (неустойчивость решения плохообусловленной системы уравнений).

3

Корректная формулировка математической модели технической (физической) задачи

(состояние вопроса)Классическое утверждение Ж. Адамара

(принцип Адамара)«Аналитическая задача всегда корректно

поставлена в смысле существования и единственности решения, непрерывной зависимости от данных задачи, когда есть механическое или физическое истолкование вопроса».

На современном этапе возобладало мнение о том, что положение Адамара – ошибочно.

Математические методы применяются для решения некорректных задач и плохообусловленных систем уравнений.

4

В настоящее время имеется решение задачи, подтверждающей принцип Адамара: расчет линейной электрической цепи. Оказывается, можно корректно сформулировать задачу на этапе составления математической модели. Корректно сформулированная математическая модель электрической цепи имеет устойчивое решение плохообусловленной СЛАУ.

Цель данной работы: разработать метод корректной формулировки

математической модели стержневой системы. Из основных задач анализа кинематики и

статики стержневых систем будет рассмотрена задача определения положения равновесия самой системы и внутренних сил в ее

элементах.

55

Сравнительные таблицы методов расчета

1. Форма представления уравнений, описывающих

элементы стержневой системы и электрической цепи

Общий подходМеханика стержневых систем Теория электрических цепей1. Геометрическое уравнение

элемента, где - узловые перемещения, - деформация элемента.Физическое уравнение , где - внутренняя сила на узлах элемента, - матрица жесткости (зависимость внутренних сил от деформации).

1. Функциональная зависимость компоненты - общий вид уравнения компоненты, где - параметры, - токи и - напряжения, входящие в уравнения. Эквивалентная схема замещения элемента состоит из двухполюсных компонент.

uATu

Cin

f inf

C

0),,(f IU

I U

6

Механика стержневых систем

Теория электрических цепей

2. Метод конечных элементов (машинный вариант). , где - матрица жесткости (зависимость внутренних сил узлов компоненты от узловых перемещений).

2. Машинный вариант. Функциональная зависимость компонента

описывает связь между напряжением , падающем на компоненте, и током , протекающем через компоненту. - функциональная зависимость линейной компоненты. - проводимость

kufin k

),(U

UfI

UI

UI G

G

7

2. Графическое представление стержневой системы и электрической цепи

Механика стержневых систем

Теория электрических цепей

Расчетная схема стержневой системы. Содержит многополюсные элементы. Узлы, соединяющие стержни, разделяются на шарнирные и жесткие. Описание расчетной схемы: матрица инциденций А.

Граф электрической цепи. Содержит двухполюсные элементы (компоненты).Описание графа электрической цепи:1. Матрица инциденций А.2. Матрица контуров В, 3. Матрица сечений Q, F1Q

.1B TF

88

3. Законы составления математической модели стержневой системы и электрической цепи

Механика стержневых систем Теория электрических цепей

Уравнение равновесияв узле.Сумма внутренних и внешних сил в узле равна нулю

Уравнения равновесия расчетной схемы

Законы Кирхгофа в матричном виде.

1.Сумма токов в узле равна нулю 1.1. , - вектор токов компонент.

1.2.

2. Сумма напряжений в контуре равна нулю

infof

0 oin ff

oin fAfA

0IA I

õîðäíòêîìòîêè

äåðåâàíòêîìòîêèÄI

0,Q

ÕÕ

Ä

III

õîðäíòêîìíàïðÿæåíèÿ

äåðåâàíòêîìíàïðÿæåíèÿ

0,B

Õ

Ä

Õ

Ä

U

U

UU

99

4.Формализованное представление описания математической модели стержневой системы и электрической цепи

     

Механика стержневых систем Теория электрических цепей

Метод узловых перемещений

1. Общий подход

2.Метод конечных элементов

1. Метод узловых напряжений

где - вектор источников тока в электрической цепи, - вектор узловых напряжений электрической цепи.

2.Метод напряжений компонент дерева

.o

T fAuAÑA

.ofAukA

,JA-AGAT nU J

nU

,0IF-I ÕÄ

Õ

T

Õ

T FFGFUG JU ÄÄÄ

10

Выводы: для реализации корректной формулировки математической модели

стержневой системы расчетная схема должна удовлетворять следующим требованиям.

Этап подготовки расчетной схемы стержневой системы:

• Элементы расчетных схем должны быть представлены эквивалентными схемами замещения объектов стержневых систем, состоящими из двухполюсных компонент.• Функциональные зависимости компонент должны отображать связь перемещений компонент с внутренними усилиями, прикладываемым к компонентам.• Расчетная схема стержневой системы должна быть представлена графом эквивалентной схемы замещения стержневой системы.

11

Этап составления математической модели стержневой системы

• Выбор дерева графа составляемой математической модели. При выборе учитывать

особенности конкретной расчетной схемы. • Сформулировать основную систему уравнений,

описывающих стержневую систему. Выбрать независимые переменные. Преобразовать основную систему для выбранных независимых переменных.

1212

Определения, характеризирующие компонентные уравнения двухполюсников и типы компонент, применяемые при составлении математической модели стержневой системы.

Общий вид компонентного уравнения двухполюсника

- внутреннее усилие, приложенное к - ой компоненте, - перемещение, приложенное к - ой компоненте,

1. , - собственная жесткость

2. - источник внутреннего усилия

3. - источник перемещения

Основные элементы расчетной схемы стержневой системы: опоры, стержни, связи, условное представление нагрузок и других воздействий.

0const i,1 fij,1i

m

kk k

n

j juu fKuKGkji iif ufG

if iiu

i

m

k kk

n

j jji fKuKGik,1ij,1

const ii ufiG

m

kk kk

n

j jj fKuKi,1ij,1

constif

m

kk kk

n

j jj fKuKi,1ij,1

constu i

i

13

в) подвижная опора по направлению координатной оси или с приложенной внешней силой или

а) неподвижная опора; б) неподвижная опора со смещением:

13

Типы опор и внешних воздействий и их эквивалентные схемы.

x yxF yF

.

а)

Х-координата

Y-координатасмещениеu

uU

б)

xF xF

yF

yF

Общий узелU - источник смещения (перемещения)

- источник внешнего воздействия по координате x

xF - источник внешнего воздействия по координате y

yF

14

Эквивалентные схемы замещения воздействия, приложенного к опоре в

локальной системе координат

yxy ul

ulmu

1

xyx fl

flmf

1

Вариант 1 Вариант 2

yyx um

umlu

1

xxy fm

fmlf 1

y

xfy

x

xf

x

yfyu

xuyu ymfxlf

xf

yluxmuy

u

)sin(),cos( ml

Внешние воздействия, приложенные к опоре в локальной системе координат

Эквивалентные схемы замещения воздействий в глобальной системе

xu

yfyf

yU

xu

xFxiyi

yu

yuyF

xfxf

xUxiyi

15

L - длина, A - поперечное сечение, I – момент инерции площади поперечного сечения, E – модуль упругости стержня, , , , - узловые перемещения концов стержня, , , , - внутренние усилия, действующее на концах стержня, в локальной и глобальной системах координат, , - углы изгиба узлов стержня, , - крутящие моменты узлов стержня.Связь внутренних усилий, действующих на концах стержня, с узловыми перемещениями концов стержня в локальной системе координат

где ,

Связь математического описания стержня в локальной и глобальной системах координат

xiu

xju

i

j

yiu

yju

yiu

xiu

xju

yju

xif

xjf

yif

yjfyjf

xif

yif

xjf

i

j

LEIA ,,

y xjM

iM

xu

i

xuxf

j

xf

iM jM

yu yu

yf yf

ukf t

jyxiyx jjiiuuuuu

tMM jyxiyx jjii

fffff

16

Переход к глобальной системе координат

- матрица направляющих косинусов для узлов и …. .

где ,

Откуда

- матрица жесткости в глобальной системе координат.

,Tuu ,Tff tTT 1

T i j

1000000000000000010000000000

lmml

lmml

T

t

jyxiyx jjii

uuuuu

t

MMj jyxiyx fffff

jii

TukTf tTkTk t

17

Построение эквивалентной схемы замещения стержня с жесткими соединениями

Исходные данные:1. - матрица жесткости и - матрица направляющих косинусов в

локальной системе координат

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

k

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

Tk

,MMt

j jyxiyx fffffjii

.,

jj

j

ii

iji

yyy

xxx

ffffff

Перемещения j – узла представлены как

jiij

y

x

ji

jii

uu

ij

j

yy

xx

uuuu

1818

LEIl

LEIm

LEI

LEIl

LEIm

LEI

lLEIl

LEIm

LEAlm

LEIlm

LEAl

LEIl

LEIm

LEAlm

LEIlm

LEA

mLEIlm

LEIlm

LEAm

LEIl

LEAm

LEIlm

LEIlm

LEAm

LEIl

LEA

LEIl

LEIm

LEI

LEIl

LEIm

LEI

lLEIl

LEIm

LEAlm

LEIlm

LEAl

LEIl

LEIm

LEAlm

LEIlm

LEA

mLEIlm

LEIlm

LEAm

LEIl

LEAm

LEIlm

LEIlm

LEAm

LEIl

LEA

k

466266

6121261212

6121261212

266466

6121261212

6121261212

2222

2

2

3

2

32

2

3

2

3

23

2

3

2

23

2

3

2

2222

2

2

3

2

32

2

3

2

3

23

2

3

2

23

2

3

2

ji

y

x

i

ji

y

x

i

ji

ji

ji

j

uu

LEIl

LEIm

LEI

LEI

lLEIl

LEIm

LEAlm

LEIlm

LEAl

LEI

mLEIlm

LEIlm

LEAm

LEIl

LEAm

LEI

LEIl

LEIm

LEI

LEI

ff

4666

6121212

6121212

2666

M

M

22

22

32

32

232

32

2

22

i

Матрица жесткости стержня в глобальной системе координат

матрица жесткости стержня преобразуется к видуk

19

, , , , , , , - перемещения, внутренние усилия, угловые сдвиги и моменты инерции компонент в глобальной системе координат

jixujiyu

jixf

Эквивалентная схема замещения стержня с жесткими соединениями

iii yy uK ,0

xi xjjixfjixx uG ,

yjyi

jiyy uG ,

iiG ,

iM

jiyf

ijjiM jiji

G ,

jiji yy uK ,

jiyyx uK ,

jixxy uK ,

ixiK ,

jii xx uK ,

iyiK ,

jiji xx uK ,

jiyjiK ,

jixjiK ,

jiijiK , ijii

K ,

jixixyyxxxx jiijijiji

KKuKuGf

jiyiyxxyyyy jiijijiji

KKuKuGf

ijiyjixjiji jiijijiji

KuKuKG M

jiyyxxii ijijiijiii

KuKuKG M

jiyfji jiMi iM

2020

Эквивалентная схема замещения стержня с комбинированными соединениями

(узел – жесткий, узел – шарнирный) матрица жесткости в локальной системе координат имеет вид

i j

323

22

323

30330

000

30330

30330

000

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

k

t

jjii yxiyx uuuuu

,

t

Mjjii yxiyx fffff

lmml

lmml

T

000000

00100000000

ji

ji

y

x

uu

ij

ij

yy

xx

uuuu ,

333

333

333M

2

3

2

32

3

2

3

2

2

22

ji

ji

i

ji

ji

y

x

y

x

i

uu

lLEIm

LEAlm

LEIlm

LEAl

LEI

lmLEIlm

LEAm

LEIl

LEAm

LEI

lLEIm

LEI

LEI

ff

.,

jj

j

ii

iji

yyy

xxx

ffffff

2121

Эквивалентная схема замещения стержня с шарнирными соединениями

i

0

xi xjjixf

jiyfyi yj

jixx uG ,

jiyy uG ,

iiG ,

iMiyi

K ,

jii xx uK ,

jii yy uK ,

jiyyx uK ,

jixxy uK ,

ixiK ,

ixyyxxxx ijijiji

KuKuGf

iyxxyyyy ijijiji

KuKuGf

jiijiiii yyxxi uKuKGM

yji

xji

yji

xji

uu

mlmlml

LEA

ff

2

2

xixjjixf

jiyfyi

yj

jixx uG ,

jiyy uG ,

jiyyx uK ,jixxy uK ,

jijiji yyxxxx uKuGf

jijiji xxyyyy uKuGf

lmL

EAKlL

EAG yxx ,2

lmL

EAKmL

EAG xyy ,2

22

Граф эквивалентной схемы замещения стержневой системы.

Новые возможности:1. Для записи уравнений равновесия применяются:- матрица инциденций;- матрица сечений.2. Матрица контуров – для записи аналога второго

закона Кирхгофа. Если перемещение совершается по замкнутому контуру, то суммарное перемещение компонент при возвращении в исходную точку будет равно нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать положительную энергию и тем самым нарушая закон ее сохранения.

3. Целенаправленний выбор дерева графа эквивалентной схемы стержневой системы.

23

Формулировка математической модели стержневой системы, представленной графом.

Основная система уравнений, описыающих эквивалентную схему замещения стержневой системы включает:

1. Компонентные уравнения двухполюсников эквивалентной схемы: - аналог независимого/зависимого резистора; - зависимый/независимый источник усилия; - зависимый/независимый источник перемещения;

2. Уравнения равновесия усилий в сечениях: .

3. Уравнения равновесия перемещений в контурах: .

m

kkk

n

jjji KuKG

ik,1ij,1

ii uf

n

jjjuK

ij,1

constu i

l

kkkk

n

j

m

kkkkjj fKKuK

i,1ij,1 i,1

const if

.01Qf

Х

Д

ff

F

Õ

Ät

uu

F1Bu

24

Преобразование основной системы уравнений

1. Выбор дерева графа: - независимые и зависимые источники смещения

выбираются в дерево;- независимые и зависимые источники усилий

выбираются в хорды;- собственная жесткость резистивных компонент дерева

больше собственной жесткости компонент хорд.

25

Уравнения равновесия основной системы

θ

G

u

θX

Gu

Guuuu

θθ

GGuGG

M

u

θ

G

Ä

Ä

U

U

tÄθ

tFÄ

tFU

tFuU

tÄF

tUF

tUF

tÄX

tÄX

tUX

tUX

X

F

F

X

X

θuuu

FFFFFFF

FFFF

θuuθu

00000

0000

,uFu ÄÕt

θ

G

u

Д

Д

U

U

Д

θuuu

u

M

f

θ

G

Mθθθ

GfGGG

ufuGu

fG

θ

GÄ

u

X

X

X

XÄXÄ

FÄFÄXÄ

FUFUXU

FUUFXU

Ä

U

U

ff

Mf

FFFFFFFFFFF

=fff

M000

000000

M F

F

Уравнения равновесия перемещений в контурах

Уравнения равновесия усилий в сечениях

M

u

θ

G

X

F

F

X

X

Õ

θuuθu

u

ХД Fff

θ

GÄ

u

Ä

U

U

Ä fff

f

M

M

f

θ

G

X

X

X

Õ

ff

Mf

f

MF

F

26

Компонентные уравнения двухполюсников эквивалентной схемы

- независимые источники перемещения, - зависимые источники перемещения, - перемещениеуправляемые компоненты дерева, - углоуправляемые компоненты, дерева, - перемещениеуправляемые компоненты – хорды, - углоуправляемые копоненты - хорды, - источники усилий, зависимые от источников перемещений, - независимые источники усилий, - независимые источники крутящих моментов.

const,uU

(u),uff UU

), ,θu(ufGGG ÄÄÄ

),M (u,θθθ ÄÄ

,

),,(GG XX uf

),M (u,θθθ XX

),(FF uff Uff

constf FconstM

MX

27

Результаты преобразования основной системы уравнений

В качестве переменных выбраны перемещения и углы изгиба компонент дерева

Порядок системы линейных алгебраический уравнений

- количество ветвей входящих в дерево графа, - количество независимых источников напряжения.

0

M

M

00000

MF

FFF

M

f

θ

G

Mθθθ

GfGGG

θ

G

X

X

X

XÄXÄ

ÄÄXÄ

Ä

Ä

ff

f

FFFFF

-f

n,

uUUÄ nnnn Än

Un

28

Расчетная схема стержневой конструкции 1http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf (избыточность уравнений)

P 23

1

1

2

3

y x0yu

0xf

.11020.6

,21100.6

,210,1,1000

24

24

элементадляmA

иэлементовдляmA

GPaEmLkNPстержнейПараметры

,1012601

)10210(100.61,0,90)2_1(1

594

212

mL

EAG

mlÝëåìåíò

y

,1012601

)10210(100.60,1,0)3_2(2

594

223

lL

EAG

mlÝëåìåíò

x

,1063021

2)10210(1020.6,10630

21

2)10210(1020.6

,1063021

2)10210(1020.6,10630

21

2)10210(1020.6

21,

21,45)3_1(3

594

135

942

13

594

135

942

13

lmL

EAKlL

EAG

lmL

EAKlL

EAG

mlÝëåìåíò

xy

yx

29

Эквивалентная схема строительной конструкции 1

,,,,,,: 13323211 yxxyyx GEGEEEäåðåâàÂåòâè246 EÄ nnnÑËÀÓïîðÿäîê

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

uuEEEE

uuuu

13

23

3

2

1

1

2

12

3

13

011000000110100010

001001

x

y

y

x

y

x

x

y

y

x

JfJf

ffffff

2

12

3

13

13

23

3

2

1

1

001010001001010001100001

Уравнения равновесия перемещений

Уравнения равновесия усилий

0

xf13

xf3

0

x2PJ x 2

yf3xf3

xE3

yu3`3y

x3xu23

xf23

xG23

02 yE

0

0

01 yE01 xE 00

y2yI12

yG12

yu12

y1

x1 xu13xG13

xu13 yu13 yf13

yG13 yf13

yJ3

30

Компонентные Решение уравнения

51313

13

523

23

102520)(2

101260

PKG

Pu

PG

Pu

xyy

xx

,102560

3102560101260 555

3232

PPP

Euu xxx

xyx

xxfJf

Jf3313

223

xxxxyy

xxJfuKuG

PuG21313131313

2323

yyxx

yyxxxxyy

xx

uuEuPuKuGuKuG

GPu

133313

1313131313131313

2323

)(

yyy uGf 121212

yyxxx fKfGf 1313131313

xxyyy uKuGf 1313131313

xxx uGf 232323 xy fJ 33

PJ x 2

yx uE 33

31

Расчетная схема стержневой конструкции 2Розин Л.А. Метод конечных элементов //Соросовский образовательный журнал, т. 6, №4, 2000, стр. 120 – 127 (плохая обусловленность)

а) расчетная схема, б) эквивалентная схема замещения стержневой конструкции.

Параметры компонент: , . Ветви дерева:

топологическая матрица контуров

)б1231 , xxxx GGGG

1xG0 1 211 PF

2xG 3xG

22 PF

)а

11P

0 211 2 3

2P

0 0,1 ml 21,G xx G

11100010101100121213

xxFFG uuuuu

B

x202 UÄ nnn

0101111

2

1

3

2

1

FFf

ff

32

Оценка решения примера №2

Предложенный метод Литература

.)()(

233213

2123131PuGGuG

PPuGuGGGxGx

GxGx

,)(

)(

22032102

12021021

PuGGuGPuGuGG

gtguu GxGx 12

.)()(

,)(

32

21

32

32

2

211

3

312

GGPu

GGGu

GPPu

GGGu

GxGx

GxGx

2)(

3

311

GGGtg

0)( 32

32

GGGtg

631

02

1)(

2

211

GGGtg 45°1

1)( 32

22

GGGtg 45°2

.)()(

,)(

32

210

32

229

2

2110

2

2120

GGPu

GGGu

GPPu

GGGu

33

Фрагмент расчетной схемы стержневой конструкции 3http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/Home.html (ограничения в конструкции)

Фрагмент расчетной схемы

Вид ограничения: . Эквивалентная схема замещения:

22 , fu11, fu 33, fu 44 , fu 55, fu 66 , fu 77 , fu

1 2 3 4 5 6 7

(1) (2) (3) (4) (5) (6) x

62 uu

4xG3 4 55xG 6xG1xG0

1 22xG 3xG

1F 2F

6 7xG 7

7F5F4F3F 6F

01 E

34

Вид ограничения , ,

Эквивалентная схема замещения:

26 uu 14 41 uu

513 21

81 uuu

4F

4xG3 4 55xG 6xG1xG0

1 22xG 3xG

1F 2F

6 7xG 7

7F5F

3F 6F

01 E

14 41 uE

513 21

81 uuE

3535

Выводы Впервые предложено использовать теорию графов для корректной формулировки математической

модели стержневой системы.1. Применение теории графов стало возможным за счет разработки эквивалентных схем замещения объектов

стержневых систем, состоящих из двухполюсных компонент.2. Применение теории графов расширило основную систему уравнений, описывающих стержневую систему за счет

введения уравнений равновесия перемещений в контуре. 3. Корректная формулировки математической модели стержневой системы достигнута за счет предложенного

алгоритма выбора компонент входящих в дерево, учитывающего особенности конкретной стержневой системы.

5. -

36

Литература• 1. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию

сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2008. – № 4. – С. 111 – 122.

• 2. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2010. – № 3. – С. 53 – 68.

• 9. Волобоев В.П. Один способ корректной формулировки математической модели технической (физической) задачи / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2011. – № 4. – С. 95 – 106.

37

Благодарю за внимание